Los numeros reales 1
OBJETIVOS PARTICULARES.Al terminar este capıtulo, el alumno debe ser capaz de:
• Identificar numeros naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.
• Conocer propiedades algebraicas y de orden (basicas) de los numeros reales.
• Comprender la notacion de Intervalos.
• Aplicar propiedades algebraicas y de orden (basicas) de los numeros reales, en la resolucion de desigualdades.
• Comprender la definicion del valor absoluto de un numero real.
• Aplicar propiedades basicas del valor absoluto de un numero real, en la resolucion de desigualdades.
• Resolver desigualdades de los tipos siguientes:
ax + b ≥ 0; ax + b ≥ cx + d & a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3;
|ax + b | ≤ M & |ax + b | ≥ M , con M > 0;ax + b
cx + d≥ 0 &
ax + b
cx + d≥ k;
ax2 + bx + c ≥ 0 & a1x2 + b1x + c1 ≥ a2x
2 + b2x + c2, con a1 6= a2
(y las correspondientes para >, < y ≤)
CONTENIDO.En este capıtulo encontraras:Un resumen sobre conjuntos de numeros en la recta numerica o recta real.Un resumen de la teorıa asociada al valor absoluto de un numero real.Un compendio de propiedades algebraicas, de orden y del valor absoluto, que son necesarias para resolver desigual-dades.Ejercicios resueltos sobre tipos diferentes de desigualdades, haciendo enfasis en desigualdades de los tipos siguientes:
ax + b ≥ 0; ax + b ≥ cx + d & a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3;
|ax + b | ≤ M & |ax + b | ≥ M , con M > 0;ax + b
cx + d≥ 0 &
ax + b
cx + d≥ k;
ax2 + bx + c ≥ 0 & a1x2 + b1x + c1 ≥ a2x
2 + b2x + c2, con a1 6= a2
(y las correspondientes para >, < y ≤)
Ejercicios resueltos sobre problemas que requieren de la aplicacion de desigualdades.Propuestas de autoevaluaciones (con sus respectivas soluciones).
1
2 Calculo Diferencial e Integral I
1.1 Introduccion
Los numeros reales R estan constituidos por:
Los numeros naturales o enteros positivos N:
N = {1, 2, 3, . . ., n, n + 1, . . .}
que son una parte de los numeros enteros Z:
Z = {. . . ,−(n + 1),−n, . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . ., n, n + 1, . . .}
que son una parte de los numeros racionales Q:
Q ={
p
q
∣∣ p ∈ Z & q ∈ N}
={ m
n
∣∣ m & n ∈ Z, n 6= 0}
(Esta ultima expresion se lee: Q es igual al conjunto de los numeros de la formam
ntales que m & n 6= 0 son enteros).
Usando la notacion decimal, todo numero racional se puede escribir como una expresion decimal periodica, porejemplo:
13
= 0.333 · · · = 0.3;12
= 0.50,17
= 0.142857Otros numeros reales son los irracionales I , que son aquellos cuyas expresiones decimales son no periodicas , comopor ejemplo:√
2 = 1.414213562 . . .; π = 3.141592653589 . . . ; e = 2.718281828 . . .Los numeros racionales Q y los irracionales I constituyen los numeros reales:
R = Q ∪ I
1.2 Representacion de los numeros reales
A los numeros reales se les suele representar en un eje, es decir, en una recta en la cual hay un punto fijo llamadoorigen 0, una unidad de longitud convencional y un sentido. A cada numero real positivo r le hacemos corresponderel punto P cuya distancia al origen es dicho numero r. Al real negativo −r le hacemos corresponder el punto P quees el simetrico de P con respecto al origen.A todo punto de la recta le corresponde un numero real y a dos numeros reales diferentes les corresponden dos puntosdistintos.Por esta correspondencia biunıvoca entre los numeros reales y los puntos de un eje, es usual referirse indistıntamentea un numero real o a un punto.
-3 -2 -�!!!!!
2 -1 0 1 �!!!!!2 2 3
1
�!!!!!2
1.3. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NUMEROS REALES 3
Es usual dibujar al eje horizontal y considerar positivo el sentido de izquierda a derecha ( lo cual no tiene implicacionpolıtica alguna). Por eso se usan expresiones como “a la derecha” o “a la izquierda”.El sımbolo = se lee “es igual a” y divide a la expresion en la que aparece, que se llama igualdad, en dos partesllamadas miembros: lo que esta escrito antes que el es el primer miembro y lo que esta despues se llama segundomiembro.El sımbolo 6= se lee “diferente de”; en general cruzar un sımbolo con una diagonal / significa negarlo.
En cualquier igualdad se pueden intercambiar los miembros, esto es:
a = b ⇒ b = a.( Esta expresion se lee “si a = b entonces b = a).
Dos numeros iguales a un tercero, son iguales entre sı; esto se denota ası:
a = b & b = c ⇒ a = c
Generalizando esto, se escribe sin mas:
a = b & b = c & c = d & d = · · · ⇒ a = b = c = d = · · ·
y cualquier expresion de la sucesion es igual a cualquier otra.
1.3 Propiedades algebraicas de los numeros reales
En los numeros reales se definen dos operaciones, adicion y multiplicacion, las cuales tienen ciertas propiedades:Adicion Propiedades Multiplicaciona + b = b + a Conmutatividad a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c) Asociatividad (a · b) · c = a · (b · c)a + 0 = a Existencia del elemento neutro a · 1 = aa + (−a) = 0 Existencia del elemento inverso a · a−1 = 1 si a 6= 0a · (b + c) = (a · b) + (a · c) Propiedad distributiva de la multiplicacion
con respecto a la adicion
Expresiones tales como:{[(a + b) + c] + d} + e + · · · o bien {[(a · b) · c] · d} · e · · ·Se escriben simplemente ası:
a + b + c + d + e + · · · o bien a · b · c · d · e · · ·pues no se prestan a confusion.
Supongamos que a, b, c, d, · · · son numeros reales, entonces:
a + b = a + c ⇒ b = c
Es decir se puede cancelar un mismo termino de los dos miembros de una igualdad.
a · 0 = 0a · b = a · c & a 6= 0 ⇒ b = c
Notese que no podemos cancelar a 0 como factor, pues entonces tendrıamos aberraciones del tipo siguiente:
0 · 1 = 0 & 0 · 2 = 0 ⇒ 0 · 1 = 0 · 2 ⇒ 1 = 2
Se tiene:a · b = 0 ⇒ a = 0 o bien b = 0
4 Calculo Diferencial e Integral I
Se definen la sustraccion y la division como: a − b = a + (−b) &a
b= a · b−1 con b 6= 0.
Algunas igualdades importantes son:
1a
= a−1 si a 6= 0
a − b = 0 ⇔ a = b &a
b= 1 ⇔ a = b con b 6= 0
−0 = 0 & 1−1 = 1
−(−a) = a & (a−1)−1 = a con a 6= 0−(a + b) = −a − b
(a · b)−1 = a−1 · b−1
(−a) · b = −(ab) = a(−b) “mas por menos menos, menos por mas menos”(a − b) · c = (a · c) − (b · c)(−a)(−b) = a · b “menos por menos mas”
a
b=
c
d⇔ a · d = b · c ( donde b · d 6= 0)
a
b±
c
d=
a · d ± b · cb · d ( donde b · d 6= 0)
a
b· c
d=
a · cb · d
( donde b · d 6= 0)a
bc
d
=a · db · c (donde b · c · d 6= 0)
a
−b= −a
b=
−a
bdonde b 6= 0, “mas entre menos menos, menos entre mas menos”
−a
−b=
a
b(donde b 6= 0) “menos entre menos mas”
a · ba · c =
b
c(donde a · c 6= 0)
Si n es un numero natural, se definen:
an ={
a si n = 1an−1 · a si n > 1
a0 = 1
a−n = (a−1)n = (an)−1 =1an
n√
a = b ⇔ bn = a
n√
am = amn , si m es un entero
Propiedades de los exponentes.
Si r y s son numeros racionales:
- La potencia de un producto es el producto de las potencias de los factores:
(a · b)r = ar · br
1.4. ORDEN DE LOS NUMEROS REALES 5
- Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes:
ar · as = ar+s
- Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes:
(ar)s = ar·s
Esta propiedades tambien son ciertas en el caso de exponentes irracionales.
Otras igualdades importantes son:
ax ± bx = (a ± b)x
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
x2 + (a + b)x + (a · b) = (x + a)(x + b)
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3
...n∑
0
(n
k
)an−kbn−k = (a + b)n
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + · · ·+ a2bn−3 + abn−2 + bn−1)
an + bn = (a + b)(an−1 − an−2b + an−3b2 − · · ·+ a2bn−3 − abn−2 + bn−1) si n es impar
Si P (x) = a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−2x
2 + an−1x + an es un polinomio de grado n (es decir a0 6= 0) y res una raız (es decir P (r) = 0) entonces P (x) = (x − r)Q(x) donde Q(x) ( el cociente de dividir P (x) entre (x − r))es un polinomio de grado n − 1.
1.4 Orden de los numeros reales
El sımbolo > se lee “mayor que”< “menor que”≥ “mayor o igual que”≤ “menor o igual que”
Un numero real a ∈ R es positivo si esta a la derecha del cero; esto se denota ası:
a > 0 o bien 0 < a
Un numero real a ∈ R es negativo si esta a la izquierda del cero; esto se denota ası:
a < 0 o bien 0 > a
a > b o bien b < a quiere decir que a esta a la derecha de b o bien que b esta a la izquierda de a; tambien significaque a − b > 0.a ≥ b quiere decir que a > b o bien que a = b.a ≤ b quiere decir que a < b o bien que a = b.
