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Prgrama e EsuiSpim A Bsic
Ministerio de Educacin
Maemica
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IMPORTANTE
En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva los trminos como el
docente, el estudiante, el profesor, el alumno, el compaero y sus respectivos
plurales (as como otras palabras equivalentes en el contexto educativo); es decir, se
refieren a hombres y mujeres.
Esta opcin obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cmo evitar la
discriminacin de gneros en el idioma espaol, salvo usando o/a, los/las y otras
similares para referirse a ambos sexos en conjunto, y ese tipo de frmulas supone una
saturacin grfica que puede dificultar la comprensin de la lectura.
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Prgrama e EsuiSpim A Bsic
Ministerio de Educacin
Maemica
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Estimados profesores y profesoras:
La entrega de nuevos programas es una buena ocasin para reflexionar acerca de los desafos que enfrentamos hoy
como educadores en nuestro pas.
La escuela tiene por objeto permitir a todos los nios de Chile acceder a una vida plena, ayudndolos a alcanzar un
desarrollo integral que comprende los aspectos espiritual, tico, moral, afectivo, intelectual, artstico y fsico. Es decir,
se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vida
de la mejor forma posible.
Los presentes Programas de Estudio, aprobados por el Consejo Nacional de Educacin, buscan efectivamente abrir
el mundo a nuestros nios, con un fuerte nfasis en las herramientas clave, como la lectura, la escritura y el razona-
miento matemtico. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los mbitos, escolares y no escolares,
contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizaje
continuo ms all de la escuela.
Asimismo, el acceso a la comprensin de su pasado y su presente, y del mundo que los rodea, constituye el fundamento
para reafirmar la confianza en s mismos, actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cvica, conocer y respetar
deberes y derechos, asumir compromisos y disear proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobre
su entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio son la concrecin de estas ideas y se enfocan a su logro.
Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo; llamamos a nuestros
profesores a renovar su compromiso con esta tarea y tambin a ensear a sus estudiantes que el esfuerzo personal,
realizado en forma sostenida y persistente, es la mejor garanta para lograr xito en lo que nos proponemos. Pedimos
a los alumnos que estudien con intensidad, dedicacin, ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. A los padres
y apoderados los animamos a acompaar a sus hijos en las actividades escolares, a comprometerse con su estableci-
miento educacional y a exigir un buen nivel de enseaza. Estamos convencidos de que una educacin de verdad se
juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar.
A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio, y a involucrarse de forma opti-
mista en las tareas que estos proponen. Con el apoyo de ustedes, estamos seguros de lograr una educacin de mayor
calidad y equidad para todos nuestros nios.
Felipe Bulnes Serrano
Ministro de Educacin de Chile
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Matemtica
Programa de Estudio para Sptimo Ao Bsico
Unidad de Currculum y Evaluacin
ISBN 978-956-292-341-5
Ministerio de Educacin, Repblica de Chile
Alameda 1371, Santiago
Primera Edicin: 2011
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Spim A Bsic / Maemica
nice
Presenacin 6
Ncines Bsicas 8 Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes
10 Objetivos Fundamentales Transversales
11 Mapas de Progreso
Cnsieracines Generaespara Impemenar e Prgrama 13
16 Orientaciones para planificar
19 Orientaciones para evaluar
Maemica 24 Propsitos
25 Habilidades
26 Orientaciones didcticas
Visin Gba e A 28 Aprendizajes Esperados por semestre y unidad
Uniaes 33
Semesre 1 35 Unidad 1 Nmeros y lgebra
49 Unidad 2 Geometra
Semesre 2 57 Unidad 3 Nmeros y Geometra
73 Unidad 4 Datos y Azar
Bibigrafa 87
Anexs 91
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Presenacin
El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo
pedaggico del ao escolar. Esta propuesta pretende promover el logro de los
Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mnimos Obliga-
torios (CMO) que define el Marco Curricular1.
La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programasde estudio, previa aprobacin de los mismos por parte del Mineduc. El presen-
te programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no
cuentan con programas propios.
Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son:
una especificacin de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los
OF y los CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a travs de los Aprendi-
zajes Esperados2
una organizacin temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades
una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluacin, a modo
de sugerencia
Adems, se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedag-
gico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos
que este propone.
Este programa de estudio incluye:
Nociones bsicas. Esta seccin presenta conceptos fundamentales que es-
tn en la base del Marco Curricular y, a la vez, ofrece una visin general acerca
de la funcin de los Mapas de Progreso
Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten
en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el tra-
bajo en torno a l
El programa es una
propuesta para lograr los
Objetivos Fundamentales
y los Contenidos
Mnimos Obligatorios
1 Decretos supremos 254 y 256 de 2009
2 En algunos casos, estos aprendizajes estn formulados en los mismos trminos
que algunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando esos OF se pueden
desarrollar ntegramente en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su
desglose en definiciones ms especficas.
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7Spim A Bsic / MaemicaPresentacin
Propsitos, habilidades y orientaciones didcticas. Esta seccin presenta
sintticamente los propsitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendi-
zajes del sector y las habilidades a desarrollar. Tambin entrega algunas orien-
taciones pedaggicas importantes para implementar el programa en el sector
Visin global del ao. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que sedebe desarrollar durante el ao, organizados de acuerdo a unidades
Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la
unidad, incluyen indicadores de evaluacin y sugerencias de actividades que
apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3
Instrumentos y ejemplos de evaluacin. Ilustran formas de apreciar el lo-
gro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pue-
den usarse para este fin
Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliogrficos y electr-
nicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector; se
distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes
3 Relaciones interdisciplinarias. En algunos casos las actividades relacionan dos o ms
sectores y se simbolizan con
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Ncines Bsicas
Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes
Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estu-
dio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos
aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina comolas habilidades y actitudes.
Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades
y actitudes para enfrentar diversos desafos, tanto en el contexto del sector de
aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia
el logro de competencias, entendidas como la movilizacin de dichos elementos
para realizar de manera efectiva una accin determinada.
Se trata una nocin de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos,
las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se
enriquecen y potencian de forma recproca.
Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontnea-
mente al estudiar las disciplinas. Necesitan promoverse de manera metdica y
estar explcitas en los propsitos que articulan el trabajo de los docentes.
Habilidades
Son importantes, porque
el aprendizaje involucra no solo el saber, sino tambin el saber hacer. Por otraparte, la continua expansin y la creciente complejidad del conocimiento de-
mandan cada vez ms capacidades de pensamiento que permitan, entre otros
aspectos, usar la informacin de manera apropiada y rigurosa, examinar crti-
camente las diversas fuentes de informacin disponibles y adquirir y generar
nuevos conocimientos.
Esta situacin hace relevante la promocin de diversas habilidades, como re-
solver problemas, formular conjeturas, realizar clculos en forma mental y es-
crita y verificar proposiciones simples, entre otras.
Se deben desarrollar de manera integrada, porque
sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alum-
nos resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego
para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos.
Habilidades,
conocimientos
y actitudes
movilizados para
enfrentar diversas
situaciones y desafos
y que se desarrollan
de manera integrada
Deben promoverse de
manera sistemtica
Son fundamentales enel actual contexto social
Permiten poner en juego
los conocimientos
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9Spim A Bsic / MaemicaNociones Bsicas
ConoCimientos
Son importantes, porque
los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la com-
prensin de los estudiantes sobre los fenmenos que les toca enfrentar. Les per-miten relacionarse con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas
que complementan, de manera crucial, el saber que han obtenido por medio del
sentido comn y la experiencia cotidiana. Adems, estos conceptos son funda-
mentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes.
Por ejemplo, si se observa una informacin en un diario que contenga datos re-
presentados en tablas o grficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre
estadstica para interpretar a esa informacin. Los conocimientos previos le capa-
citan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en
la medida que entiende la informacin y as construir este nuevo conocimiento.
Se deben desarrollar de manera integrada, porque
son una condicin para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en
un vaco, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.
aCtitudes
Son importantes, porque
los aprendizajes no involucran nicamente la dimensin cognitiva. Siempreestn asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los pro-
psitos establecidos para la educacin, se contempla el desarrollo en los mbitos
personal, social, tico y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carcter afectivo y,
a la vez, ciertas disposiciones.
A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemtica involucran actitudes como
perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matem-
ticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en
contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias.
Se deben ensear de manera integrada, porque
en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su de-
sarrollo. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar
juicios informados, analizar crticamente diversas circunstancias y contrastar cri-
terios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.
Enriquecen la
comprensin y larelacin con el entorno
Son una base para el
desarrollo de habilidades
Estn involucradas enlos propsitos formativos
de la educacin
Son enriquecidas por
los conocimientos
y las habilidades
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A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los
conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente
necesario para usar constructivamente estos elementos.
Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)
Son aprendizajes que tienen un carcter comprensivo y general, y apuntan al
desarrollo personal, tico, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte
constitutiva del currculum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben
asumir la tarea de promover su logro.
Los OFT no se logran a travs de un sector de aprendizaje en particular; conse-
guirlos depende del conjunto del currculum. Deben promoverse a travs de las
diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por
ejemplo, por medio del proyecto educativo institucional, la prctica docente, el
clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).
No se trata de objetivos que incluyan nicamente actitudes y valores. Supone
integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.
A partir de la actualizacin al Marco Curricular realizada el ao 2009, estos ob-
jetivos se organizaron bajo un esquema comn para la Educacin Bsica y la
Educacin Media. De acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales
Transversales se agrupan en cinco mbitos: crecimiento y autoafirmacin per-
sonal, desarrollo del pensamiento, formacin tica, la persona y su entorno y
tecnologas de la informacin y la comunicacin.
Orientan la forma de
usar los conocimientos
y las habilidades
Son propsitos
generales definidos
en el currculum
que deben
promoverse en toda la
experiencia escolar
Integran conocimientos,
habilidades y actitudes
Se organizan en
una matriz comn
para educacin
bsica y media
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11Spim A Bsic / MaemicaNociones Bsicas
Mapas de Progreso
Son descripciones generales que sealan cmo progresan habitualmente los
aprendizajes en las reas clave de un sector determinado. Se trata de formu-
laciones sintticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A
partir de esto, ofrecen una visin panormica sobre la progresin del aprendizajeen los doce aos de escolaridad4.
Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en
el Marco Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa
de manera ms gruesa y sinttica los aprendizajes que esos dos instrumentos
establecen y, por lo tanto, se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su
particularidad consiste en que entregan una visin de conjunto sobre la progre-
sin esperada en todo el sector de aprendizaje.
Qu utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?
Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar
(ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se
presentan en el programa).
Adems, son un referente til para atender a la diversidad de estudiantes dentro
del aula:
permiten ms que simplemente constatar que existen distintos niveles de
aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempe-
os de los estudiantes, ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisin
en qu consisten esas diferencias la progresin que describen permite reconocer cmo orientar los aprendiza-
jes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han
conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron
expresan el progreso del aprendizaje en un rea clave del sector, de manera
sinttica y alineada con el Marco Curricular
Describen
sintticamente
cmo progresa el
aprendizaje
de manera
congruente con el
Marco Curricular y los
programas de estudio
Sirven de apoyo para
planificar y evaluar
y para atender
la diversidad al
interior del curso
4 Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del apren-
dizaje de los estudiantes en un mbito o eje del sector. Cada uno de estos nivelespresenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos aos de escolaridad.
Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayora de los nios
y nias al trmino de 2 bsico; el Nivel 2 corresponde al trmino de 4 bsico, y as
sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que, al egre-
sar de la Educacin Media, es sobresaliente, es decir, va ms all de la expectativa
para IV medio que describe el Nivel 6 en cada mapa.
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mapa de progresoEntrega una visin sinttica del progreso del aprendizaje
en un rea clave del sector, y se ajusta a las expectativas del
Marco Curricular.
