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“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
TEMA 1 : TEORÍA DE
EXPONENTES
Ec. Exponenciales: Son aquellas
ecuaciones donde la incógnita se
encuentra en el exponente.
1. PROPIEDADES
1.- Si: ax = an x = n ∀a > 0 ; a ¿ 1
2.- Si: xx = nn x = n
Observación
Si: a f(x) = bf(x) f(x) = 0
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Resuelve :
(3√2x+1)
5
= 32
Solución:
(2x+1)5
3
= 25 2x +1
3
= 21
x+13 =1 x = 2
2.- Resuelve :
227 x−1
= 482 x+3
Solución:
227 x−1
= (22)23 ( 2x+3 )
227 x−1
= (22)26x+9
27x-1=2x26x+9
27 x−1 = 26 x+10
7x - 1 = 6x + 10 x = 11
3.- Halla “x” si:
323 x−2 = 1
64
Solución:
(25 )3x−2
= 2−6 15x-10 = -6
15x=4 x =
415
4.- Si: 4x – 4 x-1 = 24 . Calcular (2x)x
Solución:
4 x−4
4
x
4 (4x )−4x
4
4x
(4−1 )4
4 x( 34 )= 24
4x= 32 22X = 25
x = 5/2
∴ (2.
52 )
52
= 542+1
2=52+1
2
= 52 . 5
12
= 25 . √5
5.- Halla xx si :
x-x1-x
=256
Solución :
( 1x )
x
xx=256 ( 1xx )(
1
xx )=44
=
1
xx = 4
xx = 14
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ÁLGEBRA
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BLOQUE I
1. Reducir:
1. √45 + √80
2. 2√3 + 5√27 - √48
3. 2√75 a3 + √28a3
- √12a3
4.
23q √18
+
35q √50
-
13q √45
5. + 3√81
6. 33√40 +
3√135 - 3√625
7. 53√16a +
3√81a - 3√128a
8.
12
3√16m5
+
23
3√54m5
-
25
3√250m5
9.
13√27
+
34√48
- 3√648 +
12√12
+ 3√1029
10.
15√125
+
23√45
+
34
3√128 +
25
3√250 -
37√245
+
13
3√135
BLOQUE II
MANEJO DE CONCEPTOS
1. ¿En qué caso x0≠1?
2. ¿Es cierto que −a0=1 , para valores
de a distintos de cero? ¿Por qué?
3. ¿Para qué valores de a distintos de
cero, se cumple quea0≠1?
4. ¿Es cierto que ( x+ y )n=xn+ yn ,
para cualquier valor real de x y para cualquier valor entero de n ? Justifique.
5. Si el índice es par, ¿qué valores no puede tomar el radicando?
6. ¿Es cierto que
√−2√−2=√(−2)(−2)=√4=2,
por qué?
7. ¿Para qué valores reales de x , se
cumple la igualdad √ x2=x ?
8. ¿Siempre se cumple quen√a + b = n√a + n√a? Justifique.
9. ¿Es cierto que (6√ y )2= y
13
? Justifique.
HABILIDADES DE CÁLCULO
1. Simplifique:
−8+ [50+876 ]1−871−60
+ (−8 )0
2. Calcule:
−4−1 (−2 )2( 13 )
−3
3. Efectuar
a) (x−2 )3 x x6
b) (2 x4 y )(− y 4 )
c) (2 xy )2(3 xy 2 )0
d) (2 x2 y5 )(3 x5 y4 )3
e) (2 x2 y )3
f) (−x4 y5 z2 )3
g) (0 ,0012)3 )(0 ,0002 )5
4. Si una computadora puede hacer un cálculo en 0,000004 segundos, ¿cuánto tiempo en segundos, tarda la computadora en hacer 8 billones de cálculos?
5. Calcular:
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a)
x3 y2
xy6
b)
−25 x4 w5
5 x2 w
c)
( x4 y )(3 x4 yz )6 x8 y2 z4
d)
(0 ,0005 )4
(0 ,005 )2
e)
(0 ,002)3 (0 ,01)8
(0,2 )2(0 ,001)3
f)(−5m2n3
6 p2 )( 2mn5
15 p3 )
g)( x3 )
2
h)( 5 x2
y )2
i)(−4 x2
5 )2
j)(−p5q3
p 7 q )3
6. Efectúe:
3n+3−3n+2
3n con n entero
7. Reduzca:
5 (4n−1)4n−2+22n−2
con n entero
8. Efectúe:
a2b2
c2÷[ a4b
c2÷a
3b2
c5 ]9. Simplifique:
[ (x3 y−4 )9
(x 4 y−3 )8 ]−6
÷[ (x−4 y3 )8
(x−3 y4 )9 ]−5
10. ¿Para que valor de a el resultado de
2a−3 25
16 es 64?11. La tierra se encuentra
aproximadamente a 93 000 000 millas del sol. ¿Cuánto tarda la luz del sol en llegarnos? Use como velocidad de la
luz: 1 ,86×105 millas/s.
12. Efectúe:
(0 ,01 )4 (0 ,0001 )3
(0 ,0000001 )2
13. Simplifica:
a) −5 y (2ay2 y4−3 y )
b) (3 x−4 y )(5 x+7 y )
c) ( x−2 y )( x2+2 xy+4 y2 )
d) ( x−3 )( x+4 )( x−5)14. Desarrollar:
a) (3 x−2)(3 x+2)
b) (ax− y )(ax+ y )
c) (3 x−2 y )2
d) [5−( x+ y )]2
e) ( x−2 y )3
15. Reduzca: √8−2√18+√32
16. Reduzca: 2√27−3√48+ 1
5√75
17. Simplifique: (√14613√1461−3 )417
18. Calcule la raíz cuadrada de
2512+36
12+16
14 +810 ,25
19. Efectúe: (0 ,25 )0,5 ( 0,5 )−2 (0,3 ) (0,1 )−1
20. Efectúe: [( 1
3 )−3
+( 25 )
−2
+( 411 )
−1]12
21. Determine la expresión equivalente
más simple de
3√ x2 3√x3 √x
22. Reduzca:( 3√√5√x0,5 )120
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23. Calcule el valor de m en la siguiente
igualdad: √√xm√ xm+2=x3
24. ¿Cuál es el valor de a para que la siguiente proposición sea verdadera?
√7√ y 7√ y3= ya
BLOQUE III
1).- Resuelve: (√3x )3
= 9
a) 1/3 b) ¾ c) 4/3 d) 2 e) 1/2
2).- Si: m = xa
n = xb
x2 = (mb.na) c Entonces (a b c) vale:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
3).- Halla “m” si:
7√ 516+5m
5m+52=5
4).- Indica “x”
3√9x+2 .4√27x+3=√3x+1 .
5√81x+4
5).- Resuelve:
53 x−2= ( 1
3 )3 x−2
6).- Resuelve:
( 17 )
x−5
= 11x−5
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
7).- Resuelve:
238x
= 512
8).- Resuelve:
335 x+1
= 279x+3
a) 2 b) 4 c) 10 d) 15 e) 22
9).- Halla “x” si: (25 )
3 x−6
= 254
a) ¾ b) 4/3 c) 1/2
d) 1/6 e) 2/9
10).- Resuelve: x√ x = 4√2
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) √2
11).- Calcula “x” si:
12532x−11
=21−x
√52x−9
12).- Resuelve:
27x . 81x = 3x+10 . 9x+11
13).- Halla “x” si: (125
8 )x+2
= ( 425 ) 2−x
14).- Si: 2x+2x+2+2x+3 = 208
Halla “x”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
15).- Calcula “x”
4x−4+4 x−3+4x−1 = 276
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
16).- Calcula “x” :
74 x
343= ( 1
7 )2 x−9
17).- Calcula: (n√ 4√9n+1√31+n
3√3−n )2
a) 9 b) 27 c) 18 d) 1 e) 1/3
18).- Indica el exponente luego de reducir :
E = √ x÷√ x÷√ x÷√ xa) 5/8 b) 5/16 c) 3/8
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d) 3/17 e) 3/16
19).- Resuelve: x√ x = 9√3
a) 3 b) 27 c) 9 d) 18 e) N.A.
