1
INTEGRAL DEFINIDA
Ejercicio nº 1.-
Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el área
Ejercicio nº 2.-
Halla gráficamente la siguiente integral:
Ejercicio nº 3.-
Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental.
Ejercicio nº 4.-
Halla el área limitada por la recta x + y = 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental.
Ejercicio nº 5.-
Calcula gráficamente la siguiente integral:
Teorema fundamental del cálculo
Ejercicio nº 6.-
función en [0, 2π].
Ejercicio nº 7.-
función en [0, 2π].
Ejercicio nº 8.-
Ejercicio nº 9.-
Dada la función:
Calcula F' (x)
abscisas. de eje el y7212
rectas las por limitada ==+= xxxy ,,
∫−−
3
3
29 dxx
∫−
−+
1
1
211 dxx
( ) ∫= esta de extremos puntos posibles los Obtén función la Dada 2 .dttsenxF
( ) ∫= esta de extremos puntos posibles los Obtén función la Dada 2 .dttsenxF
( ) ( ) ( )21
Calcula ' , siendo log ·x
F x F x sen t t dt= +∫
( ) ( )∫ +=x
dttcosxF0
21
2
Ejercicio nº 10.-
Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:
Regla de Barrow
Ejercicio nº 11.-
Halla el área limitada por la parábola y = x2 − 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6.
Ejercicio nº 12.-
Halla el área limitada por las parábolas y = 6x − x2, y = x2 − 2x.
Ejercicio nº 13.-
Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.
Ejercicio nº 14.-
Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x + 6.
Ejercicio nº 15.-
Ejercicio nº 16.-
Halla el área limitada por las curvas y = ex, y = e−x y la recta x = 1.
Ejercicio nº 17.-
Halla el área limitada por la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el eje de abscisas.
Ejercicio nº 18.-
Calcula el área limitada por la parábola y = x2 − 4x y la recta y = 3x − 6.
Ejercicio nº 19.-
Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x − 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas.
Ejercicio nº 20.-
Calcula el área limitada por las curvas y = x2 e y = |x − 2|.
Cálculo de áreas y volúmenes Ejercicio nº 21.-
Calcula el volumen engendrado por la curva y2 = 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X.
Ejercicio nº 22.-
Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo.
( ) ( )∫ −=x
dt2tlnxF1
.2 y1 rectas las y2 función la por limitado recinto del área el Calcula === xxxy
3
Ejercicio nº 23.-
Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm.
Ejercicio nº 24.-
eje X.
Ejercicio nº 25.-
Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio.
Ejercicio nº 26.-
Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm.
Ejercicio nº 27.-
Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x = 0, x = 5, y = 0, x − 5y + 10 = 0 al girar alrededor del eje X.
Ejercicio nº 28.-
Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm.
Ejercicio nº 29.-
Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m.
Ejercicio nº 30.-
Ejercicio nº 31.-
Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5 m es 7,5 m2.
Ejercicio nº 32.-
Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm.
Ejercicio nº 33.-
Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y2 = 2x, x = 1, x = 2.
Ejercicio nº 34.-
Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral.
Ejercicio nº 35.-
Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm.
del alrededor girar al 14
elipse la por engendrado cuerpo del volumen el Halla 22
=+ yx
.Xyx eje del alrededor girar al 149
elipse la por engendrado volumen el Calcula22
=+
4
SOLUCIONES EJERCICIOS INTEGRAL DEFINIDA
Ejercicio nº 1.-
Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el área
Solución:
Geométricamente, se trata de un trapecio:
Ejercicio nº 2.-
Halla gráficamente la siguiente integral:
Solución:
El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio 3 u.
