ELEMENTOSREVISTA DÉ MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
Año I Setiembre - Octubre 1963 Número 2
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Planteo y ejecución de una reforma.
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Semblanzas: Florencio D. Jaime
ÜTemas denuestro tiempo:- La revolución en la matemá
tica. (continuación)por Marshall H. STONE
\Aspectos de la reforma en Estados Unidos
Panorama:; ' • i
Transformaciones geométricas planasEl número real definido por sucesiones
Orientación1
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Problemas del relojProblemas1 por José BAB1NI
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MANUAL DE LA UNESCO PARA LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
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Traducción de Alberto J. FesquetRevista de Matemática para la Enseñanza Media
Publicación bimestral PRINCIPALES PROPOSITOS DE ESTE LIBRO
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Ofrecer a los profesores de ciencias, una fuente de información y numerosas ideas para sus experimentos.
Permitir la preparación de equipos y aparatos elementales para la enseñanza de las ciencias, listos para ser utilizados.
Editores: José Banfi - Alfredo B. Besio - Juan J. Rodríguez - Andrés Valeiras
Sede: Fernández Blanco 2045
Dirección Postal: Casilla de Correo 12, Sucursal 11
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EDITORIAL SUDAMERICANA S. A.i Buenos AiresAlsina 500iSuscripción anual (6 números). Argentina: 250 $ m/n.
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500S 500Necesidad de la reforma iLa revolución en la matemática (continuación)
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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIAi
Año I Setiembre - Octubre 1963 Número 2
Planteo y Ejecución de una ReformaLa intención no es asustar, sino despertar el entusiasmo para
el establecimento de un mejor programa de enseñanza escolar.Informe del Seminario de Royaiunont (1959)I
Convengamos en que, si la tarca educativa no ha de caer en la rutina, si su fundamento ha de ser algo más que mero empirismo, todo acto docente debe ser precedido por la debida reflexión crítica de sus finalidades, contenidos y procedimientos. Por eso, en pleno desarrollo el proceso renovador que se opera en el campo de la enseñanza de la matemática, es oportuno abordar las cuestiones que su planteo y ejecución implican.
Ante todo, entendemos que cualquier reforma debe estar objetiva e incuestionablemente fundada. No la concebimos originada por un afán iconoclasta o por la simple imitación. La tarea educativa es un acto totalmente consciente y responsable. Corresponde, pues, sopesar en primer término las razones científicas, sociales, pedagógicas y de cualquier otra índole que inducen ai cambio. En pocas palabras, debe poder responderse afirmativa y rotundamente a la pregunta inicial del planteo: ¿Es necesaria la reforma?
Con esta convicción, se puede entrar a dilucidar su carácter, su extensión y sus propósitos, definiéndolos concisa y nítidamente. Es la mejor manera de evitar excesos y desviaciones. Se requieren respuestas satisfactorias y precisas para los siguientes interrogantes: ¿Se
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trata de una reforma del contenido o de la didáctica? ¿Qué alcance debe tener? ¿Qué objetivos de carácter formativo, informativo o ins- frumental se propone conseguir la nueva orientación?
Surge luego el problema de la ubicación y la distribución de la reforma en el esquema general de la enseñanza, atendiendo a las finalidades de los distintos ciclos y sus especialidades, a las características y capacidades de los alumnos, a las exigencias de la comunidad en que la enseñanza se desarrolla. Se requieren también, sin duda, respuestas satisfactorias y precisas para preguntas tales como: ¿La- reforma debe abarcar sólo a la escuela media? ¿Las distintas especialidades —técnica, comercial, bachillerato, etc.— se ajustarán a un plan único? ¿Satisface o se adapta a las necesidades del medio en que la escuela actúa o el alumno actuará? ¿Están los alumnos en condiciones de afrontarla?
Aclarado debidamente lo que antecede, se adopta como hipótesis de trabajo esa reforma, perfectamente ubicada y delimitada, y se entra al terreno de la acción. Allí se irán sucediendo los problemas cuyas soluciones no pueden eludirse: determinación del nuevo contenido de la asignatura en programas coherentes y del nuevo enfoque didáctico en normas de orientación claras; adaptación de los docentes encargados de ejecutarla y de los planes de formación de nuevos educadores; ejecución de una adecuada experimentación didáctica, confección de los textos y del material de enseñanza indispensables, imprescindible estudio de la financiación de la obra proyectada.
Tales son las cuestiones más importantes que se deben estudiar y resolver antes de que se pueda generalizar una reforma.
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Florencio D. Jaime
¡El año 1926 señala un cambio radical
en la enseñanza de la matemática en nuestra escuela media; la audaz reforma de entonces perdura todavía en sus ideas principales a través de los programas actuales. El nombre de su autor —el Profesor Florencio D. Jaime— está así innegablemente ligado a las cuatro últimas décadas de la labor docente en ese campo.
Inspirado en las corrientes de la época, vigentes sobre todo en la escuela italiana, Jaime introdujo con esta reforma el concepto primitivo de conjunto y la relación de coordinabilidad, para abstraer la idea de número natural, desarrollando luego la aritmética con la generalización progresiva de esa idea según el método genético. En cuanto a la geometría, organizó su enseñanza siguiendo las líneas del formalismo hil- bertiano, en boga a la sazón a través de los conocidos textos de Enriques y Amaldi. Aún los críticos más severos destacaron los méritos científicos del plan, el cuidado en la fundamentación y ordenación de los distintos temas, la introducción de un lenguaje matemático correcto y la claridad de su orientación.
Al desarrollarlo, Jaime puso de manifiesto su preocupación por la perfección orgánica de la asignatura y un ponderado esfuerzo por evitar su destrucción al trasmitirla a los educandos. Que esta inquietud no es circunstancial sino permanente a través de su larga actuación, lo muestran sus recordados cursos de
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LOS EDITORES
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En cualquier grado de la enseñanza, el educador se destaca por la importancia y significado de su tarea, pero sobresale mucho más en la educación secundaria por la índole y complejidad do la edad a que se dirige. El profesor debe tener conocimiento de su misión y no creer que su tarea se reduce simplemente a impartir un saber determinado. Además de — amplia cultura general continuamente renovada y de una inten- sane^pec^a^^a<^. <lue no ca*f>a' °n atrasos, el profesor tiene que reflejar una firme conciencia de los fines pedagógicos, unida a mía experiencia real y efectiva de los métodos que aplicará para la realización de esos objetivos.
fundamentación de la geometría, sus trabajos sobre teoría de conjuntos y aritmética de Peano, sus clases más recientes sobre álgebra de Boole y lógica matemática.
El Profesor Jaime egresó como tal en 1915 del viejo Instituto de Valentín Gómez y desde entonces sigue siendo ejemplo de tenaz consagración a la actividad docente, que siempre ha prestigiado con indiscutida dedicación. En ese estableci-
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una
JUAN MANTOVANI “Nuestra absurda educación secundaria” Mundo Argentino; 8 de agosto de 1956.
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JEMAS DE NUESTRO TIEMPOmiento desempeñó durante muchos años la cátedra de metodología y práctica de la enseñanza. Desde ella, —y desde su cargo de Inspector de Enseñanza Secundaria— preconizó fervorosamente la aplicación del método heurístico; ya en las instrucciones para los programas de 1926 señalaba: "Los enunciados de los postulados o de los teoremas
la sensación de lo que debe ser toda lección de matemática. Los que fueron sus discípulos lo recuerdan como magnífico modelo de profesor ante los alumnos secundarios.
En su larga carrera docente, el Profesor Jaime llegó a ocupar los más altos cargos. Hoy, ya septuagenario —nació en Paraná el 21 de octubre de 1892— continúa desempeñándose gallardamente, con el mismo aplomo y la responsabilidad de siempre, en la cátedra honoraria de Fundamentación de la Matemática en el Instituto Superior del Profesorado, con la satisfacción de ser útil y brindar ejemplo de laboriosidad.
laLa Revolución
Matemáticaen(0
no se impondrán dogmáticamente. Se llegará a ellos por observación de casos concretos, en los que podrán hacerse comprobaciones experimentales o intuitivas". Y se preocupó también por la preparación minuciosa de cada clase, de modo desarrollo ordenado diera al adolescente
MAKSHAIiL H. STONE (Universidad de Chicago - EE. UU.)I
Igualmente notable ha sido la extensa formación de fructíferos contactos entre el álgebra y las otras ramas de la matemática. Hoy nos es fácil comprender por qué en estas últimas, desempeña el álgebra un papel tan importante; pero la historia muestra que los matemáticos han sido muy lentos para advertir esta relación y para aprender a explotarla
éxito. En efecto, cada parte de la matemática comprende, como es obvio, el comportamiento de objetos que le interesan con respecto a operaciones apropiadas —es decir que los sistemas matemáticos que se estudiarán están, en última instancia, ligados a ciertos sistemas algebraicos. Corrientemente, cuando estos sistemas son seleccionados con acierto y analizados según principios algebraicos generales, pueden conseguirse importantes descubrimientos e información. En geometría, por ejemplo, los griegos reconocían la necesidad de estudiar las propiedades de ciertas opéra
lo muestra la lectura
ALGEBRA MODERNAque suVeamos primero el álgebra. Por álge
bra, o sistema algebraico, entendemos hoy un sistema matemático que comprende ciertos elementos abstractos y ciertas operaciones finitas determinadas aplicables a ellos. En esencia, una operación es identificable con una relación funcional; es finita si es una relación entre un número finito de elementos. Así, los distintos sistemas numéricos estudiados en la matemática elemental —los de los números enteros, los núme-
racionales, los números reales y los números complejos— son álgebras con dos operaciones básicas: adición y multiplicación. Nuestra moderna concepción del álgebra surgió del estudio de estos sistemas particulares por un proceso de abstracción y generalización que ha alcanzado ahora sus límites naturales; si procedemos a considerar relaciones que
operaciones finitas, nos encontra- tratando con sistemas matemáticos
en el sentido más general del vocablo y perderemos contacto con los caracteres guías sugeridos por los ejemplos de los que hemos partido. Durante el siglo XX, se ha avanzado técnicamente mucho en el estudio de los sistemas algebraicos, tanto que, aún al nivel de la instrucción elemental, necesitamos revisar y reorientar la presentación de nuestro conocimiento algebraico. Es casi innecesario decir que los cursos de álgebra postelementales son ya muy diferentes de
dictaban hace 50, o aún 25
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EXIGENCIAS DE LA PEDAGOGIALos matemáticos del siglo pasado, que
con tanto éxito lograron perfeccionar la geometría, no tuvieron
coninfluencia predominante los métodos experimentales de las ciencias físicas y naturales.
En síntesis, y a la manera de primera aproximación, podemos decir que en la primera etapa el niño "recibe" conocimientos que por su corta edad no poseía; en la segunda, aprende el alumno a "manejar" ese material adquirido, utilizando la intuición, que se le ejercita convenientemente, y las nociones de lógica que directa o indirectamente aprende; en la tercera, somete a crítica sus conocimientos, los reorganiza científicamente y se posesiona de los métodos de investigación que conducen hacia el progreso de la humanidad.
