Interés simple e interés compuesto
Rolando Castro Amorósjunio, 2007
Centro de Competencias de la Comunicación
Universidad de Puerto Rico en Humacao
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Introducción
Objetivos específicos
Instrucciones de uso y manejo del módulo
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presiona la parte deseada.
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Objetivo general
Introducción
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• Uno de los conceptos de matemáticas financieras más difundidos y aplicados en la vida diaria es el de interés. Pagamos interés al banco cuando hacemos un préstamo. El banco nos paga interés por el dinero depositado en el banco.
• En el financiamientos a corto plazo para la compra de enseres y muebles se usa el interés simple.
• En el financiamiento a largo plazo para la compra de autos y casas se usa el interés compuesto.
• Este módulo va dirigido a todas las personas interesadas en aprender a trabajar con el concepto de interés y aplicarlo en su diario vivir.
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Objetivo general
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Entender el concepto de interés simple y el de interés compuesto, de tal manera, que se puedan resolver y tomar decisiones en varias situaciones comunes de finanzas que uno se encuentra en la vida real.
Objetivos específicos
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Al finalizar el estudio del módulo, el/la usuario/a podrá…
• Distinguir entre interés simple e interés compuesto.
• Resolver problemas de interés simple.
• Resolver problemas de interés compuesto.
• Determinar tasa efectiva de interés.
• Determinar el valor futuro de una inversión.
• Evaluar alternativas de inversión para determinar cuál es la mejor.
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Instrucciones
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Para usar este módulo necesitarás:
Lápiz
Papel
Calculadora
Instrucciones
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• Recomendamos que comiences seleccionando la opción Pre-prueba. Trabajando la Pre-prueba, explorarás los conocimientos que posees sobre el tema antes de comenzar a estudiar el módulo.
• Selecciona la opción Entrar al módulo para pasar al Menú Principal.
• Para seleccionar una opción presiona sobre ella.
• A través del módulo se presentan una serie de ejemplos que debes estudiar.
Instrucciones
l
• A través del módulo se presentan una serie de ejercicios, debes hacer y verificar sus respuestas.
• Al final del módulo se encuentra una post-prueba (similar a la pre-prueba) con sus respectivas respuestas. Recomendamos que trabajes la post-prueba para que determines lo que aprendiste con el estudio del módulo.
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Menú principal
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Pre-prueba
Interés simple
Interés compuesto
Definición interés
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Post-prueba
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Glosario
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Bibliografía
Interés
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• El interés es la cantidad de dinero pagada o recibida por el uso del dinero.
• Si depositamos dinero en una cuenta de ahorros, el banco nos paga interés por usar ese dinero.
• Si tomamos dinero prestado pagamos interés a la persona que nos presta.
Interés
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• El interés se cobra a base de por cientos. Se paga ( o se recibe) cierta cantidad de dinero de interés por cada 100 dólares prestados ( o depositados). Al por ciento de interés se le llama tasa de interés.
• A menos que se indique lo contrario, la tasa de interés es anual.
• Si la tasa de interés es de 6%, entonces por cada $100 se recibe o se paga $6 de interés al año.
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Post-prueba
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Presiona sobre el icono para que puedas llegar a la Post-prueba.
Luego, puedes regresar y comparar tus respuestas con la clave de contestaciones correctas.
Recuerda que esto es beneficioso para ti. Así podrás saber qué aprendiste y cuánto aprendiste con esta
experiencia del módulo.
Ver respuestas
Para ir a la Post-prueba
Respuestas: Post-prueba
l
1. $192
2. $56.25
3. $1,000
4.$1,050
5. 23 pagos de $124.58, un pago de $124.66
6. $1265.32
7. 8.243%
8. b
9. c
10. a
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Pre-prueba
Presiona en el icono de enlace para que llegues a la Pre-prueba.
Para ir a la Pre-prueba
Continuar
Respuestas: Pre-prueba
l
1. $337.50
2. $36
3. $900
4.$4,440
5. 17 pagos de $179.24, un pago de $179.16
6. $1,268.64
7. 8.16%
8. a
9. c
10. b
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Interés simple
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Financiamiento a plazos
Salir
Regresar Menú Principal
Fórmula
• El interés simple es el interés pagado o recibido por la cantidad inicial de dinero invertida, depositada o tomada prestada (llamada principal o capital).