Ejemplo:
Mapa de Progreso Nmeros y Operaciones
Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numricosNivel 6Reconoce los nmeros complejos como
Nivel 5 Reconoce a los nmeros racionales comoNivel 4 Reconoce a los nmeros enteros como un conjuntonumrico en donde se pueden resolver problemas que noadmiten solucin en los nmeros naturales, reconoce suspropiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuan-tificar magnitudes. Establece proporciones y las usa pararesolver diversas situaciones de variacin proporcional.Comprende y realiza las cuatro operaciones con nmerosenteros. Utiliza races cuadradas de nmeros enterospositivos y potencias de base fraccionaria positiva, decimalpositivo o entero y exponente natural en la solucin dediversos desafos. Resuelve problemas y formula conjeturasen diversos contextos en los que se deben establecer rela-
ciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, lasconjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizan-do conceptos, procedimientos y relaciones matemticas.Nivel 3 Reconoce que los nmeros naturalesNivel 2 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000Nivel 1 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000 para
programa de estudioOrienta la labor pedaggica, esta-
bleciendo Aprendizajes Esperados
que dan cuenta de los Objetivos
Fundamentales y Contenidos Mni-
mos, y los organiza temporalmente a
travs de unidades.
Ejemplo:
Aprendizaje Esperado 7 bsico
Establecer relaciones de orden entrenmeros enteros y ubicarlos en larecta numrica.
marCo CurriCularPrescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mnimos obligatorios que todos
los estudiantes deben lograr.
Ejemplo:
Objetivo Fundamental 7 bsico
Establecer relaciones de orden entre nmeros enteros, reconocer algunas de sus propie-
dades, y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos nmeros y aplicarlas
en diversas situaciones.
Contenido Mnimo Obligatorio
Representacin de nmeros enteros en la recta numrica y determinacin de relaciones
de orden entre ellos
Relacin entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular
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Cnsieracines Generaespara Impemenar
e Prgrama
Consideraciones Generales para Implementar el Programa
Las orientaciones que se presentan a continuacin destacan algunos elementos
relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orien-
taciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en
el currculum.
Uso del lenguaje
Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicacin oral, la lectura y
la escritura como parte constitutiva del trabajo pedaggico correspondiente a
cada sector de aprendizaje.
Esto se justifica, porque las habilidades de comunicacin son herramientas fun-
damentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes
propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan nicamente
en el contexto del sector Lenguaje y Comunicacin, sino que se consolidan a tra-
vs del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto,
involucran los otros sectores de aprendizaje del currculum.
Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicacin oral, los do-
centes deben procurar:
leCtura
la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informa-
tivos propios del sector, textos periodsticos y narrativos, tablas y grficos)
la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptosespecializados del sector
la identificacin de las ideas principales y la localizacin de informacin relevante
la realizacin de resmenes y la sntesis de las ideas y argumentos presenta-
dos en los textos
la bsqueda de informacin en fuentes escritas, discriminndola y seleccio-
nndola de acuerdo a su pertinencia
la comprensin y el dominio de nuevos conceptos y palabras
esCritura
la escritura de textos de diversa extensin y complejidad (por ejemplo, repor-tes, ensayos, descripciones, respuestas breves)
la organizacin y presentacin de informacin a travs de esquemas o tablas
la presentacin de las ideas de una manera coherente y clara
el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos
el uso correcto de la gramtica y de la ortografa
La lectura, la escritura
y la comunicacin oral
deben promoverse en
los distintos sectores
de aprendizaje
Estas habilidades se
pueden promover
de diversas formas
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ComuniCaCin oral
la capacidad de exponer ante otras personas
la expresin de ideas y conocimientos de manera organizada
el desarrollo de la argumentacin al formular ideas y opiniones
el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisin, incorporando losconceptos propios del sector
el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para
superar dificultades de comprensin
la disposicin para escuchar informacin de manera oral, manteniendo la
atencin durante el tiempo requerido
la interaccin con otras personas para intercambiar ideas, analizar informa-
cin y elaborar conexiones en relacin con un tema en particular, compartir
puntos de vista y lograr acuerdos
Uso de las Tecnologas de la Informacin y laComunicacin (TICs)
El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologas de la Informacin
y la Comunicacin (TICs) est contemplado de manera explcita como uno de
los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda
que el dominio y uso de estas tecnologas se promueva de manera integrada al
trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe
procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para:
buscar, acceder y recolectar informacin en pginas web u otras fuentes, y
seleccionar esta informacin, examinando crticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos, utilizando plantillas de clculo, y manipular la in-
formacin sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades y
patrones relativos a los fenmenos estudiados en el sector
desarrollar y presentar informacin a travs del uso de procesadores de texto,
plantillas de presentacin (power point) y herramientas y aplicaciones de ima-
gen, audio y video
intercambiar informacin a travs de las herramientas que ofrece internet,
como correo electrnico, chat, espacios interactivos en sitios web o comuni-
dades virtuales
respetar y asumir consideraciones ticas en el uso de las TICs, como el
cuidado personal y el respeto por el otro, sealar las fuentes de donde seobtiene la informacin y respetar las normas de uso y de seguridad de los
espacios virtuales
Debe impulsarse
el uso de las TICs a
travs de los sectores
de aprendizaje
Se puede recurrir
a diversas formasde utilizacin de
estas tecnologas
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15Spim A Bsic / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa
Atencin a la diversidad
En el trabajo pedaggico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre
los estudiantes en trminos culturales, sociales, tnicos o religiosos, y respecto
de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento.
Esa diversidad conlleva desafos que los profesores tienen que contemplar. Entre
ellos, cabe sealar:
promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de toleran-
cia y apertura, evitando las distintas formas de discriminacin
procurar que los aprendizajes se desarrollen en relacin con el contexto y la
realidad de los estudiantes
intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje sealados
en el currculum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos
Atencin a la diversidad y promocin de aprendizajes
Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de
aprendizaje no implica expectativas ms bajas para algunos estudiantes. Por
el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar
que hay que reconocer los requerimientos didcticos personales de los alumnos,
para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes
alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.