Se cumple que:
a > 0 y b > 0 ⇒ a + b > 0 y a · b > 0a ∈ R ⇒ a > 0 o bien a = 0 o bien − a > 0
6 Calculo Diferencial e Integral I
Cualquier expresion que contenga uno de los cuatro sımbolos >, <,≥ o bien ≤ se llama desigualdad.Una desigualdad consta de dos miembros, lo que esta escrito antes del sımbolo >, <,≥ o bien ≤ se llama primermiembro y lo que esta escrito despues se llama segundo miembro.Dos desigualdades en las que aparecen el sımbolo > o bien el sımbolo <, se dice que son del mismo sentido. Si enuna aparece el signo > y en otra el signo <se dice que son de sentidos contrarios.
Algunas propiedades de orden son las siguientes:
• Ley de tricotomıa, una de tres:
a & b ∈ R ⇒ a > b o bien a = b o bien a < b
• “A los dos miembros de una desigualdad se les puede sumar una misma cantidad y se obtiene otra desigualdad delmismo sentido que la dada”:
a > b & c ∈ R ⇒ a + c > b + c
• “Si multiplicamos a los dos miembros de una desigualdad por un numero positivo se preserva la desigualdad”:
a > b & c > 0 ⇒ a · c > b · c
• “Si multiplicamos a los dos miembros de una desigualdad por un numero negativo se invierte la desigualdad”:
a > b & c < 0 ⇒ a · c < b · c
• “Sumando miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido se obtiene otra desigualdad del mismo sentido”:
a > b & c > d ⇒ a + c > b + d
Otras propiedades del orden son:
• Transitividad:
a > b & b > c ⇒ a > c
a 6= 0 ⇒ a2 > 0
1 = 12 > 0b > 0 ⇒ bn > 00 > a ⇒ an > 0 si n es par y 0 > an si n es impar
a < b < 0 ⇒ an > bn > 0 si n es par & an < bn < 0 si n es impar0 < a < b ⇒ 0 < an < bn
a · b > 0 & a > 0 ⇒ b > 0
a > 0 ⇒ a−1 > 0
a > 0 & b > 0 ⇒ a
b> 0
a ≤ b & b ≤ a ⇒ a = b
1.5 Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los numeros reales que se usan frecuentemente.Supongamos que tenemos dos numeros reales a & b, tales que a < b.
1.5. INTERVALOS 7
Se definen cuatro tipos de intervalos:
Abierto:
(a, b) ={x ∈ R
∣∣ a < x < b}
a bo o
o o
Cerrado:
[a, b] ={x ∈ R
∣∣ a ≤ x ≤ b}
a b
Semiabierto o semicerrado:
[a, b) ={x ∈ R
∣∣ a ≤ x < b}
a bo
o
(a, b] ={x ∈ R
∣∣ a < x ≤ b}
a bo
o
El punto medio o centro de un intervalo es el puntoa + b
2.
Tambien consideraremos intervalos infinitos que son de la forma
(a, +∞) ={x ∈ R
∣∣ x > a}
o
o
a
8 Calculo Diferencial e Integral I
[a, +∞) ={x ∈ R
∣∣ x ≥ a}
a
(−∞, a) ={x ∈ R
∣∣ x < a}
o
o
a
(−∞, a] ={x ∈ R
∣∣ x ≤ a}
a
1.6 Valor Absoluto
|a | =
{a si a ≥ 0−a si a < 0
La interpretacion geometrica es que |a | es la distancia del numero a al origen:
d(a, 0) = |a |
Propiedades del valor absoluto:
| a | ≥ 0 y |a | = 0 ⇔ a = 0| a | = | −a |
− | a | ≤ a ≤ |a || a · b | = | a | · | b ||a |n = | an |∣∣∣ a
b
∣∣∣ =| a || b |
, con b 6= 0
|a + b | ≤ | a | + | b ||a − b | ≥ | a | − | b |
| a | ≤ c & | b | ≤ d ⇒ |a + b | ≤ c + d
Siendo M > 0,
|x | = M ⇔ x = ±M ,(±M se lee mas o menos M)|x | ≤ M ⇔ −M ≤ x ≤ M ⇔ x ∈ [−M, M ]
|x | ≥ M ⇔ x ≥ M o bien x ≤ −M ⇔ x ∈ (−∞,−M ]⋃
[M, +∞)
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 9
Definimos la distancia entre dos puntos a y b como:
d(a, b) = |a − b |
Propiedades de la distancia:
d(a, 0) = | a − 0 | = |a |d(a, a) = 0d(a, b) ≥ 0d(a, b) = d(b, a)
“Desigualdad del triangulo”:
d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c)
E interpretamos ahora:Si M ≥ 0:El conjunto de numeros x cuya distancia al origen es menor que M consta de aquellos puntos x que estan a la derechade −M y a la izquierda de M
d(x, 0) < M ⇔ −M < x < M ⇔ |x | < M ⇔ x ∈ (−M, M )
0-M M
H L
o o
Y aquellos numeros x cuya distancia al origen es mayor que M son los que estan a la izquierda de −M o a la derechade M
d(x, 0) > M ⇔ x < −M o bien x > M ⇔ |x | > M ⇔ x ∈ (−∞,−M )⋃
(M, +∞)
0
o o
-M M
H L
Los puntos cuya distancia a b es menor que M son aquellos que estan a la derecha de b−M y a la izquierda de b+M
d(x, b) < M ⇔ −M < x − b < M ⇔ b − M < x < b + M ⇔ |x − b | < M ⇔ x ∈ (b − M, b + M )
b
0 0
b-M b+M
H L
1.7 Resolucion de desigualdades
Resolver una desigualdad quiere decir hallar los numeros reales x para los cuales la desigualdad se cumple. Llamamosconjunto solucion al conjunto de tales x.
10 Calculo Diferencial e Integral I
Para resolver una desigualdad son utiles dos propiedades:Para pasar un termino de un miembro de una desigualdad al otro se le cambia el signo, es decir, si esta con signo +se le pone en el otro miembro con signo − y viceversa:
a + b ≥ c ⇔ a ≥ c − b
Se puede pasar un factor diferente de 0 de un miembro de una desigualdad al otro poniendolo como divisor y viceversa,pero si el factor es positivo la desigualdad se preserva y si es negativo se invierte el sentido de la desigualdad.Es decir:
a · b ≥ c & b > 0 ⇔ a ≥ c
b& b > 0
a · b ≥ c & b < 0 ⇔ a ≤ c
b& b < 0
1.7.1 Desigualdades del tipo:
ax + b ≥ 0 con a 6= 0 & b ∈ R
Para resolver la desigualdad:ax + b ≥ 0
Se pasa b al segundo miembro:ax ≥ 0 − b ⇒ ax ≥ −b
Y se pasa el factor a al segundo miembro, por lo que:
1. Si a > 0, entonces x ≥ − b
aEn cuyo caso el conjunto solucion es el intervalo:
[− b
a, +∞
)
2. Si a < 0, entonces x ≤ − b
aEn este caso el conjunto solucion es el intervalo:
(−∞,−
b
a
]
Ejemplo 1 Resolver la desigualdad 2x− 5 ≥ 0
H
2x − 5 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 0 + 5 ⇔ 2x ≥ 5 ,
como 2 > 0 entonces 2x ≥ 5 ⇔ x ≥ 52
El conjunto solucion es el intervalo:
CS =[52, +∞
).
�
Ejemplo 2 Resolver la desigualdad34x +
25
< 0
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 11
H34x +
25
< 0 ⇔ 34x < 0 − 2
5⇔ 3
4x < −2
5,
como34
> 0 entonces34x < −2
5⇔ x < −2
5
(43
)⇔ x < − 8
15
El conjunto solucion es el intervalo
CS =(−∞,− 8
15
).
�
Ejemplo 3 Resolver la desigualdad 3 − 2x > 0
H
3 − 2x > 0 ⇔ −2x > 0 − 3 ⇔ −2x > −3 ,
como −2 < 0 entonces −2x > −3 ⇔ x <−3−2
⇔ x <32
El conjunto solucion es el intervalo
CS =(−∞,
32
).
�
Ejemplo 4 Resolver la desigualdad −54x − 1
2≤ 0
H
−54x− 1
2≤ 0 ⇔ −5
4x ≤ 0 +
12⇔ −5
4x ≤ 1
2,
como −54
< 0 entonces − 54x ≤ 1
2⇔ x ≥ 1
2
(−4
5
)⇔ x ≥ − 4
10⇔ x ≥ −2
5
El conjunto solucion es el intervalo:
CS =[−2
5, +∞
).
Geometricamente resolver una desigualdad ax+ b ≥ 0 con a 6= 0 quiere decir hallar las x tales que la recta y = ax+ besta situada encima de la recta y = 0.
