MATEMÁTICA
GUÍA DE TRABAJOS
PRÁCTICOS
QUINTO AÑO
Se agradece el aporte de los profesores María Inés Sáinz y Daniel Dacunti
Universidad de Buenos Aires
Instituto Libre de Segunda Enseñanza
Departamento de matemática. ILSE.
1
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTE
1) Se definen las funciones:
1 1 2
2
2 2
2
2
5
x3 3
2 ( 2) si x 1: / ( )
6 8 si x 1
2 2 si 1
: / ( ) 2 si 1 2
log ( ) si 2
log ( 4) si x 3
: / ( ) 11 si x 3
2
x
x xf Df R f x
x x
x
f Df R f x x x
x x
x
f Df R f x
y se pide:
a) Dominio, conjunto de ceros, conjuntos de positividad y negatividad, ecuaciones de las
asíntotas, conjunto imagen y gráfico aproximado de las mismas.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones 2f y 3f .
2) Para cada una de las siguientes funciones definidas de R en R, se pide:
Definir como función partida, determinar conjunto imagen y representar gráficamente
0xsix
0xsixx)x(f1 (Función módulo)
4-2x(x)f2 4-2x-3(x)f3
xx)x(f4 xx)x(f5
3) Hallar el dominio de las siguientes funciones:
Departamento de matemática. ILSE.
2
a) 2xx f(x) 2 b)
2xx
1 g(x)
2
c) x)ln(2x)-ln(2h(x) d))x(sen
1 l(x)
e) 1x k(x) 2 f) 4 22 1)x2(x m(x)
g) 2xx p(x) h) 4 22 1)x2(x
1 q(x)
i) 3
1)(
2
x
xxf j)
2
23
4
43)(
xx
xxxf
k)
2
log( 1)( )
2
xf x
x x
4) Dadas 1x)x(f , 2)1x()x(g y 3 3)1x()x(h se pide:
a) Indicar el dominio de cada una
b) Representarlas gráficamente
c) Contestar y justificar: ¿f = g? ¿f = h?
Departamento de matemática. ILSE.
3
RESPUESTAS:
1) a)
0
1 1 1 1
1
2;0;2;4 2,0 2,4 , 2 0,2 4,
Im ,1 asíntotas no tiene
Df R C f C f C f
f
0
2 2 2 2
2
Im 1; y = 2 asíntotas horizontal.
Df R C f C f R C f
f
0
3 3 3
3 3
, 2 2, 5; 5 , 5 5,3
5, 2 2, 5 3, Im asíntotas verticales 2;
2, asíntota horizontal: 1
Df C f C f
C f f R x
x y
b) 2 2 crece : ; 1 0;2 2; decrece : 1;0 f f
3 3 crece : 2;3 decrece : ; 2 3; f f
2) 1Im 0; ; 2Im 0; ; 3;Im3 ; ;0Im4 ; 5Im ,0
3) a) (-,-2] U [1, +) ; b)(- ,-2)U(1,+ ) ; c)(-2,2) ; d)R-Z ; e){-1,1} ;
f){-1,1} ; g) [1,+ ) ; h) ;i) ; 3 1;1 3; ;j) 1; 2 0;4 ;
k) 1;
Departamento de matemática. ILSE.
4
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2
LÍMITES – CONTINUIDAD
1) A partir de los siguientes gráficos determinar si existe, )(xflímx
, )(xflímx
, )(0
xflímx
a) b)
c)
d)
e)
Departamento de matemática. ILSE.
5
2) Dibujar una función RRf : que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:
a)3
( 2;4) lim ( ) lim ( ) 1 3 (0) ( 2)x x
f f x f x es raiz y f f
b)2
(3; 2) lim ( ) lim ( ) 3 2 (0) (3)x x
f f x f x es raiz y f f
c)1
1 3 sean las unicas raices lim ( ) lim ( ) lim ( ) 2x x x
y f x f x f x
d)1
2 1 sean las unicas raices lim ( ) 2 lim ( ) lim ( )x x x
y f x f x f x
3) Calcular los siguientes límites:
a) 4x
2xlim
22x
b) )1xln(lim
2x
c)
2x
2xlim
2
1x
d) xcos.4
)1x).(2x(lim
2
0x
e)
1x8
xlim
1x f)
xx
xx
0x 22
22lim
g) 1x
1xlim
2
1x
h)
3
2xlimx
i)
1x2
1x x
1xlim
j) 9x
1lim
23x k)
2x
1lim
2x l)
1x
4lim
3x
m) 2x
1xlim
3
1x
n)
x
3lim
0x o)
1x
x2lim
LIMITES INDETERMINADOS
4) Cociente de polinomios
a) 1x
1xlim
21x
b)
xx
x3x2lim
3
2
0x
c)
25x10x
5xlim
25x
d) 2x2x3x
2xx2xlim
23
235
1x
e)
5x10
1x4lim
2
2
1x
f )2xx
5x2x3lim
4
3
1x
g) 16x
4x3xlim
2
2
4x
h)
15x13x3x
5x4xlim
23
2
5x
Departamento de matemática. ILSE.