20).- Resuelve: x√ 1x = 42−1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)16
21).- Resuelve:
( 2
3 )x−2
( 94 )
3 x−1
= ( 827 )
−5 x+2
a) 2 b) 3/5 c) 2/3
d) 5/3 e) 1/5
22).-Halla “x”.
Si: 323 x−2= 1
64
23).- Si:4x - 4x - 1 = 24. Calcular: (2x) x
24).- Calcula:
E =
4√ x2 3√ x2
5√ x3
25).- Reduce:
3√ x2 y 4√x2 y3 √ x4 y2
a) x b) xy2/3 c) y
d) xy5/3 e)y2/3
26).- Efectúa:
E = 7( 1
2 )−1
+( 113 )(−
12 )
−1
+( 15 )(
− 13 )−1
a) 49 b) 7 c) 343
d) 21 e)8
27).- Calcula:
2x+3+2x+2−2x+1
2x+2+2x
a) 2 b) 4 c) 0,5
d) 0,25 e) 8
28).- Reduce:
√√ .. .√22x−1
⏟( x−3 ) radicales
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
29).- Efectúa:
3√ x2 4√ x3
5√ x4⋅3√4√5√x
a) x–1 b) x–2 c) x1
d) x2 e) √ x
30).- Evalúa:
2−16−1
⋅√4 √16 √32√12831).- Simplifica:
M=2n√ (80 )n+ (16 )n
(20 )n+( 4 )n
32).- Efectúa:
E = (716 )2
10
−73210
−7214
+7250
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 5
33).- Efectúa:
E = (5256 )2
22
−(5213
)217
a) 3 b) 0 c) 2
d) 1 e) N.A.
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34).- Efectúa:
E = (79x +2
)27x−2
−(733 x+5
)32 x−7
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) N.A.
35).- Reduce:
E=[ x23−16n8
√x √x √ x ]15√x .15√x .. . ..
15√x⏞(30n+45 ) veces
a) 40 b) x5 c) 50
d) x6 e) x5
36).- Simplifica:
n−2√ 32 n+5 − 9(32n+1 )24(3n+ 4 )
TEMA 02: POLINOMIOS
La expresión que enlaza variables y/o constante mediante un numero finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones, y/o radicales, y donde los exponentes e índices son constantes; se llama expresión algebraica. La representación simbólica que nos permite reconocer quienes son las variables de una expresión algebraica, se llama notación matemática.Ejm:
E(x) = x3-2x+
3
√x ; la variable es x
F(x;y) =
2xy+3 xy−1
;las variables son x e y.
G(x;y;z) =
x−1 y2+4 z23
√x2+√n ; las variables son
x,y,z.
En las siguientes expresiones algebraica:
P(x;y) = √2xy 3−3 xn y1/3+m2 .
Son variables x e y ; son constantes: ;
3 ; n ;
13 ; m2.
Las constantes que se representan con
símbolos literales se llaman parámetros. En
el ejemplo anterior, m y n son parámetros.
Las siguientes expresiones no son
algebraicas:
F(x) = 1-
1x+ 1
x2− 1
x3+. .. . .. ..
G(x) = x2 + 2x + 2x ; H(x;y) = 2x3 + logxy
- seny2
Termino Algebraico
La expresión algebraica que no admite las
operaciones de adición y/o sustracción
(entre sus variables), se llama termino
algebraico:
Ejm:
R(x;y) = -
3x2
y; s( x )=4ax1/2
T(x;y;z) =
xn+1
yz; U( x )=-5x 4
Son
términos algebraico.
En el siguiente termino algebraico:
T(x;y) =
5x3
y4, se tiene :
Son variables x e y
Es coeficiente: 5 ; y
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Son exponentes: 3 , 4.
Términos semejantes
Dos o más términos algebraicos son
semejantes, si presentan las mismas
variables, coeficientes no nulos; y con
respecto a las variables, coeficientes no
nulos; y con respecto a las variables
comunes, iguales exponentes.
Ejm: Los términos algebraicos:
A(x;y) = 2x3y5 N(x;y) =
12x3 y5
son
semejantes
Los términos algebraicos:
M(x;y) = -
4 x3
y2∧N ( x )=2x3
y2
No son semejantes, pues no tienen las
mismas variables.
Valor Numérico (V.N.)
Si le asignamos valores a las variables de
una expresión algebraica y efectuaron las
operaciones que se indican, el número real
que se obtiene se llama valor numérico de
la expresión algebraica.
Por ejm el valor numérico de:
A(x;y) =
2xy+3 xy−1 cuando x = -2 ; y = 3,
es:
A(-2;3) =
2(−2 )(3)+3 (−2 )3−1
=−12−62
=9
A(-2;3) = -9
Polinomio
La expresión algebraica que no admite las
operaciones de división y sustracción (para
las variables son enteros positivos, se
llama polinomio. Ejm:
P(x;y) = x2 + xy + y2
Se lee “polinomio P de variables x e y” o
simplemente de “P de x e y”.
Además podemos nombrar los polinomios
de acuerdo a la calidad de términos que
poseen:
P(x;y) = 3x2y4 : Monomio
P(x) = x2 - 2x : Binomio
Q(x;y) = 2x2 – xy + 3y2 : Trinomio
Q(x) = x3 - 3x2 + 11x - 6: Cuatrinomio o
simplemente polinomio de 4 términos.
Polinomio de una Variable
Generalmente se utiliza la letra “x” para
indicar la variable, donde el mayor
exponente de la variable es llamado el
grado del polinomio. Ejm:
P(x) = 3x – 2 : Polinomio de primer grado.
Q(x) = 3x2 – x + 2 : Polinomio de segundo
grado
F(x) = x3 - 2x + 1 : Polinomio de tercer
grado
G(x) = 5x4 - x2 + 7 : Polinomio de cuarto
grado
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Polinomio Monico
Es aquel polinomio de una variable cuyo
coeficiente principal es uno.
Por ejemplo los polinomios:
P(x) = x3 + 2x2 - x4 + 3 ; G(x) = x5 + x4 +
2x6 + x3 - 5
son monicos.
PROBLEMAS
01.- Si: P(x-3) = (x-2)(x-4) + 1
Hallar: E =
02.- Sabiendo que: P(x-2) = 3x + 1
Calcular “x” para que: P(x+3) = 28
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
e) 6
03.- Hallar el valor de “a” en:
P(a+1) - P(a-1) = 8
Si: P(x) = x2 – 2x + 3
a) 2 b) 3 c) 4 d) 8
e) 1
04.- Calcular P(2) del siguiente polinomio
mónico:
P(x) = (a-4)x5 – (a+1)x2 – (a-1)x + 3
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) 4
05.- Dado el polinomio:
P(x) = (3mx-4m)2 + (3x-4)2m – x2 + 4
Hallar la suma de coeficientes, sabiendo
que el término independiente es 36 y m N
a) 3 b) 4 c) 7 d) 6
e) 5
06.- Calcular el coeficiente del término
principal del polinomio:
P(x) = (2a+3)x4 + (2a-1)x2 +ax – 5
Si la suma de sus coeficientes es 12.
a) 6 b) 9 c) 7 d) 11
e) 15
07.- Si:
T1 (x;y) =
T2 (x;y) = - 4
Son semejantes, calcular “m.n”
08.- Si los términos algebraicos:
T1 (x;y) =
T2 (x;y) =
Son semejantes, hallar T1 + T2
09.- Si : P(x) = x2 + 2x + 3
Q(x) = 3x – 5
R(x) = x – 4
Calcular : P(Q(R(6)))
a) 0 b) 4 c) 6 d) 7
e) 15
10.- Si: P(x) = 3x2 – 2x -1
Calcular: E =
a) 0 b) 1 c) 2 d) 7
e) 1/7
11.- Calcular a2 si:
F(x) = ax+b ; F(2) = F(-2) + 24
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a) 16 b) 25 c) 36 d) 49
e) 81
12.- Sabiendo que: P(x+3) = 5x+8
P(Q(x)) = 10x+18
Calcular Q(P(2))
a) 3 b) 11 c) 9 d) 13
e) 7
13.- Si: P(x) + Q(x) = 5x + 3
P(x) – P(x) = 3x – 7
Hallar el valor de Q(P(1))
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6
e) 7
14.- Calcular: P(1) + P(-1)
Si: P(x+1) = P(x) + 2x + 4
Además: P(0) = 2
a) 6 b) 0 c) 2 d) -2
e) 4
15.- SI: P(x) = . Además: P(P(x))
= y. Calcular el valor de:
E =
GRADOS
Grados es una característica propia de los
polinomios y está expresado por números
naturales.
