8/18/2019 Integrale Triple 2
1/2
Integrale Triple 2
January 30, 2016
Calculati V
dxdydz
unde V =
(x ,y,z) ∈ R3|x2
a2 + y
2
b2 + z
2
c2 ≤ 1,
x2
a2 + y
2
b2
2≤ x2
a2 − y2
b2
.
Rezolvare:
Obs! Din cate vad, ei considera a,b,c > 0,
deci, asa le voi lua si eu.z2
c2 ≤ 1− x2
a2 − y2
b2 ⇒ −
c2 − x2c2
a2 − y2c2
b2 ≤ z ≤
c2 − x2c2
a2 − y2c2
b2
Atunci:
V
dxdydz =
D
c2−x
2c2
a2 −
y2c2
b2
−
c2−x
2c2
a2 −
y2c2
b2
dz
dxdy =
= 2
D
c2 − x
2c2
a2 − y
2c2
b2 dxdy = 2c
D
1− x
2
a2 − y
2
b2 dxdy,
unde D =
(x, y) ∈ R2|1− x2
a2 − y2
b2 ≥ 0,
x2
a2 + y
2
b2
2≤ x2
a2 − y2
b2
.
Acum, folosim coordonate polare: x = aR cos ϕ
si y = bR sin ϕ cu
R ≥ 0 si ϕ ∈ [0, 2π].
Din prima conditie obtinem R ∈ [0, 1], iar a 2-a se
scrie astfel:R4 ≤ R2 cos2 ϕ− R2 sin2 ϕ ⇔ R2 ≤ cos(2ϕ).
De aici, deducem, in primul rand,
ca cos(2ϕ) ≥ 0, de unde rezulta ca
ϕ ∈ D1,unde D1 = 0, π4 ∪
3π4
, 5π4 ∪
7π4
, 2π.Apoi, din R ∈ [0, 1]
si R2 ≤ cos(2ϕ) rezulta ca R
∈
0,
cos(2ϕ)
.
Tinem cont ca |J | = abR si
scriem:
V
dxdydz = 2abc
D1
√
cos(2ϕ) 0
R
1−R2dR
dϕ.
1