6
i) )3x).(2x(
x4x4xlim
23
2x
j)
x
a)xa(lim
22
0x
k)
1x
2x22
1x 1x
1xlim
5) Irracionales:
a) 2x
2xlim
2x
b)
1x
x1lim
1x
c) x51
x53lim
4x
d)
x
1x1lim
0x
e)2x
2x32xlim
2x
f) 1x
xxlim
2
1x
g)
5x3
x4lim
2
2
2x
h)
x
x1x1lim
0x
i) 1x
1x3x3lim
1x
j)
23x
1xlim
21x
6) Infinito sobre infinito :
a) 1xx3
1xx2lim
2
2
x
b)
5x
2x3xlim
3
x
c) 5xx
2x3lim
2x
d)
4x
1x2x3lim
3
2
x
e) 6xx
x2xxlim
2
23
x
d)
3923
15lim
2
xx
x
x
7) Dados los siguientes gráficos, determinar los límites que se indican en cada caso:
a) )(´2
xflímx
; )(´2
xflímx
; )(xflímx
; )(xflímx
Departamento de matemática. ILSE.
7
b) xlím f ( x)
0+® ;
xlím f ( x)
0-® ; )(xflím
x ; )(xflím
x
c) x
lím h( x)4-® x
lím h( x)4+®
Departamento de matemática. ILSE.
8
8) Límites laterales:
a)
x
0x 3
1lim
b)
x
0x 3
1lim
c)
x
x 3
1lim
d)
x
x 3
1lim
e) x
x2lim
f) x
x2lim
g) x
1
0x3lim
h) x
1
0x3lim
i) x
1
0x 3
1lim
j) x
1
0x 3
1lim
k) 1x
2lim
1x
l) 1x
2lim
1x m)
x
xlim
0x n)
x
xlim
0x
ñ) 21
lim log 1
x
x o) 21
lim log 1
x
x p) 1
2
2
1lim log 1
xx
q) 1
2
2
1lim log 1
xx r)
2 2
1lim log
2 3
x
x
x s) 1 2
0 3
1lim log
2 3
x x
t)
1
10
1 2
1 3lim
x
x x
9) Hallar, si existen, los límites laterales en los puntos indicados y graficar:
-5
Departamento de matemática. ILSE.
9
a)
0x2
0xx)x(f en x1 = 0
b)
1xx2
1xx4)x(f
2
2
en x1 = 1
c)
1xx1
1x1x
1x2
)x(f 2 en x1 = - 1 en x2 = 0 en x3 = 1
10) Dada la función f xx x
x( )
2 5 14
2 14 , se pide:
a) Indicar su dominio b) Calcular lim f xx7
( ) , lim f xx2
( ) y lim f xx
( )
11) Dada la función f xx x
x( ) log
3
2 2
1, se pide:
a) Indicar su dominio b) Graficarla
c) Calcular lim f xx1
( ) , lim f xx2
( ) y lim f xx
( )
12) a) Graficar las funciones siguientes:
13 3
: / ( ) 2
8 3
x
xf R R f x
x x
Departamento de matemática. ILSE.
10
2
2
2 2 2
: / ( ) 3log 2
2
x x x
g R R g xx x
b) Completar y responder:
lim f xx
3
( ) .......... lim f xx
3
( ) .......... ¿Existe lim f xx3
( ) ?
lim g xx
2
( ) .......... lim g xx
2
( ) .......... ¿Existe lim g xx2
( ) ?
13)
a) Sea : 1 /g R R
1
1
1
11
2
11 < 1
3( )
log ( 1) 5 1
x
x
si xg x
x si x
, se pide:
Calcular si existen 1
( )xlim g x
y ( )xlim g x
.
b) Sea : 3 /h R R
1
2 9
12
13,12 s < 3
3( )1
log 33
x
i xxh x
si xx
, se pide:
Calcular si existen : 3
( )xlim h x
;
3( )
xlim h x
;
3( )
xlim h x
; 4
( )xlim h x
; ( )xlim g x
.
14) Para 5+6x-x
25-x=)x(f
2
2
se pide: a) Determinar Dominio
b) Graficar
c) Calcular límites cuando x tiende a los valores
prohibidos para el dominio
15) Determinar en cada caso el valor de a para que
a) 56x5x
6xxlim
2
2
ax
b)
6x5x
6xxlim
2
2
ax
Departamento de matemática. ILSE.