�
Ejemplo 5 Resolver 6x + 5 ≥ 0
H
-5�����6
x
5
y
o
y = 6x + 5
12 Calculo Diferencial e Integral I
Conjunto solucion: [−5
6 , +∞)
,
pues la interseccion de las rectas y = 6x + 5 y y = 0 es el punto (−56 , 0) y a su derecha la recta y = 6x + 5 esta
encima de la recta y = 0.�
Ejercicios 1 Resolver las siguientes desigualdades
1. 7x ≤ 27
2. −5x > −8
3. 73x − 4 ≤ 5
1.7.2 Desigualdades del tipo:
ax + b ≥ cx + d
Como resolver la desigualdad significa, en utima instancia, hallar otra desigualdad “equivalente”, esto es, que tengael mismo conjunto solucion, pero donde x aparezca sola en uno de los miembros, es decir, “despejar” a x, resolver ladesigualdad recuerda mucho resolver una ecuacion de primer grado con una incognita.Ası podemos “trasponer” terminos y escribir en un mismo miembro a todos los terminos que tienen x, y en el otroa los que no:
ax − cx ≥ d− b
Ahora “reducir” terminos semejantes, es decir, “sacar a x como factor comun”:
(a − c)x ≥ d − b
Ahora si a − c 6= 0 ( si a 6= c) estamos en el caso anterior, por lo que:
1. Si a − c > 0, entonces x ≥ d − b
a − c
Y el conjunto solucion sera:
CS =[
d− b
a − c, +∞
).
2. Si a − c < 0, entonces x ≤ d − b
a − cEn este caso el conjunto solucion es:
CS =(−∞,
d − b
a − c
].
Si a − c = 0, la desigualdad equivalente a la propuesta es:
0 · x ≥ d − b ⇒ 0 ≥ d − b
La cual se cumple si efectıvamente 0 ≥ d − b, en cuyo caso el conjunto solucion es:
CS = R .
O nunca se cumple si d− b > 0 y en este caso el conjunto solucion es Ø, el conjunto vacıo; es decir
CS = Ø .
Ejemplo 6 Resolver la desigualdad 4x− 5 ≥ 2x + 9
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 13
H4x − 5 ≥ 2x + 9 ⇔ 4x − 2x ≥ 9 + 5 ⇔ 2x ≥ 14 ⇔ x ≥ 7
Esta ultima desigualdad se satisface cuando x ∈ [7, +∞).Luego entonces el conjunto solucion de la desigualdad original es
CS = [7, +∞) .
�
Ejemplo 7 Resolver la desigualdad54x− 2
3>
83x − 3
2
H54x− 2
3>
83x − 3
2⇔ 5
4x − 8
3x >
23− 3
2⇔ −17
12x > −5
6⇔ x <
1017
Esta ultima desigualdad se cumple cuando x ∈(−∞,
1017
), por lo cual el conjunto solucion de la desigualdad original
es
CS =(−∞,
1017
).
�
Ejemplo 8 Resolver la desigualdad 1 − 8x < 5 − 8x
H1 − 8x < 5 − 8x ⇔ −8x + 8x < 5 − 1 ⇔ 0 < 4
Esta ultima desigualdad siempre se cumple, luego entonces la desigualdad original siempre se cumple.Por lo tanto, el conjunto solucion es:
CS = R .
�
Ejemplo 9 Resolver la desigualdad92x− 4
3≤ 9
2x − 2
H92x − 4
3≤ 9
2x− 2 ⇔ 9
2x − 9
2x ≤ −2 +
43⇔ 0 ≤ −2
3
Esta ultima desigualdad nunca se cumple, luego entonces la desigualdad original nunca se cumple. Por lo tanto, elconjunto solucion es:
CS = Ø, el conjunto vacıo
�
Geometricamente resolver la desigualdad ax + b ≥ cx + d quiere decir hallar las x tales que la recta y = ax + b esteencima de la recta y = cx + d.
Ejemplo 10 Resolver 3x − 2 ≥ 2x− 1
H
14 Calculo Diferencial e Integral I
1x
-2
-1
1
y
y = 3x-2
y = 2x-1
o
o
o
Conjunto solucion:[1, +∞) ,
pues la interseccion de las rectas y = 3x− 2 y y = 2x− 1 es el punto (1, 1) y a su derecha la primera esta encima dela segunda.
�
Ejercicios 2 Resolver las siguientes desigualdades
1. 3x− 4 ≤ 23x + 5
2. 1 − 2x > x2 − 3
3. −5x − 4 ≥ 3 − 6x
4. −34 x + 5
3 < 29x − 1
5. 3 − 5x ≤ 6 − 5x
6. 32x − 5 > 1 + 3
2x
7. 2(x + 3) > 3(x − 1) + 6
8. a + 3 < 2(2a + 1)
1.7.3 Desigualdades del tipo:
a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3
Esto quiere decir hallar los numeros reales x que cumplen simultaneamente las dos desigualdades:
a1x + b1 ≥ a2x + b2 y a2x + b2 ≥ a3x + b3
Para ello se halla el conjunto solucion de cada una de las desigualdades ( que son del tipo 2), se intersecan los dosconjuntos solucion obtenidos y esta interseccion es el conjunto solucion del sistema propuesto.
Ejemplo 11 Resolver la desigualdad 3x + 4 ≤ x − 5 <23x + 1
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 15
HEsta desigualdad doble se cumple si y solo si
3x + 4 ≤ x − 5 y x − 5 <23x + 1
Resolvemos la primera desigualdad
3x + 4 ≤ x − 5 ⇔ 2x ≤ −9 ⇔ x ≤ −92⇔
⇔ CS1 =(−∞,−9
2
]
Resolvemos la segunda desigualdad
x − 5 <23x + 1 ⇔ 1
3x < 6 ⇔ x < 18 ⇔
⇔ CS2 = (−∞, 18)
El conjunto solucion CS de la desigualdad doble es
CS = CS1
⋂CS2 =
(−∞,−9
2
] ⋂(−∞, 18) =
(−∞,−9
2
]
�
Ejemplo 12 Resolver la desigualdad 18− 5x > 2x + 3 ≥ 4 − 3x
HEsta doble desigualdad se cumple si y solo si
18− 5x > 2x + 3 y 2x + 3 ≥ 4 − 3x
Resolvemos la primera desigualdad
18− 5x > 2x + 3 ⇔ −7x > −15 ⇔ x <157
⇔
⇔ CS1 =(−∞,
157
)
Resolvemos la segunda desigualdad
2x + 3 ≥ 4 − 3x ⇔ 5x ≥ 1 ⇔ x ≥ 15⇔
⇔ CS2 =[15, +∞
)
El conjunto solucion CS de la doble desigualdad es
CS = CS1
⋂CS2 =
(−∞,
157
) ⋂ [15, +∞
)=
[15,157
)
�
Ejemplo 13 Resolver la desigualdad23x − 5 < 4 +
23x < 2 − 3
4x
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
23x − 5 < 4 +
23x y 4 +
23x < 2 −
34x
16 Calculo Diferencial e Integral I
Resolvemos la primera desigualdad
23x− 5 < 4 +
23x ⇔ 2
3x − 2
3x < 4 + 5 ⇔ 0 < 9
desigualdad que siempre se cumple, entonces:CS1 = R .
Resolvemos la segunda desigualdad
4 +23x < 2 − 3
4x ⇔ 2
3x +
34x < 2 − 4 ⇔ 17
12x < −2 ⇔ x < −24
17⇔
⇔ CS2 =(−∞,−24
17
)
El conjunto solucion CS de la doble desigualdad es
CS = CS1
⋂CS2 = R
⋂(−∞,−24
17
)=
(−∞,−24
17
)
�
Ejemplo 14 Resolver la desigualdad 6 − 53x > 8 − 5
3x ≥ 7 +
92x
HEsta doble desigualdad se cumple cuando
6 − 53x > 8 − 5
3x y 8 − 5
3x ≥ 7 +
92x
Resolvemos la primera desigualdad
6 − 53x > 8 − 5
3x ⇔ −5
3x +
53x > 8 − 6 ⇔ 0 > 2
desigualdad que nunca se cumple, entonces:CS1 = Ø .
Resolvemos la segunda desigualdad
8 − 53x ≥ 7 +
92x ⇔ −5
3x − 9
2x ≥ 7 − 8 ⇔ −37
6x ≥ −1 ⇔ x ≤ 6
37⇔
⇔ CS2 =(−∞,
637
]
El conjunto solucion CS de la doble desigualdad es
CS = CS1
⋂CS2 = Ø
⋂ (−∞,
637
]= Ø
�Geometricamente resolver el sistema de desigualdades a1x + b1 ≥ a2x + b2 ≥ a3x + b3 quiere decir hallar las x talesque la recta y = a2x + b2 se encuentra entre las rectas y = a1x + b1 y y = a3x + b3.
Ejemplo 15 Resolver 6x + 5 ≥ 4x + 1 ≥ x − 2
H
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 17
-2x
-7
-3
-1
5
y
-1 1
y= 6x+5
y = 4x+1
y = x-2
o
o
o
o
Conjunto solucion:[−1, +∞) ,
pues la interseccion de las rectas y = x− 2 y y = 4x + 1 es el punto (−1,−3) y a su derecha la recta y = 4x + 1 estaentre las rectas y = x − 2 & y = 6x + 5.