Por último, recomienda también la pedagogía, que el pasaje de un estado a otro de la enseñanza se haga en forma gradual, pues es indiscutible que toda transición brusca produce en estos casos una perniciosa desorientación.
en cuenta, para realizar su delicada tarea, más fines que los propios de la ciencia, despreocupándose, por lo tanto, de que sus resultados pudieran ser accesibles o no para la mayoría de las personas. Ahora bien, si esto puede hacerlo el hombre de ciencia, el profesor, por el contrario, debe tener siempre en vista, para que su obra no resulte estéril, las condiciones de alumnos. Nacen así las exigencias pedagógicas relacionadas con el problema psicológico de la adquisición del cimiento.
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no son remoscono- ciones y, como
cuidadosa de los "Elementos" de Eucli- des, dedicaban gran parte de sus esfuer-
resolver ciertos problemas algebrai- forma geométrica. Como carecían
de técnicas algebraicas sencillas y no estaban preparados para la abstracción requerida, encontraron dificultades y complicaciones que desaparecieron una
Pues bien, la pedagogía moderna, cuyos métodos racionales, bien experimentados ya, se han impuesto sobre los artificiales y rutinarios procedimientos que habían quedado como resabios de la Edad Media, acepta en forma general que la enseñanza primaria debe tener un carácter objetivo y concreto; lo abstracto queda reservado para la enseñanza superior y apenas comenzará a ejercitarse la mente de los alumnos en esta clase de estudios en la enseñanza' se- cundaria, en la que hoy ejercen
zos a eos en
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FLORENCIO D. JAIME "La Enseñanza de la Geometría"
Revista Centro Profesores Diplomados,Año I, Bs. Aires, 1921
(1) Traducción, autorizada por el autor, del artículo publicado en la revista "Liberal Education" EE. UU., volumen XLVTI. número II, Mayo 1961. páginas 304-327. Véase ELEMENTOS. N? 1. pág. 5.los que se
años.una
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vez que el papel del álgebra fue explícitamente establecido por Descartes en el siglo XVII. La amplitud con que el álgebra puede contribuir al análisis no fue reconocida hasta mucho más recientemente, en nuestro propio siglo. Una vez más, problemas difíciles, examinados con el auxilio de conceptos algebraicos, pueden llegar a ser mucho más claros y mucho más fáciles de resolver. Aún la lógica formal aparece, como ya hemos tenido ocasión de observar, una parte del álgebra, en virtud de que trata con operaciones sobre símbolos. Aunque el álgebra ha sugerido mucho en esta conexión, su papel en la lógica no es tan importante como en la geometría o en el análisis. Hoy es inconcebible que un matemático pretenda dominar la geometría o el análisis sin una firme base de elementos de álgebra, especialmente de teoría de grupos y de álgebra lineal. La geometría, desde luego, descansa tan sólidamente sobre estas partes del álgebra que las dos disciplinas deben ser vistas como inextricablemente unidas. En ninguna parte es esto más evidente que en el campo de la topología, donde tan brillante progreso se está produciendo ahora. No había ninguna duda de que, inevitablemente, la estrecha asociación de estas dos ramas de la matemática influiría en la misma álgebra; en efecto, procedimientos que primero demostraron ser válidos en topología combinatoria, se han afincado ahora en el álgebra y han conducido a la creación de una nueva disciplina conocida como álgebra homológica.
Fue también inevitable que la creciente importancia del álgebra en las otras partes de la matemática se reflejara en muchos campos donde se aplica esta última. Sin embargo, los contactos entre álgebra y matemática aplicada son cada vez mucho más directos, por que hay muchos casos en que los problemas de la matemática aplicada han sido formulados desde el comienzo en términos algebraicos. Esto es cierto, por ejemplo, tanto en el caso de la teoría cuántica del campo como en los del análisis de circuitos, la programación lineal y la teoría de juegos, para citar unos pocos de los
_ ejemplos más importantes. De acuerdo
con esto, no es sólo el matemático puro sino también el matemático aplicado quien hoy necesita de una buena base de álgebra, especialmente de teoría de grupos, de álgebra lineal, o de ambas.
Una rama especial de la matemática que siempre ha tenido la más íntima vinculación con el álgebra —y que podría, por supuesto, ser considerada aún como una de sus partes— y en la cual los métodos del análisis no habían sido tan extensivamente usados, es la teoría de números. El estudio de las propiedades aditivas y multiplicativas, y de otras propiedades algebraicas de los números naturales —es decir, de los números cardinales finitos— ha ejercido siempre una tremenda fascinación. Muchos de los problemas de la teoría de números pueden ser formulados muy simplemente con la terminología matemática del lenguaje común y son así fácilmente comprendidos sin mucha preparación matemática. Entre ellos están algunos de los problemas más difíciles, aún no resueltos, de toda la matemática. Tales problemas atraen la atención no sólo de los matemáticos serios sino también de los aficionados, y aún de los meros buscadores de publicidad. ¿A quién no le gustaría resolver el famoso problema de Goldbach: mostrar que cada número tural es la suma de un número finito de números primos (quizás no más de tres)? Los problemas de la teoría de números no están restringidos a los concernientes a números naturales, ya que tienen generalizaciones o análogos en otros sistemas algebraicos. En verdad, este hecho ha conducido históricamente al desarrollo de conceptos y técnicas algebraicas muy útiles. En la misma forma, la reducción de ciertos problemas de la teoría de números a problemas de análisis matemático, ha estimulado profundas investigaciones en el último campo. Aunque el éxito de los métodos analíticos es incompleto en el caso de algunos de los más interesantes y difíciles problemas, ha sido, no obstante, suficientemente notable como para que, en años recientes, se haya dedicado gran cantidad de esfuerzos a idear ata-, ques mas elementales. Algunas conquistas destacables, tales como la demostró
la completa dominación por el álgebra moderna. En consecuencia, algunas partes de la geometría permanecen casi sin ser afectadas por las técnicas algebraicas. Como estas partes son aquéllas en que predominan las consideraciones de continuidad y los principales problemas tienen a menudo un aspecto analítico, hubo una tendencia a hacerlas caer en el análisis. Tanto la geometría diferencial como la topología general (o teoría de conjuntos) ilustran esta tendencia. En la geometría diferencial, por supuesto, los lazos con el análisis son extremadamente estrechos; la mayoría de las cuestiones importantes conducen directamente a problemas de la teoría de ecuaciones diferenciales. La geometría, por lo tanto, ha sido fuertemente empujada en dos direcciones aparentemente opuestas y ha parecido, a la vez, estar bajo la amenaza de ser separada en dos partes. Más recientemente, sin emhargo, un estudio más profundo de los conceptos fundamentales de la geometría diferencial ha empezado a producir una nueva síntesis de los puntos de vista algebraico y analítico, algo facilitada por el hecho de que los papeles del álgebra y la topología en el análisis han llegado a ser mejor comprendidos y apreciados. Por algún tiempo, los matemáticos han estado buscando una forma satisfactoria de hacer efectiva tal síntesis y ahora hay muchas indicaciones que muestran que su búsqueda ha sido, al menos, moderadamente exitosa. En cualquier forma, no hay duda de que problemas difíciles que comprenden caracteres algebraicos, analíticos y topológicos, pueden ahora
claramente formulados y elegantemente resueltos.
Las perspectivas de un desarrollo brillante de estos aspectos complejos de la geometría, parecen ahora estar aseguradas. Por sí misma, esta circunstancia
difícil problema para la ense-
ción elemental del llamado teorema de los números primos, han sido logradas de acuerdo con esta orientación en las últimas décadas. La teoría de números no carece totalmente de interés para la matemática aplicada; pero sigue siendo, ampliamente, un campo reservado al matemático puro. Algunos de los problemas analíticos, y quizás también algunas de las aplicaciones algebraicas, asociadas con la teoría de números, tienen, desde luego, un cierto interés intrínseco para los dominios de la aplicación; pero esto difícilmente justificaría la enseñanza de la teoría de números en un curso de matemática aplicada. Por el contrario, la inclusión de cursos elementales de teoría de números en el plan de estudios matemáticos, ya sea en terrenos técnicos o culturales, no necesita ciertamente defensa.
como
DESARROLLOS EN GEOMETRIA
En nuestra breve exposición sobre álgebra, ya hemos notado cuán profundamente ha sido penetrada la geometría por los conceptos y las técnicas algebraicas. Hay algunas partes de la geometría que han sido completamente dominadas por el álgebra. Por ejemplo, el estudio de los conjuntos definidos por ecuaciones algebraicas, originalmente considerado, en relación con los sistemas de números reales y complejos, como una parte de la geometría analítica superior, hoy está expurgado de toda tendencia analítica y se realiza por métodos puramente algebraicos aplicables a sistemas algebraicos mucho más generales
los dos clásicos sistemas de números. Así, la geometría algebraica es, literalmente, una parte del álgebra. En forma similar, la topología combinatoria, aunque básicamente interesada en tiones de continuidad, pronto se prestó al tratamiento algebraico, y como consecuencia ha sido casi completamente absorbida por el álgebra, aunque no sin influir sobre ésta en el proceso, como ya lo hemos notado. A pesar de estos ejemplos, el hecho de que la geometría se relacione con propiedades de, continuidad, no muy sujetas a discusión con criterio algebraico, ha protegido a aquella antigua rama de la matemática de
na-
serque
cues--1
crea unñanza de la matemática porque, evidentemente, debemos dar material de introducción adecuado que capacite a los futuros matemáticos para que puedan progresar en estas promisorias direcciones, o por lo menos comprenderlas —y nosotros no sabemos aún cómo hacerlo—.
(Continuará)
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PANORAMA partes hubo publicaciones del School Mathematics Study Group (S. M. S. G.), del University of Illinois Committee on Mathematics (U. I. C. S. M.), del University of Maryland Mathematics Project (U.M.M.P.), del Ball State Teachers Colle- ge Experimental Programs (B.S.T.C.E.P.), etc., todo lo cual .da alguna idea del enorme esfuerzo realizado. Apareció, también, un gran impulso proveniente del sector de la matemática aplicada; de ahí surge la introducción del estudio de la estadística, no sólo por su contenido conceptual sino por sus aplicaciones a las ciencias físicas, biológicas y sociales; la teoría de juegos, por su vinculación con la estrategia y con cuestiones económicas y de conducta social; la programación lineal, para la eficiente administración de las grandes industrias y de operaciones gubernamentales; la investigación operativa, para planificar los esfuerzos de los aliados en la Segunda Guerra Mundial; en fin, el control operativo, para controlar eficientemente la calidad de los productos manufacturados en gran escala. Finalmente, la revolución del automatismo, con sus máquinas enormes, complejas y costosas, capaces de responder a las preguntas de físicos e ingenieros. En 1958 funcionaban en ese país unas 3000 y se estaban diseñando y construyendo muchas más. Obsérvese que cada una de ellas requiere unos diez asistentes especializados en matemática -—programadores, compiladores, analistas, supervisores, etc.—, lo que elevaría a unos 30000 el número de especialistas requeridos. Lo anterior explica el interés público por la matemática de la escuela secundaria y por las experiencias que se estaban realizando para mejorar la enseñanza de esa disciplina. Este interés se acrecentó enormemente a causa del temor producido en el país por la puesta en órbita de
los satélites rusos. Todo lo dicho se tradujo en la necesidad de conocer mejor lo que se estaba experimentando y de colaborar en su realización. Con bastante rapidez se llegó a la conclusión de que debía eliminarse toda improvisación y de que era necesario aprovechar los esfuerzos ya realizados y organizar cuidadosamente la solución del intrincado problema.
