1
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 1
Introducción a lamodelización con
Bond Graphs
Cátedra de Dinámica de los Sistemas Físicos
Depto. de Electrónica, FCEIA, UNR
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 2
• Los Bond Graphs (BG) son un lenguaje– gráfico
– acausal
– con simbología• cuantificadora del flujo instantáneo de potencia
• unificada
• independiente de alinealidades
para la modelización de Sistemas Físicos
Características Generales
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 3
•Los BG proveen una metodología– sistemática
– estructurada, orientada a objetos
– unificada
de modelado, análisis y simulación deSistemas Físicos Dinámicos (ΣΦ∆)
| DB / EE-ES / PO / SD
ΣΦR → ΣΦI → DE → DECO →| ANALISIS: Estabilidad | Propiedades Estructurales
Características Generales
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• ΣΦR (Sistema Físico Real) → ΣΦI (Idealizado):– Análisis de {Sistema + Problema}
– Identificación de fenómenos dominantes
– Hipótesis simplificatorias
etapas
• ΣΦI → DE → DECO → ••••: completamente
algoritmizables
Modelado con BG
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• Sistema: disposición delimitada de entidades interactuantes
• Sistema: {estructura + componentes}
• Sistema Físico: interacción consiste entransformación y/o transporte de materia y/oenergía.
• Sistema Físico Dinámico: almacenamiento demateria y/o energía.
Modelado con BG
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DOS EJEMPLOS SIMPLES
Modelado con BG
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Circuito Electrico Serie
Estructura:Serie Conserva Potencia
→ Vínculo Estructural 1Componentes:
Fuente: Genera Energía S (Source) Fuente
Resistor: Disipa Energía R (Resistor) Disipador
Bobina: Conserva Energía (magnética) I (Inertia) Almacenador
Capacitor: Conserva Energía (eléctrica) C (Capacitor) Almacenador
Modelado con BG
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Modelado con BG
Una extraña pero ilustrativa topología
Enlace de Potencia
+−
+−
5
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Elementos estructurales y componentesModelado con BG
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Conexión SerieVínculo Estructural Tipo 1
Bond Graph del Circuito Serie
Modelado con BG
6
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Conexión ParaleloVínculo Estructural Tipo 0
Circuito Electrico Paralelo
Modelado con BG
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 12
Bond Graph del Circuito Paralelo
Modelado con BG
7
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EXTENSIÓN A SISTEMAS MECÁNICOS
ANALOGÍA
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 14
• Energía Cinética ∼ Energía Campo Magnético ↔ I
• Energía Potencial ∼ Energía Campo Eléctrico ↔ C
• ⇒ Energía Cinética → I
• ⇒ Energía Potencial → C
Analogía
Analogía Electricidad - Mecánica
8
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ANALOGIA ANALOGIA EN
ENERGETICA SEÑAL
Tensión∼ Fuerza (Esfuerzo generalizado)
Corriente ∼ Velocidad (Flujo generalizado)
Flujo Magn. ∼ Impulso (Impulso generalizado)
Carga ∼ Desplaz./Def. (Desplaz. Generalizado)
⇒
Implicancias de la Analogía elegida
Analogía
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 16
Analogía - Generalización de VariablesVariables de Potencia Variables de EnergíaDominio físico
Esfuerzoe
S.I. Flujof
S.I. Momentop
S.I. Desplaz.q
S.I.
Traslación fuerza F N velocidad vsm impulso p sN ⋅ desplaz. x m
Rotación torque τ mN ⋅ velocidadangular
ω
s
radmomentoangular
L sNm ⋅ ángulo ϕ rad
Fluidodinámica presión P
2m
Ncaudal Q
s
m3impulso
del fluidoΓ
2m
sN ⋅volumen V
3m
Electromagnetismo tensión U V corriente I A flujomagnético
φ sV ⋅ cargaeléctrica
C
Química potencialquímico
µ
mol
Jflujomolar
υ
s
molnúmerode moles
n mol
Termodinámica tempera-turaabsoluta
TK
oflujo deentropía
S�
Ko
Wentropía S
Ko
J
9
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ElementosFenómenoenergético
Clase
Símbolo Nombre Potencia
Energía
RelaciónConstitutiva
Ejemplostécnicos
Fuente deesfuerzo
ftePentregada
⋅= )( e(t)independiente
Gravedad ,Fuente def.e.m.
