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ANGELA QUIRZ
GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL
Una gráfica de flujo de señal (SFG – Signal flow Graph) se puede ver como una
versión simplificada de un diagrama de bloues! "a SFG fue in#roducida por S! $!
%ason para la represen#ación de causa & efec#o de sis#emas lineales ue son
modelados por ecuaciones algebraicas! 'demás de la diferencia en apariencia
fsica de la SFG & el diagrama de bloues la gráfica de flujo de señal se puede ver
como res#ringida por reglas ma#emá#icas más rgidas mien#ras ue el uso de la
no#ación del diagrama de bloues es más liberal! Una SFG se puede definir como
un medio gráfico de re#ra#ar la relación en#rada*salida en#re las variables de un
conjun#o de ecuaciones algebraicas lineales!
+onsidere ue un sis#ema lineal es#á descri#o por un conjun#o de , ecuaciones
algebraicas-
.ebe señalarse ue es#as , ecuaciones es#án escri#as en la forma de relaciones
de causa & efec#o-
/ simplemen#e-
0s#e es el a1ioma más impor#an#e en la formación del conjun#o de ecuaciones
algebraicas para las SFG! 0n el caso de ue el sis#ema es#2 represen#ado por un
conjun#o de ecuaciones in#egro*diferenciales primero se deben #ransformar en
ecuaciones de la #ransformada de "aplace & despu2s se re*arreglan es#as 3l#imas
en la forma de la ecuación (4) o-
GRÁFICAS DE
FLUJO DE SEÑAL
– SFG
(SIGNAL FLOW GRAPH)
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ELEMENTOS BÁSICOS DE UNA GRÁFICA DE FLUJO DE SEÑAL
+uando se cons#ru&e una SFG los pun#os de unión o nodos se u#ili5an para
represen#ar variables! "os nodos es#án conec#ados por segmen#os lineales
llamados ramas de acuerdo con las ecuaciones de causa & efec#o! "as ramas
#ienen ganancias & direcciones asociadas!Una señal se puede #ransmi#ir a #rav2s de una rama solamen#e en la dirección de
la flecha!
0n general dado un conjun#o de ecuaciones #ales como las ecuaciones (4) o (6)
la cons#rucción de una SFG consis#e en seguir las relaciones de causa & efec#o
relacionado cada variable en #2rminos de s misma & de las o#ras! 7or ejemplo
considere ue un sis#ema lineal es#á represen#ado por la ecuación algebraica
sencilla-
0n donde y1 es la en#rada y
2 la salida & a12 la ganancia o #ransmi#ancia
en#re las dos variables! "a represen#ación en SFG de la ecuación (8) se mues#ra
en la Fig!4! observe ue la rama ue se dirige del nodo y1 (en#rada) al nodo
y2 (salida) e1presada la dependencia de y
2 sobre y1 pero no el con#rario!
"a rama en#re el nodo de en#rada & el de salida se debe in#erpre#ar como un
amplificador unila#eral con ganancia a12 por lo ue cuando una señal de
magni#ud uno se aplica en la en#rada y1 una señal de magni#ud a
12 y
1 se
en#rega en el nodo y2. 'unue en forma algebraica la ecuación (8) se puede
escribir como-
"a SFG de la Fig!4 no implica es#a relación! Si la ecuación (9) es válida como unaecuación de causa & efec#o se debe dibujar una SFG nueva con y
2 como la
en#rada & y1 como la salida!
+omo un ejemplo de la cons#rucción de una SFG considere el siguien#e conjun#o
de ecuaciones algebraicas-
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"a SFG para es#as ecuaciones se cons#ru&e paso a paso como se mues#ra en laFig!:
PROPIEDADES BÁSICAS DE UNA GRÁFICA DE FLUJO SEÑAL
"as propiedades impor#an#es de la SFG ue han sido cubier#as has#a el momen#o
se resumen como siguen-
4! "a SFG se aplica solamen#e a sis#emas lineales!
:! "as ecuaciones a par#ir de las cuales se dibuja una SFG deben ser algebraicasen la forma de causa & efec#o!
;! "os nodos se u#ili5an para e1presar variables! ,ormalmen#e los nodos se
arreglan de i5uierda a derecha desde la en#rada a la salida siguiendo una
sucesión de relaciones de causa & efec#o a #rav2s del sis#ema!
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6! "a señal viaja a #rav2s de las ramas solamen#e en la dirección descri#a por las
flechas!
8! "a dirección de la rama desde el nodo yk a y j represen#a la dependencia
de y j sobre yk pero no al con#rario!
9! Una señal yk ue viaja a #rav2s de una rama en#re yk & y j se mul#iplica
por la ganancia de la rama akj por lo ue la señal akj y k es en#regada en
y j !