Aspectos de la Reforma
EE. UU.eni
LA TAREA DEL "COLLEGE ENTRANCE EXAMINATION BOARD"
Diversos proyectos fueron llevados a la práctica con toda premura. El que nos ocupa es, quizás, uno de los más esclarecedores, como que fue consecuencia de muchas inquietudes y de la tarea de muchos grupos directivos: inspectores de matemática, comités examinadores y fideicomisarios de educación. La Comisión de Matemática fue presidida por el doctor A. E. Meder, de la Universidad de Rutgers, e impulsada por dos matemáticos distinguidos: H. H. Fehr, de la Universidad de Columbio, y A. W. Tucker, de la Universidad de Prince- ton. Inició su labor en 1955 y tuvo gran éxito en el trabajo de conjunto, fruto del cual fue el Informe publicado en 1959, que consta del programa aconsejado y de un Apéndice (*) con orientaciones didácticas.
El quehacer fue múltiple y complejo. La Comisión partió de la hipótesis de que los temas nuevos de la matemática son numerosos y muy importantes. No resultaba fácil, pues, determinar cuáles de ellos debían ser incorporados a los planes ni tampoco qué temas antiguos seguían siendo útiles y cuáles habían perdido vigencia. La Comisión estableció
¡Esto puede servir para explicar por qué se produjo esta renovación, pero no es más que una de sus causas. Existen otras que trataremos de explicar. Por ejemplo, hacia la época citada existía criterio formado acerca de la divergencia entre la enseñanza escolar y las necesidades del país. La antipatía por la matemática era muy notoria y no eran pocos los que creían que se trataba de una disciplina para adultos excéntricos, antes que para alumnos normales. No obstante, en el último decenio, por razones que todavía no han sido del todo aclaradas, se ha producido un notable desarrollo de programas nuevos. Y es curioso que muchos de ellos, formulados conjuntamente por matemáticos profesionales y profesores, hayan recibido, tanto de parte de los maestros como de los alumnos, una acogida mucho más favorable de la que se hubiera osado esperar.
¿Cuáles fueron las razones de este cambio de actitud? En primer término, dada la creencia de que la matemática es la disciplina menos inteligible para los profanos, se explicó cuidadosamente a amplios sectores el por qué de las modificaciones en los programas y en la didáctica. Se hicieron circular, además, enormes cantidades de programas nuevos y de material experimental; en todas
Los cambios efectuados por muchos establecimientos norteamericanos de segunda enseñanza en los programas de matemática son de tal magnitud que resultará muy útil examinarlos cuidadosamente en virtud de las conclusiones que se pueden obtener.
Aunque hoy hay acuerdo en admitir que el siglo XX es la edad de oro de la matemática, tanto por la cantidad cuanto por la calidad del material creado, también parece haber concordancia general, en los EE. UU., en aceptar que hasta 1930 los temas modernos no habían merecido atención especial ni siquiera en las jerarquías más altas. No se dictaban, hasta entonces, cursos de álgebra abstracta, de análisis funcional ni de topología; ni siquiera existía la
. posibilidad de encararlos por cuanto eran desconocidos por los matemáticos de la generación antigua. Pero, las cosas han variado fundamentalmente; hoy se comprende bien que nadie podría ser considerado como matemático si ignorara disciplinas como las arriba mencionadas y si no dedicara a ellas la mayor parte de su quehacer. Con este enfoque, ha surgido la enorme actividad matemática que se cumple en aquel país; muchos
. de sus matemáticos son precisamente protagonistas del profundo movimiento renovador que nos preocupa.
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(*) ELEMENTOS publicará algunos capítulos de este Apéndice, para lo cual cuenta con la autorización especial del C. E. E. B.
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negocios y probablemente los hombres de estado— deberán conocer un poco más de matemática. A este tipo de alumnos la Comisión los denominó "capaces para la universidad" y para ellos formuló un plan suplementario de, por lo menos, tres años. Tales estudios deberán estar de acuerdo con las posibilidades intelectuales del alumno y sus intereses, y tendrán la finalidad de aumentar su competencia así como la de aguzar su ingenio. Se los eximiría de los cursos prácticos, que podrían ser cumplidos con facilidad en caso necesario; en verdad, lo que se pretende es que se dedique todo el tiempo a la adquisición de destrezas que puedan serle útiles en el futuro. Se entiende que los programas debieran redactarse siguiendo el consejo de expertos en psicología educativa; pero siempre correspondería a los matemáticos el decidir acerca de la inclusión o exclusión de temas. La Comisión redactó unidades didácticas relativas a temas nuevos y a modernas presentaciones del material antiguo.
Se considera que el profesor es esencial para el cumplimiento del programa de la Comisión; pero no nos referiremos ahora a las numerosas recomendaciones y sugerencias que se hacen con respecto a la preparación de profesores para los nuevos programas.
En resumen, se entiende que la escuela secundaria debe poder satisfacer las necesidades de todos los jóvenes y, en lo que concierne a los "capaces para la universidad" el conocimiento que deben adquirir debe estar a la altura de las exigencias académicas más avanzadas. Al tratar ciertos tópicos tradicionales, los programas deben inspirarse en el espíritu de la matemática contemporánea; deben incluirse ciertos temas nuevos que, además de ser importantes para la matemática, son ya accesibles a los alumnos desde el ciclo básico.
revisión que facilite las modificaciones venideras. El contenido es flexible como para que se pueda adaptar a las distintas escuelas y estudiantes. Se aconseja a los autores de textos que los desarrollen según su comprensión de las teorías educativas, esperando que así resulte "una saludable competencia tanto en el mercado del libro como en el de las ideas".
Programas para 7? y 8? año (equivalentes aproximadamente al 6*? grado y al 1er. año argentinos). Se admite, inicialmente, que los alumnos provienen de la escuela primaria con conocimientos adecuados. Existe una dificultad proveniente de los diversos planes escolares en boga en los EE. UU., comúnmente denominados 8-4; 7-5 y 6-6, en los que la primera cifra indica los años de enseñanza primaria y la segunda, los de enseñanza secundaria, esta última generalmente dividida en dos períodos. Hubo, pues, necesidad de estudiar con cuidado los programas de 7? y 8° año, tarea que, entre otros, realizaron el S.M.S.G. y el U.M.M.P. Sus contenidos pueden resumirse así:
1) Aritmética. Conocimiento de las cuatro operaciones fundamentales con números naturales y fraccionarios. Comprensión de sistemas numéricos como el binario. Habilidad para trabajar con números grandes y números muy pequeños. Conocimiento de la raíz cuadrada y cálculo de su valor aproximado.
2) Geometría. Habilidad para operar con distintos sistemas de medidas. Medición de longitudes de segmentos, de perímetros de polígonos, de circunferencias. Areas de regiones planas y de sólidos. Volúmenes de sólidos. Medición de ángulos. Uso de la regla y el transportador. Mediciones en dibujos a escala y cálculo indirecto de longitudes. Paralelas, perpendiculares, secantes y oblicuas, en el plano y en el espacio. Angulos rectos, agudos y obtusos, complementarios y suplementarios. Triángulos rectángulos y relación pitagórica. Suma de ángulos interiores. Construcción de figuras mediante instrumentos geométricos. Simetrías central y axial.
habían realizado con éxito. Y aunque no escaseaban los que creían que los esfuerzos eran inútiles, fueron muchos más los que comprendieron que para mejorar los bajos niveles en matemática se debía adoptar una postura seria basada en una concepción .dinámica de la disciplina.
Pero los cambios no se podían forzar dada la libertad que, en los EE. UU. tienen para su formulación las instituciones educativas. Se podía, sí, aconsejar planes de trabajo, no tanto para satisfacer las necesidades de los futuros universitarios, cuanto para que todos los alumnos pudieran captar las ideas básicas y comprender qué es la matemática, cómo se la usa para explorar la realidad física y para satisfacer las necesidades humanas por medio de sus valores estéticos. Y para que no quedaran dudas de ninguna especie, la Comisión señaló taxativamente algunos de los objetivos:
a) Comprensión de los procesos aritméticos y destreza para emplearlos. Uso de las fórmulas del álgebra elemental. Conocimiento de los métodos gráficos y de la estadística simple.
b) Comprensión de las propiedades generales de las figuras geométricas y de las relaciones entre las mismas.
c) Comprensión del método deductivo como método de pensamiento. Esto incluye las ideas de axiomas, reglas de inferencia y procedimientos de demostración.
d) Comprensión de la matemática como esfuerzo creador y continuo, con valores estéticos similares a los de las artes plásticas y la música. En particular, consideró oportuno aclarar que la matemática es una disciplina viva y no lo que aparece en los textos casi como materia inerte.
su criterio acerca de la diferencia entre las concepciones antigua y moderna de la matemática y, compartiendo las ideas de W. W. Sawyer, afirmó: "Los matemáticos antiguos se preguntaban: ¿Puedo hallar un artificio para resolver este problema? Si no lo lograban .de inmediato, trataban de hallarlo al día siguiente... Hoy ya no se admite que necesariamente exista un artificio. Más bien nos preguntamos si existe una razón para suponer que un problema puede ser resuelto con los medios de que disponemos, s,i puede ser convertido en problemas más simples. ¿Qué es lo que nos permite resolver un problema y cómo podemos tratar de resolverlo? Tratamos de descubrir la naturaleza del problema que estamos analizando". La Comisión aceptó que la matemática actual se vincula a configuraciones mentales de este tipo, lo que permite caracterizarla sintéticamente por:
1) un desarrollo cuantitativamente* enorme;
2) la introducción de nuevos contenidos;
3) la reorganización y extensión de los conocimientos antiguos;
4) una importancia renovada, creciente y consciente de la idea de que la matemática está vinculada a configuraciones abstractas del pensamiento.
