o PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
IDEAS CLAVE• ideas intuitivas
• términos indefi-nidos
LA RECTITUD
Se dice que una personaes "recta" cuando es justa,firme e intachable. Además,su conducta bajo ningunacircunstancia es reprocha-ble.
• ¿Qué otros términos delas matemáticas conocesque tengan un significadoen la vida real?
En geometría existen términos tales como punto, recta y plano, qi.sponden a ideas intuitivas, porque no se pueden definir.
r
Las rectas se nombran con letras minúsculas: r, 5, t...
Dos puntos, A y B, determinan la recta AB, denotada AB.
Los puntos de un conjunto son colineales si hay una recta que los:a todos, y son coplanarios si hay un plano que los éontiene a todcs
Dos rect~s, r y 5, pueden tener un punto común o ninguno.
Dos rectas que se cortan en un punto son secantes.•••Dos rectas que están en el mismo plano y no se cortan en algún p..:paralelas. .
IR'
I )
ACTIVIDAD RESUELTA
• Dada la recta r y el punto A. dibuja una recta 5, que pase por t _paralela a T,
Solución: Pará resolverlo, se sitúan las escuadras como se muestre ::-figuras 3.27 y 3.28 v ee traza la recta 5.
r
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
INTERPRETA
1. EJERCITACIÓN. Traza en el plano 13de la figura3.29, los elementos indicados.
al La recta AR
bl Un punto B colineal con A y R
e] Una recta secante a AR que pase por B.
d] Un punto e que no pertenezca a AR.
el Una recta paralela a AR que pase por C.
tl Un punto S coplanario a los puntos A. B, ey R.
gl Una recta que pase por los puntos e y s.
•A
Figura 3.27 .
2. f.!$¡14ii.i4;i¡¡iW.M Observa la figura 3.30. l.ueqcbra los elementos que se indican. Com :=:resultados con un compañero. ¿Son ún :-respuestas?
al Dos rectas distintas .
bl Tres puntos colineales .
el Tres puntos coplanarios .
d] Tres puntos no colineales .
el Un plano .
• ¿Qué soluciones nuevas obtuviste lUE;comparar tus resultados? ¿Hubieras :::encontrar todas las soluciones tú so e
pQ
R
M •
Figura 3 -
PROYECTO APRENDER JUNTOS © :::::
_IIO:C~-:.Indica si cada afirmación es verda-o falsa [Fl. de acuerdo con la figura
p
s
o
Figura 3.31
: .nto S pertenece a la recta TO.: untos P, R Y S son coplanarios.
_ cuntos S, O Y P son colineales.
- ~r¡to O es común a las rectasTO.
- ~'lto P pertenece a la recta Ti).
-o. Relaciona cada enunciado con elcorrespond iente.
- ~ punto se pueden trazar infinitas rec-
=_s rectas distintas se cortan, entonces--ersección es un único punto.
::s planos diferentes se cortan, entonces--ersección es una recta.
p
QFigura 3.32
Figura 3.33
ARGUMENTA5. COMUNICACiÓN. Dos puntos determinan una recta.
al ¿Cuántas rectas se pueden trazar con unsolo punto? .
bl ¿Cómo son las rectas que pasan por esepunto? .
PROPONE6. EJERCITACIÓN. Dibuja dos rectas paralelas a la
recta r que pasen por los puntos A y B [fi-gura 3.35].
Figura 3.35
7. Lee y resuelve.
En geometría, las ideas de punto, recta y planosurgen de la simplificación de los hechos de lanaturaleza.
• La huella que deja la punta de un lápiz sobreel papel da la idea de punto.
• Un trozo de cuerda completamente tensadada la idea de recta.
• Una s1llerficie absolutamente lisa y planada la idea de plano.
Escribe ~lano, recta o punto al frente de cadaafirmacion, según convenga.
IDEA INTUITIVA
al La superficie de una mesa
b] La punta de una espada
e) La cabeza de un aLfiLer
d] EL fiLo de una hoja
e) La superficie de una puerta
f) Un vidrio
g\ Un grano c:\earena
~ SEMIRRECTAS y SEGMENTOS
,, P, P,\ \ \· ,· " "· ,
· , ,A · B A
, B A, ,· , , , -, , ,
,r,, q,'.: q; :,, ,
Figura 3.37 Figura 3.38 Fie:; -=
IDEAS CLAVE
• parte de la recta• recta perpendi-
cular
Una semirrecta es cada una de las dos regiones en que un punto O de ur erecta r separa esta recta.Un segmento es la parte de la recta delimitada por dos puntos, que son losextremos del segmento.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa p...-su punto medio.