• Si los intereses producidos por un capital invertido se computan en períodos fijos de tiempo, éstos se podrían o no añadirse al principal. Si el interés es simple no se añaden al principal.
• Se calcula multiplicando las siguientes cantidades: Principal Tasa de interés Tiempo de duración del período
Conceptos importantes
Ejemplos
• Principal:
Cantidad de dinero depositada o tomada prestada.
• Tasa de interés:
La cantidad de interés, por lo general, se da como un por ciento del principal. A este por ciento se le llama tasa de interés.
Una tasa de interés de 4.5% anual significa que se pagará o se recibirá $4.50 por cada $100 prestados o depositados.
• Valor futuro de una inversión:
Dinero invertido + intereses ganados
Conceptos importantes
Fórmula: interés simple
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I = P r t
I = interés simple
P = principal (capital)
r = tasa de interés (forma decimal)
t = tiempo (en años)
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Ejemplos y ejercicios
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Regresar Menú Interés simple
InterésCalcular ….
Principal
Tasa de interés
Tiempo
Valor futuro
Financiamiento a plazos
Mensualidades
Intereses y total a pagar
Pepe invierte $7,200 en un certificado de depósito que paga al 7.5% anual de interés simple por 4 años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses?
Primero identificamos los valores correspondientes a P, r, t.
P = 7200 r = 7.5% = 0.075 t = 4 años
Luego usamos la fórmula.
Interés ganado = P r t
= 7200(0.075)(4) = $2160
Ejemplo: Interés simple
Sandra invierte $5,400 en un certificado de depósito que paga al 8.2% anual de interés simple por 3 años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Ejercicio : Interés simple
Sandra invierte $5,400 en un certificado de depósito que paga al 8.2% anual de interés simple por 3 años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses?
P = 5400 r = 8.2% = 0.082 t = 3 años
Interés ganado = P r t
= 5400(0.082)(3) = $1328.40
Respuesta
Regresar menú Ejercicios
Ver otro ejemplo.
Bárbara tomó prestado $2,000. Los va a pagar en 18 meses. Le cobran 8% de interés simple. ¿Cuánto dinero tiene que pagar en intereses?
Valores correspondientes a P, r y t.
P = 2000 r = 8% = 0.08
t = 18 meses = 18/12 años = 1.5 años
Usamos la fórmula.
Interés = P r t
= 2000(0.08)(1.5) = $240
Ejemplo : Interés simple
Ingrid tomó prestado $4,000. Los va a pagar en 21 meses. Le cobran 7.5% de interés simple. ¿Cuánto dinero tiene que pagar en intereses?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Ejercicio : Interés simple
Ingrid tomó prestado $4,000. Los va a pagar en 21 meses. Le cobran 7.5% de interés simple. ¿Cuánto dinero tiene que pagar en intereses?
P = 4000 r = 7.5% = 0.075
t = 21/12 años = 1.75 años
Interés = P r t
= 4000(0.075)(1.75) = $525
Respuesta
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Pancho depositó $9,500 en un certificado de depósito a una tasa de interés anual del 6.5% por 6 años. Halle el valor futuro de la inversión.
Valor futuro = Principal + Intereses
Principal = P = $9500
r = 6.5% = 0.065 t = 6 años
Intereses = P r t = 9500(0.065)(6) = $3705
Valor futuro = 9500+3705 = $13,205
Ejemplo : Valor futuro
Alondra depositó $8,750 en un certificado de depósito a una tasa de interés anual del 5% por 4 años. Halle el valor futuro de la inversión.
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Ejercicio : Valor futuro
Alondra depositó $8,750 en un certificado de depósito a una tasa de interés anual del 5% por 4 años. Halle el valor futuro de la inversión.
Valor futuro = Principal + Intereses
Principal = P = $8750
r = 5% = 0.05 t = 4 años
Intereses = P r t = 8750(0.05)(4) = $1750
Valor futuro = 8750+1750 = $10,500
Respuesta
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Un banco paga un interés simple de 8% anual. Determine la cantidad de dinero que hay que depositar en un banco para generar $1,160 de intereses en 2 años?