�
Ejercicios 3 Resolver las siguientes desigualdades
1. 1 < 3x + 4 ≤ 16
2. −1 < 3x + 4 < 1
3. 72 >
1 − 4x
5> 3
2
4. −5 ≤ 4 − 3x
2< 1
5. 6x + 5 ≥ 4x + 1 > x − 2
6. 3 − 2x < 3x + 4 < 4 − x
7. 23x + 5 ≤ 8 − 3
4x ≤ 7 + 4
5x
8. 1 − 5x ≤ 8 + 3x < 3x + 9
9. −3x + 4 > 6 − 3x ≥ 9x + 5
10. 9x + 3 ≤ 20x − 100 ≤ 15x + 200
11. 3x− 4 < 9x + 2 < x − 10
1.7.4 Desigualdades del tipo:
| ax + b | ≤ M , con M > 0
(Si M < 0 el conjunto solucion es el vacıo pues |ax + b | ≥ 0 y no puede ser menor o igual que un numero negativo).La desigualdad propuesta es equivalente a la doble desigualdad:
−M ≤ ax + b ≤ M
que es del tipo anterior y se cumple cuando: ax + b ≥ −M y ax + b ≤ M .
18 Calculo Diferencial e Integral I
Ejemplo 16 Resolver la desigualdad |3x − 5 | ≤ 4
HEsta desigualdad se cumple cuando
−4 ≤ 3x − 5 ≤ 4 ;
doble desigualdad que se cumple si3x − 5 ≥ −4 y 3x − 5 ≤ 4
3x − 5 ≥ −4 ⇔ 3x ≥ −4 + 5 ⇔ x ≥13⇔
⇔ CS1 =[13, +∞
)
3x − 5 ≤ 4 ⇔ 3x ≤ 4 + 5 ⇔ x ≤ 93⇔
⇔ CS2 = (−∞, 3]
El conjunto solucion es:
CS = CS1
⋂CS2 =
[13, +∞
)⋂(−∞, 3] =
[13, 3
].
�Observacion: Esta desigualdad se puede resolver de otra manera.H
|3x − 5 | ≤ 4 ⇒ −4 ≤ 3x − 5 ≤ 4
Notando que la incognita x se tiene solamente en el termino intermedio de la doble desigualdad, procedemos a aislarlaası:sumamos 5 a los tres miembros
−4 ≤ 3x− 5 ≤ 4 ⇔ −4 + 5 ≤ 3x − 5 + 5 ≤ 4 + 5 ⇔ 1 ≤ 3x ≤ 9
multiplicamos por13
a los tres miembros ( con13
> 0)
13(1) ≤ 1
3(3x) ≤ 1
3(9) ⇔ 1
3≤ x ≤ 9
3⇔ 1
3≤ x ≤ 3
Por lo que el conjunto solucion es:
CS =[13, 3
].
�
Ejemplo 17 Resolver la desigualdad∣∣∣∣23− 3
4x
∣∣∣∣ <52
HEsta desigualdad se cumple cuando −5
2<
23− 3
4x <
52
Doble desigualdad que resolvemos aislando a x.
Sumamos(−2
3
)a los tres miembros
−52−
23
< −34x <
52−
23⇔ −
196
< −34x <
116
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 19
Multiplicamos por(−4
3
)a los tres miembros (con −4
3< 0)
(−
43
)(−
196
)> x >
(−
43
) (116
)⇔
389
> x > −229
⇔ −229
< x <389
⇔
⇔ CS =(−22
9,389
)
�
1.7.5 Desigualdades del tipo:
| ax + b | ≥ M , con M > 0
(Observa que si M ≤ 0, entonces el conjunto solucion de la desigualdad propuesta es R pues como |ax + b | ≥ 0siempre, entonces |ax + b | ≥ 0 ≥ M siempre).La desigualdad propuesta quiere decir:
ax + b ≥ M o bien ax + b ≤ −M
Por lo que hallamos el conjunto solucion de cada una de estas desigualdades (como en el caso 1.7.2 ) y su union esel conjunto solucion de la desigualdad propuesta.
Ejemplo 18 Resolver la desigualdad∣∣∣∣53x +
34
∣∣∣∣ >25
HEsta desigualdad se cumple cuando
53x +
34
< −25
o bien53x +
34
>25
Resolvemos la primera desigualdad
53x +
34
< −25⇔ 5
3x < −2
5− 3
4⇔ 5
3x < −23
20⇔ x <
35
(−23
20
)⇔ x < − 69
100⇔
⇔ CS1 =(−∞,− 69
100
)
Resolvemos la segunda desigualdad
53x +
34
>25⇔ 5
3x >
25− 3
4⇔ 5
3x > − 7
20⇔ x >
35
(− 7
20
)⇔ x > − 21
100⇔
⇔ CS2 =(− 21
100, +∞
)
El conjunto solucion CS de la desigualdad original es
CS = CS1
⋃CS2 =
(−∞,− 69
100
) ⋃ (− 21
100, +∞
)= R −
[− 69
100,− 21
100
]
�
Ejemplo 19 Resolver la desigualdad |3 − 2x | ≥ 9
HEsta desigualdad se cumple cuando
3 − 2x ≤ −9 o bien 3 − 2x ≥ 9
20 Calculo Diferencial e Integral I
Resolvemos la primera desigualdad
3 − 2x ≤ −9 ⇔ −2x ≤ −9 − 3 ⇔ −2x ≤ −12 ⇔ x ≥ −12−2
⇔ x ≥ 6 ⇔
⇔ CS1 = [6, +∞)
Resolvemos la segunda desigualdad
3 − 2x ≥ 9 ⇔ −2x ≥ 9 − 3 ⇔ −2x ≥ 6 ⇔ x ≤ 6−2
⇔ x ≤ −3 ⇔
⇔ CS2 = (−∞,−3]
El conjunto solucion de la desigualdad original es
CS = CS1
⋃CS2 = [6, +∞)
⋃(−∞,−3] = (−∞,−3]
⋃[6, +∞) = R − (−3, 6)
�
Ejercicios 4 Resolver las siguientes desigualdades
1. 0 < |5 − 8x | ≤ 7
2. 1 ≤ |8x + 1 | ≤ 9
3. |3x − 4 | − 1 ≥ 4x
4. |2 − 7x | ≤ 4 − 3x
5. |4x + 8 | ≤ 3x
6.∣∣∣∣x− 68.5
2.7
∣∣∣∣ ≤ 1
7. |3 − 2x | ≤ x + 5
8. |2x − 3 | ≥ |2 − 3x |
9. |−2x − 4 | ≥ 3 − 2x
1.7.6 Desigualdades del tipo:
ax + b
cx + d≥ 0
Desde luego cx + d 6= 0 pues en caso contrario la desigualdad no tendrıa sentido. Puede suceder entonces que
(i) cx + d > 0, o bien que
(ii) cx + d < 0
Para resolver la desigualdad propuesta en ambos casos “quitamos” denominadores, es decir, pasamos el divisor(cx + d) al otro miembro, por lo que tenemos
i) ax + b ≥ 0 · (cx + d) ⇔ ax + b ≥ 0
(ii) ax + b ≤ 0 · (cx + d) ⇔ ax + b ≤ 0
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 21
Por lo que hallaremos el conjunto solucion de cada una de las desigualdades ( como en el caso 1.7.1), intersecaremosa cada uno de ellos con el conjunto solucion de cx + d > 0 en el caso (i) y con el de cx + d < 0 en el caso (ii) y launion de las dos intersecciones ası obtenidas sera el conjunto solucion de la desigualdad propuesta.Desde luego que puede parecer mas sencillo considerar la solucion de la desigualdad
ax + b
cx + d≥ 0
de la siguiente manera:
*) Si cx + d > 0 necesariamente ax + b ≥ 0, luego resolvemos
ax + b ≥ 0 y cx + d > 0
e intersecamos ambos conjuntos solucion, lo cual sera parte del conjunto solucion de la desigualdad propuesta.
**) Si cx + d < 0, ahora ax + b ≤ 0, por lo cual resolvemos
ax + b ≤ 0 y cx + d < 0
e intersecamos ambos conjuntos solucion.
La union de ambas intersecciones es el conjunto solucion buscado.
Ejemplo 20 Resolver la desigualdad3x + 42x− 5
≥ 0
HPor supuesto que 2x − 5 6= 0.Puede suceder entonces que (i) 2x − 5 > 0 o bien que (ii) 2x − 5 < 0
(i) Si 2x − 5 > 0 entonces (para que3x + 42x− 5
≥ 0) necesariamente debe suceder que 3x + 4 ≥ 0
2x − 5 > 0 y 3x + 4 ≥ 0 ⇔ 2x > 5 y 3x ≥ −4 ⇔ x >52
y x ≥ −43
Ambas condiciones se cumplen cuando x >52.
Se obtiene ası una parte del conjunto solucion, que es:
CS1 =(
52, +∞
).
(ii) Si 2x − 5 < 0 entonces (para que3x + 42x− 5
≥ 0) necesariamente debe suceder que 3x + 4 ≤ 0
2x − 5 < 0 y 3x + 4 ≤ 0 ⇔ 2x < 5 y 3x ≤ −4 ⇔ x <52
y x ≤ −43
Se obtiene ası la otra parte del conjunto solucion, que es:
CS2 =(−∞,−4
3
].
Por lo tanto, el conjunto solucion de la desigualdad3x + 42x− 5
≥ 0 es:
CS = CS1
⋃CS2 =
(52, +∞
)⋃ (−∞,−4
3
]=
(−∞,−4
3
] ⋃ (52, +∞
)= R −
(−4
3,52
]
�
22 Calculo Diferencial e Integral I
Ejemplo 21 Resolver la desigualdad5x− 43x + 2
< 0
HConsideramos que 3x + 2 6= 0.Puede ser entonces que (i) 3x + 2 < 0 o bien que (ii) 3x + 2 > 0
(i) Si 3x + 2 < 0 entonces (para que5x− 43x + 2
< 0) necesariamente debe suceder que 5x − 4 > 0
3x + 2 < 0 y 5x − 4 > 0 ⇔ 3x < −2 y 5x > 4 ⇔ x < −23
y x >45
Ambas condiciones nunca se cumplen. Entonces:
CS1 = Ø .