Para trazar la n'tediatriz de un segmento AB utilizando regla y compás s::sigue este procedimiento:TEN EN CUENTA
005 rectas son perpen-diculares si forman cua-tro ángulos rectos [figura3.361
1.° Se abre el~om-pás con un radiomayor que la mi-tad del segmento.Con centro en Ase dibuja un arco[figura 3.37].
90'" 90'0
90'0 90'0
Figura 3.36
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
INTERPRETA
1. RAZONAMIENTO. Ten en cuenta las claves para co-lorear en la figura 3.41, los elementos quese indican.
p
M R
Figura 3.40
al OMde_ bl OS de
cl OP de dl MN de-el Nade_ n NR de
2. RAZONAMIENTO. El punto P de la recta AB de lafigura 3.41 determina en ella dos conjuntosde puntos. ¿Cuáles son?
A P B---++----i+~----1+~, Figura 3.41
2.° Con el mismo ra-dio, se dibuja unarco con centroen B de modoque corte al ante-rior en dos pun-tos, P y Q [figura3.381.
3° Se dibuja la rec-ta que contiene lospuntos P y Q Y e:perpendicular a A~Esta recta, que cc>ta al segmento ::su punto medio, =_la .rnediatriz [fig ...-3.391.
m
3. EJERCITACIÓN. Traza los elementos indicados
4. RAZONAMIENTO. La distancia del punto A al p_-es 2,5 cm. Si M es el punto medio de. :mento AB, ¿cuánto mide el segment -
.Q
al La recta AR
el La semirrecta RQ
el La semirrecta QT
.p
•T
bl El segment -d] El segmentc -fl El segmen e
t:
Fig -=
~~RCITACIÓN. Lee la información. Luego, realizaque se indica.
...,una recta, dos puntos determinan un seg-ento y cuatro semirrectas.
Observa la figura 3.43.
M+
N+Figura 3.43
_os puntos M y N determinan en 7:
• MN• MN
• NM• 'La semirrecta opuesta a MN
• La semirrecta opuesta a NM
ombra todas las semirrectas y segmentos quecnservas en figura 3.44.
A B e
Figura 3.44
egmentos: .
Sernirrectas: .
o <ZONAMIENTO. ¿Cuántos segmentos diferentes se....tilizaron para construir la figura 3.45?
A
E B~----~~--~-+--------~
" o eFigura 3.45
:3••• ENTA
¿Existe alguna diferencia entrese-nirrecta y segmento? Si es así, escríbela.::::scute tu solución con el resto de la clase.
'=~ENDER JUNTOS.
• Cómo te sentiste al exponer tus ideas? ¿Fue"ácil o difícil que los demás entendieran tusconclusiones?
8. COMUNICACiÓN. Traza las mediatrices de los seg-mentos AC y BD de la figura 6.46 y di quéobservas .
A
o B
e Figura 3.46
9. COMUNICACiÓN. ¿Qué relación encuentras entre lasmediatrices de las diagonales del cuadradode la figura 3.47?
Figura 3.47
10. RAZONAMIENTO. Traza dos segmentos perpendicu-• lares. Construye la mediatriz de cada uno.
¿Qué relación existe entre las dos mediatri-ces trazadas? Plantea una conjetura.
PROPONE
11. EJERCITACIÓN. Traza en tu cuaderno las mediatri-ces de dos segmentos paralelos de 4 cm y6 cm de longitud.
12. COMUNICACiÓN. Dibuja en tu cuaderno un segmentovertical de 7 cm de longitud.
al Traza su mediatriz utilizando regla y compás.
bl Comprueba que el punto de corte de la me-diatriz con el segmento es su punto medio.
13. Completa la tabla 3.5; para. . .ello, elabora una figura que te permita con-tar el número de semirrectas y segmentosque determinan algunos puntos en una recta.
RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS.
NÚMERO DE NÚMERO DE NÚMERO DE
PUNTOS SEGMENTOS SEMIRRECTAS
1-- O 22 1 43.•.. 3 645
678910
Tabla 3.5