Matemtica
Bsico6Texto para el Estudiante
Copyright 2009 by Harcourt, Inc. 2014 de esta edicin Galileo Libros Ltda.
Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrnico o mecnico, incluyendo fotocopia, grabacin o cualquier sistema de almacenamiento y recuperacin de informacin sin el permiso por escrito del editor. Las solicitudes de permiso para hacer copias de cualquier parte de la obra debern dirigirse al centro de Permisos y derechos de autor, Harcourt, Inc., 6277 Sea Harbor Drive, Orlando, Florida 32887-6777.
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Versin originalMathematics Content Standards for California Public Schools reproduced by permission, California Department of Education, CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207, Sacramento, CA 95814
ISBN: 978-956-8155-20-9Primera EdicinImpreso en Chile. Se termin de imprimir esta primera edicin de 253.600 ejemplares en el mes de enero del ao 2014.
Este mtodo de enseanza de la matemtica ha sido diseado y realizado por autores profesores de varias universidades de los Estados Unidos de Amrica y adaptado al currculum nacional chileno por Editorial Galileo.
Director del programa: Richard Askey, profesor emrito de matemticas de la Universidad de Wiscosin. Coordinadores: Evan M. Maletsky, Joyce McLeod. Autores colaboradores: Angela G. Andrews, Juli K. Dixon, Karen S. Norwood, Tom Roby, Janet K Scheer, Jennie M. Bennett, Linda Luckie, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, David G. Wright. Supervisores: Russell Gersten, Michael DiSpezio, Tyrone Howard, Lidya Song, Rebecca Valbuena.
El presente ttulo forma parte del PROYECTO GALILEO para la enseanza de la matemtica.
EditorasSilvia Alfaro SalasYuvica Espinoza LagunasSara Cano Fernndez
Redactores / ColaboradoresSilvia Alfaro SalasProfesora de Matemtica y Computacin. Licenciada en Matemtica y Computacin. Universidad de Santiago de Chile.
Yuvica Espinoza LagunasProfesora de Educacin General Bsica. Pontificia Universidad Catlica de Chile.
Paola Rocamora SilvaProfesora de Matemticas del Programa de Educacin Continua para el Magisterio. Universidad de Chile.
Marco Riquelme Alcaide Profesor de Matemticas del Programa de Educacin Continua para el Magisterio. Universidad de Chile.
Victoria Ainardi TamarnProfesora de Matemticas por la Universidad de Concepcin.
Vilma Aldunate DazProfesora de Educacin General Bsica. Universidad de Chile.
Pamela Falconi SalvatierraProfesora de Educacin General Bsica. Pontificia Universidad Catlica de Chile.
Jorge Chala Reyes Profesor de Educacin General Bsica. Universidad de Las Amricas.
Equipo TcnicoCoordinacin: Job Lpez
Diseadores:Melissa Chvez RomeroRodrigo Pvez San MartnNikols Santis EscalanteDavid Silva CarreoCamila Rojas RodrguezCristhin Prez GarridoClaudio Silva Castro
Ayudante editorial Ricardo Santana Friedli
6Matemtica
Bsico
Texto para el Estudiante
III
1CAPTULO
2CAPTULO
Teora de los nmeros 2 Muestra lo que sabes ................................................................................. 3
Leccin 1 Factores y mltiplos (matrices y rectas numricas) ....................................................................... 4Leccin 2 Mltiplos y factores ..................................................................... 8Leccin 3 Mximo comn divisor .............................................................. 10Leccin 4 Mnimo comn mltiplo ............................................................ 12Leccin 5 Taller de resolucin de problemas Destreza:identificarrelaciones ........................................... 16
Prctica adicional 18Prctica con un juego 19
Repaso / Prueba del Captulo 1 20Enriquecimiento 21Comprensin de los aprendizajes 22
Unidad
1Nmeros, conceptos de fracciones y operaciones
ndice
Fracciones y nmeros mixtos 24 Muestra lo que sabes ................................................................................. 25
Leccin 1 Fracciones equivalentes y fracciones en su mnima expresin ....................................................... 26Leccin 2 Fracciones y nmeros mixtos ............................................... 30Leccin 3 Comparar y ordenar fracciones y nmeros mixtos ............................................................................. 32Prctica adicional 34 Prctica con un juego 35
Repaso / Prueba del Captulo 2 36Enriquecimiento 37Comprensin de los aprendizajes 38
IV
Fotografas comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemtica
Matemtica en Contexto
Almanaque para estudiantes
Contar votos . . . . 112
Escribe Taller
Escribir para explicar . . . . . . . . . 15
Atraccin a traccin . . . . . . . . . 49
ENRIQUECE TU VOCABULARIO 1
Porcentajes y decimaleshttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/convirtiendo-decimales-porcentajes.html
Nmeros racionaleshttp://www.ditutor.com/numeros_racionales/operaciones_racionales.html
Enlace
WEB
Sumar y restar fracciones 40 Muestra lo que sabes ................................................................................. 41
Leccin 1 Sumar y restar fracciones ....................................................... 42Leccin 2 Sumar y restar nmeros mixtos ........................................... 46Leccin 3 Manos a la obra Representar la resta de nmeros mixtos ............................................................................. 50Leccin 4 Algoritmo de la la resta de nmeros mixtos ................. 52Leccin 5 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: hacer un diagrama ............................................. 54Leccin 6 Practicar la suma y la resta de fracciones ..................... 58
Prctica adicional 62Prctica con un juego 63
Repaso / Prueba del Captulo 3 64Enriquecimiento 65Comprensin de los aprendizajes 66
3CAPTULO
4CAPTULO
Multiplicar decimales 68 Muestra lo que sabes ................................................................................. 69
Leccin 1 Manos a la obra Representar la multiplicacin por nmeros naturales .............................................................. 70Leccin 2 lgebra Patrones en factores y productos decimales .......................................................................................... 72
Prctica adicional 74Prctica con un juego 75
Repaso / Prueba del Captulo 4 76Enriquecimiento 77Comprensin de los aprendizajes 78
V
6CAPTULO
Razones y porcentajes 94 Muestra lo que sabes ................................................................................. 95
Leccin 1 Razones .............................................................................................. 96Leccin 2 Porcentajes ....................................................................................... 98Leccin 3 Resolver problemas usando calculadoras .................... 100Leccin 4 Taller de resolucin de problemas Estrategia: informacin relevante e irrelevante ......... 102
Prctica adicional 38 Repaso / Prueba del Captulo 6 59
Enriquecimiento 41Repaso / Prueba de la Unidad 42
Dividir decimales 80 Muestra lo que sabes ................................................................................. 81
Leccin 1 Manos a la obra Dividir decimales entre nmeros naturales con material concreto .................... 82Leccin 2 Dividir decimales por nmeros naturales de 1 dgito y mltiplos de 10 ......................................................... 84
Prctica adicional 88Prctica con un juego 89
Repaso / Prueba del Captulo 5 90Enriquecimiento 91Comprensin de los aprendizajes 92
5CAPTULO
VI
Unidad
27
CAPTULO
lgebra: Expresiones y ecuaciones
Fotografas comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemtica
Matemtica en Contexto
ENRIQUECE TU VOCABULARIO 115
Almanaque para estudiantes
La velocidad del sonido . . . . . . 166
Escribe/Taller
Escribir un problema . . . . . . . 125
Multiplicar y dividir decimaleshttp://www.salonhogar.net/Salones/Matematicas/4-6/Mult_div_decim/Indice.htmhttp://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_condecimales.pdf
www.lautaroeduca.cl/paginas/documentos/Documentos_para_descargar/rincon_pedagogico2011/matematicas/unidades%20octavo%20a%F1o%20b%E1sico/mat_8_u3/mat_8.
www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Ayuda.html
www.problemasdematematica.com/contenidos/Ecuaciones.html
Expresiones 116 Muestra lo que sabes ................................................................................. 117
Leccin 1 Propiedades y expresiones .................................................... 118Leccin 2 Escribir expresiones algebraicas ........................................ 122Leccin 3 Taller de resolucin de problemas. Destreza: ordenar en secuencia y priorizar informacin .................................................................. 126Leccin 4 Tablas y patrones .......................................................................... 128
Prctica adicional 130Prctica con un juego 131
Repaso / Prueba del Captulo 7 132Enriquecimiento 133Comprensin de los aprendizajes 134
Enlace
WEB
8CAPTULO
Ecuaciones de suma 136 Muestra lo que sabes ................................................................................... 137
Leccin 1 Ecuaciones ....................................................................................... 138Leccin 2 Manos a la obra Representar ecuaciones de suma ..................................................................................................... 140Leccin 3 Resolver ecuaciones de suma .............................................. 142Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: escribir una ecuacin ....................................... 144
Prctica adicional 148Prctica con un juego 149
Repaso / Prueba del Captulo 8 150Enriquecimiento 151Comprensin de los aprendizajes 152
9CAPTULO
Ecuaciones de resta 154 Muestra lo que sabes ................................................................................. 155
Leccin 1 Manos a la obra Representar ecuaciones de resta ............................................................................................... 156Leccin 2 Resolver ecuaciones de resta ............................................... 158
Prctica adicional 160Prctica con un juego 161
Repaso / Prueba del Captulo 9 162Enriquecimiento 163Repaso / Prueba de la unidad 164
VII
12CAPTULO
Geometra en movimiento 210 Muestra lo que sabes ................................................................................... 211
Leccin 1 Teselaciones .................................................................................... 212Leccin 2 Patrones geomtricos ................................................................ 216
Prctica adicional 218Prctica con un juego 219
Repaso / Prueba del Captulo 12 220Enriquecimiento 221Comprensin de los aprendizajes 222
11CAPTULO
Figuras planas 192 Muestra lo que sabes ................................................................................... 193
Leccin 1 Tringulos .......................................................................................... 194Leccin 2 Trazar tringulos ........................................................................... 198Leccin 3 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: buscar un patrn ................................................. 200
Prctica adicional 204Prctica con un juego 205
Repaso / Prueba del Captulo 11 206Enriquecimiento 207Comprensin de los aprendizajes 208
Relaciones entre ngulos 170 Muestra lo que sabes ................................................................................. 171
Leccin 1 Medir y trazar ngulos ............................................................... 172Leccin 2 Tipos de ngulos ........................................................................... 176Leccin 3 ngulos complementarios ...................................................... 182Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: hacer un diagrama ............................................. 184
Prctica adicional 186Prctica con un juego 187
Repaso / Prueba del Captulo 10 188Enriquecimiento 189Comprensin de los aprendizajes 190
Geometra - Medicin
10CAPTULO
Unidad
3
VIII
Fotografas comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemtica
Matemtica en contexto
Almanaque para estudiantes
Castillos de arena...244
ENRIQUECE TU VOCABULARIO
Medir y trazar nguloswww.vitutor.com/di/m/b_3.html
www.google.cl/search?q=.+Puntoactivo.blogspot.com/2010/02/una-forma-divertida-de-aprender-medir.html
Diagrama de tallo y hojawww.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/09Diagrames%20de%20arbol.htm
Teselacioneshttp://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html
Lee/Taller
En la esquina . . . . 181
Enlace
WEB
Probabilidadeswww.profesoresenlinea.cl/matematica/probabilidades.htm
15CAPTULO
Probabilidad de sucesos 268 Muestra lo que sabes ................................................................................... 269
Leccin 1 Probabilidad experimental ...................................................... 270Leccin 2 Estimar la probabilidad ............................................................. 272
Prctica adicional 276Prctica con un juego 277
Repaso / Prueba del Captulo 15 278Enriquecimiento 279
Repaso/Prueba de la unidad 280
Fotografas comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemtica
Matemtica en contexto
Almanaque para estudiantes
Juegos de mesa . . 282
ENRIQUECE TU VOCABULARIO 247
Escribe/Taller
Escribir para demostrar o contradecir . . . . 275
Escribe/Taller
Escribir preguntas . . . . . . 257
14CAPTULO
Datos y probabilidades
Hacergrficosdedatos 248 Muestra lo que sabes ................................................................................... 249
Leccin 1 Grficosdebarras ........................................................................ 250Leccin 2 Los diagramas de puntos ....................................................... 252Leccin 3 Grficoscirculares ....................................................................... 254Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Destreza:usarungrfico ........................................................ 258Leccin 5 Diagramas de tallo y hojas ...................................................... 260
Prctica adicional 262Prctica con un juego 263
Repaso / Prueba del Captulo 14 264Enriquecimiento 265
Comprensin de los aprendizajes 266
Unidad
4
Enlace
WEB
Glosario ................................................................................................................. 284 ndice temtico ...................................................................................................... 289 Solucionario ........................................................................................................... 292 Bibliografa ............................................................................................................. 302
13CAPTULO
Figuras bidimensionales y tridimensionales 224
Muestra lo que sabes ................................................................................... 225Leccin 1 rea Total ........................................................................................... 226Leccin 2 Volumen de los cubos y de los pareleleppedos ....... 230Leccin 3 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: hacer una representacin .............................. 234
Prctica adicional 238Prctica con un juego 239
Repaso / Prueba del Captulo 13 240Enriquecimiento 241
Repaso/prueba de la unidad 242
IX
Tem
pera
tura
(C)
Mes tcO peS ogA luJ nuJ yaM rbA raM beF enE Nov Dic
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Temperaturas mximas y mnimas promedio de Antofagasta
24
17 1716
14 13 12 1112 13
14 15 16
24 2322
19 18 16 17 1819 20
22
Temperatura mnima
Temperatura mxima
Las Matemticas son un lenguaje en el que se usan nmeros, palabras y smbolos.
