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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
Momento angular: tratamiento matricial I
El caso espec ial del momento angular, visto desde la perspec tiva de la
Mecnica Cuntica, adquiere una importancia central en todo lo que no s
ocupa en v irtud de que fue precisamente la cuantizacin del momento
angular propuesta por Niels Bohr en su mo delo planetario del tomo:
L = n
lo que di una explicac in matemtica extraordinariamente exitosa, por
vez primera, a las lneas de los espectros de emisin y absorc in de los
elementos. Antes de Bohr, se supona que el momento angular de una
partcula poda tomar cualquier v alor posible en el universo de l mundo
sub-microscpico . Pero la cuantizacin del momento angular deinmediato impuso una restriccin sev era en el modelo del tomo de
hidrgeno, en el sentido de que a un electrn ligado al tomo de
hidrgeno slo le era posible tomar alguno de una c antidad posible de
valo res discretos de ene rga, estando vedado s los valores intermedios.
El momento angular cuantizado, tal y como fue definido por Bohr para su
S E G U I D O R E S
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La Mecnica Cuntica
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modelo atmico planetario, era una cantidad medible, observ able, pero
ciertamente no era una cantidad a la cual le corr espondiera un operador
matemtico co mo las matrices que seran utilizadas posteriormente por
Heisenberg para representar a la posicin y al momentum. A Bohr no se le
haba ocurrido que tal cosa se pudiera llevar a cabgo, y no tena base
alguna para suponer lo contrario, especialmente dado el xito que tuv o su
modelo del tomo. Pero si la posicin y el momentum de una partculapodan ser representados mediante matrices, no tard en surgir la
sospecha de que el momento angular, definido prec isamente en base a la
posicin y al momentum, tambin pudiera ser representado mediante una
matriz.
A diferencia del sp in de l electrn, idealizado hipotticamente co mo una
carga elctrica negativa girando sobre su propio eje dando lugar a un
momento angular de spin, ciertamente existe otro tipo de momento
angular que puede tomar una variedad mucho ms amplia de v alores que
los dos valore s relacionados con el spin. Recurriendo nuev amente a la
imagen del modelo atmico planetario de Bohr, se trata del momento
angular L debido al electr n girando en torno al ncleo a una distancia r
del ncleo co n un momento lineal p. Clsicamente, este momento angular
est definido como el producto cruz de los dos vec tores ry p:
L = r p
En un sistema de c oordenadas Cartesianas (x, y, z), esta definicin nos
produce tres co mponentes ortogonales de L: (Lx , Ly, Lz), los cuales se
obtienen de las proyec ciones de los vectores r= (x, y, z) y p= (px , py, pz):
Indice
Prlogo
El modelo atmico planetario
de Bohr I
El modelo atmico planetario
de Bohr IILa espectroscopa de rayos-X
La extraa ecuacin de Max
Born
Vec tores y matric es I
Vec tores y matric es I I
El anlisis de Four ierLa regla de multiplicacin de
Heisenberg
Observ ables compatibles e
incompatibles
Oscilador arm nico simple:
solucin matricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre I I
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento
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L = (Lx , Ly, Lz) = (x, y, z) (px , py, pz)
usando un sistema de vecto res unitarios de base {i,j, k} a travs de un
determinante:
de donde se puede leer directamente:
En estas frmulas lo que tenemos son v ariables continuas, las cualespueden tomar los valores que medimos ex perimentalmente en un
laboratorio. Pero y a vimos q ue en la Mecnica Matricial lo que representa
a las v ariables fsicas son matrices, no v ariables reales. Si queremos
incorporar al momento angular orbital bajo el co ncepto matricial,
tenemos que hacer algn cambio que nos d las matrices que sern
utilizadas. Es en situaciones como sta cuando echamos rec urso de una de
matricial I
Momento angular: tratamiento
matricial II
Momento angular: tratamiento
matricial III
La energa rotacional
Matrices y sub-matrices
Solucin matricial del tomo de
hidrgeno
Funciones matriciales
De la mecnica clsica a la
mecnica matricial
La matriz momentum comogeneradora de traslacin
La matriz generadora de
rotacin
Rotaciones de las matrices de
Pauli
El aspecto e stadstico de la
Mecnica Matricial
Evo lucin temporal de los
sistemas fsicos
Matrices continuas
Ondas de mate ria
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las tcnicas ms potentes que hay en el arsenal de la Mecnica Cuntica:
en las relaciones clsicas reemplazamos a las observablespor matrices.