En atencin a lo anterior, es conveniente que, al momento de disear el traba-
jo en una unidad, el docente considere que precisarn ms tiempo o mtodos
diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto,debe desarrollar una planificacin inteligente que genere las condiciones que
le permitan:
conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de
los estudiantes
evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades
de aprendizaje
definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partida
incluir combinaciones didcticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y
materiales diversos (visuales, objetos manipulables)
evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con mltiples opciones
promover la confianza de los alumnos en s mismos promover un trabajo sistemtico por parte de los estudiantes y ejercitacin
abundante
La diversidad
entre estudiantes
establece desafos
que deben tomarseen consideracin
Es necesario atender
a la diversidad para
que todos logrenlos aprendizajes
Esto demanda conocer
qu saben y, sobre
esa base, definir con
flexibilidad las diversas
medidas pertinentes
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Orientaciones para planificar
La planificacin es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los
aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los
procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar.
Los programas de estudio del Ministerio de Educacin constituyen una herra-
mienta de apoyo al proceso de planificacin. Para estos efectos, han sido elabo-
rados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad
en los distintos contextos educativos del pas.
El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son
los Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la pla-
nificacin a travs de la propuesta de unidades, de la estimacin del tiempo
cronolgico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para de-
sarrollar los aprendizajes.
ConsideraCiones generales para realizar la planifiCaCin
La planificacin es un proceso que se recomienda realizar, considerando los
siguientes aspectos:
la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes
del curso, lo que implica planificar considerando desafos para los distintos
grupos de alumnos
el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible
las prcticas pedaggicas que han dado resultados satisfactorios
los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materia-les didcticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesa-
rio disear; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de
Aprendizaje (CRA), entre otros
sugerenCias para el proCeso de planifiCaCin
Para que la planificacin efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe
estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visin clara de lo
que los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda
elaborar la planificacin en los siguientes trminos:
comenzar por una especificacin de los Aprendizajes Esperados que no selimite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo
ms clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Esto im-
plica reconocer qu desempeos de los estudiantes demuestran el logro de
los aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como qu deberan
La planificacin
favorece el logro de
los aprendizajes
El programa sirve de
apoyo a la planificacin
a travs de un conjunto
de elementos elaborados
para este fin
Se debe planificar
tomando en cuenta la
diversidad, el tiempo real,
las prcticas anteriores y
los recursos disponibles
Lograr una visin lo ms
clara y concreta posible
sobre los desempeos
que dan cuenta de
los aprendizajes
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17Spim A Bsic / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa
ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado
Aprendizaje Esperado?, qu habra que observar para saber que un aprendi-
zaje ha sido logrado?
a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar
y las estrategias de enseanza. Especficamente, se requiere identificar qu
tarea de evaluacin es ms pertinente para observar el desempeo espera-do y qu modalidades de enseanza facilitarn alcanzar este desempeo. De
acuerdo a este proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumati-
vas, las actividades de enseanza y las instancias de retroalimentacin
Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso,
que entregan elementos tiles para reconocer el tipo de desempeo asociado
a los aprendizajes.
Se sugiere que la forma de plantear la planificacin arriba propuesta se use
tanto en la planificacin anual como en la correspondiente a cada unidad y al
plan de cada clase.
La planificacin anual
En este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo
del ao escolar, considerando su organizacin por unidades; estimar el tiempo
que se requerir para cada unidad y priorizar las acciones que conducirn a lo-
gros acadmicos significativos.
Para esto, el docente tiene que:
alcanzar una visin sinttica del conjunto de aprendizajes a lograr duran-te el ao, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los
estudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados
especificados en los programas. Los Mapas de Progreso pueden resultar un
apoyo importante
identificar, en trminos generales, el tipo de evaluacin que se requerir para
verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitir desarrollar una idea de las
demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad
sobre la base de esta visin, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para
que esta distribucin resulte lo ms realista posible, se recomienda:
- listar das del ao y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible
- elaborar una calendarizacin tentativa de los Aprendizajes Esperados para elao completo, considerando los feriados, los das de prueba y de repaso, y la
realizacin de evaluaciones formativas y retroalimentacin
- hacer una planificacin gruesa de las actividades a partir de la calendarizacin
- ajustar permanentemente la calendarizacin o las actividades planificadas
y, sobre esa base,
decidir las evaluaciones,
las estrategias deenseanza y la
distribucin temporal
Realizar esteproceso con una
visin realista de los
tiempos disponibles
durante el ao
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La planificacin de la unidad
Implica tomar decisiones ms precisas sobre qu ensear y cmo ensear, con-
siderando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.
La planificacin de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificacin anual, esta visin
debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda
complementarla con los Mapas de Progreso
crear una evaluacin sumativa para la unidad
idear una herramienta de diagnstico de comienzos de la unidad
calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana
establecer las actividades de enseanza que se desarrollarn
generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especifi-
cando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y
retroalimentacin
ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes
La planificacin de clase
Es imprescindible que cada clase sea diseada considerando que todas sus par-
tes estn alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con
la evaluacin que se utilizar.
Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseada distinguiendo su
inicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qu elementos se con-
siderarn en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos comolos siguientes:
inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el prop-
sito de la clase; es decir, qu se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar
captar el inters de los estudiantes y que visualicen cmo se relaciona lo que
aprendern con lo que ya saben y con las clases anteriores
desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada
para la clase
cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En
l se debe procurar que los estudiantes se formen una visin acerca de qu
aprendieron y cul es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas
para promover su aprendizaje.
Realizar este proceso
sin perder de vista la
meta de aprendizaje
de la unidad
Procurar que los
estudiantes sepan qu y
por qu van a aprender,
qu aprendieron y
de qu manera
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19Spim A Bsic / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa
Orientaciones para evaluar
La evaluacin forma parte constitutiva del proceso de enseanza. No se debe
usar solo como un medio para controlar qu saben los estudiantes, sino que
cumple un rol central en la promocin y el desarrollo del aprendizaje. Para que
cumpla efectivamente con esta funcin, debe tener como objetivos: ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes
proporcionar informacin que permita conocer fortalezas y debilidades de los
alumnos y, sobre esa base, retroalimentar la enseanza y potenciar los logros
esperados dentro del sector
ser una herramienta til para la planificacin
Cmo promover el aprendizaje a travs de la evaluaCin?
Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si
se llevan a cabo considerando lo siguiente:
informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarn. Esto facilita que
puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr
elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se bus-
ca alcanzar, fundados en el anlisis de los desempeos de los estudiantes. Las
evaluaciones entregan informacin para conocer sus fortalezas y debilidades. El
anlisis de esta informacin permite tomar decisiones para mejorar los resulta-
dos alcanzados
retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta
informacin con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que
debe seguir para avanzar. Tambin da la posibilidad de desarrollar procesos
metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; asu vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos
Cmo se pueden artiCular los mapas de progreso del
aprendizaje Con la evaluaCin?
Los Mapas de Progreso ponen a disposicin de las escuelas de todo el pas un
mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y
los ubican en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el segui-
miento de los aprendizajes, en tanto permiten:
reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar
aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripcin decada nivel, sus ejemplos de desempeo y el trabajo concreto de estudiantes
que ilustran esta expectativa
Apoya el proceso
de aprendizaje al
permitir su monitoreo,
retroalimentar a losestudiantes y sustentar
la planificacin
Explicitar qu se evaluar
Identificar logros
y debilidades
Ofrecer retroalimentacin
Los mapas apoyan
diversos aspectos del
proceso de evaluacin
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20
observar el desarrollo, la progresin o el crecimiento de las competencias de
un alumno, al constatar cmo sus desempeos se van desplazando en el mapa
contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evi-
denciar sus aprendizajes
Cmo disear la evaluaCin?
La evaluacin debe disearse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el obje-
to de observar en qu grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda disear la
evaluacin junto a la planificacin y considerar las siguientes preguntas:
Cules son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcar la
evaluacin?
Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que sern duraderos y pre-
rrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progre-
so pueden ser de especial utilidad
Qu evidencia necesitaran exhibir sus estudiantes para demostrar
que dominan los Aprendizajes Esperados?
Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluacin sugeridos
que presenta el programa.
Qu mtodo emplear para evaluar?
Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas
escritas, guas de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas con-
ceptuales, informes de laboratorio e investigaciones, entre otros).
En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas
maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes
puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.
Qu preguntas se incluir en la evaluacin?
Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Espe-
rados, que permitan demostrar la real comprensin del contenido evaluado
Cules son los criterios de xito?, cules son las caractersticas de
una respuesta de alta calidad?
Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo:- comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de
otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en
los Mapas de Progreso
Partir estableciendo
los Aprendizajes
Esperados a evaluar
y luego decidir qu
se requiere para su
evaluacin en trminos
de evidencias, mtodos,
preguntas y criterios
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21Spim A Bsic / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa
- identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen
el nivel de desempeo esperado, y utilizarlas como modelo para otras eva-
luaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje
- desarrollar rbricas5 que indiquen los resultados explcitos para un des-
empeo especfico y que muestren los diferentes niveles de calidad para
dicho desempeo
5 Rbrica: tabla o pauta para evaluar
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MaemicaPrgrama e EsuiSpim A Bsic
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PrpsisEl aprendizaje de la matemtica ayuda a comprender
la realidad y proporciona herramientas para desenvol-
verse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el
clculo, el anlisis de la informacin proveniente de
diversas fuentes, la capacidad de generalizar situacio-
nes, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados
y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo
esto contribuye a desarrollar un pensamiento lgico,ordenado, crtico y autnomo, y a generar actitudes
como precisin, rigurosidad, perseverancia y confianza
en s mismo, que se valoran no solo en la ciencia y la
tecnologa, sino tambin en la vida cotidiana.
Aprender matemticas acrecienta tambin las habilida-
des relativas a la comunicacin; por una parte, ensea a
Maemica
presentar informacin con precisin y rigurosidad y, por
otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones
y argumentos que se recibe.
El conocimiento matemtico y la capacidad para
usarlo provocan importantes consecuencias en el
desarrollo, el desempeo y la vida de las personas. El
entorno social valora el conocimiento matemtico ylo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden
superior. Aprender matemtica influye en el concep-
to que nios, jvenes y adultos construyen sobre s
mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a
que la persona se sienta un ser autnomo y valioso. En
consecuencia, la calidad, la pertinencia y la ampli-
tud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la
HABIlIdAdES dE PENSAMIENto MAtEMtICo
4 bsico 5 bsico 6 bsico
Resolver problemas en contextos
significativos que requieren el uso
de los contenidos del nivel
Resolver problemas en contextos
diversos y significativos
Resolver problemas en contextos
significativos
Formular conjeturas y verificarlas,
para algunos casos particulares
Formular y verificar conjeturas,
en casos particulares
Ordenar nmeros y ubicarlos en
la recta numrica
Ordenar nmeros y ubicarlos en
la recta numrica
Realizar clculos en forma mentaly escrita
Realizar clculos en forma mentaly escrita
Realizar clculos en forma mentaly escrita
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Spim A Bsic / Maemica 25Matemtica
HabiiaesAl estudiar matemticas, el estudiante adquiere el razo-
namiento lgico, la visualizacin espacial, el pensamien-
to analtico, el clculo, el modelamiento y las destrezas
para resolver problemas. La tabla siguiente puede
resultar til para:
observar transversalmente las habilidades que se
desarrollan en el sector
focalizarse en un nivel y disear actividades y evalua-ciones que enfaticen dichas habilidades
situarse en el nivel, observar las habilidades que se
pretendi ensear en los aos anteriores y las que se
trabajarn ms adelante
advertir diferencias y similitudes en los nfasis por
ciclos de enseanza
7 bsico 8 bsico I medio
Resolver problemas en contextos
diversos y significativos, utilizando
los contenidos del nivel
Resolver problemas en contextos
diversos y significativos
Analizar estrategias de resolucin de
problemas de acuerdo con criterios
definidos
Analizar la validez de los
procedimientos utilizados y de
los resultados obtenidos
Evaluar la validez de los resultados
obtenidos y el empleo de dichos
resultados para fundamentaropiniones y tomar decisiones
Fundamentar opiniones y tomar
decisiones
Ordenar nmeros y ubicarlos en la
recta numrica
Realizar clculos en forma mentaly escrita
Realizar clculos en forma mentaly escrita
Emplear formas simples de
modelamiento matemtico
Emplear formas simples de
modelamiento matemtico
Aplicar modelos lineales que repre-
sentan la relacin entre variables
Verificar proposiciones simples,
para casos particulares
Diferenciar entre verificacin y
demostracin de propiedades
calidad de vida de las personas y afecta el potencial de
desarrollo del pas.