Este ao, aprenders maneras de comunicarte en trminos matemticos a medida que comentas, lees y escribes acerca de lo que ests aprendiendo.
En la grfica lineal doble, se muestran las temperaturas mximas y mnimas mensuales de Antofagasta, ciudad que se encuentra en el norte de nuestro pas.
Comenta acerca del grfico lineal doble.
1. Qu te dicen las palabras del ttulo promedio, mximas y mnimas acerca de los datos?
2. Cul es la escala y el intervalo que se usaron en el grfico?
3. Por qu el grfico tiene una leyenda en la parte superior?
4. Qu puedes inferir si observas las lneas del grfico?
X
Lee los datos del grfico lineal doble.
5. En qu mes se registra la temperatura mxima ms baja?
6. En qu meses se registran las temperaturas mximas ms altas?
7. Entre qu dos meses se registra la mayor diferencia en las temperaturas mnimas?
8. Entre qu dos meses se registra una diferencia de 10 C en las temperaturas mximas?
Inventa y escribe un problema acerca del grfico lineal doble.
Este ao, escribirs muchos enunciados de problemas. Cuando veas la frase Plantea un problema, debes volver a leer el problema planteado en esa pgina y usarlo para escribir tu propio problema.
En el problema que escribes, puedes cambiar los nmeros o parte de la informacin. cambiar la informacin conocida o desconocida. escribir un problema abierto que tenga ms de una respuesta correcta.
Plantea un problema Elige una de las tres maneras de escribir un problema nuevo. Usa la informacin del grfico lineal doble.
XI
Nmeros, conceptos de fracciones y operaciones
Captulo 1 1
42
63
84
105
126
21
31
Fracciones equivalentesQu sabes acerca de fracciones equivalentes?Qu experiencia te ayud a aprender acerca
de las fracciones equivalentes?
Qu conceptos matemticos se muestran en las fotografas de Matemtica en Contexto? Cmo puedes usar fracciones cuando cocinas y horneas?
REPASO DEL VOCABULARIO Cuando trabajaste con fracciones, aprendiste las siguientes palabras. Cmo se relacionan estas palabras con Matemtica en Contexto?
fracciones equivalentes Fracciones que representan la misma parte o cantidad.
nmero mixto Un nmero representado por un nmero entero y una fraccin.
mltiplo El producto de un nmero dado y otro nmero.
Copia y completa los mapas de crculos como se muestra abajo. Usa lo que sabes acerca de fracciones para responder las preguntas.
p Si medimos cuidadosamente los ingredientes con la ayuda de fracciones y nmeros mixtos obtenemos las cantidades exactas para la elaboracin de recetas de cocina.
p Los nmeros son necesarios para obtener las cantidades exactas. Sin esta medicin los platos tendran sabores diferentes.
p Despus los platos cocinados se pre-sentan de diversas formas, asemejn-dose a figuras geomtricas.
Matemtica en Contexto
1
21 Teora de los nmerosLa idea importante El estudio de la teora de los nmeros ayuda a comprender los conceptos de factores y mltiplos.
Investiga Imagina que eres un investigador que estudia la produccin de energa en Chile. Qu combinaciones de dos a cuatro tipos de fuentes energticas permitiran que en Chile se cumpla con al menos 3 __ 5 de las necesidades de produccin de energa?
En Chile se han realizado estudios para identificar zonas en nuestro pas que por sus caractersticas naturales podran tener ventajas para la construccin de proyectos de energa elica (generada por el viento). Entre ellas se encuentran algunas zonas costeras de las regiones de Atacama, Coquimbo y Maule.
2
Generacin elctrica por sistema: 2008
Utilizando energas convencionales y no convencionales en 2008
Pequea, 1% Elica , 1%
Biomasa, 2%
Gas natural, 36%
Petrleo, 9%
Carbn, 15%
Hidropasada (sin embalse), 10%
Hidro embalse, 25%
Pequea hidro, 1%
DATOBREVE
Captulo 1 3
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con xito el captulo 1.
u Comparar y ordenar nmeros naturales hasta 100 000Compara. Escribe < , > o =.
1. 11 000 11 050 2. 21 034 22 345 3. 45 687 45 238
4. 14 329 14 329 5. 60 806 68 600 6. 12 000 1 200
Ordena los nmeros de mayor a menor.
7. 47 899; 48 799; 48 797 8. 40 133; 43 100; 14 330
9. 78 311; 78 300; 78 310 10. 94 586; 92 801; 99 934
u Representar multiplicacionesDibuja bloques multibase para representar cada factor de la multiplicacin y su producto.
11. 4 por 3
12. 2 por 6
13. 5 por 5
14. 9 por 1
VOCABULARIO DEL CAPTULO
nmero compuestofactormximo comn divisor (m.c.d.)fraccin simplificada a su mnima expresinmnimo comn mltiplo (m.c.m.)mltiplonmero primodescomposicin en factores primos
PREPARACIN
mltiplo El producto de un nmero dado y otro nmero.
factor Un nmero que se multiplica por otro para hallar un producto.
nmero primo Un nmero mayor que 1 que tiene como nicos factores el 1 y s mismo.
matriz Un conjunto de objetos colocados en hileras y columnas.
Captulo 1 3
4ADVERTENCIA
Muchos nmeros se pueden separar en factores de diferentes maneras. Una matriz es un conjunto o grupo de objetos colocados en hileras o columnas, como se puede ver en la siguiente actividad.
16 5 1 16 16 5 4 4 16 5 2 8
factor factor
Actividad Materiales fichas cuadradas papel cuadriculado
Haz matrices para mostrar todos los factores de 24.
Usa las 24 fichas para hacer una matriz. Registra la matriz en papel cuadriculado. Escribe los factores que muestra la matriz.
12
2
2 12 5 24 Factores: 2, 12
Haz tantas matrices diferentes como puedas con 24 fichas. Registra las matrices en papel cuadriculado y escribe los factores que muestran.
8
3
3 8 5 24 Factores: 3, 8
6
4
4 6 5 24 Factores: 4, 6
241
No olvides anotar el 1 y el nmero mismo como factores.
Por lo tanto, los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Puedes ordenar las fichas de cada matriz de otra manera y mostrar los mismos factores? Explica.
1 24 5 24 Factores: 1, 24
1LECCI
N
Factores y mltiplos (matrices y rectas numricas)OBJETIVO: hallar factores y mltiplos usando matrices y rectas numricas.
Aprende
1. 8 42. 6 73. 2 94. 5 55. 3 10
Un factor es un nmero que se multiplica por otro nmero para hallar un producto. Cada nmero natural mayor que 1 tiene por lo menos dos factores, ese nmero y 1.
18 5 1 18 7 5 7 1 342 5 1 342
Captulo 1 5
Hallar mltiplosPara hallar mltiplos de cualquier nmero, cuenta saltado o multiplica por los nmeros 1, 2, 3 y as sucesivamente.
ProbLEMA Raquel tiene una pulsera de recuerdos nueva con 20 eslabones. Pon un recuerdo en cada eslabn que es un mltiplo de 3. Qu eslabones tienen recuerdos?
Utiliza material concreto.
Por lo tanto, los eslabones 3o, 6o, 9o 12o, 15o y 18o tienen recuerdos.
Qu pasara si la pulsera tuviera 27 eslabones? Qu otros eslabones tendran recuerdos?
Multiplica y haz una lista.
Halla los primeros seis mltiplos de 4.
1 4 5 4 2 4 5 8 3 4 5 12 4 4 5 16 5 4 5 20 6 4 5 24
Por lo tanto, los primeros seis mltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20 y 24.
Explica cmo sabes que 30 es un mltiplo de 5.
Puede un nmero que es un mltiplo de 3 tener 5 como un factor? Explica.
1. Usa las matrices para nombrar los factores de 12.
j j 5 12 j j 5 12 j j 5 12
Los factores de 12 son 1, j, 3, j, 6 y j
Idea matemticaUn mltiplo de un
nmero es cualquier producto que tenga ese nmero como un factor. El nmero de mltiplos que tiene un nmero
es infinito.
3 6 9 12 15 18
Los nmeros de las fichas rojas son todos mltiplos de 3.
Prctica con supervisin
6Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.
2. 20 3. 5 4. 49 5. 28 6. 25
Haz una lista de los primeros diez mltiplos de cada nmero.
7. 6 8. 2 9. 11 10. 4 11. 8
12. Explica cmo estn relacionados los nmeros 3 y 12. Usa las palabras factor y mltiplo en tu explicacin.
Resuelve los siguientes problemas.
47. Qu mltiplos de 4 no son factores de 48?
48. Qu factores de 48 son tambin mltiplos de 4?
49. Clara pag $40 por dos recuerdos. El precio de cada recuerdo era un mltiplo de $4. Cules son los precios posibles de los recuerdos?
50. Cul es la pregunta? La respuesta es 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.
13. 30 14. 42 15. 9 16. 50 17. 33
18. 64 19. 21 20. 75 21. 18 22. 17
Haz una lista de los primeros diez mltiplos de cada nmero.
23. 9 24. 1 25. 7 26. 10 27. 12
28. 3 29. 8 30. 5 31. 2 32. 6
Es 6 un factor de cada nmero? Escribe s o no.
