INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS
Tema 1
Indice
Introducción al Control DiscretoEcuaciones en DiferenciaTransformada en ZPropiedades de la Transformada en ZTransformada Inversa de ZFunción de Transferencia DiscretaRepresentación en Espacio de EstadoMatriz de Transferencia Discreta
Introducción al Control Discreto
Un sistema en tiempo discreto viene caracterizado por magnitudes que varían solo en instantes específicos de tiempo.Estas magnitudes o señales en tiempo discreto toman valores
r k( )r t r t r tn( ), ( ), , ( )1 2 K
k
r k( )
0 t1 t2 tn
Además de los sistemas inherentemente discretos, se incluyen también en esta categoría los sistemas continuos muestreados con formada por
Introducción al Control Discreto
r T r T r nT( ), ( ), , ( )2 K
k
r k( )
0t
r t( )
0
MUESTREO
T
r k( )
Introducción al Control Discreto
Señal continua y cuantificadacontinua
Señal discreta y cuantificadadiscreta
Introducción al Control Discreto
Sistema de Control Discreto
Un sistema de control discreto es aquel que incluye un computador digital en el bucle de control para realizar un procesamiento de señal.
Introducción al Control Discreto
La salida de la planta es continua y es realimentada a través de un transductor que convierte la señal de salida en señal eléctrica.
La señal de error continuo es convertida a señal digital a través del circuito de muestreo (periodo T) y reconstrucción S&H(Sample and Hold) y del convertidor A/D, proceso llamado codificación
t
e t( )
0 T
Sample and Hold
t
e tsh( )
0 TEfecto del S&H
Introducción al Control Discreto
El convertidor A/D (encoder) convierte la señal continua en señal digital binaria, mediante un proceso de cuantificación
Introducción al Control Discreto
El computador digital procesa la secuencia de valores de entrada digital a través de un algoritmo y produce una salida digital , según establezca la ley de control
Esta señal de control habrá de ser transformada de nuevo a señal continua como entrada a la planta (acción de filtrado de la planta).
COMPUTADOREc. Diferenciase kbin( ) u kbin( )
Introducción al Control Discreto
El convertidor D/A y el circuito de reconstrucción (Hold) convierten la secuencia de valores en una señal continua, proceso llamado decodificación
Introducción al Control Discreto
El circuito de reconstruccion (Hold) retiene el valor de salida del convertidor D/A justo un periodo T.
El uso del control discreto presenta ventajas e inconvenientes frente al control analógico.Hay diversos campos de aplicación del control digital.
t
u kd ( )
0 T
HOLD
t
u t( )
0 T
Efecto del Hold
Introducción al Control Discreto
Introducción al Control Discreto
Introducción al Control Discreto
Introducción al Control Discreto
Ecuaciones en Diferencia
La descripción de los sistemas en tiempo discreto viene definida por ecuaciones en diferencia, que relacionan la señal de salida con la señal de entrada .
y k( )u k( )
u k( ) y k( )SISTEMA
{ }u kT u k u u T u T u kT( ) ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ),= = 0 2 K K
{ }y kT y k y y T y T y kT( ) ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ),= = 0 2 K K
Ecuaciones en Diferencia
Ecuación en diferencias del sistema, en general
Definiendo entonces y quedaría
Los sistemas en tiempo discreto lineales e invariantes en el tiempo (LTI), vendrán definidos por
f y k y k y k n u k u k u k n( ( ), ( ), ..., ( ), ( ), ( ), ..., ( ))− − − − =1 1 0
k n l− = k n l= +f y l n y l n y l u l n u l n u l( ( ), ( ), ..., ( ), ( ), ( ), ..., ( ))+ + − + + − =1 1 0
a y k n a y k a y k b u k n b u kn n⋅ + + + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + + + ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( )K K1 0 01
y y y n( ), ( ), , ( )0 1 1K −con C.I.
Ecuaciones en Diferencia
El algoritmo de control del computador digital podráser expresado como una ecuación en diferencias
Ejemplo: controlador PI discreto
e k( ) u k( )ComputadorDigital
u kT k e kT k x kTp i( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅
x kT x k T T e kT( ) (( ) ) ( )= − + ⋅1
Ecuaciones en Diferencia
A partir de la ecuación en diferencias, se pueden obtener los valores de salida dadas las condiciones iniciales y la entrada por simple recurrencia
Se obtiene una expresión para calcular a partir de y las condiciones iniciales.
