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Matemáticas, Economía y Scientific Workplace
Félix Martínez de la Rosa Departamento de
Matemáticas. Universidad de Cádiz
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II
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Indice general
0.1. Prólogo ...................................................................................................................... 1
0.2. Ordenes básicas de Scientific WorkPlace.................................................................. 2
0.3. Procesando textos .................................................................................................... 13
0.3.1. Elección de un estilo.................................................................................... 13
0.3.2. Compilado de texto normal......................................................................... 15
0.3.3. Compilado de texto en —TEX..................................................................... 15
0.3.4. Insertando................................................................................................... 16
0.3.5. Marcadores.................................................................................................. 18
0.3.6. Indice de materias....................................................................................... 18
0.3.7. Fórmulas...................................................................................................... 19
I Álgebra 21 1. Matrices 23
2. Sistemas de ecuaciones lineales 33
21.Método de Gauss...................................................................................................... 3422.Método de Leontief................................................................................................... 44
2.2.1. Condición de Hawkins-Simon...................................................................... 49
3. Espacios vectoriales 53
31.Base de un espacio vectorial.................................................................................. .. 56
32.Subespacios vectoriales............................................................................................ 59
4. Diagonalización 65
4.1. Diagonalización ortogonal...................................................................................... ... 78
4.1.1. Formas cuadráticas ....... ... 79
II Cálculo (una variable) 85 5. Sucesiones 87
6. Series 95
61.Criterios de convergencia para series de términos positivos . . . . 96
62.Interés simple y compuesto ..................................................................................... 103
7. Punciones reales de una variable 107
III
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71.Gráficas de funciones reales..................................................................................... 107
72.Función de Costo, de Ingreso y de Beneficio.......................................................... .. 119
73.Punto de equilibrio entre ingresos y gastos.............................................................. 121
74.Oferta y Demanda..................................................................................................... 122
75.Otras gráficas............................................................................................................ 125
76.Polinomios de ajuste.............................................................................................. ... 131
8.Límites y continuidad 135
9.Derivación 145
91.Rectas tangentes................................................................................................... ... 149
92.Razón de cambio....................................................................................................... 153
93. Teoremas sobre funciones derivables ...................................................................... 154
94.Optimización .......... 156
9.41.Extremos relativos..................................................................................... 156
9.42.Extremos absolutos .................................................................................. 165
95.Crecimiento, concavidad, convexidad y puntos de inflexión . . . . 167
96.La diferencial y el Análisis Marginal....................................................................... ... 169
97.Cambio porcentual ........... 173
98.Elasticidad de la demanda........................................................................................ 174
9.8.1. Niveles de elasticidad ................................................................................. 176
99.Polinomios de Taylor ............ 177
910.Series de potencias................................................................................................ 179
9.10.1. Funciones desarrollables ............. 181
911.Iteraciones ... 185
10.1ntegración 189
101.Integrales Indeinidas ........ 189
102.Integrales Deinidas ....... 193
10.21.Cálculo de áreas ...... 196
10.22.Integrales impropias ....... 201
103.Excedente del Consumidor ......... 207
104.Inventario diario promedio ......... 209
105.Valor presente de un flujo de ingresos.................................................................. 210
III Cálculo (dos variables) 217
11. Punciones reales de dos variables 219
11.1. Gráicas de funciones de dos variables ................... 219
11.1.1. Curvas de nivel .......... 222
112.Función de Cobb-Douglas...................................................................................... 223
113.Otras gráicas ...... 226
12. Límites dobles y derivadas 235
121.Límites dobles........................................................................................................ 235122.Derivadas parciales ...... 237
III
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123.Plano tangente ....... 240
124.La diferencial total ........ 242
125.Derivación de funciones compuestas .............. 246
126.Funciones implícitas ......... 249
12.6.1. Cambio compensatorio ........... 252
13. Optimización 255
131.Extremos relativos ........ 255
13.1.1. Matriz Hessiana .......................................................................................... 258
132.Extremos condicionados ......... 263
133.Extremos absolutos ...... 270
14.Ecuaciones diferenciales
275
III
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ÍNDICE GENERAL
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0.1. PRÓLOGO 1
0.1. Prólogo
Hoy en día es difícil encontrar una casa en la que no haya un ordenador dotado de numerososprogramas de utilidad. Nuestros alumnos, por tanto, también disponen de esta herramienta. Esto está
permitiendo que vayan cambiando, progresivamente, los hábitos de estudio y los de enseñanza. Además,
la implantación del espacio europeo en la enseñanza va a exigir un cambio en nuestra forma de enseñar,
y un cambio en el trabajo de los alumnos.
En particular, en las asignaturas de matemáticas este cambio está siendo muy acusado, y
probablemente lo será aún más en el futuro. Los profesores de matemáticas debemos pensar que si el
alumno dispone de programas adecuados, no tiene sentido el estudio de algunas técnicas de cálculo,
tediosas en extremo, que no aportan nada a la comprensión de los conceptos implicados. Por otro lado,
este ahorro de tiempo puede emplearse en mejorar la comprensión de los conceptos, o en la realización
de ejercicios cuyos datos no sea posible manipular sin ayuda de un ordenador.
La herramienta matemática que proponemos como complemento a esta nueva forma de enseñanza
es el programa Scientific WorkPlace. Este programa es un procesador de texto que tiene implementado
un programa de Cálculo, Maple, que le permite efectuar e incorporar, en el mismo texto, las operaciones
deseadas. Esto hace posible que, además de resolver los problemas, el alumno pueda confeccionar sus
apuntes o trabajos con mucha facilidad. Incluso si se desea, pueden obtenerse documentos en Latex con
la misma facilidad. Hay que destacar la sencillez de manejo del programa tanto en el tratamiento de texto
como en la realización de cálculos matemáticos, y la gran calidad de las gráicas.
El presente libro está destinado a los alumnos que cursan la asignatura de Matemáticas
correspondiente al primer curso de los estudios de Económicas y Empresariales. El libro se divide en las
partes: Álgebra y Cálculo en una y dos variables. Las instrucciones necesarias del programa Scientiic
WorkPlace (válidas para cualquier versión del programa), tanto para las matemáticas como para el
procesador de texto, se detallan en la primera parte del libro, antes de empezar la asignatura de
matemáticas.
En los capítulos se van alternando la presentación de los conceptos teóricos (expuestos en forma
breve), la realización de ejercicios resueltos con Scientiic WokPlace y la introducción de conceptos
económicos. En cada capítulo aparecen, en varias ocasiones, tres dibujos: el dibujo £j indica que se va a
introducir
algún concepto matemático o económico; el dibujo indica que se va a introducir una orden
nueva del programa Scientific WokPlace; el dibujo indica que se va a hacer alguna observación
acerca de alguna irregularidad del programa. Por último, señalamos que algunos secciones se
salen de lo que es un curso de matemáticas para la economía, pero las hemos incluido por
encontrarlas interesantes.
CÁDIZ, 2004.
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en la parte superior de la pantalla dentro de la barra Standard:
ÍNDICE GENERAL
0.2. Órdenes básicas de ScientificWorkPlace
Scientific Work Place es un procesador de texto, que tiene implementado un programa de
Cálculo, Maple, que permite efectuar e incorporar, en el mismo texto, las operaciones deseadas.
SWP tiene dos modos de funcionamiento distintos: el modo de inserción de texto y el de
matemáticas. Por defecto, el programa se sitúa en el modo texto. Este modo se distingue porque
aparece el
Pulsando en él se transforma en el símbolo el modo matemático. En la parte inferior de la
pantalla se encuentra la barra de estilo, con la que podemos cambiar el tamaño de la letra,
centrar un párrafo, etc. Nos detendremos en el uso del modo matemático y realizaremos
distintas prácticas, donde desarrollaremos algunas de susposibilidades. Para trabajar con comodidad debemos seleccionar, con la orden View/ Toolbars,
las siguientes barras de herramientas:
Math :
Nx (□)
[□]
2 S jflb
para escribir fracciones, subíndices, superindices, radicales, para introducir las matrices,
funciones o símbolos especiales, llaves, paréntesis, corchetes, dar espacio a las expresiones
matemáticas, etc.
Symbol:
± +4
=? i? -?
3*
contiene las operaciones más comunes de Maple: evaluar, evaluar numéricamente, simpliicar,
expandir, dibujar, deinir funciones, etc.
Para utilizar el método matemático, usamos la ventana Maple y obtenemos una cascada de
posibilidades que iremos desarrollando en sucesivas prácticas.
Nota acerca de las distintas versiones del programa Scientific WorkPlace.
<¡^> La mayoría de las órdenes que utilizaremos en este libro son comunes a las
versiones 3.0 y 4.0 del programa Scientific WorkPlace. En algún caso existe alguna
mínima diferencia que iremos aclarando donde corresponda.
La versión 3.0 dispone del paquete matemático Maple.La versión 4.0 dispone de Maple y de MuPAD. En este libro se ha empleado Maple. Si
M que nos indica que estamos en
cas.
Compute:
8
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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE
disponemos de la versión 4.0, la manera de tener activo Maple es usar las órdenes Tools/
Computation Setup/ Engine Selection, y elegir Maple.
Todas las versiones del programa disponen del comando Help. Este comando dispone
de una enciclopedia donde se desarrollan los principales conceptos matemáticos.
Además, la opción Help/ Search nos permite buscar cualquier palabra que queramos.
Las funciones matemáticas (el seno, coseno, logaritmos,etc.) deben ser escritas
en modo matemático con el nombre con que las reconozca el programa. Por ejemplo el
seno se escribe sin. Sabremos que están bien escritas si al escribirlas se ponen grises. En
la opción
se pueden seleccionar estas funciones.sineos
Para evaluar una expresión, la escribimos en modo matemático, ponemos el cursor
justo al final de dicha expresión y usamos la orden Maple/ Evalúate (Compute/ Evalúate
en la versión 4.0), o
bien pulsamos en
En general la secuencia de órdenes comienza con la palabra Maple en la
versión 3.0, y con la palabra Compute en la versión 4.0.
Para sustituir valores en una expresión se introduce la expresión en un corchete
y se ponen los valores como subíndice. Finalmente se usa la orden Maple/ Evaluate
(Compute/ Evaluate en la versión 4.0) .
Ejercicio 1 Evaluar 3 X 2 + 5(3 - (8 + 0.59))
9
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In x ln
ÍNDICE GENERAL
| Solución
Con la orden Evaluate obtenemos el valor —21. 95
E jercicio 2 Expresar en función de logaritmos neperianos: a) log2 x
b) log10
Solución
a)Con la orden Evaluate obtenemos log2
b)Con la orden Evaluate obtenemos logio xln 2+ln 5 '
E jercicio 3 Expresar 3°54' % 3°7'28"
en radianes. Solución
El símbolo del grado lo tomamos pulsando en o, y lo ponemos como
exponente del 3 mediante] N X | , Para el símbolo del minuto y del
segundo se usa el que está en el teclado bajo el signo de interrogación).
Con la orden Evaluate aplicada a 3°54' obtenemos 77 .
Con la orden Evaluate aplicada 3°7'28"a obtenemos 4Q <50O 71 -1
E jercicio 4 Calcular con la
orden Evaluate: a) \—5\ = 5
b) máx(2, 7) c) mín(5, 8)
") G )
e)
( f )
f) 5!
Solu
ción
a)\ — 5\ = 5 ( las barras verticales en la opción
b)máx(2,7) = 7.
c)mín (5, 8) = 5.
d)(4) =70 ( los números combinatorios están
e)(243) = 8855.
f)5! = 120.
E jercicio 5 Calcular:
a)El producto escalar (2, —1, 4) • (9, 4, —10).
b)El producto vectorial: (2, —1, 4) X (9, 4, —10).
c)El módulo del vector (2, 3, 2).
| Solución
a)El producto escalar es: (2, —1,4) • (9,4, —10) = —26
b)El es: (2, —1,4) X (9,4, —10) = (—6, 56,17).
c)Elmódulo del vector es: ||(2, 3, 2) y = v/17 ( la barra doble se
r i
x.
x =
x
()[]
en
10
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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE
obtiene de
()[] )
E jercicio 6 Calcular la expresión x2 + 2x — 5 para x = 2 % x = 5 |
Solución
Con la orden Evaluate obtenemos:
[x2 + 2x — 5]x=2 = 3 [x2 + 2x — 5]x=5 = 30.
Ejercicio 7 Calcular la expresión x3y2 — 5xy + 8 para x = —3, y = 2.
| Solución
Con la orden Evaluate obtenemos:
— + 8]x=_ 3>y=2 = —
Ejercicio 8 Calcular el valor de la expresión x2 + 2x — 5 en x = b,
menos en x = a.
| Solución
Con la orden Evaluate
obtenemos: [x2 + 2x -
5]x=a = 62 + 26 - a2 -
2a.
Ejercicio 9 Calcular el valor de la expresión cos xy en x = a menos en y
= 6 Solución
Con la orden
Evaluate
obtenemos: [cos
xy]yzb = cos ay —
cos xb.
jfc Si queremos obtener un valor aproximado de unaexpresión,
usamos la orden Evaluate Numerically, o bien I * I
El número de dígitos que aparece en la evaluación numérica
puede cambiarse con la orden Maple/ Setting/ Digits Used in
Display [Compute/ Settings/ General/ Set Document Values en laversión 4.0).
Ejercicio 10 Un valor aproximado de 3 X 2 + 4 + e2 + ln4 es 15.525.
Ejercicio 11 Un valor aproximado de sin xdx es 0. 95645.
Ejercicio 12 Un valor aproximado de eos 2.4 = —0.737 393 715 5
Ejercicio 13 Un valor aproximado de e2 + ln4 con 5 dígitos es 8.
7754.
11
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ÍNDICE GENERAL
Para desarrollar o expandir una expresión usamos la
orden Expand, o bien
E jercicio 14 sin(x + y) = sin x eos y
+ eos x sin y. E jercicio 15 (x + 3)3
= x3 + 9x2 + 27x + 27.
171» i/» i / , \ tan y+tan xEiercicio 1! tanlx + y) = ,—, " , . J v f) 1 —tan y tan x
E jercicio 17 sin 20 = 2 sin 6 eos 6
E jercicio 18 sin(a + b) = sin a eos b + eos a sin b
E jercicio 19 eos 46 = 8 eos4 6 — 8 eos2 6 +1.
E jercicio 20 Q) = 2n2 — 2n'
Con la orden Combine/ Trig Functions, se simplifican las
expresiones trigonométricas.
E jercicio 21 8 eos4 6 — 8 eos2 6 + 1 = eos 46.
E jercicio 22 sin a eos b + eos a sin b = sin (a + b).
E jercicio 23 eos2 6 + 7sin2 6 — ese 6 = —3 eos 26
+ 4 — ese 6.
Con la orden Combine/ Logs, o con Combine/
Exponentials, o con Simplify, se simplifican expresiones con
logaritmos, con exponenciales, etc.
El número e se obtiene escribiendo e en modo matemático. La
unidad imaginaria se obtiene escribiendo i en modo matemático.
E jercicio 24 In a +
In b = ln a6.
E jercicio 25 ln a —
ln b = ln a. E jercicio
26 (2x+y)x = 2(x+yK
E jercicio 27
ex+4e2x~7 = e3x~3.
12
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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE
E jercicio 28 (2 +
3¿)2 = —5 + 12¿.Ejercicio 29 2±f = | + f i.
Ejercicio 30 (2 + 3i) (5 — 4i)2 = 138 — 53i.
Ejercicio 31 re1* = r cos t + ir sin t.
Ejercicio 32 |7 + 8i| = VTT3.
Ejercicio 33 Re(4 + 6i) = 4.
EJercici° 34 Im(^) = b^ — ac4dP .
Ejercicio 35 (a + bi)* = a — ib.
Ejercicio 36 Dada la expresión (r(cos t + i sin t))3, con Expand
obtenemos:
r cos t + 3ir cos t sin t — 3r cos t sin t — ir sin t
Aplicando a la misma expresión la orden Combine/ Trig Functions
obtenemos:
r3 cos 3t + ir3 sin 3t
% con Factor se obtiene:r3 (cos 3t + i sin 3t)
Ejercicio 37 Dado el número complejo 5 + 6i, su módulo % su
argumento son: |5 + 6i| = V6T, y arctan 6 = 0.
876 06.
5
EntoncesVöT (cos 0. 876 06 + i sin 0. 876 06) = 5 + 6i.
fjfc Las órdenes Simplify, Factor y Expand, permiten
simplificar, racionalizar, factorizar y desarrollar polinomios y
fracciones algebraicas.
Ejercicio 38 Con la orden Factor se obtiene
3x2 + 3x 5x2 + 3 _ 46x4 + 9x3 + 83x2 + 21x
+ 21 8x2 + 7 + 2x2 + x + 7 _ (8x2 + 7)
(2x2 + x + 7)
Ejercicio 39 Con la orden Factor se obtiene ^ _
13
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ÍNDICE GENERAL
Ejercicio 40 Con la orden Factor se obtiene g = — j| — JJV^
Ejercicio 41 Con la orden Expand se obtiene
(x + 2)2 (3x + 1) = 3x3 + 13x2 + 16x + 4
Ejercicio 42 —a descomposición en factores de 27x5—54x4+18x3+16x2
—5x—2 es (x — 1)2 (3x — 2)(3x + 1)2.
Ejercicio 43 —a descomposición en factores de x3+y3 es (x + y) (x2 — xy
+ y2) Ejercicio 44 —a descomposición en factores de x5 — y5 es — (y —
x) (y4 + y3x + y2x2 + yx3 + x4) Ejercicio 45 —a descomposición en
factores de 12444 es 223 X 17 X 61. Ejercicio 46 —a descomposición en
factores de 17244 es 2232479.
La orden Polynomials/ Divide, realiza el cociente de dos
polinomios.
Con la orden Polynomials/ Roots, obtenemos las raices de un
polinomio.
Con la orden Polynomials/ Partial Fractions, se descompone
un polinomio en fracciones simples.
Ejercicio 47 —a división 3 X 2+3 x es 3 + 0 2 .%
J 8x2+7 8 8x2+7
Ejercicio 48 —a división 2x+1 es 2 + ^ .
Ejercicio 49 —as raices de 3x3 + 13x2 + 16x + 4 son —
3, —2, —2. Ejercicio 50 —as raices de ax 2 + bx + c son
2a (— b+^ )) - 2a (— b—v/(b2—^))
1Ejercicio 51 —as raices de x3 + x2 — 7x son 0, — ^ + 2v/29, — 2 —2v/29
x + 2
Ejercicio 52 —a descomposición de — enfracciones simples es
(x — 1)(x + 3)2
3 1 3
16 (x — 1) + 4(x + 3)2 — 16 (x + 3)
2Ejercicio 53 La descomposición de 2 2 en
fracciones simples es(x + 1) (x + 1)
1 1 1 -1 + 2x x
2(x + 1)2 + X+1 - 2 x2 + 1 - (x 2 + 1)2
14
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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE
Con la orden Polynomials/ Sort ordenamos las potencias
de un polinomio.
El máximo común divisor de varios números o polinomios es
la función: gcd y el mínimo común múltiplo es: lcm.La orden Solve/ Exact nos permite despejar una vari-
able en una ecuación y resover una ecuación o una inecuación.
La orden Solve/ Numeric nos permite obtener soluciones
aproximadas de una ecuación.
La orden Solve/ Numeric también nos permite seleccionar la
solución de una ecuación que pertenezca a un intervalo, basta
con especificar el intervalo en el que está.
Ejercicio 58 5x 2 + 3x = 1, solución: x = — + V29, x = — J| J — V29.
Ejercicio 59 x2 — 2 = 0, solución: x = V2, x = —V2. Ejercicio 60 x2 — 2
= 0, solución: x = —1. 414 2, x = 1. 414 2.
15
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()[]
73 74 X ="67,Z = — 67,y = — 67
ÍNDICE GENERAL
Ejercicio 61 x2 — 2 = 0,x G (0, 2), solución: x = 1. 4142.
Ejercicio 62 x3 + x2 — 7x,x G (—4, —2), solución x = —3.192 582404.
Ejercicio 63 - + - = 2, solución: x = ,y „ . J x y ' — 1+2y
Ejercicio 64 x2 — 5x + 6 < 0, solución: 2 < x,x < 3. Ejercicio 65 2xr
— > 0, solución: x < — |, 1 < x. Ejercicio 66 |3x + 1| < 1, solución:
— | < x,x < 0.
Los sistemas de ecuaciones se introducen en forma de matriz eligiendo
tantas filas como ecuaciones y una sola
La llave del sistema se obtiene en||_ el lado
izquierdo la línea de puntos para el derecho.
Para resolverlos ponemos el cursor justo al final del sistema y usamos la orden Solve/
Exact o bien Solve/ Numeric.
Ejercicio 67 Resolver
x — 3y + z
= 6 2x + y
+ 5z = 1 3x
+ 4y — z =
8
| Solución
Con la orden Solve/ Exact se obtiene
253 167 'z
Ejercicio 68 Resolver
2x + 2zx
= 0 —2y
+ 2yz = 0
x2 + y2 =
4
| SoluciónCon la orden Solve/ Exact se obtiene:
{x = 0,z = 1,y = 2} , {x = 0,z = 1,y = —2} {y = 0,z =
—1,x = 2} , {y = 0,z = —1,x = —2}
-a resolución directa de los sistemas no lineales presenta problemas. En
ocasiones no se obtienen soluciones o no se obtienen-todas. A veces, para obtener
todas las soluciones de un sistema no lineal, debemos expresar algún coeficiente
en forma decimal y usar la orden Solve/ Exact.
Ejercicio 69 Resolver
pulsando en
columna.eligiendo el corchete para
16
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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE
( x2 + y2
= 5 í x2 -
y2 = 1
| Solución
Con la orden Solve/ Exact no se obtiene solución. Con la orden Solve/ Numeric se
obtiene la solución:
y = -1. 4142,x = 1. 7321
Ejercicio 70 Obtener todas las soluciones de
( x2 + y2
= 5 í x2 -
y2 = 1
| SoluciónEscribimos el sistema en la forma
J x2 + y2 = 5.0
Con la orden Solve/ Exact se obtienen las soluciones:
{x = —1. 7321,y = —1.4142} , {y = —1. 4142,x = 1. 7321} {x = —1. 7321,
y = 1.4142} , {x = 1. 7321,y = 1.4142}
Para obtener una raiz en particular, debemos especiicar el intervalo
donde se encuentra e incorporar este dato en una nueva ila de la matriz en la que
se pone el sistema.
Ejercicio 71 Dado el sistema
x2 + y2 = 5x2 — y2 = 1
obtener la solución que verifique que y G (1, 2).
I
Soluci
ón
Escribimos
x2 +
y2 = 5
x2 - y2
= 1 y
e (1,2)
Con Solve/ Numeric se obtiene la solución:
x = 1. 7321, y = 1.4142
Para asignar valores a una variable o para definir funciones, matrices, etc, se
usa la orden Define/ New Definition (Definitions/
í(«LPara
17
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ÍNDICE GENERAL
New Definition en la versión 4.0) , o bien pulsamos en
asegurarnos que tenemos definido lo que queremos hay usar la orden Define/
Show Definitions (Definitions/ Show Definitions en la
versión 4.0) o bien pulsamos enCon la orden Define/ Clear Definitions (Definitions/ Clear Definitions en la
versión 4.0), podemos eliminar todas las definiciones.
Debemos usar nombres distintos para los distintos objetos que definamos.
Antes de empezar un ejercicio nuevo debemos tener la precaución de borrar las
deiniciones anteriores para que no se produzcan errores.
E jercicio 72 Calcular para a = 4 los valores de las expresiones a3 + 7a % 2a — a2 + I
| Solución |
Definimos a = 4. Aplicando la orden Evaluate a la expresión a3 + 7a se obtiene a3 +
7a = 92. Para la expresión 2a — a2 + I se obtiene 2a — a2 + I = —6.
E jercicio 73 Definir la función f (x) = x2 + 3x — 2, % obtener los valores a) f (2) b) f (f
(2)) c) f(3) — f (2) d) f '(x)
e) f '(—3) f) J f (x) g) ¡2 f (x)
| Solución
a) f (2) = 11« b) f (f (2)) = c) f (x)]2 = 8
d) f '(x) = 2x + 3 e) f '(—3) = 2x — 18
f) J f (x) = 2 x2 — 2x + 1 x3 g) J12 f (x) = 3 x2 — 2x + 2|x3
E jercicio 74 Obtener una tabla de valores de la función f (x) = x2 + 3x — 2, para x = 1,
2, —1, —2.
ISolución Definimos la función /(x) = x2 + 3x — 2. Escribimos
/ x \ 1
2
—1
—2
Con la orden Evaluate se obtiene
/ x2 + 3x — 2 \
V 1
Si escribimos juntas ambas matrices y aplicamos la orden Matrices/ Concatenate,
obtenemos:
/ x \ / — 2 x — 2
1 2 1 2
2 8 , concatenate: 2 8
—1 —4 —1 —4
V —2 / V —4 )
l—2 —4
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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE
Ejercicio 75 Definir las funciones f (x) = x3 % g(x) = 2^r' % realizar las operaciones:
a)-a suma f (x) + g(x)
b)La división M
c)Las funciones compuestas (f o g) (x) % (g o f )(x)
Solucióna) f (x) + g(x) = x3 + 2±x
b) g(x) 2+x
c) (f o g)(x) = ^ y (g o f)(x) =
0.3. Procesando textos
0.3.1. Elección de un estilo
Para abrir un fichero nuevo, usamos la orden File/ New, o bien utilizamos
Podremos elegir entre varias opciones para confeccionar apuntes cortos,
hojas de problemas, etc. También podremos escribir un libro en formato LTEX. escribir
cartas, artículos, exámenes, etc. Cada estilo posee la barra de herramientas Tag en la
orden View/ Toolbars:411 3i J rRemove Item Tag Section/Body Tag
Text TagItem Tag
En la parte derecha (Tex Tag) están los distintos tipos de letra de cada estilo que
elijamos: Bold, Italics, Slanted, Typewriter,Sans Serif, etc. Ahí también. r i mLdiiiuici
i
Huge
,están los distintos tamaños de letra de cada estilo que elijamos:
huge, LARGE, large, etc.
En la parte central (Section/ Body Tag), están las cabeceras de cada estilo que
elijamos: Section, Subsection, Subsubsection, etc. Ahí mismo podemos elegir: Centered,
para centrar un párrafo, o Bod% Text, para escribir normalmente, etc.
En la parte izquierda (Item Tag) están las etiquetas de cada estilo que elijamos.
Sirven para destacar y numerar las deiniciones, ejemplos, teoremas, etc. Si usamos el
compilador L-TEX(Typeset/ Preview), estas etiquetas se numeran automáticamente. Para
salirnos del entorno de una etiqueta, hay que usar la Aecha verde de la izquierda.
También, en la parte izquierda, tenemos la opción de numerar. Pulsamos
Numbered List Item y obtenemos:
1.Damos a Enter.
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ÍNDICE GENERAL
2.Damos a Enter.
a) Esto sale borrando el número 3, y pulsando en Numbered List Item.
1)Esto sale, repitiendo el paso anterior.
2)Esto sale, dando a Enter.
Para salirnos de la numeración, pulsamos la flecha verde de la izquierda. Si pulsamos
en Bullet List Item, obtenemos:
■Damos a Enter.
■Damos a Enter.
• Esto sale borrando el punto anterior y pulsando en Bullet List Item. o Esto
sale, repitiendo el paso anterior. o Esto sale, dando a Enter.
Podemos mezclar las dos numeraciones. También podemos numerar usando laopción Description List Item, con ésta obtenemos un recuadro. Pulsando en él y con la
opción Custom, escribimos lo que queramos dentro del recuadro.
El estilo base que hallamos elegido, puede ser modiicado con la orden File/ St%le,
aunque es recomendable no cambiarlo.
0.3.2. Compilado de texto normal
Para ver la página que estamos realizando, tal y como sale en la pantalla de
ordenador, podemos usar la orden File/ Preview, o bien . Las características
de la página pueden modificarse con la orden File/ Page Setup. Con esta orden
obtenemos un cuadro con las siguientes opciones:
1.La opción Margins, permite modificar los márgenes laterales, superior e inferior, e
incluso poner márgenes de espejo, en Mirror Margins.
2.La opción Headers/ Footers, nos permite poner algún encabezamiento o pie a la
página, y podremos hacerlo en todas las páginas, las pares o las impares. Pulsando
en la almohadilla correspondiente, podremos numerar las páginas.
3.La opción Counters, nos permite elegir el tipo de numeración de las páginas, y el
número de inicio.
0.3.3. Compilado de texto en LTEX
Para ver la página que estamos realizando, en modo LTf^X, usar la orden
Typeset/ Preview, o bien pulsar en . Si compilamos LTgX, el documento trae el diseño depágina prefijado. Este diseño se puede cambiar, escribiendo las órdenes (directamente
en lenguaje L-TEX) en la opción T%peset/ Preamble. Otras posibilidades son:
1.Con la opción T%peset/ Front Matter, podemos crear un título, una tabla de
contenidos, un resumen o abstract, etc. Para ello seleccionamos los item en la parte
inferior izquierda de la pantalla.
Seleccionamos Title, y junto a él escribimos el título del documento. Se-
leccionamos MakeTitle, para que se compile el título. Seleccionamos Author,
para poner el nombre del autor. Seleccionamos Abstract, para escribir el
resumen. Seleccionamos MakeTOC, para obtener el índice de contenidos.
Seleccionamos MakeLOF, para obtener un índice de figuras. Seleccionamos
MakeLOT, para obtener un índice de tablas.
2.Para que el lenguaje base sea el español, y nos salga Resumen, en lugar de abstract,
por ejemplo: en T%peset/ Options and Packages/ Class Options/ Modif%, elegir
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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE
Language: Spanish, y en: T%peset/ Options and Packages/Package Options/ Add,
elegir Babel, y en Modif% elegir: Spanish.
3.Con la opción T%peset/ Options and Packages/ Class Options/ Modif%, tenemos varias
posibilidades. Destacamos:
a) El tamaño de la letra se cambia con: Body text point size.
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estoesunejemplo
1Nota a pie de p?gina
ÍNDICE GENERAL
b)Podemos escribir a dos columnas con: Columns.
c)Con Print side, podemos preparar las hojas para imprimir por una o dos caras.
4. Para poner una nota a pie de página o una nota al margen, usar la orden Insert/ Field/ Note
(Insert/ Note en la versión 4.0) 1, o pulsar en ^= (de
la barra Field). Podremos elegir el tipo de nota en la opción Type of Note
Nota al margen y escribir el texto de la nota.
5.Si nuestro documento lo permite, podemos crear referencias bibliográficas. Para ello,
pondremos al final del trabajo la etiqueta Bibliography item. En el cuadro que aparece,en
la opción key, escribimos un número, damos a OK, y junto al número ponemos el título del
libro. Para citar
un libro hay que pulsar en | W |. en el lugar donde lo queramos citar, y escribir el número
del libro de la lista que hemos hecho en la ventanilla Key .
6.En la opción Typeset/ Preamble, podemos introducir órdenes, directamente en lenguajeLTEX. Dos órdenes útiles son:
\textwidth13cm y \textheight22cm
Con estas dos órdenes podremos manipular el ancho y la altura del texto. Las etiquetas
para los teoremas, ejemplos, pruebas, etc, pueden ponerse en español con la opción
Typeset/ Preamble. Por ejemplo, seleccionamos: \newtheorem{example}[theorem]
{Example}
y escribimos la palabra Ejemplo, en lugar del último Example. Igual para el resto de
etiquetas.
0.3.4. Insertando
Con la orden Insert, podemos insertar tablas o introducir espacios.
Tablas
Para crear una tabla usar la orden Insert/ Table. Con ella elegimos el tamaño de la tabla.
Pulsando dos veces en la tabla, o bien poniéndonos al final de la tabla y usando la orden Edit/
Properties, podemos alinear los elementos de la tabla la izquierda, centro o derecha. Por
ejemplo:
esto es
un ejemplo
esto es
un ejemplo
esto es
un ejemplo
Pulsando dos veces en la tabla, o con la orden Edit/ Properties, podemos elegir la posición de
la tabla respecto del texto, con la opción Alignement :
texto ,__________,_____________, texto \—T :— textoesto es
un ejemplo
esto es
un ejemplo
Pulsando dos veces en la tabla o en cualquiera de sus celdillas, o con la orden Edit/ Properties, podemos separar los elementos
con líneas simples, dobles o con ninguna línea, con la opción Unes:
esto es esto es
un ejemplo un ejemplo
esto es
un ejemplo
También, con la orden Edit/ Insert Row y Edit/ Insert Column, podemos añadir filas y columnas a la tabla en la posición que
queramos.
Si queremos hacer un índice de tablas, deberemos introducir las mismas mediante la orden File/ Import Fragment, e importar el
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0.3. PROCESANDO TEXTOS
fichero table4 3.frag. Aparece una tabla de orden 4x3.
Si nos situamos justo al final de la tabla, con la opción Edit pueden añadirse filas y columnas. Para suprimir alguna fila o columna
basta señalara en negro con el ratón y suprimirla. Para darle un nombre a la tabla, pulsamos dos veces en la etiqueta caption, y
sustituimos la palabra Table Caption por el título que queramos.
Espacios
Con la orden Insert/ Spacing, podemos introducir espacios horizontales, verticales, etc:
1.Con Insert/ Spacing/ Break, podemos obtener cambios de línea, o cambios de página.
2.Con Insert/ Spacing/ Rule, podemos insertar rayas de distinto tipo, por
ejemplo:
3. Con Insert/ Spacing/ Vertical Space, pueden introducirse espacios verticales de distinto tamaño, para separar las líneas. Con la
opción Custom, podemos elegir el tamaño del espacio vertical.
4. Con Insert/ Spacing/ Horizontal Space, o bien con | S..OT | , pueden introducirse espacios horizontales de distinto
tamaño. Con la opción Custom/ Fixed, podemos elegir el tamaño del espacio horizontal. Con Custom/
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Nos podemos referir a la p?gina en la que est? el teorema o a su n?mero. Las figuras pueden marcarse escribiendo en Key de la opci?n —abeling, del cuadro de propie
ras, con su cor?respondiente n?mero de p?gina, al final del libro. En el lugar en que est?n las palabras que queramos citar, damos a Insert/ Field/ Index Entry (Insert/
jemplo: funci?n continua, funci?n derivable, dominio de una funci?n, escribimos, en Primary: funci?n, y en Secondary vamos escribiendo: dominio, continua, etc. An?l
gment, e importo el fichero Index.
do en la casilla de Generate a Index. Si queremos exportar el ?ndice de materias con la opci?n Portable I—TE<(*-tex), debemos:
En la ventanil-
. En Typeset/ Preamble, escribimos \hich makeindex
ÍNDICE GENERAL
Stretchy/ Discard at —ine End, podemos escribir: Si usamos la
opción Nothing:
Aquí y aquí. Si usamos la opción -ine podemos escribir
Así y___________________________________________________________________________________así.
Si usamos la opción Dots podemos escribir
Así y .... así.
O poner una línea:
0.3.5. Marcadores
Para marcar algo a lo que nos vayamos a referir más tarde, por ejemplo un teorema, nos ponemos
al final del mismo y damos a Insert/ Field/ Marker
(Insert/ Marker en la versión 4.0), o pulsamos en L^|(de la barra Field). En
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0. . PROCESANDO TEXTOS
2. En TypesetZ Options and PackagesZ Package OptionsZ Add, elegimos makei-
dx
0.3.7. Fórmulas
Para destacar una fórmula en el centro de una línea pulsar
arriba
Pulsando en 1=1 podemos escribir: en línea, o bien: en líneaabajo
Pulsando en Í=M se consiguen efectos como:
ejemplo , ejemplo, ejemplo, ejemplo, ejemplo, ejemplo
Combinando lo anterior podemos escribir, por ejemplo:
n -vecesn-veces
ai + a2+.............a„ o bien ai+a2+.
Las características de una fracción, y de otros símbolos como J , pueden modificarse pulsando
dos veces sobre la expresión, o con la orden Edit/ Properties, por ejemplo:
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
Para escribir los límites de integración en una integral, ponemos el símbolo
para el límite inferior y enpara el superior, por
ejemplo: JJ sin xdx. Pulsando dos veces en la integral (o con la orden Edit/ b
Properties) y tomando la opción Above/ Below, se puede escribir J sin xdx.a
Asimismo podemos escribir:
n2 + l n2 + l— o lim —
Ln=l n o n y llm«n=1
Si queremos que al escribir un límite (o cualquiera de las expresiones de la ), nos aparezca
siempre de la forma última, podemos hacerlo con lalistaorden Tools/ User Setup/ Math/ Math Name.
Si vamos a repetir muchas veces una expresión, por ejemplo llm , y queremosn^oo
escribir menos, podemos usar la orden Tools/ Automatic Substitution. Por ejemplo, en la caja
Keystokes ponemos lom, y en la caja Substitution ponemos llm .n^oc
Entonces, cada vez que escribamos lom en modo matemático aparecerá: llm .n^oc
Para eliminar la sustitución automática, escribimos lom en la caja Keystokes, y pulsamos en
Remove.
Si queramos hacer un listado de figuras, en el cuadro de propiedades de la gráfica debemos
elegir la opción Frame/ Floating here. En la opción Labeling, del cuadro de propiedades, en la
ventanilla Caption Text, escribimos el nombre con el que queramos que aparezca en la lista de
figuras. En esta misma opción, podemos marcar la figura en la ventanilla Key.
N Ny pulsamos en
sin
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Parte I
Algebra
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27
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Capítulo 1
Matrices
Una matriz de orden m X n es un conjunto de números dispuestos en mfilas (horizontales) y en n columnas (verticales). Se denotan en la forma
A = R j }
para 1 < i < m, 1 < j < n. El número ai j representa el elemento de la fila i y la
columna j de la matriz A. El conjunto de matrices de orden m X n se denota por
MmXn.
La traspuesta de una matriz A de orden m X n tiene orden n X m y se obtiene
cambiando las filas de A por sus columnas. Se denota por AT .
La suma de dos matrices del mismo orden se realiza sumando los elementos de
ambas matrices que están en la misma posición. El producto de un número por
una matriz se realiza multi-
plicando el número por cada elemento de la matriz.
El producto A • B de dos matrices A = {ai j} £ M {bj} £ MnXp esuna matriz C = {cj} £ MmXp, siendo
Cij = aublj + a¿2fr2j + ••• + iinbnj
es decir cij- se obtiene multiplicando el primer elemento de la fila i de A y de la
columna j de B, más el segundo elemento de la fila i de A y de la columna j de B ,
etc.
na matriz es cuadrada si tiene el mismo número de ilas que de columnas.
El conjunto de matrices cuadradas de orden n se denotapor Mn.
La diagonal principal de una matriz cuadrada A = {c ij} £ Mn la forman los
elementos c ii.
Una matriz cuadrada, A £ Mn, es invertible si existe otra matriz, A-1
£ Mn, queverifique
A-A"1 = A-1 • A = /
donde I £ Mn es la matriz identidad (todos sus elementos valen 0 salvo los de la
diagonal principal que valen 1).Cada matriz cuadrada, A £ Mn, tiene asociado un número denominado
determinante de A (det A). Una matriz cuadrada es in-vertible si y sólo si su
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.Podremos introducir el numero de filas y columnas
determinante es no nulo.
£j Una fila (o columna) de una matriz es combinación lineal
de las demás si se puede obtener como suma de las otras ilas (o columnas)
multiplicadas por números.
Se dice que una matriz A £ MmXn tiene k filas (o columnas) linealmente
independientes si ninguna de ellas se puede expresar como combinación lineal
de las k — 1 restantes. Al número máximo de ilas (o columnas) linealmente
independientes de una matriz se le denomina rango de la matriz.
Se llama menor de orden k, de una matriz, a cualquier determinante de orden
k formado por los elementos comunes a k ilas y a k columnas de la matriz.
El rango de una matriz es igual al orden del mayor menor distinto de cero que
es posible formar con los elementos de la matriz.
Si el determinante de una matriz cuadrada, A £ M n, es no nulo entonces su
rango es n
El método más rápido para escribir una matriz, es usar el
que queramos. Las operaciones con matrices se simplifican si se de-
finen previamente las matrices.
Si definimos una matriz y aplicamos la orden Matrices, se obtienen una
cascada de posibilidades:
Con Matrices/ Determinant, calculamos el determinante de una matriz
cuadrada.
Con Matrices/ Rank, calculamos el rango.
Con Matrices/ Transpose, calculamos la traspuesta.
Con Matrices/ Inverse, calculamos la inversa.
Con Matrices/Trace, calculamos la traza o suma de los elementos de la
diagonal principal de una matriz cuadrada.
(En la versión 4.0 las secuencias comienzan con Compute).
Ejercicio 76 Calcular el determinante, el rango, la traspuesta, la inversa, la adjunta % la
traza de la matriz
A = I 3 —7 —2
V 3 —7 1 y
Solución
Definimos la matriz y aplicamos las distintas opciones de la orden Matrices: A,
determinant: —3 A, rank: 3
A, transpose:
Las operaciones con matrices se realizan deiniendo las matrices, escribiendo la
expresión y usando la orden Evaluate.Para multiplicar dos matrices las ponemos una al lado de la otra, sin colocar ningún
símbolo entre ambas, y aplicamos la orden Evaluate.
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Usando la función predefinida det y la orden Evaluate, también podemos calcular el
determinante de una matriz cuadrada, A. También se puede calcular escribiendo |A | y
evaluando.
La traspuesta de A, puede calcularse escribiendo A T.
La inversa de una matriz cuadrada, A, puede calcularse escribiendo A -1 . La inversa de
A también se obtiene aplicando a la matriz la orden Matrices/ Adjugate y dividiendo la
matriz obtenida por el valor det A. Por ejemplo para
A = I 3 —7 —2
3 —7 1
aplicando la orden la orden Matrices/ Adjugate tenemos
—21 2 4 \ —9
1 2
0 1 —1
dividiendo cada uno de sus elementos por d t A = —3, se obtiene
Si dos matrices no son multiplicables, por ejemplo A £ MmXn y B £ M k X p para n
= k, al evaluar el producto de ambas no obtendremos respuesta. Lo mismo ocurrirá si
queremos hallar la inversa de una matriz que no sea cuadrada o que su determinante sea
nulo.
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cicio 77 Sean las matrices siguientes:
1 3 —1 ? —2 1 2? ? 2
a = ? 4 ? 5 ] $ b = ? 9 12 —5 ] $ c = ? —3 1 —6
\hich —5 2 —2 / V 2 —1 12/ V ? 1 5 )
45 35 —24
58
14 37 34
1691
13 19 18231
a)Calcular ab + c.
b)Calcular la inversa de a ■
c)Calcular (3a + 2b T)c
d)Calcular una matriz x, tal que axb = c
e)¿Se verifica que (a + b) = a2 + 2ab + b2 ?
f)Calcular una matriz x tal que [(ax) T + b]
g)Calcular a3.
1= c.
| Solución
a)
ab + c = I 7 —12 58 37
b)
(a — b)-1 =
69 182 _5_ 1399 364 1 0
28 y
c)
(3a + 2b T )c—21 28 —151
88 37 —63
248 14 88
d) Por ser det a = —69 = ° y det b = 2°3 = °, existen a 1 y b 1, por tanto:
=-1cb-1
10911 466913 744 466910 2794669 14 007
1153 \ 14 007 i172 14 007
e)
(a + b)2
14 13 169
157 20 19
0 0
100 ; a2 + 2ab + b2
52 46 97
127 56 25
14 3
92
b.
36114
503814007715714
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y = (a + 2b) _1(-3a)
( ^ -O -712 -34CAPÍTULO 1. MATRICES
f) Por ser det c = 214 = °, y det a = —69 = °, existen c 1 y a 1, por tantoo (
/ 815 13 499 16 567 \
' 73837383
7383 i1 (e"1 " b)"
Vg) Con la orden Evalúate obtenemos:
-58 137a3 =
-158 77 -146
2x + ay = a
donde ax — by = 2a
% x,e y son dos matrices cuadradas de orden 2.
-12 1o
| Solución
Multiplicando la segunda ecuación por -2 y sumando ambas se obtiene:x = 2a + by
Ejercicio 79 Averiguar, para que valores de a, es invertible la matriz:
B
| Solución
Su determinante es:
det B = 3 - 8a + 6a2 - a4 = (a + 3) (a - 1)3
Sus raices son —3 y 1. Luego B es invertible si a = 1, —3. Ejercicio 80
Hallar el rango, según los valores de x, de la matriz:
A
( 1 1 0 2 \
1 -1 1 3
-1 2 4 2\ 3 2 4 x J
| Solución
Su determinante es det A = — 11x + 11°, que se anula para el valor x = 1°. Por tanto, para
x = 1°, el rango es 4.
Para x = 1°, sustituyendo en la matriz, y usando la orden Matrices/ Rank, se obtiene rango
3.
125314766
23157383
3910714
7666230
28 90114 76611915 /7383 /
-45
159
86
-91
77
Ejercicio 78 Resolver el sistema matricial % b
( o 1 4
)'
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 1 a
a 1 1 1
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/12
1
33
Si en el problema anterior aplicamos directamente la orden
Matrices/ Rank, obtenemos rango 4, independientemente del valor de x, lo cual es falso.
Ejercicio 81 Estudiar, según los valores de m % n, el rango de la matriz:
1 3 -3
1 -1 5
0 n m
m 1 -4 ¡
| Solución
Tomemos el menor
1 3 -3
1 -1 5 = 24 + 12m
m -1 -4
Por tanto si m = —2, el rango es 3. Para m
= —2 queda la matriz
1 3 -3
1 -1 5
0 n -2
2 1 4
Tomemos el menor1 3 -3
1 -1 5 = 8 - 8n
0 n -2
Por tanto si m = — 2 , n = 1 , el rango es 3. Para m
= —2 y n = 1 queda la matriz:
( 1 3 —3 \
1 —1 5
° 1 —2
—2 —1 —4
cuyo rango es 2.
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1 1 3 2
13
4-2
2
V2 3
31
cuyo rango es 2.
s de inter?s
den Matrices/ Reshape, nos permite colocar una serie de n?meros, en forma de matriz. Por ejemplo, sean los n?meros:
21,1, ?, 23, ?, —3, —7, —6,4,32
n Matrices/ Reshape, para 4 columnas, obtenemos:
21 1 ? 23 ? —3 —7 —6 ] 4 32
CAPÍTULO 1. MATRICES
Ejercicio 82 Estudiar, según los valores de x,y el rango de:
1 2 1
x 1 3
4 -2 2
y 3 1
| Solución
Tomemos el menor
1
x
4 2 28 6x
Por tanto si x = ^, el rango es 3. Para x =
^ queda la matriz:
Tomemos el menor143
4 y 1
1434
y
2 1
1 3
21
16
+ 8y
Por tanto si Para x ==14
3 143 ' y = 3 el rango es 3. 3 queda la
matriz:
f% La orden Matrices/ Concaténate, nos permite encadenar dos matrices del mismo
orden y formar una nueva matriz. Por ejemplo:
( s 1 ) ( " 1 ) ■ — ( s 1 " 1 )
Con la orden Matrices/ FUI Matrix se pueden generar varios tipos de matrices:
Usando la opción Matrices/ FUI Matrix / zero, obtenemos una matriz, del orden que
queramos, tal que todos sus elementos son el cero.
Usando la opción Matrices/ FUI Matrix / Identity, obtenemos una matriz, del orden que
queramos, con unos en su diagonal principal y cero en el resto de lugares.
Usando la opción Matrices/ FUI Matrix/ Random, obtenemos una matriz con
elementos aleatorios.
Usando la opción Matrices/ FUI Matrix / Jordan Block, obtenemos una matriz de Jordan,
del orden y con los elementos que queramos.
sando la opción Matrices/ Fill Matrix/ Band, se crea una matriz con los valores quequeramos alrededor de la diagonal principal. Para ello debemos introducir un número
impar de valores. Por ejemplo, introduciendo primero, el valor a, y después los valores a,
b, c, y con el orden 3 X 6, se obtienen las siguientes matrices:
a 0 0 0 0 0 \ / b c 0 0 0 0 \
0 a 0 0 0 0 ] í a b c 0 0 00 0 a 0 0 0 0 a b c 0 0
Usando la opción Matrices/ Fill Matrix/ Define" by function, obtendremos una matriz
cuyos elementos se obtienen mediante la función que queramos.
Ejercicio 83 Definimos f (i, j) = 9. Con el orden 3 X 4, % con Matrices/ Fill-Matrix/ Defined byfunction obtenemos la matriz:
34
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35
9 9 9 9
9 9 9 9
9 9 9 9
Ejercicio 84 Definimos g(i,j) = x j 1. Con el orden 3 X 4, % con la opción Matrices/ FillMatrix/
Defined by function obtenemos la matriz de Vandermonde:
1 X\ X-^ X-^ \
1 x2 x¡ x|
1 X3 X -2 x¡ /
Ejercicio 85 Para conseguir matrices con la notación habitual definimos f -aio¿+j ■ Con el
orden 4 X 4, y con la opción Matrices/ FillMatrix/ Defined by function se obtiene:
( ai i ai2 ai3 ai4 \ a2i
a22 a23 a24 a3i a32a
33a
34 a4i a42 a43a44
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36 CAPÍTULO 1. MATRICES
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Capítulo 2
Sistemas deecuaciones lineales
n sistema de ecuaciones lineales es una expresión de la forma AX =
B, donde A es la matriz de los coeficientes, de orden m X n, X es la matriz de
las incógnitas, de orden n X 1, y B es la matriz de los términos
independientes, de orden n X 1. Se llama matriz ampliada a la matriz (A/B)
obtenida añadiendo a la de los coeicientes la columna de los términos
independientes.
Un sistema es compatible (tiene solución) si el rango de A coincide con el
de (A/B). En caso contrario el sistema es incompatible.
Si un sistema es compatible y el rango coincide con el número de incógnitas,
entonces tiene solución única. Se denomina compatible determinado.
Si un sistema es compatible y el rango es menor que el número de incógnitas,
entonces tiene ininitas soluciones. Se denomina compatible indeterminado.
Un sistema es homogéneo si los términos independientes son todos nulos.
Estos sistemas son o bien compatibles determinados (y la única solución es la
solución nula) o compatibles indeterminados.
Los sistemas de ecuaciones pueden resolverse si los introducimos en
forma de matriz columna (cada ecuación en una columna) y usamos la orden
Solve/ Exact
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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejercicio 86 Resolver el sistema:
3x — z = 2 4x — y + 2z = 7 + 2y — z = —3
| Solución |
Con la orden Solve/ Exact, obtenemos: z = g,x = T¡¡ J,y = — f| Ejercicio 87
Resolver el sistema:
x — 3z = 0 x
— y = 1
Solución
Con la orden Solve/ Exact, introduciendo las variables x,y, obtenemos: x 3z — 1. Por tanto lasolución depende del parámetro z.
Ejercicio 88 Resolver, en la forma matricial, el sistema:
3x — z = 2 4x — y + 2z = 7 + 2y — z = —3
| Solución
Para resolverlo en forma matricial, definimos las matrices:
30 — 1 \ / 2
4—1 2 ] ,b = í 7 | ,c
7 2 —1 / \ —3
Entonces, el sistema viene dado por la ecuación ac = b. Se verifica que det a — 24 = 0, por
tanto la solución es:
17/24
-47/12 1/8
2.1. Método de Gauss
L^J Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es usual simplificar sus
ecuaciones de modo que se obtenga otro mucho más fácil pero con las mismas
soluciones. Estas simpliicaciones conforman los métodos de Gauss. Una simplificación
parcial del sistema se denomina elimininación Gaussiana, mientras que lasimplificación total se denomina método de Gauss-Jordan.