33. 6 34. 16 35. 48 36. 24 37. 18
Es 36 un mltiplo de cada nmero? Escribe s o no.
38. 8 39. 9 40. 18 41. 36 42. 5
Halla el mltiplo que falta.
43. 4, 8, j, 16 44. 7, 14, 21, j 45. 5, j, 15, 20 46. 9, 18, 27, j
Prctica independiente y resolucin de problemas
Captulo 1 7
Comprensin de los aprendizajes
2 3 4 51 7
8 9 10 11 12 13 14
16 17 18 19 2015 21
22 23 24 25 27 2826
29 30 31
6
51. Pedro tena 321 bolitas. Perdi 17. Cuntas le quedaron?
52. Eva tiene 93 figuras de accin. Cuntos estantes necesitar si pone 3 figuras de accin en cada estante?
53. Una matriz tiene 4 hileras de 3 fichas en cada hilera. Cuntas fichas hay en total?
54. Qu mltiplo de 9 es tambin un factor de 9?
55. Ana est ordenando 9 fotografas en hileras iguales. De qu maneras puede ordenar las fotografas?
A hileras de 1, 3 o 6
B hileras de 1, 2 o 9
C hileras de 1, 3 o 9
D hileras de 3, 6 o 9
rAZoNAMIENTo LGICo A partir del 1o de diciembre, un camin de helados visita la calle de Sara cada 3 das y la calle de Ema cada 5 das. Cules son los primeros 2 das que el camin visita ambas calles el mismo da?
Los das que el camin de helados visita ambas calles son mltiplos comunes de 3 y 5.
Un mltiplo comn es un mltiplo de dos o ms nmeros. Puedes usar una recta numrica para hallar los mltiplos comunes.
Ejemplo Usa una recta numrica.
Primero haz una lista de seis mltiplos de cada uno. Halla los mltiplos comunes.
1. 2 y 4 2. 9 y 12 3. 4 y 8 4. 3 y 5
5. 3 y 6 6. 2 y 5 7. 3 y 9 8. 5 y 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Por lo tanto, los primeros 2 das que el camin visita ambas calles son el 15 y 30 de diciembre.
8Aprende
Los nmeros 0 y 1 no son primos ni compuestos.
Mltiplos y factoresOBJETIVO: usar patrones de mltiplos y factores para resolver problemas e identificar nmeros, factores primos y compuestos.
ProbLEMA En una carrera de bicicletas de 40 kilmetros hay una estacin de bebidas en cada seal que indica cuatro kilmetros de recorrido y una estacin de refrigerios en cada seal que indica seis kilmetros de recorrido. En qu seales habr una estacin de bebidas y una de refrigerios?
Puedes hallar los mltiplos comunes de 4 y 6 para resolver el problema. El mltiplo de un nmero natural es el producto del nmero natural dado y otro nmero natural. Los mltiplos comunes son mltiplos de dos o ms nmeros.
Ejemplo 1 Halla los mltiplos comunes de 4 y 6 que son menores que o iguales a 40.
Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.
Mltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36.
Los mltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24 y 36.
Entonces, habr una estacin de bebidas y una de refrigerios en las seales de 12, 24 y 36 kilmetros.
Explicalospatronesqueobservasenlosmltiplosde4y6.
1. 7 4 2. 8 33. 9 6 4. 5 45. 12 5
Un factor es un nmero que se multiplica por otro para hallar un producto. Los factores comunes son factores de dos o ms nmeros.
Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
1
El nmero 1 tiene un solo factor,quees1,entoncesnoesun nmero primo ni un nmero compuesto.
Entonces, los factores comunes de 24 y 32 son 1, 2, 4 y 8.
Un nmero primo es un nmero natural mayor que 1 que tiene como nicos factores el 1 y s mismo. Un nmero compuesto es un nmero natural mayor que 1 que tiene ms de dos factores.
Ejemplo 2 Halla los factores comunes de 24 y 32.
Ejemplo 3 Halla los factores de cada nmero. Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.
12
Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 El nmero 12 es compuesto.
29
Factores de 29: 1, 29 El nmero 29 es primo.
Vocabulariomltiplo nmero primo
factor nmero compuesto
2LECCI
N
Idea matemtica
Captulo 1 9
Comprensin de los aprendizajes
1. Haz una lista con los mltiplos de 6 y 9 menores que 60. Luego, enumera los mltiplos comunes de 6 y 9.
Escribe los tres primeros mltiplos comunes.
2. 8 y 12 3. 4 y 5 4. 5 y 12 5. 2, 4 y 12 6. 3, 4 y 8
Escribe los factores comunes.
7. 12 y 2 8. 6 y 7 9. 36 y 40 10. 6, 12 y 24 11. 3, 5 y 15
12. Explica 2 es el nico nmero primo par.
Escribe los tres primeros mltiplos comunes.
13. 4 y 9 14. 10 y 14 15. 8 y 18 16. 3, 8 y 16 17. 2, 4 y 7
Escribe los factores comunes.
18. 25 y 70 19. 15 y 30 20. 50 y 70 21. 32 y 45 22. 24 y 42
23. 4, 6 y 16 24. 18, 45 y 72 25. 8, 30 y 46 26. 7, 18 y 21 27. 4, 28 y 36
Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.
28. 98 29. 61 30. 0 31. 37 32. 82 33. 1
Halla el factor desconocido.
34. 75 5 j 15 35. 110 5 5 j 11 36. 42 5 2 j 7 37. 48 5 j 3 4
38. En la clase del profesor Gmez hay 12 nios y 18 nias. El profesor dividir al curso en grupos de manera tal que todos los grupos tengan la misma cantidad de nios y la misma cantidad de nias. Cules son los grupos posibles?
39. Qu nmero es menor que 30 y tiene exactamente ocho factores?
41. Razonamiento Ser primo o compuesto el producto de dos nmeros primos? Explica.
40. Escribe 65 como el producto de dos nmeros primos.
42. El producto de 9 y 6 es 54. Explica cmo hallar el mltiplo de 3 que da como resultado un producto de 54 cuando se multiplica por 3.
43. Expresa el nmero 0,03 en fraccin.
44. Si a = 1,05; b = 2 y c = 2,57, cul es el valor a + b + c ?
45. Escribe el nmero que falta para que se cumpla la relacin 3,57 > _____ > 3,55
46. Cul de los siguientes nmeros es mltiplo comn de 6 y 8?
A 18
B 24
C 40
D 42
Prctica adicional en la pgina 18, Grupo A
Prctica independiente y resolucin de problemas
Prctica con supervisin
10
Aprende
ADVERTENCIA
Cuando se enumeran los factores de un nmero, ninguno de los factores puedesermayorqueelnmero mismo.
Mximo comn divisor OBJETIVO:hallarelmximocomndivisordedosomsnmerosyusarlopararesolver problemas.
Escribe todos los factores.
1. 17 2. 273. 20 4. 745. 33
Vocabulariomximo comn divisor (m.c.d.)
descomposicin en factores primos
diagrama de escalera
ProbLEMA En un jardn rectangular, Patricia y su mam quieren plantar 36 petunias rojas y 42 petunias blancas en hileras iguales. Si plantan petunias del mismo color en una hilera, cul es la mayor cantidad de petunias que pueden plantar en cada hilera?
Para resolver el problema puedes hacer una lista y as hallar el mximo factor comn de 36 y 42.
El mximo comn divisor (m.c.d.), es el mayor nmero o factor que divide exactamente a todos y cada uno de los nmeros.
Factores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Piensa: Los factores comunes son 1, 2, 3 y 6. Elm.c.d. de 36 y 42 es 6.
La descomposicin en factores primos de un nmero se obtiene cuando un nmero est expresado como el producto de sus factores primos. Por ejemplo, sabemos que 12 5 4 3. Si usamos solo nmeros primos, sera 12 5 2 2 3. Entonces, la descomposicin en factores primos de 12 es 2 2 3.
Puedes usar la descomposicin en factores primos o un diagrama escalera para hallar el m.c.d. de dos o ms nmeros.
Usa la descomposicin en factores Usa un diagrama de escalera para hallar el m.c.d. de 12, 18 y 48.
Entonces,lamayorcantidaddepetuniasquepuedenplantarencadahilera es 6.
primos para hallar el m.c.d. de 8, 12 y 20.
3LECCI
N
8 5 2 2 2 12 5 2 2 3 20 5 2 2 5 2 2 5 4
Usa solamente nmeros primos. Escribe la descomposicin en factores primos de cada nmero.
Enumera los factores primos comunes y halla el producto.
2 12 18 48 3 6 9 24 2 3 8
2 3 5 6
Divide cada nmero entre un factor comn de los nmeros.Continadividiendohastaquelos nmeros no tengan factores comunes.
Halla el producto de los divisores.
Entonces, el m.c.d. de 8, 12 y 20 es 4. Entonces, el m.c.d. de 12, 18 y 48 es 6.
Sebastinusundiagramadeescaleraparahallarelm.c.d.de36y48.Dividientre3yluegoentre4.Cambiaraelm.c.d.sieligieradosfactorescomunesdiferentes?Explicaturespuestaydaunejemplo.
Captulo 1 11
1. Completa la descomposicin en factores primos para hallar el m.c.d. de 12 y 28.
Factores de 12: 2 j 3 Factores de 28: 2 2 j m.c.d.: 2 j = j
Halla el m.c.d.
2. 18, 24 3. 50, 75 4. 45, 81 5. 6, 9, 18 6. 6, 10, 12
7. Explica cmo usar la descomposicin en factores primos para hallar el m.c.d. entre 8 y 52.
Halla el m.c.d.
8. 26, 28 9. 12, 40 10. 96, 120 11. 14, 21 12. 9, 16
13. 42, 96 14. 21, 56 15. 9, 48 16. 15, 28 17. 16, 35
18. 16, 32, 48 19. 3, 9, 18 20. 20, 50, 70 21. 32, 36, 45 22. 4, 12, 20
Halla dos pares de nmeros que se correspondan con cada enunciado.
23. El m.c.d. es 8. 24. El m.c.d. es 6. 25. El m.c.d. es 12. 26. El m.c.d. es 15.
27. La clase de Ana vender cajas con plantas. Cada caja tendr un tipo de planta y todas las cajas tendrn la misma cantidad. Si hay 60 begonias, 48 geranios y 96 calndulas, cul es el mayor nmero de plantas que los nios pueden colocar en cada caja?
Del 28 al 29, usa la siguiente informacin.
Un curso de la Escuela Bsica Pablo Neruda recibir 24 lapiceras, 16 reglas, 32 lpices y 12 cuadernos para un proyecto escolar. Cada estudiante que reciba los elementos obtendr la misma cantidad de cada objeto que los dems estudiantes.
28. Cul es el mayor nmero de estudiantes que recibir los elementos si se usa cada objeto?
29. Si hubiera 20 reglas y 16 lpices ms, cul podra ser el mayor nmero de estudiantes que recibiera los elementos si se usara cada objeto?
30. Da un ejemplo para ilustrar el siguiente enunciado: El m.c.d. de un nmero y uno de sus mltiplos es el nmero mismo.
Prctica adicional en la pgina 18, Grupo B
Comprensin de los aprendizajes
31. Si a = 43,72 y b = 4,9 Cul es el valor de: a (a b)
32. Qu factores de 16 son tambin factores de 64?
33. 68,2 48,9
34. Cul de los siguientes nmeros es el mximo comn divisor de 56 y 49?
A 2 C 7
B 4 D 9
Prctica independiente y resolucin de problemas
Prctica con supervisin
12
Aprende
Unexponentemuestra cuntas veces se usa como factor un nmero llamado base.
