7/21/2019 Longitud de Arco de La Gráfica de Una Función
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Longitud de arco de la gráfica de una función
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S o l u c i o n e s
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Enunciados
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Enunciados
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Enunciados
Enunciados
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Componentes tangencial y normal de la aceleración
Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo
tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por
la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado
instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.
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•
Se dibujan los ejes horiontal ! y vertical ".
• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en
dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho
sistema de referencia.
• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma #ue la dirección
de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.
• $on la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección
tangencial y sobre la dirección normal.
• Se determina el %ngulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se
calcula el valor num&rico de dichas componentes' at =a cosθ y an=a sinθ
Ejemplo:
El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v()*t+-i)/t+0- j
m1s. $alcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t ( s.
2ibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y
normal en dicho instante.
3. 2adas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la
aceleración
v x (*t + m1s, a x(* m1s
v y(/t +0 m1s, a y(3t m1s
. Los valores de dichas componentes en el instante t ( s son
v x (4 m1s, a x(* m1s
v y(35 m1s, a y(4 m1s
*. 2ibujamos el vector velocidad y el vector aceleración
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4. $alculamos el módulo de la aceleración a y el %ngulo θ #ue forman el vector
velocidad y el vector aceleración.
θ=arctanayax−arctanvyvx=4.76ºa=a2x+a2y−−−−−−√ =24.2
0. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración
at =a6cosθ (4.3 m1s
an=a6sinθ (.7 m1s
8odemos hallar la aceleración tangencial en cual#uier instante, a partir del producto
escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.
v⋅a=vacosθ=vatat=v⋅av=vxax+vyayv2x+v2y√
La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la
aceleración tangencial at
a2n=a2−a2t=a2x+a2y−(vxax+vyay)2v2x+v2yan=axvy−ayvxv2x+v2y√
Radio de curvatura
En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoriacuales#uiera en el instante t . Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante
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t , la dirección del vector velocidad vdv en el instante t+dt . Se traan rectas
perpendiculares a ambas direcciones, #ue se encuentran en el punto $ denominado
centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t , y el
centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.
En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la
dirección del vector velocidad cambia un %ngulo dθ . #ue es el %ngulo entre las tangentes
o entre las normales. El móvil se desplaa en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ,
tal como se aprecia en la figura.
9tra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de
escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario #ue
tenga su misma dirección y sentido ut(v1v. La derivada de un producto se compone de
la suma de dos t&rminos
a=dvdt=d(v⋅ut)dt=dvdtut+vdutdt
El primer t&rmino, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la
componente tangencial de la aceleración
El segundo t&rmino, vamos a demostrar #ue tiene
la dirección normal un. $omo vemos en la figura las componentes del vector unitario ut
son
ut(cosθ ·isinθ ·j
Su derivada es
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dutdt=(−sinθi+cosθ j)dθdt=dθdtun=1ρdsdtun=vρun
El vector aceleración es
a=dvdt=dvdtut+v2ρun
Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente
at=dvdt an=v2ρ
Esta :ltima fórmula, la obtendremos de una forma m%s simple para una partícula #ue
describe un movimiento circular uniforme.
$omo la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. E;istir%
aceleración siempre #ue cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, ladirección de la velocidad o ambas cosas a la ve.
• Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un
movimiento rectilíneo, tenemos :nicamente aceleración tangencial.
• Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo
permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos
:nicamente aceleración normal.
• Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un
tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal..