UNIDAD I
Objetivo general.
Al finalizar la unidad el estudiante deberá resolver inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales; reconocer el plano cartesiano e identificar las diferentes ecuaciones de la recta y de la circunferencia con sus respectivas gráficas, así como hallar sus ecuaciones en problemas específicos.
El tema preliminar de los números reales y sus propiedades básicas puede consultarse el la dirección http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/sisnum.html
1. Inecuaciones
Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia biunívoca,
en el sentido de que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto en , y
viceversa, a cada punto le corresponde un único número real. Denotemos con el punto
de la recta correspondiente al número 0. Ubicaremos a la derecha del punto a los número
reales positivos, y a la izquierda los negativos.
Si son números reales y es positivo, se dice que a es mayor que b y se
escribe Esto es equivalente a decir que b es menor que a ( ). Los símbolos > y <
se llaman signos de desigualdad y expresiones como a > b y a < b se denominan
desigualdades.
De esta forma afirmamos que 6 es mayor que 2, es decir 6 > 2, pues 6-2 = 4, que es un
número positivo. Análogamente podemos concluir que 12 es mayor que 5, en símbolos
tenemos que 12 > 5, puesto que 12-5 = 7, y 7 es un número positivo.
La expresión se lee a es menor que b o bien a es igual a b. El símbolo se
interpreta de manera análoga.
Las propiedades que se enuncian a continuación le ayudarán a resolver las inecuaciones que
serán planteadas en este curso.
Propiedades de las desigualdades
Si y entonces
Si y es un número real cualquiera, entonces
Si y entonces
Si y entonces
Si entonces y o y
Si entonces y o y
Similares propiedades se cumplen si empleamos los símbolos o
Una inecuación es una desigualdad en la que intervienen variables y números con las
operaciones aritméticas usuales.
Ejemplos de inecuaciones
1.
2. x -3x 2-x
3.
4. xy + 2 3
Solución de una inecuación
La solución de una inecuación está conformada por todos los números reales para los que la
inecuación cierta.
1.1 Intervalos en la recta real
Como es sabido de todos, resolver la ecuación sobre , significa encontrar
todos los números reales tales que al sustituir en la ecuación la incógnita por dichos
números, se satisface la igualdad, es decir el resultado es cero. Así 1 y 2 conforman la
solución de la ecuación, pues sólo ellos la satisfacen. Verifiquemos a continuación esta
afirmación. Reemplazando la primero por 1 y luego por 2, resulta:
y
Con las inecuaciones en general sucede algo completamente diferente, en el sentido de que
en buena parte de los casos, la solución está conformada por infinitos números reales, por
lo que nos resulta imposible nombrarlos uno por uno. Por ejemplo, si queremos resolver
una inecuación tan sencilla como , por simple inspección nos damos cuenta de que 2
forma parte de la solución pues 2 > 1, podemos decir lo mismo de los números 3,4,5,6,…,
ya que 3 >1, 4 > 1, 5 > 1, 6 > 1,…. Como se observa la solución de la inecuación
consta de infinitos elementos. Debido a la imposibilidad de mencionarlos a todos,
expresaremos la solución en términos de ciertos conjuntos(esta palabra se coloca
subrayada porque establecerá un vínculo con otras páginas que tratarán sobre teoría
de conjuntos) denominados intervalos de la recta real y que son definidos a continuación.
Definición 1.1. Sean a y b números reales tales que . En la siguiente tabla se definen
los diferentes intervalos de la recta real.
Tipo de Intervalo Conjunto de
números reales
Notación
Abierto
Cerrado
Semiabierto por la
derecha
Semiabierto por la
izquierda
Infinito
Infinito
Infinito
Infinito
Infinito
Los números y se denominan extremos del intervalo.
Obsérvese que si el extremo de un intervalo va acompañado de un paréntesis, dicho
extremo no está incluido en el intervalo. Si, por el contrario, un extremo del intervalo lleva
un corchete, dicho extremo si forma parte del intervalo. Según esto, el intervalo semi-
abierto por la derecha , no contiene al número 3, pero si contiene al 4.
Tipos de inecuaciones
Las inecuaciones se clasifican de acuerdo al número de incógnitas y al grado de la
expresión algebraica que interviene en la inecuación.
1.2 Inecuaciones lineales con una incógnita
Son inecuaciones de la forma , , y
Ejemplo 1.2.1 Resolver la inecuación
Solución. Para resolver la inecuación planteada se despeja la variable haciendo uso de las
propiedades enunciadas.
En primer lugar sumamos -4 a ambos lados de la inecuación, obteniéndose
A continuación multiplicamos cada miembro de la inecuación por , resultando
. Entonces , es decir .
Luego la solución está constituida por todos los números reales del intervalo
Ejemplo 1.2.2 Resolver
Solución. Para resolver esta inecuación se agruparán de un sólo lado de ella los múltiplos de
la incógnita Es irrelevante el lado que se elija para tal fin. Para ello sumemos - y 2
ambos lados de la inecuación
Resultando
de donde sumando - a ambos miembros de la inecuación
Por lo tanto la solución es .
1.3 Doble inecuación lineal
Son inecuaciones en las que están presentes dos signos de inecuación.
Ejemplo 1.3.1 Resolver la inecuación .
Solución. Despejaremos la incógnita en el miembro central de la inecuación. Con este fin
sumamos -4 a cada término.
A continuación, para completar e despeje de , multiplicamos los tres miembros por el
número real positivo :
Despejada la incógnita en la parte central de la doble inecuación, podemos decir cual es la
solución.
Así la solución de la inecuación es .
Observación.
El procedimiento seguido para resolver el ejemplo anterior fue posible por el hecho de que
la incógnita sólo aparecía en la parte central de la inecuación, lo que permitió su despeje
con relativa facilidad. Si este no fuera el caso, el procedimiento a seguir se muestra en el
ejemplo 1.3.2.
Ejemplo 1.3.2 Resuelva la inecuación .
Solución. Para determinar la solución se resolverán separadamente las inecuaciones
y , según el procedimiento seguido en el ejemplo 1.1.2 y
luego se intersectan (vínculo con el apéndice de TC) ambas soluciones.
Para resolver esta inecuación agruparemos los términos con de un lado de la desigualdad
y los que no dependen de la incógnita, del otro lado. Para ello sumamos a ambos
miembros y luego sumamos 1.
Para completar el despeje de la , multiplicamos la inecuación por
Es decir la solución de la inecuación es el conjunto de todos los números reales mayores
que 2, es decir el intervalo .
Ejercicios propuestos (vínculo para los ejercicios)
1.4 Inecuaciones cuadráticas con una incógnita
Son inecuaciones en las que intervienen polinomios de grado 2: , con
Ejemplo 1.4.1 Halle la solución de la inecuación .
Solución. Existen diversos métodos para hallar la solución de este tipo de inecuaciones,
nosotros elegimos el que describimos en los pasos mostrados a continuación.
a) Se calculan las raíces del polinomio . Esto puede hacerse por el método
de Ruffuni(vínculo para ver el método) o aplicando la fórmula resolvente
, que permite hallar las raíces de todo polinomio como el
considerado en 1.3. Si aplicamos la fórmula resolvente para hallar las raíces del
polinomio de segundo grado , recordemos lo siguiente:
La letra en la fórmula representa el coeficiente de , por lo que en nuestro caso .
La letra representa el coeficiente de la incógnita , por lo tanto en este
ejemplo. Finalmente la letra es el término independiente de la , así .
Sustituyendo estos valores en la resolvente, obtenemos
de donde tenemos que una de las raíces es
y la otra raíz es
Representamos las raíces calculadas en la recta real y con ellas la dividimos en tres
intervalos: , y como se ve en la siguiente gráfica.
Figura 1.1
b) En cada intervalo se elige un número de manera arbitraria y se evalúa la expresión
cuadrática en cada uno de estos valores, para determinar el signo de dicha expresión
en el respectivo intervalo. De esta forma, tomemos 0 del intervalo y
sustituyámoslo en . Tenemos
Obsérvese que al ser positivo el signo de la cantidad resultante, también será positivo el
signo de cualquier número obtenido mediante la evaluación de este polinomio de segundo
grado en cualquier elemento del intervalo .
A continuación evaluamos en , número perteneciente a , para obtener
Este resultado implica que la función cuadrática mantendrá constante el signo negativo en
el intervalo .
Reiterando el procedimiento para el número 5 en el intervalo , se tiene
Como en los dos intervalos precedentes, el signo positivo del número resultante indica que
se mantiene positiva en el intervalo .
Representamos los resultados obtenidos con respecto a los signos, en la gráfica siguiente
Figura 1.2
Los intervalos solución de la inecuación planteada, serán aquellos en los que la evaluación
de la expresión cuadrática dio como resultado un número positivo. Por lo tanto la solución
es . Observemos que los extremos 3 y 4 de los intervalos no forman parte
de la solución porque son las raíces de la expresión cuadrática y consecuentemente no
satisfacen la desigualdad estricta.
Otro procedimiento para hallar la solución de la desigualdad cuadrática
Dado que y son las raíces de , entonces podemos factorizar el
polinomio como sigue: . Ahora, para que se
requiere que el producto de los dos factores sea positivo, por lo que ambos factores deben
tener el mismo signo, es decir o bien .
Caso 1.
Si , entonces y , por lo que y
simultáneamente. En consecuencia , así la solución parcial dada por
este primer caso es sol1 = .
Caso 2.
Si , entonces y , de donde y
simultáneamente, lo cual quiere decir que = . Así la solución
obtenida para el caso 2 es sol2 = .
Finalmente la solución de la inecuación es la unión de las soluciones parciales 1 y 2.
SolT = sol1 sol2= .
Si en una inecuación cuadrática ninguno de los miembros es cero, se aplicarán las
propiedades de las desigualdades de forma conveniente para anular uno de sus “lados”, y
luego seguir el método descrito.
Ejemplo 1.4.2 Encuentre la solución de la inecuación .
Solución. Primeramente transformaremos en cero uno de los lados de la inecuación
empleando las propiedades adecuadas. Convertiremos en 0 el lado derecho de la
inecuación.
La inecuación resultante es similar a la resuelta en el ejemplo 1.3.1, así que podemos seguir
el procedimiento allí empleado.
a) Calculemos las raíces de . Utilizaremos con esta finalidad la resolvente
, siendo en este ejemplo y . Sustituyendo
estos valores en la fórmula, resulta
=
Así una raíz es y la otra
b) Representamos las raíces calculadas en la recta real, dividiendo con ellas a la recta
en tres intervalos , y .
Tomemos ahora cualquier número en el intervalo , por ejemplo -2. Entonces
En el intervalo elijamos 0; sustituyendo en la fórmula cuadrática obtenemos
Por último, haciendo en , tenemos
Representamos estos resultados en la recta real con la siguiente figura
Figura 1.3
En consecuencia la solución de la inecuación es , pues en este intervalo la
evaluación del polinomio arrojó como resultados números reales negativos o
cero, por lo que se satisface la inecuación .
Ejercicios propuestos (vínculo)
1.5 Inecuaciones de tipo racional con una incógnita
Son inecuaciones de forma donde
son polinomios.
Ejemplo1.5.1 Resolver
Solución. Un método para resolver esta clase de inecuaciones está definido mediante los
pasos que se describen a continuación.
i. Se determinan las raíces del numerador y del denominador de la fracción. Con este fin se
resulten las ecuaciones cuyas soluciones son
respectivamente.
ii. Se construye la gráfica que muestra los signos de la fracción sobre la recta real.