La elimininación Gaussiana se realiza aplicando la orden Matrices/ Fraction-free
Gaussian Elimination a la matriz ampliada del sistema.
El método de Gauss-Jordan, se realiza aplicando la orden Matrices/ Reduced Row
Echelon Form a la matriz ampliada del sistema.
Ejercicio 89 Resolver, usando la eliminación Gaussiana, el sistema:
3x — z = 2
4x — y + 2z = 7
4
7
{
4
7x
4
7x
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2.1. MÉTODO DE GAUSS
: + 2y — z = —3
SoluciónAplicando la orden Matrices/ Fraction-free Gaussian Elimination a la matriz del sistema:
3 0 —1 2
4 —1 2 7
7 2 1 3
se obtiene:3 0 —1 2
0 —3 10 13 0 0 —24
—3
Por tanto de la tercera ecuación tenemos que: z = . De la segunda ecuación tenemos que: —3y
+ 10z = 13; despejando y se obtiene y = [4^z — 33 ] z _=
— jr; . Finalmente de la primera ecuación, tenemos que 3x — z = 2; por tanto:x
= [ 3z
+ 3 ] z_ = 24.
Ejercicio 90 Resolver, por el método de Gauss-Jordan, el sistema:
3x — z = 2 4x — y +
2z = 7 7x + 2y — z =
—3
ISolución Aplicando la orden Matrices/ Reduced Row Echelon Form a la matriz del sistema
' 3 0 -1 2
4 - 1 2 7
^ 7 2 -1 -3
se obtiene:
1 0 0 17/240 1 0 -47/24
0 0 1 1/8
con lo cual se tiene directamente la solución x = T¡g , y = - jr;, z = g.Ejercicio 91 Discutir, según los valores de a, el sistema:
x + ay — z = —1 3x + y + z =
a ax — y + 2z = 1 + a
| Solución
El determinante de la matriz de los coeficientes es (a — 2) (a — 3) . Por tanto, para a = 2, 3, el
sistema es compatible determinado. Para a = 3, la matriz ampliada es:
1 3 —1 —1 \ 31 1 3
3 —1 2 4
Aplicando el método de Gauss-Jordan obtenemos:
1 0 12
0
0 1 12
0
0 0 0 1
Por tanto el sistema es incompatible para a = 3. Para a = 2, la
matriz ampliada es:
1 2 —1 —1
3 1 1 2
Í
39
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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2 —1 2 3
Con el método de Gauss-Jordan obtenemos:
1 0 3 5 1
0 1 4 5 — 1
0 0 0 0
Por tanto el sistema es compatible indeterminado para a = 2.
Asimismo, aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz ampliada, obtenemos:
1 O O O 1 O
O O 1¿
n -i a — 3 a — i a —3 -a-2
3
Esto parece indicarnos que existe solución única para a = 3, lo cual sabemos quees
Ejercicio 92 Resolver, según los valores de a, el sistema homogéneo:
(8 - a)x + 2y + 3z + ai = O x + (9 -
a)y + 4z + at = O x + 2y + (1O -
a)z + at = O x + 2y — 3z + at = O
| Solución
El determinante de la matriz de los coeicientes es:
det
8 - a 2
1 9 — a1 2
1 2
3 4
1O — a3
a a
a a —a (—13 + a) (—7 + a)2
Por tanto, para a = 13, 7,0, el sistema es compatible determinado y la solución es la trivial.
Para a = 0, la matriz ampliada es:
8 2 3 O O
1 9 4 O O
1 2 1O O O
1 2 —3 O O
Con el método de Gauss-Jordan obtenemos:
1 0 0 0
Si un sistema depende de parámetros la solución directa del mismo puede
dar lugar a soluciones erróneas. Por ejemplo en el ejercicio anterior:
Si usamos la orden Solve/ Exact, obtenemos:
a — 1 a2 — a — 2 a — 1x = , z = , y =
3 , y a - 3
que es una respuesta engañosa porque parecería que hay una solución única si a =
3, que es falso.
icarnc
falso.
40
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2.1. MÉTODO DE GAUSS
0
0 1 0 0
0
0 0 1 0
0
0 0 0 0
0
Por tanto para a = 0, el sistema es compatible indeterminado, y la solución es: x = 0,y = 0,z =
0,t = t.
Para a = 7, la matriz ampliada es:
1 2 3 7 0
1 2 4 7 0
1 2 3 7 0
1 2 —3 7 0
41
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z = —39t' t
= —39t, y Ejercicio 93 Sea la matriz A =
—91t
2 't
Hallar el valor de a para que tenga1 2
3 a
la ecuaci?n matricial AX = O, donde X ? M2 % O es la matriz nula de M2 . Hallar la forma general de la matriz X.
La ecuaci?n matricial AX
12-3
CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Con el método de Gauss-Jordan obtenemos:
1 2 0 7
00 0 1 0
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
Por tanto para a = 7, es un sistema compatible indeterminado. La solución es:
z = 0, y = y, t = t, x = —2y — 7t.
Para a = 13, la matriz ampliada es:
/ —5 2 3 13 0 \ 1 —4
4 13 0
1 2 —3 13 0 1 2 —3
13 0
Con el método de Gauss-Jordan obtenemos:
1 O O 39 O
O 1 O ^ O
O O 1 39 O
O O O O O
Por tanto para a = 13, es un sistema compatible indeterminado. La solución es:
| Solución
Tomemos X ( x y \
\ z * )
( 1 2 \ ( x y \ = ( O O \
^ 3 a ) \ z t ) \ O O J
9 es:
Esto da lugar al sistema de ecuaciones homogéneo:
x + 2z
y + 2t
3x + az
3y + at
42
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-15
2412
6Aplicando Gauss se obtiene:
2.1. MÉTODO DE GAUSS
La matriz de los coeicientes es:
1 0 2 0 1 0
3 0 a0 3 0
Su determinante es (a — 6)2. Por tanto si a = 6, la solución es la trivial. Para a = 6 la
matriz ampliada es:
1 0 2 0
0
0 1 0 2
0
3 0 6 0
0
0 3 0 6
0
Aplicando el método de Gauss-Jordan obtenemos:
1 0 2 0
0
0 1 0 2
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
Por tanto la matriz X tiene la forma:
X f -2a -26 \ ^ a 6 )
Ejercicio 94 Discutir, según los valores de a, el sistema:
x + 2y — 3z = 4 3x — y + 5z = 2
4x + y + (a2 — 14)z = a + 2
| Solución
La matriz de los coeicientes es:
1 3 4ti
Su determinante vale —7a2 + 112 = —7 (a es un
sistema compatible determinado. Para a = 4 la
matriz ampliada es:
-3
5
14
4) (a + 4). Por tanto si a ^ 4 , -4
1
O
O O
1
-2 O
7 \10 7O
2O
a
43
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-3a + 2292 ",y +
461
13 f + b
CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Por tanto, si a = 4 es un sistema compatible indeterminado.
Para a = —4, aplicando Gauss-Jordan a la matriz ampliada se obtiene:
1 0 0 10 0 1 0
-2 00 1
Por tanto si a = — 4 es un sistema incompatible.
Ejercicio 95 Discutir, según los valores de a % b, el sistema:
x + 2y = a 3x — y
= 1 x + y = a —
3 2x — y = a + b
Solución
La matriz ampliada es
Tomemos el menor
Por tanto si a = 22 es un sistema incompatible. Para a = 22
se obtiene la matriz ampliada:
Tomemos el menor
Por tanto si a = 22 y b ^ es un sistema incompatible.tenemos la matriz ampliada:
1 2 223 \
3 -1 1
1 1 133
2 -1 13
/
Aplicando Gauss-Jordan se obtiene:
1 O43
\
O 1 3
O O O
O O O /
Por tanto si a = 22 y b = —23 es un sistema compatible determinado. Ejercicio 96 Discutir, según
los valores de a, b, el sistema:
x + 2y + t = 1 —x — 3y
o
s22Paray b3
Í
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2.1. MÉTODO DE GAUSS
— z = b x + az = 1 x
— y + z + t = 0
ISolución La matriz ampliada del sistema es:
/ 1 2 O 1 1
—1 —3 —1 O b
1 O a O 1
V 1 —1 1 1 O
Tomemos la matriz de los coeficientes:
/ 1 2 0 1 \
—1 —3 —1 0
1 0 a 0
1 —1 1 1
Su determinante es —6 + 3a. Por tanto si a = 2 el sistema es compatible determinado.
Para a = 2 la matriz de los coeicientes tiene rango 3. Sustituimos a = 2 en la matriz
ampliada y queda:
/ 1 2 0 1 1 \
—1 —3 —1 0 b
1 0 2 0 1
1 —1 1 1 0
Tomamos el menor:/ 2 0 1 1 \
—3 —1 0 b
0 2 0 1
—1 1 1 0
Su determinante vale12 + 6b. Por tanto si a = 2 y b = —2 el sistema es incompatible.
Para a = 2,6 = —2, la matriz ampliada queda:
V
2 -3
O -1
O 1
1 O 2 O
1 1
1
2 1O
Aplicando el método de Gauss-Jordan se obtiene:
O 1 O - f i
O O 1 - f i
O O O O O
Luego para a = 2,6 = —2, el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio 97 Entre todas las familias de un pueblo suman 252 hijos. Las hay
de dos tipos, las que tienen 6 hijos y las que tienen 2 hijos. Si el número de las que tienen 6 hijos
dobla a las otras, calcular el número que hay de cada tipo de amilia.
| Solución
45
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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sea x el número de familias con 6 hijos, y sea y el de familias con 2. Se cumple que x = 2y.
Por otro lado la suma total de hijos es 6x + 2y = 252. Se tiene el sistema:
í x — 2y = 0 \ 6x +
2y = 252
Con la orden Solve/ Exact obtenemos la solución: y = 18, x = 36.
Ejercicio 98 Un ganadero le da de comer a sus vacas una mezcla de dos tipos de alimentos, A y
B. Un kilo de A proporciona a una vaca el 10% de las proteinas y el 15% de las vitaminas que
necesita a diario. Un kilo de B proporciona el 12 % de proteinas y el 8 % de vitaminas. Calcular
los kilos que hay que dar a cada animal para conseguir el 100 % necesario diario de proteinas y
vitaminas.