:
i1
PLANES PARA LA ENSEÑANZA SECUNDARIA
se aceptó que los planes vigentes en la enseñanza secundaria no estaban de acuerdo con el crecimiento y las aplicaciones actuales de la disciplina. El crecimiento exige caminos apropiados para que el alumno secundario pueda alcanzar los conocimientos más nuevos. Se debía, pues, eliminar el material anticuado, sin olvidar por ello que la matemática tradicional —álgebra, trigonometría, geometría— es aún el gran núcleo de la matemática; pero subrayando que se debe llegar lo más rápidamente posible a los temas modernos. Por fortuna, los nuevos temas no son más difíciles que los antiguos, y las experiencias se
LOS PROGRAMAS DE LA COMISION
Nos referiremos brevemente a los programas redactados por la Comisión. Se proyecta con vistas al futuro, pero los cambios no son esencialmente radicales. No se elimina lo tradicional; se hace una
LA MATEMATICA DEL FUTURO UNIVERSITARIO
No se duda que los futuros universitarios —hombres de ciencia, ingenieros, físicos, profesores, y aun los hombres de
— 35 —— 34 —
gicas no parezcan carentes de él. Se recomienda la modificación libre del tratamiento euclidiano sin preocuparse mayormente por la prueba de las proposiciones, muchas de las cuales pueden ser admitidas sin demostración. Se señala la inconveniencia de convertir a la geometría en una simple cadena de deducciones a partir de las proposiciones primitivas. Por ello, la introducción de los primeros cursos debe ser intuitiva, llegando a la noción de forma geométrica mediante comprobaciones y construcciones sencillas. El número de teoremas que se demuestren debe ser mínimo en esta etapa. Aún más tarde, la cantidad no debe ser excesiva, y se preferirá introducir algunos conceptos de geometría analítica, que suministrarán nueva capacidad a los estudiantes y serán firme base para el futuro estudio del cálculo infinitesimal.
Se consideran esenciales los siguientes temas:
a) Ubicación de puntos mediante sus coordenadas.
b) Longitud y pendiente de un segmento.
c) División del segmento en una razón dada.
d) Ecuación de la recta.e) Ecuación de la circunferencia.
Los estudiantes deberán llegar a advertir que la geometría euclidiana no es la única métrica posible; se les ha de sugerir la existencia de otras. Asimismo se estimulará la imaginación conduciéndolos a disciplinas que, como la geometría proyectiva y la topología, no se relacionan con la congruencia.
3) Trigonometría. Su enseñanza debe ser reorganizada de acuerdo con las exigencias actuales, pasando de los triángulos y las identidades, a los vectores y las propiedades funcionales. Lo esencial debe ser la descripción rectangular y polar de puntos, vectores y números complejos, la periodicidad de las funciones circulares y los teoremas de adición; en particular, debe subrayarse la correspondencia biunívoca entre el conjunto de los pares ordenados de números reales y el de los puntos del plano.
En general, se recomienda:a) Cálculo trigonométrico de los trián
gulos rectángulos.b) Trigonometría en el plano carte
siano y en el polar; vectores y complejos.
c) Teoremas del seno, del coseno y del área, fórmulas de adición y de duplicación. Identidades sencillas.
d) Funciones circulares y su naturaleza periódica.
Se asigna mucha importancia a la definición de las funciones en el círculo trigonométrico y a su aplicación directa a las magnitudes físicas o vectoriales. Los números complejos deben tratarse como vectores; la fórmula de Euler y los desarrollos en serie permitirán presentar en forma atrayente las funciones exponenciales y circulares.
4) Probabilidades y Razonamiento Estadístico. Se desea su introducción en la escuela secundaria: para que el alumno pueda "estudiar, comprender y controlar la incertidumbre"; por sus implicaciones en la vida cotidiana y suplemento de la introducción del razonamiento deductivo; y especialmente porque mucha de la matemática nueva está íntimamente vinculada a ellas. Su estudio puede comenzarse en el 9? año, o antes, con los conceptos de estadística descriptiva, enseñando a los alumnos a trabajar con datos numéricos, tablas de frecuencia, promedios y medidas simples de dispersión.
Programas para el 12° año. Matemáticasuperior.
Este curso no debiera dictarse a todos los alumnos sino a los futuros universitarios que necesiten más matemática que la elemental e intermedia. Aquí se abre la posibilidad de organizar diferentes cursos, los cuales deben ser precedidos por el repaso de los anteriores. Se considera esencial un curso sobre Funciones Elementales y un segundo, que puede ser de Introducción a las Probabilidades con aplicaciones a la Estadística, o bien de Algebra Moderna. Se pueden sugerir otros, por ejemplo, uno
3) Algebra y Estadística. Empleo de segmentos lineales y de superficies para representar números. Lectura y construcción de gráficos. Escalas. Fórmulas para perímetros, áreas, volúmenes y porcentajes. Uso de símbolos en fórmulas como "placeholders" (*), para cifras que aparecen en mediciones. Expresiones simples que contienen variables.
Programas para 9?, 10° y 11? año. Matemática elemental y matemática intermedia.
Este fue uno de los problemas más arduos que debió resolver la Comisión. Su importancia reside en que los temas por desarrollar en ese lapso se consideran esenciales para la formación general de todo estudiante, incluso la de aquéllos que no se especialicen en disciplinas científicas. La diferencia entre estos estudiantes y los demás no reside en el contenido programático, sino más bien en la intensidad de la enseñanza.
1) Algebra. Se recomendó especialmente su estudio, no para el mero desarrollo de destrezas manipulativas, sino para la comprensión de las propiedades de un campo numérico, lo que fue aclarado mediante las siguientes observaciones:
a) No se aboga por la presentación abstracta de la matemática, ni siquiera por la abstracción en sí, antes de que se hayan establecido modelos concretos o intuitivos como puntos de partida.
b) Se comprende la necesidad de que el alumno adquiera destreza en los cálculos. Deben, por supuesto, ser capaces de resolver ecuaciones cuadráticas o sistemas de ecuaciones, operaciones con polinomios y fracciones racionales y las demás operaciones algebraicas requeridas para progresar adecuadamente en geometría analítica y en cálculo infinitesimal; pero se considera más im
portante una genuino comprensión del razonamiento deductivo.
La Comisión se declara influida por la transformación del álgebra en el último cuarto de siglo como consecuencia de su desarrollo axiomático o, mejor dicho, del estudio de las estructuras matemáticas. También ha sido influida por el carácter algebraico de muchas de las aplicaciones de la matemática en terrenos hasta ahora al margen de ella. Se proponen muchos temas actuales y se agregan otros nuevos; varían algunos conceptos, la terminología, cierto simbolismo, y se introducen algunos tópicos sobre desigualdades, que deben tratarse tanto algebraica como gráficamente. Se piensa firmemente que el razonamiento deductivo debe usarse en álgebra tanto como se lo emplea en geometría, capacitando con ello al alumno para la solución de problemas que no sean sólo la mera aplicación de reglas técnicas.
2) Geometría. Su estudio se considera importante por tratarse, en su origen y aún hoy, esencialmente, de un modelo del mundo físico: la adquisición de información sobre figuras geométricas del plano y del espacio, es necesaria para el ciudadano e imprescindible para el futuro científico. Otro de los objetivos es el desarrollo de la comprensión del método deductivo como forma de pensamiento, que debe ser razonablemente dominado para que se lo pueda aplicar a situaciones matemáticas. Finalmente, constituye una oportunidad para el pensamiento original y creador del estudiante, el cual debe realizar ejercicios que impliquen tanto el descubrimiento de propiedades como su demostración.
Se recomienda un cambio drástico en los cursos. Esto parece necesario por las fallas halladas en la estructura lógica de Euclides, y por la rígida separación que generalmente se hace entre geometría plana y geometría del espacio. Existen otros defectos cuyo enunciado puede omitirse, por ejemplo, los debidos a la carencia de un álgebra adecuada. Aunque no se crea que deba hacerse tratamiento lógico impecable, se piensa que hasta ahora no se ha logrado la enseñanza que concite el interés de los alumnos de modo que las cuestiones ló-
!
fe
como
ii:
un
( ) Con esta palabra se designan símbolos que implican únicamente lugares en blanco que deben ser llenados con números convenientes.
— 37 —— 36 —
/
ros naturales, racionales, reales y complejos.
4. Criterioso empleo de ideas unifi- cadoras: conjuntos, variables, funciones y relaciones.
5. Estudio de las inecuaciones junto con las ecuaciones-
6. Incorporación, junto a la geometría plana, de alguna geometría analítica y de puntos esenciales de geometría del espacio.
7. Introducción, en el 11? año, de las funciones circulares en relación con las coordenadas cartesianas y polares, los vectores y los números complejos.
8. Tratamiento, en el 12? año, de las funciones elementales (polinómicas, exponencial, circulares).
9. Recomendación de temas adicionales para el 12? año: o bien, Introducción a las Probabilidades con aplicaciones estadísticas, o bien. Introducción al Algebra Moderna.
de Introducción al Algebra Lineal o a las Matrices. Se estima que, en general, cualquier curso serio, creadora e imaginativamente pensado, siempre resultará adecuado, pues contribuirá a desarrollar la potencialidad matemática del alumno.
ORIENTACIONT ransformaciones
Geométricas PlanasRESUMEN
La Comisión sintetiza sus opiniones mediante el siguiente programa de nueve puntos:
1. Intensa preparación, tanto en conceptos como en técnicas, de los futuros universitarios —al nivel de la geometría analítica y del cálculo infinitesimal.
2. Comprensión de la naturaleza y papel del razonamiento deductivo, tanto en álgebra como en geometría.
3. Apreciación de las estructuras matemáticas —“configuraciones"— por ejemplo; propiedades de los núme-
E1 programa de geometría propuesto para primer año de los colegios secundarios (1), termina con el tema siguiente:
10. Transformaciones geométricas del plano en sí mismo: traslaciones, rotaciones, movimientos, simetrías, reflexiones, homotecias.
En lo que sigue se expondrá el tema de acuerdo con una experiencia realizada (2). No obstante, para evitar repeticiones innecesarias aquí, pero muy útiles frente al alumnado, se reúne en la primera parte un conjunto de conceptos generales; ellos fueron presentados en clase, en forma muy concreta, mediante numerosos ejemplos, al tratar cada una de las transformaciones.
ción T, la figura F se transforma en F'.Se llama transformación idéntica, o
identidad, a la que hace que cada punto se corresponda consigo mismo; la indicamos con I.
Toda transformación en la cual las figuras correspondientes son iguales se llama congruencia. La identidad es una congruencia.
Una figura es unida en una transformación cuando se corresponde consigo misma. En la identidad todas las figuras son unidas.
Dada una transformación T: A -» A', existe otra, llamada inversa de la primera, que transforma A' en A para todo punto A del plano. Se indica con T l.
Se llama producto de dos transformaciones a la transformación que resulta de aplicarlas sucesivamente. Se indica con T = To. Tj cuando se efectúa primero la transformación Ti y luego la T2. Si:
Tx: A -» A' y T«: A' -» A", será:T = T2.T,: A->A"
Consecuencias inmediatas de esta definición son:
a) T.I = T , I.T = Tb) T.T1 =: I , T*l.T = ICuando se aplica sucesivamente una
misma transformación, su producto recibe el nombre de potencia de la primera; se indica con:T.T___T = Tn, si se repite n veces
Si T“ = I, la transformación se llama cíclica de orden o período n; en particular, las transformaciones cíclicas de orden 2 se llaman involutorias; en este caso:
is
ÉTICA‘i GENERALIDADES“El vocablo transformación es sinónimo
de correspondencia, operación, función, etc. Si en análisis se prefiere usar esta última palabra —función— en geometría se prefiere usar, en su lugar, transformación" (3).
Toda transformación establece una correspondencia entre dos conjuntos de puntos; estudiaremos únicamente casos de correspondencia entre dos conjuntos que se identifican en un mismo plano, es decir, transforman un plano en si mismo. Son, además, correspondencias biuní- vocas pues cumplen las dos condiciones:
a) cada punto del plano tiene otro como correspondiente.
b) cada punto del plano es el correspondiente de otro.
Indicaremos las transformaciones con letras mayúsculas, usando preferentemente la inicial del nombre de la transformación; con la notación
T: F —> F*indicamos que mediante la transformá
is/ notable matemático ¡ranees C. Hcrmile (1822-1901) escribió cierta vez al no menos notable matemático alemán C. Jacobi (1804-1851) para pedirle disculpas por algunas publicaciones sobre lemas a los que ambos se dedicaban, pero cuya prioridad debía corresponder a Jacobi en su carácter de iniciador. La notable respuesta de Jacobi decía textualmente: “No os apenéis, señor, porque algunos de vuestros descubrimientos coincidan con viejos trabajos míos. Habiendo comenzado vuestra labor cuando yo concluyo la mía, es natural que exista una pequeña esfera de contacto. En el futuro, si me honráseis con vuestras comunica- done, seré yo el que tenga que aprender99.
PROBLEMAS
Entre 27 monedas hay un falsa, más pesada que las restantes. ¿Cómo se la puede descubrir haciendo sólo tres pesadas, con una balanza?
Cinco números a, b, c, d, e, están vinculados por cinco proposiciones compuestas, en las que una de las afirmaciones es verdadera y la otra falsa.
Las proposiciones son las siguientes:
d es el mayor y a el segundo; h es el cuarto y d el segundo; e es el menor y c el tercero; d es el menor y c el mayor; d es el tercero y e el segundo.
Ordenar los números de mayor a menor.
T-= T.T = 1 y resulta: T-1 .T.T = T*1. I. es decir,
T = T 1
— 39 —— 38 —
i
resta de números no tiene; tampoco el cociente. El elemento neutro para el producto de transformaciones es la identidad: I.
Recordaremos ahora algunas propiedades de una operación definida entre los elementos de un conjunto; para indicar la operación usaremos el punto (.). Si se considera el conjunto de las transformaciones geométricas y la operación de producto entre ellas, se vuelven a encontrar algunas propiedades ya mencionadas (4).
Una operación definida entre los elementos de un conjunto es cerrada cuando su resultado pertenece siempre al conjunto.
La propiedad de ser cerrada depende de la operación y del conjunto en el cual está definida; por ejemplo: la suma de números es cerrada en el conjunto de los números naturales, pero no lo es en el conjunto de los números naturales impares; el cociente de números es cerrado en el conjunto de los racionales positivos (> 0), pero no lo es en el de los enteros.
El producto de dos transformaciones siempre es otra transformación; es una operación cerrada. Basta observar que establece una correspondencia, y por lo tanto, es una transformación.
Propiedad asociativa: a (b. c) = (a. b) c Son asociativas la suma y el producto de números; no lo son la resta ni la potencia, por ejemplo. El producto de transformaciones siempre es asociativo. En efecto,si T, : A->A', To: A'-^A" y T3: A"-*A"' será: T2.Tj: A-+A" y T^To.^): A-^A"' Además, T3 . T2: A'->A'" y (T3 . To) Ti: A-+A"'
mo será A + v = A*; el opuesto de v es —v.
o la pizarra, guiada por una regla; en todos ellos es posible considerar figuras planas que se mueven en el plano al que pertenecen y poner en ellas de manifiesto que lo que interesa desde el punto de vista geométrico son las posiciones inicial y final, la correspondencia entre las posiciones inicial y final de cada punto de la figura y la igualdad de las traslaciones de todos los puntos; en particular, el último ejemplo es el que mejor se presta para señalar estos aspectos.
Si en el plano se considera un punto A y un segmento v y se construyen con un extremo en A segmentos iguales y paralelos a v en los dos sentidos posibles, se obtienen A' y A", es decir, que a partir de cualquier punto del plano se pueden obtener otros dos (Fig. 1); si este hecho se refiere a los ejemplos físicos ya dados, es evidente que los dos movimientos que llevan A a A' o A" son distintos y que para poder precisar sin ambigüedad un solo punto correspondiente de A es necesario distinguir dos sentidos diferentes al construir v, o, en otras palabras, asignar un sentido al segmento v, lo que lleva al concepto de vector y de igualdad entre vectores:
Se llama vector a todo segmento orientado.
Dos vectores son iguales cuando tienen la misma longitud, dirección y sentido.
Precisado el concepto de vector, se define la transformación.
Se llama traslación de amplitud v a la transformación de un plano en sí mismo de modo que a todo punto P le corresponda otro punto P' tal que PP' = v.
La traslación de amplitud v se indica con T (v), o simplemente con T.
En traslaciones dadas por su amplitud v, estamos ahora en condiciones de determinar las figuras correspondientes o trasladadas de segmentos, ángulos, polígonos, circunferencias y otras figuras.
Se encuentran en forma inmediata ciertas conclusiones: por ser lados opuestos de un paralelogramo un segmento y su trasladado son iguales: AB = A' B'; por tener sus lados paralelos y concordes, un ángulo y su trasladado son iguales: áng. BAC = áng. B'A'C'; si se con-
las longitudes y los ángulos, toda figura es igual a su trasladada, es decir, toda traslación es una congruencia; es de destacar, además, que AB = A'B\
Si se dan dos traslaciones Ti y T2 sencillo construir su producto
Un elemento a de un producto tiene inverso a1, respecto de una operación definida en el conjunto, cuando se cumple que:
i
a.a1 = a1 .a = eDefinida la suma de números en el
conjunto de los números naturales, no existen inversos; pero sí, si se define en el conjunto de los enteros o de los reales; respecto del producto de números, existe inverso de cualquier elemento con excepción de 0, si se define en el conjunto de los números racionales o reales, pero no existe inverso si se define la operación en el conjunto de los enteros. Ya hemos visto que toda transformación geométrica tiene inversa.
Si entre los elementos de un conjunto se define una operación que cumple las siguientes propiedades;
a) es cerradab) es asociativac) cada elemento tiene inverso,
se dice que el conjunto está estructurado en grupo respecto de esa operación.
El conjunto de los enteros está estructurado en grupo respecto de la suma, pero no del producto ni de la potencia; los conjuntos de los números reales o complejos están estructurados en grupo respecto de la suma; también respecto del producto, si se excluye el 0 en ambos conjuntos.
Si además de las condiciones anteriores la operación es conmutativa, el grupo se dice abeliano.
Pasamos ahora al estudio particular de las transformaciones indicadas en el programa.
i
servan
es muyT = T».T1, aplicándolas sucesivamente(Fig. 2)
Figura 2Es decir: T3(T2.T,) = (T3.T2)T;Propiedad conmutativa: a. b = b. a
Es conmutativa la suma de números; no lo es la resta ni la potencia. El producto de transformaciones en general no es conmutativo; o sea, en general, T2. Ti Ti* T2. Si para dos transformaciones, el producto es conmutativo, se dice que son permutables.
Se llama elemento neutro de
Por ser lados opuestos de un paralelogramo AA" = BB" =v, para cualquier par de puntos A y B del plano; T = T2,T!
traslación: el producto de traslaciones es una operación cerrada.
El vector v, amplitud de la traslación T = To. Ti se define como suma de los vectores V! y v2, amplitudes de T! y T2: v = vt + v2; se llama producto del vector v, amplitud de T, por un número natural n, al vector amplitud de la traslación Tn.
El producto de traslaciones es conmutativo; en efecto, al construir el producto cambiando el orden: T' = Ti.T2, resulta
es unaTRASLACIONES
Son numerosos los ejemplos de traslaciones físicas que se pueden dar, generalmente en el espacio: el movimiento de la caja de un ascensor al pasar de un piso a otro, el de un vehículo que se desplaza en un camino recto, el de los asientos de una rueda gigante en los parques de diversiones, el de una escuadra que se desliza sobre el papel
Figura 1Además, dos vectores son opuestos
cuando tienen igual longitud y dirección, pero sentido contrario.
El vector se indicará con v o con AA'; en esta última notación el sentido de v es el de A a A'; A se llama origen y A' extremo, del vector; se puede indicar también con A' - A = v y así su extre-
:*una ope
ración definida en un conjunto al elemento e tal que para todo otro elemento a del conjunto se verifique:
!
a.e = e.a = aPara la suma de números, el elemento
neutro es 0; para el producto es 1; la
— 41 —— 40 —
3:
ción y longitud de dos lados opuestos de un paralelogramo; construirlo sabiendo que los otros dos lados son cuerdas de las circunferencias.
T2: A-*Ax (fig. 2), y uniendo A, con A" se obtiene el cuadrilátero A A'A" A, que tiene por lados opuestos los vectores iguales A'A" y AA! y en consecuencia debe ser AjA" = v,, es decir T! : At->A" y T' = T! .To: A—>A", o sea:
T' = T,. To = T2. Ti = TTambién, la suma de vectores es con
mutativa.Por definición de traslación, dada T (v)
existe otra traslación T'1 inversa de la primera; su amplitud es —v, y se tiene:
T“l.T = I y — v -1- v = 0 También: n (—v) = — nv es la amplitud de (T1)»
De estas propiedades resulta que el conjunto de todas las traslaciones de un plano está estructurado en grupo abe- liano respecto de la operación producto. También lo está el conjunto de los vectores de un plano respecto de la suma.
Al investigar las figuras unidas en una traslación, es inmediato que no hay ninguna figura finita que lo sea; únicamente lo son las rectas paralelas al vector amplitud y las fajas planas limitadas por dos de esas rectas.
Se dan ahora dos problemas que muestran cómo las traslaciones pueden utilizarse para obtener su solución.
Demostrar que la suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a cuatro rectos.
transformado forman un ángulo igual a la amplitud de la rotación.Sea R: AB->A'B'; si se aplica la Tt: A^O, resulta TTl: AB^OB" (Fig. 6)
punto A del plano se le puede hacer corresponder otros dos puntos A' y A" tales que: OA = OA' = OA" y áng. AOA' = áng. AOA" == a; los ejemplos vistos muestran que para que la correspondencia esté determinada se debe asignar un sentido de rotación al ángulo a, es decir que se requiere conocer la dirección del eje fijo (determinada por el plano, pues son perpendiculares), el sentido y el valor del ángulo, elementos que se pueden representar por un vector.