11
16) Para los posibles valores de a y b, calcular:
a) x+xb
x+axlim
3
23
∞→x b)
x+xb
1+axlim
3
2
∞→x
17) Analizar antes de graficar si las siguientes funciones son continuas. Luego graficar.
a)
x xf ( x)
x x 02
1 2 0ì - + - < <ïïï= íï ³ïïî
b)
x
f ( x) x x
x x
2
1 1
1 1
1
ìï - £ -ïïï= - < <íïï ³ïïî
c)
x x
x xf ( x)
x x
2
1 1
1 1 2
3 2
ì - + < -ïïïï + - £ £= íïï + >ïïî
d)
0xx
1
0xx
)x(f
2
e) 1x
1x)x(f
2
f) 4x
2x3x)x(f
2
2
g)
2x2
2xx
)x(f h)
1xx3
1xx3
)x(f
Departamento de matemática. ILSE.
12
i)
2x
2x
1
2x3
)x(f j)
6x10x2
6x22x
8
2x4
)x(f
f x
x kx t x
kx t x
( )
2 2
2 2
19) Determinar en cada caso el valor de a para que f sea continua. Graficar.
a) f a R f x
ax
x ax
x x
:( , ) / ( )
18
1
2
3
28
b) 2
2
15 2
4: / ( )
3 18 2
4
si x
f f xax x
si xx
c) 3
15 1
4: / ( )
1 1
1 2 2
si x
f f xx a
si xx x
d)
f a R f x
x x
ax
x ax
:( , ) / ( )
1
31 9
159
20) Rededinir, cuando sea posible, las siguientes funciones para que sean contínuas.
Analizar si alguna de ellas presenta asíntotas horizontales o verticales.
18) Sabiendo que f ( ) 3 7 y f ( ) 1 6 , se pide
a) Determinar k y t.
b) ¿Es continua?
c) Graficar.
Departamento de matemática. ILSE.
13
a) x x
f ( x)x
2 2 3
3
- -=
- b)
2 11 3
( ) 43
x
f xx
c) 3x
27x)x(f
3
d)
( x ).( x )f ( x)
x
23 16
4
+ -=
-
e) x3x2x
6x5x)x(f
23
2
f) 3x
3x)x(f
21) a) ¿Es posible redefinir )1(f para que 1x
)1x.(x)x(f
2
sea continua en x = 1?
b) Definir, si es posible, )2(f para que 4x
2x)x(f
2
sea continua en x = 2
22) Propongan, en cada caso, la expresión de una expresión que cumpla simultáneamente
las siguientes condiciones, luego graficar.
a) Presente una discontinuidad en 4x ; 4 4
lim ( ) 5 lim ( ) 5x x
f x f x
b)
lim ( ) 2 lim ( ) (0) 3x x
f x f x f y que presente una
discontinuidad en 2x .
23) Proponga la expresión de una función f con dominio R e imagen R, y que cumpla
2 2lim ( ) 4 lim ( ) 0x x
f x f x
24) Hallar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de cada una
de las siguientes funciones
1x
1x(x)f
2
1
x
x1(x)f
3
2
1x
x(x)f
3
3
3
2
3
4x1
x(x)f
3x
4x)x(f
2
2
5
4x
2x)x(f
2
3
6
Departamento de matemática. ILSE.
14
25) Dada CBxAx
cbxax)x(f
2
2
y la tabla siguiente
a b c A B C
0 1 - 2 1 0 - 1
1 0 - 9 0 1 -3
0 1 2 1 0 - 4
1 0 - 1 0 1 2
Investigar la existencia de asíntotas para los distintos valores de a, b, c, A, B y C.
26) Determinar dominio, asíntotas y graficar:
5
1057)(
2
234
x
xxxxxf
Departamento de matemática. ILSE.