Estudiaremos dos tipos de grados:
Grado Absoluto (G.A.) Grado Relativo (G.R.)
a) Para un polinomio de un solo término (Monomio)
Grado Absoluto (G.A.): Está dado por
la suma de los exponentes de sus
variables.
Grado Relativo (G.R.): Está dado por
el exponente de la variable referida.
Ejemplo:
G.A.: 4+5+2 = 11 ; G.R.(x) = 4 ; G.R.
(y) = 5 ; G.R.(z) = 2
b) Para polinomios de dos o más términos:Grado Absoluto (G.A.): Está dado por
el Mayor de los grados se sus
términos.
Grado Relativo (G.R.): Está dado por
el Mayor de los exponentes de la
variable referida.
Ejemplo:
Luego el grado absoluto (G.A.) del
polinomio es 16.
Además: G.R.(x) = 4
(Mayor exponente de x)
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OPERACIÓN REGLA
Multiplicació
n
Se suma los grados de sus factores.
DivisiónSe resta el grado del dividendo con el
grado del divisor.
PotenciaciónSe multiplica el grado de la expresión
con el exponente de la potencia.
RadicaciónSe divide el grado de la expresión
entre el índice del radical.
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G.R.(y) = 8
(Mayor exponente de y)
G.R.(z) = 5
(Mayor exponente de z)
Grado de las Operaciones Algebraicas
Ejemplos:
1) Sea:
Grado: 1 + 2 + 4 = 7º
2) Sea:
Grado: 8 – 3 = 5º
3) Sea:
Grado: (5)(3) = 15
4) Sea:
F(x;y) =
Grado: = 2
Ejemplo:
Hallar el valor de “n” para que la expresión
sea de tercer grado.
E =
Solución:
Aplicando grados en operaciones se tiene
que:
Grado (E) =
Por dato: 3 =
n = 4 ….. Respuesta
01.- Calcular (m/n) para que el monomio:
Tenga: GR(x) = 17 ; R(y) = 11
02.- Calcular (mn) si el monomio:
M (x;y) =
Tiene: GA = 20 y GR(x) – GR(y) = 4
a) 8 b) 12 c) 20 d) 32
e) 24
03.- Hallar el coeficiente del monomio:
si su G.A = 13 y GR(x) = 4
04.- Encontrar la suma de los coeficientes
si el polinomio:
P(x) =
Tiene grado 7.
05.- Dado el polinomio:
P(x;y) =
Hallar: , si el GA = 17 y el GR(x) =
6
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06.- Si el grado del Monomio:
M ( x )=3√ 4√x3 a
√ xa
es igual a 5, calcular el valor de de √a+4
07.- Calcular el coeficiente del monomio:
si su GA = 12 y GR(x) – GR(y) = 11
08.- El monomio:
M (x )=3√(3 x )2 n .
5√(4 x )3 n7√(5x )5n
es de segundo grado hallar “n”
a) 85/12 b) 35/11 c) 12/35 d) 9
e) 7
09.- Encontrar el grado absoluto de:
E(x;y) =
a) 7 b) 6 c) 8 d) 4
e) NA
10.- Si el monomio:
tiene: GA = 7 y GR(x) = 4 , hallar (a+b)
a) 30 b) 32 c) 35 d) 29
e) 23
11.- Calcular (n-m) para que el polinomio:
P(x;y)=
Tenga: GA = 28 y GR(y) = 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
TEMA 03: POLINOMIOS
ESPECIALES
POLINOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel polinomio que tiene todos sus términos del mismo grado. Por ejemplo, los polinomios:
P(x;y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ;
Q(x) = ax3y2 + bx2y3 + cxy4 ; abc0 son homogéneos
POLINOMIO ORDENADO
Es aquel polinomio que esta ordenado con respecto variable llamada ordenatriz, donde los exponentes de la mencionada variable van aumentando o disminuyendo.
Ejm:
P(x;y) = 9x5y + 2x3y3 - 4x2y2 + 3y4
Es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a la ordenatriz x.
POLINOMIO COMPLETO
Se dice que un polinomio es completo respecto a una de sus variables si posee todos los exponentes de la variable considerada, desde el mayor al exponente uno, inclusive el termino independiente (de la variable considerada).
Ejemplos:
P(x) = 5x3 - 3x2 + 6x - 2 ; es un polinomio completo y ordenado.
Q(x) = 5x3 - 3x2 + 6x - 2 , es un polinomio completo y ordenado.
P(x;y) = 11x4y - 3x3y2 + 4x2 - 10xy + y2,
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es un polinomio completo y ordenado respecto a la variable x.
POLINOMIO IDÉNTICOS
Dos polinomios de las mismas variables son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor o valores asignados a sus variables. Ejm:
P(x) = (x+2)2, Q(x) = x2+4x+4 son polinomios idénticos, luego
denotamos: P(x) = Q(x)
P(x;y) = x3-y3 , Q(x;y) = (x-y)(x2+xy+y2) son polinomios idénticos.
Consecuencia:Los polinomios: P(x) = a0x3+a1x2+a2x+a3
Q(x) = b0x3+b1x2+b2x+b3
Son idénticos, si y solo si:a0 = b0 ; a1 = b1 ; a2 = b2 ; a3 = b3
NOTA:
Término Independiente: Es el término que no esta afectado de ninguna variable, se calcula haciendo x = 0 en el polinomio
T. I. = P(0)
Sumatoria de Coeficientes
Es la suma de los términos de un polinomio evaluado en x = 1
chef. = P(1)
Ejercicios
01.- Siendo el polinomio:
completo y ordenado ascendentemente, hallar “2a+b+c”
Solución:
Por ser completo y ordenado:El exponente del primer término debe ser igual a cero:
a – 1 = 0 a = 1
El exponente del siguiente término sería 1 a + b – 3 = 1 a + b = 4 1 + b = 4 b = 3
El último exponente valdrá 2: b – c = 2 3 – c = 2 c = 1
Piden: 2a+b-c = 2(1) + 3 – 1 = 4
02.- Si se cumple la siguiente identidad:4(2x-1) m(x+2) + n(x-2)
Hallar los valores de “m” y “n”
Solución:
Desarrollando:8x – 4 mx + 2m + nx – 2n8x – 4 (m+n)x + (2m-2n)
m+n = 82m–2n = 4 resolviendo el sistema : m = 3 ; n = 5
03.- Si el polinomio es completo y ordenado en forma decreciente: P(x;y) =
Hallar el valor de m+n
Solución:
Por ser completo y ordenado en forma decreciente, debe cumplirse: m – 4 = 1 m = 5 n + 1 = 2 n = 1
reemplazando: P(x;y) =
Piden: m+n = 5 + 1 = 6
04.- El polinomio dado es completo y ordenado en forma ascendente, dar el valor de: “p+q+b+c” P(x) =
Solución:
Por ser completo y ordenado en forma ascendente, debe cumplirse que:
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q+2 = 0 q = -2 q+b+c = 1 -2+b+c = 1 b+c = 3
Reemplazando en el polinomio:
b-c+p = 2 p+q = 3Luego piden: p+q+b+c = 3 + 3 = 6
PROBLEMAS
01.- Calcular (m.n) si el polinomio:
P(x;y) = Es homogéneo.
a) 0 b) 2 c) 3 d) 6e) 12
02.- Hallar (m-n) si:
P(x;y) = Es homogeneo.
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1e) 2
03.- Calcular: m+n+p si el siguiente polinomio:
P(x;y) =
Esta completo y ordenado en forma decreciente.
A) 6 b) 7 c) 8 d) 10e) 12
04.- Si:
Es completo y ordenado ascendentemente. Calcular “abcd”.
a) –12 b) 12 c) –6 d) 6e) –3
05.- Si el polinomio:
Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular “a+b+c”
a) 18 b) 32 c) 36 d) 68e) 92
06.- Si:P(x) (x - 2) (x + 1)x (x+1) (x+2)+1
Calcular su término independiente
07.- En el polinomio:P(x) (3x - 2)4 (x + 1)2 (x - 2) + 9
Calcular la suma de sus coeficientes
08.- Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
Q(x,y) = nxn+5 + 3xnym + mxm+3 , si es
homogéneo.
09.- Si el polinomio:
P(x) = (a–4)x5 + 3x4 + ax5 – 4
Es idénticamente nulo, señalar (a+b)
10.- Calcular a + b + c; para que el polinomio:
P(x) 9xa-18 + 12xa-b+15 + 15xc-b+16
Sea completo y ordenado en forma descendente
11.- Si P(x) es completo y ordenado, hallar el valor de “b”
P(x) axb+a + xa+2 - x2a + 3xa + xa-1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5
12.- Si se cumple la siguiente identidad del polinomio:
m(x-2) + n(x+1) 4x - 17calcular m + n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5
13.- Calcular a + b + c; para que el polinomio:
P(x) 9xa-18 + 12xa-b+15 + 15xc-b+16
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Sea completo y ordenado en forma descendente
a) 36 b) 54 c) 72 d) 84e) 96
14.- Si P(x) es completo y ordenado, hallar el valor de “b”
P(x) axb+a + xa+2 - x2a + 3xa + xa-
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5
15.- Si se cumple la siguiente identidad del polinomio:
m(x-2) + n(x+1) 4x - 17calcular m + n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5
16.- Calcular: del siguiente polinomio completo y ordenado:
P(x;y) =
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11e) 8
17.- Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado:
P(x) =
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13e) 14
18.- Calcular la relación entre “a” y “b” si:
a) 3a=2b b) 2a=3b c) a=b d) 2a=b e) a=2b
19.- Hallar “m.n” si:
mx(x+1) + n(x3-x+1) x(x+1)(x+2) + 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6e) 10
20.- Hallar el número de términos del siguiente polinomio complete y ordenado:
P(x) = (n-10)xn-19 + (n-11)xn-18 + (n-12)xn-17 + ………
a) 9 b) 12 c) 18 d) 19e) 10
TEMA 4 : PRODUCTOS
NOTABLES
Son los resultados de la multiplicación que
se obtienen de polinomios, que tienen
características especiales y necesidad de
realizar la multiplicación.
PRINCIPALES PRODUCTOS
NOTABLES:
2.1.Binomio al Cuadrado:
a) (a b)2 = a2 2ab+b2
Nota: (a-b) 2 = (b-a) 2
2.1.1.Corolario : "Identidades de
Legendre"
b) (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)
c) (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab
2.2.Diferencia de Cuadrados:
a) (a+b)(a-b) = a2-b2
2.3.Trinomio al Cuadrado:
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a) (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
2.4.Binomio al Cubo:
a) (a + b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 = a3+b3+ 3ab(a + b)
b) (a -b)3 = a3-3a2b + 3ab2 - b3 = a3- b3-3ab(a-b)
2.5.Suma y Diferencia de Cubos:
a) (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3
b) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3
2.6.Trinomio al Cubo:
(a+b+c) 3 = a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(c+a)+
3c2(a+b)+6abc
También:
(a+b+c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
(a + b + c) 3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) -
2(a3+b3+c3) + 6abc
(a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b + c) (ab +
bc + ca) - 3abc
2.7.Producto de Binomios con un Término
Común:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (Identidad
de Stevin)
(x+a)(x+b)(x+c) = x3+ (a + b + c)x2 +(ab +
bc + ca)x + abc
2.8.Identidad Trinómica (Argand):
(x2n+xnym+y2m) . (x2n-xnym+y2m) =
x4n+x2ny2m+y4m
Casos Particulares:
(x2+xy+y2)(x2-xy+y2) = x4+x2y2+y4
(x2+x+1)(x2-x+1) = x4+x2+1
2.9.Identidad de Lagrange:
(a2+b2)(x2+y2) = (ax+by) 2+(ay-bx) 2
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2 +(ay-
bx)2+(bz-cy)2+(cx-az) 2
2.10.Identidades Adicionales:
½ (a+b+c)[(a–b)2+(a-c)2+(b-c)2] = a3+b3+c3–
3abc (Ident. Gauss)
a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 -ab-ac-
bc) (Ident. Gauss)
a2+b2+c2-ab-ac-bc = 1/2{(a-b) 2 +(b-c) 2 + (c-
a) 2}
(a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c) (ab
+ bc +ca)
2.11. Igualdades Condicionales:
Si: a + b + c = 0,
entonces se cumplen:
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
b) a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)
c) (ab) 2+(bc) 2+(ca) 2=(ab+bc+ca) 2
d) (a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
e) a 2 +b 2 +c 2 . a 3 +b 3 +c 3 = a 5 +b 5 +c 5
2 3 5
f) a 2 +b 2 +c 2 . a 5 +b 5 +c 5 = a 7 +b 7 +c 7
2 5 7
NIVEL I :
1).- Reduce :
E=(x+2)3 - (x+3) (x+2) (x+1) – x
a) 1 b) 2 c) 3
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d) 4 e) 5
2).- Reduce:
E = (a+b+c) (a-b+c)+(b+a-c)(b-a+c)
a) 2ab b) 4abc c) 4bc
d) 6ab e) 4ac
3).- Calcula “M”.
M=(a+b+ x )2+(a+b−x )2+( x+a−b)2+( x−a+b )2
Si: a2+b2+x2 = 16
a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 48
4) Simplifica :
S = n√2+√3 .
n√2−√3
5).- Reduce :
E=(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a+b-d)(a+b+d)-3(a-
b)2+d2-2c2
a) 6ab b) ab c) d2+c2
d) 12ab e) 8abc
6)Reduce:
E=(x2+x+3)(x2+x+7)-(x2+x+2)(x2+x+8)
a) 9 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6
7).- Reduce:
N=(a+b+c )( a+b+d )−(a+c+d )(b+c+d )− (a+b+c+d )( a+b−c−d )−cd
a) 2a b) 4ab c) 0
d) a2+c2 e) -ab
8).- Simplifica:
A=(a+2b+c )2+(a+b+2c )2−2(a+b+c )(a+2b+2c )−b2
a) a2 + b2 b) c2 c) 4a2
d) d2 e) c2+d2
9).- Reduce :
K=
( x+2 ) ( x+3 ) ( x+4 ) ( x+5 )− (x2+7 x+11)2
(x2+9x+19 )2− (x+3 ) ( x+5 ) ( x+6 ) (x+4 )
a) 1 b) 1/2 c) 0
d) –1 e) –1/2
10).- Si: x=√4+√15+√4−√15
Calcula: K= (x+2 ) ( x−2 ) (x4+x2+1 )
a) 666 b) 216 c) 512
d) 200 e) 375
11).- Efectúa :
√(3 x+2)2+(4 x+6 )2−(5 x+6 )2
a) 9 b) 2 c) 4 d) 2x+2 e) 6
12) Si : a + b = 2
ab = 3
Determina : a3 + b3
a) 20 b) 40 c) 10
d) -20 e) –10
13).- Efectúa :
(x-3)4–x(x-6)(x-4)(x-2)–10x(x-6)+9
a) 90 b) 72 c) 15
d) –72 e) -90
14) Si : x + x -1 = √5
Calcula : x 5 +x –5
a) 14 b)5√5 c) 16
d) 7 e) 5
15).- Reduce :( x+ y−z ) ( x− y−z )−( x−z )2
a) -y2 b) y2 c) z2
d) x2 e) -x2
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16).- Reduce :
(2 x+3 )2− (2x+1 )2+(2 x−3 )2−(2 x−1 )2−16
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
17).- Si : m = 1998 y n =
Calcula :
a) 9 b) 2 c) 4 d) 2x e) 6
18).- Si : a + b = √6
a b = 3
Halla : a6 + b6
a)25 b)24 c)23 d)26 e)22
19).- Si: x+x-1=5
Calcula : B= x
3+x−3−2x2+x−2+22
20).- Si : a + b + c = 20
a2 + b2 + c2 = 300
Calcula: E = (a+b)2+(a+c)2+(b+c)2
NIVEL II
1).- Si: a =√5 -√3 b =√2 -√5
c =√3 -√2
Calcula :
E=[ a2+b2+c2
ab+ac+bc ] .[ a2
bc+ b
2
ac+ c
2
ab ]a) 6 b) 2 c) 2/3
d) –6 e) 9√30
2) Reduce:
a) 1x b)-48x c)-38x
d) 4x e) –58x
3).- Si : ( xy )
n+( yx )
n=62
Calcula:E=3√ xn+ yn√xn yn
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
4).- Simplifica
M=( x+a+b)( x+a+c )−bc
x+a+b+c−a
5).- Si: x + y + z = 6
Calcula :
a) 60 b) 10 c) 40
d) 48 e) 51
6).- Simplifica :
G =
(2m5+3 )2+(2m5−3)2
4m10+9
a) 6 b) 5 c) 4 d) 2 e) 16
7).- Efectúa :
(x2+x+1)(x+1)(x–1)(x2–x+1)-x6
a) x + 1 b) -1 c) x-1
d) 1 e) x5
8).- Si : x2 + 3x - √2= 0
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Calcula : x(x+1)(x+2)(x+3)-2√2
a) 2 b) 7 c) 0 d) 6 e) 73
9).- Si : x2+
1
x2=3
; x > 1.