Identificamos los valores de I, r, y t. I = 1160 r = 8% = 0.08 t = 2 años
Sustituimos los valores en la fórmula I = P r t y resolvemos la ecuación resultante.
1160 = P(0.08)(2) 1160 = 0.16 P P = 7250Cantidad de dinero a depositar = $7,250
Ejemplo : Cálculo de principal
Un depósito bancario que paga un interés simple, con una tasa de 5% anual, generó $3,100 de intereses en 10 meses. ¿Cuál es el principal?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Ejercicio : Cálculo de principal
Un depósito bancario que paga un interés simple, con una tasa de 5% anual, generó $3,100 de intereses en 10 meses. ¿Cuál es el principal?
I = 3100 r = 5% = 0.05
t = 10 meses = 10/12 años = 5/6 años
3100 = P(0.05)(5/6) 3100 = 0.25/6 P
P = 74400 Principal = $74,400
Respuesta
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Un depósito bancario que paga un interés simple creció desde una suma inicial de $1,000 hasta $1,075 en 9 meses. ¿Cuál es la tasa de interés?
Identificamos los valores de I, P, y t.P = 1000 I = 1075 - 1000 = 75 t = 9 meses = 9/12 años = 0.75 años
Sustituimos los valores en la fórmula I = P r t y resolvemos la ecuación resultante.
75 = 1000(r)(0.75) 75 = 700 r r = 75 / 750 = 0.10 = 10%La tasa de interés es de 10%.
Ejemplo : Cálculo de tasa de interés
¿A qué tasa de interés simple, se convertirán $1,200 en $1,250 en 8 meses?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Ejercicio : Cálculo de tasa de interés
¿A qué tasa de interés simple, se convertirán $1,200 en $1,250 en 8 meses?
P = 1200 I = 1250 - 1200 = 50 t = 8 meses = 8/12 años = 2/3 años
50 = 1200(r)(2/3) 50 = 800 r r = 50 / 800 = 0.0625 = 6.25%
La tasa de interés es de 6.25%.
Respuesta
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¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de $1,000 genere un interés de $20 depositada en un banco que paga un interés simple con una tasa de 5% por año?
(Utilice un año de 365 días)
Identificamos los valores de I, P, y r.
P = 1000 I = 20 r = 5% = 0.05
Sustituimos los valores en la fórmula I = P r t y resolvemos la ecuación resultante.
20 = 1000(0.05) t 20 = 50 t t = 20 / 50 = 0.4 t = 0.4 años = 0.4 (365) días = 146 días
Se requieren 146 días para generar $20 de intereses.
Ejemplo : Cálculo de tiempo
¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de $1,500 genere un interés de $25 depositada en un banco que paga un interés simple con una tasa de 5% por año?
(Utilice un año de 365 días)
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Ejercicio : Cálculo de tiempo
¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de $1,500 genere un interés de $25 depositada en un banco que paga un interés simple con una tasa de 5% por año?
(Utilice un año de 365 días)
P = 1500 I = 25 r = 5% = 0.05
25 = 1500(0.05) t 25 = 75 t
t = 25 / 75 = 1 / 3
t = 1 / 3 años = (1 / 3) (365) días ≈ 122 díasSe requieren 122 días para generar $25 de intereses.
Respuesta
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¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de $1,500 genere un interés de $25 depositada en un banco que paga un interés simple con una tasa de 5% por año?
(Utilice un año de 365 días)
P = 1500 I = 25 r = 5% = 0.05
25 = 1500(0.05) t 25 = 75 t
t = 25 / 75 = 1 / 3
t = 1 / 3 años = (1 / 3) (365) días ≈ 122 díasSe requieren 122 días para generar $25 de intereses.
Respuesta
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• El financiamiento a plazos consiste en comprar un objeto y pagarlo con sus intereses en pagos periódicos (plazos) por un tiempo determinado.
• Por lo general, los plazos son de igual cantidad. En ocasiones, se tienen que hacer ciertos ajustes y el primer plazo (o el último) es de una cantidad diferente.
• Por lo general, el interés que se usa para la compra de muebles y enseres es el interés simple.
