Matemáticas para Ciencias de la ComputaciónMCC3182
Número Cromático
• Pregunta: ¿Cuál es la cantidad mínima de colores que necesito para resolver el problema?
• ¿Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?
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Ciclos Simples Cn
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Grafo Completo Kn
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Wheel (Rueda) Wn
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• Un ciclo dispar necesita 3 colores.• Un grafo completo necesita exactamente n colores.• Wheel (rueda) pueden ser coloreados con 4 colores
Si el rim exterior esta incluido, entonces se pueden utilizar 3 colores
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• Un grafo es 2-coloreable ssi no existen ciclos impares.
• Un grafo completo Kn, requiere n colores.
• Si el máximo grado es dmax, entonces el grafo puede ser coloreado con (dmax+1) colores.
• Todo grafo planar puede ser coloreado con 4 colores.
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Coloreando con dmax colores• Hipótesis Inductiva
P(n)= es un grafo con n vértices y de grado máximo dmax , entonces el grafo puede ser coloreado con dmax+1 colores.
• Caso Base
• Paso Inductivo
-Dado un grafo con n+1 vértices, le sacamos 1 vértice.
-Recordamos que un grafo con n vértices es coloreable con dmax+1
-Agregamos nuevamente el vértice
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Isomorfismo de grafo, no geometría
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Isomorfismo de Grafos
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Isomorfismo de Grafos
• El isomorfismo es una relación de equivalencia entre los n vértices de un grafo.
• Se pueden testear algunas invariantes, pero es un problema complejo, ya que existen n! Mapeos.
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Topología, no geometría.
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Equivalencia de Grafos (Isomorfismo)
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Grafos Isomorficos
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Encontrando un Mapeo• No es fácil encontrar todos los posibles mapeos
(existen n! posibilidades).• Se puede testear las invariantes
-El mismo número de vértices y arcos.
-El mismo grado de distribución
-Preservación de ciclos, camino más largo, etc.
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Árboles
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Aplicaciones de Árboles
• Estructura de datos para ordenar y búsquedas.• Spanning Tree.• Árboles de Juego (árboles Alfa-Beta).• Códigos de Prefijos (codificación de Huffman)• Muchos algoritmos basados en árboles en el ramo
de estructura de datos y diseño de algoritmos.
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Definición: un árbol es un grafo simple conectado sin ciclos.
Ejercicio: Dibuje un árbol con 5 vértices
Pregunta: ¿Cuántos arcos debería de tener el árbol
3,4, o 5?.
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Otra DefiniciónDefinición 2: Un árbol es un grafo conectado con n vértices y n-1 arcos.
En efecto, un árbol es un pequeño grafo conectado con n vértices.
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Definiciones equivalentes de Árboles
• Es un grafo conectado sin ciclos• Es un grafo conectado donde |E|=|V|-1• Es un grafo donde removiendo algún arco, alguna
hoja queda desconectada.• Es un grafo donde existe un único y simple camino
entre dos vértices