calcula : V = x -
1x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10).- Si : (a + b)2 = 4ab, calcula:
a+1b+1
+b−1a−1
a) ab b) a + b c) a2 – b2
d) 1 e) 2
11).- Halla : E = a2
bc+ b
2
ac+ c
2
ab
Si :a + b + c = 0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12).-Efectúa: 4√4√1+3(22+1 )(24+1)(28+1 )
a) 3 b) 2 c) –5
d) –3 e) 1
13).- Simplifica :
E =2b2 + 2ab+√(a2+b2)2−(2ab )2
y calcula : √E
a) a + b b) (a + b)2
c) a – b d) ab e) a2 + b2
14).- Si: a=√2 -1; b=1-√3 ; c=√3 -√2
Calcula :
abc
3(a3+b3+c3 )
a) 1/3 b) 2/3 c) 1/9
d) 7/3 e) 1
15).- Si : y =√5+2√3
Calcula : E = (y+3)(y–3)(y2+9)–y4
a) 81 b) –81 c) -27
d) 9 e) -9
NIVEL III
01.- Si el desarrollo de: (2x2+1)2 + (3x2-1)2
es:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e , entonces
determine a+b.
a) 2 b) 13 c) 5 d) 7
e) 9
02.- Halle el valor de M+N
M =
N =
a) 0 b) 24 c) 16 d) 12 e) 32
03.- Calcule:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
04.- Calcule:
E =
a) 1 b) 2 c) 3 ) 4 e) 5
05.- Simplifique:
E = (2x+1)(x+2) – (2x-1)(x-2)
a) 5x b) 10x c) x-1
d) x+1 e) 2x
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06.- Si se cumple: x + y = 5
xy = 2
Determine: x – y
a) b) c) d) 2
e)
07.- Reduzca: (x+2)(x+1) – (x+5)(x-2)
a) 11 b) 12 c) 13 d) 4 e) 5
08.- Si se cumple:
x2 + y2 = 2xy
Determine: x – y + 5
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6
e) 7
09.- Si: x – y = 4
xy = 1
Entonces: x2 + y2 es:
a) 18 b) 15 c) 16 d)
180 e) 2
10.- Si: m2 – n2 = 12 y m – n = 3
Entonces 2m es:
a) 3 b) 7 c) 8 d) 10
e) 12
11.- Dar los valores de verdad
I. (x+y)2 = x2 + y2
II. (x-y)2 = x2 + y2 – 2xy
III. (x-y)2 = (y-x)2
Para todo x , y R
12.- Simplique:
962 + 942 + 1 – 2(96)(94)
a) 1 b) 100 c) 5 d) 4 e) 9 999
13.- Calcule el valor de:
(3a+2b)2 + (2b-3a)2
Si: a2 = b2 = 3
a) 39 b) 78 c) 29 d) 25
e) NA
14.- Al efectuar: 2(x+4)(x-2) – (x+1)2 –
x(x+2)
se obtiene:
a) -15 b) -17 c) -14 d) -
20 e) -22
15.- Efectuar:
(x-2)4 – x(x-1)(x-3)(x-4) – 5(x-
2)2
a) -2 b) x2+x c) –x+1 d) 2
e) -4
16.- Si se cumple:
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Calcular el valor de:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2
e) 3
17.- Sean a y b tal que: a2 + b2 = 1 y
ab = a+b
Calcular el valor de: (ab – 1)2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
18.- Si:
; calcular:
a) 1/2 b) 5/2 c) 3/2 d)
7/2 e) -1/2
19.- Si: a+b = 3 ab = -1
Calcular el valor de: (a-b)2
a) 1 b) 7 c) 3 d) 5
e) 9
20.- Reducir:
E = (x+a)(x2+a2)(x4+a4)(x-a) +
a8
a) x4 b) x8 c) x8-a8 d) a8
e) –a8
NIVEL IV
01.- Efectuar:
E =(x + 2y)2 - (x - 2y)2 - 4xy
a) xy b) 3xy c) 4xy d)
6xy e) 9xy
02.- Reducir:
R = (a + b)2 - (a - b)2 + (a - 2b)2 - a2 -
4b2
a) a b) b c) 0 d)
2ab e) ab
03.- El valor de:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12
e) 14
04.- Luego de efectuar:
E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) - 2x(x
+ 5)
Se obtiene:
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12
e) 11
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05.- Efectuar:
(x-3)(x+2)(x-5)(x+4) – (x-2)2(x+1)2 +
22x(x-1)
a) 116 b) 115 c) 114 d)
120 e) 230
06.- Efectuar: M = (x + 2)2 + (x + 4)2 - 2(x +
3)2
a) 0 b) 2x c) 2 d) -1
e) 2x - 1
07.- A qué es igual: E = ; x
> 0
a) x + y b) x c) xy d) 0
e) x – y
08.- Efectuar:
R = ; x; y
R+
a) 4xy b) 4 c) 0 d) x
+ y e) 2x + 2y
09.- Efectuar: R =
a) 1 b) 2 c) d) 2
e)
10.- Efectuar:
S = (x + 6)2 - (x + 8) (x + 4)
+ 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
11.- Reducir:
E =
a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 4
e) 1/4
12.- Si:
Calcular el valor de:
a) b) c) d)
e) 1
13.- Dada la expresión: (a + 2b)2 + (a-2b)2 =
8ab
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“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
hallar el valor de: M =
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
14.- Si: ; Calcular: x4 +
a) 34 b) 23 c) 79 d) 49
e) NA
15.- Simplificar:
(x2 + 5x + 5)2 - (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x +
4)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) 4
16.- Efectuar:
E = (2x + 5y)2 - (2x - 5y)2 - 36xy
a) xy b) 8xy c) 4xy d)
8xy e) 12xy
17.- Resolver:
M =
a) 40 b) 36 c) 60 d) 18
e) 72
18.- Hallar : ; Si:
a) 1 b) 3 c) 2 d) 6
e) NA
19.- Reducir:
E =
4√(a−1)( a2+a+1)(a3+1 )(a6+1)+1a) a b) a3 c) a2 d) –
a2 e) 1
20.- Si: x3 – y3 = m; x – y = n, entonces,
¿cuál es el valor de “xy”?
a) b) c) d)
e)
TEMA 05: DIVISIÓN
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“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
ALGEBRAICA
¡Se denomina así los polinomios que
intervienen en la operación son de una
variable y se encuentran ordenados en
forma decreciente; se conoce el dividendo
y el divisor ( °[D] °[d] ).