(ii) Si 3x + 2 > 0 entonces ( para que5x − 43x + 2
< 0) necesariamente debe suceder que 5x − 4 < 0
3x + 2 > 0 y 5x − 4 < 0 ⇔ 3x > −2 y 5x < 4 ⇔ x > −23
y x <45
Ambas condiciones se cumplen cuando −23
< x <45.
Entonces:
CS2 =(−2
3,45
).
Por lo tanto, el conjunto solucion de5x − 43x + 2
< 0 es
CS = CS1
⋃CS2 = Ø
⋃ (−2
3,45
)=
(−2
3,45
)
�
Ejemplo 22 Resolver la desigualdad−1
4x + 3> 0
HNotamos que el numerador (−1) de la fraccion
−14x + 3
siempre es negativo (−1 < 0).
Por esto se tiene que−1
4x + 3> 0 ⇔ 4x + 3 < 0 ⇔ 4x < −3 ⇔ x < −3
4Luego entonces, el conjunto solucion de la desigualdad es
CS =(−∞,−3
4
).
�
1.7.7 Desigualdades del tipo:
ax + b
cx + d≥ k
Podemos quitar el denominador cx + d 6= 0 pasandolo al segundo miembro, en cuyo caso tendrıamos que resolverdesigualdades del tipo 1.7.2 o pasar k al primer miembro y efectuar la operacion indicada
ax + b
cx + d− k > 0
Con la cual obtendrıamos una desigualdad equivalente del tipo 1.7.6.
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 23
Ejemplo 23 Resolver la desigualdad2x + 34x− 5
≤ 6
HResolveremos esta desigualdad expresandola como una desigualdad del tipo 1.7.6 (donde el segundo miembro es 0)
2x + 34x − 5
≤ 6 ⇔ 2x + 34x − 5
− 6 ≤ 0 ⇔ 2x + 3 − 6(4x− 5)4x − 5
≤ 0 ⇔
⇔ 2x + 3 − 24x + 304x − 5
≤ 0 ⇔ −22x + 334x− 5
≤ 0
Considerando que 4x − 5 6= 0, puede suceder entonces que i) 4x− 5 < 0 o bien que ii) 4x − 5 > 0
i) Si 4x − 5 < 0 entonces necesariamente −22x + 33 ≥ 0
4x − 5 < 0 y − 22x + 33 ≥ 0 ⇔ 4x < 5 y − 22x ≥ −33 ⇔ x <54
y x ≤ −33−22
⇔
⇔ x <54
y x ≤ 32⇔ x <
54⇔
⇔ CS1 =(−∞,
54
)
ii) Si 4x − 5 > 0 entonces necesariamente −22x + 33 ≤ 0
4x − 5 > 0 y − 22x + 33 ≤ 0 ⇔ 4x > 5 y − 22x ≤ −33 ⇔ x >54
y x ≥ −33−22
⇔
⇔ x >54
y x ≥ 32⇔ x ≥ 3
2⇔
⇔ CS2 =[32, +∞
)
Por lo tanto, el conjunto solucion de la desigualdad original es
CS = CS1
⋃CS2 =
(−∞,
54
)⋃ [32, +∞
)= R −
[54,32
)
�Observacion. Esta desigualdad tambien se puede resolver aplicando el procedimiento que se utiliza al resolver unaecuacion, que es: “pasar” al denominador (4x − 5) del primer miembro, multiplicando al segundo miembro, con locual obtenemos una desigualdad del tipo 2.¿Lo intenta? Serıa un buen ejercicio.
Ejemplo 24 Resolver la desigualdad2x + 34x− 5
≥ −6
HResolveremos esta desigualdad aplicando la observacion hecha al final del ejemplo 23. Esto es “pasando al denomi-nador (4x − 5) del primer miembro, multiplicando al segundo miembro”.Para lograr lo anterior, es necesario multiplicar por el denominador (4x − 5) a ambos miembros de la desigualdad;considerando, por supuesto, que 4x − 5 6= 0.Ya que 4x− 5 6= 0, puede suceder entonces que i) 4x − 5 < 0 o bien que ii) 4x− 5 > 0.
i) Si 4x − 5 < 0 entonces (la desigualdad se invierte)
2x + 34x− 5
≥ −6 ⇔ 2x + 34x− 5
(4x − 5) ≤ −6(4x − 5) ⇔ 2x + 3 ≤ −24x + 30 ⇔
⇔ 2x + 24x ≤ 30 − 3 ⇔ 26x ≤ 27 ⇔ x ≤ 2726
24 Calculo Diferencial e Integral I
Pero 4x − 5 < 0 ⇔ 4x < 5 ⇔ x <54
Se debe cumplir entonces que x <54
y x ≤ 2726
Desigualdades que se cumplen ambas cuando x ≤ 2726
Se tiene en este caso que:
CS1 =(−∞,
2726
].
ii) Si 4x − 5 > 0 entonces (la desigualdad no cambia)
2x + 34x− 5
≥ −6 ⇔ 2x + 34x− 5
(4x − 5) ≥ −6(4x − 5) ⇔ 2x + 3 ≥ −24x + 30 ⇔
⇔ 2x + 24x ≥ 30 − 3 ⇔ 26x ≥ 27 ⇔ x ≥2726
Pero 4x − 5 > 0 ⇔ 4x > 5 ⇔ x >54
Se debe cumplir entonces que x >54
y x ≥ 2726
Desigualdades que se cumplen ambas cuando x ≥54
Se tiene en este caso que:
CS2 =(
54, +∞
).
Entonces el conjunto solucion CS de la desigualdad original[2x + 34x − 5
≥ −6]
es la union de CS1 y CS2.
CS = CS1
⋃CS2 =
(−∞,
2726
] ⋃ (54, +∞
)= R −
(2726
,54
]
�Un buen ejercicio serıa resolver esta misma desigualdad aplicando el procedimiento utilizado en el ejemplo 23. ¿Lorealiza?Nota. Este tipo de desigualdades, que hemos considerado en los ejemplos 23 y 24, son necesarios para poder resolverdesigualdades mas complejas; las cuales requieren de un mayor desarrollo para la obtencion de su conjunto solucion.
Ejemplo 25 Resolver la desigualdad∣∣∣∣2x + 34x − 5
∣∣∣∣ ≤ 6
HPor supuesto que esta desigualdad (debido al valor absoluto involucrado) no es del tipo que estamos tratando yque hemos ejemplificado mediante los ejemplos 23 y 24. Pero aplicando una de las propiedades del valor absoluto,podemos afirmar que ∣∣∣∣
2x + 34x − 5
∣∣∣∣ ≤ 6 ⇔ −6 ≤ 2x + 34x − 5
≤ 6 ⇔ −6 ≤ 2x + 34x − 5
y2x + 34x − 5
≤ 6
Es decir, la desigualdad original∣∣∣∣2x + 34x− 5
∣∣∣∣ ≤ 6 se cumple cuando se cumplen a la vez las desigualdades
2x + 34x − 5
≥ −6 y2x + 34x − 5
≤ 6
Luego entonces, el conjunto solucion CS de la desigualdad original es precisamente la interseccion de los conjuntos
solucion de las desigualdades2x + 34x − 5
≥ −6 y2x + 34x − 5
≤ 6
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 25
(i) Resolvemos la desigualdad2x + 34x− 5
≥ −6 y obtenemos (ver el ejemplo 24) el conjunto solucion
CS1 =(−∞,
2726
] ⋃ (54, +∞
)
(ii) Resolvemos la desigualdad2x + 34x− 5
≤ 6 y obtenemos (ver el ejemplo 23) el conjunto solucion
CS2 =(−∞,
54
)⋃ [32, +∞
)
Finalmente obtenemos la interseccion de CS1 y CS2, para ası tener el conjunto solucion CS de la desigualdad original
CS = CS1
⋂CS2 =
{ (−∞,
2726
] ⋃ (54, +∞
)} ⋂ { (−∞,
54
) ⋃ [32, +∞
)}
27����������26
5������4
o⋂
⋂
3������2
5������4
o =
=3������2
27����������26
CS =(−∞,
2726
] ⋃ [32, +∞
)= R −
(2726
,32
)
�
Ejemplo 26 Resolver la desigualdad∣∣∣∣2x + 34x − 5
∣∣∣∣ > 6
HAun cuando ya sabemos que (debido al resultado obtenido en el ejemplo 25 el conjunto solucion de esta desigualdad
es el intervalo(
2726
,32
)−
{54
}, procedemos a resolverla como en los ejemplos anteriores.