Este método no permite obtener el termino gral. y(k)
y k na
b u k n b u k a y k n a y kn
n n( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))+ = ⋅ ⋅ + + + ⋅ − ⋅ + − − − ⋅−
110 1 0K K
y n y n( ), ( ), ...+1y y n( ), ..., ( )0 1−
Transformada en Z
La transformada en Z de una señal , con para
La transformada en Z juega el mismo papel que la transformada de Laplace, pudiéndose describir una señal discreta por su transformada .
x k( ) x k( ) = 0k < 0
{ }X z Z x k x k z z Ck
k( ) ( ) ( )= = ⋅ ∈ /−
=
∞
∑0
X z x x z x z( ) ( ) ( ) ( )= + ⋅ + ⋅ +− −0 1 21 2 K
x k( ) X z( )
Transformada en Z
Transformada en Z de Señales
k
u k( )
0
1
X z z zk
k
k
k( ) ( )= ⋅ =−
=
∞−
=
∞
∑ ∑10
1
0
X z zz
k
k( ) ( )= =
−−
=
∞
−∑ 1
01
11
Propiedades de Transformada en Z
Linealidad
Desplazamiento a la derecha
Desplazamiento a la izquierda
{ }Z a x k b y k a X z b Y z⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( )
{ }Z x k n z X zn( ) ( )− = ⋅−
{ }Z x k n z X z x l zn l
l
n
( ) ( ) ( )+ = ⋅ − ⋅⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−
=
−
∑0
1
Propiedades de Transformada en Z
Amortiguación
Multiplicación por k
Teorema del Valor Final
{ }Z c x k Xzc
k ⋅ = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟( ) c e aT= −
{ }Z k x k zdX z
dz⋅ = − ⋅( )
( )
lim x k lim z X zk z→∞ →
−= − ⋅( ) (( ) ( ))1
11
Propiedades de Transformada en Z
Transformada Inversa de Z
La transformada Z-1 permite obtener una señal a partir de . Se procede a la descomposición en fracciones simples de , más que de .
Se calculan los coeficientes de la descomposición en fracc. simples mediante el método de los residuos
X zz( )
X z( )x k( )
X z( )
kij
( ) ( )
( ) ( )...
)(
2
2
1
1
2
22
2
22
2
21
1
12
1
12
1
11
++
+++
++
+
++
+++
++
=
rr
rr
pzk
pzk
pzk
pzk
pzk
pzk
zzX
K
K
Transformada Inversa de Z
1. Para raíces simples:
siendo l el número de raíces simples.2. Para raíces repetidas, de orden de multiplicidad rj,
kX z
zz p
z pk kk
= ⋅ += −
( )( ) k l= 1, ,K
pk
pk
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅
−= −
−
−→
j
j
j
k
rkjr
jr
pzj
kj pzzzX
dzd
jrk )()(lim
)!(1
k l= 1, ,K j r= 1, ,K
Transformada Inversa de Z
Una vez determinados los coeficientes , se calculará utilizando las relaciones de la tabla de transformadas Z, aplicadas a las fracciones simples obtenidas, tal que
para raíces reales simples
para raíces reales múltiples
kij
x k X z( ) ( )−
zz c
c u kk
−→ ⋅ ( )
Tczz c
kT c u kk
( )( )
−→ ⋅ ⋅2
Transformada Inversa de Z
Existe un método más sencillo para obtener a partir de , mediante división directa, pues
grado grado
Procediendo a la división directa, se obtendrá
X z( )
X zN zD z
( )( )( )
=
N z( ) ≤ D z( )
X z c c z c z c z( ) = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +− − −0 1
12
23
3 K
{ }x k c c c( ) , , ,= 0 1 2 K
Función de Transferencia Discreta
La función de transferencia de un sistema en tiempo discreto LTI es la relación entre la transformada en Z de la salida y la transformada en Z de la entrada con condiciones iniciales nulas,
G zY zR z
( )( )( )
=
R z( ) Y z( )G z( )
Función de Transferencia Discreta
Para un sistema LTI característico
tomando la transformada en Z, y considerando condiciones iniciales nulas
con m < n, en general.