15
RESPUESTAS
1) a)0 ; ; ; b) No existe; ; 0 ; c) 1 ; 1 ; 0 ; d) 0 ;0 ;1 ; e) 1 ; -1; 0
3) a) ½ b) 0 c) 1/3 d) ½ e) 1/3 f) 0 g) h) i) 1 j) k) l) 0 m) 0
n) o)
4) a) ½ b) 2 c) d) 9/7 e) –2/5 f) 11/5 g) 5/8 h) 3/16 i) 0 j) 2a k) 4
5) a) 2 2 ;b) -2 ;c) 3
1 ;d)
2
1 ; e) 0 ; f) 0 ;g) 6 ; h) 1 ; i) 0 ; j) 2
6) a) 2/3 ; b) ;c) 0 ; d) 0 ; e) ; f) 7
5
7) a) ; ; 1 ; 1 ; b) ; ; 0 ; 0 c) x
lím h( x)4
5-®
= - x
lím h( x)4+®
= + ¥
8) a) 1 ; b) 1 ; c) 0 ; d) + ; e) + ;f) 0 ;g) + ; h) 0 ; i) 0 ; j) + ; k) + ; l)
; m) 1 ; n) -1 ñ) ; o)no existe; p)no existe; q) + ; r) ; s) ; t) 0
9) a) 0)(lim0
xfx
;b) 3)(lim1
xfx
; c) No existe )(lim1
xfx
; 0)(lim0
xfx
; No existe
)(lim1
xfx
10) a) 7;2 Dom ; b) 2
23)(
7
xflím
x ; 0)(lim
2
xf
x ;
)(lim xf
x
11) a) 1;2 Dom c) 1)(lim1
xfx
;
)(lim2
xfx
;
)(lim xfx
12) b) 5 ; 5 ; Si ; -1 ;-2 ; No existe
13) a) 1
( ) 1xlím g x
( )xlím g x
b) 3
1( )
6xlim h x
;
3( )
xlim h x
;
3( ) : no existe
xlim h x
; 4
( ) 0xlim h x
; ( )xlim g x
14) a) 1;5 RDom c) 2
5)(lim
5
xf
x ;
)(lim
1xf
x
15) a) 2a ; b) 3a
Departamento de matemática. ILSE.
16
16) a) 0;0; bab
a ; b) 0;;0 bRa
18) a) 3k ; 8t ;
19) a) 2a b) a = 3 c) a = 3 d) 3a
21) a) )1(f 2
1 b) )2(f
4
1
: /g R R
1
1
1
11
2
11 < 1
3
( ) 1 1
log ( 1) 5 1
x
x
si x
g x si x
x si x
24) 1:..;1:..:1 xyOAxVAf
0:..:2 xVAf
1..;1:..:3 yHAxVAf
xyOAxxVAf ..;1;1:..:4
1:..:5 yHAf
xyOAxxVAf :..;2;2:..:6
25) 0..;1;1:..;1
221
yHAxxVA
x
xxf
1:..;3;3:..;3
92
2
2
yHAxxVA
x
xxf
0:..;2:..;2
1
4
223
yHAxVA
xx
xxf
2:..;2:..;2
12
4
xyOAxVA
x
xxf
26) 5;5 RDom ; Discontinuidadese en 5x y en 5x ; No tiene
asíntotas.
Departamento de matemática. ILSE.
17
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3
DERIVADAS
1) Encontrar, aplicando la definición de derivada, la función derivada de
2x3(x)f 21 x)x(f2 con 0x
x
1(x)f3 con 0x 3
4 x(x)f
2) Determinar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Justificar los que son
falsos:
a) Si una función es continua en un punto, entonces es derivable en este punto
b) Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en él.
3) ¿Es derivable la función xf(x) en x = 0? ¿Es continua en todo el dominio? Explicar
porqué.
4) a) ¿Qué tipo de función es la función derivada de una función lineal?
b) ¿Qué tipo de función es la función derivada de una función cuadrática?
REGLAS DE DERIVACIÓN
5) Utilizando las reglas de derivación, obtener la función derivada de:
xx x(x)f 641 x
2 5.e (x)f
xln3
1 (x)f3
1x2
x (x)f
2
4
senxe (x)f x5
x
2x (x)f6
x
7 x.e(x)f 21
8 xx)x(f
2)senx(3x(x)f9
Departamento de matemática. ILSE.
18
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA)
6) Derivar las siguientes funciones compuestas:
x3sen)x(f1 )x(lncos (x)f 22
x21)x(f3 524 )4(x (x)f
4
x
x
5e1
e1(x)f
3 2
6 )xcos(4 (x)f
xscoxsen (x)f 337 1xcos)x(f 2
8
x1)x(f9 x10 e (x)f
x3x11
2
e)x(f x12 6.5)x(f
xsenxxxf 135ln)(13 xxexf x 3254
14 cos21ln3
RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL
7) Determinar la recta tangente y la recta normal a cada una de las siguientes funciones en
los puntos indicados:
a) x2x)x(f 2 , en 1x0
b) x4x)x(f 3 , en 1x0
c) xe)x(f , en 0x0
d) x3x5)x(f 2 , en 1x0
8) De una función real se sabe que su función derivada es 4x3x(x)' f/RR:'f 2 .
Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva que representa f en los puntos de
abscisa 1 y –2.
Departamento de matemática. ILSE.
19
9) Las pendientes de dos tangentes a una parábola son 2)3('f y 3)5('f
a) A cuál de los siguientes intervalos pertenece vx ?