La matemtica ofrece tambin la posibilidad de trabajar
con entes abstractos y sus relaciones y prepara a los
estudiantes para que entiendan el medio y las mltiples
relaciones que se dan en un espacio simblico y fsico
de complejidad creciente. Se trata de espacios en losque la cultura, la tecnologa y las ciencias se redefinen
en forma permanente y se hacen ms difciles, y las
finanzas, los sistemas de comunicacin y los vnculos
entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan.
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Se ha concebido este sector como una oportunidad
para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.
La matemtica es un rea poderosa de la cultura, pues
permite comprender, explicar y predecir situaciones
y fenmenos del entorno. Por eso, es importante que
los docentes se esfuercen para que todos los alumnos
del pas aprendan los conocimientos y desarrollen las
capacidades propias de esta disciplina. Estos programasentregan algunas orientaciones que ayudarn a los
profesores a cumplir con este objetivo por medio de la
planificacin y en el transcurso de las clases.
los ConCeptos matemtiCos: profundidad
e integraCin
Los estudiantes deben explorar en las ideas matemti-
cas y entender que ellas constituyen un todo y no frag-
mentos aislados del saber. Tienen que enfrentar variadas
experiencias para que comprendan en profundidad los
conceptos matemticos, sus conexiones y sus aplica-ciones. De esta manera, podrn participar activamente
y adquirir mayor confianza para investigar y aplicar
las matemticas. Se recomienda que usen materiales
concretos, realicen trabajos prcticos y se apoyen en la
tecnologa, en especial en el ciclo bsico.
el uso del Contexto
Es importante que el docente aclare que esta disciplina
est enraizada en la cultura y en la historia; asimismo,
que impacta en otras reas del conocimiento cientfico,
crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse
cmo se originaron los conceptos y modelos matemti-
cos, en qu perodos de la historia y cmo se enlazaron
con la evolucin del pensamiento, es un ancla impor-
tante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogas
y representaciones cercanas a los estudiantes, en es-
pecial en las etapas de exploracin. Tambin se sugiere
aplicar las matemticas a otras reas del saber y en la
vida diaria, como un modo de apoyar la construccin
del conocimiento matemtico.
razonamiento matemtiCo y resoluCin
de problemas
Esta disciplina se construye a partir de regularidades
que subyacen a situaciones aparentemente diversas
y ayuda a razonar en vez de actuar de modo mec-
nico. Por eso es importante invitar a los estudiantes a
buscar regularidades. Tambin se pretende desarrollar
y explicar la nocin de estrategia, comparar diversas
formas de abordar problemas y justificar y demostrar las
proposiciones matemticas. El docente debe procurar,
asimismo, que los alumnos conjeturen y verifiquen
cmo se comportan los elementos y las relaciones conque se trabaja. Tienen que analizar los procedimientos
para resolver un problema y comprobar resultados,
propiedades y relaciones.
Aunque deben ser competentes en diversas habilidades
matemticas, el profesor tiene que evitar que pongan
demasiado nfasis en los procedimientos si no com-
prenden los principios matemticos correspondientes.
uso del error
Usar adecuadamente el error ayuda a crear un am-biente de bsqueda y creacin. Un educador puede
aprovechar la equivocacin para inducir aprendizajes
especialmente significativos, si lo hace de manera
constructiva. Se debe considerar el error como un
elemento concreto para trabajar la diversidad en clases
y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendi-
zajes propuestos.
aprendizaje matemtiCo y desarrollo
personal
La clase de Matemtica ofrece abundantes ocasiones
para el autoconocimiento y las interacciones sociales.
Es una oportunidad para la metacognicin6: cmo
lo hice?, cmo lo hicieron?, de qu otra manera es
posible? Adems, la percepcin que cada cual tiene de
su propia capacidad para aprender y hacer matemtica,
surge de la retroalimentacin que le ha dado la propia
experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus ma-
nos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y
los logros de los alumnos. Otros aspectos que tambin
ayudan a que cada estudiante aumente la confianza ens mismo son valorar las diferencias, aceptar los xitos o
las acciones de sus pares, crear un clima de confianza y
distinguir de qu modo enfrenta cada uno el triunfo o el
fracaso, sea propio o de los dems.
orienacines icicas
6 Metacongicin: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento
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teCnologas digitales y aprendizaje
matemtiCo
El presente programa propone usar software para am-
pliar las oportunidades de aprendizaje de los estudian-
tes. Estas tecnologas permiten representar nociones
abstractas a travs de modelos en los que se puede
experimentar con ideas matemticas; tambin se puede
crear situaciones para que los alumnos exploren las ca-ractersticas, los lmites y las posibilidades de conceptos,
relaciones o procedimientos matemticos. Los procesa-
dores geomtricos, simblicos y de estadstica son labo-
ratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba.
Con un procesador simblico, se puede analizar y en-
tender nmeros grandes o muy pequeos. Y se puede
estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de
alta complejidad. Internet ofrece mltiples ambientes
con representaciones dinmicas de una gran cantidad
de objetos matemticos. Los procesadores geomtricos
permiten experimentar con nociones y relaciones de la
Matemtica
geometra euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de
un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los
ayudar mucho a formarse para una vida cada vez ms
influida por las tecnologas digitales.
Clima y motivaCin
Se debe propiciar un ambiente creativo para que los
alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturasrespecto de los problemas que abordan. Ese ambiente
debe admitir que el error, la duda y la pregunta son
importantes y valiosos para construir conocimiento;
asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y
aprovecharlos para crear una bsqueda y una cons-
truccin colectiva. En ese espacio ser natural analizar
acciones y procedimientos y explorar caminos alter-
nativos de una bsqueda y construccin colectivas.