El objetivo es determinar el cociente (q) y el
residuo (R) de tal modo que verifique la
siguiente:
Identidad Fundamental
D(x) = d(x) q(x) + R(x) .............. ( I )
CLASIFICACIÓN
1.- Una división es exacta si y solo si:
R(x) = 0
En ( I ) :
D(x) = d(x).q(x)
Nota:
Si D(x) es divisible por d(x), esto se cumple
si y solo si: , es una división exacta.
2.- Una división es inexacta si y sólo si:
R(x) 0
En ( I ) :
D(x) = d(x).q(x) + R(x)
PROPIEDADES:
1) °[q] = °[D] – °[d]2) °[R] < °[d]
Max °[R] = °[d]
Ejemplo:
Luego: °[q] = 7 – 3 = 4
Max °[R] = = 3 – 1 = 2
Nota: El residuo como máximo es de grado
2, pero también puede ser de primer grado
o de grado cero (una constante).
1.- MÉTODO CLÁSICO
Q(x) = 3x2 – 2x + 2
R(x) = 10x – 11
2.- MÉTODO DE HORNER
Este método se basa en la división por
coeficientes separados. Los polinomios
dividendo y divisor se presentan en el
esquema como polinomios completos y
ordenados por lo general en forma
decreciente. Si faltase algún término para
que sean completos se colocará un cero.
Esquema:
Nota: El número de columnas que
presentan el resto es numéricamente igual
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24
“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
al grado el divisor contado de derecha a
izquierda.
Dividir:
Por Horner:
Luego: q(x) = 3x2 – x + 3 ; R(x) = 0
3.- MÉTODO DE RUFFINI
Se utiliza cuando el divisor es mónico y de
primer grado, así:
d(x) = x + b ; b 0
Esquema:
TEOREMA DEL RESTO
Finalidad: Tiene por finalidad hallar el resto
de una división sin efectuar dicha
operación.
Enunciado: En toda división de la forma
P(x) entre (ax+b), el resto se halla mediante
el valor numérico del polinomio P(x) cuando
x toma el valor de (–b/a)
Pasos a Seguir:
i.Se iguala el divisor a ceroii. Se despeja una variableiii. Se reemplaza el valor o equivalente de
esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario.
Ejemplo: Hallar el resto de dividir:
i. x+1 = 0
ii. x = – 1
iii. Reemplazando: R = 8(–1)2001 + 13(–1)2 +
1999
R = 2004
PROBLEMAS - HORNER
01.- Al efectuar la siguiente división:
Indicar su cociente:
a) x2+2x-3 b) x2-2x+3 c) x2+2x+3
d) x2+3x+2 e) x2-3x-2
02.- Indicar el cociente al dividir:
a) x2-2x-2 b) x2+2x+2 c) x2-2x+2
d) x2+3x+1 e) x2-3x+1
03.- En la siguiente división:
Deja como resto: 13x+3. Determinar: A/B
a) 1 b) 2 c) 3 d)
1/2 e) 1/3
04.- En la siguiente división:
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Deja como resto: 4. Calcular:
a) 2 b) 4 c) 1/2 d)
1/4 e) 3
05.- Calcular “a+b+c” si la división:
es exacta
a) 0 b) 5 c) 10 d) 14
e) -10
06.- Al dividir:
se obtiene como resto: bx + c . Indicar el
valor de a+b+c
a) 1 b) -4 c) -2 d) -1
e) 2
07.- En la siguiente división exacta:
Determinar el cociente:
a) 2x2 + 3x + 4 b) 2x2 + 3x - 4 c)
2x2 - 3x - 4
d) 2x2 - 3x + 4 e) x2 + 3x - 4
08.- En la siguiente división exacta:
Calcular: (A+1)/B
a) 2 b) 1/2 c) 3 d)
1/3 e) 1
09.- 01.- Si la división:
2x4+3 x2−ax+bx2+x+3 es
exacta, halle 4√a+b
a) 2 b) c) 4 d) ½
e) 3
10.- Si la siguiente división:
ax3−bx 2+cx+bx2−x−2 es exacta, halle:
a+b+c2a
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a) 0 b) 1 c) –1 d) –3
e) 5
11.- El cociente al dividir:
es:
a) 0 b) x c) 2x-1 d)
2x+1 d) 2x+6
12.- Halle la suma del cociente más el resto
de la división:
a) x2+3x-6 b) 2x2+9x-3 c)
2x2+10x+1
d) x2+6 e) 2x2+5
13.- Hallar “m+n” si al dividir:
Se obtiene como resto a 5x+7
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) 4
14.- De la división:
Obtener: m3+n3. Sabiendo que el resto de
dicha división es 4x
a) 214 b) 215 c) 216 d)
217 e) 218
15.- Dividir ( 4x3+3x-2) entre (2x2-3x+2) y
dar como respuesta la suma del cociente y
el residuo.
a) 8x-8 b) 10x+3 c) 2x+3 c)
10x-5 e) 10x-8
16.- Hallar el cociente de la siguiente
división:
a) x2+1 b) x2+3 c) x+3 d) -
10x+14 e) 10x-14
17.- Hallar el residuo de la división:
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a) x2+1 b) 4x-6 c) -2 d) -8
d) 4x
18.- Al efectuar la siguiente división:
Indicar su cociente:
a) x2+2x+3 b) x2-2x+3 c) x2-2x-3 d)
x2+2x-3 e) x2+2x+4
PROBLEMAS - RUFFINI
01.- Halle el cociente de dividir:
a) x+1 b) x2-1 c) 8x2+1 d)
4x2+5x+1 e) 4x2-5x+1
02.- Efectúe las siguientes divisiones e
indique sus respectivas sumas de
coeficientes de los cocientes
respectivamente.
a)
b)
a) -3; 2 b) -1; 9 c) 2; 5 d) -1;
2 e) -1; -1
03.- Hallar el cociente al dividir:
a) 3x2 - 4x – 7 b) 3x2 + 4x – 7 c)
3x2 – 4x + 7
d) 3x + 4x + 7 e) N.A.
04.- Al dividir, su cociente es:
a) 2x3 + 1 b) 2x 3 + x + 1 c)
2x3 – 1
d) 2x3 – x + 1 e) N.A.
05.- Hallar el término lineal del cociente:
a) 20 b) 20x c) 18x d)
15x2 e) 6x
06.- Al dividir:
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Indicar el cociente, señalar el coeficiente
del término cuadrático.
a) 1 b) 12 c) 3 d) 4
e) 13
07.- Hallar la suma de coeficientes del
cociente de dividir:
a) 10 b) 12 c) 13 d) 20
e) 23
08.- Hallar la suma de coeficientes del
cociente y el residuo al dividir:
a) 18 b) 15 c) -15 d) -6
e) 6
09.- Halle “m” , si la división es exacta
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) 4
10.- En la siguiente división:
Sabiendo que la suma de coeficientes del
cociente es 29, hallar el resto
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23
e) 24
11.- Hallar el valor de “2m” en la división:
si es exacta
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4
e) 6
12.- Determinar la suma de coeficientes del
cociente que se obtiene al dividir:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 6
13.- Calcular “a” si el resto de la siguiente
división es el triple del coeficiente del
término central del cociente.
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a) -8 b) -7 c) -6 d) -5
e) -4
14.- Hallar: “a” y “b” si:
P(x) = 4x5 – 2x3 + ax + b es divisible por:
Q(x) = 2x3 – 2x2 + 1 ; Indicar : a.b
a) 2 b) 6 c) -2 d) -6
e) 4
15.- Al dividir:
Se obtuvo como resto: 3m-10. Determinar
“m”.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
PROBLEMAS - TEOREMA DEL RESTO
01.- Hallar el resto al dividir:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) N.A.
02.- Hallar el resto al dividir:
a) -11 b) -12 c) -13 d)
-14 e) N.A.
03.- Hallar el resto al dividir:
a) 7x – 9 b) 7x + 10 c) 7x +
9 d) 7x – 10 e) N.A.