)3;( (3; 5) );5(
b) ¿Puede hallar vx ? ¿Cuál es?
10) El vértice de una parábola es (-3;2). La pendiente de la recta tangente a la parábola en el
punto de abscisa 2 es –3. ¿En qué punto de la parábola, la pendiente de la recta tangente
a ella es –2?. Halle la ecuación de dicha recta
11) Indique en qué punto o puntos del gráfico de 5x6xf(x) 3 , la recta tangente es
horizontal.
12) Indique en qué punto o puntos del gráfico de 17x7x4
1f(x) 4 la recta tangente
forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las abscisas.
13) Demuestre que la recta de ecuación -x y es tangente a la gráfica de la función
x8x6xf(x) 23 . Halle el punto de tangencia.
14) ¿Cuál es la ecuación de la recta normal a 3x
1f(x) en el punto (1; 1)?
15) ¿En qué punto del gráfico de 2x
1 f(x) la tangente al mismo corta al eje x en 3x ?
16) Determine el valor de “a”, tal que los puntos sobre la parábola 2xy de abscisas “a” y
“-a” tengan tangentes perpendiculares entre si. Dar la ecuación de cada recta. Grafique
la parábola y las rectas tangentes
17) Sea 7x142
x7
3
x f(x)
23
.¿En qué puntos la recta tangente tiene pendiente 2?.
Escribir la función de cada recta.
18) La función xxxxf 23 3)( en el punto (2;-2) tiene por recta tangente una recta tal
que corta a f(x) en otro punto. Determinar las coordenadas de dicho punto.
19) Determinar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal al gráfico de
12ln1)( xxxf en el punto de abscisa 1x .
20) Determinar en qué punto o puntos de 5 32)( xxf la recta tangente es vertical.
Departamento de matemática. ILSE.
20
21) Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a 2
)(
x
exf
x
en :
a) 1x ; b) 0x .
22) Determinar a y b sabiendo que la recta tangente al gráfico de
x cosb-x sena)( xf en el punto (0;5) es 52 xy .
23) En qué punto la recta tangente al gráfico de 2ln34)( xxf es 26 xy .
24) Dada kxxxf 23 2)( . Determinar el valor real de k para el cual la recta tangente al
gráfico en el punto de abscisa 10 x pase por el punto 6;0 P
APLICACIONES DE LA DERIVADA
25) Mostrar en qué subconjuntos del dominio, las siguientes funciones son estrictamente
crecientes. Determinar puntos críticos:
a) 5x3 xf(x) 3 b) 23 )3x.(x)x(f
c) 3 3 x12xf(x) d)
1x
3x2f(x)
e)2)3x(
1f(x)
f) 23)( xxxf
26) Hallar los extremos de las siguientes funciones:
a) 2x1
3f(x)
b) x
x
1f(x)
c) 23 x2 xf(x) d) )xln(1 f(x) 2
27) Encontrar los ceros de f. Graficar f ’ y f ’’y determinar a partir de estos gráfico
crecimiento, decrecimiento y concavidad de f. ¿Dónde están los puntos máximos,
mínimos y de inflexión?
a) f(x)= x2x6
1 3 ; b) 23 x2
3x
3
1-f(x) ; c)
3
11x3xx
3
1- =f(x) 23
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21
28) a) Para las siguientes funciones, se pide estudiar: dominio; intersección con los ejes;
intervalos de positividad y negatividad; intervalos de crecimiento y decrecimiento y
extremos relativos.
b)Para las funciones 1 2 3 4 5 6 7f , f , f , f , f , f y f analizar concavidad y puntos de inflexión;
asíntotas. Hacer para cada una un gráfico aproximado.
421 x6x (x)f
1x
1)x(f
22
4x
x2)x(f
2
3
3
354 x53x- (x)f
34
5 x43x (x)f 64x48x12 x(x)f 2346
27x1
x)x(f
x
8 e x(x)f
2
2
39
xf (x)
x
2x10 e (x)f
x
exxf 5
2
2
11
22
12 1 xexxf
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
29) a) Entre todos los rectángulos de área 16, encontrar el que tiene perímetro mínimo.
b) Entre todos los rectángulos de área 50, encontrar al que diagonal mas corta.
c) Con 12 metros de alambre se construyen rectángulos. Hallar las dimensiones del que
tiene área máxima.
d) Con 100 m2 de baldosas se quiere cubrir una superficie rectangular. Hallar las
dimensiones de la que tiene mínimo perímetro.
e) Dividir al número 100 en dos partes cuya suma de cubos sea mínima.
f) Encontrar un número real x, tal que la suma del número y el inverso de su cuadrado,
tenga un valor mínimo.