Procediendo como en el ejemplo anterior, se divide la recta real en los intervalos
. Seleccionamos un número en cada intervalo y
evaluamos (1) en cada uno de ellos para conocer el signo de expresión racional
en cada uno de los intervalos mencionados. Eligiendo -1 en y sustituyéndolo en
(1), obtenemos por lo que el signo de la expresión racional
es positivo sobre el intervalo considerado. A continuación tomemos 0 en ,
sustituimos de nuevo para obtener . Este resultado indica que (1) es negativa
en . Finalmente escogemos 1 en . Reemplazando en la fracción la
por 1, resulta . Esto dice que en el intervalo , es
positiva. Expresamos estos resultados en la siguiente gráfica:
Por lo tanto, la solución de la inecuación está constituida por el intervalo en el que la
sustitución dio como resultado un número negativo, es decir el intervalo
Algunas inecuaciones pueden parecer diferentes de los cuatro tipos especificados al
comienzo de esta sección, sin embargo pueden, mediante las adecuadas operaciones
algebraicas, transformarse en inecuaciones similares a las que hemos llamado del tipo
racional. Un ejemplo lo mostramos a continuación.
Ejemplo 1.5.2 Halle la solución de la inecuación
Solución. Para hallar la solución, en primer lugar debemos transformar la inecuación en una
equivalente que tenga la forma ; para ello sumemos -2 a sus dos miembros.
Luego
Una vez que se ha logrado expresar la inecuación inicial como uno de los tipos señalados
en el inicio de la sección, seguimos el procedimiento del ejemplo 1.4.1. Determinamos la
raíz del numerador
, luego de donde
Hallamos ahora la raíz del denominador de la fracción
, por lo que y
Con las raíces obtenidas, dividimos la recta real en tres subintervalos:
y ,98 .
Ahora estudiamos el signo de la fracción en cada uno de estos intervalos.
Tomamos 0 en el intervalo y evaluamos la fracción en él.
Este resultado quiere decir que en el intervalo considerado, la expresión racional sólo toma
valores negativos.
Seleccionemos del intervalo 98,2
1 . Sustituyendo resulta
Del resultado se tiene que la fracción sólo toma valores positivos en el intervalo .
Finalmente escojamos en el intervalo .
Al evaluar obtenemos
Estos resultados con respecto a los signos de la fracción, quedan representados en el
siguiente gráfico
Figura 1.4
Así la solución de la inecuación está dada por aquellos intervalos en los que la evaluación
de la expresión racional que interviene en la inecuación, dio como resultados números
positivos, es decir
Sol =
Vínculo para los ejercicios propuestos
2. Inecuaciones con valor absoluto
Para comenzar definamos que se entiende por el valor absoluto de un número real.
Definición 2.1. El valor absoluto de un número real se denota y se define como:
Ejemplos.
2.1.1) pues
2.1.2) pues
2.1.3)
2.1.4) porque
2.1.5) pues
2.1.6) debido a que
2.1.7) ya que
2.1.8) puesto que
Propiedades del valor absoluto
Sean y números reales.
1) para todo número real
2)
Ejemplo 2.1.9.
Si , entonces . Por otra parte , resultando
que , como lo afirma la propiedad.
3)
Ejemplo 2.1.10.
Sean 4a y , entonces 2828287.4 ab . Calculando ahora
resulta .Así se cumple la igualdad
, como debía suceder según la propiedad.
4) Si entonces
Ejemplo 2.1.11.
Si y , se tiene que . Por otro lado
. En consecuencia , tal como queríamos verificar.
5) Desigualdad Triangular: .
Ejemplo 2.1.12.
Tomemos y . Calculemos y , y comparemos los resultados.
Primeramente .
Además 20812812812 ba . En conclusión
, como lo garantizaba la desigualdad triangular.
6)
Ejemplo 2.1.13.
Sea . Entonces = y .8648 2 Luego .
7)
8) Sea . ba si y sólo si bab
Ejemplo 2.1.14.
El conjunto de números reales tales que , está integrado por aquellos números que
satisfacen la desigualdad , es decir por los elementos del intervalo abierto
9) Sea .0b si y sólo si .
Ejemplo 2.1.15.
La solución de la inecuación la constituyen los números tales que
en otras palabras, el intervalo cerrado .
10) Si 0b , tenemos que bx si y sólo si o .
La propiedad quiere decir que bx si bx , o , por lo tanto si
.
Ejemplo 2.1.16.
Según la propiedad 10, la solución de la inecuación está formada por los números
reales tales que o . Como los números menores que -9 pertenecen al
intervalo , y los mayores que 9 pertenecen al intervalo , se concluye que la
solución es .
11) Sea . Entonces si y sólo si o ; escrita con notación de
intervalo, la solución es .
A continuación se presentan algunos ejemplos de resolución de inecuaciones con valor
absoluto.
Ejemplo 2.1.17. Resolver
Solución. Lo primero que debe hacerse para resolver la inecuación es aplicar una propiedad
que sea adecuada para eliminar el valor absoluto. Con este fin emplearemos la propiedad 8.
De esta forma resulta 151 2 xx , obteniéndose una inecuación sin valor absoluto,
la cual puede resolverse utilizando los métodos desarrollados para este tipo de inecuaciones
al comienzo de la unidad.
Descomponemos la doble desigualdad en dos inecuaciones:
)i y 152 xx
51 2 xx
Sumamos 1 a ambos miembros de la inecuación
40 2 xx
Calculamos las raíces de la expresión cuadrática, es decir hallamos la solución de
042 xx ,
aacbbx
242
donde 1 ,1 ba y .
Entonces
y
Con estas raíces dividimos la recta real en tres intervalos:
2171, ,
2
171,2
171 y
,2
171.
A continuación determinaremos el signo de en cada uno de estos intervalos. Para
ello evaluemos la fórmula cuadrática en , tomado de
2171, .
2424422 2
Evaluando en 0, número perteneciente a , resulta
Por último seleccionando 3 de
,2
171, obtenemos
De esta forma se han determinado los signos de la expresión cuadrática en cada uno de los
tres intervalos considerados. Los resultados se reflejan en el siguiente gráfico
La solución de la inecuación es sol =
2171,
Resolveremos en lo que sigue la inecuación:
152 xx
El procedimiento es análogo al seguido para hallar la solución de la anterior inecuación.
11152 xx
062 xx
Aplicamos la fórmula resolvente para encontrar las raíces de la expresión cuadrática.
aacbbx
242
, donde y . Sustituyendo estos valores en la
resolvente, tenemos
1.2
6.1.411 2 x =
y
Con estas raíces dividimos la recta real en tres intervalos: y .
Luego evaluemos el polinomio en un número de cada uno de los tres intervalos
mencionados, con el objeto de determinar el signo que toma dicho polinomio en cada
intervalo.
Escojamos -3 de . Entonces
Seleccionamos 0 en . Evaluando resulta
Por último tomamos 4 en . Así
Estos resultados tienen la siguiente interpretación:
El primero implica que el polinomio cuadrático da un valor positivo no sólo al ser evaluado
en -3, sino en todos y cada uno de los números de ; similar interpretación tiene el
resultado con respecto a . Por otra parte, al ser -6 el número obtenido al sustituir x
por 0 en el polinomio de segundo grado, se concluye que el mismo sólo toma valores
negativos en el intervalo . Resumimos este análisis en el siguiente gráfico.
Figura 1.5
Como la inecuación que se está resolviendo, 062 xx ,dice que se quieren hallar
todos los números reales que al sustituirlos por x , el resultado es menor que 0, la solución
es solii = .
Finalmente como la solución de la inecuación inicial, está formada por números que
satisfacen simultáneamente las inecuaciones y , entonces ella se obtiene intersectando
(vínculo con la sección de TC), es decir determinando los elementos que tienen en común
las soluciones obtenidas de forma independiente.
SolT = soli solii=
2171,
Representemos en un mismo gráfico, ambas soluciones. La intersección será la parte en
común de las gráficas de las soluciones.
-2 3
Figura 1.6
Así SolT = .
Ejemplo 2.1.18. Resolver
Solución. Por la propiedad 11 del valor absoluto, tenemos que
si y sólo si )i o )ii
Por lo tanto para resolver la inecuación planteada debemos hallar las soluciones de )i y )ii
y luego unirlas. Ambas desigualdades se resuelven según el procedimiento empleado en los
ejemplos 1.4.1 y 1.4.2. Se deja al estudiante comprobar que la solución de la inecuación
es: soli = 917,7
9 . Observe que el extremo 79 del intervalo no se
incluye en la solución porque es raíz del denominador de la fracción y no existe la división
entre cero, mientras que el extremo mayor se incluye porque es raíz del numerador y
al sustituirlo el cociente es cero, así que para es cierta la desigualdad..
Verifique que la solución de la inecuación )ii es solii = 79,1 . Explique por qué 1 forma
parte de la solución y por qué no forma parte de ella.
Finalmente la propiedad 11 nos dice que la solución de la inecuación con valor absoluto es
está dada por la unión de las dos soluciones parciales obtenidas.
SolT = soli solii = .
Ejercicios propuestos (vínculo para acceder a los ejercicios)
3. Sistema de coordenadas cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de referencia en el plano que permite
localizar puntos en él, mediante pares ordenados de números reales.
Dicho sistema se construye a partir de dos rectas perpendiculares que se intersectan en un
punto denominado origen. Una de las rectas es horizontal y se denomina eje o eje de las
abscisas y la recta vertical es denominada eje Y o de las ordenadas. Se establece una escala
numérica a lo largo del eje X , de manera que los números reales positivos estén ubicados
a la derecha del origen y los negativos a la izquierda. Similarmente se adopta una escala
numérica a lo largo del eje Y , con la cual los números positivos se encuentran encima del
origen y los negativos debajo de él.
Un punto en el plano se representará de forma única en este sistema de coordenadas
mediante un par ordenado de números reales, de la siguiente manera: dado un par ordenado
de números reales ba, , se trazan rectas paralelas a cada uno de los ejes coordenados de tal
forma que una de ellas intersecte al eje en , y la otra al eje en . El punto del plano
que se obtiene por la intersección de ambas rectas tiene coordenadas ba, .
Recíprocamente, dado un punto P en el plano, si se trazan rectas paralelas a los ejes e
que pasen por este punto, y cuyos cortes con tales ejes resulten ser y
respectivamente, el punto del plano tendrá coordenadas .
** En este lugar va un gráfico en el que se muestra como representar un punto en
el plano. Este gráfico debe realizarse con una animación de la siguiente forma: en un
cuadro en el que aparezca un sistema de coordenadas, el estudiante, activando la escena
con un control, debe ver como se trazan las líneas paralelas a los ejes por los puntos x e y,
líneas que al encontrarse determinan el punto P dado, el cual debe ser resaltado. También
debe poder observar, activando otro control, el proceso en sentido inverso, es decir: como
escogiendo al azar un punto P del plano, en el sistema de coordenadas, trazando rectas
paralelas a los ejes por este punto, se determinan sus coordenadas **
A continuación se va formando en pantalla una recta horizontal que pase por el punto
resaltado y que atraviese el eje vertical Y. Cuando en la animación la recta entre en
contacto con el eje Y, ese punto de contacto debe ser resaltado con un color.
Inmediatamente aparecerá la letra s minúscula al lado de este punto, para indicar su
coordenada en este eje. Luego se irá formando una recta vertical que pase por el punto , de
tal forma que atraviese el eje horizontal X,
Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro cuadrantes de tal forma que los signos de
las coordenadas de los puntos que se hallan en cada uno de los cuadrantes son los que se
indican en la siguiente figura.
** En este espacio debe ir un gráfico del plano cartesiano en el los cuadrantes estén
enumerados y se indique el signo de las coordenadas de los puntos en cada cuadrante.**
Ejemplo 3.1.1. Representar los puntos dados a continuación en el sistema de
coordenadas cartesianas.
