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ALGEBRA AL ALCANCE DE TODOS
Esta Guía orienta el uso del contenido del Algebra, dirigida a docentes y estudiantes, interesados en desarrollar cursos de matemáticas básicas de I semestre en el Aula virtual.
Se comenzará con la siguiente situación:
En un espectáculo de circo, un mago realiza el siguiente truco a un espectador…
Piensa un número y no me lo diga. Ahora a ese número que tiene en su mente súmele 15 y tampoco me lo diga. Ese resultado multiplíquelo por 3, no me diga cuanto le dio. Ahora al resultado réstale 9, tampoco lo diga. Lo que le dio, divídalo entre 3 y a ese resultado réstele 8. Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que numero pensaste. El espectador dice 30. Instantáneamente el mago afirma con mucha seguridad: El número que pensaste fue 26
En esta unidad trataremos de resolver situaciones problemáticas como la anterior por medio de ecuaciones lineales con una incógnita.
1. Bienvenida
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Expertos temáticos
Acosta Jiménez, Juan Carlos
Asesor pedagógico
Haydar, Olga
Coordinador Tecnológico
Noriega, José
Diseñador gráfico y Desarrollador de
contenido
Martinez, Carlos
Diseñador instruccional
Fong, Rafael
Coordinador general
Buendía, Felipe
Producción
Programa de permanencia académica, convenio 260 Dirección de Fomento de la Educación SuperiorMinisterio de Educación NacionalBogotá - Colombia
Centro de Educación Virtual.Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco. Cartagena - Colombia (2014)
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Se sugiere aquí en la primera parte la temática de expresiones algebraicas y se resalta la identificación de términos semejantes, luego se realizan una gran variedad de ejemplos. En la segunda parte , se introduce el concepto de ecuación en sus distintas tipificaciones procediendo en la resolución de problemas de aplicación.
Finalmente se sugieren actividades de retroalimentación y de profundización
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Objetivos
Objetivos
Objetivo General
Desarrollar habilidades en el estudiante que le permitan plantear, analizar y resolver situaciones de la vida cotidiana a través de las expresiones algebraicas y la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas.
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Objetivos
Objetivos
Objetivos específicos
1. Expresar en lenguaje algebraico, frases que describen relaciones entre datos conocidos y desconocidos.
2. Aplicar propiedades de operaciones definidas en los números reales en procedimientos de resolución de ecuaciones.
3. Traducir en ecuaciones lineales y cuadráticas situaciones que involucran problemas cotidianos.
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Glosario
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MonomioExpresión algebraica que consta de un solo término
BinomioExpresión algebraica que consta de dos términos
TrinomioExpresión algebraica que consta de tres términos
PolinomioExpresión algebraica que consta de cuatro o más términos
Ecuación cuadráticaEcuación de segundo grado, es decir, la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación.
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Glosario
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IncógnitaValor desconocido
VariableEs un símbolo que representa un elemento o cosa no especificada de un conjunto dado.
EcuaciónIgualdad que involucra variables o incógnitas.
Ecuación linealEcuación de primer orden que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
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Referencias
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Aponte, Gladys; Pagan, Estela y Pons, Francisca. Fundamentos de Matemáticas Básicas. 2ª edición. México: Addison Wesley Longman de México, 1998.
Coronado, Jorge. Matemática Básica para Ingenieros. Bucaramanga: UDI: Universitaria de Investigación y Desarrollo, 2005.
Leithold, Louis. Matemáticas Previas al Cálculo. 3ª edición. Mexico: Oxford University Press, 2006.
Stewart, James. Pre cálculo. 3ª edición. Thomson Zill, Dennis y Dewar, Jacqueline. Algebra y Trigonometría. 2a edición. Bogotá: McGraw-
Hill Interamericana, 2000
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Sitios sugeridos
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Matemáticas para bachillerato y carrera de cienciashttp://matematicasbachiller.com/Espacio que brinda materiales de libre uso, didácticos y actualizados. Matemáticohttp://matematico.es/Espacio de libre uso que brinda muchos ejemplos de operaciones básicas de matemáticas con animaciones
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o 1. Operaciones con expresiones algebraicas
1.1. Actividad de conocimientos previos: Expresiones algebraicas1.2. Clasificación de las expresiones algebraicas1.3. Reducción de términos semejantes
o 2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.1. Para qué sirven las ecuaciones?2.2. Ecuaciones lineales con una variable2.3. Actividad de retroalimentación2.4. Ecuaciones cuadráticas2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas2.6. Actividad de profundizaciónPara continuar haz clic en la flecha o en los botones de abajo.