Los ejemplos dados permiten definir la transformación.
Se llama rotación de centro O y amplitud a a la transformación de un plano en sí mismo de modo que a todo punto P del plano le corresponda otro punto P' tal que OP = OP' y áng. POP' = a.
Si cc = 0? ó oc = 3609 se trata de la identidad.
Dada una rotación por su centro y su amplitud, se pueden determinar fácilmente las figuras correspondientes de segmentos, ángulos y figuras diversas.
j
Figura 4Sea v el vector determinado por los
lados cuya dirección y longitud se conoce y de sentido igual al del vector O, 02 determinado por los centros de las circunferencias dadas; si se efectúa la traslación T (v) de la C (Oj), su trasladada C (O') cortará a C (02) en A' y B', correspondientes de los puntos A y B de C (Oí) en esa traslación; la solución es el paralelogramo AA' B' B.
El problema sólo tiene solución cuando las circunferencias C (O') y C (02) son secantes.
iFigura 6
Si se aplicaT2: A'—>0 resulta T2: A'B'->OB"'
ComoR: AOB—>A'OB' es A OAB = A OA'B'
y también OABB" = OA'B'B"'. es decir: R: OABB"—>OA'B'B'"R: OB"—>OB'"
y como áng. (OB", OB'") = ce también áng. (AB, A'B') = «
En una rotación el único punto unido es el centro; son figuras unidas las circunferencias y círculos de centro O.
Dadas dos rotaciones para construir su
\ROTACIONES
Se pueden dar distintos ejemplos físicos de rotaciones: las de diversos tipos de ruedas, la de un disco fonográfico, la terrestre; en realidad, los ejemplos son de rotaciones en el espacio, pero como en el caso de las traslaciones, es posible considerar uno de los planos de la figura; así, en el caso de la rotación terrestre se puede considerar la rotación del ecuador en un número determinado de horas y establecer la correspondencia entre sus plintos; en ese plano se pueden señalar las características esenciales de la rotación geométrica, es decir, la existencia de un punto fijo, la conservación de las distancias de cada punto al punto fijo y la constancia del ángulo que determinan las posiciones inicial y final de cada punto con el punto fijo. En el espacio, se tiene un eje fijo de rotación, que nos permitirá señalar el carácter vectorial de la transformación; en efecto (fig. 5), si se da el punto fijo O y un ángulo a, a cada
oFigura 3Sea el polígono ABCDE; se toma un
punto O del plano; mediante la traslación T (EO) se traslada EA y se obtiene OA' y mediante T (AO) se traslada AB y se obtiene OB'; resulta áng. A'OB' = oc por tener sus lados paralelos y concordes; en la misma forma, mediante T (BO), T (CO) y T (DO) se trasladan BC, CD y DE obteniéndose ángulos consecutivos con vértice O, iguales a los exteriores del polígono; su suma es el ángulo de un giro alrededor de ese vértice.
Se dan dos circunferencias y la direc-
AFigura 5
Como OA = OA', OB = OB' y áng. AOB = áng. A'OB' resultan iguales los triángulos AOB y A'OB' y también AB = A'B', es decir, todo segmento es
• igual a su transformado; es inmediato que áng. BAC = áng. B'A'C', es decir, todo ángulo es igual a su transformado. Consecuencia de esto es que toda figura es igual a su transformada en la rotación : toda rotación es una congruencia.
Demostraremos una propiedad fundamental de las rotaciones:
En toda rotación un segmento y su
í 4
t 01
Figura 7
producto se aplican sucesivamente; si las dos rotaciones son del mismo centro, el producto es otra rotación del mismo centro y de amplitud igual a la suma algebraica de las amplitudes de las rotaciones dadas; la operación es cerrada y conmutativa.
Dada una rotación siempre existe su
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inversa: es la del mismo centro y amplitud opuesta a la de la primera.
Si se dan dos rotaciones de distinto centro, su producto puede ser una rotación o una traslación.
Si la suma de las dos amplitudes es distinta de O9 o de 3609, el producto es una rotación de amplitud igual a la suma algebraica de las amplitudes; para determinar su centro basta determinar dos pares de correspondientes; si Ri: AB-»A'B' y R2: A'B'—>A"B"f el centro de la rotación producto
R = R2.R, : AB->A"B", será la intersección de las mediatrices de AA" y BB". (Fig. 7)
Si la suma de las dos amplitudes es O9 o 3609, el producto es una traslación; en efecto, si R = Ro.Rj ; AB-*A"B", será áng. (AB, A" B") = oc — ce,-}- <x•> == 3609, o sea: AB = A" B", y por lo tanto R = T
El número real definido por sucesionesN < -A
PB'
Nos proponemos dar algunas sugerencias acerca de una posible forma de presentar al alumno el concepto de número irracional. Se supone que a esta altura del desarrollo del programa de matemática el alumno ha adquirido el concepto de número racional y domina el mecanismo de las operaciones y sus propiedades. Se supone, también, que ya ha aprendido que toda fracción racional puede ser reducida a una expresión decimal que tiene un número finito de cifras decimales o bien infinitas, que se repiten periódicamente a partir de una de ellas. El primer caso se presenta cuando los únicos factores primos del denominador de la fracción racional reducida son 2, 5 o ambos. El segundo caso ocurre cuando aparecen factores primos distintos de 2 y 5.
Ejemplos:
cesariamente a una expresión decimal finita o periódica, y recíprocamente.
Surge entonces la pregunta referente a qué ocurrirá si de algún modo se construye una expresión de infinitas cifras decimales no periódicas, por ejemplo, la siguiente:
AN*
Figura 9
Tomamos un punto A de r;j como uno de los vértices y con centro en este punto y amplitud 609 efectuamos la rotación de la recta r1# obteniendo r/; r\ corta a r. en B\ que es el correspondiente en la rotación del punto B de r^ El triángulo buscado es el ABB'; en efecto, por ser B y B' correspondientes en la rotación de centro A es AB = AB' y además áng. BAB' = 609 y por lo tanto AB3' es equilátero.
0,123456789101112...Este "número decimal" no puede ser
la expresión de ningún número racional, pues éste nos conduciría necesariamente a una expresión decimal, finita o periódica. El alumno comprenderá sin dificultades que pueden construirse tantas expresiones decimales no periódicas como se quiera y le resultará fácil admitir que cada una de ellas representa un número que no puede ser racional; se lo denominará irracional.
Se definirá, pues, a los números irracionales, como números que tienen una expresión de infinitas cifras decimales no periódicas.
Convendrá, sin duda, apoyar esta definición de número irracional con ejemplos que muestren cómo aparecen frecuentemente expresiones de infinitas cifras decimales no periódicas. Si se efectúa, por ejemplo, el cálculo de la raíz cuadrada de 2 con errores menores que 1; 0,1; 0,01; ... el alumno obtendrá las expresiones decimales 1; 1,4; 1,41;...
Surgirá naturalmente la duda acerca de si las cifras que se van obteniendo no podrán comenzar a repetirse periódicamente, o tener fin. Esta duda quedará aclarada con la demostración del siguiente teorema:
"Si la raíz cuadrada de un número natural no es un número entero, tampoco puede ser un número fraccionario".
Es clásica la demostración de Eucliáes para el caso particular del número 2. Si se supone que dicha raíz es un número fraccionario m/n debe verificarse
(1) Ver artículo del Dr. Santaló en el número 1 de ELEMENTOS.
(2) Se trata de un tema nuevo para nuestros planes de estudio y por ello se consideró que podría presentar dificultades al ser desarrollado en primer año. Con el objeto de tener una idea clara
problema, en el curso de Didáctica Especial y Práctica de la Enseñanza, de la carrera del Profesorado en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas de Buenos Aires, durante el segundo cuatrimestre de 1962, se hizo la experiencia de su enseñanza; se trabajó con alumnos voluntarios del Colegio Nacional de San Isidro, que fueron divididos en dos grupos formados por los de primero y segundo años y los de tercero, cuarto y quinto. Las clases fueron dictadas por estudiantes de la cátedra, siguiendo las directivas dadas por el profesor de acuerdo con las sugestiones del Dr. Luis A. Santaló. Los resultados de la
33.1133del = 0,024
1251375 125.111313Figuia 8 = 0,295454... = 0,29 (54)
22.11Además, se supone que el alumno
conoce las reglas que, recíprocamente, permiten obtener la fracción racional (generatriz) de que proviene una expresión decimal finita o periódica.
Ejemplos:
El hecho de que cuando a, -f- a» = 0 es R = T explica el ejemplo dado de traslación de los asientos de la rueda gigante de un parque de diversiones.
El producto de rotaciones no es cerrado; tampoco es conmutativo: R,.R2^R2.R,
Por las propiedades vistas, se puede establecer que el conjunto de todas las rotaciones de un mismo centro está estructurado en grupo abeliano respecto del producto, mientras que el conjunto de todas las rotaciones de un plano no está estructurado esa operación.
Resolvamos un problema aplicando rotaciones:
Construir un
44
fi expe
riencia permiten afirmar que no habrá dificultades en la presentación regular de este tema; las que se presentaron allí, derivaron, en el primer grupo de alumnos, de no conocer hasta ese momento algunas de las cuestiones necesarias para la comprensión completa de ciertas conclusiones; esta falta de conocimiento previo, debida a que esos alumnos cursan los programas actuales, será subsanada con los propuestos.
(3) Enciclopedia delle Matematiche Elementa- ri, Berzolari, Vivanti y Gigli, Vol. II, parte I, 1943.
(4) Parecería innecesario volver a destacar que al exponer estas cuestiones generales en clase, se dieron numerosos ejemplos de operaciones ya conocidas por el alumnado para lograr una clara comprensión de las mismas.
1671336i 1,336 =1251000763
0, (63) =99 11
27504-27 3053en grupo respecto de
0,27 (504) =11100
Parece conveniente que el profesor haga resaltar mediante diversos ejemplos, que toda fracción racional conduce ne-
99900triángulo equilátero cu
yos vértices pertenezcan a tres rectas paralelas dadas. (Fig. 9)
— 45 —— 44—
PdOULIEKMSa) la primera es creciente,b) la segunda es decreciente,c) cada término de la primera suce
sión es menor que su correspondiente en la segunda,
d) la diferencia entre dos términos correspondientes puede llegar a ser, y se conserva, menor que cualquier número positivo por pequeño que éste sea.
Cuando dos sucesiones de números cumplen las condiciones mencionadas se dice de ellas que constituyen un par de sucesiones monótonas convergentes de números racionales.