DEFINICIONES DE LOS TERMINOS DE UNA GRÁFICA DE FLUJO DESEÑAL
NODO DE ENTRADA (fuente Un nodo de en#rada es un nodo ue #ienesolamen#e ramas de salida! (0jemplo- nodo y
1 en la Fig!:)
NODO DE SALIDA (!"#"$ Un nodo de salida es un nodo ue #iene solamen#e
ramas de en#rada (ejemplo- nodo y5 en la Fig!:) sin embargo es#a condición no
siempre se alcan5a median#e un nodo de salida! 7or ejemplo la SFG de la
Fig!;(a) no #iene ning3n nodo ue sa#isface la condición de un nodo de salida!
7uede ser necesario visuali5ar a y2 &<o y
3 como nodos de salida para el
propósi#o de encon#rar los efec#os en es#os nodos debido a la en#rada! 7ara hacer
ue y2 sea un nodo de salida simplemen#e se conec#a una rama con ganancia
uni#aria desde el nodo e1is#en#e y2 a un nuevo nodo #ambien designado como
y2 como se mues#ra en la fig!; (b)! el mismo procedimien#o se aplica a y
3 !
/bserve ue la modificación de la SFG de la fig!; (b) es euivalen#e a ue las
ecuaciones y2= y
2 & y3= y
3 se añaden a las ecuaciones originales! 0n
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general cualuier nodo de no en#rada de una SFG se puede hacer uno de salida
median#e el procedimien#o ilus#rado! Sin embargo no se puede conver#ir un nodo
de de no en#rada en un nodo de en#rada revir#iendo la dirección de la rama del
procedimien#o descri#o para los nodos de salida! 7or ejemplo el nodo y2 de la
SFG de la fig!;(a) no es un nodo de en#rada!Si se in#en#a conver#irlo en un nodo de en#rada median#e la adición de una rama
en#ran#e con ganancia uni#aria desde o#ro nodo id2n#ico y2 resul#a la SFG de la
fig!6!
"a ecuación ue re#ra#a la relación en el nodo y2 ahora se lee como-
=ue es diferen#e al de la ecuación original dada en la Fig!:(a)!
TRA%ECTORIA$ Una #ra&ec#oria es cualuier colección de una sucesión con#inua
de ramas ue se dirigen en la misma dirección! "a definición de una #ra&ec#oria esen#eramen#e general &a ue no previene ue cualuier nodo la a#raviese más de
una ve5! 7or #an#o la simple SFG de la Fig!;(a) puede #ener numerosas
#ra&ec#orias ue a#raviesan las ramas a23 & a
32 en forma con#inua!
TRA%ECTORIA DIRECTA$ Una #ra&ec#oria direc#a es una #ra&ec#oria ue empie5a
en un nodo de en#rada & #ermina en un nodo de salida a lo largo de cual ning3n
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nodo se a#raviesa más de una ve5! 7or ejemplo en la SFG de la Fig!:(d) y1 es
el nodo de en#rada & el res#o de los nodos son #odos nodos posibles de salida! "a
#ra&ec#oria en#re y1 & y
2 es simplemen#e la rama conec#ada en#re los dos
nodos! 01is#en dos #ra&ec#orias en#re
y1
&
y3
> una con#iene las ramas desde y
1 a y2 a y
3 & la o#ra con#iene las ramas desde y1 a y
2 a y4 (a
#rav2s de la rama con ganancia a24 ) & en#onces de regreso a y
3 (a #rav2s de
la rama con ganancia a43 )
0l lec#or debe #ra#ar de de#erminar las dos #ra&ec#orias direc#a en#re y1 & y
4 !
.e forma similar e1is#en #res #ra&ec#orias direc#as en#re y1 & y
5 !
MALLA$ Una malla es una #ra&ec#oria ue se origina & #ermina en el mismo nodo &en donde ning3n o#ro nodo se encuen#ra más de una ve5! por ejemplo e1is#en
cua#ro mallas en la SFG de la Fig!:(d)! 0s#as se mues#ran en la fig!8!
GANANCIA DE TRA%ECTORIA$ 0l produc#o de las ganancias de las ramas ue
a#raviesan una #ra&ec#oria se llama &anan'a )e *a tra+e't"ra$ 7or ejemplo la
ganancia de la #ra&ec#oria para la #ra&ec#oria de la fig!:(d) es
GANANCIA DE LA TRA%ECTORIA DIRECTA$ "a ganancia de la #ra&ec#oria
direc#a es la ganancia de la #ra&ec#oria de una #ra&ec#oria direc#a!