Financiamiento a plazos
Carola decide remodelar el baño de su casa tomando un préstamo personal en una financiera, por la cantidad de $2,800. El financiamiento se hace a una tasa de interés simple de 12% por 3 años. ¿Qué cantidad de dinero debe pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar a la financiera en total?
P = 2800 r = 12% = 0.12 t = 3 años
Intereses = P r t = 2800 (0.12) (3) = $1,008
Total a pagar = 2800 + 1008 = $3,808
Ejemplo: Financiamiento a plazos
Paola tomó un préstamo personal para comprar una nevera El préstamo fue de $1,569 por 18 meses con una tasa de interés simple de 13%. ¿Qué cantidad de dinero debe pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar en total?
Trabaje el ejercicio.
Para ver respuesta oprima
Ejercicio: Financiamiento a plazos
Paola tomó un préstamo personal para comprar una nevera El préstamo fue de $1,569 por 18 meses con una tasa de interés simple de 13%. ¿Qué cantidad de dinero debe pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar en total?
P = 1569 r = 13% = 0.13
t = 18 meses = 18/12 años = 1.5 años
Intereses = P r t = 1569 (0.13) (1.5) = $305.96
Total a pagar = 1569 + 305.96 = $1874.96
Respuesta: Financiamiento a plazos
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Fabiola decide comprar un juego de sala tomando un préstamo personal en una financiera, por la cantidad de $1350. El financiamiento se hace a una tasa de interés simple de 11% por 2 años. ¿A cuánto ascenderán las mensualidades?
Primero calculamos el total de dinero a pagar.
P = 1350 r = 11% = 0.11 t = 2 años
Intereses = P r t = 1350 (0.11) (2) = $297
Total a pagar = 1350 + 297 = $1,647
Luego calculamos la mensualidad: Total a pagar / total de meses
Total de meses = 2 (12) = 24 meses Mensualidad = 1647 / 24 ≈ $68.63
Note que 24 pagos de 68.63 hacen un total de 24(68.63) = $1647.12.
12 centavos adicionales del total a pagar
Por lo tanto se deben hacer 23 pagos de $68.63 y un pago de
68.63 - 0.12 = $68.51.
Ejemplo: Mensualidades
Adriana decide comprar una estufa tomando un préstamo personal en una financiera, por la cantidad de $1500. El financiamiento se hace a una tasa de interés simple de 11.5% por 18 meses. ¿A cuánto ascenderán las mensualidades?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta oprima
Ejercicio: Mensualidades
Adriana decide comprar una estufa tomando un préstamo personal en una financiera, por la cantidad de $1500. El financiamiento se hace a una tasa de interés simple de 11.5% por 18 meses. ¿A cuánto ascenderán las mensualidades?
Primero calculamos el total de dinero a pagar.
P = 1500 r = 11.5% = 0.115 t = 18 meses = 18 / 12 años = 1.5 años
Intereses = P r t = 850 (0.115) (1.5) = $258.75
Total a pagar = 1500 + 258.75 = $1,758.75
Luego calculamos la mensualidad: Total a pagar / total de meses
Total de meses = 18 meses Mensualidad = 1758.75 / 18 ≈ $97.71
Note que 18 pagos de 68.63 hacen un total de 18(97.71) = $1,758.78.
3 centavos adicionales del total a pagar
Por lo tanto se deben hacer 23 pagos de $97.71 y un pago de
97.71 - 0.03 = $97.68.
Respuesta: Mensualidades
Regresar menú De ejercicios
Interés compuesto
l
• A diferencia del interés simple, el interés compuesto se calcula (computa) cada cierto período de tiempo establecido y se añade al principal. El interés generado en un período genera intereses en el próximo.
• Los períodos (llamados períodos de composición, de conversión o de capitalización), por lo general, son anuales, semestrales, trimestrales o diarios.
• Durante cada período de tiempo individual, el interés se genera de acuerdo a la fórmula de interés simple.
• El nuevo principal de cada período es la suma del interés generado en el período anterior más el valor que tenía el principal en ese momento.