Debe constituirse en un espacio en el que es natural el
anlisis de las acciones y procedimientos, de modo de
comparar diversas alternativas.
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Visin Gba e AApreniaes Esperas pr semesre y unia
AE 05
Reconocer una proporcin como una igualdad entre
dos razones.
AE 06
Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en
contextos diversos.
AE 07
Establecer estrategias para reducir trminos semejantes.
AE 08
Resolver problemas que impliquen plantear y resolver
ecuaciones de primer grado con una incgnita en el
mbito de los nmeros enteros y fracciones o decimales
positivos, y problemas que involucran proporcionalidad.
Tiempo estimado
63 horas pedaggicas
Unia 1Nmers y gebra
Semesre 1
AE 01
Identificar problemas que no admiten solucin en los
nmeros naturales y que pueden ser resueltos en los
nmeros enteros.
AE 02
Establecer relaciones de orden entre nmeros enteros y
ubicar estos nmeros en la recta numrica.
AE 03
Sumar y restar nmeros enteros e interpretar estas
operaciones.
AE 04
Reconocer propiedades relativas a la adicin y sustraccin
de nmeros enteros y aplicarlas en clculos numricos.
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Spim A Bsic / Maemica 29Visin Global del Ao
Unia 2Gemera
AE 01
Construir rectas perpendiculares, paralelas y bisectrices
de ngulos, usando instrumentos manuales o procesa-
dores geomtricos.
AE 02
Comprobar propiedades de alturas, simetrales, bisectri-
ces y transversales de gravedad de tringulos, utilizando
instrumentos manuales o procesadores geomtricos.
AE 03
Construir tringulos a partir de la medida de sus lados
y/o ngulos, usando instrumentos manuales o procesa-
dores geomtricos.
AE 04
Construir ngulos, utilizando instrumentos manuales o
un procesador geomtrico.
Tiempo estimado
40 horas pedaggicas
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30
Semesre 2
Unia 3Nmers y Gemera
AE 01
Interpretar potencias de exponente natural cuya base es
un nmero fraccionario o decimal positivo.
AE 02
Interpretar potencias de base 10 y exponente entero.
AE 03
Conjeturar y verificar algunas propiedades7 de las po-
tencias de base y exponente natural.
AE 04
Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de
base y exponente natural.
AE 05
Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de
base 10 y exponente entero.
AE 06
Comprender el significado de la raz cuadrada de un
nmero entero positivo.
AE 07
Determinar y estimar el valor de races cuadradas.
AE 08
Comprender el teorema de Pitgoras y el teorema
recproco de Pitgoras.
AE 09
Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas
rectos y pirmides en contextos diversos, y expresar los
resultados en las unidades de medida correspondiente.
AE 10
Formular y verificar conjeturas, en casos particulares,
relativas a cambios en el permetro de polgonos al
variar uno o ms de sus elementos lineales.
AE 11
Formular y verificar conjeturas, en casos particulares,relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y
pirmides al variar uno o ms de sus elementos lineales.
AE 12
Resolver problemas en contextos diversos:
a. Aplicando propiedades de las potencias de base y
exponente natural, y las potencias de base 10
y exponente entero
b. Utilizando el teorema de Pitgoras y el teorema
recproco de Pitgoras
7 Se refiere, por ejemplo, a las propiedades de multiplicacin y divisin de potencias de igual base, multiplicacin de potencias de
igual exponente, potencia de una potencia. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero.
Tiempo estimado
77 horas pedaggicas
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Spim A Bsic / Maemica 31Visin Global del Ao
Unia 4das y Aar
AE 01
Analizar informacin presente en diversos tipos de tablas
y grficos.
AE 02
Seleccionar formas de organizacin y representacin de
datos de acuerdo al tipo de anlisis que se quiere realizar.
Tiempo estimado
40 horas pedaggicas
AE 03
Reconocer que la naturaleza y el mtodo de seleccin
de muestras inciden en el estudio de una poblacin.
AE 04
Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a
partir de la frecuencia relativa obtenida en la realizacin
de experimentos aleatorios simples.
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Uniaes
Semesre 1
Semesre 2
Unia 1Nmers y gebra
Unia 2Gemera
Unia 3Nmers y Gemera
Unia 4das y Aar
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Unia 1Nmers y gebra
propsito
Se espera que en esta unidad los estudiantes seancapaces de resolver problemas de adicin y sus-
traccin con nmeros enteros. Tambin propone un
trabajo con razones y proporciones y, si bien es cierto
que este tema puede desde una mirada algebraica,
para este nivel el enfoque es numrico. Es decir, se
busca que los estudiantes comprendan los alcan-
ces de comparar dos magnitudes, estableciendo el
cuociente entre ambas, y puedan resolver diversas
situaciones, cuyos modelos representan situaciones
de variacin proporcional.
El lgebra progresa naturalmente junto al mbito nu-
mrico, ya que en este nivel se trabajan expresiones
donde los factores de los trminos involucrados en
ellas estn en el mbito de los enteros y las fraccio-
nes y decimales positivos. El trabajo con ecuaciones
que se propone en este nivel contina naturalmente
ampliando el mbito numrico, ya que tanto los
coeficientes como los valores incgnitos pueden ser
nmeros enteros, decimales o fracciones positivas.
ConoCimientos previos
Operatoria con nmeros naturales
Razn como cuociente entre cantidades
Ecuaciones de primer grado con una incgnita en
el mbito de los nmeros naturales
palabras Clave
Nmeros enteros, proporciones.