El irracional V2 es mayor que todos los números de la primera sucesión y menor que todos los de la segunda. Se dice de él que es el elemento de separación del par de sucesiones, o su elemento frontera, o también que el par de sucesiones defíne al número V2-
Análogamente, si se considera la expresión decimal de 1/7 = 0, (142857), se puede construir el siguiente cuadro:
0 < 1/7 < 1 0,1 < 1/7 < 0,2
0,01 < 1/7 < 0,15 0,142 < 1/7 < 0,143
0,1428 < 1/7 < 0,1429
necesariamente que (m/n)2 = 2. La fracción m/n es irreducible, y de no serlo se la deberá reducir previamente; por tanto, m y n no tienen factores comunes.
De la relación anterior resulta: m2 = 2n2
Luego m2 es par y también lo es m: m = 2p
Los Proble delmasIng. JOSE BAJBINI
(Universidad de Buenos Aires)Por lo tanto:
m2 = 4p2 = 2n2;Vale decir: n2 y también n son pares:
n = 2qEsto muestra que tanto m como n tie
nen el factor común 2, contra lo supuesto.De manera que la raíz cuadrada de 2
no es un número fraccionario y, en consecuencia, el proceso de extracción con errores decimales decrecientes no puede tener fin ni conducir a una expresión decimal periódica. La raíz cuadrada de 2 es, pues, un número irracional cuyas primeras cifras son 1,4142135...
V2 es, pues, el símbolo con el cual se representa al número irracional cuyo ruadrado es 2.
El proceso de extracción de la raíz cuadrada de 2 con errores por defecto y por exceso menores que 1; 0,1; 0,01;... permite construir el siguiente cuadro en el cual se designa con d a la diferencia entre ambas raíces;
1 < V2 < 2 1,4 < V2 < 1*5
1,41 < V2 < 1*42 1,414 < V2 < 1*415
1,4132 < V2 < 1*4143
2p- = n2Se trata de la determinación de las
horas en que las agujas de un reloj se disponen en una posición determinada. Una solución elegante se obtiene como aplicación de los sistemas de ción. 0)
En efecto, sea a el ángulo que la aguja horaria forma con una posición fija, por ejemplo la hora 0, y sea su medida en vueltas, expresada en el sistema duodecimal,
a = 0,h! h2 h3 h.j...
a alguna de las posiciones anteriores. Es claro que este problema se resuelve de inmediato, en virtud de (a) y (b), tomando como ángulo a del horario en la hora H
a = O.hjhohs... hK(hK -f i... hK -j-n) ¡ 12 C1)Como casos particulares se pueden
considerar:Para n = 1, oc = 0,(h) (12, se tiene la coincidencia de las agujas, nuevamente. Para n = 2, oc = O/hxho) (12/ se tiene el caso en que invirtiendo las agujas, su posición sigue siendo correcta Si a 1= 0,hih2.. .hn (12 (el período es 0), después de n operaciones el minutero coincide con la hora cero, de manera que en la posición siguiente ambas agujas coinciden en ese punto y luego se repite esta posición.
Es interesante agregar que para todo valor racional de a existirá un n tal que aplicando n veces la operación mencionada se vuelve a una posición anterior, mientras que si a es irracional las posiciones son todas diferentes.
Otros problemas que pueden resolverse fácilmente con las fórmulas (a) y (b) son, por ejemplo:
1) Demostrar que para cualquier posición de las agujas, es válida la posición simétrica respecto del eje que pasa por la hora 0.
2) Hallar todos los ejes del reloj para los cuales se cumple la propiedad del problema 1.
3) Determinar la rotación que se debe dar a la esfera del reloj de modo que en la nueva posición las agujas sigan señalando una hora correcta.
numera-y
!
(a)(12
donde las h. son las cifras en ese siste-1
ma, es decir, 0 ^ h. ^ 11 en el decimal.1
Ahora bien, a medido en horas será hi, ho h3 h.i .. fracción de la hora en cuestión será 0,h2h3h.i ..da en minutos esa fracción será el valor anterior multiplicado por 60, que a su vez, dividido por 60, dará esa fracción de minutos medida en vueltas; resulta que el ángulo
d = 1 d = 0,1 d = 0,01 d = 0,001 d = 0,0001
y por lo tanto la• (12
medida en horas. Medi-• (12»
d= 1 d = 0,1 d = 0,01 d = 0,001 d = 0,0001
mediante el cual se puede comprobar que las dos sucesiones de números
0 < 0,1 < 0,14 < 0.142 < 0,1428 >..1 > 0,2 > 0,15 > 0,143 > 0,1429 <..
constituyen, como en el ejemplo anterior, un par de sucesiones monótonas convergentes de números racionales, cuyo elemento de separación es 1/7.
El par de sucesiones4,9 < 4,99 < 4,999 > ...5,1 > 5,01 > 5,001 <...
define en la misma forma al número 5.Se ha mostrado, con los ejemplos da
dos que un par de sucesiones monótonas convergentes permite definir como su elemento de separación, ya sea uno de los conocidos números racionales o uno de los que hemos llamado números irracionales. El conjunto de todos los números, racionales e irracionales, se deno*
(Sigue en pág. 48)
P — 0,h2h3h.i.. (b)• (12
es el ángulo que forma el minutero con la posición fija adoptada.
Las fórmulas (a) y (b) permiten resolver muy fácilmente los problemas del reloj. Por ejemplo: la coincidencia de ambas agujas (2), corresponde a oc = 0,(h) (fracción periódica pura); la posición de las agujas formando un ángulo y (3), corresponde a | oc — /?| = r, etc.
Un ejemplo interesante es el siguiente: Si a partir de la posición correspondiente a una hora H se lleva la aguja horaria a la posición del minutero y éste al lugar que le corresponde girando libremente, determinar H para que después de n operaciones de ese tipo se vuelva
Se puede observar que la raíz cuadrada de 2 está constantemente comprendida entre los números racionales de la izquierda y los de la derecha, siendo cada vez menor la diferencia entre ellos, la cual podrá hacerse tan pequeña como se desee con tal de avanzar suficientemente en la aproximación del resultado.
Las dos sucesiones de números racionales
1 < 1,4 < 1,41 < 1,414 < 1,4142 >...2 > 1.5 > 1,42 > 1,415 > 1,4143 <...
cuyos términos se corresponden biunívo- camente, cumplen las siguientes condiciones:
r
Ii
1
— 47 —— 46 —
i.I
!
la posición del minutero será= O.hoha ..., Pi = 0,h3hi ...; al
repetir la operación oc 2 = 0,hnh.i..., p2 = Ofh.jh5... y así sucesivamente; sólo se llegará a repetir alguna de las posiciones anteriores cuando oc0 es periódica; si es periódica pura se repetirá la posición inicial y si es periódica mixta se repetirá la posición cuya primera cifra es h
NOTAS:«i1 Ver el artículo "Sistemas de nu
meración", número 1 de ELEMENTOS.2. Debe ser a = p y por lo tanto
hj = h.>, h2 = hn..., es decir« = P = 0. (h).
3. Para expresar la medida de y en vueltas en el sistema duodecimal, suponiendo que se ha dado en grados sexagesimales en el sistema decimal, basta expresar los dos términos de la fracción y/360 en base 12 y efectuar en este sistema la división; por ejemplo:
Biblio a
inicialk -|- i*
del período.Si se quiere determinar, entonces, a qué hora entre las 2 y las 3 las dos agujas forman un ángulo de 30°, debe ser: <x = 0,2h2h3h.i...,P = 0,h2h3h.i...Si cc > p será h2 = h3 =h j = ... = 1, o sea oc = 0,2 (1) y p = 0, (1), resultado que hasta los segundos da 2h 5m 27s.Si oc < p será ho = h;{ = h.j =... = 3,
ce =0,2 (3) y p = 0,(3). es decir, 2h 16 m 21 s.
FAUSTO I. TORftNZOS. Enseñanza de la Matemática. Ed. Kapelusz; Bs. As. 1963.
i nes de hace muy pocos años. Al pasar luego a la historia de su evolución tro país, en los niveles medio y superior, se distinguen dos períodos separados por la llegada del Dr. Rey Pastor y señala el movimiento pendular que llevó los sucesivos planes de estudio del ep- tremo racional al intuitivo
Siguen el estudio de los factores
2630 (12 en nues-V = 0.1 (12 v30^ —------v =260 (i2360 t3743 (12 sev=0,15 (2497)v439260 (i2
(fracción periódica mixta).4. En efecto, si oc0 = O.hihshs...
P o = 0,h2h3.... al llevar el horario a
360En esta obra se dedica especial aten
ción a los problemas que presenta la enseñanza de la matemática en nuestro país, y a las posibles soluciones que el autor considera viables para mejorarla.
El primer capítulo reseña en general los problemas pedagógicos de la ñanza secundaria, destacando especialmente sus fines; los tres siguientes se refieren a la historia de la matemática y su enseñanza; del quinto al octavo se consideran el valor de la matemática como elemento cultural, su metodología y la de su enseñanza; del noveno al undécimo se tratan cuestiones vinculadas con los problemas escolares: planes, programas, textos, didáctica; en los dos siguientes, los elementos humanos: profesor y alumno; a partir de ahí, se encaran los problemas particulares de las distintas ramas, y en el último, las bases para organizar la enseñanza en la Argentina y los demás países latinoamericanos.
Dentro de este plan general, en el comienzo se muestran las características de la matemática y su enseñanza a través del tiempo, haciendo una breve reseña histórica desde Oriente y Grecia hasta fines del siglo XIX, y analizando las tendencias de la enseñanza de algunos países europeos y Estados Unidos, hasta la etapa previa a las últimas importantes manifestaciones, que hoy están transformando totalmente las cancepcio-
o seaque
confieren a la matemática el más alto valor formativo, instrumental y práctico —y que hacen que su conocimiento sea indispensable para integrar una cultura sólida—, y la consideración del método que permite construir el edificio matemático, deteniéndose en los diversos tipos de definiciones, las características de un sistema de axiomas y las condiciones que debe cumplir. Se encaran después los problemas epistemológicos que condujeron a la "crisis" del primer cuarto de este siglo. Termina esta parte con la clasificación de los métodos de enseñanza y el análisis de cada uno, sus ventajas y desventajas, con numerosos ejemplos aclaratorios, y el estudio detallado del método heurístico que se hace comentando el notable libro de G. Polya "How to solve it".
(Viene de pág. 46)en el cual an' — a^ < h para cualquiervalor prefijado h > 0 desde un lugar n en adelante, definen un elemento frontera o elemento de separación de las dos sucesiones, que se denomina número real.
El elemento de separación de un par de sucesiones monótonas convergentes es único.
En efecto, si hubiera dos, 1 y 1\ suponiendo que 1' > 1 y 1' — 1 = k, y dado que
T — a'n y 1 — para todo n,
mina conjunto de los números reales.Recapitulando: llamaremos sucesiones
monótonas convergentes de números racionales a todo par de sucesiones tales
ense
que:a) la primera es creciente, o por lo
menos no decreciente;b) la segunda es decreciente, o por
lo menos no creciente;c) cada número de la primera suce
sión es menor que su correspondiente en la segunda;
d) la diferencia entre dos términos correspondientes llega a ser, y se conserva, menor que cualquier número positivo prefijado.