g) Se tiene una cartulina cuadrada de 4dm de lado, y se quiere hacer una caja recortando
cuadraditos de los extremos, para luego levantar las aletas. ¿Cuál debe ser la medida
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22
del lado del cuadrado que se quiere recortar (en la figura x) para que el volumen de la
caja resulte máximo?
h) Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm., ¿cuál es el de área máxima?
i) Determina el punto de la gráfica de la función f (x) = −x3 + 6x2 − 7x + 5 en el que la
pendiente de la recta tangente es máxima. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en
ese punto?
j) ¿En qué punto del primer cuadrante de la parábola y = 4 - x2 determina la tangente,
junto con los ejes coordenados, un triángulo de área mínima.
k) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3;4) y forma en el primer
cuadrante un triángulo de área máxima.
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23
RESPUESTAS:
2) a) F b) V
3) No. Sí
4) a) Constante b) Lineal
5) 1x6x4)x(f 53'1 x'
2 e5)x(f
x3
1)x(f '
3 2
'4
)1x2(
)1x(x2)x(f
xcose)x(f x'5
2
'6
x
2)x(f
)1x(e)x(f x'7
32
'8
x
2
x)x(f
xxxsenxf cos233'
9
6) )x3cos(3)x(f '1
x
)x(lnsen).xcos(ln2)x(f '
2
x21
1)x(f '
3
42'
4 )4x(x10)x(f
2
3
'
5)1(
2
1
14)(
x
xx
x
x
e
ee
e
exf
3 22
2'6
)x(cos16
)x(sen.x
3
8)x(f
)xcossenx(xcossenx.3)x(f '7 )1x(sen.x2)x(f 2'
8
x12
1)x(f '
9
x2
e)x(f
x'10
)3x2(e)x(f x3x'11
2
x'12 6.6ln.5)x(f
xxx
xsen
xxf cos1
1235
5,
13
xsenxxxx
xexxf x
223
2
542,
14 cos321lncos21
412
3
7) a) 14 xyT , 4
13
4
1 xyN , 3;1P
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24
b) 2 xyT, 4 xyN , 3;1P
c) 1 xyT, 1 xyN , 1;0P
d) 513 xyT,
13
105
13
1 xyN , 8;1P
8) 2 y 14
9) a) 5;3 b)5
19Vx
10)
3
4,
3
1P
3
2x2y
11) 524,2P1 524,2P2
12) 7;2P
13) 3;3P
14) 3
2x
3
1yN
15)
4
1,2P
16) 2
1a
4
1xy
4
1xy
17)
3
85,41P
3
61x2y1
2
53,32P
2
41x2y2
18) 5;1P
19) 3) 44 xyT ; 4
1
4
1 xyN
20) 2;3P
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25
21) a) e
yT
1 Normal: 1x ; b)
2
1
4
1 xyT
2
14 xyN
22) 2a , 5b
23) 4;1P
24) 2k
25) a) R ; b)
,3
7
3, ; c) ),2()2,( ; d) R-{1} ;
e) )3,( f)
3;
2
6
2
6;3 .
Puntos Críticos: a) No tiene; b) 7
3;3;0 xxx ;
c) 2;2;32;0 xxxx ;d) No tiene; e)No tiene ; f) 0;3A ;
0;3B ;
2
3;
2
6C ;
2
3;
2
6D
26) a) Mínimo en 3;0P ; b) No hay extremos relativos ; c) Máximo 0;0P
Mínimo en
27
32;
3
4Q ; d) Mínimo en 0;0P
27) a) 32,32,0C0 ;
3
8;2Máximo ;
3
8;2Mínimo ;Punto de inflexión 0;0
b)
2
9,0C0
;
2
9;3Máximo ; 0;0Mínimo ; Punto de inflexión
4
9;
2
3
c) 321,321,1C0 ;
3
16;1Máximo ;
3
16;3Mínimo ;
Punto de inflexión 0;1
28) 1) Máximos 3;3 fA 3;3 fB ; Mínimo 0;0P
Crece : 3;03; Decrece : ;30;3 ;
Puntos de inflexión 5;1C ; 5;1D
Cóncava hacia abajo: ;11; ; Cóncava hacia arriba 1;1
2) 1;1 RDom ; Máximo 1;0 ;Crece 0;11; ; Decrece 0;11;0
; A. V : 1x 1x ; A. H. 0y . No tiene puntos de inflexión. Cóncava hacia
abajo : 1;1 Cóncava hacia arriba : ;11;
3) 2;2 RDom ; Máximo en 32x ; Mínimo en 32x ;
Crece ;3232; ; Decrece 32;22;22;32
Punto de Inflexión 0;0P
Cóncava hacia arriba ;20;2 ; Cóncava hacia abajo : 2;02;
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26
xyOAxxVA 2:..;2;2:..
