IntroduccionPrimitivas
Problema del areaIntegrales de Riemann
Teorema fundamental del CalculoAplicaciones de la integracion
Integracion indefinida y definida. Aplicaciones de laintegral: valor medio de una funcion continua.
Juan Ruiz 1 Marcos Marva1
1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.
Matematicas (Grado en Biologıa)
Juan Ruiz, Marcos Marva Matematicas (Grado en Biologıa)
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Problema del areaIntegrales de Riemann
Teorema fundamental del CalculoAplicaciones de la integracion
Contenidos
1 Introduccion
2 Primitivas
3 Problema del area
4 Integrales de RiemannInterpretacion geometrica de las integrales definidas
5 Teorema fundamental del Calculo
6 Aplicaciones de la integracion
Juan Ruiz, Marcos Marva Matematicas (Grado en Biologıa)
IntroduccionPrimitivas
Problema del areaIntegrales de Riemann
Teorema fundamental del CalculoAplicaciones de la integracion
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1 Introduccion
2 Primitivas
3 Problema del area
4 Integrales de RiemannInterpretacion geometrica de las integrales definidas
5 Teorema fundamental del Calculo
6 Aplicaciones de la integracion
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Teorema fundamental del CalculoAplicaciones de la integracion
Introduccion: Ecuaciones diferenciales
En temas anteriores hemos estudiado expresiones del tipo:
dy
dx= f (x)
Este tipo de expresiones se denominan ecuaciones diferenciales.Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario encontrarfunciones y que cumplan que y ′ = f (x). Si es posible encontrardicha funcion, entonces existe una familia completa de funcionescon esta propiedad. Todas ellas estaran relacionadas por unatraslacion vertical.
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Introduccion: Ecuaciones diferenciales
Para seleccionar una de estas funciones, sera necesario especificaruna condicion inicial, que consiste en un punto (x0, y0) de lagrafica de la funcion. Esta funcion seleccionada, se denominarasolucion del problema de valor inicial.
dy
dx= f (x), con y = y0 cuando x = x0
.
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Introduccion: Primitivas
Definicion
Una funcion F se denomina primitiva de f en un intervalo l siF ′(x) = f (x) para ∀x ∈ l .
Corolario
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en elintervalo abierto (a, b), con f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b),entonces f (x) es constante en [a, b].
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Introduccion: Primitivas
Corolario
Si F (x) y G (x) son primitivas de la funcion continua f (x) en unintervalo I , entonces existe una constante C , tal que
G (x) = F (x) + C , ∀x ∈ I
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1 Introduccion
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3 Problema del area
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5 Teorema fundamental del Calculo
6 Aplicaciones de la integracion
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Pequena coleccion de primitivas
Funcion Primitiva
kf (x) kF (x)f (x) + g(x) F (x) + G (x)xn, n 6= −1 1
n+1xn+1
1x ln|x |eax eax
asin(ax) −1
a cos(ax)cos(ax) 1
a sin(ax)
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5 Teorema fundamental del Calculo
6 Aplicaciones de la integracion
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Sumas finitas
Definicion
Sean a1, a2, ..., an numeros reales y n un numero entero positivo.Entonces,
n∑k=1
ak = a1 + a2 + ... + an
Propiedades
1 Regla del valor constante:∑n
k=1 1 = n.
2 Regla de la constante multiplicativa:∑nk=1 c · ak = c ·
∑nk=1 ak , siendo c una constante que no
depende de k .
3 Regla de la suma:∑n
k=1(ak + bk) =∑n
k=1 bk +∑n
k=1 ak
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Interpretacion geometrica de las integrales definidas
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5 Teorema fundamental del Calculo
6 Aplicaciones de la integracion
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Interpretacion geometrica de las integrales definidas
Integral definida
Definicion
Sea P = [x0, x1, x2, ..., xn], n = 1, 2, 3, ... una secuencia departiciones de [a, b] con ||P|| → 0. Sea ∆xk = xk − xk−1 yck ∈ [xk−1, xk ]. La integral indefinida de f entre a y b es,∫ b
af (x)dx = lım
||P||→0
n∑k=1
f (ck)∆xk
Si el lımite existe, en cuyo caso se dice que f es integrable (en elsentido de Riemann), en el intervalo [a, b].