Generaciónde Energía
Fuentes
Fuente deflujo
)(tefPentregada ⋅= f(t)independiente
Fuente decorrienteBombahidráulica
Disipaciónde energía
Disipa-dores
Resistor )(tefPdisipada ⋅= φ (e,f) = 0
Rozamien-to, Electro-resistor
Capacitor
∫+=q
q
almac dqqe0
)(0. εε0),(
0
=
=−
qedt
dqf
φ
ElasticidaddematerialesTanque deagua
Conserva-ción deEnergía
Almace-nadores
Mon
opu
erta
s
Inercia
∫+=p
p
almacdppe
0
)(0. εε
0),(
0
=
=−
pfdt
dpe
φ
Inductan-ciaInerciamecánica
Analogía - Generalización de Componentes
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ElementosFenómenoenergético
Clase
Símbolo Nombre PotenciaEnergía
RelaciónConstitutiva
Ejemplostécnicos
Acopladores Enlace feP atransferid ⋅=Cardan(ideal)Líneaeléctrica
Transfor-mador
021
=−= PPPabsorbida
0
0
21
12
=⋅−=⋅−
fmf
emePiñón-cremalleraPistón-cilindro
Acopla-dores
Conver-sores
Girador 021
=−= PPPabsorbida
0
0
21
12
=⋅−=⋅−
emf
emfGiróscopoConvers.electro-mecánica
Vínculo
uno0
1
=±= ∑=
jPP
n
jabsorbida
0
...
1
1
=±
===
∑=
n
jj
n
e
fffVelocidadcomúnCircuitoserie
Seriemecánico
Conserva-ción dePotencia
Víncu-los
Mul
tipu
erta
s
Vínculo
cero0
1
=±= ∑=
jPP
n
jabsorbida
0
...
1
1
=±
===
∑=
n
jj
n
f
eee
Circuitoparalelo
Analogía - Generalización de Componentes
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 19
Causalización yGeneración de Modelos
Matemáticos yComputacionales a partir
de Bond Graphs.
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 20
Causalidad
0),,( =cbaf Relación NO Causal
),( cbga = →
→
Relación Causal
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 21
Causalidad
Ejemplo:
Resistencia Lineal:
•Opción 1 fRe ⋅=
•Opción 2R
ef =
0=⋅− fRe
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 22
Causalidad
En General:
•Opción 1
•Opción 2
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 23
Causalidad
Codificación:
•Opción 1
•Opción 2
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 24
Causalidad
Fuentes: (causalidad necesaria)
Fuente de Esfuerzo:
Fuente de Flujo:
e(t) independiente
f(t) independiente
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 25
Causalidad
Componentes estructurales: (causalidad restringida)
Transformador:
Girador:
21
12
fmf
eme
⋅=⋅=
12
21
fmf
eme
⋅=⋅=
12
21
emf
emf
⋅=⋅=
12
21
fme
fme
⋅=⋅=
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 26
Causalidad
Componentes estructurales: (causalidad restringida)
Vínculo 1:
Vínculo 0:
∑≠
±=
==
jkkj
jnj
ee
ffff ,...1
∑≠
±=
==
jkkj
jnj
ff
eeee ,...1
14
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 27
CausalidadAlmacenadores: (causalidad preferencial)
Capacitor:
Inercia:
∫+=
=t
t
dfqtq
qee
0
)()(
)(
0 ττ )(
)(
eqq
tqdt
df
=
=
∫+=
=t
t
deptp
pff
0
)()(
)(
0 ττ )(
)(
fpp
tpdt
de
=
=
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 28
CausalidadCausalidad
Disipadores: (causalidad arbitraria)
)( fee = )(eff =
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 29
Causalidad
Procedimientode Asignaciónde Causalidad
(1)
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 30
Causalidad
Procedimientode Asignaciónde Causalidad
(2)
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 31
Causalidad
Procedimientode Asignaciónde Causalidad
(3)
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 32