abscisas. de eje el y7212
rectas las por limitada ==+= xxxy ,,
27
2
27
2u
4653
477
41
2=−=
+=
+= ∫ xxdxxA
2u4
652
5·2
13
2
5·229
==
+
=A
∫−−
3
3
29 dxx
encia)(circunfer3999 22222222 =+→=+→−=→−= yxyxxyxy
222 u293·
21··
21
π=π=π= rÁrea
5
Ejercicio nº 3.-
Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental. Solución:
La ecuación de la recta que pasa por P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2 es: y − 3 = −2 · (x − 2) → y = −2x + 7
Ejercicio nº 4.-
Halla el área limitada por la recta x + y = 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental. Solución:
Geométricamente, se trata de un trapecio:
Geométricamente, se trata de un triángulo:
( ) [ ] 22/7
02
27
0
227
0u
44977
22·72 =+−=
+−=+−= ∫ xxxxdxxA
( ) ( ) ( ) 24
2
24
2u4812210820
25·5 =−=−−−=
−=−= ∫
xxdxxA
2u42
2·)13(=
+=A
2u4
492
7·27
==A
6
Ejercicio nº 5.-
Calcula gráficamente la siguiente integral:
Solución:
Se trata de un rectángulo de base 2u y altura 1u más media circunferencia de radio 1u.
Teorema fundamental del cálculo
Ejercicio nº 6.-
función en [0, 2π]. Solución:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
F' (x) = sen2x F'(x) = 0 → sen2x = 0 → x = 0, x = π y x = 2π.
Ejercicio nº 7.-
función en [0, 2π]. Solución:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
F' (x) = sen2x F'(x) = 0 → sen2x = 0 → x = 0, x = π y x = 2π.
∫−
−+
1
1
211 dxx
encia)(Circunfer11 2222 =+→−= yxxy
22 u2
21··211·2 π
+=π+=Área
( ) ∫= esta de extremos puntos posibles los Obtén función la Dada 2 .dttsenxF
( ) ∫= esta de extremos puntos posibles los Obtén función la Dada 2 .dttsenxF
7
Ejercicio nº 8.-
Solución:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
F' (x) = sen2x + logx
Ejercicio nº 9.-
Dada la función:
Calcula F' (x). Solución:
Por el teorema fundamental del cálculo:
F' (x) = f (x) = 1 + cos2x
Ejercicio nº 10.-
Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:
Solución:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
F' (x) = lnx − 2 F' (x) = 0 → lnx − 2 = 0 → x = e2 En x = e2 tiene un mínimo (pues F'' (e2) >0).
Regla de Barrow
Ejercicio nº 11.-
Halla el área limitada por la parábola y = x2 − 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6. Solución:
( ) ( ) ( )21
Calcula ' , siendo log ·x
F x F x sen t t dt= +∫
( ) ( )∫ +=x
dttcosxF0
21
( ) ( )∫ −=x
dt2tlnxF1
8
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).
G(6) = 72 − 126 + 36 = −18
Ejercicio nº 12.-
Halla el área limitada por las parábolas y = 6x − x2, y = x2 − 2x. Solución:
Los puntos de intersección de ambas curvas son:
6x − x2 = x2 − 2x → x = 0, x = 4 → (0, 0) y (4, 8)
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema)
G(0) = 0
Ejercicio nº 13.-
Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.
( ) ( ) xxxdxxxxG 62
73
6723
2 +−=+−= ∫
( )321214
382 =+−=G
( ) ( )3
56321826 −=−−=−GG
2u3
563
56=−=A
( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∫ +−
=+−=−−−= 23
222 4328226 xxdxxxdxxxxxxG
( )36464
31284 =+
−=G
( ) ( ) 2u36404 =−= GGA
9
Solución:
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).
G(3) = 36 · ln3 G(12) = 36 · ln12 G(12) − G(3) = 36 · (ln12 − ln3) = 36 · ln4 A = 36 · ln4 u2
Ejercicio nº 14.-
Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x + 6. Solución:
Los puntos de intersección son:
x2 = x + 6 → P (3, 9), Q (−2, 4)
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema)
( ) ∫ == xlndxx
xG ·3636
( ) ( )∫ −+=−+=3
62
632
2 xxxdxxxxG
( )322
38102 −
=+−=−G
( )2
27918293 =−+=G
( ) ( ) AGG ==+=−− 2u6
125322
22723
10
Ejercicio nº 15.-
Solución:
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).