Este es un recurso directo que no requiere mayor ex plicacin. Sobre esto,
el notable fsico Arno Bohm una v ez dijo: La representacin de
observablesfsicas por operadoreses uno de los m s grandes
logros de la ciencia. Y en la Mecnica Matricial, los operadores son
matrices.
En la Mecnica Cuntica, las proyec ciones de las co ordenadas de posicin
y el momentum estn repre sentadas por las matr ices Qx, Qy, Qz, y Px, Py,
Pz, con lo cual o btenemos las siguientes relaciones matriciales para la
especificacin matricialdel momento angular como una c antidad
vec torial cuy as proy ec ciones son:
Por otro lado, tenemos las siguientes relaciones dadas por la ecuacin de
Born:
Solucin matemtica de la
ecuacin de onda
Solucin numrica de la
ecuacion de Schrdinger
Interpretacin prob abilista de
IInterpretacin prob abilista de
II
Operadores y esperanzas
matemticas I
Operadores y esperanzas
matemticas II
Oscilador arm nico simple:solucin ondulatoria
La funcin delta de Dirac
Transmisin y reflexin de
partculas I
Transmisin y reflexin de
partculas II
Transmisin y reflexin de
partculas III
Transmisin reflexin de
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conv enga. En este caso:
con lo cual QxPzQyPzcancela a QyPzQxPz, y QzPxQzPycancela a
QzPyQzPx:
dejndonos con:
Reacomodando nuev amente los factores matriciales dentro de c ada
trmino tomando ventaja de las matrices que son conmutativas, y
reacomo dando los trminos:
La funcin de o nda del
momento angular del spin
El principio de ex clusin de
Pauli
El proceso de co nstruccin
Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos
angulares
Las reglas de selecci n
Tcnicas de aproximacin I
Tcnicas de aproximacin II
Tcnicas de aprox imacin IIIEl mtodo de aprox imacin
WKB I
El mtodo de aprox imacin
WKB II
El mtodo de aprox imacin
WKB II I
El mtodo de aprox imacin
WKB IV
El enlace mo lecular I
El enlace molecular I I
La hibridacin de los orbitales
atmicos
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Factorizando hacia la izquierda:
Aqu podemos ec har mano de la ec uac in de Born para los fac tores que
tenemos entre parntesis, obteniendo:
LxLy- LyLx= QxPy(iI) + QyPx(iI)
Factorizando nuevamente:
LxLy- LyLx= [QxPy+ QyPx] iI
Pero lo que tenemos entre los parntesis cuadrados es Lz. Se concluye
que:
LxLy- LyLx= iLz
Del mismo modo, po demos obtener las siguientes relaciones:
La teora de los orbitales
moleculares
Teora del campo c ristalino
Operadores c lase T
El espacio-posicin y el
espacio-momentum IEl espacio-posicin y el
espacio-momentum II
El espacio-posicin y el
espacio-momentum III
El espacio-posicin y el
espacio-momentum IV
La partcula libre I
La partcula libre II
La ecuacin de movimiento de
Heisenberg
Mecnicas Matricial y
Ondulatoria: equivalencia
Evo lucin temporal de las
ondas de materia I
Evo lucin temporal de las
ondas de materia II
El operador de traslacin
El operador de ev olucin del
tiempo
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LyLz- LzLy= iLx
LzLx- LxLz= iLy
PROBLEMA:Demo strar la siguiente relac in matric ial:
[Lz, Qx] = iQy
Tomaremos la relacin:
Lz= QxPy- QyPx
y ob tendremo s do s re lac iones pre-multiplicando y po st-multiplicandoesta relacin por la matriz Qx:
Restando la primera ex presin de la segunda:
Las representaciones de
Heisenberg y Schrdinger
Operadores de ro tacin I
Operadores de rotaci n II
Los grupos de rotacin I
Los grupos de rotacin II
Los grupos de rotacin III
La simetra como piedra
angular
Representaciones irreducibles I
D A T OS P E R S O N A L E S
A RM A NDO MA RT NE Z TL LEZ
V E R TO DO MI P E R FI L
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Pero de las relaciones de co nmutacin de Born, [Qx, Py] es igual a la
matriz cero. Por lo tanto:
Puesto que las matrices Qxy Qyrepresentan observables compatibles,
estas matrices conmutan, con lo cual QxQy= QyQx, lo cual nos lleva a:
habindose utilizado en el ltimo paso la relacin de c onmutacin bsica
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de Born.