Causalidad
Ejemplo 1:
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 33
Causalidad
Ejemplo 2:
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 34
Causalidad
Ejemplo 3:
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Notación
Gráfica
Tipo
Causal
Diagrama deEnlaces
Diagrama de Bloques
Matemática
e(t)independiente
Necesario
f(t)independiente
21
12
fmf
eme
⋅=⋅=
12
21
fρf
eρe
⋅=⋅=
12
21
emf
emf
⋅=⋅=
Restringido
12
21
fρe
fρe
⋅=⋅=
ρ = 1/m
ρ = 1/m
Causalidad- Resumen
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 36
Causalidad- ResumenN otac ión
G rá f icaT ip oC ausa l
D iag ram a d eE n laces
D iag ram a d e B lo qu esM atem á tica
∑≠
±=
==
jkkj
jnj
ee
ffff ,...1R estr ing id o
∑≠
±=
==
jkkj
jnj
ff
eeee ,...1
∫+=
=t
t
dfqtq
qee
0
)()(
)(
0 ττ
Integ ra l
∫+=
=t
tdeptp
pff
0
)()(
)(
0 ττ
)(
)(
eqq
tqdt
df
=
=
Pre
fere
nci
al
D e riv ativ a
)(
)(
fpp
tpdt
de
=
=
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 37
Notación
Gráfica
Tipo
Causal
Diagrama deEnlaces
Diagrama de Bloques
Matemática
)( fee =Arbitrario
)(eff =
Causalidad- Resumen
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 38
Causalidad- Resumen
Procedimiento de Asignación de Causalidad
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 39
Ecuaciones de Estado•Paso 1: Causalizar el BG.
•Paso 3: Identificar las Variables de Estado.
Tomamos como Variables de Estado las variables deenergía de los Almacenadores que tengan causalidadIntegral.
•Paso 4: Leer las ecuaciones siguiendo la causalidaddel BG y utilizando las leyes de los componentes.
•Paso 2: Enumerar los Enlaces.
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 40
Ecuaciones de EstadoEjemplo 1:
Paso 1:
Paso 2:
21
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 41
Ecuaciones de EstadoEjemplo 1:
Paso 3: Variables de Estado: p2 , p8
Utilizamos los números de los enlaces como subíndicesde las correspondientes variables de potencia y energía.
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 42
Ecuaciones de EstadoEjemplo 1:
Paso 4:
82822
5343122
)()(
)(
pJ
kp
L
RtUfkfRtUp
fkfRtUeeeep
m
a
aamaa
maa
−−=−−=
−−=−−==
�
�
82828
7476588
)()(
)(
pJ
btTp
L
kfbtTfkp
fbtTfkeeeep
ca
mcm
cm
⋅−−=⋅−−=
=⋅−−=−−==
�
�
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 43
Ecuaciones de Estado
Ejemplo 2:
Variables de Estado: p2 , p10
p6 no es variable de estado porque la inerciacorrespondiente tiene causalidad derivativa.
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 44
Ecuaciones de Estado
Ejemplo 2:
Debido a la causalidad derivativa, encontramos unprimer inconveniente al intentar leer e6.
107651181191010 )( fbeeekfbekeeep ctct −−−=−=−==�
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 45
Ecuaciones de Estado
Método:
Causalidadderivativa
1 - Continuar leyendo, utilizando como variables auxiliares lasderivadas de las variables de energía de los almacenadores concausalidad derivativa.
1010
2
6210 ... pJ
bp
J
bkpkp
L
kkp
c
c
c
tt
a
mt −−−== ��
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 46
2 - Leer del BG las variables de energía de los almacenadorescon causalidad derivativa en función de las restantes variablesde energía y entradas.