En 23 5 2 2 2, elexponente3muestraquela base 2 se usa como factor tres veces.
Vocabulario
mnimo comn mltiplo (m.c.m.)
ProbLEMA Para una comida escolar al aire libre, cada uno de los 20 padres voluntarios necesita una bandeja grande y una cuchara de servir. Las bandejas vienen en juegos de 8 y las cucharas, en juegos de 12. Cul es la menor cantidad de bandejas y cucharas que debe comprar la escuela para tener el mismo nmero de bandejas y cucharas, y que alcancen para todos los padres?
Puedes resolver el problema al hallar el mnimo comn mltiplo, o m.c.m., de 8 y 12. El m.c.m. es el nmero ms pequeo, mayor que 0, que es mltiplo comn de dos o ms nmeros.
Usa una lista.
Mltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,
Mltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72,
Los primeros tres mltiplos comunes son 24, 48 y 72. El mnimo comn mltiplo, o m.c.m., es 24.
Usa la descomposicin en factores primos.
8 5 2 2 2 5 23
12 5 2 2 3 5 22 3
23 3 5 24
Anota la descomposicin en factores primos de cada nmero.
Escribelamayorcantidaddevecesqueaparececadafactorencualquierdescomposicinenfactores primos. Multiplica.
Entonces,lamenorcantidaddebandejasycucharasquedebecomprarla escuela es 24.
Qu sucedera silasbandejasvinieranenjuegosde6ylascucharasen juegosde12?Culseralamenorcantidaddebandejasycucharasque debera comprar la escuela?
Usaladescomposicinenfactoresprimosparahallarelm.c.m.de16y24.
Ejemplo 1 Halla pares de nmeros con un m.c.m. de 20.
Puedes resolver este problema al usar el m.c.m. y uno de sus factores. Factores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Pares de nmeros posibles: 1, 20 2, 20 4, 20 5, 20 10, 20
Quotrosparesdenmerostienenunm.c.m.de20?
Mnimo comn mltiplo OBJETIVO: hallar el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros y usarlo para resolver problemas.
Escribe los primeros 4 mltiplos de cada nmero.
1. 4 2. 6 3. 12 4. 8 5. 15
4LECCI
N
Recuerda
Captulo 1 13
1. Haz una lista con los primeros seis mltiplos de 12 y 18. Encierra en un crculo los mltiplos comunes. Luego, halla el mnimo comn mltiplo.
Escribe el m.c.m. de los nmeros.
2. 9, 12 3. 4, 30 4. 5, 25 5. 3, 5, 15 6. 2, 3, 4
Escribe dos nmeros a partir del m.c.m. dado.
7. 15 8. 16 9. 44 10. 100 11. 56
12. Explica cmo cada uno de los siguientes nmeros 12 y 24; 3 y 8; 6 y 8 se relaciona con su m.c.m. 24.
El m.c.m. de tres nmeros Puedes usar mtodos similares para hallar el m.c.m. de tres nmeros.
Usa una lista para hallar el m.c.m. de 10, 14 y 70.
Mltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140,
Mltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140,
Mltiplos de 70: 70, 140,
Entonces, el m.c.m. de 10, 14 y 70 es 70.
Usa la descomposicin en factores primos para hallar el m.c.m. de 6, 9 y 15.
6 5 2 3
9 5 3 3
15 5 3 5
2 3 3 5 5 90
Escribe la descomposicin en factores primos de cada nmero.
Escribelamayorcantidaddevecesqueaparececadafactorencualquierdescomposicinenfactoresprimos.Multiplica.
Entonces, el m.c.m. de 6, 9 y 15 es 90.
Ejemplo 2 Halla tres nmeros a partir de un m.c.m. de 36.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Haz una lista con los factores de 36.
1, 2, 36 2, 9, 36 3, 4, 36 Primero, usa el m.c.m., 36, y otros dos factores alazar.Sedangruposposibles.
2, 4, 9 4, 6, 9 9, 12, 18 4, 9, 12 6, 12, 18 12, 18, 36
Luego, halla otro grupo de tres factores de36quetenganunm.c.m.de36.Sedangrupos posibles.
Prctica con supervisin
14
Comprensin de los aprendizajes
Naranja Manzana Guinda
MANZANANARANJA ARANDANOS
Escribe el m.c.m. de los nmeros.
13. 15, 25 14. 8, 14 15. 8, 16 16. 11, 22 17. 4, 18 18. 3, 12, 15 19. 10, 16, 20 20. 4, 36, 54 21. 2, 7, 10 22. 27, 3, 6
Escribe dos nmeros a partir del m.c.m. dado.
23. 40 24. 39 25. 24 26. 30 27. 22
Escribe tres nmeros a partir del m.c.m. dado.
28. 10 29. 20 30. 18 31. 28 32. 45
USA LoS DAToS Del 33 a 34, usa el grfico.
33. Marco compr igual cantidad de botellas de jugo de naranja, manzana y guinda para el paseo al aire libre. Cul es la menor cantidad de cada uno que puede haber comprado para tener el mismo nmero de botellas de cada jugo y que no haya sobras?
34. Qu sucede si Marco compra igual cantidad de botellas de dos tipos de jugo? Comprar ms botellas si elige jugo de naranja y manzana, de guinda y naranja, o de manzana y guinda? Cuntas botellas de cada jugo comprar? Explica tu razonamiento.
35. El m.c.m. de dos nmeros es 18. El m.c.d. de los nmeros es 3. Cules son los nmeros posibles?
37. Plantea un problema Lee otra vez el problema 35. Escribe un problema similar en el que cambies el m.c.m. y el m.c.d.
36. El m.c.m. de dos nmeros es 40. El m.c.d. de los nmeros es 4. Cules son los nmeros posibles?
38. Laura dice que el m.c.m. de dos nmeros primos diferentes es su producto. Explica si tiene razn o no.
39. Redondea 12 082 a la decena ms prxima.
40. Cules son dos fracciones equivalentes a 12 ___ 15
? 41. Cul es el mnimo comn mltiplo de 12 y 18? A 6
B 30
C 36
D 120
42. Qu nmeros son dos mltiplos comunes de 4, 10 y 12?
43. El m.c.m. de tres nmeros es 90. Uno de los nmeros es 15. Cules pueden ser los otros dos?
A 6, 8 C 2, 10
B 18, 30 D 30, 50
Prctica adicional en la pgina 18, Grupo C
Prctica independiente y resolucin de problemas
Captulo 1 15
Escribir para explicar
Primero, halla los factores comunes de 4 y 6. 4: 1, 2, 46: 1, 2, 3, 6Luego multiplica el nmero de aos que dura el perodo del presidente por el nmero de aos que el alcalde cumple con su cargo. 4 6 5 24Por ltimo, divide el producto entre el mximo factor comn para hallar el mnimo comn mltiplo. 24 : 2 5 12 Entonces, en 12 aos, el alcalde y el presidente podrn postularse para la reeleccin en el mismo ao.
Consejos para escribir una explicacin
Mencionaculeselproblemaenlaprimera oracin.
Usaconectorescomoprimero, luego y por ltimo para mostrar el orden de los pasos.
Usatrminosmatemticoscorrectos.
Muestratodoslosclculos.
Mencionalasolucindelproblemaenlaltimaoracindetuexplicacin.
resolucin de problemas Escribe una expli-cacin para mostrar cmo resolver cada problema.
1. Daniela colgar luces rojas, blancas y azules para una fiesta. Las luces rojas vienen en paquetes de 6, las
blancas, en paquetes de 8 y las azules, en paquetes
de 3. Planea colgar la misma cantidad de cada color.
Cul es el menor nmero de luces de cada color
que debe comprar? Cuntos paquetes de cada
color debe comprar?
2. Rafael tiene 12 carteles y 36 boletas de muestra
para la eleccin escolar. Est armando paquetes,
todos con la misma cantidad de carteles y de
boletas. Cul es la mayor cantidad de paquetes
que puede armar sin que sobren objetos? Cuntos
de cada uno de los objetos habr en cada paquete?
Los factores comunes son 1 y 2.
Escribir una explicacin ayuda a analizar cuidadosamente los pasos que hicieron falta para resolver un problema. Tambin sirve para comprender un concepto matemtico o una destreza.
El gobierno que asumi la presidencia en el ao 1994 dur seis aos. Los alcaldes duran 4 aos. Si el presidente y alcalde asumen el mismo ao, en cuntos aos ms podrn presentarse a la eleccin juntos?
El mnimo comn mltiplo de 4 y 6 es el nmero menor de aos que pasarn antes de que el presidente y el alcalde puedan postularse para la reeleccin en el mismo ao. Lee la explicacin de Laura acerca de su solucin.
Elmximofactorcomnes2.
Captulo 1 15
16
a b a b m.c.d. m.c.m. m.c.d. m.c.m. 3 4 12 1 12 12
4 6 24 2 12 24
3 6 18 3 6 18
8 24 192 8 24 192
7 3 21 1 21 21
15 9 135 3 45 135
54 9 486 9 54 486
Observa los pares de nmeros y describe las relaciones.
Par de nmeros
Halla la fila con 3 y 6. El nmero 6 es un mltiplo de 3. Cul es la relacin entre el m.c.m. y los nmeros?
Halla la fila con 3 y 4. El m.c.d. de los nmeros es 1. Cul es la relacin entre el m.c.m. y el producto de los nmeros?
Halla la fila con 8 y 24. El nmero mayor es el m.c.m. Cul es la relacin entre el m.c.d. y los nmeros?
Relacin
Cuando un nmero es mltiplo del otro, el m.c.m. es el nmero mayor.
Cuando el m.c.d. es 1, el m.c.m. es el producto de los nmeros.
Cuando el m.c.m. es el nmero mayor, el m.c.d. es el nmero ms pequeo.
Piensa y comentaUsa las relaciones que se muestran arriba para ayudarte a resolver los problemas.
a. Observa la tabla. Qu otros pares de nmeros tienen la misma relacin que 3 y 6? Cmo puedes hallar el m.c.m. de cada par de nmeros?
b. El m.c.d. de 14 y 17 es 1. Cmo puedes hallar el m.c.m.?
c. El m.c.m. de 5 y 10 es 10. Cmo puedes hallar el m.c.d.?
Lee para entenderProbLEMA Patricio y Sandra hicieron la tabla que se muestra abajo para identificar las relaciones entre un par de nmeros, su mximo comn divisor y su mnimo comn mltiplo. Qu relaciones se muestran?
Destreza: identificar relaciones OBJETIVO: resolver problemas con la destreza identificar relaciones.
5LECCI
N
Captulo 1 17
Aplicaciones mixtas
Centenario de los 0,60 1983 Valparasoascensores de ValparasoNativas pascuenses 0,33 1986 Isla de Pascua en las canteras XXV Tratado Antrtico 0,80 1985 Base OHigginschileno Antrtida Chilena 100 aos Divisin 0,48 2005 RancaguaEl TenienteIglesias de Chilo 0,37 2002 Chilo
Nombre Peso en g Fecha de emisin Lugar
Estampillas chilenas
1. Pedro y Martn quieren ver si hay alguna relacin entre dos nmeros primos y su m.c.m. Hicieron una tabla como ayuda. Qu relaciones ves?
a b m.c.m.