GANANCIA DE MALLA$ "a ganancia de malla es la ganancia de la #ra&ec#oria de
una malla! 7or ejemplo la ganancia de la malla de la Fig!8 es
MALLAS ,UE NO SE TOCAN$ .os par#es de una SFG no se #ocan si no
compar#en un nodo com3n! 7or ejemplo las mallas de la SFG de la
Fig!: son mallas ue no se #ocan!
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ÁLGEBRA DE LAS GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL
7ara ob#ener la relación en#re la en#rada & la salida se puede u#ili5ar la regla de laganancia de %ason (será lo más cómodo habi#ualmen#e) ue veremos más
adelan#e> o bien #ra#ar de reducir el grafo (de forma análoga a la reducción dediagramas de bloues) #ransformándolo has#a llegar a uno ue solamen#econ#enga las señales de en#rada & salida unidas por una sola rama!7ara ello se pueden seguir las siguien#es reglas-
a) 0l valor de un nudo con una rama de en#rada es (Fig!)- X2 = a·X1
fig! 9
b) "a #ransmi#ancia #o#al de ramas en cascada es igual al produc#o de #odaslas #ransmi#ancias de las ramas-
fig?
c) Se pueden combinar ramas en paralelo sumando sus #ransmi#ancias-
fig!@
d) Se puede eliminar un nudo mi1#o de la forma siguien#e-
fig!A
e) Se puede eliminar un la5o de la siguien#e forma-
fig!4B
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GRÁFICOS DE FLUJO DE SEÑAL DE SISTEMAS DE CONTROL$
0n las siguien#es figuras se pueden ver algunos gráficos de flujo de señal desis#emas de con#rol simples! 7ara ellos se puede ob#ener la función de#ransferencia de la5o cerrado fácilmen#e seg3n las an#eriores reglas! 7ara gráficosmás complejos es mucho más 3#il la fórmula de la ganancia de %ason ueveremos a con#inuación!
Fig! 44
fig!4:
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F-RMULA DE LA GANANCIA DE MASON PARA SFG$
0n la prác#ica en muchos casos se desea de#erminar la relación en#re unavariable de en#rada & una de salida en el gráfico de flujo de señal! "a#ransmi#ancia en#re un nudo de en#rada & o#ro de salida es la ganancia #o#al o#ransmi#ancia #o#al en#re esos dos nudos!
"a fórmula de la ganancia de %ason aplicada a la ganancia #o#al viene dada por la e1presión-
Siendo-
,ó#ese ue es#a regla solamen#ees aplicable en#re un nudo deen#rada & o#ro de salida! ,o obs#an#e podemos reali5ar una simple manipulaciónsi uisi2semos aplicarla a un nudo de salida (&sal) & un nudo de no en#rada (&1)cogiendo una en#rada arbi#raria real (&en#) adicional & aplicar-
.onde ahora podemos aplicar la regla para numerador & denominador por separado (es fácil conseguir ue &1 sea de salida) & dividir el resul#ado en#reambos! EJERCICIO DE APLICACI-N
0jemplo 4!- 0ncon#rar la función de #ransferencia final del siguien#e diagrama debloues #ransformando previamen#e a gráfico de flujo de señal para
pos#eriormen#e u#ili5ar la regla de la ganancia de %ason!
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7rimeramen#e ob#endremos el gráfico de flujo de señal-
7odemos observar ue en es#e sis#ema e1is#e un solo #ra&ec#o direc#o-
74 C G4DG:DG;
01is#en #res la5os individuales-
"4 C EG4DG:D4 > ": C *G:DG;D: > "; C *G4DG:DG;
odos ellos #ienen una rama en com3n por lo ue no e1is#en la5os disjun#os! 'spues-
'l ui#ar #odos los la5os adjun#os al camino 74 se eliminan #odos los la5os por loue
's pues la ganancia pedida es-
,ó#ese ue no hemos #enido ue reali5ar ning3n proceso de reducción para llegar al valor deseado!
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+omo es obvio en sis#emas con varias en#radas & salidas se irán eligiendoal#erna#ivamen#e una en#rada & una salida & aplicando repe#idamen#e es#a reglase ob#endrán #odas las funciones de #ransferencia deseadas!7or 3l#imo comen#ar ue debido a la simili#ud en#re el diagrama de bloues & lasgráficas de flujo de señal la fórmula de la ganancia de %ason #ambi2n es
aplicable a los diagramas de bloues pero en sis#emas complejos para poder iden#ificar los la5os & par#es disjun#as de forma clara suele ser de a&uda dibujar eldiagrama de flujo de señal euivalen#e al de bloues an#es de aplicar la fórmulade la ganancia!
BIBLIOGRAF.Ao Sis#emas de con#rol au#omá#ico benjamn c! Huo
o isa!uniovi!es<docencia<raImarina<U+"%I0%'6!7.F
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