Ejemplo
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Fórmula
Conceptos importantes
APY
Simple vs. compuesto
Periodos de composición
Tabla monto acumulado
Fórmula: Interés compuesto
i = tasa periódica = r / m
m = número de períodos de composición al año
n = número de períodos de composición = t m
P = principal
I = interés compuestoA = monto acumulado
r = tasa de interés anual (nominal)
t = tiempo (en años)
A = P (1 + i)n I = A - P
Regresar menú
Periodos de composición
l
Regresar menú.
Cómputo del interés Período de composición
Número de períodos al año
( m )
Anual 1 año 1
Trimestral 3 meses 4
Semestral 6 meses 2
Diario 365 días 365
Conceptos importantes
l
• Principal (Capital) Cantidad de dinero invertida.
• Tasa nominal Tasa de interés anual
• Período de composición Lapso de tiempo transcurrido entre el cálculo de intereses sucesivos.
• Tasa periódica Tasa por período de composición, se obtiene dividiendo la tasa
nominal entre el número de períodos de composición al año.
Conceptos importantes
l
• Monto acumulado Cantidad de dinero acumulada luego de transcurridos uno o más
períodos de composición del interés.
• APY: Tasa efectiva o rendimiento anual efectivo Tasa de interés simple anual que produciría la misma cantidad
acumulada de dinero en un año que la tasa nominal, compuesta más de una vez al año.
Regresar menú
Ejemplo : Interés compuesto
l
Suponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses (trimestralmente).
Para los primeros dos períodos vamos a calcular el interés ganado y la cantidad de dinero acumulada.
Ejemplo: Interés compuestoSuponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses.
P = 2015 r = 3% = 0.03 t = 0.25 año
Interés ganado = P r t = 2015 (0.03) (0.25) = $15.11
Cantidad de dinero al final del segundo período = 2015 + 15.11 = $2,030.11
Interés ganado = P r t = 2000 (0.03) (0.25) = $15
Cantidad de dinero al final del primer período = 2000 + 15 = $2,015
Primer período
Segundo período
P = 2000 r = 3% = 0.03
t = 3 meses = 3 / 12 año = 0.25 año
Ejemplo: Interés compuestoSuponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses.
Período Interés ganado Cantidad de dinero al final de período
Primero $15.00 $2,015.00
Segundo $15.11 $2,030.11
Total de interés ganado = 15+15.11=30.11
Ejercicio: Determine el interés ganado y la cantidad de dinero acumulada al final del tercer período.
Para ver respuesta oprima
RespuestaSuponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses.
Interés ganado = P r t = 2030.11 (0.03) (0.25) = $15.23
Cantidad de dinero al final del tercer período = 2030.11 + 15.23 = $2,045.34
Tercer período
P = 2030.11 r = 3% = 0.03 t = 0.25 año
Ejemplo : Interés compuesto
l
Suponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa cada 3 meses (trimestralmente).
¿ Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al final del sexto período? ¿ al tercer año?
No es necesario repetir los cálculos anteriores varias vecespara contestar estas preguntas, ya que existe una fórmula para ello.
Ver fórmula.
Ejemplo : Interés compuesto
l
Se invierten $2,000 durante 5 años con una tasa de interés nominal de 3%. La siguiente tabla muestra el monto acumulado para diferentes períodos de conversión.
Tasa periódica
i = r / m
Total de períodos
n = t (m)
Monto acumulado
(1 + i)n
Anual
(m =1)0.03 5 $2,318.55
Semestral (m=2)
0.03/2 5(2) = 10 $2,321.08
Trimestral (m=4)
0.03/4 5(4) = 20 $2,322.37
Diario (m=365)
0.03/0.365 5(365) = 1825 $2,323.65
Ejercicio
l
Tasa periódica
i = r / m
Total de períodos
n = t (m)
Monto acumulado
(1 + i)n
Anual
(m =1)
Semestral (m=2)
Trimestral (m=4)
Diario (m=365)
Se invierten $6,000 durante 8 años con una tasa de interés nominal de 6%. Llene la siguiente tabla.
Respuesta
l
P = $6,000 t = 8 años r = 6% = 0.06
Tasa periódica
i = r / m
Total de períodos
n = t (m)
Monto acumulado
(1 + i)n
Anual
(m =1)0.06 8 $9,563.09
Semestral (m=2)
0.06/2=0.03 8*2=16 $9,628.24
Trimestral (m=4)
0.06/4=0.015 8*4=32 $9,661.95
Diario (m=365)
0.06/365 8*365=2920 $9,696.06
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APY: Tasa efectiva
l
• El interés compuesto generado en una inversión depende de la frecuencia de su composición. La tasa nominal no refleja la tasa real con que se genera el interés.