** Aquí debemos tener un cuadro con un sistema de coordenadas, con una escala
establecida. El estudiante deberá marcar en ese sistema cada una de las coordenadas de
los puntos dados. Una vez que haya hecho esto deberán ir formándose en el plano, las
rectas que determinan estos puntos, cada uno de los cuales deberá ser resaltado **
4. Fórmula de la distancia entre dos puntos
Sean 11 , yxP y puntos en el sistema de coordenadas cartesianas. La
distancia entre los puntos es por definición, la longitud del segmento de
recta que une a dichos puntos, cual se calcula mediante la siguiente fórmula, obtenida a
partir del Teorema de Pitágoras, como se observa en la figura**
**Dibujo de un sistema de coordenadas en el que se representen los puntos P y Q, con sus
respectivas coordenadas en los ejes X e Y, y un triángulo rectángulo en el que el cateto
opuesto sea la diferencia de las ordenadas de los puntos dados, el cateto adyacente sea la
diferencia de las abscisas, siendo la hipotenusa .
Ejemplo 4.1. Calcular la distancia entre los puntos y .
Solución. Al sustituir las coordenadas de los puntos dados, en la fórmula de la distancia,
resulta
212
212 , yyxxQPd
716
7.1616784 49
16169
49413 7
4207 1654
7Q ,
2
22
222
Pd
5 Fórmula del punto medio de un segmento
El punto medio de un segmento de recta con extremos 11 , yxP y 22 , yxQ es el punto
2
,2
y , 2121 yyxxxM
Ejemplo 5.1. Hallar el punto medio del segmento de recta de extremos y
.
Solución.
=
=
Por lo tanto .
6. Rectas en el plano cartesiano
En esta sección estudiaremos las diferentes formas de la ecuación de la recta, el concepto
de pendiente y diferentes formas de determinarla. Para iniciar este estudio se presentan
algunos conceptos preliminares como lo son el de distancia entre dos puntos del plano
cartesiano, punto medio de un segmento de recta.
6.1 Ángulo de inclinación de una recta
El ángulo de inclinación de una recta l es el menor ángulo , , que forma la
recta con la dirección positiva del eje , medido en sentido contrario a la marcha de
las agujas del reloj.
6.2 Pendiente de una recta
Sean l una recta no paralela el eje y 11 , yxP y puntos distintos sobre
ella. El número dado por la igualdad
Se denomina pendiente de l .
Mostramos a continuación otra forma de calcular la pendiente de una recta.
Sea el ángulo de inclinación de una recta l , con 2 , entonces = tan .
La siguiente figura explica esta igualdad.
**GÁRAFICA**
6.3 Posiciones relativas de dos rectas
Teorema 6.3.1 Dos rectas de pendientes respectivamente, son paralelas
si y sólo si , es decir si sus pendientes son iguales.
**GÁFICA**
Teorema 6.3.2 Dos rectas de pendientes respectivamente, son
perpendiculares si y sólo si 1 . 21 mm o equivalentemente
.
Si una recta es paralela al eje , entonces =0 y ; si es paralela al eje entonces
y no está definida la pendiente.
Observación. Toda recta horizontal, dado que , tiene por ecuación donde b,0
es el punto de corte con el eje Y. Por otra parte toda recta vertical está dada por la ecuación
siendo x = a, donde (a, 0) es el punto de corte con el eje X.
Ejemplo 6.3.1. Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos .
Solución. La pendiente de la recta que pasa por los puntos dados, es
313
7803
m
Como vimos, si es el ángulo de inclinación de la recta, entonces tan = , en
consecuencia .
La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así: Si = 0o entonces m= 0
**GRÁFICA DE UNA RECTA HORIZONTAL**
Si 0o < < 90o entonces m > 0 y su gráfica es ascendente
**GRÁFICA DE UNA RECTA CRECIENTE**
Si 90º < < 180o entonces m < 0 y su gráfica es descendente
**GRÁFICA DE UNA RECTA DECRECIENTE**
6.4 Formas de la ecuación de la recta
Si bien por dos puntos del plano pasa una única recta, ésta puede representarse mediante
ecuaciones en apariencia diferentes. Veamos cuáles son estas ecuaciones.
6.4.1 Ecuación punto-pendiente
Si una recta pasa por el punto y tiene pendiente , entonces su ecuación tiene la
forma
Ejemplo 6.4.1.1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2,411. P y cuyo
ángulo de inclinación es .
Solución. Para formar la ecuación 4.4.1 se requiere conocer la pendiente y las coordenadas
de un punto que pertenezca a la recta. Ahora bien, conocido el ángulo de inclinación, se
puede determinar la pendiente de la recta calculando la tangente de este ángulo. Así
. Por lo tanto la ecuación de la recta es
Multiplicando ambos lados de la igualdad por 12, resulta
311342412
12311
3312212
xy
xy
Igualando la ecuación a cero, tenemos
6.4.2. Ecuación pendiente-ordenada en el origen
Si una recta de pendiente corta al eje de las ordenadas en el punto de coordenadas b,0 ,
tiene por ecuación
Esta ecuación puede deducirse sustituyendo el punto de coordenadas b,0 en la ecuación
punto-pendiente 4.4.1.
Ejemplo 6.4.2.1. Determinar la ecuación de la recta cuyo punto de corte con el eje es
y de pendiente -3.
Solución. Como y la ordenada en el origen de la recta es , su ecuación será
, es decir . Rescribiendo la ecuación resulta .
6.4.3. Ecuación simétrica de la recta
La recta cuya intersección con los ejes X e Y, son los puntos , con
, tiene por ecuación
Ejemplo 6.4.3.1. Hallar la ecuación de la recta que corta al eje X en el punto y al eje
Y en el punto .
Solución. Los puntos de corte de la recta con los ejes X e Y, nos indican que
, luego su ecuación es 147
yx
, de donde . Multiplicando
ambos lados de la igualdad por 28, se obtiene , resultando .
Finalmente la ecuación buscada es .
6.4.4. Ecuación general de la recta
La ecuación
0 CByAx
donde son constantes, con no simultáneamente iguales a cero, se
denomina ecuación general de la recta.
Cabe destacar que las ecuaciones finales en cada uno de los ejemplos anteriores, tienen
esta forma.
Note que en la ecuación general, si , la ordenada del punto de corte con el eje Y es
00. CByA
0CBy
CBy
de donde
,
si 0B .
Si , haciendo se obtiene la abscisa del punto de corte de la recta con el eje X.
Por otra parte para determinar la pendiente de la recta a partir de la ecuación general, de
ésta se despeja , para obtener la ecuación pendiente-ordenada en el origen. En esta
ecuación el coeficiente de es precisamente la pendiente de dicha recta. Veámoslo.
0 CByAx
Entonces la pendiente es , si .
Ejemplo 6.4.4.1. Hallar la ecuación de recta que pasa por el punto 5,4 y es paralela a
la recta que pasa por los puntos 1,1 y .
Solución. Sea R la recta que pasa por el punto y cuya ecuación se quiera
determinar. Como R es paralela a la recta L que contiene los puntos y , las
pendientes de R y L son iguales. Sean la pendiente de R y la de L, entonces
.
Sustituyendo este valor en la ecuación punto- pendiente, tenemos
41015 xy
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por 10 para eliminar el denominador, resulta
45010 xy
Así la ecuación pedida es
Ejemplo 6.4.4.2. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto
21,3 y es
perpendicular a la recta .
Solución. Sea R recta que pasa por el punto y cuya ecuación queremos hallar. Sean
la pendiente de R y la de la recta dada. Como las rectas son perpendiculares, sus
pendientes satisfacen la relación m
mR1
, por lo que debemos calcular para obtener
. Con este fin, recordemos que cuando se introdujo la ecuación general de la recta
, vimos que la pendiente estaba dada por . Dado que en este ejemplo
, entonces . Consecuentemente = 2. Luego la
ecuación de la recta buscada es
Multiplicando por 2 ambos lados de la ecuación
Por lo que la ecuación de la recta es
Ejercicios propuestos (vínculo)
7. La circunferencia
En esta sección estudiaremos el concepto de circunferencia y sus ecuaciones canónica y
general. Se considerarán las posiciones relativas entre una circunferencia y ciertas rectas y
se propondrán problemas que contemplen en este contexto.
Definición 7.1. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo del mismo. Este punto fijo, denotado por , se denomina
centro de la circunferencia. La distancia constante , se llama radio.
Elementos de la circunferencia (Tomado de Wikipedia) Existen varias rectas y puntos
especiales en la circunferencia. Un segmento que une dos puntos de la circunferencia se
llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les
llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro
con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos.
Una línea que atraviesa la circunferencia, cortándolo en dos puntos, se llama secante, mientras que una línea que toca a la circunferencia en un sólo punto se denomina tangente. El punto de contacto de la tangente con la circunferencia se llama punto de tangencia. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.
Secantes, cuerdas y tangentes.
7.1. Ecuaciones de la circunferencia
7.1.1 Ecuación ordinaria o canónica.
La circunferencia de centro el punto y de radio , tiene por ecuación
Esta ecuación se obtiene como resultado de la aplicación de la fórmula que permite
calcular la distancia entre dos puntos del plano.
**GRÁFICA**
Ejemplo 7.1.1.1. Hallar la ecuación de la circunferencia que contiene el punto
y cuyo centro es el punto .
Solución. Conociendo el centro de la circunferencia y un punto de ella, se puede
determinar el radio , sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en la ecuación
canónica.
Entonces .
La ecuación de la circunferencia es
Ejemplo 7.1.1.2 Hallar la ecuación de la circunferencia en la que una de las cuerdas
que contiene el centro, tiene por extremos los puntos y .
Solución. Como la cuerda contiene el centro de la circunferencia, éste coincide con el
punto medio de la cuerda. Por lo tanto las coordenadas del centro son las siguientes
Halladas las coordenadas del centro de la circunferencia, podemos calcular el radio
como se hizo en el ejemplo 5.1.1.1, para ello podemos utilizar cualquiera de los dos
puntos dados
Podemos dar la ecuación canónica de la circunferencia
7.1.2. Ecuación general de la circunferencia
La expresión
donde , representa una circunferencia si , y se denomina
ecuación general de la circunferencia. Dado que , dividiendo la ecuación entre esta
cantidad, se obtiene la ecuación equivalente .
A partir de esta última ecuación podemos calcular las coordenadas del centro están
representadas por y el radio está dado por .
Observe que al desarrollar los productos notables en la ecuación canónica se obtiene las
expresiones anteriores.
Ejemplo 7.1.2.1. Reducir la siguiente ecuación a la forma ordinaria de la
circunferencia. Determinar su centro y su radio.
Solución. Para llevar la ecuación a la forma ordinaria se siguen los pasos indicados a
continuación.
a) Si los coeficientes de e son diferentes de 1 e iguales, se divide cada término
de la ecuación dada por tal coeficiente2. En este caso dividimos cada término de la
ecuación entre 2 y se obtiene
b) Se ubica el término constante en el lado derecho de la ecuación. Para ello se debe
sumar a ambos lados de la ecuación . De esta operación resulta la ecuación
equivalente siguiente, agrupando los términos que dependen de la misma variable
c) Completación de cuadrados. Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de , y
el cuadrado de la mitad del coeficiente de en ambos lados de la ecuación obtenida
en el paso anterior. Esto da
d) Rescribir los polinomios en cada paréntesis usando la factorización por trinomio
cuadrado perfecto, con lo que se obtiene
De donde podemos decir que la ecuación dada representa una circunferencia cuyo
centro es el punto y su radio es 4.
En la dirección
http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/circunferencia/inicio_circunferencia.htm
encontrará ejercicios que complementan los temas discutidos en esta sección, por lo que
sugerimos su consulta.
Ejercicios propuestos (vínculo)
UNIDAD II
Objetivos
Definir con precisión el concepto de función
Hallar el dominio y el rango de una función y construir su gráfica
Identificar los diferentes tipos de funciones
Efectuar correctamente la suma, resta, multiplicación, división y composición de
Funciones, precisando sus respectivos dominios.
Determinar si una función es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, par o impar.
Hallar la función inversa
1. FUNCIONES
En esta unidad se establece uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas
como lo es el de función. Nos enfocaremos exclusivamente en las funciones reales de
una variable real, aunque la definición se dará en su sentido más amplio. Se estudia el
dominio, rango y gráfica de una función. Las operaciones básicas con funciones son
abordadas: suma, diferencia, producto, división, composición, cálculo de la función
inversa. Algunas clases especiales de funciones son consideradas.
Definición 1.1. Dados dos conjuntos , una función definida en con valores
en , es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento del conjunto , un único
elemento del conjunto , el cual se denomina imagen de , hecho que simbólicamente
representaremos por . Denotaremos a la función así definida por .
El conjunto se denomina dominio de y se denotará por
El conjunto se llama conjunto de llegada de la función.
El conjunto , o sea el conjunto de todas las
imágenes de la función, de denomina rango, imagen o recorrido de . Se denota por .
**EN ESTE ESPACIO DIBUJAR DOS DIAGRAMAS VENN: UNO QUE NO DEFINA
UNA FUNCIÓN Y EL OTRO SI**
A se le llama variable independiente y a se le llamará variable dependiente.
Si son conjuntos de números reales, se dice que es una función real de una
variable real. Nuestro estudio se dedicará a este tipo de funciones.
Si una función real de una variable real está definida mediante una fórmula, su dominio
será, a menos que se especifique otra cosa, el más grande conjunto de números reales para
los que la fórmula tenga sentido.
1.1 Cálculo del dominio de una función.
Ejemplo 1.1.1 La función real , está definida solamente si . Use este hecho
para hallar el dominio de .
Solución. La sugerencia del ejercicio nos dice que el dominio de está constituido por todos
aquellos número reales para los que la cantidad subradical es no negativa, es decir
Luego, para determinar el dominio debemos resolver la inecuación
Según las propiedades del valor absoluto, la solución de esta inecuación es el conjunto de
tales que , es decir el intervalo .
Entonces .
Ejemplo 1.1.2. Determinar el dominio de .
Solución. Dado que no existe la división entre cero, el dominio de es
Pero . Por lo tanto \ .
Ejemplo 1.1.3. Hallar el dominio de la función .
Solución. Combinando los argumentos de los anteriores ejemplos, tenemos que
Luego
Por lo tanto el dominio de la función dada es .
1.2 Rango de una función.
Ejemplo 1.2.1. Determinar el rango de la función .
Solución. Primeramente observemos que el dominio de es \ . Por otra parte, sea
, entonces existe tal que , es decir
Despejando de esta ecuación en función de tenemos
Como para ningún valor de la última fracción puede valer cero, entonces el rango lo
conforman aquellos números reales para los que el cociente esté definido, es decir el
rango de es
\
Ejemplo 1.2.2 Hallar el rango de la función .
Solución. Comencemos hallando el dominio de la función. Como el denominador de la
fracción debe ser diferente de cero, tendremos
\ .
Sea , entonces existe tal que , es decir
A continuación despejamos en términos de para obtener
Consecuentemente
El rango es entonces
\ .
1.3 Gráfico de una función. El gráfico de una función está conformado por todos los pares
ordenados , donde pertenece al dominio de . El gráfico de una función real de
una variable real, puede ser representado en el plano cartesiano, representando en él cada
uno de los pares ordenados de números reales .
**A continuación se muestran los gráficos de las funciones
**
Cortes con los ejes coordenados.
Si el 0 está en el dominio de y , entonces el punto es la intersección de el
gráfico de con el eje . Si para algún en el dominio de se tiene que , el punto
se denomina intersección del gráfico de con el eje .
Para construir la representación gráfica de una función hallaremos el dominio de la función,
construiremos una tabla de valores y, cuando sea posible, determinaremos loas puntos de
corte con los ejes coordenados.
Ejemplo 1.3.1 Construir el gráfico de la función .
Solución. Para graficar la función dada seguiremos los pasos que se muestran a
continuación.
El dominio de la función es el conjunto de los números reales .
Punto de corte con el eje Y
Para hallar este punto se considera y se calcula su imagen: , por lo
tanto es el puno de corte del gráfico de , con el eje
.
Puntos de corte con el eje X
Estos puntos se obtienen haciendo , por lo que , de donde . Como esta
ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, el gráfico de la función no
tiene puntos de intersección con el eje X.
Tabla de valores
x (x,y)
-2 5
-1 2
1 2
2 5
Seguidamente representaremos en el plano cartesiano los puntos obtenidos del gráfico de
, incluyendo el punto de corte con el eje Y : .
** En este punto se dibuja el sistema de coordenadas cartesianas, representando en él los
puntos obtenidos en la tabla **
La distribución de los puntos en la figura anterior, define un patrón que permite completar
el gráfico de la función dada.
** Aquí se dibuja la gráfica completa de la función **
Ejemplo 1.3.2. Graficar la función .
Solución. Como el índice de la raíz es par, para que la función esté definida en , la
cantidad subradical no puede ser negativa, por lo que el dominio de la función está dado
por aquellos números reales que satisfagan la inecuación cuadrática . Resolviendo
la inecuación, se obtiene .
Punto de corte con el eje Y
Como 0 no está en el dominio de la función, su gráfico no posee punto de corte con el eje Y.
Puntos de corte con el eje X
Como se mostró en el ejemplo 1.3.1, para hallar estos puntos igualamos a cero, y
despejamos . Entonces
Las soluciones de esta ecuación son y . Por lo tanto los puntos de corte con el
eje X, son y .
Tabla de valores
Ubicando estos puntos en el plano cartesiano resulta la siguiente gráfica.
** GRÁFICA DE LA FUNCIÓN**
**Para otros ejemplos se establecerá un vínculo con la página:
http://descartes.cnice.mecd.es/index.htm
Tipos de Funciones
Funciones Algebraicas y Funciones Trascendentes.
Funciones algebraicas. Son aquellas que pueden expresarse mediante un número finito de
sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces de potencias de la variable independiente
.
Las funciones que no son algebraicas se denominan trascendentes.
Las funciones algebraicas y las trascendentes conforman el conjunto de las funciones
elementales.
En la siguiente dirección podrá encontrar un estudio completo de las funciones
trigonométricas, que el cursante de esta materia debe consultar y resolver los problemas allí
planteados.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id19.htm
x
-3 228
-2 3,2
-1 0
1 0
2
3 228
La página http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ContenidoUnidad2.html es de consulta
obligatoria para este curso. En ella se desarrolla el tema de las funciones logarítmicas y
exponenciales, con ejercicios propuestos. Estos temas también pueden ser estudiados en las
páginas que se mencionan a continuación.
En la página web señalada a continuación se encuentra el desarrollo del tema de la
función logarítmica, acorde con los contenidos programáticos de esta asignatura. El
estudiante debe estudiar este contenido y resolver los ejercicios allí sugeridos.
http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funcion_logarimica/Indice_funcion_log.htm
En la página web señalada a continuación se encuentra el desarrollo del tema de la
función exponencial, acorde con los contenidos programáticos de esta asignatura. El
estudiante debe estudiar este contenido y resolver los ejercicios allí sugeridos.
http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/
Indice_funcion_exponencial.htm
En la dirección que sigue usted encontrará una interesante aplicación de las funciones
logarítmicas y exponenciales, en la que se muestran algunos procedimientos para resolver
ecuaciones que involucran este tipo de funciones. Usted debe analizar lo que allí se expone
y realizar los ejercicios propuestos.
http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/
Indice_ecuaciones.htm
Funciones polinómicas. Son funciones de la forma ,
donde es un número entero no negativo, y son constantes. Si el
entero se denomina grado del polinomio.
Evidentemente el dominio de cualquier función polinómica es el conjunto de los números
reales .
i) Si el grado es cero, entonces es una función constante, de rango el conjunto
y cuyo gráfico es una recta horizontal:
**GRÁFICA DE LAFUNCIÓN**
ii) Si el grado es 1, entonces y, de acuerdo con o estudiado en la sección , su
representación gráfica es una recta y la función se denomina afín, la cual corta al eje Y en
y al eje X en . El rango de este tipo de funciones es .
**GRÁFICA EN UN MISMO SISTEMA DE COORDENADAS DE UNA FUNCIÓN
AFÍN CON PENDIENTE POSITIVA Y OTRA CON PENDIENTE NEGATIVA**
iii) Si el grado es 2, la función toma la forma y se dice que es una
función cuadrática, siendo su gráfica la de una parábola. En caso de que la parábola
intersecte al eje X, las abscisas de los puntos de corte están dadas por la fórmula
(1). Para determinar su rango es útil conocer las coordenadas del
vértice de la parábola, las cuales pueden calcularse por completación de cuadrados.
Haciendo esto último se logra rescribir la función cuadrática de la siguiente manera
, donde y . Los valores de obtenidos a
partir de la completación de cuadrados corresponden respectivamente a la abscisa y
ordenada del vértice de la parábola.
Representación gráfica de las funciones cuadráticas.
Sean y las raíces de , obtenidas a partir de la fórmula (1), y
, su discriminante.
Las gráficas de las funciones cuadráticas, dependiendo del signo de y del valor de ,
son las siguientes:
a) Supongamos que
Bajo esta condición la gráfica de la parábola abre hacia arriba, y se tienen tres casos de
acuerdo con el valor del discriminante .
Primer caso.
Si >0, de la fórmula se obtienen dos valores reales, que
representan los puntos de corte de la parábola con el eje . En este caso la gráfica de la
función cuadrática es la siguiente.
**GRÁFICA**
Segundo caso.
Si =0, la fórmula resolvente produce un único número real, este es ,
indicando a la vez el único punto de corte de la gráfica con el eje . Mostramos la
gráfica a continuación.
**GRÁFICA**
Tercer caso.
Por último, si <0, la fórmula resolvente no tiene raíces reales, por lo que la gráfica de
la parábola abre hacia arriba y no tiene puntos de contacto con el eje , resultando su
gráfica la mostrada en la figura dad a continuación.
**GRÁFICA**
b) Si , la gráfica es una parábola que abre en la dirección negativa del eje . Un
análisis análogo al realizado en el apartado , muestra que sólo hay tres posibles
gráficas con esta condición. Éstas son:
**GRÁFICA**
** SE DIBUJAN DE NUEVO TRES PARÁBOLAS: UNA QUE REPRESENTE EL
CASO EN EL QUE <0, OTRA EN EL QUE =0 Y LA ÚLTIMA EN QUE >0**
Funciones radicales
Una función radical es de la fo2rma , donde
y es un número entero positivo. Si es impar el
dominio de es . Por otra parte, si es par, el dominio de lo conforman los
tales que .
Funciones racionales
Una función racional es una función de la forma , donde y son
funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones está constituido por los
números reales tales que .
Funciones definidas a trozos.
Una función de la forma
donde son funciones reales, se denomina función a trozos.
El dominio de es claramente la unión de los conjuntos de números reales , en los
que están definidas cada una de las funciones , con . Es decir .
Naturalmente el rango de es la unión de los rangos de cada una de las funciones ,
con . Simbólicamente .
Ejemplo 1.5.1.3
Sea
Hallar:
a) El dominio de
b) El gráfico de
c) El rango de
Solución.
a) Como afirmamos en la definición de función a trozos, el dominio de esta función es
la unión (vínculo con el apéndice de TC) de los intervalos en los que son válidas
cada una de las funciones cada una de las fórmulas mediante las que se define .
Es decir .
b) El gráfico de se construye por intervalos. En el intervalo se dibuja la
parte del gráfico de la recta correspondiente a este intervalo, para lo cual se
construye la siguiente tabla.
Tabla de valores
** SE DIBUJA EN EL SISTEMA DE COORDENADAS SOLO LA PARTE DE
LA RECTA Y=X+2, QUE CORREPONDE AL INTERVALO **
A continuación de la semi-recta dibujada en el intervalo , se traza el
gráfico de la función cuadrática en su parte correspondiente al intervalo ,
como se ve a continuación
Tabla de valores
** SE DIBUJA EN EL SISTEMA DE COORDENADAS, QUE YA CONTENÍA
LA SEMIRECTA, LA PARTE DE LA PARÁBOLA Y=X2, QUE CORREPONDE
AL INTERVALO **
Finalmente, para completar el gráfico de la función a trozos a partir de los dos
tramos culminados hasta ahora, se dibuja en el intervalo la recta horizontal
de ecuación .
**GRÁFICA CON LOS DOS TRAMOS DIBUJADOS, AGREGÁNDOLE
AHORA LA SIMI RECTA HORIZONTAL Y=4 EN EL INTERVALO **
c) El rango de , según la definición dada, es .
-2 0
0,99 2,99
1 1
2 4
Ejemplo 1.5.1.4
Sea
Hallar:
a) El dominio de
b) El gráfico de
c) El rango de
a) El dominio de es
b) Como en el anterior ejemplo, el gráfico será construido por intervalos. En el
intervalo se dibuja la parte del gráfico de correspondiente a este
intervalo. Con esta finalidad construyamos una tabla de valores.
Tabla de valores
**GRÁFICO SÓLO CON LA PARTE DE
Y=X3 QUE CORRESPONDE A ESTE INTERVALO**
A continuación del segmento de curva dibujado en el intervalo , se traza el
gráfico de la función cuadrática en su parte correspondiente al intervalo .
Tabla de valores
-2 -8
-1 -1
- 21
0 0
** GRÁFICO CON LOS SEGMENTOS DE LAS CURVAS Y=X3 Y Y=X2 EN LOS
INTERVALOS Y RESPECTIVAMENTE.**
Por último, el gráfico de la función a trozos se completa agregándole al dibujo del
gráfico anterior, el de la recta en el intervalo .
Recuerde que para graficar una recta es suficiente con conocer dos puntos de ella.
Tabla de valores
c) Como puede deducirse de el gráfico de , el rango de la restricción de la función
al intervalo , es ; el recorrido de la restricción de al
intervalo , es el intervalo , y el de en el intervalo es .
Así la unión de estos recorridos es el recorrido completo de , esto es
= .
Álgebra de Funciones.
A continuación enfocaremos nuestra atención en las operaciones de suma, resta,
multiplicación y composición de funciones.
Sean dos funciones reales de una variable real con dominios
respectivamente. Se definen las siguientes nuevas funciones, con dominios
:
1 1
2 4
5 5
6 6
de la siguiente manera.
a)
Ejemplo 1.6.1 Sean . Hallar con su dominio.
Solución. En primer lugar observe que \ , luego
( \ ) ( \ )= \ .
Por otra parte, como , tenemos .
b)
Ejemplo 1.6.2 Si , calcular y su dominio.
Solución.
Primeramente determinemos los dominios de las funciones dadas.
\ y \ . Por lo tanto ( \ ) ( \ )= \
. Además .
c)
Ejemplo 1.6.3 Sean , hallar
y su dominio.
Solución. , luego . Sobre este dominio definimos
= .
y por último
d) , con dominio \
Ejemplo 1.6.4 Dadas y . Calcular con su dominio.
Solución.
Como sabemos \ . Así para calcular el dominio de la función
cociente, debemos calcular primero los dominios de las funciones .
\ y \ . Por lo
que ( \ ) ( \ )=. \ . Además como para todo ,
entonces = , en consecuencia ( \ )\ = \ .
Conociendo , hallamos
= = .
A continuación se definirá una operación fundamental entre funciones, denominada
composición de funciones.
1.7 Composición de funciones
Sean funciones. La función definida por se denomina función
compuesta de con . El dominio de está conformado por el conjunto de todos los
elementos en el dominio de , tales que pertenezca al dominio de , en símbolos:
.
**EN ESTE LUGAR SE HACE UNA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES, MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN**
Ejemplo 1.7.1 Sean y . Hallar con sus
respectivos dominios.
Solución.
Analicemos en primer lugar
a) Determinemos los dominios de las funciones .
\ .
.
b) El dominio de está constituido por los en el dominio de , es decir los ,
tales que sus imágenes pertenecen al dominio de , en otras palabras
y . Dado que , restaría determinar para que
valor de es . Con este fin observe que , de donde
, en consecuencia , así , por lo tanto
y .
Como y , se concluye que
\ .
Por otro lado, se tiene
=
Estudiemos a continuación
Como ya hemos determinado los dominios de las funciones dadas, pasemos a calcular el de
la función compuesta. Según la definición, el domino de está conformado por los
números reales en el dominio de la función , es decir los , tales que sus
imágenes pertenecen al dominio de , esto es . Empleando los
métodos vistos en la Unidad I, para resolver inecuaciones del tipo cociente, se obtiene la
solución de la aquí planteada, esta es: . Dado que -2 y 2 no pertenecen a
dicha solución, se tiene que .
Hallemos ahora la fórmula para .
= =
De esta forma .
La página http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/7.3.html complemente apropiadamente
el contenido sobre composición de funciones aquí desarrollado, por lo que el estudiante
debe consultarla y realizar las actividades allí propuestas.
Ejercicio propuesto.
Sean Hallar , con sus respectivos dominios.
1.8 Funciones inyectivas
Definición 1.8.1 Sea Se dice que es una función inyectiva si para todo par de
elementos en el dominio de , con se tiene que . La
definición dada es equivalente a afirmar que si y sólo si . Que una
función sea inyectiva quiere decir que TODOS los elementos del dominio tienen imágenes
diferentes.
Gráficamente puede determinarse que una función es inyectiva, si al trazar cualquier recta
paralela al eje X, ésta corta a la curva a lo sumo en un punto.
**GRÁFICAS CON Y=X3 Y CON Y= X2 PARA MOSTRAR EL CRITERIO**
Ejemplo 1.8.1 Demostrar que la función es inyectiva.
Demostración.
Para probar esto, supongamos que . Si comprobamos a partir de esta
suposición que , habremos demostrado la inyectividad de la función.
Entonces
Luego
Por lo tanto
Consecuentemente es inyectiva.
Ejemplo 1.8.2 Determinar si la función es inyectiva.
Demostración.
Supongamos que
Por lo tanto es una función inyectiva.
Ejemplo 1.8. 3 Determinar si la función es inyectiva.
Respuesta.
Obviamente el dominio de es el conjunto de los números reales. Evaluando en -1 y
en 1, resulta
y
Entonces tenemos que pero , es decir encontramos dos elementos
diferentes en el dominio de la función que tienen la misma imagen, por lo tanto la función
no es inyectiva.
** EN ESTE PUNTO HACER LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN, TRAZANDO
ADEMÁS UNA RECTA HORIZONTAL QUE CORTE AL EJE Y EN 2, SEÑALANDO
LOS PUNTOS DE CORTE DE LA RECTA CON LA CURVA Y LAS ABSCISAS DE
LOS MISMOS**
1.9 Funciones sobreyectivas.
Definición 1.9.1 Sea Se dice que es una función es sobreyectiva, si para todo
existe tal que . En otras palabras una función es sobreyectiva si su
rango coincide con , es decir si .
Gráficamente puede comprobarse que una función es sobreyectiva viendo
que toda recta horizontal corta al gráfico de la función en al menos un punto.
**GRÁFICAS DE Y=X3, Y=X, Y=X2 CON RECTAS HORIZONTALEZ TRAZADAS A
DIFERENTES ALTURAS DEL EJE Y**
1.10 Funciones biyectivas
Definición 1.10.1 Sea Se dice que es una función es biyectiva, si es inyectiva y
sobreyectiva a la vez.
Son ejemplos de funciones biyectivas, las funciones afines , con , es decir
las funciones afines cuyas gráficas no son rectas horizontales, , .
1.11 Función inversa
Definición 1.11.1 Sea una función inyectiva. Definamos una nueva función
(del rango de en su dominio), mediante la siguiente relación: para cada
, si y sólo si . Denominaremos a la función así definida función
inversa de .
Es importante resaltar que esta relación es una función gracias a que es inyectiva.
**EN ESTE PUNTO DEBE IR UNA FUNCIÓN INYECTIVA DEFINIDA MEDIANTE
DIAGRAMAS DE VENN Y SU FUNCIÓN INVERSA DEFINIDA DE IGUAL FORMA.
LUEGO, ACTIVANDO ALGÚN CONTROL, SE LE OFRECERÁN AL ESTUDIANTE
OTRAS OPCIONES PARA QUE RESPONDA (EN EL CUADRO) SOBRE LA
INYECTIVIDAD DE LAS MISMAS**
Es claro de la definición que la función inversa , posee las propiedades:
a) para todo
b) para todo
Ejemplo 1.11.1
En caso de ser posible hallar la inversa de la función .
Solución.
a) Probemos que es inyectiva
Por lo que es inyectiva
b) Calculemos la función inversa
Sea , entonces existe tal que . A partir de esta ecuación se
despejará en términos de para obtener la fórmula de la función inversa, es decir
Entonces . Cambiando la variable por , obtenemos
Ejemplo 1.11.2 Hallar de ser posible la función inversa de
Solución.
a) Probemos que la función es inyectiva
De esta forma probamos que es inyectiva.
b) Hallemos la función inversa
Sea , entonces existe tal que . A partir de esta ecuación se
despejará en términos de para obtener la fórmula de la función inversa.
3x
Entonces . Cambiando la variable por , obtenemos
.
El gráfico de la función inversa se obtiene a partir del de la función , reflejando
este último con respecto a la recta como si se tratara de un espejo. Es decir son
gráficos simétrico con respecto a la recta mencionada.
** FIGURA EN LA QUE SE REPRESENTAN EN UN MISMO SISTEMA DE
COORDENADAS LA GRÁRICA DE LA FUNCIÓN F(X) Y LA DE SU INVERSA,
SIMÉTRICAS CON RESPECT A LA RECTA Y=X**
1.12 Funciones pares e impares
Sea una función tal que si está en su dominio, también - lo está.
Definición 1.12.1
Una función se dice que es par si para todo
El gráfico de una función par es simétrico con respecto al eje Y. Como , el
punto estará en la gráfica si y sólo si el punto lo está.
Ejemplo 1.12.1
Determinar si la función es par.
Respuesta.
. Por lo tanto es par.
** GÁFICA DE LA FUNCIÓN**
Definición 1.12.2
Una función se dice que es impar si para todo
El gráfico de una función impar es simétrico con respecto al origen del sistema de
coordenadas, pues al ser , el punto estará en la gráfica si y sólo si el
punto lo está.
Ejemplo 1.12.1
Determinar si la función es impar.
Respuesta.
, en consecuencia es impar.
** GÁFICA DE LA FUNCIÓN**
Ejemplo 1.12.3
Determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos.
Respuesta.
, por lo que no es par. Además
, consecuentemente no es impar.
** GÁFICA DE LA FUNCIÓN**
UNIDAD III
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
En esta unidad estudiaremos el concepto de límite de una función real de una variable real,
en un punto, sus propiedades, diversas técnicas para su cálculo, algunos tipos de
indeterminaciones, límites en el infinito y, por último el concepto de continuidad.
Objetivos
Afianzar el concepto de límite como un proceso de aproximación
Calcular los límites laterales de una función en un punto
Resolver los diferentes tipos de indeterminaciones utilizando los procedimientos
apropiados para cada caso
Estudiar los límites infinitos
Estudiar los límites al infinito
Determinar la continuidad de una función en un punto y en un conjunto
Estudiar los tipos fundamentales de discontinuidad de una función en un punto
1.Límites
Antes de formular la definición de límite de una función, estudiaremos el comportamiento
de las imágenes de una función particular, cuando los elementos de su dominio se acercan
indefinidamente a un número real dado.
Estimación del límite de una función en un punto usando tablas de valores.
A continuación construiremos tablas de valores de funciones con el fin de que, mediante
ellas, podamos reconocer la tendencia que muestran las imágenes de una función, al
evaluarla en elementos de su dominio muy cercanos a un punto dado , y así darnos una
idea intuitiva de cuál es, en caso de que exista, el límite de la función en el punto
considerado.
Ejemplo 1.1 Estudiar el comportamiento de la función para valores de
próximos a 2.
Observe que si y está suficientemente cerca de 2, entonces su imagen es un
número muy cercano a 3 y, por otra parte si y es muy próximo a 2, entonces
también se mantiene muy cerca de 3. Así basándonos en los resultados arrojados por ambas
tablas de valores, afirmamos que 3 es la tendencia que muestran las imágenes de la función
, cuando la variable independiente toma valores arbitrariamente próximos a
2. Diremos entonces que 3 es el límite de cuando tiende a 2.
** AQUÍ ES CONVENIENTE UNA VENTANA CON UN SISTEMA DE
COORDENADAS DIBUJADO CON LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN. EN EL EJE Y
DEBE ESTAR REPRESENTADO EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN QUE ES 3, Y EN EL
EJE X, DEBE ESTAR MARCADO EL NÚMERO 2. LA LETRA x DEBE ESTAR
MARACADA EN ESTE MISMO EJE, ALGUNAS UNIDADES DESPUES DEL 2. EL
ESTUDIANTE CON EL RATÓN DEBE PODER DESPLAZAR LA x HACIA EL
NÚMERO 2 Y, SIMÚLTANEAMENTE EN LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DEBEN
IR RESALTÁDOSE LOS PUNTOS DE LA GRÁFICA CORRESPONDIENTES A LOS
VALORES QUE VA TOMANDO LA x A MEDIDA QUE SE DESPLAZA SOBRES EL
3 5
5/2 4
21/10 3,2
201/100 3,02
2001/1000 3,002
1 1
3/2 2
19/10 2,8
199/100 2,98
1999/1000 2,998
EJE. AL MISMO TIEMPO EN EL EJE Y, DEBEN IR APARECEINDO LAS
IMÁGENES DE LOS VALORES DE LA VARIABLE x, PARA QUE EL ESTUDIANTE
LITERALMETE VEA QUE ESTAS IMÁGENES SE ACERCAN AL NÚMERO 3 EN EL
EJE Y. SE DEBE PROCEDER DE FORMA ANÁLOGA ACERCANDO LA x AL
NÚMERO 2 EN EL EJE X, PERO POR SU IZQUIERDA.**
Ejemplo 1.2 Estimar el límite de la función cuando tiende a 0.
Tablas de valores
Vemos que si y suficientemente cerca de 0, entonces se aproxima a 1 y si y
está muy cerca de 0, entonces también se aproxima a 1. Una vez que se ha determinado
con claridad que 1 es la tendencia que muestra la función cuando a la variable
independiente se le asignan valores alrededor de 0, arbitrariamente próximos pero
diferentes de él, diremos que 1 es el límite de la función cuando tiende a 0.
Definición de límite 1.1
Sean y . Diremos que la función tiene por límite el número real
cuando tiende al número real , si los valores se pueden aproximar a tanto como se
quiera, eligiendo suficientemente próximo a , tanto por la derecha como por la
izquierda de , pero distinto de él. Esto lo escribiremos simbólicamente
Esta notación se lee: el límite cuando tiende a de es .
-1/2 2
-1/10 1,11
- 1/100 1,01
-1/1000 1,001
-1/10000 1,0001
1/2 0,66
1/10 0,909
1/100 0,99
1/1000 0,999
1/10000 0,9999
Definición formal de límite 1.2
Sean y . Diremos que la función tiene por límite el número real
cuando tiende al número real , si y sólo si, dado existe , dependiente de , tal
que si entonces .
**GRÁFICA EN LA QUE EXPLIQUE EL SIGNIFICADO DE CADA SÍMBOLO EN LA
DEFINICIÓN DE LÍMITE**
Propiedades de los límites.
Si es una constante y y , entonces:
1.
2. Si 2.1
3.
4. , si
5. , siendo una constante
6. Si es un entero positivo,
7. Si es un entero positivo,
8. Si es una función racional y es un punto de su dominio,
. Esta propiedad afirma que para hallar el límite de una
función racional, basta con sustituir el valor de en la función, si
pertenece al dominio de ella.
Ejemplos
1.1
1.2
1.3
=
1.4
1.5
1.6
1.7
=
1.2 Límites laterales
A continuación estudiaremos el comportamiento de una función alrededor de un número
real , considerando valores en el dominio de la función que estén arbitrariamente cerca de
sólo a su derecha o sólo a su izquierda.
Definición de límite por la derecha 1.2.1
Una función se dice que tiene por límite el número real cuando tiende por la
derecha al número real , si dado existe , dependiente de , tal que si
entonces .
.Denotaremos este límite por:
**GRÁFICA CON UNA FUNCIÓN DIBUJADA SOLO PARA LOS x MAYORES QUE
a, CON ESTE NÚMERO Y CON L REPRESENTADOS EN LOS RESPECTIVOS EJES
COORDENADOS**
Definición de límite por la izquierda 1.2.2
Una función se dice que tiene por límite el número real cuando tiende por la
izquierda al número real , si dado existe , dependiente de , tal que si
entonces .
.Denotaremos este límite por:
**GRÁFICA CON UNA FUNCIÓN DIBUJADA SOLO PARA LOS x MENORES QUE
a, CON ESTE NÚMERO Y CON M REPRESENTADOS EN LOS RESPECTIVOS EJES
COORDENADOS**
La proposición que se enuncia a continuación proporciona un criterio que permite
determinar cuando existe el límite de una función en un punto.
Proposición 1.2.1 El límite de una función en un punto existe y es igual a , si y
sólo si ambos límites laterales existen y son iguales a .
Ejemplo 1.2.1 Calcule los límites laterales de la función cuando tiende a 0, y
decir si existe el límite de la función en este punto.
Solución.
Recordemos antes de calcular los límites laterales, la definición de valor absoluto de un
número real: si y si .
Luego
Luego, los límites laterales existe, pero como son diferentes, no existe el límite de la
función en 0.
**GRÁFICA DE LA FUNCIÓN**
Ejemplo 1.2.2 Calcule los límites laterales de la función
cuando tiende a -3, y decir si existe el límite de la función en este punto.
Solución.
Como los límites laterales existen y son iguales a 9, entonces existe el límite de la función
en -3 y es 9, es decir
**GRÁFICA DE LA FUNCIÓN**
Ejemplo 1.2.3 Calcule los límites laterales de la función
cuando tiende a 4, y decir si existe el límite de la función en este punto.
Solución.
Como , entonces
**GRÁFICA DE LA FUNCIÓN**
1.3 Límites infinitos
Comenzaremos el estudio de los límites infinitos, analizando el comportamiento de una
función particular alrededor un punto en , con la finalidad de dar una idea intuitiva de
este concepto.
Estudiaremos el comportamiento de las imágenes de la función , cuando la
variable toma valores muy cercanos a 0. Obsérvese que 0 no pertenece al dominio de la
función.
Para hacer nuestro estudio construyamos una tabla de valores, seleccionando números en
un pequeño entorno de 0. Como entonces es una función par,
por lo que, debido a la simetría de función con respecto al eje Y, basta hacer la tabla sólo
con valores positivitos de la variable independiente .
Como puede observarse en la tabla de valores, a medida que toma valores cada vez más
cercanos a 0, tanto por la derecha como por la izquierda de 0 debido a la paridad de la
función, las respectivas imágenes aumentan indefinidamente. Esto puede observarse en la
siguiente figura.
**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**
La tendencia observada de las imágenes de la función a crecer indefinidamente
conforme se aproxima a 0, la expresaremos diciendo que “ tiende a cuando
tiende a 0”.
Este comportamiento intuitivamente nos dice que dado cualquier número real , por
más grande que éste sea, siempre existirán imágenes de la función arbitrariamente
mayores que , si se toma suficientemente próximo a 0. Esto queda expresado en la
definición dada a continuación.
Definición 1.3.1
Una función tiende a cuando tiende a un número real si para cualquier número
real , existe un tal que si entonces .
Para señalar este hecho emplearemos la notación
**GRÁFICO EN EL QUE SE EXPLIQUE LA DEFINICIÓN**
Por otra parte, si analizamos en la figura ** el comportamiento de las imágenes de la
función , cuando es muy próximo a 0, se observa que dichas imágenes de
disminuyen indefinidamente.
4
1/10 100
1/100 10000
1/1000 1000000
1/10000 100000000
**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**
Resumiremos esta situación diciendo que tiende a cuando tiende a 0.
Este comportamiento de la función entorno a un número real, nos lleva a la siguiente
definición, análoga a la 1.3.1
Definición 1.3.2
Una función tiende a cuando tiende a un número real si para cualquier número
real , existe un tal que si entonces .
Para señalar este hecho emplearemos la notación
**GRÁFICO EN EL QUE SE EXPLIQUE LA DEFINICIÓN**
Observación. Cuando se habla de límite infinito se está incurriendo en un abuso de
lenguaje, pues y no son números reales y, como lo hemos afirmado
reiteradamente, los límites de las funciones reales si lo son. Entonces los símbolos
y , no significan que existe el límite de cuando tiende al
número real , sino que las imágenes de la función disminuyen o aumentan
indefinidamente, sin dirigirse a ningún número real fijo, cuando está próximo a .
Consideremos la función y su gráfico.
**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**
Analizando el comportamiento de la función alrededor de 2, debemos distinguir la
tendencia de las imágenes de la función si de la tendencia de las imágenes si .
En el primer caso, las imágenes disminuyen indefinidamente, y en el segundo caso
aumentan sin detener su crecimiento.
Las definiciones que siguen contemplan estas posibilidades.
Definición 1.3.3
Límite infinito por la derecha
Sean y . Diremos que la función tiende a cuando tiende a un
número real por la derecha, si para cualquier número real , existe un tal que si
entonces .
En símbolos escribimos
** AQUÍ DEBE HABER UN GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CON UNA ASÍNTOTA
VERTICAL QUE CORTE AL EJE X EN a , Y LA FUNCIÓN DEBE ESTAR DIBUJADA
SOLAMENTE A LA DERECHA DE LA ASÍNTOTA Y TENDER A +INFINITO**
Definición 1.3.4
Límite menos infinito por la derecha
Sean y . Diremos que la función tiende a cuando tiende a un
número real por la derecha, si para cualquier número real , existe un tal que si
entonces .
En este caso escribimos
** AQUÍ DEBE HABER UN GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CON UNA ASÍNTOTA
VERTICAL QUE CORTE AL EJE X EN a , Y LA FUNCIÓN DEBE ESTAR DIBUJADA
SOLAMENTE A LA DERECHA DE LA ASÍNTOTA Y TENDER A -INFINITO**
Análogamente se definen los símbolos y .
Siguiendo las definiciones dadas en esta sección, el lector deberá escribir las dos últimas
definiciones.
Según las definiciones establecidas tenemos que
y
Teorema 1.3.1 Sea un entero positivo. Entonces
a)
b)
Teorema 1.3.2
En general, si y , entonces
a)
o
b) y
Ejemplo 1.3.1
Decidir si existe y obtener su valor en caso afirmativo.
Solución.
Veamos si es posible obtener el límite por sustitución directa.
Si sustituimos en la fracción la variable por 2, obtendríamos como resultado en el
numerador 2+2 = 4, mientras que en el denominador resultaría 22-2-2 = 0. Según el teorema
1.3.2, este límite es infinito. Analicemos los límites laterales.
Para facilitar este análisis, factorizamos el polinomio del denominador.
Entonces
i)
Si , entonces , por lo tanto y por valores positivos.
Por otra parte, como , entonces >0 y , por lo tanto ,
por valores positivos, en consecuencia .
ii)
Si , entonces , por lo tanto (se puede suponer pues se quieren valores
muy cercanos a 2) y de esta forma por valores positivos.
Por otra parte, como , entonces <0 y , por lo tanto
resultando , por valores negativos, en consecuencia
.
Ejemplo 1.3.2
Estudiar
Solución.
Como y , el teorema 1.3.2, dice que este es un límite infinito.
Factoricemos el polinomio
Luego
Estudiemos los límites laterales.
i) , ya que en este caso el factor es positivo y la diferencia es
negativa porque es un número muy pequeño, menor que 1. En consecuencia
.
ii) , ya que el factor es negativo y la diferencia también es
negativa porque es un número negativo. En consecuencia .
Ejemplo 1.3.3
Estudiar
Solución.
Puesto que y , es un límite
infinito.
Factoricemos el denominador
Calculemos los límites laterales.
i)
Estudiamos el signo de cada factor en la fracción.
Como es mayor que -3 pero muy cercano a este número, es negativo. Por otra parte, al
ser , se tiene que 03 x y 02 x , consecuentemente . Así
.
ii)
Nuevamente estudiamos el signo de cada factor.
Evidentemente es negativo.
Como , entonces , de donde ; además es negativo, por lo tanto
. Se concluye que
Ejemplo 1.3.4
Determinar .
Solución.
En consecuencia este límite es del tipo infinito.
Calculemos los límites laterales.
i) , pues numerador y denominador son positivos.
ii) , porque el numerador es positivo y el denominador es negativo.
1.4 Límites al infinito
Para conocer el comportamiento de una función a medida que nos alejamos del origen, ya
sea hacia la derecha o hacia la izquierda, estudiamos los límites al infinito, es decir
determinamos el límite de una función cuando aumenta o disminuye indefinidamente.
Consideremos la función . Analicemos el comportamiento de las imágenes cuando es
positivo y aumenta indefinidamente.
Tabla de valores
Como puede observarse en la tabla de valores, a medida que aumenta, las respectivas
imágenes se hacen cada vez menores. Si continuáramos asignándole valores a la variable
independiente en forma creciente, podemos intuir debido a los resultados obtenidos, que las
imágenes continuarían reduciéndose, es decir acercándose a 0, de manera indefinida. En
otras palabras: para valores arbitrariamente grandes de , la función está cerca de 0.
Expresamos simbólicamente la situación descrita mediante
.
**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN, RESALTANDO CON ALGÚN COLOR LA PARTE
CORRESPONDIENTE AL INTERVALO ESTUDIADO**
Definición 1.4.1
Sea . Diremos que la función tiende al número real cuando tiende a
, si dado existe , dependiente de , tal que si entonces .
100 0,01
1000 0,001
10000 0,0001
100000 0,00001
1000000 0,000001
En este caso escribimos
El anterior símbolo se lee “el límite de cuando tiende a , es .
Es claro en el ejemplo dado con la función , que si se consideran valores de negativos,
de magnitud arbitrariamente grande, también tenderá a 0. Entonces escribiremos en
símbolos .
Definición 1.4.2
Sea . Diremos que la función tiende al número real cuando tiende a
, si dado existe , dependiente de , tal que si entonces .
En este caso escribimos
El anterior símbolo se lee “el límite de cuando tiende a , es .
**GRÁFICO REPRESENTANDO LA SITUACIÓN, INTERPRETANDO EL
SIGNIFICADO DE Y SU RELACIÓN CON **
Teorema 1.4.1
Si es un número racional positivo, entonces
Más aún, si está definida para , entonces
1.5 Límites infinitos cuando
Definición 1.5.1
Decimos que
i) , si dado existe tal que si , entonces
.
ii) , si dado existe tal que si , entonces
.
La parte a) del teorema 1.3.1 de la sección de límites infinitos sigue siendo válida si se
toma .
Proposición 1.5.1
Sea , con y . Entonces
i)
ii) Si es par, entonces
iii) Si es impar, entonces
Ejemplos 1.5.1
1) Calcular
Solución.
Es claro que si , también , por lo que tenemos una fracción cuyo
numerador es constante y el denominador es una expresión que crece indefinidamente, lo
que implica que el cociente decrece indefinidamente a 0, esto es .
2) Calcular
Solución.
Cuando tenemos que , en consecuencia
1.6 Indeterminaciones de la forma .
Sea . Si es una función tal que y , se
dice que presenta una indeterminación de la forma .
Estudiaremos algunos casos de este tipo de indeterminación.
Caso I
Sea una función racional, es decir , donde son funciones
polinómicas, que presenta una indeterminación de la forma en algún punto .
Entonces para eliminar esta indeterminación se factorizan y luego se
simplifican los factores comunes al numerador y al denominador.
Ejemplo 1.6.1 Calcular
Solución.
Verifiquemos en primer lugar que estamos en presencia de una indeterminación de la forma
. Para ello calculemos el límite con tendiendo a 0, tanto del numerado como del
denominador.
y
De esta forma se ha verificado la existencia de una indeterminación de la forma .
Para eliminar esta indeterminación se factorizan tanto el numerador como el denominador.
y
Sustituyendo en la fracción y cancelando los términos semejantes, tenemos
.
Ejemplo 1.6.2 Calcular
Solución.
Para comenzar comprobemos que la función presenta una indeterminación . Con este fin
calculemos:
y .
Una vez comprobada la existencia de la indeterminación, procedemos a factorizar el
numerador y el denominador de la función.
y
A continuación se sustituye la factorización en la fracción y se cancelan los factores
semejantes
.
Ejemplo 1.6.3 Calcular
Solución.
Como
y
,
la función presenta una indeterminación de la forma en 1.
Al igual que en los ejercicios previos, procedemos a factorizar los polinomios involucrados
en el cociente.
Se empleará el método de Ruffini para efectuar la factorización de los polinomios.
Factoricemos
AQUÍ DEBE IR EL MÉTODO DE RUFFINI, PERO NO SE COMO DIBUJAR EL
DIGRAMA EN WORD
Por lo tanto
Ahora se factoriza
NUEVAMENTE NO SE COMO USAR WORD PARA APLICAR EL MÉTODO
Por lo tanto
Así resulta
Caso II
es una función donde al menos una de la funciones o es del tipo
o o .
En este caso para eliminar la indeterminación, se racionaliza el numerador o el
denominador o ambos, dependiendo de cuál de las funciones y tiene uno de los
tipos arriba descritos. Luego se simplifica la fracción resultante de esta operación.
Ejemplo 1.6.4 Hallar en caso de que exista
Solución.
Verificamos que hay una indeterminación en 4.
y .
Racionalizaremos el numerador de la función. Para ello multiplicamos y dividimos la
fracción dada por la conjugada del numerador.
Ejemplo 1.6.5 Calcular
Solución.
Comprobación de la indeterminación en 2:
Una vez probado que la fracción presenta la indeterminación en 2, se procede a
racionalizar tanto el numerador como el denominador de la fracción .
Cancelando términos semejantes
Ejemplo 1.6.6 Calcular
Solución
Verificamos la indeterminación en 4.
Racionalizamos el numerador multiplicando y dividiendo por su conjugada.
Factorizando y simplificando, se obtiene
Caso III
Algunas indeterminaciones de la forma son el resultado de la combinación de diferentes
tipos de funciones, combinación para la cual los métodos descritos no son tan apropiados.
Parte de estas indeterminaciones pueden ser enfrentadas con un método que consiste en
sustituir la variable de la cual depende el límite a calcular, por una nueva variable de tal
forma que la expresión resultante del cambio, adquiera una apariencia más sencilla para el
cálculo.
Ejemplo 1.6.7 Calcular
Solución.
Este límite podría calcularse racionalizando tanto el numerador como el denominador de la
función, recurriendo al método descrito en el caso II; sin embargo esta operación podría
resultar complicada, sobre todo en lo que respecta a la racionalización del denominador.
Por lo tanto, en lugar de este procedimiento se hará un cambio de variable. El objeto de este
cambio será eliminar ambas raíces, la cuadrada y la cúbica. Para ello se sustituirá la
variable por una nueva variable , con un exponente que permita la eliminación
requerida. Con este fin sea , donde el exponente 6 es el mínimo común múltiplo de
los índices 2 y 3 de as raíces.
Una vez efectuado el cambio de variable, antes de continuar con el cálculo del límite, debe
determinarse hacia que valor tenderá la nueva variable. Obsérvese que como , se tiene
, por lo que . Ahora, si tiende a 1, también tiende a 1. Esto implica,
recordando la definición de valor absoluto, que . Por la simetría de la curva
, cualquiera de las dos posibles tendencias de puede emplearse para el cálculo del
límite planteado.
Entonces tendremos
Al llegar a este punto se nos presenta el cálculo del límite de un cociente de polinomios,
que presenta una indeterminación de la forma en 1, la cual según el caso I, se resuelve
factorizando ambos polinomios y cancelando luego los factores semejantes.
Es decir .
1.7 Indeterminaciones de la forma .
Sea . Si es una función tal que y ,
dice que presenta una indeterminación d a forma en .
Nos concentraremos en la resolución de algunos casos de esta indeterminación.
Caso I
Indeterminaciones de la forma en la que tanto el denominador como el numerador de
la función considerada, son funciones polinómicas.
Para calcular este tipo de límites se divide cada término en la fracción por la mayor
potencia de que intervenga en ella, luego se simplifica y se halla el límite.
Ejemplo 1.7.1 Hallar en caso de que exista,
Solución.
Claramente y
Habiendo comprobado la indeterminación , pasamos a calcular el límite dividiendo
cada término de la fracción por la mayor potencia de que interviene en ella, que en este
ejemplo es .
Ejemplo 1.7.2 Calcular
Solución.
Verifiquemos que la función estudiada presenta una indeterminación de la forma .
y
Comprobada la existencia de la indeterminación, calcularemos el límite dividiendo cada
término en la fracción entre , que es la mayor potencia de .
.
Ejemplo 1.7.3 Calcular
Solución.
Comprobación de la indeterminación :
y
Luego
Como el numerador de la fracción tiende a 9 y el denominador a 0, cuando tiende a
, el límite de la función es del tipo infinito. Además al verificar la indeterminación,
mostramos que el numerador toma valores positivos y el denominador negativos cuando
es muy grande, por lo que se concluye que
Los resultados de los tres ejemplos anteriores se pueden generalizar de la siguiente forma.
i) Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del
denominador, el límite de la función racional cuando tiende a infinito, es 0.
ii) Si el grado del numerador es igual al del denominador, el límite de la función
racional cuando tiende a infinito, es el cociente de los coeficientes de la mayor
potencia de en el numerador y de la mayor potencia del denominador.
iii) Si el grado de numerador es mayor que el grado del denominador, el límite de la
función racional cuando tiende a infinito, es infinito.
Caso II
En este caso consideraremos fraccione sen las que el numerador o el denominador, o
ambos, contienen radicales.
Se explicará el procedimiento mediante un ejemplo.
Ejemplo 1.7.4 Hallar
Solución.
Verificación de la indeterminación
Como , entonces claramente .
Por lo tanto la función presenta una indeterminación de la forma en el
infinito.
Para salvar la indeterminación, procederemos como se explica a continuación.
a) se tomará el exponente de la mayor potencia de del polinomio que se encuentra en
la raíz cuadrada, en nuestro ejemplo tal exponente es 2
b) El valor obtenido en a) se dividirá entre el índice de la raíz, que también es 2, por lo
tanto el cociente es 1
c) se comparan los números obtenidos en los pasos a) y b); el que resulte mayor será el
exponente de la potencia de por la que se dividirá tanto el numerador como el
denominador de la fracción. Como los resultados de los dos primeros pasos son
iguales a 1, la potencia que se empleará es .
Es decir .
Ejemplo 1.7.5 Calcular
Solución.
En primer lugar verificamos la existencia de la indeterminación .
Como , entonces
Evidentemente .
Por ser negativo se tiene , luego despejando resulta , por lo
tanto
Otras indeterminaciones aparte de las estudiadas y , son:
Veamos un ejemplo de una indeterminación de la forma .
Ejemplo 1.7.6 Calcular
Solución.
Para eliminar la indeterminación de la forma , multiplicamos y dividimos por
.
resultado debido a que .