4) RDom ; Máximo: 2;1A ; Mínimo: 2;1B ; Crece: 1;1
Decrece: ;21;
5) RDom ; Mínimo: 1;1B ; Crece: ;1 Decrece: 1;
6) RDom ; Mínimos: 64;0 A ;; Crece: ;0 ;Decrece: 0; ; Cóncava
hacia arriba en todo su dominio
7) RDom ; 0.. yHA ; Máximo
2
1;1P ; Mínimo
2
1;1Q
Crece: 1;1 ; Decrece ;11;
Puntos de inflexión 0;0A ;
4
3;3B ;
4
3;3C
Cóncava hacia arriba : ;30;3 ;
Cóncava hacia arriba : 3;03;
8) RDom ; Máximo:
eP
1;1 ; Crece 1; Decrece ;1
Punto de Inflexión :
2
2;2e
Q ; Cóncava hacia arriba : ;2 ; Cóncava hacia
abajo : 2;
9) 3Dom ; asíntotas: AV x = 3, AO y = x - 1 Mínimo relativo 4 4P ;
Máximo relativo (2;0); Crece 2 4; ; ; Decrece : 2 3 3 4; ;
Cóncava hacia abajo: 3; Cóncava hacia arriba: 3;
10) RDom ; Máximo 1;0P ; Crece : 0; ; Decrece : ;0
; Puntos de inflexión :
2
1
;2
2eA
2
1
;2
2eB
Cóncava hacia arriba
;
2
2
2
2; ; Cóncava hacia abajo :
2
2;
2
2
11) RDom ; Mínimo: 0;0A ; Máximo : 225;5 eB ; Crece : 5;0 ;
Decrece : ;50; ; Puntos de inflexión en 2
251 x
2
252 x ;
Cóncava hacia arriba :
2
25
2
25; ; Cóncava hacia abajo :
2
25;
2
25
12) RDom ; Máximo : 1;0A ; Crece: 0; ; Decrece : ;0 ; Puntos
de inflexión :
2
3
2
5;
2
6eP
2
3
2
5;
2
6eQ ;
Cóncava hacia arriba:
;
2
6
2
6; ;Cóncava hacia abajo:
2
6;
2
6
Departamento de matemática. ILSE.
27
29) a) Cuadrado de lado igual a 4 ;b) 25 ; c) Cuadrado de 1,5 metros ;
d) Cuadrado de 10 metros de lado ; e) 50 y 50 ; f) 3 2 ; g) dmx3
2
h) Equilátero con lados de 10 cm i) 3y 5x j) ;2 3 8
3 3
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
k) y x4
83
= - +
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28
TRABAJO PRÁCTICO Nº 4
INTEGRALES
Dada una función f(x), diremos que otra, F(x) es primitiva de f(x) cuando F’(x) = f(x)
F(x) es primitiva de f(x) F’(x) = f(x)
Ejemplo: 4x4
1)x(F es una primitiva de f(x) = x3 porque F’(x) = f(x)
Observar que 1x4
1)x(F 4 también es una primitiva de f ¿por qué?
¿cuántas primitivas tiene f? ¿por qué?
La operación que permite calcular la función primitiva recibe el nombre de Integración.
Así como cuando vemos el símbolo “+” o “ - ” entendemos que debemos efectuar la
operación suma o la operación resta, la operación integrar también tiene su símbolo
y este es que se interpreta como “ buscar la primitiva de ”.
Propiedades de la integración
a) f g f g b) k f k f. .
Regla de Barrow
b
a
)a(F)b(Fdx)x(f
Tabla de Primitivas
f(x) F(x)
1 x+C
k k.x+C
xn 11
1
nCn
xn
x
1
ln x +C
ex ex+C
sen x - cos x+C
cos x sen x+C
1) Calcular las siguientes primitivas:
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29
a) 8 3x dx b) ( )x x x dx3 52 c) x dx
d) x dx3
e) 2 5 3x x dx.( ) f) 5
xdx
g) 6 7x dx
h)
72x
dx i) 12
7 4xdx
j) ( . )6 9 4e x dxx k) (sen )x x dx 3 l) dxx
2x
3
m) ( cos )5 6 5x x dx n) dx)x2x( 22
o) dxxx
12
2
3
p) dxx
3xx2
q) dx)x1.(x r) dxxx).(xx 23
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
2) Calcular las siguientes primitivas:
a) dx)xcos().x(sen b) dxe.x5x4 c) dx
)xcos(
)x(sen
d) dx)x(sen
)xcos(
5 e) dx)x(sen.x 2 f)
dx
3x2x
)1x(
2
g)
dx
5x
x
2 h)
dx1x
1 i)
dx
x
)xln1( 2
j) dx)1x(x2x 2 k) dx)3x(
x
5
l)
dxx
x
4sen
4cos2
INTEGRACIÓN POR PARTES
Departamento de matemática. ILSE.