Para quitar el valor absoluto utilizamos una de sus propiedades, la cual permite afirmar que∣∣∣∣2x + 34x − 5
∣∣∣∣ > 6 ⇔ 2x + 34x− 5
< −6 o bien2x + 34x − 5
> 6
Es decir, la desigualdad original∣∣∣∣2x + 34x − 5
∣∣∣∣ > 6 se cumple cuando se cumple que2x + 34x − 5
< −6 o bien cuando se
cumple que2x + 34x − 5
> 6
Luego entonces, el conjunto solucion CS de la desigualdad original es precisamente la union de los conjuntos solucion
de las desigualdades2x + 34x − 5
< −6 y2x + 34x− 5
> 6
26 Calculo Diferencial e Integral I
(i) Resolvemos la desigualdad2x + 34x − 5
< −6 y obtenemos (ver y analizar el ejemplo 24) que el conjunto soluciones:
CS1 =(
2726
,54
).
(ii) Resolvemos la desigualdad2x + 34x− 5
> 6 y obtenemos (ver y analizar el ejemplo 23) que el conjunto solucion es:
CS2 =(
54,32
).
Finalmente obtenemos la union de CS1 y CS2, para ası tener el conjunto solucion CS de la desigualdad original
CS = CS1
⋃CS2 =
(2726
,54
)⋃ (54,32
)=
(2726
,32
)−
{54
}
�
Ejercicios 5 Resolver las siguientes desigualdades
1.3x− 4x − 2
≤ 5
2.5x + 2x + 3
> 4
3.x + 22x + 1
≥ −3
4.6 − 5x
1 + 3x< −2
5.5 + 3x
4x + 5> 1
6.6
10x + 2> 0
7.2
3 − 5x≤ −3
5
8.15 + 2x
x + 4≥ x
9.6x− 5x − 2
< 7
10.−2
x − 4< 7
11.x
x − 1> 1
4
12.2x + 3x + 8
< 5
13.3 − x
4x + 1≥ 4
14.2x− 9x − 1
≥ 8
15.2x + 33 − 4x
≤ 2
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 27
16.2x− 5 <
3x
+ 2
17. 2x + 5 ≤ 14x + 1
18.3x− 16x + 9
> 4
19.∣∣∣∣ 5 − 1
x
∣∣∣∣ < 1
20.|3x − 4 |
x − 5< −2
21.∣∣∣∣2− 3x
x + 3
∣∣∣∣ ≥14
22.∣∣∣∣5x− 13x + 2
∣∣∣∣ ≥ 4
23.1
2x− 3≥ 1
|x + 1 |
24.∣∣∣∣2x + 1x − 5
∣∣∣∣ > 1
25.∣∣∣∣4x + 12x− 3
∣∣∣∣ ≤ 5
26.|3 − x |5x + 3
< 1
27.|2x − 3 |
x + 1> 4
28.∣∣∣∣
1x− 2
∣∣∣∣ ≤ 6
29.∣∣∣∣ 5 +
4x
∣∣∣∣ ≥ 2
1.7.8 Desigualdades del tipo:
ax2 + bx + c ≥ 0 con a 6= 0
Se considera a 6= 0 ya que a = 0 nos darıa una desigualdad del tipo 1.7.1.Para resolver en general la desigualdad ax2+bx+c ≥ 0, nos apoyaremos en las soluciones de la ecuacion ax2+bx+c =0, que estan dadas por la formula
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
Aquı, de acuerdo con el signo del discriminante b2 − 4ac, pueden ocurrir tres casos:
(1) Si b2 − 4ac > 0, entonces
ax2 + bx + c = 0 tiene dos raıces reales y distintas, que son:
x1 =−b +
√b2 − 4ac
2a& x2 =
−b −√
b2 − 4ac
2adonde x1 6= x2, digamos x1 > x2 que se tiene cuando a > 0.
28 Calculo Diferencial e Integral I
En este caso,
ax2 + bx + c ≥ 0 ⇔ a(x − x1)(x − x2) ≥ 0 ⇔⇔ (x − x1)(x − x2) ≥ 0 si a > 0 o bien (x − x1)(x − x2) ≤ 0 si a < 0
(i) La desigualdad (x − x1)(x − x2) ≥ 0 se cumple si:
x − x1 ≥ 0 & x − x2 ≥ 0 o bien x − x1 ≤ 0 & x − x2 ≤ 0
A su vez estas desigualdades se cumplen si:
x ≥ x1 & x ≥ x2 o bien x ≤ x1 & x ≤ x2
O en terminos de intervalos (recuerdese que x1 > x2)
x ∈ [x1, +∞) & x ∈ [x2, +∞) o bien x ∈ (−∞, x1] & x ∈ (−∞, x2]
x ∈ [x1, +∞)⋂
[x2, +∞) = [x1, +∞) o bien x ∈ (−∞, x1]⋂
(−∞, x2] = (−∞, x2]
Por lo que el conjunto solucion de (x − x1)(x − x2) ≥ 0 y por ende el de ax2 + bc + c ≥ 0 (para el casoa > 0) es:
CS = (−∞, x2]⋃
[x1, +∞)
Analogamente,
(ii) La desigualdad (x − x1)(x − x2) ≤ 0 se cumple si:
x − x1 ≥ 0 & x − x2 ≤ 0 o bien x − x1 ≤ 0 & x − x2 ≥ 0
A su vez estas desigualdades se cumplen si:
x ≥ x1 & x ≤ x2 o bien x ≤ x1 & x ≥ x2
O en terminos de intervalos (recuerdese que x1 > x2)
x ∈ [x1, +∞) & x ∈ (−∞, x2] o bien x ∈ (−∞, x1] & x ∈ [x2, +∞)
x ∈ [x1, +∞)⋂
(−∞, x2] = Ø o bien x ∈ (−∞, x1]⋂
[x2, +∞) = [x2, x1]
Luego el conjunto solucion de (x − x1)(x − x2) ≤ 0 y el de ax2 + bx + c ≥ 0 (para el caso a < 0) es:
CS = Ø⋃
[x2, x1] = [x2, x1]
Toda esta discusion se puede obviar escribiendo en forma resumida la tabla siguiente:
Signo de: ax2 + bx + c
Intervalo x − x2 x − x1 (x − x2)(x − x1) a > 0 a < 0x < x2(< x1) − − + + −x2 < x < x1 + − − − +(x2 <)x1 < x + + + + −
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 29
(2) Si b2 − 4ac = 0, entonces
ax2 + bx + c = 0 tiene una unica raız real (doble): x1 = x2 = − b
2ay ademas
ax2 + bx + c = a
(x +
b
2a
)2
Como(
x +b
2a
)2
≥ 0 siempre, entonces
Si a > 0, ax2 + bx + c ≥ 0 y su conjunto solucion es R.
Si a < 0, ax2+bx+c ≤ 0. Por lo que se cumplira ax2+bx+c ≥ 0 solo si ax2+bx+c = 0, es decir, si x = − b
2a,
por lo que el conjunto solucion es{− b
2a
}, que consta de un solo punto.
(3) Si b2 − 4ac < 0, entonces
En este caso ax2+bx+c = 0 no tiene raız real alguna. Es decir, para cualquier x ∈ R sucede que ax2+bx+c 6= 0por lo que,como veremos posteriormente:
(i) O siempre es positivo, en cuyo caso el conjunto solucion es R, si por ejemplo el valor de ax2 + bx + c parax = 0 es c > 0
(ii) O nunca es positivo, entonces el conjunto solucion es Ø, si c < 0
Ejemplo 27 Resolver la desigualdad 2x2 + x − 6 ≥ 0
HPrimero resolvemos la ecuacion 2x2 + x − 6 = 0
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a=
−1 ±√
12 − 4(2)(−6)2(2)
=−1 ±
√1 + 48
4=
−1 ± 74
Aquı se tienen dos raıces reales diferentes que son
x1 =−1 + 7
4=
64
=32
y x2 =−1 − 7
4=
−84
= −2
Entonces, la factorizacion del trinomio cuadratico es
2x2 + x − 6 = 2(
x − 32
)[x − (−2)] = 2
(x − 3
2
)(x + 2)
Luego resolvemos la desigualdad
2x2 + x− 6 ≥ 0 ⇔ 2(
x − 32
)(x + 2) ≥ 0 ⇔
(x − 3
2
)(x + 2) ≥ 0, ya que 2 > 0 ⇔
⇔ x − 32≤ 0 y x + 2 ≤ 0 o bien x − 3
2≥ 0 y x + 2 ≥ 0 ⇔
⇔ x ≤ 32
y x ≤ −2 o bien x ≥ 32
y x ≥ −2 ⇔
⇔ x ∈(−∞,
32
]y x ∈ (−∞,−2] o bien x ∈
[32, +∞
)y x ∈ [−2, +∞) ⇔
⇔ x ∈(−∞,
32
]⋂(−∞,−2] o bien x ∈
[32, +∞
)⋂[−2, +∞) ⇔
⇔ x ∈ (−∞,−2] o bien x ∈[32, +∞
)⇔
⇒ x ∈ (−∞,−2]⋃ [
32, +∞
)
30 Calculo Diferencial e Integral I
Por lo tanto, el conjunto solucion de la desigualdad 2x2 + x − 6 ≥ 0 es
CS = (−∞,−2]⋃ [
32, +∞
)= R −
(−2,
32
)
�
Ejemplo 28 Resolver la desigualdad 4x2 − 4x + 1 > 0
HPrimero resolvemos la ecuacion 4x2 − 4x + 1 = 0
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a=
−(−4) ±√
(−4)2 − 4(4)(1)2(4)
=4 ±
√16 − 168
=4 ± 0
8=
48
=12
Aquı se tiene una unica raız real (doble) que es x =12
Entonces la factorizacion del trinomio cuadratico es
4x2 − 4x + 1 = 4(
x − 12
)2
Lo cual se puede ver directamente pues
4x2 − 4x + 1 = 4(
x2 − x +14
)= 4
(x − 1
2
)2
Luego resolvemos la desigualdad
4x2 − 4x + 1 > 0 ⇔ 4(
x − 12
)2
> 0 ⇔(
x − 12
)2
> 0, ya que 4 > 0 ⇔
⇔ x − 126= 0 ⇔ x 6= 1
2Por lo tanto, el conjunto solucion es
CS = R −{
12
}.