• Es necesario fijar una base común para poder comparar las tasas de interés. Esto se hace mediante la tasa efectiva de interés. También se le conoce como tasa de rendimiento anual y como APY (por sus siglas en inglés).
• La tasa efectiva de interés es la tasa de interés simple anual que produciría la misma cantidad acumulada de dinero en un año que la tasa nominal compuesta más de una vez al año.
Tasa efectiva de interés
l
Fórmula para calcular la tasa efectiva de interés
Tasa efectiva = (1 + i)m-1
i = tasa de interés periódica
m = número de períodos de composición al año
Ejemplo
l
Un inversionista tiene dos opciones para invertir su dinero. Una de ellas es invertirlo al 6% compuesto diariamente y la otra invertirlo al 6.125% compuesto cada trimestre. ¿Cuál es la mejor opción?
Para determinar cuál es la mejor opción hacemos lo siguiente:
1. Determinar la tasa efectiva para cada opción.
2. La opción con tasa efectiva mayor es la mejor opción.
Ejemplo
l
Opción 1: 6% compuesto diariamente
Opción 2: 6.125% compuesto cada trimestre
r = 6% = 0.06 Tasa efectiva = (1 + i)m-1 = (1+0.06/365)365-1 ≈ 0.062 = 6.2%
Tasa efectiva = (1 + i)m-1 = (1+0.06125/4)4-1 ≈ 0.063 = 6.3%
m = 365
i = r / m = 0.06 /365
La opción 2 es la mejor.
r = 6.125% = 0.06125
m = 4
i = r / m = 0.06125 /4
Ejercicio
l
Un inversionista tiene dos opciones para invertir su dinero. Una de ellas es invertirlo al 7.25% compuesto semestralmente y la otra invertirlo al 7.1% compuesto diariamente.
¿Cuál es la mejor opción?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta oprima
Respuesta
l
Opción 1: 7.25% compuesto cada 6 meses
Opción 2: 7.1% compuesto diariamente
r = 7.25% = 0.0725 Tasa efectiva = (1 + i)m-1 = (1+0.0725/2)2-1 ≈ 0.0738 = 7.38%
Tasa efectiva = (1 + i)m-1 = (1+0.071/365)365-1 ≈ 0.0736 = 7.36%
m = 2
i = r / m = 0.0725 /2
La opción 1 es la mejor.
r = 7.1% = 0.071
m = 365
i = r / m = 0.071 /365
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Interés compuesto en forma continua
l
Mientras mayor la frecuencia con que se computa el interés compuesto mayor es la cantidad de dinero acumulada.
Se puede demostrar que la cantidad de dinero acumulada se aproxima a un número fijo cuando el interés se compone con más y más frecuencia durante un período fijo.
Si la cantidad de períodos de conversión por año crece sin límite, la cantidad de dinero acumulada tiende a Per t, donde e es el número de Euler, (2.71828…). En este caso se dice que el interés es compuesto en forma continua.
Interés compuesto en forma continua
l
Fórmula: A = P er t
P = principal (capital)
r = tasa de interés nominal compuesta en forma continua
t = tiempo en años
e = número de Euler = 2.71828…
A = cantidad acumulada al final de t años
Ejemplo
l
Hallar la cantidad de dinero acumulada despúes de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de 8% por año compuesto en forma continua.
P = 1000 r = 8% = 0.08 t = 3 años
A = P e r t = 1000 e (0.08)(3) ≈ 1271.25
Cantidad de dinero acumulada = $1,271.25
Ejercicio
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Hallar la cantidad de dinero acumulada despúes de 4 años si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año compuesto en forma continua.
Trabaje el ejercicio.
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Respuesta
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Hallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año compuesto en forma continua.
P = 2000 r = 7.5% = 0.075 t = 4 años
A = P e r t = 2000 e (0.075)(4) ≈ 2699.72
Cantidad de dinero acumulada = $2699.72
Respuesta
l
Hallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año compuesto en forma continua.