2 3 6
2 5 10
3 5 15
3 7 21
5 7 35
13 11 143
Primero, observa cada par de nmeros y su m.c.m.
Luego, decide si hay alguna relacin.
2. Qu pasara si hubiera tres nmeros primos? Qu relacin hay entre los nmeros y su m.c.m.? Explica tu respuesta.
3. Qu relacin hay entre la suma de dos nmeros pares y la suma de dos nmeros impares? Explica y da un ejemplo.
4. Existe una relacin entre los nmeros compuestos 4, 16, 36, 81, 100 y 144. Identifica la relacin y escribe otros dos nmeros que tengan la misma relacin.
5. En qu se relacionan el producto de dos nmeros pares y el producto de un nmero par y uno impar? Se relacionan de igual manera el producto de dos nmeros pares y el de dos nmeros impares? Explica y da un ejemplo.
USA LoS DAToS Del 6 al 9, usa la tabla.
6. Cuntos gramos pesan en total las estampillas de 100 aos Divisin El Teniente y la estampilla Nativas pascuenses en las canteras?
7. Qu cantidad de tipos de estampillas puedes pesar para obtener exactamente 7 gramos como resultado total?
8. Cul es la menor cantidad de estampillas de Centenario de los Ascensores de Valparaso y XXV Tratado Antrtico chileno, puedes pesar si quieres obtener el mismo gramaje como resultado?
9. Qu estampillas, al pesarlas, dan exactamente 20 gramos como total?
resolucin de problemas con supervisin
18
Grupo A Escribe los primeros tres mltiplos comunes.
1. 4, 6 2. 3, 8 3. 7, 14 4. 3, 4, 12 5. 4, 5, 8
Escribe los factores comunes.
6. 20, 40 7. 7, 17 8. 32, 40 9. 16, 32, 64 10. 5, 10, 35
Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.
11. 51 12. 42 13. 19 14. 0 15. 29
Grupo B Halla el m.c.d.
1. 16, 24 2. 8, 16 3. 18, 54 4. 4, 14 5. 84, 108
6. 15, 36 7. 18, 42 8. 24, 84 9. 21, 56 10. 15, 70
11. Mara tiene 16 rosas y 12 azucenas para colocar en floreros. Si coloca la misma cantidad de rosas y azucenas en cada florero, cul es el mayor nmero de floreros que necesitar para colocar todas las flores?
12. Cul es la mayor cantidad de bolsas de cumpleaos que puede hacer Ivn con 20 sorpresas y 16 globos si cada bolsa tiene el mismo nmero de regalitos y globos, e Ivn usa todos los objetos?
Prctica adicional
Grupo C Escribe el m.c.m. de los nmeros.
1. 4, 6 2. 7, 14 3. 10, 15 4. 3, 4 5. 6, 24
6. 12, 18, 36 7. 6, 12, 18 8. 10, 16, 20 9. 3, 7, 21 10. 10, 18, 72
11. 7, 5 12. 9, 6, 4 13. 8, 18 14. 15, 12 15. 6, 8, 48
16. El m.c.m. de dos nmeros es 16. El m.c.d. de los nmeros es 4. Cules son los nmeros?
17. El m.c.m. de dos nmeros es 40. El m.c.d. de los nmeros es 20. Cules son los nmeros?
Preparados!2jugadores
Listos? 29papelitos bolsadepapel 30fichas 2monedasdiferentes
Ya!
Losjugadoresescribenenpapelitoslosnmerosdel 2 al 30 y los ponen en una bolsa.
CadajugadoreligeunamonedaylacolocaenlaSALIDA.
Porturnos,cadajugadorsacaunnmerode la bolsa.
Identificasielnmeroesprimoocompuesto. Sielnmeroescompuesto,eljugadorusalasfichas para hacer todas las matrices posibles quemuestrenelnmero.
Sielnmeroesprimo,continaelsiguiente jugador.
Elotrojugadorcompruebalasmatrices.
Eljugador1avanzadoslugaresporcadamatrizquehagadeunnmerocompuesto. Sieljugador2puedehacerotramatrizdelnmerodeljugador1,puedeavanzar un espacio.
GanaelprimeroquealcanzalaLLEGADA.
SalidaLleg
ada
Primo o compuesto?
Captulo 1 19
20
Repasar el vocabulario y los conceptos
Repasar el vocabulario y los conceptos.
1. El nmero 3 es el ____ de los nmeros 6 y 15.
2. Un nmero que es factor y mltiplo de 24.
3. Factor de todos los nmeros_____. 4. 6 es factor de_____.
5. 6 es mltiplo de _____. 6. Primer mltiplo comn de 6 y 9 ____.
Completa con las palabras mltiplos o factores.
7. 25, 100 y 150 son _________ de 25. 8. 1, 2, 5, 10, 25, y 50 son __________ de 50.
9. Cada nmero tiene una cantidad infinita de __________.
10. Si un nmero x divide a otro nmero y en forma exacta, se dice que x es un _______de y.
11. Cul de los siguientes nmeros es un nmero primo?
A 4
B 9
C 13
D 15
VoCAbULArIo
mximo comn divisor (m.c.d.)
mnimo comn mltiplo (m.c.m.)
nmero compuesto
nmero primo
Repasar las destrezas Halla el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de nmeros.
12. 3, 4 13. 8, 64 14. 15, 18 15. 9, 12, 18 16. 10, 20, 50
Repasar la resolucin de problemas Resuelve.
17. Marco descubri que existe una relacin entre los nmeros compuestos 6 y 24. Identifica la relacin y escribe otros dos nmeros que tengan la misma relacin.
18. Ral escribi los nmeros 12 y 18 en el pizarrn. Descubri que el m.c.m. de 12 y 18 es 36. Cul es el m.c.d. del par de nmeros?
19. Amalia escribi los nmeros primos 3 y 11. Dice que cuando el m.c.d. de dos nmeros es 1, el m.c.m. es el cociente de los nmeros. Tiene razn? Explica.
Repaso/Prueba del captulo 1
Paso 3 Compara la suma y el nmero.
Paso 4 Clasifica el nmero.
Paso 2 Halla la suma de los divisores propios.
Paso 1 Escribe los divisores propios del nmero.
18 21 6
1, 2, 3, 6, 9 1, 3, 7 1, 2, 3
21 11 6
21 18 11 21 6 5 6
abundante deficiente perfecto
13. Emilio escribi los nmeros primos 31 y 13 sobre una hoja. Qu notas acerca de los nmeros primos 31 y 13? Explica.
14. Razonamiento El primer nmero abundante impar se encuentra entre 800 y 1 000. Si sus factores primos son 3, 5 y 7, cul es el nmero?
Entonces, 18 es un nmero abundante, 21 es un nmero deficiente y 6 es un nmero perfecto.
PrubaloClasifica cada nmero en abundante, deficiente o perfecto.
1. 29 2. 30 3. 28 4. 17 5. 64 6. 24
7. 51 8. 48 9. 12 10. 40 11. 53 12. 496
Explica la razn por la que el producto de 2 y cualquier nmero perfecto siempre ser un nmero abundante.
Ser perfecto o no ser perfecto?Enriquecimiento Nmeros perfectos,
abundantes y deficientes
Los nmeros pueden clasificarse en abundantes, deficientes o perfectos. La clasificacin de un nmero depende de la suma de sus divisores propios. Los divisores propios son los factores del nmero, excluyendo al nmero mismo.
La suma de los divisores propios de un nmero abundante es mayor que el
nmero en s. La suma de los divisores propios de un nmero deficiente es
menor que el nmero en s. La suma de los divisores propios de un nmero perfecto es igual al nmero en s.
EjemploClasifica los nmeros 18, 21 y 6 en abundantes, deficientes o perfectos.
Clasifica 18 despus de analizar
la suma de sus divisores propios.
Paso 1: 1, 2, 3, 6, 9
Paso 2: 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21
Captulo 1 21
22
Patrones y lgebra
6. Si x 5 3 cul es el valor de 12 : x?
A 2
B 4
C 6
D 8
7. Si n es par menor que 8 y mayor que 4, qu
valor tiene n?:
A 2
B 4
C 6
D 8
8. Qu valor debe ir en el recuadro para que se cumpla la igualdad 125 2 _____5 50?
A 50
B 45
C 75
D 100
9. Cul es el valor de x en la siguiente
ecuacin 2x + 4x = 18?
A x = 6
B x = 18
C x = 3
D x = 12
10. Explica cmo se halla el valor de la expresin x 2 10 para x 5 12.
Comprensin de los aprendizajes
Nmeros y operaciones
1. Qu valor resulta al amplificar 7 __ 8 por 5?
A 358
B 1213
C 3540
D 4035
2. Cul de las siguientes fracciones es mayor que 5
7?
A 6
10
B 3642
D 4868
C 23
3. De las fracciones que aparecen, cul es la fraccin equivalente a 1
4?
A 7
12
B 915
C 832
D 24
4. El nmero mixto 8 enteros 14
escrito como fraccin es:
A 364
B 833
C 334
D 433
5. Explica cmo se escribe 38
como nmero decimal.
Captulo 1 23
Datos y probabilidades
11. La figura UVWX es un cuadrado. Cada lado mide 3,5 centmetros. Cul es su permetro?
U
X W
V
12. Si el rea del tringulo UWX es de 12 centmetros cuadrados, cul es el rea total de UVWX?
A 7 cm
B 7 cm2
C 14 cm2
D 24 cm2
13. La red que observas a continuacin representa la red de un:
A paraleleppedo
B cubo
C pirmide cuadrada
D prisma triangular
14. Cuntos vrtices tiene la red del cuerpo geomtrico anterior?
A 12
B 8
C 16
D 14
15. La seora Gonzlez registr la asistencia a cinco funciones de un concierto en la siguiente tabla.
Qu da asistieron ms personas?
A Viernes C Martes
B Jueves D Mircoles
16. Cuntas personas ms asistieron el da
viernes que el jueves?
A 28
B 18
C 16
D 26
17. Cul de las siguientes preguntas no puedes contestar con los datos de la tabla?
A Cul es la cantidad de asistentes en la semana hbil?
B Cul es la cantidad de hombres y mujeres que asistieron a cada concierto?
C Cuntos asistentes ms hubo el da mircoles que el lunes?
D Cuntos asistentes menos hubo el da martes que el viernes?
Geometra Medicin
Asistencia al concierto
Funciones Cantidad de personas
Lunes 125
Martes 234
Mircoles 190
Jueves 305
Viernes 331
InvestigaEn la receta de la derecha se muestran los ingredientes para preparar un brazo de reina. Si quiero cocinar para 12 personas, qu cantidad de cada ingrediente necesito?
Fracciones y nmeros mixtosLa idea importante Determinar equivalencias entre fracciones impropias nmeros mixtos y
representarlos en la recta numrica.
Brazo de gitano en Espaa, pionono en Per, arrollado en Argentina, rocambole en Brasil, en Mxico nio envuelto brazo de reina en Chile y en Colombia, y otros tantos nombres ms..., es un delicioso pastel que tiene su origen en la receta que un monje espaol llev de Egipto a Espaa en la Edad Media. Comenz llamndose brazo egiptiano y la palabra degener en brazo de gitano.
2
Receta Brazo de reina Preparacin:1hora.Para:6personas
4huevosatemperaturaambiental
3/4cucharaditadepolvosdehornear
1/2cucharaditadesal
3/4tazadeazcargranulada
1cucharaditadeextractodevainilla
3/4tazadeharina
azcarflor
DATOBREVE
2424
1000Bml20C
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con xito el captulo 3.
C Que fraccin de 1 litro representa: 1. 500 ml 2. 250 ml
3. 100 ml 4. 750 ml
C Comparar y ordenar fracciones y nmeros mixtosCompara. Escribe ,, . o 5.
5. 5 __ 6 1 __ 6 6. 1 __ 4
3 __ 4 7. 2 2 __
5 2 3 __
5 8. 1 __ 2
1 __ 3
9. 4 1 __ 6 4 1 __
3 10. 4 2 __
5 4 2 __
3 11. 1 __ 4
1 __ 5 12. 1 __ 2
4 __ 5
Ordena de menor a mayor.
13. 1 __ 3 , 2 __ 3 , 1 __
6 14. 2 __ 5 ,
1 __ 2 , 3 ___
10 15. 5 2 __
3 , 5 2 __
6 , 5 2 ___
12 16. 2 3 __
4 , 2 1 __
8 , 4 1 ___
12
C Practicar operaciones de divisinHalla el cociente.
17. 54 : 9 18. 42 : 6 19. 24 : 6 20. 120 : 4 21. 21 : 7
22. 84 : 7 23. 0 : 7 24. 36 : 4 25. 32 : 8 26. 72 : 2
27. 108 : 2 28. 56 : 8 29. 88 : 8 30. 60 : 2 31. 49 : 7
VOCABULARIO DEL CAPTULO
fracciones impropiasfraccionesmnima expresin nmero mixto
PREPARACIN
fracciones impropias Son aquellas fracciones mayores que 1
fracciones equivalentes Son fracciones que representan la misma parte o cantidad.
nmero mixto Son fracciones mayores que un entero y estn representadas por un entero mayor que cero y una fraccin entre 0 y 1.nmeros naturales Conjunto de nmeros desde el 1 hasta infinito.
250 ml
500 ml
750 ml
1000 ml
Captulo 2 25
1 __ 6 5 ___
12
Para obtener el denominador 12, multiplica el denominador por 2.
4 ___ 12
5 __ 3
Para obtener el denominador 3, divide el denominador entre 4.
ObservalosejemplosAyB.Quoperacindacomoresultadouna fraccinconmspartesquelafraccinoriginal?Explicacmolosabes.
Otra manera de hallar una fraccin equivalente es multiplicar o dividir. Es posible multiplicar el numerador y el denominador por el mismo nmero, que no sea 0 o 1. Tambin se puede dividir un numerador o un denominador entre un factor comn mayor que 1.
Ejemplo 1 Completa.
Halla el m.c.d.
1. 8, 12 2. 21, 283. 9, 30 4. 32, 605. 20, 45
Vocabulariofracciones equivalentes
mnima expresin o fraccin simplificada
mximo comn divisor (m.c.d)
Paraqueelvalordelafraccinseaelmismo,tambindebesmultiplicarelnumerador por 2.
Paraqueelvalordelafraccinseaelmismo,tambindivideelnumerador entre 4.
Fracciones equivalentes y fracciones en su mnima expresin OBjETIVO: identificaryescribirfraccionesequivalentes,yescribirfraccionessimplificadasasumnimaexpresin.
PROBLEMA Para una receta de galletas de avena, se necesitan taza de azcar. Daniel usar una taza de para medir las tazas de azcar. Cuntas veces debe llenar la taza de de azcar para preparar las galletas de avena?
Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma parte o cantidad. Puedes representar fracciones equivalentes para hallar cuntos octavos equivalen a 3
4.
34
18 1
8
1LECCI
N
Aprende
16
212
22
=
Puedesleer3 _ 4 5 6 _ 8 comotres
cuartosesequivalenteaseisoctavos.
Actividad
Materiales barrasdefraccin
Comienzacontresbarrasdefraccinde 14
.
Colocabarrasdefraccin de 18
a lo
largodelastresbarrasde 14
hastaquelalongitudsealamisma.
Cuntasbarrasde 18
hay?
Enlarepresentacinsemuestraque 345 6
8.Entonces,Danieldebe
llenar seisveceslatazaparamedirde 18
.
Usalasbarrasdefraccin.Cuntasdoceavaspartes equivalena 3
4?Completa 3
45 12
13
44
=::412
26
Fraccin simplificada a su mnima expresinUna fraccin est en su mnima expresin cuando el nico factor comn del numerador y el denominador es 1.
1724
es una fraccin en su mnima expresin porque el nico factor comn de 17 y 24 es 1.
1824
no es una fraccin en su mnima expresin porque 18 y 24 tienen el factor comn 6.
1. Observa la representacin. Cuenta para hallar cuntas doceavas partes equivalen a 3
4. Completa: 3
4 =
12.
Completa.
2. 35
= 10
3. 56
= 24
4. 68
= 4
5. 210
= 80
6. 2540
= 8
7. 812
= 36
Usa los factores comunes.
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
5
Usa un diagrama escalera.
2
2
3
24 ___ 36 5
2 __ 3
Entonces,2 _ 3 eslafraccinensumnimaexpresin24 __ 36 .
Puedes hallar una fraccin en sumnimaexpresinen un solo paso si divides por el mximo comn divisor (m.c.d).
Ejemplo 3 Escribe la fraccin en su mnima expresin.
18 ___ 24 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Halla el m.c.d. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 m.c.d. 5 6
20 ___ 64 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Halla el m.c.d. 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 m.c.d. 5 4
Ejemplo 2 Escribe 24 __ 36 como fraccin en su mnima expresin.
Entonces,3 _ 4 eslafraccinsimplificadaasumnimaexpresinde18 __ 24 .
Entonces,5 __ 16 eslafraccinsimplificadaasumnimaexpresinde20 __ 64 .
Hallalosfactorescomunesde24y36.
Divideelnumeradoryeldenominador entre un factor comnquenosea1.
Repiteelprocedimientohastaquelafraccinseaunafraccinensumnimaexpresin.
Divideelnumeradoryeldenominadorentre un factor primo comn. Repite elprocesohastaquesolotengancomofactor comn a 1.
Elnuevonumeradores2yelnuevodenominadores3.
Divideelnumeradoryeldenominador entre 4.
Divideelnumeradoryeldenominador entre 6.
Prctica con supervisin
Prctica adicional en la pgina 54, Grupo A
2436
46
66
=::2436
46
23
22
=::46
=
2064
516
44
=::2064
=1824
34
66
=::1824
=
2436
1218
69
23
Captulo 2 27
Mquina de lavar la ropa
22 ___ 100
Ducha 17 ___ 100
Llave de agua
16 ___ 100
14
Prdidas de agua
___100
Bao 27 ___ 100
Otros usos domsticos
1 ___ 100
Lavamanos 1 ___100
Uso promedio del agua en el hogar
Tina 2 ___100
Completa.
15. 1218
= 3
16. 1551
= 5 17. 320
= 24 18. 78
= 72
19. 49
= 47
20. 1555
= 11
21. 1218
= 3
22. 1551
= 5 23. 320
= 24 24. 78
= 72
25. 49
= 47
26. 1555
= 11
Escribe la fraccin simplificada a su mnima expresin.
27. 2442
28. 1830
29. 410
30. 4832
31. 4520
32. 5060
33. 1065
34. 862
35. 412
36. 3236
37. 24
38. 510
Escribe la fraccin simplificada a su mnima expresin.
8. 7075
9. 912
10. 628
11. 44121
12. 1527
13. 1854
14. Explica cmo hallar una fraccin equivalente a 1215
Prctica independiente y resolucin de problemas
Prctica adicional en la pgina 34, Grupo B
USA LOS DATOS Del 43 al 45, usa el grfico.
43. Qu uso domstico del agua puede escribirse como 4
25 en su mnima expresin?
44. La fraccin que corresponde al uso del agua de
la ducha es 17100
. Es esta fraccin una fraccin en
su mnima expresin? Si no es as, redcela a la mnima expresin. Explica tu respuesta.
45. Las fracciones de qu usos domsticos del agua pueden escribirse como fracciones equivalentes que tengan el nmero 50 como denominador?
46. Mara tiene 25 bolitas verdes, 36 amarillas, 10 azules y 29 rojas. Escribe una fraccin reducida a su mnima expresin. para mostrar qu parte de las bolitas de su coleccin son azules o verdes.
47. Cul es la pregunta? Luis tiene 8 manzanas rojas, 6 manzanas verdes y 4 manzanas amarillas. La respuesta es 4
9 de las manzanas.
Razonamiento Del 39 al 42, escribe siempre, a veces o nunca en cada enunciado.
39. El denominador de una fraccin equivalente es menor que el denominador de la fraccin original.
41. El numerador de una fraccin en su mnima expresin es mayor que el numerador de una fraccin equivalente.
40. El denominador de una fraccin equivalente es un mltiplo del denominador de la fraccin original.
42. Puede escribirse una fraccin equivalente para cualquier fraccin.
28
Comprensin de los Aprendizajes
RAZONAMIENTO Puedes usar lo que sabes acerca de las relaciones numricas y las fracciones equivalentes para encontrar las incgnitas.
Ejemplo Cules son los valores de a y b en 4 _ 5 5 a _ b ?
Usa las pistas para hallar los valores de a y b.
1. 3 ___ 10
5 a __ b 2. 4 __ a 5
b __ 6
Pista 1: La suma de los dgitos de a es igual a 9. Pista 1: a es un mltiplo de 3 menor que 30.
Pista 2: a y b son nmeros de dos dgitos Pista 2: b es un nmero primo. menores que 65.
3. 5 __ 7 5 a __
b 4. a __
9 5 16 ___
b
Pista 1: a y b son nmeros pares mayores que Pista 1: Los factores de b son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10 y menores que 30. 18 y 36.
Pista 2: La suma de a y b es igual a 48. Pista 2: a y b son mltiplos de 4.
Pista 1: Tanto a como bsonmayoresque10ymenoresque20.
Segnlapista1,aybpuedenser11,12,13,14, 15, 16, 17, 18 o 19.
Comoa _ b debeserequivalentea4 _ 5 , aes12ybes15.
Pista 2: Tanto a como bson mltiplosde3.
Segnlaspistas1y2,ayb puedenser12,15o18.
48. Ral gan $ 13 250 cortando el pasto del jardn. Una soga cuesta $ 6 950. Cunto dinero tendr Ral despus de comprar la soga?
49. Calcula el valor de la expresin algebraica m212 para m 5 51.
50. Escribe una fraccin para la parte sombreada.
51. Juan ahorra 915
de lo que gana cada semana.
Cul de las siguientes fracciones es equivalente a 915
?
A 15
B 1845
C 35
D 83
52. Un pastel se corta en 16 porciones. Se comen cuatro porciones. Qu fraccin representa, como fraccin reducida a su mnima expresin, la cantidad de pastel que sobra?
A 1216
B 34
C 13
D 416
Unavariableesunaletraounsigno
querepresentaunoomsnmeros.Lasletrasylos
signosx, y, a, bysonejemplosde
variables.
Recuerda
Captulo 2 29
Aprende
Fracciones y nmeros mixtos OBjETIVO:escribirfraccionescomonmerosmixtosynmerosmixtoscomofracciones.
Escribe la fraccin como fraccin equivalente.
1. 21 ___ 27
2. 24 ___ 40
3. 33 ___ 77
4. 27 ___ 36
5. 72 ___ 84
Vocabularionmero mixto
Usa un diagrama.
Usa la multiplicacin y la suma.
Entonces,21 _ 4 5 9 _ 4 .
Puedes usar la divisin para escribir una fraccin mayor que 1 como un nmero mixto o un nmero natural.
Ejemplo 2 Escribe 26 __ 10 como nmero mixto en su mnima expresin.
Dadoque26 __ 10 puedeleersecomo26divididoentre10,divideel numerador entre el denominador.
Usaelrestocomoelnumeradoryeldivisorcomoeldenominador.Escribelafraccincomofraccinensumnimaexpresin.
Entonces,26 __ 10 5 2 6 __ 10 5 2
3 _ 5 .
Multiplica el denominador de la parte fraccional por la parte delnmeronatural.Luegosumaelnumerador.Elresultadoeselnuevonumerador.Usaelmismodenominador.
Cuentaloscuartossombreados.Haynueve cuartoso9 _ 4 .
1. Observa la representacin. Escribe el nmero representado como un nmero mixto y como una fraccin. Luego escribe cada uno en palabras.
Escribe el nmero mixto como fraccin.
2. 6 1 _ 3 3. 1 3 _ 4 4. 3
2 _ 5 5. 1 6. 5 1 _ 2 7. 2
1 _ 8
Un nmero mixto, como 2 1 _ 4 , es un nmero representado por un nmero natural mayor que 0 y una fraccin entre 0 y 1. Los nmeros mixtos tambin pueden representarse con una fraccin mayor que uno. Las fracciones mayores que uno, como 6
5, suelen llamarse fracciones
impropias.
Ejemplo 1 Escribe 2 1 _ 4 como fraccin.
Prctica con supervisin
2LECCI
N
26 : 1052
220 __ 6
2 1 _ 4 5 (4 2) ______
4 1 1 _
4 5 8 1 1 _____
4 5 9 _
4
_____ _ _________ _
716
30
Comprensin de los aprendizajes
44. Cul es el mximo comn divisor de 12 y 24?
45. Escribe un nmero mixto para la parte sombreada.
46. Cul es el permetro de un cuadrado cuyos lados miden 5 centmetros de longitud?
47. Juan compr 3 3 _ 4 kg de frutos secos surtidos y los dividi en porciones de 1 _ 8 de kg. Cuntas porciones de frutos secos surtidos obtuvo?
A 8 B 15 C 24 D 30
Escribe la fraccin como nmero mixto en su mnima expresin o como nmero natural.
8. 145
9. 4510
10. 568
11. 196
12. 6416
13. 5520
14. Explica cmo usar el resto y el divisor cuando se utiliza la divisin para escribir una fraccin como nmero mixto.
Escribe el nmero mixto como fraccin.
15. 4 5 _ 8 16. 7 2 _ 3 17. 5
5 _ 6 18. 11 1 _ 4 19. 12
4 _ 5 20. 3 7 __ 10
21. 2 1 _ 2 22. 8 3 _ 5 23. 5
3 __ 10 24. 6 3 _ 8 25. 3
3 _ 4 26. 2 1 _ 2
Escribe la fraccin como nmero mixto en su mnima expresin o como nmero natural.
27. 17 ___ 3 28. 44 ___
8 29. 45 ___
12 30. 41 ___
18 31. 65 ___
5 32. 85 ___
25
33. 32 ___ 7 34. 60 ___
4 35. 34 ___
4 36. 66 ___
8 37. 23 ___
3 38. 39 ___
6
39. DATO BREVE En un eclipse total de luna, la Tierra impide que la luz solar directa llegue a la Luna. El eclipse total de luna ms largo de los prximos 90 aos tendr lugar en el ao 2018 y durar 1 h. Escribe 1 como fraccin y usa la fraccin para hallar cuntos minutos durar el eclipse.
40. El eclipse total de luna ms largo desde 1900 tuvo lugar en el ao 2000 y dur 107 minutos. Escribe 107 minutos en horas como fraccin y como nmero mixto.
USA LOS DATOS Del 42 a 43, usa la receta.
42. Para preparar un batido de durazno, Leo tiene solo una taza para medir de 1 _ 4 . Escribe la cantidad de cada ingrediente, salvo de pltanos, como una fraccin en cuartos.
43. Imagina que Leo tiene solo una taza de 1 _ 8 para medir. Anota la cantidad de rodajas de durazno como una fraccin en octavos.
41. Cul es el error? Pilar volvi a expresar 2 5 _ 7 como
17 __ 7 . Describe cul es su error y escribe la respuesta correcta.
Prctica independiente y resolucin de problemas
Prctica adicional en la pgina 34, Grupo B
1115
1115
Captulo 2 31
Aprende
0 1 9 10 15
510
3 10
7 10
110 4
10610
810
Idea matemticaLos valores aumentan a medida que
se va hacia la derecha en la recta numrica. Los valores disminuyen a medida que se va hacia la izquierda.
Comparar y ordenar fracciones y nmeros mixtosOBjETIVO:compararyordenarfraccionesynmerosmixtos.
Para comparar fracciones con el mismo denominador, compara los numeradores, porque cada parte es del mismo tamao. Para comparar fracciones con el mismo numerador, compara los denominadores.Mismo denominador Mismo numerador
2 _ 3 Dosdetrespartesiguales
esmayorqueunadetres partesiguales.Entonces, 2
3 > 1
3.
Para comparar nmeros mixtos, compara los nmeros naturales y luego las fracciones. Puedes usar mltiplos comunes para comparar y ordenar las fracciones y los nmeros mixtos con distintos denominadores.
1 _ 3
2 _ 3 Dosdetrespartesigualesesmayor
quedosdecincopartesiguales. Entonces,2 __
3 . 2 __
5 .
2 _
5
Ejemplo 1EnChiloanualmenteserealizalafiestadelajo.Lastrenzasdeajosganadoraselaopasadopesaban51 _ 2kg,5
2 _ 3kg,55 _ 8 kg.
Ordenalastrenzasdeajodemayoramenorpeso.
Losnmerosnaturalessoniguales.Entonces,comparalasfracciones.Escribefraccionesequivalentesconelmismodenominadoryluegocomparalosnumeradores.
5 1 _ 2 5 5 12 __ 24 5
2 _ 3 5 5 16 __ 24 5
5 _ 8 5 5 15 __ 24
Piensa:24esunmltiplocomn
de2,3y8.
Como512 __ 24 , 5 15 __ 24 , 5
16 __ 24 ,elordendelastrenzasdemenora
mayores51 _ 2 kg,55 _ 8 kg,5
2 _ 3 kg.
Tambinpuedesusarunarectanumricaparacompararyordenar lasfracciones.
Ejemplo 2 Ordena , y demayoramenor.710
210
110
Ubicalosnmerosenlarectanumrica.7 __ 10 estaladerechade
1 _ 2 y1 _ 2 estaladerechade
2 _ 5 .
Escribe dos mltiplos comunes para cada par de nmeros.
1. 6, 8 2. 10, 153. 7, 8 4. 6, 25. 9, 5
Entonces,elordendemayoramenores7 __ 10 , 2 __ 10 ,
1 __ 10 .
3LECCI
N
32
Comprensin de los aprendizajes
0 151213
12
1112
712
112
16
14
23
34
56
Prctica adicional en la pgina 34, Grupo C
1. Usa las barras de fraccin para ver qu parte es mayor. Luego compara 2 _ 5 y
2 _ 8 y usa los smbolos ,, . o 5 en la comparacin.
Compara. Escribe ,, . o 5.
2. 4 __ 5 4 __
9 3. 5 __
8 7 __
8 4. 1 4 ___
12 1 3 __
8 5. 1 5 __
6 7 __
6 6. 28 ___
42 4 __
6
7. Explica cmo usar la recta numrica para ordenar 2 _ 3 ; 1 _ 2 y
11 __ 12 de mayor a menor.
Compara. Escribe ,, . o 5.
8. 1 __ 2 11 ___
12 9. 7 ___
15 7 ___
10 10. 7 __
9 4 __
9 11. 7 1 __
3 6 2 __
3 12. 1 2 __
5 1 1 __
3
Ordena de mayor a menor.
13. 5 __ 7 ; 5 __
6 ; 5 ___
12 14. 4 __
7 ; 4 ___
10 ; 4 __
5 15. 1 3 __
4 ; 5 __
7 ; 1 3 __
5 16. 3 7 ___
10 ; 3 1 __
6 ; 3 2 __
5
17. 3 __ 7 ; 5 __
6 ; 2 __
3 18. 1 __
2 ; 2 __
9 ; 11 ___
18 19. 1 7 __
8 ; 6 __
7 ; 1 9 ___
10 20. 5 5 __
8 ; 5 7 ___
10 ; 5 3 __
4
21. La semana pasada, Amalia y Jos compraron cada uno 2 kg de semillas de girasol. A Amalia le quedan 1 1 _ 3 kg y a Jos, 1
2 _ 5 . quin ha consumido ms semillas de girasol?
22. Razonamiento Halla una fraccin que est entre 3 _ 4 y 5 _ 6 .
23. Explica cmo hallar qu nmero es menor, 4 _ 5 o 5 _ 6 . Luego muestra la comparacin
con smbolos.
24. Qu es menor: 24 3 o 23 4?
25. Si n 5 3, cul es el valor de 5 (n 2 3)?
26. Cul es el mximo comn divisor de 66, 36 y 18?
27. Qu nmero hace que la expresin 2 _ 3 , , 1
1 _ 8 sea verdadera?
A 11 ___ 20
C 1 1 __ 3
B 7 __ 9 D 1 1 __
5
Prctica con supervisin
Prctica independiente y resolucin de problemas
Captulo 2 33
Grupo A Completa.
1. 1 __ 4 5 ___ 12 2.
12 ___ 14 5 6 __ 3. 5 __ 7 5
___ 21 4. 3 __ 4 5
___ 16 5. 5 ___ 25 5
1 __
6. ___ 13 5 18 ___ 26 7.
4 __ 5 8 ___ 20 8.
7 ___ 14 5 1 __ 9. 24 ___ 30 5
___ 15 10. 4 __ 5 1 __ 4
Grupo B Escribe el nmero mixto como fraccin.
1. 4 3 __ 4 2. 7 1 __ 5 3. 12
2 __ 3 4. 5 7 ___ 10 5. 3
1 __ 2 6. 2 5 __ 8
7. 6 3 __ 7 8. 2 1 __ 3 9. 5
4 __ 5 10. 7 3 ___ 10 11. 8
1 __ 4 12. 7 2 __ 3
Escribe la fraccin como nmero mixto o como nmero decimal.
13. 19 ___ 3 14. 47 ___ 8 15.
54 ___ 9 16. 23 ___ 4 17.
45 ___ 7 18.
19. 58 ___ 4 20. 32 ___ 8 21.
121 ____ 11 22. 112 ____ 6 23.
57 ___ 5 24.
Prctica adicional
Grupo C Compara. Usa ,, . o 5.
Es racional?Es racional?