�
Ejemplo 29 Resolver la desigualdad x2 + 2x + 2 ≤ 0
HResolvemos la ecuacion x2 + 2x + 2 = 0
x =−2 ±
√22 − 4(1)(2)2(1)
=−2 ±
√4 − 8
2=
−2 ±√−4
2
Aquı no se tienen raıces reales, ya que√−4 no es un numero real. Esto nos indica que para ningun numero
real x sucede la igualdad x2 + 2x + 2 = 0.Luego entonces, como veremos posteriormente, para cada numero real x se cumple que
x2 + 2x + 2 < 0 o bien x2 + 2x + 2 > 0.
Como x = 0 ⇒ x2 + 2x + 2 = 02 + 2(0) + 2 = 2 ⇒
⇒ siempre se cumple x2 + 2x + 2 > 0 ⇒ nunca se cumple x2 + 2x + 2 ≤ 0
El conjunto solucion de x2 + 2x + 2 ≤ 0 es:CS = Ø .
Tambien se puede ver directamente pues x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1 > 0 siempre. �
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 31
Ejemplo 30 Resolver la desigualdad x2 − 2x− 15 < 0
HResolvemos la ecuacion x2 − 2x− 15 = 0
x =−(−2) ±
√(−2)2 − 4(1)(−15)2(1)
=2 ±
√4 + 602
=2 ±
√64
2=
2 ± 82
Aquı se tienen dos raıces reales diferentes, que son
x1 =2 + 8
2=
102
= 5 y x2 =2 − 8
2=
−62
= −3
Entonces, la factorizacion del trinomio cuadratico es
x2 − 2x − 15 = (x − 5)[x− (−3)] = (x − 5)(x + 3)
La cual tambien podemos hacer directamente.
Resolvemos la desigualdad
x2 − 2x − 15 < 0 ⇔ (x − 5)(x + 3) < 0 ⇔x − 5 < 0 y x + 3 > 0 o bien x − 5 > 0 y x + 3 < 0
x < 5 y x > −3 o bien x > 5 y x < −3x ∈ (−∞, 5) y x ∈ (−3, +∞) o bien x ∈ (5, +∞) y x ∈ (−∞,−3)
x ∈ (−∞, 5)⋂
(−3, +∞) o bien x ∈ (5, +∞)⋂
(−∞,−3) = Øx ∈ (−3, 5)
⋃Ø ⇒ x ∈ (−3, 5)
Por lo tanto, el conjunto solucion es el intervalo
CS = (−3, 5) .
�
Solucion geometrica
y = ax2 + bx + c es una parabola de eje paralelo al de las y y que dirige su concavidad hacia arriba si a > 0 o bienhacia abajo si a < 0.El vertice de esta parabola se puede determinar escribiendo
ax2 + bc + c = a
(x2 +
b
ax
)+ c
Completando el binomio(
x2 +b
ax
)de forma que sea un trinomio cuadrado perfecto y restando lo mismo que
sumamos, para no alterar la igualdad, tenemos que:
ax2 + bx + c = a
(x2 +
b
ax +
b2
4a2− b2
4a2
)+ c =
= a
(x2 +
b
ax +
b2
4a2
)+ c − b2
4a=
= a
(x +
b
2a
)2
+4ac − b2
4a
El valor extremo de esta expresion se obtiene cuando x +b
2a= 0, es decir, cuando x = −
b
2a.
32 Calculo Diferencial e Integral I
Si a > 0 tenemos un valor mınimo y si a < 0 uno maximo, luego en ambos casos el vertice es el punto:
V
(−
b
2a, c −
b2
4a
)≡
(−
b
2a,4ac− b2
4a
)
Este vertice puede estar encima del eje de las x, en el eje x o debajo, dependiendo si
c − b2
4a>, =, o bien < 0
por lo que las parabolas quedan de la siguiente forma:
(i) a > 0
x
y= ax2+bx+c
V
V
V
b2-4ac < 0
b2-4ac = 0
b2-4ac > 0
c > 0
x1x2
Y el conjunto solucion de ax2 + bx + c ≥ 0 por lo tanto es R en los dos primeros casos, es decir, si b2 − 4ac ≤ 0.
El conjunto solucion es (−∞, x2]⋃
[x1, +∞) si b2−4ac > 0 donde x2 < x1 son las dos soluciones de ax2+bx+c =0, reales y distintas.
(ii) a < 0
x
y= ax2+bx+c
V
V
V
b2-4ac < 0
b2-4ac = 0
b2-4ac > 0
c < 0
x1x2
En el primer caso, si b2 − 4ac > 0 el conjunto solucion es [x2, x1], donde nuevamente x2 & x1 son las dos raıcesreales y distintas de ax2 + bx + c = 0.
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 33
Si b2 − 4ac = 0 el conjunto solucion es{− b
2a
}.
Y si b2 − 4ac < 0 el conjunto solucion de ax2 + bx + c ≥ 0 es el conjunto Ø.
Ejemplo 31 Resolver geometricamente la desigualdad −x2 + 2x + 3 ≥ 0
H
Notamos que y = −x2 + 2x + 3 es de la forma y = ax2 + bx + c, donde a = −1, b = 2 y c = 3. Aquı a < 0ya que a = −1, por lo cual y = −x2 + 2x + 3 es una parabola vertical que se abre hacia abajo a partir de suvertice V .
y = −x2 + 2x + 3 = −(x2 − 2x) + 3 = −(x2 − 2x + 12 − 12) + 3
y = −(x2 − 2x + 1) + 1 + 3 = −(x − 1)2 + 4x − 1 = 0 ⇒ x = 1 & x = 1 ⇒ y = 4, por lo que V (1, 4) es el vertice.
Visualizamos a la parabola en el plano cartesiano, abriendose hacia abajo desde el vertice V (1, 4). Vemos lanecesidad de resolver la ecuacion −x2 + 2x + 3 = 0
x =−2 ±
√22 − 4(−1)(3)2(−1)
=−2 ±
√4 + 12
−2=
−2 ±√
16−2
=−2 ± 4−2
⇔
⇔ x1 =−2 + 4−2
=2−2
= −1 y x2 =−2 − 4−2
=−6−2
= 3
Se tiene entonces una parabola donde y ≥ 0 cuando −1 ≤ x ≤ 3; es decir, −x2+2x+3 ≥ 0 cuando −1 ≤ x ≤ 3.
-1 1 3x
4
y
VH1,4L
Por lo tanto, el conjunto solucion de la desigualdad original es
CS = [−1, 3]
�
1.7.9 Desigualdades del tipo:
34 Calculo Diferencial e Integral I
a1x2 + b1x + c1 ≥ a2x
2 + b2x + c2, con a1 6= a2
(Si a1 = a2, trasponiendo los terminos al primer miembro nos quedarıa una desigualdad del tipo 1.7.2, si b1 6= b2.Si tambien b1 = b2 nos queda la desigualdad c1 ≥ c2 que puede ser verdadera o no; en el primer caso el conjuntosolucion serıa R y en el segundo Ø).Trasponiendo los terminos nuestra desigualdad la podemos escribir de la forma:
a1x2 + b1x + c1 − (a2x
2 + b2x + c2) ≥ 0
Esto es:
(a1 − a2)x2 + (b1 − b2)x + (c1 − c2) ≥ 0
Que es del tipo 1.7.8.
Ejemplo 32 Resolver la desigualdad 3x2 − 4x + 5 ≤ 9x − 3x2 + 10
H3x2 − 4x + 5 ≤ 9x− 3x2 + 10 ⇔ 3x2 − 4x + 5 − 9x + 3x2 − 10 ≤ 0 ⇔ 6x2 − 13x− 5 ≤ 0
Resolvemos la ecuacion 6x2 − 13x− 5 = 0
x =−(−13) ±
√(−13)2 − 4(6)(−5)2(6)
=13 ±
√169 + 12012
=13±
√289
12=
13 ± 1712
⇒
⇒ x1 =13 + 17
12=
3012
=52
y x2 =13− 17
12=
−412
= −13
La factorizacion del trinomio cuadratico es
6x2 − 13x− 5 = 6(
x − 52
) [x −
(−1
3
)]= 6
(x − 5
2
) (x +
13
)
Resolvemos la desigualdad
6x2 − 13x− 5 ≤ 0 ⇔ 6(
x − 52
)(x +
13
)≤ 0 ⇔
(x − 5
2
)(x +
13
)≤ 0 ⇔
x − 52≤ 0 y x +
13≥ 0 o bien x − 5
2≥ 0 y x +
13≤ 0 ⇔
⇔ x ≤ 52
y x ≥ −13
o bien x ≥ 52
y x ≤ −13⇔
⇔ x ∈(−∞,
52
]y x ∈
[−1
3, +∞
)o bien x ∈
[52, +∞
)y x ∈
(−∞,−1
3
]⇔
⇔ x ∈(−∞,
52
]⋂ [−1
3, +∞
)o bien x ∈
(−∞,−1
3
]⋂ [52, +∞
)⇔
⇔ x ∈[−1
3,52
]o bien x ∈ Ø ⇔
⇔ x ∈[−1
3,52
] ⋃Ø ⇒ x ∈
[−1
3,52
]
Por lo tanto, el conjunto solucion de la desigualdad original es
CS =[−1
3,52
].