P = 2000 r = 7.5% = 0.075 t = 4 años
A = P e r t = 2000 e (0.075)(4) ≈ 2699.72
Cantidad de dinero acumulada = $2699.72
Respuesta
l
Hallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año compuesto en forma continua.
P = 2000 r = 7.5% = 0.075 t = 4 años
A = P e r t = 2000 e (0.075)(4) ≈ 2699.72
Cantidad de dinero acumulada = $2699.72
Interés simple vs. interés compuesto
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Los intereses que generan un capital invertido a interéssimple no se acumulan al mismo para generar interesesen el próximo período. Los intereres generados será igualen todos los períodos.
Los intereses que generan un capital invertido a interéscompuesto se acumulan al mismo y generan interesesen el próximo período.
Suponga que se invierte un capital de $10,000 a unatasa de interés anual de 3%. Suponga que el interés secomputa cada 6 meses. La tabla siguiente muestralos intereses generados en los primeros 4 períodos paraambos tipos de cálculo de interés (simple, compuesto).
Tabla comparativa
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Capital Intereses
10,000 300
10,000 300
10,000 300
10,000 300
Capital inicio período
Intereses
Monto acumulado
10,000.00 300.00 10,300.00
10,300.00 609.00 10,609.00
10,609.00 318.27 10,927.27
10927.27 327.82 11,255.09
Periodo
1
2
3
4
Interés simple Interés compuesto
Total de intereses $1,200 ganados
Total de intereses $1,259.09ganados
Capital = $10,000 Tasa de interés = 3% Duración período: 6 meses
Ejercicio: Llene la siguiente tabla.
l
Capital Intereses
?? ??
?? ??
?? ??
?? ??
Capital inicio período
Intereses
Monto acumulado
?? ?? ??
?? ?? ??
?? ?? ??
?? ?? ??
Periodo
1
2
3
4
Interés simple Interés compuesto
Total de intereses ?? ganados
Total de intereses ??ganados
Capital = $20,000 Tasa de interés = 4.5% Duración período: 6 meses
Ejercicio: Llene la siguiente tabla.
l
Capital Intereses
20000 450
20000 450
20000 450
20000 450
Capital inicio período
Intereses
Monto acumulado
20000.00 450.00 20450.00
20450.00 460.13 20,910.13
20,910.13 470.48 21,380.60
21,380.60 481.06 21,861.66
Periodo
1
2
3
4
Interés simple Interés compuesto
Total de intereses $1,800 ganados
Total de intereses $1,861.66ganados
Capital = $20,000 Tasa de interés = 4.5% Duración período: 6 meses
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Glosario
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Interés: cantidad de dinero recibida o pagada por el uso del dinero.
Interés compuesto: interés que se agrega de manera periódica al principal y, que por lo tanto, genera sus propios intereses.
Interes simple: interés que se calcula sólo sobre el principal.
Monto acumulado: Cantidad de dinero acumulada luego de transcurridos uno o más períodos de composición del interés.
Período de composición: lapso transcurrido entre el cálculo de intereses sucesivos.
Principal: cantidad de dinero invertido, depositado o prestado.
Glosario
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Tasa de interés: La cantidad de interés, por lo general, se da como un por ciento del principal. A este por ciento se le llama tasa de interés.
Tasa nominal: Tasa de interés anual
Tasa periódica: Tasa por período de composición, se obtiene dividiendo la tasa nominal entre el número de períodos de composición al año.
Tasa efectiva o de rendimiento anual (APY): Tasa de interés simple anual que produciría la misma cantidad acumulada de dinero en un año que la tasa nominal, compuesta más de una vez al año.
Valor futuro de una inversión: Principal + intereses
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Bibliografía
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Castro, Rolando. Fundamentos del Algebra y sus aplicaciones Editorial UPR 2007
Hauessler, F. Ernest, Paul, Richard Matemáticas para administración y economía Décima edición, Pearson Prentice Hall 2003
Lebrón, Marilú Matemática fundamental: énfasis en la comprensión, representación y aplicación de los conceptos UPR-H Humacao 2004
Tan, Soo Matemáticas para administración y economía Tercera Edición, Thomson 2005 Regresar menú
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