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Interpretacion geometrica de las integrales definidas
Integral definida
Teorema
Todas las funciones continuas son integrables en el sentido deRiemann. Es decir, si f (x) es continua en [a, b], entonces∫ b
af (x)dx
existe.
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Interpretacion geometrica de las integrales definidas
Interpretacion geometrica de las integrales definidas
Observaciones
Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ ba f (x)dx = el area de la region entre la grafica de f y el ejex desde a hasta b.
Si f es integrable en [a, b], entonces∫ ba f (x)dx = [area por
encima del eje x ]-[area por debajo del eje x ].
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Interpretacion geometrica de las integrales definidas
Propiedades de la integral de Riemann
Si asumimos que f es integrable en el intervalo [a, b]. Entonces,
Propiedades∫ aa f (x)dx = 0 y∫ ab f (x)dx = −
∫ ba f (x)dx
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Interpretacion geometrica de las integrales definidas
Propiedades de la integral de Riemann
Propiedades
Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a, b]
Si k es una constante, entonces∫ b
akf (x)dx = k
∫ b
af (x)dx
∫ ba [f (x) + g(x)]dx =
∫ ba f (x)dx +
∫ ba g(x)dx
Si f es integrable en un intervalo que contiene los tresnumeros a, b y c , entonces∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx +
∫ b
cf (x)dx
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Interpretacion geometrica de las integrales definidas
Propiedades de la integral de Riemann
Propiedades
Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a, b]
Si f (x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ ba f (x)dx ≥ 0.
Si f (x) ≤ g(x) en [a, b], entonces∫ ba f (x)dx ≤
∫ ba g(x)dx .
Si m ≤ f (x) ≤ M en [a, b], entonces
m(b − a) ≤∫ b
af (x)dx ≤ M(b − a)
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Teorema fundamental del Calculo I
Teorema
Si f es continua en el intervalo [a, b], entonces la funcion Fdefinida como
F (x) =
∫ x
af (u)du, a ≤ x ≤ b
Es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y se cumple que
d
dxF (x) = f (x)
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Teorema fundamental del Calculo II
Regla de Barrow
Supongamos que f es una funcion continua en el intervalo [a, b],entonces ∫ b
af (x)dx = F (b)− F (a)
Siendo F (x) una primitiva de f (x), es decir F ′(x) = f (x).
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Regla de Leibniz
Regla de Leibniz
Si g(x) y h(x) son funciones derivables y f (u) es continua, con uentre g(x) y h(x), entonces
d
dx
∫ h(x)
g(x)f (u)du = f [h(x)]h′(x)− f [g(x)]g ′(x)
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Calculo de areas
Si f (x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a, b] conf (x) > g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces el area de la regioncomprendida entre las curvas y = f (x) e y = g(x) desde a hasta bes igual aArea=
∫ ba [f (x)− g(x)]dx
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Cambio acumulativo
Consideremos una poblacion cuya dinamica de credimiento vienedada por el problema de valor inicial
dN
dt= f (t), con N(0) = N0,
de donde podemos decir que
N(t) =
∫ t
0f (u)du + C .
Resolviendo el problema de valor inicial, obtenemos
N(t)− N(0) =
∫ t
0
dN
dudu,
que podemos interpretar como el cambio acumulativo o neto deltamano de la poblacion entre 0 y t.
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Valor Medio
Supongamos que f (x) es una funcion continua en el intervalo[a, b]. El valor medio de f en el intervalo [a, b] es
VM(f ) =1
b − a
∫ b
af (x)dx
Teorema del Valor medio para integrales definidas
Sea f (x) una funcion continua en el intervalo [a, b]. Existe unnumero c ∈ [a, b], tal que
f (c)(b − a) =
∫ b
af (x)dx
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