Contenido temático
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Operaciones con expresiones algebraicas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
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De acuerdo a las siguientes imágenes, ¿Cuáles consideras que conllevan expresiones algebraicas?
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1. Operaciones con expresiones algebraicas
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1.1. Actividad de cononcimientos previos: Expresiones algebraicas
a) b)
c) d)
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RetroalimentaciónUna expresión algebraica en una o más variables, es una combinación cualquiera de estas letras y de números, mediante una cantidad finita de operaciones tales como adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación o radicación.Como por ejemplos: 1) 2) 3) +4 Los elementos que conforman una termino algebraico están dados así:
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1. Operaciones con expresiones algebraicas1.1. Actividad de cononcimientos previos: Expresiones algebraicas
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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Según el número de términos que tenga una expresión algebraica, podemos tener: monomios, binomios, trinomios y polinomios.
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1. Operaciones con expresiones algebraicas1.2. Clasificación de las expresiones algebraicas
Expresión algebraic
aDefinición Ejemplos
Monomio Tiene un solo término
Binomio Posee dos términos
TrinomioConformado por 3
términos
PolinomioDe 4 términos en
adelante
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Dos términos se dicen que son semejantes si son iguales o difieren sólo en su parte numérica, por ejemplo:
o Los términos y son semejanteso Los términos y son semejanteso Los términos y no son semejanteso Los términos y no son semejantes
Para reducir términos semejantes es necesario sumar o restar las partes numéricas de tales términos, veamos algunos ejemplos:
Simplifique la expresión Solución: Todos los términos de esta expresión son semejantes, ya que todos tienen a y se diferencian en su parte numérica. Luego,
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1. Operaciones con expresiones algebraicas1.3. Reducción de términos semejantes
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Resolver la siguiente adición Solución: Al eliminar paréntesis y agrupar términos semejantes tenemos
Hallar la solución de la siguiente sustracción ( Solución: Al suprimir paréntesis y reduciendo términos semejantes obtenemos (
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1. Operaciones con expresiones algebraicas1.3. Reducción de términos semejantes
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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Encuentre el siguiente producto Solución: Utilizando la propiedad distributiva y simplificando términos tenemos
Elimine los símbolos de agrupación y simplifique Solución: Teniendo en cuenta la ley de los signos tenemos:
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1. Operaciones con expresiones algebraicas1.3. Reducción de términos semejantes
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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En general, en la vida cotidiana usamos siempre ecuaciones cuando un resultado dependa del comportamiento de una variable o de varias de ellas. Todas las ecuaciones son importantes pues nos ayudan a resolver situaciones del contorno. Una ecuación es una igualdad que involucra valores desconocidos llamados variables o incógnitas; pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución.
Entre los tipos más frecuentes están:
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
Operaciones con expresiones algebraicas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
Ecuaciones algebraicas: Pueden ser lineales, cuadráticas o polinómicas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
Ecuaciones trascendentales: Aparecen funciones trigonométricas, exponenciales o
logarítmicas
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Ecuaciones diferenciales: Incluyen derivadas de funciones y generalmente modelan comportamientos físicos y químicos.
En nuestro estudio trataremos ecuaciones lineales y cuadráticas con sus respectivas aplicaciones.
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.1. Para qué sirven las ecuaciones?