1.8 Funciones continuas
En matemáticas el término continuidad tiene casi el mismo significado que en su uso
cotidiano. Dicho de manera informal, una función es continua en un punto , si el
gráfico de la función en no presenta interrupciones, huecos o saltos.
Definición 1.8.1 Continuidad de una función en un punto.
Se dice que una función es continua en un punto de , si satisface las condiciones
siguientes:
1) está definida en , es decir pertenece al dominio de .
2) existe
3)
En la figura ** , se muestran los gráficos de tres funciones discontinuas en un punto , por
tres razones diferentes.
**GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN QUE NO ES CONTINUA EN c PORQUE NO ESTÁ
DEFINIDA EN ESTE PUNTO, OTRO GRÁFICO EN EL QUE FALLA LA
CONTINUIDAD PORQUE NO EXISTE EL LÍMITE, Y OTRO GRÁFICO EN EL QUE
LA CONTINUIDAD FALLA PORQUE EL LÍMITE NO COINCIDE CON EL VALOR
DE LA IMAGEN EN c**
Definición 1.8.2
Una función se dice que es continua en un conjunto de números reales si es continua
en cada punto del conjunto.
Ejemplo 1.8.1 Determinar si la función es continua en 0.
Solución.
Verifiquemos las condiciones que garantizan la continuidad de la función en un punto.
1) El dominio de es porque el denominador de la función no tiene raíces
reales, por lo tanto está definida en 0.
2) Estudiemos la existencia de
3) Calculamos y como , entonces se tiene que ,
por lo tanto es continua en 0.
** GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**
Son funciones continuas en su dominio: las funciones polinómicas, las racionales, las
logarítmicas, las exponenciales, las trigonométricas y sus inversas.
Propiedades de las funciones continuas
Sean y funciones continuas en un punto , entonces:
i) es continua en
ii) es continua en
iii) es continua en , siempre que
Definición 1.8.3
Si una función no es continua en un punto, se dice que es discontinua en él.
Ejemplo 1.8.2 Sea , estudiar la continuidad de la función en
.
Solución.
Verifiquemos las tres condiciones de continuidad
1) , por lo tanto está definida en 2.
2) Para determinar si existe , estudiaremos los límites laterales en 2.
Como los límites laterales existen y ambos son iguales a 4, entonces existe el límite de la
función en 2 y se tiene .
3) Para calcular la imagen de en , debemos tomar en consideración que 2
, lo que implica que la fórmula que debe aplicarse para hallar su imagen es .
Entonces . Como vimos en la parte (2), que , tenemos la igualdad
.
En consecuencia es continua en .
**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**
Ejemplo 1.8.3 Estudiar la continuidad de la función en
.
Solución.
Verifiquemos las tres condiciones de continuidad
1) , por lo tanto está definida en 1
2) Para determinar si existe , estudiaremos los límites laterales en 1.
Los límites laterales existen pero son diferentes, entonces no existe el límite de la función
en 1, por lo que la función es discontinua en este punto.
**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**
Ejemplo 1.8.4 Estudiar la continuidad de la función
en .
Solución.
1) , por lo tanto está definida en -2.
2) Para determinar si existe , estudiaremos los límites laterales en -2.
Los límites laterales existen y son iguales a 8, entonces existe el límite de la función en -2
con .
3) El valor de la función en -2 es , según la definición de en este punto.
Como , no se cumple la tercera condición de continuidad,
consecuentemente es discontinua en .
** GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**
Tipos de discontinuidad
Las discontinuidades de una función en un punto pueden agruparse bajo dos
clasificaciones: discontinuidades evitables y discontinuidades no evitables o esenciales.
a) Discontinuidades evitables.
Una función se dice que tiene una discontinuidad evitable en un punto , si el límite
de la función existe en , pero o no existe.
b) Discontinuidades no evitables o esenciales.
Una función se dice que tiene una discontinuidad no evitable o esencial en un punto ,
si el límite de la función no existe en .
En caso de que la discontinuidad de la función sea evitable, se puede redefinir la función en
, para obtener una función que sea continua en este punto. Si , la forma de
redefinir la función dada es la siguiente:
Ejemplo 1.8.5 Determinar si la función
es continua en .
Solución.
1) , entonces pertenece al dominio de .
2) Para determinar si existe , estudiaremos los límites laterales en 1.
Los límites laterales existen y son iguales a 2, entonces existe el límite de la función en 1
con .
3) El valor de la función en 1 es , según la definición de en este punto.
Como , no se cumple la tercera condición de continuidad,
consecuentemente es discontinua en . Al existir el límite en 1, la discontinuidad
es evitable, por lo tanto se redefinirá la función dada en 1, para obtener una función
que sea continua en este punto. Para efectuar la redefinición, se sustituye 4, que era la
imagen de la función original en 1, por 2 que es el valor del límite calculado.
**GRÁFICOS DE LA FUNCIÓN ORIGIAL Y DE LA NUEVA
FUNCIÓN**
Ejemplo 1.8.6 Estudiar la continuidad de la función en .
Solución.
1) \ . Como -4 no está en el dominio de la función, es discontinua en este
punto.
Verificada la discontinuidad, veamos si es evitable. Para ello comprobemos que existe el
límite en -4.
Como una sola fórmula define a la función tanto a la derecha como a la izquierda de -4, no
es necesario estudiar los límites laterales, como en el caso de las funciones definidas a
trozos. Entonces calculemos .
Obsérvese que y
Por lo que la función racional presenta una indeterminación de la forma . Para eliminar
esta indeterminación factorizamos el numerador y cancelamos los factores semejantes
.
Dado que existe el límite en -4, es posible definirla en este punto para obtener otra función
que sea continua allí. Con este fin a -4 se le asigna como imagen el valor del límite, que es
-8. Así resulta
**GRÁFICOS DE LA FUNCIÓN ORIGIAL Y DE LA NUEVA
FUNCIÓN**
Ejemplo 1.8.7 Estudiar la continuidad de la función
en 2.
Solución.
1) , por lo tanto la función está definida en 2
2) Calculemos, si existe, . Estudiemos los límites laterales.
Como los límites laterales son diferentes, no existe el límite de la función en 2, por lo tanto
no es continua en 2.
La discontinuidad es inevitable por no existir el límite en el punto considerado.
** GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**
APÉNDICE
TEORÍA DE CONJUNTOS
Por un conjunto entendemos cualquier colección de objetos.
Son ejemplos de conjuntos:
(i) el conjunto de todos los números reales positivos(ii) el conjunto de todos los estudiantes de la Sede del Litoral de la USB(iii) el conjunto de todos los países cuyas selecciones nacionales han sido campeonas
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Los objetos que integran un conjunto, se denominan elementos del conjunto.
Notación
Por lo general se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar sus elementos. Si es un conjunto y son sus elementos, escribimos para definir al conjunto . Esta manera de definir al conjunto, nombrando explícitamente cada uno de sus elementos, se denomina definición por extensión. Si un conjunto está definido mediante una propiedad que deben cumplir sus elementos , escribimos , donde “: “ se lee “tal que”. Esta forma de definir un conjunto se denomina definición por comprensión. Así, por ejemplo, el conjunto puede definirse por comprensión como
, siendo el conjunto de los enteros positivos.
Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos
Para señalar el hecho de que un objeto es miembro de un conjunto , se empleará la notación
Indicaremos que el objeto no es miembro de , escribiendo
Ejemplos
1.
2.
3.
Dos conjuntos y son iguales si contienen los mismos elementos, denotándose este hecho por es decir si y solamente si Esto significa que la igualdad de conjuntos no depende de cómo estén definidos los conjuntos, sino de si tienen o no los mismos elementos.
Otra importante noción es la de inclusión de conjuntos.
Sean y conjuntos. Decimos que está incluido en si y solamente si cada elemento de es elemento de , es decir, si entonces . Usaremos la notación para referirnos a esta situación y diremos que es un subconjunto de Obsérvese que todo conjunto es subconjunto de si mismo. Cualquier subconjunto de que sea diferente de , es llamado subconjunto propio de . Así, si es un subconjunto propio de , escribiremos
Ejemplos
1.
2.
3.
La relación no excluye la posibilidad de que . Si ambas relaciones se dan simultáneamente, los conjuntos tienen los mismos elementos y se dice que son iguales, lo cual se denota por . Es decir
si y solamente si y El conjunto vacío
Consideremos el conjunto , es obvio que este conjunto carece de elementos. Un conjunto como el anterior que no contiene elementos es llamado conjunto vacío, y es denotado por Observe que el conjunto es subconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplos
1.
2.
3.
Unión e Intersección de Conjuntos
Consideremos dos conjuntos cualesquiera . Denotamos por al conjunto de todos los objetos que pertenecen simultáneamente a y a . Entonces
=
es llamado intersección de .
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
5.
Cuando = , como en el ejemplo 3, se dice que los conjuntos son disjuntos.
Recuerde los siguientes hechos obvios acerca de la intersección de conjuntos:
i.
ii. Ley conmutativa de la intersección de conjuntos: =
iii.
iv. Si entonces =
Sean dos conjuntos cualesquiera. Se define como el conjunto conformado por todos los elementos que pertenecen al conjunto y todos los que pertenecen al conjunto . El nuevo conjunto es llamado unión de .
Ejemplos
1.
2.
3.
Evidentemente se tienen los siguientes hechos sobre la unión de conjuntos:
i.
ii. Ley conmutativa de la unión de conjuntos: =
iii.
iv. Si entonces =
Otras propiedades importantes de la unión e intersección de conjuntos
i. y
ii.
iii. Leyes asociativas:
iv.
v.
vi.
vii. = si y solamente si
Diferencia y complemento
Consideremos dos conjuntos cualesquiera . Definimos como el conjunto de todos los elementos que están en y no están en B . Esto es
=
es llamado diferencia de .
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
Nótense los siguientes hechos evidentes:
i. ii.
Llamamos conjunto universal al conjunto que contiene a todos los elementos de un espacio particular. Por ejemplo si un conjunto es el de los números racionales, el conjunto universal correspondiente es el conjunto de números reales. Si consideramos separadamente a los estudiantes de las diferentes carreras de TSU de la Sede del Litoral de la USB, el conjunto universal en este caso será la totalidad de los estudiantes de dicha sede. Si es un subconjunto del conjunto universal , se define el complemento de , denotado por , de la siguiente forma:
=
Ejemplos
1. Sea el conjunto de todos los enteros. Sean y B los conjuntos de los enteros pares y de los enteros impares, respectivamente. Entonces = B y = .
2. Sean = y B = . Entonces = B .
Producto Cartesiano
Sean y conjuntos. El producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados tales que . Entonces
=
Ejemplo
Sean y . Entonces
=
Ya que el producto cartesiano está formado por pares ordenados, se tendrá que
si y solo si
Ejercicios Propuestos
1. Expresar por extensión los siguientes conjuntos de números reales
i. iv.
ii. v.
iii. vi.
2. Para los conjuntos dados en el ejercicio 1, obsérvese que . Citar todas las relaciones de inclusión que son válidas entre los conjuntos y
3. Sean . Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qué las otras son falsas).
i. iv.
ii. v.
iii. vi.
4. Resolver el ejercicio 3 si .
5. Dado el conjunto , determinar todos los subconjuntos de .
6. Dados los cuatro conjuntos
Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qué las otras son falsas).
i. iv. vii.
ii. v. viii.
iii. vi. ix.
7. Sean y . Hallar: i.
ii.
8. Dados los conjuntos y . Hallar:
i.
ii.
9. Sean , y Hallar:
i. iv. vii.
ii. v. viii.
iii. vi. ix.
10. Considere los conjuntos , y .
Determinar .
11. Sean , y . Hallar
12. Dados los conjuntos y . Determinar: i.
ii.
Otras actividades del estudiante
Después de cada tema, el estudiante tendrá en la página web conjuntos de alrededor de 10
ejercicios que irá respondiendo en la misma página. A medida que vaya introduciendo sus
resultados, se le indicará si el ejercicio lo resolvió correctamente.
.