a y k n a y k n a y k a y kn n⋅ + + ⋅ + − + + ⋅ + + ⋅ =−( ) ( ) ( ) ( )1 1 01 1K
= ⋅ + + + ⋅ + + ⋅b r k m b r k b r km ( ) ( ) ( )K 1 01
G zY zR z
b z b z ba z a z a
mm
nn( )
( )( )
= =⋅ + + ⋅ +⋅ + + ⋅ +
K
K1 0
1 0
Función de Transferencia Discreta
También es frecuente expresar en términos de
A partir de y la entrada es posible obtener la salida según
y aplicar para obtener la sucesión de valores
G z( )z −1
G zb z b z b z
a a z a zm
m n n n
nn n( ) =
⋅ + + ⋅ + ⋅+ + ⋅ + ⋅
− − −
− −
K
K1
10
11
0
G z( ) R z( )Y z( )
Y z G z R z( ) ( ) ( )= ⋅
Z −1 y k( )
Representación en Espacio de Estado
Los métodos basados en el espacio de estado permiten el análisis y diseño de sistemas de control discreto que presentan múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO).
El estado de un sistema es la menor colección de variables llamadas var. de estadotal que conocidas en junto con la entrada para determinan unívocamente la salida para .
0tkT =
{ })(,),(),()( 21 kxkxkxkx nK=
kT ≥
0tkT ≥
t0
Representación en Espacio de Estado
La dinámica del sistema multivariable (MIMO) serádescrita a través de un sistema de ecuaciones en diferencia de primer orden en la forma
siendo f y g las funciones de transición y lectura del sistema.Los diferentes componentes del vector de estado forman el espacio de estado.
))(),(()1( kukxfkx =+
))(),(()( kukxgky =
Representación en Espacio de Estado
En el estudio que se va a realizar a continuación se va a restringir al caso de sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI), en cuyo caso las funciones de transición y lectura toman la forma
siendo G, H, C y D las matrices de representación en espacio de estado.Existen diferentes representaciones en espacio de estado según sea la elección del vector de estado.
)()()1( kuHkxGkx ⋅+⋅=+
)()()( kuDkxCky ⋅+⋅=
Representación en Espacio de Estado
Considerando el sistema LTI descrito por la ecuación en diferencias
con función de transferencia
se van a ver dos formas de representacion en espacio de estado.
)()()()1()( 01 kubnkubkyankyanky nn ⋅++⋅=⋅++−+⋅++ KK
nnn
nnn
azazbzbzb
zUzYzG
++⋅+++⋅+⋅
== −
−
K
K1
1
110
)()()(
Representación en Espacio de Estado
1. Forma Canónica de Control
{
)(
1
00
)(
)()(
01000010
)1(
)1()1(
2
1
121
2
1
ku
kx
kxkx
aaaakx
kxkx
H
n
G
nnnn
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
−−
MM
444444 3444444 21L
MMMM
L
L
M
[ ]{
)(
)(
)()(
)( 02
1
0110 kub
kx
kxkx
babbabkyD
n
C
nn ⋅+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅−−=M444 3444 21
L
Representación en Espacio de Estado
2. Forma Canónica de Observación
)(
)(
)()(
100
001000
)1(
)1()1(
011
011
0
2
1
1
12
1
ku
bab
babbab
kx
kxkx
a
aa
kx
kxkx
H
nn
nn
n
G
n
n
n
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
−−−
4434421
MM
4444 34444 21L
MMMM
L
L
M
[ ]{
)(
)(
)()(
100)( 02
1
kub
kx
kxkx
kyD
n
C
⋅+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅=M4434421
L
Matriz de Transferencia Discreta
Al igual que la función de transferencia describía la dinámica de un sistema SISO en tiempo discreto, es posible también definir la llamada matriz de transferencia para un sistema MIMO.Partiendo de un sistema con r entradas y m salidas, representado en espacio de estado por
aplicando la Z se obtiene
)()()()()()1(
kuDkxCkykuHkxGkx
⋅+⋅=⋅+⋅=+
Matriz de Transferencia Discreta
)()()()()()0()(
zUDzXCzYzUHzXGxzzXIz
⋅+⋅=⋅+⋅=⋅−⋅⋅
( ) )()( 1 zUHGIzzX ⋅⋅−⋅= −
( )[ ] )()( 1 zUDHGIzCzY ⋅+⋅−⋅⋅= −
reorganizando
por tanto, la matriz de transferencia vendrá dada por
( ) DHGIzCzG +⋅−⋅⋅= −1)(
Recommended