PROBLEMA:Demo strar la siguiente relac in matric ial:
[Lz, Px] = iPy
PROBLEMA:Evalense y simplifquense las siguientes tres relac iones:
Empezaremos con la primera relaci n haciendo la substitucin de la
componente matricial Lzen funcin de las co mponentes matriciales de la
posicin y el momentum, y simplificando lo que resulte aprov echando las
conmutatividades que podamos enc ontrar entre los matrices posicin y
matrices momentum que se puedan co nmutar:
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Continuamos con la e valuacin de la segunda relacin haciendo
nuevamente la substitucin de las compo nentes matriciales del momento
angular y simplificando lo que resulte aprovec hando las
conmutatividades que podamos enc ontrar entre los matrices posicin ymatrices momentum que se puedan co nmutar:
Conclumos con la ev aluacin de la tercera relacin cuy o resultado
posiblemente podramos haber anticipado:
http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI1anpXy-TI/AAAAAAAANt4/Uvsr2EMzt2k/s1600/primera_relacion.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI1dN_On-XI/AAAAAAAANuA/1iBq_zAClas/s1600/segunda_relacion.PNG7/23/2019 La Mecanica Cuantica Blogspot Pe 2009 08 Momento Angular Orb
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PROBLEMA:Evalense y simplifquense las siguientes tres relac iones:
Empezaremos con la primera relaci n haciendo la substitucin de la
componente matricial Lzen funcin de las co mponentes matriciales de la
posicin y el momentum, y simplificando lo que resulte aprov echando las
conmutatividades que podamos enc ontrar entre los matrices posicin y
matrices momentum que se puedan co nmutar:
http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI1eo7xLv5I/AAAAAAAANuI/mbIdE1Yldus/s1600/tercera_relacion.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_aVul50aI/AAAAAAAAN3w/y1CxJNOBFo4/s1600/enunciado_de_problema.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_ZoazGFyI/AAAAAAAAN3o/QLDp8cpnOj8/s1600/parte_1.PNG7/23/2019 La Mecanica Cuantica Blogspot Pe 2009 08 Momento Angular Orb
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Continuamos con la e valuacin de la segunda relacin haciendo
nuevamente la substitucin de las compo nentes matriciales del momento
angular y simplificando lo que resulte aprovec hando las
conmutatividades que podamos enc ontrar entre los matrices posicin y
matrices momentum que se puedan co nmutar:
http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_ZoazGFyI/AAAAAAAAN3o/QLDp8cpnOj8/s1600/parte_1.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_clKbDMUI/AAAAAAAAN34/H0VIGJgIDL0/s1600/parte_2.PNG7/23/2019 La Mecanica Cuantica Blogspot Pe 2009 08 Momento Angular Orb
14/22df di b PRO iAre you a developer? Try out the HTML to PDF API
Conclumos con la ev aluacin de la tercera relacin cuy o resultado
posiblemente podramos haber anticipado:
PROBLEMA:Evalese:
LzQ - QLz
Recurriendo a la definicin de Q = Qx + Qy + Qz y de Lz, tenemos lo
siguiente:
Ah i l d fi i i d L b
http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_eGLnU6lI/AAAAAAAAN4A/PIJdk_0pWAw/s1600/parte_3.PNGhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI1hukJ20hI/AAAAAAAANuQ/LSSONfeKXZQ/s1600/paso_1.PNG7/23/2019 La Mecanica Cuantica Blogspot Pe 2009 08 Momento Angular Orb
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Ahora rec urrimos a la definicin de Lzpara obtener:
Lo cual se convierte en:
Como se ha destacado a trav s de los colores, todo s los trminos se
cancelan en pares para darnos co mo resultado la matriz cero:
LzQ - QLz= O
Si vemos a la matriz Q como una especie de eq uivalente de la longitud
Pitagrica:
x + y + z
la cual en el anlisis vec torial clsico es una cantidad escalar que co nmuta
con los tres componentes del e ctor posicin ( ) podemos er que
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con los tres componentes del ve ctor posicin (x,y ,z), podemos ver que
aqu tambin tenemos una propiedad parecida en Q, aplicable en la
componente-z del momento angular matricial L.