�
Ejemplo 33 Resolver la desigualdad 2x2 − 3x + 4 > x2 − 5x + 2
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 35
H2x2 − 3x + 4 > x2 − 5x + 2 ⇔ 2x2 − 3x + 4 − x2 + 5x − 2 > 0 ⇔ x2 + 2x + 2 > 0
Esta desigualdad, como vimos en el ejemplo 29, siempre se cumple. Por lo tanto el conjunto solucion de la desigualdadoriginal es:
CS = R .
�Geometricamente resolver la desigualdad a1x
2 + b1x + c1 ≥ a2x2 + b2x + c2, con a1 6= a2 quiere decir hallar las x
tales que la grafica de la parabola y = a1x2 + b1x + c1 esta encima de la parabola y = a2x
2 + b2x + c2.
Ejemplo 34 Geometricamente, resolver la desigualdad 2 − 2x− 4x2 ≥ 2x2 + 9x + 5
HCompletando un trinomio cuadrado perfecto en cada caso, determinamos el vertice de cada parabola.
−4x2 − 2x + 2 = −4(x2 + 1
2x + 116
)+ 2 + 1
4 = −4(x + 1
4
)2 + 94
2x2 + 9x + 5 = 2(x2 + 9
2x + 8116
)+ 5 − 81
8 = 2(x + 9
4
)2 − 418
La parabola y = −4x2 − 2x + 2 se abre hacia abajo (por ser a = −4 < 0) a partir de su vertice V1
(−1
4,94
)y la
parabola y = 2x2 + 9x + 5 se abre hacia arriba (por ser a = 2 > 0) a partir de su vertice V2
(−9
4,−41
8
).
Las parabolas se intersecan cuando: 2x2 + 9x + 5 = −4x2 − 2x + 2. Esto sucede cuando 6x2 + 11x + 3 = 0
-4 -3 -3������2
-1 -1������3
1 2x
-5
y
o
y=2x2+9x+5 y=-4x2-2x+2
H-1������4
,9������4
L
H-9������4
,-41����������8
L
Conjunto solucion: [−3
2 ,−13
],
donde −32 y −1
3 son las abscisas de los puntos de interseccion de las dos parabolas y = 2−2x−4x2 y y = 2x2+9x+5y en el intervalo
[−3
2 ,−13
]la primera esta encima de la segunda.
�
Ejercicios 6 Resolver las siguientes desigualdades
1. x2 − 5x + 4 > 0
2. x2 − 4x − 12 < 0
3. 9x2 − 4 ≥ 0
4. 1 − x2 ≤ 0
36 Calculo Diferencial e Integral I
5. 2x2 + 5x + 2 > 0
6. 2x2 + 5x− 3 < 0
7. 3x2 − x − 2 ≥ 0
8. 3x2 + 7x− 6 ≤ 0
9. 2x2 + 9x + 5 ≤ 2 − 2x − 4x2
10. −3x2 + 3x − 2 > 4x − 9x2 − 1
11. 4x2 − 2x + 1 ≥ 10x2 + 3x− 5
12. 2x2 + 3x− 4 < x2 + x − 6
13. 2 <7x + 17x2 + 1
14. 2x2 + x < 6
15. 3x2 − x + 4 ≥ 3x2 + 2x ≥ 5
16. 2x2 − 3x < x2 ≤ 2x2 − 4
17. 3x2 − 4x + 5 ≤ 9x − 3x2 + 10
18. 2x2 + 7x− 5 ≤ 2x − 2
19.3x2 − 275 − 3x
≥ 0
20. x2 + 3x − 6 ≥ 2
21. 3x− 3x2 − 2 ≥ 4x − 9x2 − 1
22. 6x2 − 7x < 3
23.∣∣ 2x2 + x − 1
∣∣ ≥ x2 + 1
24.∣∣ (x2 − 5x + 6)2
∣∣ = x2 − 5x + 6
25. x2 ≥ 3 |x |+ 4
26.
∣∣ 2x2 − x − 3∣∣
x − 1< 4
27.∣∣ x2 − 4
∣∣ ≥ x2 + x + 1
28.2x − 3|x + 1 | ≤ x
29. |3 − x | > 2x2 + 3
30.x2 − x
|x | + x2 + 1< 0
31. |5x − 3 | ≤ x2 − 2
Mutatis mutandis, cambiando lo que hay que cambiar, el procedimiento para resolver estos mismos tipos de desigual-dades con los signos >, < o bien ≤ en vez de ≥ es identico.
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 37
Soluciones de los ejercicios del Capıtulo 1
Ejercicios 1 (pag. 12)
1.(−∞, 27
7
]
2.(−∞, 8
5
)
3.(−∞, 27
7
]
Ejercicios 2 (pag. 14)
1.(−∞, 27
7
]
2.(−∞, 8
5
)
3. [7, +∞)
4.(
9635 , +∞
)
5. (−∞, +∞)
6. Ø, Conjunto vacıo
7. (−∞, 3)
8.(
13, +∞
)
Ejercicios 3 (pag. 17)
1. (−1, 4]
2.(−5
3,−1
)
3.(−33
8,−13
8
)
4.(
23, 14
3
]
5. (−1, +∞)
6.(−1
5, 0
)
7.[2031
, 3617
]
8.[−7
8, +∞
)
9. Ø, Conjunto vacıo
10.[10311
, 60)
Ejercicios 4 (pag. 20)
1.[−1
4, 3
2
]−
{58
}
2.[−5
4,−1
4
] ⋃[0, 1]
3. [65.8, 71.2]
4.(−∞, 3
7
]
5.[−1
2, 3
5
]
6. Ø, Conjunto vacıo
38 Calculo Diferencial e Integral I
7.[−1
4 , +∞]
8.[−2
3 , 8]
9. [−1, 1]
Ejercicios 5 (pag. 26)
1. (−∞, 2)⋃
[3, +∞) = R − [2, 3))
2. (−∞,−3)⋃
(10, +∞)
3.(−∞,−5
7
] ⋃ (−1
2 , +∞)
4.(−8,−1
3
)
5.(−5
4 , 0)
6.(−1
5 , +∞)
7.(
35 , 19
15
]
8. (−∞, 2)⋃
(9, +∞) = R − [2, 9]
9.(−∞, 26
7
) ⋃(4, +∞) = R −
[267 , 4
]
10.(−∞,−1
3
) ⋃(1, +∞) = R −
[−1
3 , 1]
11.(−∞,−37
3
) ⋃(−8, +∞)
12.(−1
4 ,− 117
]
13.[−1
6, 1
)
14.(−∞,−9
2
] ⋃(−1, 1]
15.(−∞, 4
11
] ⋃ (34, +∞
)
16.(−∞,−1
7
) ⋃(0, +∞)
17.(−37
21 ,−32
)
18. (−∞,−3)⋃ (
−3, + 513
] ⋃[1, +∞)
19.(
16 , 1
4
)
20. (−∞,−6)⋃ (
145 , 5
)
21.(
32 , 4
]
22. (−∞,−6)⋃ (
43, 5
)⋃(5, +∞)
23. R −(1, 8
3
)
24.(−1,−1
6
)
25. R −(
116 , 13
6
)
26. R −(−4
3 ,−47
)− { 0 }
27.[−9
7 ,−23
) ⋃ (−2
3 ,− 717
]
Ejercicios 6 (pag. ??)
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES 39
1. (−∞, 1)⋃
(4, +∞) = R − [1, 4]
2. (−2, 6)
3.(−∞,−2
3
] ⋃ [23 , +∞
)= R −
(−2
3 , 23
)
4. (−∞,−1]⋃
[1, +∞) = R − (−1, 1)
5. (−∞,−2)⋃ (
−12 , +∞
)= R −
[−2,−1
2
]
6.(−3, 1
2
)
7.(−∞,−2
3
] ⋃[1, +∞) = R −
(−2
3, 1
)
8.[−3, 2
3
]
9.[−3
2 ,−13
]
10.(−∞,−1
3
) ⋃(12 , +∞
)
11.[−3
2 , 23
]
12. Ø, Conjunto vacıo
13. x ∈(−
32, 5
)
14.(−2, 3
2
)
15.(−∞,−5
3
] ⋃ [1, 4
3
]
16. [2, 3]
17.[−1
3 , 52
]
18.[−3, 1
2
]
19.(−∞,−
√41+32
] ⋃[√41−32 , +∞
)
20. R −(−1
3, 1
2
)
21.(−1
3, 3
2
)
22. (−∞,−2]⋃[
−13 , 0
] ⋃[1, +∞)
23. x ∈ (−∞, 2]⋃
[3, +∞)
24. (−∞,−4]⋃
[4, +∞) = R − (−4, 4)
25. (−∞, 1)⋃(
−3+√
654 , +∞
)
26. (−∞,−5]⋃[
−32 , 1
]
27.(−1
2 , 0)
28. (0, 1)
29.{(
−∞,−5+√
452
] ⋃[−5+
√45
2, +∞
)} ⋂{ (−∞, 5−
√21
2
] ⋃ [5+
√21
2, +∞
)}
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