30
3) Calcular las siguientes primitivas:
a) dxe.x x b) dx)xcos(.x c) dx)x(sen.x
d) dx)xcos(.x2 e) dx)x(sen.x3 f) dxe.x x2
g) dx)xln(.x h) dx)xln( i) dx)x(sen.ex
j) dx)xcos(.ex k) dxe.x x32 l) dxxx ln5 2
4) Calcular las siguientes integrales definidas:
a) dxx
2
0
b) dxx3
4
1
2
c) dxsenx2
0
d) dxex
3
1
e) dx
2
3x2
1
5) Calcular el área determinada por cada una de las siguientes curvas con el eje de las
abscisas y los límites dados en cada caso, graficar esquemáticamente cada situación.
a) f(x) = 2x + 6 para a = 4 y b = 6 b) f(x) = x2 + 1 para a = 0 y b = 2
c) f(x) = x3 para a = 1 y b = 2 d) f(x) = 3 + 2x - x 2 con el eje de las “x”
e) f(x) = x2 - 6x con el eje de las “x” f) f(x) = 1 + 42x
para a = 1 y b = 2
g) f(x) = (x2 - 1).(x - 3) con el eje de las “x”
6) Graficar y calcular el área de la región limitada por:
a) f(x) = 4x - x2 y g(x) = 2x
b) f(x) = 3x + 2 y g(x) = x3
c) f(x) = x2 + 2 y g(x) = 4
d) 15)( xxf ; 7)( xxg ; el eje x
e) xxf 2)( 4)( xg 0x
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31
f) x
xf1
)( ; xxg 9)( ; 3x
g) xexf )( , xexg )( , 1x , 1x
h) 2)( xxf xxg 2)( 2
)(2x
xh
i) 1)( xxf 1)( xxg 3)( xxh eje x
j) senxxf 3)( , xxg cos3)( , 0x , 2
x
k) xxxf 2)( 3 y 2)( xxg
7) Determinar la primitiva )(xF de xexxf 5)( , que verifique 45
1
F .
8) Sabiendo que 111)(2
3
0
dxxf , obtener 3
0
)( dxxf .
9) Sea 2
4( ) ( 4)
xF x t dt
se pide hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los
puntos extremos de F(x).
Departamento de matemática. ILSE.
32
RESPUESTAS
1) a) kx2 4 b) kx2
1x
3
1x
4
1 264 c) kxx3
2
d) kxx4
3 3 e) kx3x3
10 23 f) kxln.5
g) kx
1
6 h) k
x
7 i) k
x7
4
3
j) kx4x2
9e6 2x k) kxx 2
2
3cos
l) kx
1xx
3
2
2 m) kxsenx.5 6
n) kxxx 345
3
4
5
1 o) kx
5
1xx
7
6x3 5323
p) k6x3
2x
5
2x 2
q) kxx
5
2x
2
1 22
r) kxx11
6xx
5
2xx
10
3x
4
1 6 52334
2) a) kxsen2
1 2 b) ke5
1 5x c) k)xln(cos
d) kxsen4
1
4 e) k)xcos(
2
1 2 f) k3x2xln2
1 2
g) k5x 2 h) k1xln i) k)xln1(3
1 3
j) kx2x)x2x(3
1 3 22 k) k4
3)3x(
3
1
)3x(
1
4
l)
kxsen
4
1
4
1
3) a) k)1x(ex b) kxcossenx.x c) ksenxxcos.x
d) ksenx2xcosx2senx.x2 e) k)6x3(senx)x6x(xcos 23
Departamento de matemática. ILSE.
33
f) k)2x2x(e 2x g) k)1xln2(x4
1 2 h) k)1x(lnx
i) k)xcossenx(e2
1 x j) k)xcossenx(e2
1 x
k) k)2x6x9(e27
1 2x3 l) kxxx
x 33
9
1ln
35
4) a) 2 b) 63 c) 4 d) 13 ee e) 12
5) a) 32 b) 3
14 c)
4
15 d)
3
32 e) 36 f) 3 g) 17
6) a) 3
4 ; b)
4
27 ; c) 2
3
8 ; d)
5
108A ; e)
3
2132A
f) 3ln240 A ; g) 42
2 e
eA ; h) 4A ; i) A=3 ; j) 626 A
k) 12
37A
7) 25
961
5
1)( 5 xexF x
8) 4
9) Crece: (-2 ;0) Decrece:
Máximo: A= Mínimos: B= C=