10109866 pJ
kJfkJfkJfJfJp
c
ttt
⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=
Ecuaciones de Estado
Causalidadderivativa
24
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 47
Ecuaciones de Estado
Causalidad derivativa
3 - Derivar miembro a miembro las expresiones obtenidas en elpunto anterior
106 pJ
kJp
c
t��
⋅=
4 - Reemplazar las derivadas de las variables de energía en lasecuaciones obtenidas en el primer punto
1010
2
10210 pJ
bp
J
bkp
J
kJkp
L
kkp
c
c
c
t
c
tt
a
mt −−⋅
−= ��
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 48
Ecuaciones de Estado
Causalidad derivativa
5 - Despejar la expresión de las derivadas de las variables deestado.
+−
⋅+= 10
2
2210 pJ
bbkp
L
kk
kJJ
Jp
c
ct
a
mt
tc
c�
Ejercicio: Obtener la otra Ecuación de Estado
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 49
Ecuaciones de EstadoEjemplo 3:
Debido a la presencia de disipadores acoplados, paracalcular f4 necesitamos f4 .
631
41
2
16321
13
641
61
565433
11)()(
11)(
1
111
pL
qCR
fR
RtU
Rp
Leee
Rq
pL
eR
pLR
effffq
+−−=+−−=
+=+=+===
�
�
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 50
Ecuaciones de Estado
Disipadores Acoplados
Método:
1 -Detectar los disipadores acoplados y utilizar las salidas de losmismos como variables auxiliares al leer las ecuaciones.
65654331
pL
fffffq +=+===�
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 51
Ecuaciones de Estado
Disipadores Acoplados
2 -Leer del BG las variables auxiliares en función de lasvariables de estado, entradas y de ellas mismas.
31
211
3211
411
55
11)(
1)(
11q
CRe
RtU
Reee
Re
RR
ef −−=−−===
62
5265242222 )( pL
RfRffRfRfRe +=+=⋅=⋅=
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 52
Ecuaciones de EstadoDisipadores Acoplados
3 -Despejar del sistema anterior las variables auxiliares enfunción de las variables de estado y de entrada.
−−
+= 3
16
1
2
121
15
1)(
1q
CRp
LR
RtU
RRR
Rf
4 -Reemplazar las variables auxiliares en las ecuacionesobtenidas en el primer punto.
631
61
2
121
13
11)(
1p
Lq
CRp
LR
RtU
RRR
Rq +
−−
+=�
Ejercicio: Obtener la otra Ecuación de Estado
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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 53
Comentarios•Separación de los problemas de modelado y de obtención delmodelo computacional.
•El pasaje del modelo BG al modelo “matemático” escompletamente algoritmizable.
•Ventajas al trabajar con un paradigma acausal.
•Algunas herramientas de Software para dicho pasaje: Dymola,20Sim, Power Dynamo.
•Problemas de “Singularidades Estructurales”.
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA - UNR 54
Bibliografía Recomendada
• Cellier, F.E. 1991. Continuous System Modeling. Springer-Verlag, New York.
• Karnopp, D.C., D.L. Margolis, and R.C. Rosenberg. 1990. System Dynamics: AUnified Approach, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York.
• Karnopp, D. and R. Rosenberg. 1983. Introduction to Physical System Dynamics.N.Y: McGraw-Hill.
• Cellier, F., H. Elmqvist, and M. Otter. 1995. “Modeling from Physical Principles”,The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp.99-108.
• Borutzky, W. 1999. “Relations between bond graph based and object-orientedphysical systems modeling”. Proceedings ICBGM’99 /Simul. Series 31:1
• Junco, S. 1986 “Los Diagramas de Enlaces y un Eficaz Método Estructurado deModelado Analítico de Sistemas Dinámicos”. Anales del 2do. CongresoLatinoamericano de Control Automático.
(Disponible en la cátedra)