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También son conocidas como de primer orden y tienen la forma donde representa la variable de interés. Para resolverlas usualmente despejamos la incógnita teniendo en cuenta la transposición de términos:
o “Si una cantidad está sumando del lado izquierdo de la igualdad, pasa al lado derecho a restar y viceversa”
o “Si una cantidad está multiplicando del lado izquierdo de la igualdad, pasa al lado derecho a dividir y viceversa”
Veamos lo siguientes ejemplos:
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.2. Ecuaciones lineales con una variable
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones lineales
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 1)
Operaciones con expresiones algebraicas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 2)
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 3)
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 4)
Operaciones con expresiones algebraicas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 5)
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.2. Ecuaciones lineales con una variable
Ejemplo 6)
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.3. Actividad de retroalimentación
Nota: Crear la opción para que el estudiante pueda escribir en el espacio en blanco la respuesta que el considere
1. Llena los espacios vacíos con el número que hace verdadera las siguientes igualdades: respuesta: 24
respuesta: 90 c) respuesta: 11
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.3. Actividad de retroalimentación
2. Si representan dígitos diferentes, Responde falso (F) o verdadero (V) si la operación planteada puede dar el resultado indicado.
a) respuesta: Verdadero, los dígitos podrían ser: respuesta: Verdadero, los dígitos podrían ser: c) respuesta: Falso, para obtener la multiplicación más grande, se
debería tomar a donde el producto máximo sería de sería de
Para D.,Gráfico: Con un intento fallido del estudiante se le muestra la respuesta correcta y debe salir un comunicado de retroalimentación que diga “Hay que analizar bien la situación”
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.4. Ecuaciones cuadráticas
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Son llamadas ecuaciones de segundo grado y tienen la forma ax2+bx+c=0 con a≠0.
Las soluciones son llamadas raíces o ceros y se encuentran utilizando la siguiente fórmula:
Revisemos y analicemos los siguientes ejemplos:
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.4. Ecuaciones cuadráticas
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Ejemplos: Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a)
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.4. Ecuaciones cuadráticas
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Ejemplos: Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
b)
Operaciones con expresiones algebraicas
Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.4. Ecuaciones cuadráticas
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Ejemplos: Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
c)
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.4. Ecuaciones cuadráticas
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Ejemplos: Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
d)
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
Para resolver problemas de aplicación se recomiendan tener en cuenta:
o Lectura comprensiva del enunciadoo Traducción al lenguaje simbólicoo Expresión y resolución de la ecuación correspondienteo Verificación del resultado obtenido
El siguiente cuadro muestra algunos ejemplos de cómo escribir enunciados en lenguaje simbólico:
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Enunciado Lenguaje simbólicoLa suma de un número y su
consecutivoEl siguiente de un numero par
La suma de tres números consecutivos
La mitad de un númeroEl triple de una cantidad
La tercera parte de la diferencia de dos cantidades
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
Ejemplos: Resolver los siguientes problemas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
Ejemplos: Resolver los siguientes problemas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.5. Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.6. Actividad de profundización
Realiza los siguientes ejercicios, entrégaselos a tu docente y espera la respectiva retroalimentación:
1) Teniendo en cuenta las siguientes expresiones algebraicas, simplifica y realiza las operaciones indicadas:
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a) (
b) (
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.6. Actividad de profundización
2) Encuentra las soluciones de la ecuación cuadrática
3) En una clase de matemáticas para administración hay 52 estudiantes. Si el número de chicos es 7 más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la clase.
4) Hallar el valor de que satisface la ecuación
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.6. Actividad de profundización
En los siguientes ejercicios, se hace referencia a algunos términos de negocios y a su relación con una compañía manufacturera:. o Costo fijo: Es la suma de todos los costos que son independientes del nivel de
producción (rentas, seguros) y debe pagarse independientemente de que la fábrica produzca o no.
o Costo variable: Es la suma de todos los costos dependientes del nivel de producción (mano de obra, materiales)
o Costo total: Es la suma del costo fijo y variable.o Ingreso total: Es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción
(precio por unidad x número de unidades vendidas).o Utilidad: Se define como la diferencia entre los ingresos y los costos totales.
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2. Ecuaciones lineales y cuadráticas2.6. Actividad de profundización
a) A un fabricante le cuesta $4.000.000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de $120.000 por articulo producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en $180.000, determine cuantos artículos debe producir vender para obtener una ganancia de $2.000.000 b) Cierta compañía diseña un producto para el cual el costo variable por unidad es de $12.000 y el costo fijo de $160.000.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $20.000. determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de $120.000.000 c) Una compañía de refinación de maíz produce gluten para alimento de ganado, con un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120.000 al mes y el alimento se vende a $134 la tonelada. ¿Cuántas toneladas deben venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560.000?
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