INVERSA DE UNA
FUNCIÓNUNIDAD I
FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESA.PR.11.3.3
J. Pomales noviembre 2013Naguabo PR Curso: Funciones y Modelos
INTRODUCCIÓN
Como hemos definido en clases pasadas, una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.
Pensando en esto, hoy:
Verificaremos si una función es 1-1
Hallaremos su inversa
Utilizaremos la composición de funciones para determinar que dos funciones son inversas.
Utilizar el GeoGebra para trazar y construir la inversa de funciones.
FUNCIÓN 1-1
FUNCIÓN INYECTIVA
¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…
...EN UNA TABLA DE VALORES?
x y
2 4
1 2
0 1
-1 ½
-2 ¼
Aquí es solamente observando el dominio. Será una función si los
valores del dominio no se repiten.No olvides Dominio: x Recorrido: y
Es función
x y
2 -3
1 -1
0 1
-1 3
-2 5Es
función
x y
2 1
1 2
1 3
0 4
-1 5
x y
3 -6
1 2
0 3
-1 2
-3 -6Es
funciónNo es
funciónRepite el dominio
1
1
¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…
...EN LOS CONJUNTOS?
Será una función si para cada elemento del dominio existe un solo
elemento en el recorrido.No olvides Dominio: x Recorrido: y
Es funciónPara cada elemento del
dominio hay un elemento en el recorrido.
No es funciónFíjate que un elemento del dominio tiene dos
valores en el recorrido.
0
-22
13
1-2
f (x)0
2
10
-13
2
g (x)
A B C
¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…
Si al pasar la línea vertical sobre las gráficas, esta sólo las interseca en un solo punto a la vez podremos
concluir que son funciones.Las gráficas A y C son funciones.
...EN UNA GRÁFICA?
Es función
Es función
No es función
Línea vertical toca en más de 1 punto
CONTESTA LO SIGUIENTE
Estas gráficas, ¿serán funciones?
Sí, pues cumplen con el análisis de la línea vertical.
¿Recuerdas cómo se llaman cada una de ellas?
Cuadrática(Parábola)
Valor absoluto
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN 1-1?
Es la característica de aquellas funciones que poseen un solo valor del dominio para un solo valor del
recorrido. Una sola x para una sola y. De ahí proviene el nombre 1-1.
ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA
Si tenemos una tabla de valores de una función podremos decir que es una función inyectiva o 1-1, si no existen
valores repetidos en el recorrido.Pero si lo que tenemos es la gráfica de
una función podremos hacer un análisis con la línea horizontal.
PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL
Haremos un proceso similar a la línea vertical pero ahora será con la
línea horizontal. Si toda línea horizontal que se dibuje sobre la
gráfica la interseca en no más de un punto, decimos que es función
inyectiva ó 1-1.
PARA SABER SI ES UNA FUNCIÓN 1-1
Es función 1-1No es función 1-1
FUNCIÓN INVERSA
f -1(x)
Esto NO REPRESENTA
un exponente
ANALIZA LO SIGUIENTE
Si las siguientes tablas corresponden a dos funciones 1-1
(inyectivas), ¿qué puedes decir con relación a sus dominios y
recorridos?
x y
2 4
1 2
0 1
-1 ½
-2 ¼
x y
4 2
2 1
1 0
½ -1
¼ -2
Los elementos del dominio y recorrido
están intercambiados.
Es decir, la Función B es la inversa de
la A.
Función A Función B
2
1
-1
-2
0
2
1
-1
-2
0
4
2
½
¼
1
4
2
½
¼
1
2
1
-1
-2
0
4
2
½
¼
1
¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE LA FUNCIÓN 1-1?
Si una función es 1-1 entonces tiene función inversa. La función inversa consiste en intercambiar entre sí el conjunto del dominio y el recorrido.
Si una función tiene inversa se puede escribir así:
f -1 ó f -1(x) se lee “inversa de f ”
Halla la inversa de la función, si existe.
1) f(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 9)}
Ejemplos:
2) g(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 2)}
f -1(x) = {(2,1), (4, 2), (9, 3)}
g(x) no es 1-1, no tiene g-1
CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA
Como hemos visto anteriormente, conseguir la función inversa en
funciones definidas por su conjunto de dominio y recorrido es muy fácil. Pero ¿qué hacemos para calcular f -1
si la función está definida por una ecuación?
EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES
Método para calcular la inversa de una función:1.Sustituye f(x) por y.2.Intercambia entre ellas todas las x y las y.3.Despeja para y.4.Sustituye y por f -1(x).
CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA
Para comprobar si la función inversa es correcta, solo tienes que hacer la
composición de ambas funciones[ f (x) y f -1(x) ] en cualquier orden.
Si todo está correcto debes obtener la función identidad:
f o f -1 = x y f -1 o f = x
EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES
Si dibujamos ambas gráficas podrías observar que f -1 tiene una gráfica que es el reflejo de la función original, a lo largo de la
recta y = x, con el mismo dominio.
LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
La gráfica de f -1 es una reflexión de f con respecto a la recta y = x. f -1 es la imagen espejo de f
ESTA IMAGEN FUE CREADA CON GEOGEBRA
En este caso f (x) inicia en (2, 0). Por lo tanto su f -1
tiene que iniciar en ese par ordenado pero invertido (0, 2).
EJEMPLOS
Halla la inversa de cada función y comprueba:
12)( )1 xxf
211
21
)(
21
12
12
x
x
xf
y
yx
yx
xy
x
x
ffffx
11
1)(2
)( o
21
11
Comprobación
Como la comprobación es la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f (x)
EJEMPLOS
Halla la inversa de cada función y comprueba:
132)( )2
xxxf
x
ffff
xx
x
x
xx
xxx
xxx
xx
xx
xx
xx
xxxx
51
15
2)(3)(
11
15
15
12232
13332
1)1(2
132
1)1(3
132
132132
)( o
Comprobación
Existe la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f2
31
23
132
1)(32
)(
3)2(
32
32
32)1(
xx
xx
yy
xx
xf
y
xxy
xyxy
yxxy
yyx
x
y
Recuerda en f (x), x ≠ 1
; si x ≠ 2
EJEMPLOS
Halla la inversa de cada función y comprueba:
1)( )3 xxf
x
x
x
x
ffff
2
2
2
11
11
1)1(
)( o
Comprobación
El resultado fue la identidad por lo tanto, la inversa calculada está correcta.
1)(
1
1
)1(
1
1
21
2
2
22
xxf
yx
yx
yx
yx
xy
Recuerda en f (x) , x ≥ 1
REFERENCIAS
PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas
PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
MATEMÁTICA INTEGRADA 3. 2005. Rubenstein, Craine, Butts. McDougal Littell
GEOGEBRA. http://www.geogebra.org/cms/
VÍDEOS
FINDING THE INVERSE OF A FUNCTION.http://es.youtube.com/watch?v=Ec5YYVxyq44
TRAZAR LA FUNCIÓN INVERSA.http://www.youtube.com/watch?v=ZqoB6GLofc0&feature=channel_page
CONSTRUIR LA FUNCIÓN INVERSA.http://www.youtube.com/watch?v=69RnyrST_VM&feature=channel_page
Ahora a prácticar
REPASODe lo discutido en clase
Dudas o Preguntas