Integracion 328
Problema 170 Usar integracion por partes para resolver las siguientes integrales:
a)
∫
x sen 5x dx b)
∫
x3 cos x2 dx c)
∫
x3ex dx
d)
∫
x5 senx3 dx e)
∫x3 dx
3√
9 − x2f)
∫
x3√
4 − x2 dx
Recordemos la formula de integracion por partes:
∫
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) −∫
g(x)f ′(x)dx
a)
∫
x sen 5x dx. Considerando:
f(x) = x f ′(x) = 1
g′(x) = sen 5x g(x) = −15 cos 5x
tenemos: ∫
x sen 5x dx = −1
5x cos 5x+
1
5
∫
cos 5x dx = −1
5x cos 5x+
1
25sen 5x
b)
∫
x3 cos x2 dx. Considerando:
f(x) = x2 f ′(x) = 2x
g′(x) = x cos x2 g(x) = 12 senx2
Ejercicios resueltos de Calculo. c©Agustın Valverde
Integracion 329
(hemos tenido que dejar una x en g′ para poder hallar g), se tiene que:
∫
x3 cosx2 dx =1
2x2 senx2 − 1
2
∫
2x sen x2 dx =1
2x2 senx2 +
1
2cos x2
c)
∫
x3ex dx; (En el ejercicio 5 se obtendra una formula reduccion para estas integrales). Considerando:
f(x) = x3 f ′(x) = 3x2
g′(x) = ex g(x) = ex
se tiene que: ∫
x3ex dx = x3ex − 3
∫
x2exdx
Podemos nuevamente aplicar integracion por partes con
f(x) = x2 f ′(x) = 2x
g′(x) = ex g(x) = ex
y se llega a ∫
x3ex dx = x3ex − 3
∫
x2exdx = x3ex − 3x2ex + 6
∫
xexdx
Aplicando una vez mas la formula con
f(x) = x f ′(x) = 1
g′(x) = ex g(x) = ex
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Integracion 330
se termina el calculo:∫
x3ex dx = x3ex − 3x2ex + 6
∫
xexdx
= x3ex − 3x2ex + 6xex − 6
∫
exdx
= x3ex − 3x2ex + 6xex − 6ex = (x3 − 3x2 + 6x− 6)ex
d)
∫
x5 senx3 dx. Considerando:
f(x) = x3 f ′(x) = 3x2
g′(x) = x2 senx3 g(x) = −13 cos x3
se obtiene ∫
x5 senx3 dx = −1
3x3 cos x3 +
1
3
∫
3x2 cos x3 dx = −1
3x3 cos x3 +
1
3senx3
e)
∫x3 dx
3√
9 − x2. Considerando:
f(x) = x2 f ′(x) = 2x
g′(x) = x(9 − x2)−1/3 g(x) = −34(9 − x2)2/3
se tiene que:∫
x3 dx3√
9 − x2= −3
4x2(9 − x2)2/3 +
3
4
∫
2x(9 − x2)2/3
= −3
4x2(9 − x2)2/3 − 9
20(9 − x2)5/3 = − 1
20(6x2 + 81)
√
(9 − x2)3
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Integracion 331
f)
∫
x3√
4 − x2 dx. Considerando:
f(x) = x2 f ′(x) = 2x
g′(x) = x(4 − x2)1/2 g(x) = −13(4 − x2)3/2
se tiene que:
∫
x3√
4 − x2 dx = −1
3x2(4 − x2)3/2 +
1
3
∫
2x(4 − x2)3/2
= −1
3x2(4 − x2)3/2 − 2
15(4 − x2)5/2 = − 1
15(32 + 4x2 − 3x4)
√
4 − x2
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