04.- Dividir por Ruffini y dar el resto:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
e) 8
05.- Hallar el resto al dividir:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
e) 6
06.- Halle el resto de dividir:
a) 8 b) 0 c) 10 d) 12
d) 16
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“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
TEMA 06: COCIENTES
NOTABLES
Cocientes Notables (CN) son resultados de
ciertas divisiones que por poseer
características especiales, se pueden
escribir directamente sin efectuar la
división.
PRIMER CASO (n: par o impar)
Ejemplo:
SEGUNDO CASO (n : impar)
Ejemplo:
TERCER CASO (n : par)
PROPIEDADES EN LOS COCIENTES
NOTABLES
01.- PROPIEDAD
Dado la siguiente división:
Será Cociente Notable, SOLO SI se cumple
que:
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xn
−an
x−a=x
n−1
+xn−2
a+xn−3
a2
+. .. .. .+an−1
xn
+an
x +a=x
n−1
−xn−2
a+xn−3
a2
−. .. . ..+an−1
x5+a5
x+a=x4 -x3 a+x2a2 -xa3+a4
xm
±ap
xn
±aq
mn
=pq
= Nro . de Términos
31
“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
02.- CÁLCULO DEL TÉRMINO DE LUGAR
“K”
Sea la división:
Donde: Tk representa cualquier término de
lugar “k” en el C.N.
Dicho Tk se calcula así:
“x” es el primer término del divisor.
“a” es el segundo término del divisor (sin
el signo).
“k” es el lugar que ocupa el término
buscado.
“n” es el exponente que indica el número
de términos del CN
PROBLEMAS
01.- Determine el coeficiente del tercer
término del siguiente C.N.
a) 512 b) 8 c) 32 d) 4
e) NA
02.- Determine el cuarto término del
siguiente C.N.
a) 6 b) c) 36 d) 12
d)
03.- Determine el valor de “n” en el
siguiente cociente notable:
a) 13 b) 23 c) 33 d) 18
e) 27
04.- Calcular la posición del término que
tiene por grado 59 en el C.N.
a) 9 b) 12 c) 14 d) 11
e) 13
05.- En el siguiente cociente notable:
Determine la posición del término en la cual
se cumple:
GR(x) = GR(y)
a) 1ero b) 3ero c) 5to d)
2do d) 4to
06.- Determine el valor de “a” en el
siguiente cociente notable:
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xm
±ap
xn
±aq
T k= (signo)xn-k
.ak−1
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“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
, si uno de los términos es:
x24y33
a) 12 b) 48 c) 60 d) 24
e) NA
07.- Calcular el número de términos del
siguiente cociente notable:
; si uno de los términos es: x4y60
a) 12 b) 18 c) 24 d) 16
e) 20
08.- Determinar “a+b” en el cociente
notable.
; si se cumple: T3 . T4 = (x2y3)5
a) 10 b) 30 c) 50 d) 20
e) 40
09.- Determine el grado absoluto del 6to
término en el siguiente cociente:
a) 7 b) 15 c) 23 d) 11
e) 19
10.- Calcular:
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d)
1/3 d) 1/5
11.- Determinar el coeficiente del quinto
término del siguiente C.N.
a) 2 b) 16 c) 64 d) 8
e) 32
12.- Sea el cociente notable:
Si posee 5 términos indique : (a2+b)/a
a) 3 b) 5 c) 8 d) 2
e) NA
13.- Determinar el valor de “n” en el
siguiente cociente notable
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“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
a) 5 b) 7 c) 9 d) 6
e) 8
14.- Calcular la posición del término que
tiene por grado 45 en el C.N.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 11
e) 13
15.- En el siguiente cociente notable:
Determine la posición término en la cual se
cumple: GR(x)=GR(m)
a) 1er. b) 3er. c) 5to d)
2do e) 4to
16.- Determine el valor de “a” en el
siguiente cociente notable:
Si uno de los términos es x12y33
a) 12 b) 36 c) 60 d) 24
e) 48
17.- Determine “a+b” en el cociente
notable:
Si se cumple: T4 .
T5 = x44y35
a) 40 b) 70 c) 90 d) 50
e) 80
18.- Cuantos términos tiene el CN:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 3
e) 2
19.- Indicar uno de los términos de:
a) 9xy20 b) 27x4y6 c) 9x8y36 d)
9x4y12 e) y30
20.- Indique el cuarto término de:
a) 25x6y6 b) a18 c) 5x3a12 d) a6
e) 25x3a6
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TEMA 07:
FACTORIZACIÓN
Definición: es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de factores primos sobre un determinado campo numérico.
En este capítulo veremos 2 casos iniciales
Método del Factor Común Método de las Indentidades
A.- Factor Común
Dado un polinomio se extrae el MCD de los
coeficientes, luego, la(s) variable(s)
común(es)
Ejemplos:
01.- Factorizar: ac + ad + bc + bd
Solución:
Agrupando de dos en dos
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“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
= (ac + ad) + (bc + bd)
= a(c+d) + b(c+d)
= (c+d)(a+b) ……. Rpta.
02.- Factorizar:
2x2 +2xc – 3bx – 3bc
Agrupando el primero con el segundo, y los
dos últimos:
= (2x2+2xc) – (3bx+3bc)
= 2x(x+c) – 3b(x+c)
= (x+c)(2x-3b) ………. Rpta.
03.- Factorizar:
Solución:
Factorizando el 5:
Por diferencia de cuadrados:
5 [ ]
5. …….. Rpta.
04.- Factorizar:
64x3 – (3x-1)3
Solución:
Dando la forma conveniente:
Por identidad:
[ 4x - (3x-1) ] . [ (4x)2 + 4x(3x-1) + (3x-1)2 ]
(x+1).(37x2-10x+1) ……. Rpta.
SEGUNDA PARTE
Utilizando los criterios:
- Aspa Simple- Aspa Doble- Divisores binomios
Ejemplo 1:
factorizar: 2x² + 5x + 2
Finalmente: 2x² + 5x + 2 = ( 2x+1 ) ( x+
2 )
Ejemplo 2:
Factorizar: 6x2 + 7xy – 3y2 + 11x –
11y – 10
El método del Aspa Doble se aplica
generalmente a polinomios de 6 términos
con 2 o 3 variables. Para efectuar las dos
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36
“COLEGIO CRISTO REDENTOR” BOLETÍN DE CIENCIAS
primeras pruebas del aspa hay que
acomodar los términos del polinomio de un
modo conveniente.
Hasta aquí hemos aplicado dos veces la
prueba del aspa empleando cinco de los 6
términos. Para verificar si la
descomposiciones realizadas son las
correctas efectuamos una tercera prueba
del aspa con los EXTREMOS, es decir:
Si la suma de los resultados de multiplicar
en Aspa coincide con el término que “no se
uso” (subrayado) en el polinomio dado,
entonces tal polinomio está virtualmente
factorizado.
Finalmente :
El resultado de la factorización será:
6x² +7xy – 3y² +11x – 11y – 10 = ( 3x – y –
2 )( 2x + 3y + 5 )
Ejemplo 3:
Factorizar por Divisores Binomios
P(x) = x³ + 6x² + 11x + 6
Solución:
Como el polinomio es de tercer grado, tendrá 3 FACTORES.
Los divisores del término independiente son : 1 , 2 , 3 y 6 . Los probables valores que anulan al polinomio son: -1 , -2 , -3 y -6 Ya que los términos del polinomio son todos positivos.
Probemos dichos valores :Si x = -1 P(-1) = (-1)³ + 6(-1)² +
11(-1) + 6
P(-1) = 0
¡ Se anula !
Luego un factor es ( x+1 )
Si x = -2 P(-2) = (-2)³ + 6(-2)² + 11(-2)
+ 6
P(-2) = 0
¡ Se anula !
Luego otro factor es ( x+2 )
Si x = -3 P(-3) = (-3)³ + 6(-3)² + 11(-3)
+ 6
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P(-3) = 0
¡ Se anula !