Ejercicio nº 16.-
Halla el área limitada por las curvas y = ex, y = e−x y la recta x = 1. Solución:
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).
G(0) = 2
.2 y1 rectas las y2 función la por limitado recinto del área el Calcula === xxxy
( ) ∫ == 3
34·2 xdxxxG
( )341 =G
( ) 2·382 =G
( ) ( ) ( ) 2u122·34
342
3812 −=−=−GG
( ) ( )∫ −− +=−= xxxx eedxeexG
( )e
ee
eG 1112 +
=+=
( ) ( )e
eee
eGG 12210122 +−
=−+
=−
11
Ejercicio nº 17.-
Halla el área limitada por la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el eje de abscisas. Solución:
La curva corta al eje de abscisas en los puntos:
x3 − 6x2 + 8x = 0 → x = 0, x = 2, x = 4
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).
G(0) = 0 G(2) = 4 −16 + 16 = 4 G(4) = 64 − 128 + 64 = 0 G(2) − G(0) = 4 G(4) − G(2) = −4 A = 4 + |−4| = 8 u2
Ejercicio nº 18.-
Calcula el área limitada por la parábola y = x2 − 4x y la recta y = 3x − 6. Solución:
Los puntos de intersección son:
x2 − 4x = 3x − 6 → x = 1, x = 6 → (1, −3) y (6, 12)
22
u12e
eeA +−=
( ) ( )∫ +−=+−= 234
23 424
86 xxxdxxxxxG
12
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema)
G(6) = −72 + 126 − 36 = 18
Ejercicio nº 19.-
Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x − 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas. Solución:
La curva corta al eje de abscisas en:
(x − 1) · (x + 2) = 0 → x = 1 y x = −2
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).
( ) ( ) ( )∫ ∫ −+−
=−+−=+−−= xxxdxxxdxxxxxG 62
73
6746323
22
( )6176
27
311 −
=−+−
=G
( ) ( )6
1256
171816 =+=−GG
2u6
125=A
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −+=−+=+−= xxxdxxxdxxxxG 223
22123
2
( )236
29
3273 =++
−=−G
( )3
1042382 =++
−=−G
( )672
21
311 −
=−+=G
13
Ejercicio nº 20.-
Calcula el área limitada por las curvas y = x2 e y = |x − 2|. Solución:
(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema). y = x2
Puntos de intersección:
x2 = x − 2 → x2 − x + 2 = 0 No tiene solución
Área = 4,5 u2
( )3242
382 =−+=G
( ) ( )611
23
31032 =−=−−− GG
( ) ( )29
627
310
6721 −
=−
=−−
=−−GG
( ) ( )611
67
3212 =+=−GG
2u649
611
29
611
=+−
+=A
≥−
<+−=−=
2si2
2si22
xx
xxxy
−=
==−+→+−=
2
1022 22
x
xxxxx
( ) ( )∫ −+−=−+−=3
22
232
2 xxxdxxxxG
( )67
312
211 =−+−=G
( )3
1038422 −=+−−=−G
( ) ( ) 5,46
273
106721 ==+=−−GG
14
Cálculo de áreas y volúmenes
Ejercicio nº 21.-
Calcula el volumen engendrado por la curva y2 = 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X. Solución:
Ejercicio nº 22.-
Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo. Solución:
Calculemos el área bajo la recta y = a entre x = 0 y x = b.
Ejercicio nº 23.-
Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm. Solución:
entre x = −3 y x = 3.
