Tema 2.- MATRICES* UNIDAD 01: * * Conocer las propiedades de los limites. Aplicación a la Administración a través de ejemplos prácticos OBJETIVOS * * El proceso de limite consiste en examinar el comportamiento de una función f(x) cuando x se aproxima a un numero c, que puede o no estar en el dominio de f. Los administradores que hablan del comportamiento de un determinado articulo , para mostrar este proceso considere un gerente que determina que cuando se esta utilizando x porcentaje de la capacidad de la planta de su compañía, el costo total es: En cientos de miles de dólares. La compañía tiene una política de rotar el mantenimiento de tal forma que nunca se utilice mas del 80% de su capacidad. ¿Qué costo esperaría el gerente cuando la planta esta operando a toda la capacidad permitida? Puede ser que la respuesta es simplemente evaluar C(80); que al intentar se tiene la fracción 0/0 MATERIAL ELABORADO POR PEDRO MONJA RUIZ * * FRENTE A ESTE PROBLEMA SE APLICA LOS LIMITES, INDICANDO VALORES DE X QUE TIENDEN A 80 POR LA IZQUIERDA (x < 80) Y POR LA DERECHA (x>80). Dibujar la Gráfica de la función f dada por: Con x <> 1 dibujar la gráfica con la tabla de valores. Con x = 1 no lo podemos hacer. Para conseguir una idea del comportamiento de la gráfica se usará valores de x que se aproximen a 1 por la izquierda y por la derecha. EJEMPLO 1 * * izquierda derecha x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97 * * Estimación numérica de un límite. Evaluar la función en varios puntos cercanos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite. EJEMPLO 2 * * izquierda derecha x -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 f(x) 1.9949 1.9950 1.9995 * * * EL LÍMITE DE F(X) CUANDO X SE APROXIMA A 2 ES 0 f no esta definida en x = 0 MATERIAL ELABORADO POR PEDRO MONJA RUIZ * * SI f(x) SE ACERCA ARBITRARIAMENTE A UN NÚMERO L, CONFORME x SE APROXIMA A UN NÚMERO a TANTO POR LA IZQUIERDA COMO POR LA DERECHA, ENTONCES “EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A a ES L”, LO CUAL SE DENOTA COMO: MATERIAL ELABORADO POR PEDRO MONJA RUIZ * * PROPIEDADES Límites Básicos: si b y c son números reales y n un entero positivo. TEOREMA 1 * * PROPIEDADES Sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Múltiplo Escalar: * * MATERIAL ELABORADO POR PEDRO MONJA RUIZ * * Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real: Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos TEOREMA 3: LIMITE DE FUNCIONES POLINOMICAS Y RACIONALES MATERIAL ELABORADO POR PEDRO MONJA RUIZ * * * EJEMPLO: LIMITE DE UNA FUNCION RACIONAL MATERIAL ELABORADO POR PEDRO MONJA RUIZ * * Si n es un entero positivo: Para toda c si n es impar c > si n es par TEOREMA 5: LIMITE DE UNA FUNCION COMPUESTA Si f y g son funciones tales que: y Entonces: * * 1º Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada 2 º INTENTAR desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso... PASOS A SEGUIR PARA EL CALCULO DE LIMITES MATERIAL ELABORADO POR PEDRO MONJA RUIZ * * MATERIAL ELABORADO POR PEDRO MONJA RUIZ * GRACIAS