Matemática II Unidad I: Vectores en el Espacio 2015
Unidad I: Vectores en el
EspacioPrimera Práctica Individual
PROBLEMAS RESUELTOS:
129. Las aristas de una paralelepípedo son paralelos a los vectores: ; ;
. Si una de sus diagonales es al vector: . Hallar el volumen del paralelepípedo.
Solución
Interpretación Geométrica
Sean OABCDEFG un paralelepípedo
Sea = ( 1, 0, 0); = (2, 3, 0);
= ( - 4, - 5, - 6)
Forma del volumen del paralelepípedo OABCDEFG:
Cálculo de los vectores , , :
Según gráfico:
Si:
Si:
Si:
Entonces:
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O
X
Y
Z
A
C
F G
DE
B
b
a
c
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Sustituyendo los valores:
Por igualdad de vectores:
Luego: .
Cálculo de :
Cálculo del volumen del paralelepípedo:
Por tanto:
10. Sean todos los vértices del triángulo , y . Hállese la longitud de la mediana trazada desde el vértice .
Solución
Interpretación Geométrica
Hallar la medida
Hallar la distancia
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90. Hallar las coordenadas del vector , si este es ortogonal a los vectores y
y satisface además la condición .
Solución
y
Luego reemplazando en:
50. Dados los vectores , y de , hallar los vectores
; , . es unitario y además es ortogonal al vector
Solución
; y
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Como es ortogonal con , se cumple:
Como es unitario:
Luego:
130. Sean los vectores y tal que , y . Hallar
Solución
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50. Sabiendo que: , , y . Calcular la suma
.
Solución
, ,
130. Dados los puntos , , y . Hallar la mínima distancia entre los segmentos y .
Solución
Interpretación Geométrica
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170) Si , , y son vectores de . Demuestre que:
.
Solución
La expresión se llama triple producto vectorial.
Entonces:
producto mixto
triple producto vectorial
conmutatividad
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ordenado por conmutatividad
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