Solución
y los kilos de p
proteinas que se está proporcionando es 0.1x + 0.12y, y la cantidad de vitaminas Para conseguir
el 100 % de ambos conceptos debe cumplirse
que:
O.1x + O.12y
O.15x + O.O8y
Con la orden Solve/ Exact obtenemos la solución: y
de A.
5 kilos de B, x = 4 kilos
Ejercicio 99 Un viajero por Europa gastó en hospedaje 30 euros al día en Italia, 20 euros en
Francia y 20 en España. En alimentos gastó 20 euros al día en Italia, 30 en Francia y 20 en
España. En copas gastó 10 euros diarios en cada país. Si al final del viaje había gastado 3J0
euros en hospedaje, 320 en alimentos y 1J0 en copas, calcular el número de días que estuvo en
cada país.
| Solución
Sean x,y,z el número de días pasados, respectivamente, en Italia, Francia y España. Los
gastos de hospedaje han sido 30x + 20y + 20z, los de alimentos han sido 20x + 30y + 20z, y los
de copas han sido 10x + 10y + 10z. Por tanto tenemos el sistema:
30x + 20y + 20z = 340
20x + 30y + 20z = 320
10x + 10y + 10z = 140
Con la orden Solve/ Exact obtenemos la solución: x = 6, y = 4,z = 4 días en Italia, Francia y
España, respectivamente.
Ejercicio 100 Un granjero que tiene gallinas, cerdos y vacas, proporciona a sus animales
alimentos del tipo A, B y C. Cada gallina consume 1 unidad del alimento A, 1 del B y 2 del C.
Cada cerdo consume 3 unidades de A, J de B y 5 de C. Cada vaca consume 2 unidades de A, 1 de
B y 5 de C. Si se dispone cada mes de 15000 unidades de A, 10000 de B y 35000 de C, calcular cuantos animales de cada clase se pueden mantener.
Sea x los kilos del producto A, y sea y los kilos de producto B. La cantidad de oteinas
0.15x + 0.08y.
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2.1. MÉTODO DE GAUSS
Soluciónción
Sean x,y,z el número de gallinas, cerdos y vacas, respectivamente. Las unidades empleadas
del alimento A son x + 3y + 2z. Las del tipo B son x + 4y + z, y las del tipo C son 2x + 5y + 5z.Por tanto tenemos el sistema:
x + 3y + 2z = 15000 x +
4y + z = 10000 2x + 5y +
5z = 35000
Con la orden Solve/ Exact obtenemos la solución:
y = z — 5000, z = z, x = —5z + 30 000
El sistema es compatible indeterminado. Para que tenga sentido ha de ser
y = z — 5000 > 0 y x = —5z + 30000 > 0
por tanto 5000 < z < 6000. La cantidad de gallinas y de cerdos estará en función del número de
vacas.
Ejercicio 101 Una empresa fabrica tres productos. Para ello necesita tres materiales en las
cantidades indicadas en la tabla:
Producto 1 Producto 2 Producto 2
material 1 2 2 2
material 2 1 2 0
material 3 2 1 3
Supongamos que sólo se disponen de 12,5 % 13 unidades respectivamente de cada material.
a)Hallar los planes de producción (x,y,z) que agotan las disponibilidades de cada material.
b)Si los precios de venta da cada producto son 15,10 % 9, respectivamente, hallar el plan de
producción con el que se obtenga ma%ores beneficios.
| Solución
a)Planteamos el sistema:
2 2 2 \ / x \ / 1 2 \ 1 2
0 W y ] = í 5 1 2
1 3 / \ z / Vi 3 /
Su solución es x = 7 — 2z, y = —1 + z, z = z.
b)Las condiciones que se deben dar inicialmente son:
7 — 2z > 0
— 1 + z > 0
z > 0
De aquí se obtiene la solución 1 < z < |. Por tanto z puede valer 2 o 3.
Si z = 2 serán x = 3, y = 1, y los ingresos serán 15 • 3+10 • 1 + 9 • 2 = 73 Si z = 3 serán x
= 1, y = 2, y los ingresos serán 15 • 1 + 10 • 2 + 9 • 3 = 62 Por tanto el mayor ingreso sale
si z = 2.
2.2. Método de Leontief
t+J Un modelo que se usa en Economía es el modelo de entradas y salidas de
Leontief (premio Nobel de Economía en 1973). Supongamos que un sistema económico
47
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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
tiene n industrias y cada industria tiene dos tipos de demanda: externa (procedente de
fuera del sistema) e interna (procedente del mismo sistema).Se utiliza la siguiente
notación:
ei: demanda externa ejercida sobre la industria 1. demanda
externa ejercida sobre la industria 2.
en: demanda externa ejercida sobre la industria n.
Se considera la matriz A = (a.¿ j ) i <i,j<n siendo:
an: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que
la industria 1 produzca una unidad.
ai2: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que
la industria 2 produzca una unidad.
a2i: número de unidades que se le piden a la industria 2 para que la industria 1
produzca una unidad.
a22: número de unidades que se le piden a la industria 2 para que la industria 2produzca una unidad.
ai j: número de unidades que se le piden a la industria i para que la industria j
produzca una unidad.
Se denomina xi al número de unidades producidas por la industria i, entonces:
aiixi: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria 1
produzca xi unidades.
ai2x2: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria 2
produzca x2 unidades.
ainxn: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria n
produzca xn unidades.
Entonces es claro que aiixi + ai2x2 + ...ainxn + ei es la demanda total (externa e
interna) sobre la industria 1. Por tanto al igualar la demanda total a la salida de la
industria 1 se obtiene:
aiixi + ai2x2 + ... + ainxn + ei = xi
Haciendo lo mismo con el resto de industrias obtenemos el sistema:
aiixi + ai2x2 + ... + ainxn + ei = xi
a2ixi + a22x2 + ... + a2nxn + e2 = x2
ani xi + an2 x2 + ... + annxn + en = xn
A la matriz del sistema A = (ai j)i<i)j<n se le denomina matriz tecnológica y sus
coeficientes ij se denominan coeficientes técnicos o de producción.
Ejercicio 102 Sea un sistema económico con tres industrias A, B % C. -a tabla de
demandas internas es:
A B C
A 0.2 0.5 0.15
B 0.4 0.1 0.3
48
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2.1. MÉTODO DE GAUSS
C 0.25 0.5 0.15
mientras que las demandas externas son 10, 25 % 20. Hallar la salida de cada industria para quela o erta iguale a la demanda.
| Solución
El número 0.25, por ejemplo, es el número de unidades que se le piden a la industria C para
que la industria A produzca una unidad. Sean x, y, z el número de unidades producidas por A, B y
C. El modelo de Leontief es:
0.2x + 0.5 y + 0.15z + 10 = x 0.4x +
0.1 y + 0.3z + 25 = y 0.25x + 0.5 y +
0.15z + 20 = z
Con la orden Solve/ Numeric se obtiene la solución:
z = 125.82106, y = 118. 742 92, x = 110. 305 78
Por tanto el número de unidades que las industrias A, B y C deben producir para que la oferta
iguale a la demanda debe ser, aproximadamente, de 110, 119 y 126 unidades, respectivamente.
Ejercicio 103 Sea un sistema económico con tres industrias A, B % C. -as tablas de demandas
internas % externas (en miles de euros) son:
A B C Demanda externa
~A~ 0.293 0 ~0 ~A~ 13.213
B 0 .014 0.207 0.017 B 17.597 ______________________
~C~ 0.044 0.010 0.216 C 1.786
Obtener el modelo de Leontief % el valor en miles de euros de los productos de A, B% C para equilibrar la oferta % la demanda.
| Solución
Sean x,y,z los valores respectivos de los productos de A, B y C. El modelo de Leontief es:
0.293x + 13.213 = x 0.014x + 0.207 y + 0.017z
+ 17.597 = y 0.044x + 0.010 y + 0.216z +
1.786 = z
Aplicando la orden Solve/ Numeric en el sistema se obtiene la solución
x = 18. 688 826, z = 3. 615 1619, y = 22. 597 858
Ejercicio 104 Resolver el modelo de Leontief, donde las matrices de demanda interna %
externa son:
( 1 1 1
( 3 2 6
12 3 6 /| Solución
El modelo de Leontief es
| x + r; y + | z + 10 = x I x + 3 y
+ | z + 15 = y Y2 x + 1 y + ^ z +
D
= (10
)
49
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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
30 = z
Aplicando la orden Solve/ Numeric en el sistema se obtiene la solución:
y = 55.102 041, x = 72. 653 061, z = 65. 306 122
£j El Modelo de Leontief se puede reescribir en la forma: (1 - an)x i - ai2x2 - ... -
ainin = ei
I -C i2lXi + (1 - CÍ22)X 2 - - .a2„x „ = e2
^ &RL\ X \ an2X2 ••• (1 ann)xn en
A la matriz de este sistema: I — A, se le denomina matriz de Leontief. Si esta matriz es
invertible entonces existe solución única para el modelo.
Ejercicio 105 Una antena (A) está formada por 3 crucetas (C), 6 tornillos (T) % 3 barras (B). A
su vez cada cruceta consta de 1 tornillo % 2 barras.¿Cuántas antenas, crucetas, tornillos %
barras se deben fabricar para atender a un pedido de 2 antenas , 3 crucetas, J tornillos % 5
barras?
Solución
La tabla siguiente resume la información del enunciado:
Producto: A Producto:C Producto: T Producto: B
antena 0 0 0 0
cruceta 3 0 0 0
tornillo 6 1 0 0
barra 3 2 0 0
En cada columna se detalla lo que el correspondiente producto necesita de los demás. La matriz
que se obtiene es la matriz de demanda interna de este problema, A, mientras que el pedido
constituye la matriz de demanda externa, D:
2
3
4
V 5 y
50
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2.2. MÈTODO DE LEONTIEF
í a \
c t
producción necesaria de antenas, crucetas, tornillos y barras. Despejando X obtenemos lasolución:
/ 2 \9
25
Es decir hay que fabricar 2 antenas, 9 crucetas, 25 tornillos y 29 barras.
Ejercicio 106 Una percha (p) está compuesta de una barra grande (g), una base (b) % cuatro
barras chicas (ch). -a base se une a la barra grande con cuatro tornillos (t). -as barras chicas se
unen a la grande con 2 tornillos cada una. ¿Cuántas perchas, bases, etc. deben fabricarse para
atender un pedido de 5 perchas, 3 bases % dos barras chicas?.