32
0
22
0u16
2·88· π=
π=π= ∫
xdxxV
[ ] baxadxaA bb·· 0
0=== ∫
2 2
2 2El volumen buscado es el engendrado por la curva 1 al girar alrededor del eje 3 4x y X+ =
[ ] 33
3
33
3
22 cm641313·16
27·16
91·4· π=−+−π=
−π=
−π=
−−∫
xxdxxV
15
Ejercicio nº 24.-
eje X. Solución:
Ejercicio nº 25.-
Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio. Solución:
La recta que pasa por (0, b) y (a, B) es:
Así:
Ejercicio nº 26.-
Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm.
del alrededor girar al 14
elipse la por engendrado cuerpo del volumen el Halla 22
=+ yx
32
0
32
0
22
2
2
u38
1216·2
12·2
41·2
41· π=
π=
−π=
−π=
−π= ∫∫−
xxdxxdxxV
bxa
bBy +−
=
abBababBbxxabBdxbx
abBA
aa·
2··
2·
2 0
2
0
+=+
−=
+
−=
+
−= ∫
16
Solución:
entre x = 0 y x = 6.
Ejercicio nº 27.-
Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x = 0, x = 5, y = 0, x − 5y + 10 = 0 al girar alrededor del eje X. Solución:
Ejercicio nº 28.-
Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm. Solución:
Se trata de hallar el área comprendida entre la recta que pasa por los puntos (0, 3) y (4, 5) y las rectas x = 0 y x = 4.
1El volumen buscado es el engendrado por la recta 3 al girar alrededor del eje 3
y x X= +
36
0
26
0cm243
2313
31· π=
+π=
+π= ∫ xxdxxV
( ) ( ) ( ) =−π
=
+π=+
π=
+
π= ∫∫ 00013753·753
10·25
10255
10·5
0
35
0
25
0
2 xdxxdxxV
3u3
95753752 π
=π=
17
Ejercicio nº 29.-
Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m. Solución:
x = 0 y x = 10.
Ejercicio nº 30.-
Solución:
( ) ( ) .321 es 5,4 y 3,0 por pasa que recta La += xy
24
0
24
0cm163
413
21
=
+=
+= ∫ xxdxxA
Xxy eje del alrededor girar al 21 recta la por engendrado el es buscado volumen El =
310
0
310
0
2
m3
250120001
12·
21· π=π=
π=
π= ∫
xdxxV
.Xyx eje del alrededor girar al 149
elipse la por engendrado volumen el Calcula22
=+
( ) 33
0
33
0
23
3
2
u1613827
·89
1429
1·4· π=−π=
−π=
−π=
−π= ∫∫−
xxdxxdxxV
18
Ejercicio nº 31.-
Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5 m es 7,5 m2. Solución:
Se trata de hallar el área limitada por la recta que pasa por los puntos (0, 5) y (3, 0) y los ejes de coordenadas.
Ejercicio nº 32.-
Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm. Solución:
El volumen buscado es el engendrado por la curva y2 = 4 − x2 al girar alrededor del eje X entre x = −2 y x = 2.
Ejercicio nº 33.-
Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y2 = 2x, x = 1, x = 2. Solución:
( ) ( ) .535 es 03, y 50, por pasa que recta La +
−= xy
23
0
23
0m5,7
21515
2155
655
35
==+−
=
+
−=
+
−= ∫ xxdxxA
( ) 32
2
32
2
2 cm3
32332·
388
388·
34·4· π
=π=
−+−π=
−π=−π=
−−∫
xxdxxV
[ ] 321
22
1u3··2· π=π=π= ∫ xdxxV
19
Ejercicio nº 34.-
Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral. Solución:
Así:
Ejercicio nº 35.-
Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm. Solución:
El volumen buscado es el engendrado por la recta y = 3 al girar alrededor del eje X entre x = 0 y x = 5.
. ecuación por tiene recta La xbay =
2·
·2·
2·
2
0
2
0
babba
baxdxx
baA
bb
==
== ∫
[ ] 350
5
0
2 cm459·3 π=π=π= ∫ xdxV