PROBLEMA:Si definimo s matric ialmente un momento angular total
Pde la siguiente manera:
P = Px + Py + Pz
obtngase entonc es lo siguiente:
LzP - PLz
La evaluacin matricial pedida resulta directa en este problema haciendo
uso de las conmutatividades en donde las haya, cancelndose de este
modo todo s los trminos en pares:
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Una cantidad que resulta extremadamente til para poder medir lo quepodramos llamar el momento angular total de una partcula es la
siguiente, la cual tiene la propiedad de poder co nmutar con todas las
componentes matriciales Lx, Lyy Lzdel momento angular:
L = Lx +Ly + Lz
PROBLEMA:Demo strar que e l operado r matricialL conmuta con las
tres compo nentes matricialesLx, LyyLzdel momento angular.
La resolucin de problemas de este tipo puede avanzar con mucha may or
rapidez si recurrimos al uso intensivo del conmutador en lo q ue
podramos tomar como una especie de lgebra de conmutadoresque no
v iene siendo ms que una espec ie de taquigrafa mate mtica para
abrev iar pasos Empezaremos por demostrar la conmutatividad de L con
http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_T12bDScI/AAAAAAAAN3g/LilBDnJW-lE/s1600/conmutatividad_de_matriz_Lz_con_matriz_momentum.PNG7/23/2019 La Mecanica Cuantica Blogspot Pe 2009 08 Momento Angular Orb
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abrev iar pasos. Empezaremos por demostrar la conmutatividad de L con
Lx:
A co ntinuacin reduciremos el primer trmino de e sto lt imo recurriendo
a unapre-multiplicacin y unapost-multiplicacin co n Lyactuando
sobre [Ly,Lx]:
Sumando (1) y (2):
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Del mismo modo, ex pandiendo y simplificando [Lz,Lx] para llegar a
[Lz,Lx]:
Podemos ver de inmediato que:
[Ly,Lx] + [Lz,Lx] = O
Entonces:
[L,Lx] = O
Procediendo de igual manera, podemos demostrar que
[L,Ly] = O
[L,Lz] = O
conc luyndose que la matriz L conmuta con to das las componentes
matriciales del momento angular.
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Las conclusiones obtenidas del tratamiento mecnico cuntico del
momento angular orbital tienen un impacto importante y directo en el
entendimiento de los espec tros rotacio nales de las molculas diatmicas
tales como la molc ula de hidrgeno (H2 ), e inclusive e n los espectros
rotacionales de mo lculas diatmicas formadas por elementos distintos
tales como la molc ula del monxido de carbo no (CO):
Clsicamente, antes del adv enimiento de la Mecnica Cuntica, se crea
que una molcula diatmica poda girar en torno a su c entro de masa a
cualquier v elocidad angular , no haba razn lgica alguna para esperar
lo co ntrario. Sin embargo, la extraa ecuac in de Max Born que condujo
a la cuantizacin de las vibraciones que puede tener una molcula a lo
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Entrada ms reciente Entrada antigua
q p
largo de su eje internuclear tambin conduce inev itablemente a la
cuantizacin de las rotaciones que puede tener la molcula en torno a su
eje de rotac in. Esto result ser una sorpresa may scula que nadie
esperaba. Y posiblemente la nueva teo ra habra sido rechazada de no ser
por el hecho de que fue confirmada experimentalmente en el laboratorio
miles y miles de vec es.
Si la velocidad angular a la c ual puede girar una molcula diatmica en
torno a un eje pro pio de rotac in est cuantizada, ello implica que los
niveles de energa de energa que son posibles debido a dicha rotac in
tambin estarn cuantizados, lo c ual significa q ue las molc ulas
diatmicas ex hibirn necesariamente espectros rotacionales, los
cuales se manifestarn con la aparicin de nuev as lneas espectrales que
no pueden ser explicadas de otra manera.
a
P U B L I C A D O P O R A R MA N DO MA R T N E Z T LL E Z E N 2 3 : 1 4
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