Se llama elemento de separación o frontera de un par de sucesiones monótonas convergentes al número que es mayor o igual que todos los elementos de la primera sucesión y menor o igual que todos los elementos de la segunda sucesión.
es
T — l^a' —a o sea kí=a' —an n ii D
para todo valor de n, absurdo, pues por definición la diferencia a' — a llega a ser, y se conserva, desde un cierto n en adelante, menor que cualquier número positivo, y por lo tanto llega a ser a' — a < k.n n
Ejemplos como los expuestos servirán para que los alumnos comprendan que el conjunto de todos los pares de sucesiones monótonas convergentes de números racionales, ha originado la creación de un nuevo conjunto de números,
(Continúa en la pág. 50)
Al entrar a considerar la matemática en la escuela se preconiza la división en dos ciclos, básico y superior, en los cuales han de predominar, respectivamente, la enseñanza intuitiva y la racional. Los programas que integren ese plan deben dar un adecuado esquema de cada curso, con indicaciones precisas de cómo ha de enseñarse cada tema y del tipo de ejercitación; se dan como ejemplo dos programas, uno sintético de aritmética para los dos primeros años y otro analítico de geometría para el ciclo
kAceptaremos sin demostración que: Todo par de sucesiones monótonas
convergentesai — a2 — a3 —... — ...a'^a'o^a'n ^...^a,/^...
— 48 — — 49 —:
En la segunda parle del libro se analizan con bastante detalle problemas que aparecen al enseñar aritmética, geometría, trigonometría, álgebra, geometría analítica y cálculo infinitesimal. Sugié-
la forma de tratar diversos temas mediante ejemplos concretos deteniéndo-
algunos que ofrecen serias dificultades a los docentes, como: números irracionales, problemas de ordenación, fundamentación de geometría y varios ejemplos de procesos de paso al límite.
En el último capítulo se sugieren las condiciones para la organización de un plan de enseñanza, basado en el nivel psicológico del alumno y el uso de métodos activos que estimulen su capacidad creadora, para terminar proponiendo los programas que orientarían ese plan.
En realidad, se resumen aquí muchas de las consideraciones desarrolladas en el libro-
Aunque en algunos aspectos cada profesor pueda no coincidir con las opiniones expuestas, esta obra le ofrecerá información y sugestiones útiles para su tarea docente, y le facilitará el conocimiento de la evolución de la enseñanza de la matemática p su ubicación más clara en el momento actual.
básico; en cuanto a los textos, se indican las características que deben reunir para ser un auxiliar útil en el aprendizaje del alumno- Cada clase debe constituir una unidad, dividida en varias etapas que se analizan con ejemplos, indicando cómo el profesor debe conducir cada una; se consideran los distintos tipos de trabajos prácticos que se le pueden presentar al alumno: problemas teóricos o de cálculo, combinaciones de ambos, trabajos de laboratorio, proyectos; en todos los casos, mediante ejemplos, se estudian las etapas de la solución y la discusión de los resultados.
Ya que el elemento fundamental para una buena enseñanza es el profesor, se consideran indispensables su formación en el más alto nivel posible y una selección honesta que permita el acceso a la cátedra a los más capaces; se estudian en detalle las condiciones que debe reunir esa formación. El alumno, sus características psicológicas y su capacidad para el aprendizaje de la matemática merecen especial atención, sobre todo en relación con el significado de lo que debe ser para él "'entender matemática" y con la importancia que tienen la intuición, la memoria y la imaginación para llegar a esa comprensión y conocimiento.
Noticiasrese
se en
i
Para el curso organizado por la Liga del Profesorado Diplomado, a cargo de la licenciada Srta. L. Iglesias, redactó el siguiente programa: I. Conjuntos; II. Aplicaciones; III. Leyes de posición; IV. Homomorfismos e isomor- fismos; V. Relación de equivalencias; VI. Grupos; VII. Grupos de transformaciones; VIII. Grupos de permutaciones;IX. Subgrupo invariante; grupo cociente;X. Grupos finitos; grupos cíclicos; XI. Anillos, cuerpos, espacios vectoriales.
2. Con los auspicios del Centro de Profesores de Matemática se dictan cursos sobre Elementos de Algebra lineal y de Geometría, a cargo del Dr. Jorge P. Staricco, y de Probabilidades y Estadística, a cargo del Dr. Emilio A. Machado.
3. A partir del 2 de agosto el Dr. L. A. Santaló comenzó su curso en la Escuela Normal N? 4, con el siguiente programa: Axiomática: Euclides y Hil- bert. Geometría analítica vectorial. Transformaciones geométricas. Geometrías no euclidianas. Problemas topológicos.
4. Invitada por la Dirección Gral. de Enseñanza Secundaria visitó nuestro país la profesora italiana Srta. Emma Castel- nuovo, de destacada actuación en los círculos docentes europeos y autora de textos muy difundidos. Dictó conferencias en esta Capital y Rosario sobre la enseñanza moderna de la matemática, algunas de las cuales publicaremos en breve.
5. En agosto último la CIEM celebró sesión en Digne, Francia, confeccionando la nómina de temas que aconseja para alumnos de 11 a 16 años.
1. 6. En La Plata, el Dr. Jorge Bosch, dicta un curso de Lógica, Matemática y Elementos de Teoría de Conjuntos, para profesores secundarios, organizado por la Universidad de esa Ciudad.
7. Con los auspicios de la Subcomisión Argentina de la CIEM y el apoyo del CONICET se están redactando textos de Geometría Intuitiva (1er. año) y Algebra (2do. año), según los programas propuestos por la primera.
El Instituto " Víctor Scheppers " desarrolla cursos de perfeccionamiento docente a cargo del profesor uruguayo Ing. Celestino Galli sobre temas de matemática moderna y su aplicación en las enseñanzas primaria y secundaria.
9. En la Escuela Nacional de Comercio de Corrientes se dictaron cursos de geometría intuitiva, lógica matemática y álgebra, a cargo de los profesores Gastón de Llano, Méndez y Rodríguez.
10. El Instituto de Matemática, Astronomía y Física y la Escuela Normal "A. Carbó", de Córdoba han organizado conjuntamente cursos de geometría y álgebra para profesores secundarios.
11. Desde el 5 al 7 de octubre se realizó la reunión anual de la Unión Matemática Argentina (UMA) en Horco Molle, bajo los auspicios de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad de Tucumán. Se dedicó una sesión especial a la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria y se consideraron diversas cuestiones relativas al
sei
com-
8.
LIBROS RECIBIDOS:
F. LE LIONNAIS: Las grandes corrientes del pensamiento matemático, EUDEBA. Bs. F. I. TORANZOS: Enseñanza de la Matemática, Xapeluz. Bs. As., 1963.I. M. COPI: Introducción a la Lógica. EUDEBA. Bs. As.. 1962.R. COURANT y H. ROBBINS: ¿Qué I. KELLEY: Topología General. EUDEBA. Bs. As.. 19 62.
As.. 1962.
la Matemática?. Aguilar. Madrid, 1962.es
i'(Viene de pág. 48)cesario fijar las leyes de la igualdad y las propiedades de la adición y la multiplicación de los números reales. En base, a las mismas, se desarrolla la aritmética del número real, operando pares de sucesiones monótonas convergentes. Para los fines prácticos, se opera con expresiones decimales finitas que den aproximaciones suficientes de los números reales.
llamados reales, que incluye a los ente- y a los fraccionarios, ya conocidos,
pero al que también pertenecen números, los irracionales, tales
e y otros, que pueden ser indica dos por el profesor o descubiertos los alumnos.
Acaso convenga que el profesor cluya este tema explicando que será ñe
rosnuevos
como con
s por
COn-ÍSigue en la vuelta)
— G0 — — 51 —
:
ii
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Didier, de Bruselas, acaba de publicar un texto del Prof. Papy. Puede dirigirse a la Librería del Colegio, Buenos Aires.
Prof. Hugo Fuen-.es (Tucumán): Recibimos su trabajo sobre "Partición de números".
Tel. 28-8972Tacuarí 1837
(Viene de la pág. anterior)
perfeccionamiento de los profesores de matemática y a los distintos de nuevos planes y programas dos desde el punto de vista de la temática actual.
La profesora española señorita Concepción Sánchez Martínez, colaboradora del doctor C. Gategno, ha dictado en la "Escuela Argentina Modelo" durante los meses de setiembre y octubre los siguientes cursos: 1) Matemático moderna y números en color en la enseñanza media; 2) Números en color en la enseñanza primaria; 3) Geoplanos en la enseñanza primaria; 4) Geometría y geoplanos en la enseñanza media.
13. El Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, organiza un curso para profesores de matemática que se desarrollará en el próximo mes de enero. Los profesores que deseen participar podrán hacerlo enviando su solicitud a dicho Consejo, Rivadavia 1917, Buenos Aires.
En la solicitud deben indicarse datos personales, títulos, antecedentes y l°s motivos por los cuales se desea asistir al curso.
El Consejo abonará todos los gastos de alojamiento y pasaje de los participantes, quienes se comprometerán a dictar cursillos para los profesores de sus zonas sobre los temas directamente vinculados con los programas de enseñanza secundaria.
ensayos encara
ma-
f12.
UNA GRAN INDUSTRIA PARA EL PROGRESO ARGENTINO>
I— 52 — I
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Lector:
Para que ELEMENTOS
cumpla mejor sus propósitos:!|
Difúndala ■■
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Colabore
□ □i DE INDUSTRIASDI N FIA MADRE
beza de la investigación y experiencias espaciales en la Argentina.
Como las cifras, generalmente, dan ¡deas claras, señalemos: DINFIA, en 36 años
Este complejo industrial de 250.000 m2 cubiertos, se encuentra en los alrededores de la ciudad de Córdoba. Aquí trabajan 8.500 obreros utilizando casi 4.000 máquinas-herramientas.
ESTO ES DINFIA, la empresa del Estado que creó la industria aeronáutica argentina; madre y promotora de las industrias del automotor y del tractor; fundadora, en fin, de la "Córdoba Industrial".
Y ahora, también, se encuentra a la ca-
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Dificultades en la impresión de este número demoraron su
aparición. Subsanados estos inconvenientes, ELEMENTOS
seguirá apareciendo dentro de los períodos establecidos.
i muyde labor, ha construido cerca de un millar de aviones de 50 tipos distintos, 400 motores de aviación, 40.000 automotores, 4.000 tractores y 95.000 motocicletas.
EN LA VANGUARDIA DE LAS INVESTIGACIONES Y DEL DESARROLLO INDUSTRIAL ARGENTINOS SE ENCUENTRA, SIEMPRE, DINFIA.
Tí
'•
LOS EDITORES ■
• •DIRECCION NACIONAL DE FABRICACIONES E INVESTIGACIONES AERONAUTICAS
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