698
3118
1. 5 __ 8 5 __
9 2. 3 __
5 4 __
5 3. 3 __
4 3 __
5
4. 21 ___ 56
7 __ 8 5. 15 ___
16 12 ___
13 6. 2 5 __
6 2 1 ___
12
7. 3 7 ___ 10
3 3 __ 4 8. 1 4 __
9 1 4 __
7 9. 2 2 __
9 2 4 ___
15
10. 1 13 ___ 16
1 3 __ 4 11. 2 __ 3
2 __ 5 12. 2 __ 3
4 __ 5
13. 8 __ 9 7 __ 8 14.
1 __ 4 2 __ 6 15.
1 __ 4 25 ____ 100
16. 5 __ 6 8 ___ 10 17.
13 ___ 22 6 ___ 21 18.
7 ___ 10 12 ___ 16
19. 4 __ 6 8 ___ 12 20.
7 __ 8 20 ___ 24 21.
4 __ 5 8 __ 9
22. 1 __ 4 1 __ 5 23.
10 ___ 12 5 __ 6 24.
5 __ 8 4 __ 6
34
218
710
Es racional?Es racional?Jugadores2jugadores
Materiales 36tarjetasconfraccionespropias,impropiasynmerosmixtos 2monedasdiferentes Dadonumeradodel1al6
Colocalastarjetasdenmerosbocaabajoenunmazo.
CadajugadoreligeunamonedaylacolocaenelcasillerodeSALIDA.Decidanquincomenzar.
Eljugador1sacaunatarjetadelmazoycomparalasfraccionesy/onmerosmixtosentreseindicaculesmayor.
Eljugador2compruebalarespuesta.Siescorrecta,eljugador1lanzaelcubonumeradoymuevesumonedalacantidaddelugaresqueindica el cubo.
Luego,independientementedesilarespuestaseacorrectaoincorrecta,eselturnodeljugador2.
GanaeljugadorqueprimeroalcanzalaLLEGADA.
Cmo se juega
Retrocede 3 lugares
Retrocede 3 lugares
Retrocede 2 lugares
Pierdes un turno
Pierdes un turno
Pierdes un turno
Lanza de nuevo!
Lanza de nuevo!
Avanza 4 lugares
SALIDA
Avanza 4 lugares
LLEGADA
Captulo 2 35
Repasar la resolucin de problemas Resuelve.
23. Marco descubri que existe una relacin entre los nmeros compuestos 6 y 24. Identifica la relacin y escribe otros dos nmeros que tengan la misma relacin.
24. Ral escribi los nmeros 12 y 18 en el pizarrn. Descubri que el m.c.m de 12, 18 es 36. Cul es el MCD del par de nmeros?
25. Ana escribi los nmeros primos 3 y 11. Dice que cuando el MCD de dos nmeros es 1, el m.c.m. es el cociente de los nmeros. Tiene razn? Explica.
Repasar el vocabulario y los conceptos Elige el mejor trmino del recuadro.
1. Un nmero natural mayor que 1 que tiene como nicos factores al 1 y a s mismo se llama __________.
2. El nmero 3 es el __________de los nmeros 6 y 15.
3. Los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6. El nmero 6 es un __________ porque es un nmero natural mayor que 1 que tiene ms de dos factores.
Repasar las destrezas Halla el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de nmeros.
4. 3, 4 5. 8, 64 6. 15, 18 7. 9, 12, 18 8. 10, 20, 50
Escribe cada nmero mixto como fraccin y cada fraccin como nmero mixto, como fraccin en su mnima expresin o como nmero decimal.
9. 6 1 __ 3 10. 14 ___ 5 11.
35 ___ 9 12. 10 3 __ 4 13. 4 2 __
7
Compara. Escribe ,, . o 5.
14. 3 __ 8 2 __
3 15. 4 __
7 6 __
7 16. 1 __
4 1 __
5 17. 5 5 __
6 6 1 __
6 18. 4 1 __
2 3 3 __
4
Copia y completa.
19. 20.
Repaso/Prueba del captulo 2
VOCABULARIO
mximo comn divisor (MCD)
nmero compuesto
nmero primo
Fraccin Decimal
0,44
3 __ 10
Fraccin Decimal
0,62
23 ___ 100
21. 22.
36
Parte de una horaParte de una horaA la 1 p.m. un guardia de la estacin de trenes, le dijo a Raquel que el tren a la ciudad de Temuco saldra aproximadamente en 2 . Para encontrar la hora de salida, Raquel pens:
En una hora hay 60 minutos.
1 __ 2 de 60 es 30. Por lo tanto, mi tren sale en 2 horas y 30 minutos.
Si sumo 2 horas y 30 minutos a la 1 p.m., la hora ser 3:30 p.m.
Por lo tanto, mi tren sale aproximadamente a las 3:30 p.m
Ejemplos
Enriquecimiento Nmeros mixtos y la hora
IntntaloEscribe en forma de nmero mixto
1. 2 h 25 min 2. 1 h 24 min 3. 6 h 30 min 4. 3 h 50 min
Resuelve Escribe la respuesta en forma de nmero mixto.
5. 6 h 10 min 3 h 55 min
6. 3 h 42 min + 3h 38 min
Explica cmo escribir 5 h 48 min en forma de nmero mixto.
A. Escribe 3 horas y 12 minutos en forma de nmero mixto.
12 min = 12 ____ 60 h = 1 __ 5 h.
Por lo tanto, 3 hr y 12 min en forma de nmero mixto es 3 1 __ 5 h.
Piensa:
60 min = 1 hr
1 minuto = 1 ____ 60 h
B. 5 h 15 min +2 h 50 min
7 h 65 min
7 h (60 + 5) min
7 h + 1 h + 5 ____ 60 hr 8 1 ____ 12 h
C. Convierte una hora en minutos para restar.
4 h 22 min 3 h (60 + 22) min
1 h 40 min 1 h 40 min
3 h 82 min
1 h 40 min = 2 42 ____ 60 = 2 7 ____ 10 h
2 h 42 min
Tambin puedes sumar o restar horas y escribir la respuesta en forma de nmero mixto
12
Captulo 2 37
Nmeros y operaciones
1. Cul de las alternativas muestra correctamente ordenados los nmeros de menor a mayor?
A 2,36; 2,63; 2,62; 2,26
B 2,26; 2,62; 2,36; 2,63
C 2,63; 2,62; 2,36; 2,26
D 2,26; 2,36; 2,62; 2,63
Utilizando la recta numrica responde las preguntas 2 y 3.
2. Qu nmeros estn representados por los puntos rojos de la recta numrica.
A 0,2 y 0,5
B 0,1 y 0,6
C 0,3 y 0,7
D 0,1 y 0,5
3. Cul de los siguientes nmeros no se pueden ubicar entre los puntos rojos?
A 0,52
B 0,46
C 0,22
D 0,61
Patrones y lgebra4. Qu alternativa muestra una fraccin reducida
a su mnima expresin?
A 4 __ 6
C 4 __ 8
B 1 __ 8
D 4 __ 16
5. Qu nmero mixto corresponde a la fraccin impropia ?
A 9 C 9
B 9 D 9
6. Si x = 8, el valor de x + 15 3= es igual a:
A 20 C 18
B 23 D 19
7. Cul de las siguientes fracciones es mayor?
A C
B D
0 1
Comprensin de los aprendizajes
8. Cul es el nmero que falta? 24 598 = 14 009
A 10 599 C 10 579
B 10 589 D 10 570
9. Si el divisor es 24, el cociente es 321 y el resto es 6, cul es el dividendo?
A 7 704 C 13 375
B 7 710 D 13 381
18
24
38
910
18
24
12
14
374
38
Geometra Medicin
10. Calcula el permetro de la figura
A 10 cm
B 20 cm
C 21 cm
D 42 cm
11. Cunto mide el permetro del siguiente tringulo?
A 17 cm
B 30 cm
C 34 cm
D 60 cm
12. Si el rea de un cuadrado es 16 cm, cul es la medida del lado?
A 6 cm
B 4 cm
C 8 cm
D 16 cm
Datos y probabilidades
3 cm
7 cm
5 cm
12 cm 13 cm
NOTAS DE QUMICA
Cantidad de alumnos 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
NO
TAS
13. Si se hace girar la flecha, en qu color es menos posible que se detenga?
A rojo
B amarillo
C verde
D no se puede determinar
14. En una bolsa negra se introdujeron 10 bolitas: 2 negras, 2 amarillas,1 verde y 5 rojas. Qu bolita es ms probable sacar?
A verde
B roja
C amarilla
D negra
15. Responde la pregunta a partir del grfico.
Cul es la diferencia entre la nota mayor y la menor?
A 7
B 6
C 2
D 4
Captulo 2 39
InvestigaImagina que trabajas en la guardia forestal del parque nacional Torres del Paine. Si un visitante quiere hacer una caminata de 1520 km en un da, qu combinaciones de dos o ms senderos podras sugerir que recorriera?
Sumar y restar fracciones La idea importante La suma y resta de fracciones y nmeros mixtos se basa en la comprensin de las fracciones equivalentes.
3
El parque nacional Torres del Paine pertenece al Sistema Nacional de reas silvestres protegidas del Estado de Chile. Es uno de los parques ms grandes del pas y el tercero en visitas. Su superficie es de 242 242 hectreas.(1 ha = 10 000 m cuadrados)
Sendero Distancia en km
Sendero lago Pingo 9
35
Glaciar Grey12
Glaciar Thindell 812
Laguna Azul 7110
Lago Sarmiento 112
Senderos del Parque Nacional Torres del Paine
DATOBREVE
40
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con xito el captulo 4.
u Fracciones equivalentesCompleta.
1. 2 __ 7 5 ___
14 2. 1 __
8 5 ___
24 3. 1 __
5 3 ___
24 4. 1 __
6 5 5 __
5. __
6 5 2 ___
12
6. 2 __ 5 20 ____
100 7. 9 ___
36 5 1 __
8. ___
36 5 1 __
2 9. ___
15 5 1 __
3 10. __
4 5 11 ___
44
u Mnima expresinEscribe la fraccin en su mnima expresin.
11. 3 __ 6 12. 4 ___
32 13. 5 ___
15 14. 2 ___
10 15. 9 ___
27
16. 4 __ 6 17. 6 ___
10 18. 2 ___
40 19. 5 ___
75 20. 4 ___
16
u Sumar y restar fracciones con igual denominador.Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fraccin en su mnima expresin.
21. 11 ___ 20
2 9 ___ 20
22. 3 __ 8 1 1 __
8 23. 14 ___
15 1 1 ___
15 24. 3 __
4 2 2 __
4 25. 5 __
8 2 3 __
8
26. 9 ___ 12
1 1 ___ 12
27. 9 ___ 10
2 2 ___ 10
28. 9 ___ 20
1 5 ___ 20
29. 3 __ 5 2 1 __
5 30. 1 __
7 1 1 __
7
VOCABULARIO DEL CAPTULO
punto de referencia mnimo comn denominador (m.c.d.)fracciones con distinto denominador
PREPARACIN
punto de referencia Un nmero familiar usado como parmetro de referencia.
mnimo comn denominador (m.c.d.) El mnimo comn mltiplo de dos o ms denominadores.
Captulo 3 41
Aprende
Paso Paso
PROBLEMA El cuerpo humano est compuesto por aproximadamente 3 _ 5 de oxgeno, 1 _ 5 de carbono y
1 __ 10 de hidrgeno. Halla la fraccin del cuerpo humano compuesta por estos elementos.Puedes sumar y restar fracciones con distinto denominador con l