Solución
La tabla siguiente resume la información del enunciado:
P g b ch t
p 0 0 0 0 0
g 1 0 0 0 0
b 1 0 0 0 0
ch 4 0 0 0 0
t 0 0 4 2 0
De forma análoga al problema anterior obtenemos las matrices de demanda interna y externa
X = (I - A) _1D
5
5
8
Eshay que fabricar 5 perchas, 76
tornillos.
22
V76 7barras grandes, 8 bases, 22 barras chicas y
= representa la
X = (I - A) _1D
Por
51
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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.2.1. Condición de Hawkins-Simon
Observemos que en el Modelo de Leontief las soluciones deben ser nonegativas (ya que no tienen sentido producciones negativas). La condición de Hawkins-
Simon nos permitirá saber si una matriz tecnológica da lugar a un vector de producción
que satisfaga las demandas requeridas.
Sea A £ Mmxn una matriz cuyos elementos son no negativos y sea r £ R. La condición
necesaria y suficiente para que el sistema (r 7 — A)X = C tenga solución no negativa, para
cada matriz C £ Mn x i con elementos no negativos, es que todos los menores principales
de (rl — A) sean positivos.
Los menores principales de una matriz A = {a.¿ j} son
&i = an , A2
an ai2
«21 022A3
«ii ai 2 ai3 «21 a22
a23 «3i ^32 a33 etc.
Ejercicio 107 Averiguar si el sistema (3/ — A)X = C tiene solución no negativa para
1 1 0
| Solucióna) Sea la matriz
2 1 0
37- A 0 2 0
1 0 1
Sus menores principales son:
Ai = 2, A2 4, A3 = |3/ - A| 4
Al ser todos positivos, el sistema (3/ — A)X = C tiene siempre solución no negativa.
b) Sea la matriz
2 -1 -1
37 — A -2 0 0 0 0 2
Sus menores principales son:
Ai = 2, A2 2
2 0-2, A3 = |37 - A| = -4
No se cumple la condición de Hawkins-Simon y por tanto existe C tal que el sistema (37 — A)X =
C no tiene solución no negativa.
Ejercicio 108 Supongamos que la matriz tecnológica de una economía es:
A ' 3 2 6 1I I I4 4 8
J_ I I /12 3 6 /
Averiguar si el modelo de —eontief tiene solución sea cual sea la demanda externa
ISolución Tomemos la matriz de Leontief:
I - A
23I4 J_
I2
1 1
1
2 3 0
a) A : b) A01 0
52
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2.2. MÉTODO DE LEONTIEF
6 \8 6 /
Sus menores principales son:
2
I 34 4
1 3' &38 ' 3
II - A|49 192
Por ser todos positivos, el modelo de Leontief tiene solución sea cual sea la demanda externa.
Ejercicio 109 Supongamos que la matriz tecnológica de una economía es:
A
0.1 0 0.1 0.3 0.6 0
0.4 0 0.2
a) Averiguar si el modelo de -eontie tiene solución sea cual sea la demanda externa.
b)Hallar la solución para una demanda externa de 200, 200, J00.
ISolución a) El modelo de Leontief puede escribirse en la forma (I — A)X = e donde A es la matriz de
demanda interna y e la de la externa. Los menores principales de la matriz
0. 9 0 —0. 1A = I —0. 3 0.4 0 0. 4
0. 8
son:
&1 = 0.9' A2 0.9 0 -0. 3 0. 40. 36' A3 = |I — A| =0.272
Al ser todos positivos, existe solución del modelo de Leontief, sea cual sea la demanda externa.
200
b) Para e = I 200 I el modelo de Leontief queda: \ 400 )
0. 9x — 0.1z = 200 —0.
3x + 0.4 y = 200 —0.4x
+ 0. 8z = 400
Su solución es
x = 294.117 65, z = 647. 058 82, y = 720. 588 24
Es decir el primer sector deberá producir, aproximadamente, 294 unidades, el segundo 720, y el
tercero 647.
0
53
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54 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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Capítulo 3
Espacios vectoriales
L+J Un espacio vectorial es un conjunto V dotado de dos operaciones: una
operación interna, + , con la que (V, +) es un grupo conmutativo, y una operación
externa, • , que relaciona los elementos de V con números reales, con las
propiedades:
a • (u + v) = a • u + a • v ; (a + b) • u = a • u + b • u
(ab) • u = a • (b • u) ; 1 • u = u
donde a, b £ R, y u, v £ V.
Los elementos de V se denominan vectores.
Ejemplos de espacios vectoriales son: Rn formado por los elementos (ai,
a2, ...an); Mrnxn formado por las matrices de m filas y n columnas; Pn(x) formado por
los polinomios de grado < n.
(_j_í Un vector v £ V es combinación lineal de { u \ , U 2 , ■■■un} si se
expresa en la forma:
v = aiui + a2u2 + ... + anun, donde a¿ £ R
Una familia de vectores se denomina sistema de generadores de V si cada
vector de V es combinación lineal de esos vectores.
Una familia de vectores es linealmente dependiente si alguno de ellos se
puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario esta
familia de vectores se dice que es linealmente independiente.
Una familia de vectores {ui ,u2 , ...un} es linealmente independiente si de
la igualdad
aiui + a2u2 + ... + anun = O, donde a¿ £ R
se deduce que cada a¿ es nulo.
De la igualdad aiui + a2u2 +... + anun = O, se obtiene un sistema homogéneo.
Si el rango de la matriz de los coeficientes de este sistema coincide con el
55
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número n de vectores, la familia es linealmente independiente.
La independencia lineal de una familia de vectores de Rn se averigua tomando
la matriz cuyas filas (o cuyas columnas) son dichos vectores. Si su rango coincide
con el número de vectores entonces esta familia es linealmente independiente.
Ejercicio 110 Dados los vectores
u = (1, 0,0,-1) ,v = (0,-1, 0,1),w = (1,1, 0,0)
a) Averiguar si son linealmente independientes.
b) Averiguar si el vector (—1,1,1,0) es combinación lineal de u, v, w.
Solución
a)El rango de la matriz:
1 0
0 —1 0
— 1 0
1
1 1 0 0
es 3, por tanto, u,v,y w, son linealmente independientes.
b)El rango de la matriz:
/ 1 0 0 —1
0 —1 0 1
1 1 0 0
V —1 1 1 0
es 4. Por tanto el vector (—1,1,1,0) no es combinación lineal de u,v, w.
Ejercicio 111 Estudiar la dependencia lineal, según los valores de a, de los vectores
(1,1,0, —1), (—1,2,1,0), (2,1,0,0), (—2,0,a, 1)
| Solución
Tomemos la matriz:
/ 1 1 0 — 1 \
—1 2 1 0
2 1 0 0
—2 0 a 1
Su determinante es 3 — 5a. Por tanto si a = | los vectores dados son linealmente
dependientes. También puede hacerse aplicando la orden Matrices/ Fraction-Free Gaussian
Elimination a la matriz. Obtenemos:
56
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/ 1 1 0 —1 \
0 3 1 —1
0 0 1 5
\ 0 0 0 3 — 5 a /
Por tanto, la dependencia lineal se tiene para a = |.
Ejercicio 112 Hallar el valor de a& para que sean linealmente dependientes los vectores
(1, —3, —1,a), (1,2, —1,0), (—2,1, 2,3)
ISolución Aplicamos la orden Matrices/ Fraction-Free Gaussian Elimination a la ma-
triz:
1
1
-2
y obtenemos:
-1 a
0 -a
0
15+
5a
Por tanto la dependencia lineal se tiene para a =
Ejercicio 113 Hallar a % b para que la familia
{ ( J O- ( 2 ¡ ) ■ (0
0 ) }
forme un sistema linealmente dependiente.
Solución
Expresando las matrices de Mm xn como vectores de Mm x n, por tanto podemos
considerar la matriz1 2 0 1
a
1
2
3
0 1
b 0
Tomamos el menor2 0 1
5b 2
57
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Por tanto si b =
-Sustituimos b
■|, la familia es linealmente independiente. = — | en la matriz
y se obtiene:
0 1
01
2 3
10
Tomamos el menor
0 1
12 41— a5 5
Por tanto para a = 3 y b la familia es linealmente dependiente.
3.1. Base de un espacio vectorial
L-f -í Se llama base de un espacio vectorial V , a una familia de vectores que
es sistema de generadores y linealmente independiente. El número de elementos
de la base se denomina dimensión, dim(V ), del espacio vectorial.
Dada una base {ui , 1*2, . . .u n} de V , cualquier vector v se puede expresar
como combinación lineal de ella en la forma:
v = a iM i + a2u2 + ... + a nun, donde a¿ G M
f^J Los números (ai , a2,an) se denominan coordenadas de v en la base {ui,
12, ...un}.
Sean B = {u i,u 2, . . .un} y B' = {ui,u2, ...un} dos bases de V . Sea u G V .Se
denominan Mg [u ] y Mgi [u ] a las coordenadas de u respecto de las bases B y B' .
Se verifica que
MB [u] = PMB- [u]
donde P es la matriz de paso de la base B a la base B' cuya i-ésima columna son
las coordenadas de ui respecto de B.
Ejercicio 114 Comprobar que los vectores (1, 3,4) , (—1, 2,0) , (5, 7, — 1), son base de
M 3 , % hallar la coordenadas "el vector (7, 5, 3) respecto "e dicha base.
| Solución
Esos vectores forman base pues el rango de la matriz:
1 —1 5
32 7
40 —1
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.1. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL 57
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es 3. Las coordenadas (x,y,z) del vector (7, 5, 3) cumplen:
x (1,3,4) + y (-1,2,0) + z (5, 7,-1) =
(7, 5, 3) Pueden hallarse resolviendo, con la orden
Solve/ Exact, el sistema:
x — y + 5z = 7
3x + 2y + 7z = 5
4x — z = 3
La solución es x = , y = — -yg-, z = yg . Notemos que:
70 (1, 3,4) — ^ (—1,2,0) +
I(5, 7, —1) = (7, 5,3)
Ejercicio 115 Averiguar si es una base de
P3(x) la familia {(2 —
x)g, (x — 1)3, (x
+1)2,x3,x2}
| Solución
En primer lugar desarrollamos los polinomios: (2 —
x)3 = —x3 + 6x2 — 12x + 8 (x — 1)3 = x3 — 3x2 + 3x
— 1 (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 La familia es sistema
de generadores si siempre hay solución de:
ai(—x3 + 6x2 — 12x + 8) + a2(x3 — 3x2 + 3x — 1) +
a3(x2 + 2x +1) +a4(x3) + a1(x
2) = a + bx + cx2 + dx3