Luego otro factor es ( x+3 )
Ya encontramos los tres factores Entonces el polinomio será : P(x) =
(x+1)(x+2)(x+3)
PROBLEMAS
01.- Factorizar:
P(x,y) = x7y10 + 4x6y11 + 4x5y12
a) x5y10(x+2y)2 b) x5y10(x+y)2 c) x5y10(x-
2y)2 d) x5y10(x+2y)
e) x5y10(x+2)2
2.- Factorizar: P(x) = x2(x+5) + 6x(x+5) +
9x + 45
Indicando el factor primo que más se repite.
a) x+1 b) x+2 c) x+5 d)
x+3 e) x+9
03.- Factorizar: P(x) = x7(x+n) – 9x5(x+n)
La suma de factores primo es:
a) 4x b) 4x+n c) x5+3x+n d)
x+n e) x+n+4
04.- Factorizar: F(x,y,z) = y2 + xy + xz +
yz
Indicando la suma de factores primos.
a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+y d)
x–y–z e) x+y-z
05.-Factorizar: P(x,y) = (36x2 – 25y2) (x2 –
4y2) (x4 – y4)
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6
e) 7
06.- Factorizar: F(a,b) = a6 – 729b6
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
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07.- Factorizar: P(x) = x22 – x2 – 10x – 25
Indicando un término de uno de los factores
primos.
a) x b) 2x c) 3x d) –
3x e) 5x
08.- Factorizar: P(x) = x8 – 20x4 + 64
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
09.- Factorizar: P(x,y) = 9x4 – 85x2y2 +
36y4
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
10.- Factorizar: P(x) = (x+2)4 – 10(x+2)2 +
9
Indicando un factor primo
a) x+5 b) x+6 c) x+7 d)
x+8 e) x+9
11.- Factorizar e indicar el factor primo que
más se repite.
P(x) = (x2-3) (x2-4)(x2-5) + (x2-3)(x2-
4) + 3 – x2
a) x2-3 b) x2-5 c) x2-4 d) x2-
1 e) x2-7
12.- Factorizar e indicar el número de
factores primos.
Q(x) = xm+6 + xm + x8 – x6 + x2 –
1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
13.- Factorizar: F(a,b,c) = a(b-c)2 + b(c-
a)2 + c(a-b)2 + 9abc
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
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14.- Factorizar: P(x) = x6 - x4 + x - 1
Indicando un factor primo.
a) x3-x+1 b) x3+x+1 c) x3-x+2 d)
x3-x-2 e) x2+x+2
15.- Factorizar: F(x,y,z) = (x2+y2-z2)3 – x6 –
y6 + z6
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
16.- Factorizar:
P(x,y,z) = (x2 + xz + z2)2 – x2y2 - y2z2 – x2z2
Indicando un factor primo cuadrático.
a) x2+z2 b) x2-z2 c) x2+xy+y2 d)
y2+z2 e) y2-z2
17.- Factorizar:
Q(x) = (x2+8)2 + 15x(x2+8) + 54x2
Indicando la suma de sus factores primos.
a) 4x b) 4x+15 c) 4x-15 d)
4x+12 e) 4x+10
18.- Factorizar indicando el factor primo
que más se repite:
P(a,b) = (a2+b2)2 – 3(a2+b2)ab –
10a2b2
a) a2+b2 b) (a+b) c) (a-b)2 d) a2-
b2 e) a2 + ab + b2
19.- Factorizar:
F(x,y) = (x+3y)2 (x2 + 6xy + 4y2)
+ 4y4
Indicando un factor primo.
a) x+4y b) x+10y c) x+11y d)
x+16y e) N.A.
20.- Factorizar:
P(x) = x13 - 2x11 – 3x10 + 6x8 – 16x5 +
32x3 + 48x2 – 96
Indicando su factor primo.
a) x2+2 b) x2-2x+2 c) x2+2x+4 d) x2-
x+1 e) NA
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21.- Factorizar:
P(x) = (x6-1)(x4-x2+1) -
3x2(x3+x2)(x-1)
Indicando un factor primo.
a) x+1 b) x-10 c) x2+1 d)
x+8 e) x+17
22.- Factorizar:
P(x,y) = 12(x+3)(y+3)(x+y+3) +
x2y2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
FACTORIZACIÓN II
01.- Factorizar:
R(x,y) = 6x2 – 13xy – 5y2 – 13x
+ 7y + 6
e indicar un factor primo.
a) 3x–y+2 b) 3x+y-2 c) 2x-5y+3 d)
2x+5y-3 e) 3x-y-2
02.- Luego de factorizar:
F(x,y) = 15x2 + 14xy + 3y2 +
41x + 23y + 14
Señale la suma de coeficientes de un factor
primo.
a) 2 b) 5 c) 10 d) –5 e) 3
03.- Luego factorizar:
A(x,y) = 21y2 - 3xy – 12 + 4x –
19y
Indique un factor.
a) x+7y+3 b) 3y+4 c) x-7y+2 d)
3y-4 e) x+3y-3
04.- Factorizar:
P(x) = x3 + x2 – 5x + 3
Indicando el número de factores primos.
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a) 3 b) 5 c) 2 d) 9
e) 11
05.- Factorizar:
F(x) = 16x3 – 20x2 – 8x + 3
Indicar el factor cuadrático de mayor suma
de coeficientes.
a) 8x2+2x-1 b) 4x2-4x-3 c) 8x2-14x+3
d) 8x2+2x+3 e) 16x2
06.- factorizar:
P(x) = x4 + 2x2 + 9
Proporcionar un factor.
a) x2+2x+11 b) x2+2x+2 c) x2+2x+3 d)
x2+2x+4 e) x2+2x+6
07.- Luego de factorizar: P(x) = x4 + 2x3 +
x2 – 4
Indicar (V) o falso(F)
I. Tiene 4 factores primos.II. Tiene 2 factores primos
lineales.III. La suma de coeficientes de un
factor primo es 4.
a) VVV b) VFV c) FVV d)
FFV e) FVF
08.- Factorizar: P(x) = 2x3 – 5x2 + x + 2
e indicar la suma de términos
independientes de sus factores primos.
a) 1 b) -2 c) 3 d) 4
e) NA
09.- Factorizar:
P(x) = x3 + 6x2 + 3x – 10
e indicar la suma de factores primos.
a) 3x+6 b) 3x-6 c) 3x+4 d)
3x-4 e) 3x+5
10.- Factorizar:
P(x) = 12x3 – 8x2 – x + 1
Dar como respuesta la suma de sus
factores primos.
a) 5x b) 7x+1 c) 7x-1 d)
2x-1 e) 3x+1
11.- Factorizar: P(x) = x4 + 4x + 3
e indicar el número de factores primos
lineales.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
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12.- Luego de factorizar: E(x) = 2x4 + 3x3
+ 4x2 + x – 2
Indicar la suma de términos independientes
de sus factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
13.- Factorizar: P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6
Señalar la suma de factores primos.
a) 3x+1 b) 3x-1 c) 3x+2 d)
3x-2 e) 3x
14.- Factorizar:
P(x) = 4x3 + 4x2 – 7x + 2
Señalar la suma de factores primos.
a) 3x+1 b) 3x-1 c) 3x+2 d)
3x-4 e) 3x+3
15.- Indicar la suma de coeficientes de un
factor primo al factorizar:
Q(x) = 3x3 + (2x+1)2
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6
e) 8
16.- Factorizar:
E(x) = x5 + 2x4 – x3 + 3x – 2
Dar como respuesta la suma de factores
primos cuadráticos.
a) 2x2 b) 2x2+1 c) 2x2-1 d) 2x2-
x+1 e) 2x2-x-1
17.- Luego de factorizar: P(x) = x5 + x4 + 1
Se obtiene un factor primo cuadrático. El
producto de sus coeficientes es:
a) –1 b) 2 c) -3 d) 1
e) 5
18.- Indicar la suma de los factores primos
mónicos obtenidos al factorizar:
P(x) = 2x4 + 7x3 + 4x2 – 7x – 6
a) 3x b) 3x+2 c) 2x+6 d) 2x
e) 5x+5
19.- Luego de factorizar: P(x) = 12x4 –
8x3 – 7x2 + 2x + 1
Indicar lo correcto:
I. Tiene 4 factores lineales.II. Tiene 2 factores primos
mónicos.III. La suma de coeficientes de un
factor es 4.
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