Contenidos
Nmeros enteros
Adicin y sustraccin de nmeros enteros Proporcin como igualdad de razones
Ecuaciones de primer grado con una incgnita en
el mbito de los nmeros enteros, fracciones o
decimales positivos
Habilidades
Analizar si un problema tiene soluciones en el
conjunto de los nmeros naturales
Resolver problemas que implican ordenar u operar
con nmeros enteros
Usar las proporciones para resolver problemas de
variacin proporcional
Discriminar entre las relaciones proporcionales
directas e inversas
Resolver problemas que involucran clculo de
porcentajes, usando proporciones
Plantear ecuaciones de primer grado con una
incgnita que representan distintas situaciones
Resolver ecuaciones de primer grado con una
incgnita y coeficientes enteros
Resolver problemas y formular conjeturas endiversos contextos en los que se deben establecer
relaciones entre conceptos
aCtitudes
Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y
originalidad al resolver problemas matemticos
Trabajo en equipo e iniciativa personal en la reso-
lucin de problemas en contextos diversos
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36
ApreniaesEsperas
Se espera que los estudiantes sean
capaces de:
c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
AE 01Identifcar problemas que no
amien sucin en s n-
meros naturales y que puedenser resues en s nmers
eners.
Dan ejemplos de problemas que admiten solucin en los nmeros
naturales.
Dan ejemplos de problemas que admiten solucin en los nmeros enteros. Explican diferencias que se presentan en las ecuaciones asociadas a pro-
blemas que admiten solucin en los nmeros naturales y las ecuaciones
asociadas a problemas que admiten solucin en los nmeros enteros.
AE 02Esabecer reacines e ren
enre nmers eners y ubi-
car ess nmers en a reca
numrica.
Ordenan de mayor a menor y viceversa nmeros enteros.
Intercalan nmeros enteros entre dos enteros.
Ubican en la recta numrica nmeros enteros sujetos a restricciones da-
das. Por ejemplo, ubican en la recta numrica nmeros enteros menoresque -4 y mayores que -10.
AE 03Sumar y resar nmers
eners e inerprear esas
peracines.
Realizan adiciones y sustracciones de nmeros enteros en la recta numrica.
Explican sumas y restas de nmeros enteros.
Utilizan y elaboran estrategias para sumar y restar nmeros enteros.
Identifican sumas y restas de nmeros enteros en diversos contextos e
interpretan estas operaciones en funcin del contexto.
AE 04Recncer prpieaes reai-
vas a a aicin y susraccin
e nmers eners y apicar-
as en ccus numrics.
Transforman la sustraccin entre dos nmeros enteros en una adicin de
estos. Por ejemplo: 70 45 = 70 + (-45)
Reconocen propiedades de la adicin en los nmeros enteros.
Calculan sumas y restas de nmeros enteros utilizando propiedades.
AE 05Recncer una prprcincm una iguaa enre s
ranes.
Comparan los cuocientes entre dos razones para plantear una proporcin.
Argumentan si dos razones forman una proporcin utilizando el teorema
fundamental de las proporciones.
Determinan el trmino desconocido de una proporcin.
Discriminan en el entorno entre las relaciones proporcionales y las no
proporcionales.
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Spim A Bsic / Maemica 37Unidad 1
Se espera que los estudiantes sean
capaces de:
c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
AE 06Caraceriar expresines
semeanes y recnceras en
cnexs iverss.
Identifican expresiones semejantes y no semejantes en contextos alge-
braicos y reconocen las diferencias.
Reconocen expresiones semejantes en contextos geomtricos. Por ejem-plo, reconocen que los lados de tringulos expresados en centmetros son
expresiones semejantes.
AE 07Esabecer esraegias para
reucir rmins semeanes.
Reducen sumas de trminos semejantes utilizando estrategias establecidas.
Convierten sumas y restas de trminos en expresiones semejantes y las
reducen. Por ejemplo, la suma 2a + 3b +3c+ a la expresan en la forma
2( a + b + c) + ( a + b + c) y posteriormente la reducen.
AE 08Resolver problemas que
impliquen plantear y resolver
ecuacines e primer gra
cn una incgnia en e mbi
e s nmers eners y frac-
cines ecimaes psiivs,
y problemas que involucran
prprcinaia.
Identifican situaciones que se pueden abordar mediante el planteamiento
de ecuaciones de primer grado en el mbito numrico de los enteros,
fracciones positivas o decimales positivos.
Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para la solucin del
problema.
Identifican la incgnita del problema y le asignan un nombre de x , por
ejemplo.
Establecen las relaciones entre las variables que se desprenden del enun-
ciado del problema.
Resuelven correctamente la ecuacin resultante.
Verifican si la solucin de la ecuacin es la solucin del problema.
Comunican en forma oral o escrita las soluciones del problema.
Utilizan las propiedades de la adicin en el conjunto de los nmeros ente-
ros para resolver problemas asociados a situaciones aditivas.
Aplican proporcionalidad directa para calcular porcentajes en diversos
contextos.
Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa.
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38
Se sugiere trabajar actividades que ofrezcan la posibi-
lidad de observar la proporcionalidad directa e inversa
en variados contextos, que posibiliten comparar entreellas y con magnitudes que no se relacionan propor-
cionalmente. Por ejemplo, se les puede mostrar que
dos variables no necesariamente estn en proporcin
directa cuando el crecimiento de una de ellas implique
el crecimiento de la otra.
Se recomienda poner especial cuidado en los pro-
cedimientos seleccionados para resolver ecuaciones
de primer grado con nmeros positivos y negativos.
Los algoritmos tradicionales de pasar de un lado
para otro generan aprendizajes de reglas mecnicas
no siempre comprendidas, que llevan a errores que
permanecen por largo tiempo. Por ejemplo, si no
se ha trabajado correctamente la interpretacin del
signo negativo de un nmero (diferente al signo de
la sustraccin), los estudiantes presentarn sistem-
ticamente problemas para despejar una ecuacin del
tipo x 3 = 5, pasando el 3 positivo al otro lado de la
igualdad, por el solo hecho de asociar el signo negati-
vo a la sustraccin.
Para evitar este tipo de errores, es necesario fomen-
tar el trabajo y desarrollo de actividades en parejas o
grupos pequeos. Es preferible que estos grupos estn
compuestos por estudiantes de capacidades similares.
Esto permitir entregarles actividades a los grupos de
acuerdo con sus capacidades.
Orientaciones didcticas para la unidad
En esta unidad, se propone un trabajo integrado entre
lgebra y nmeros, buscando de esta manera apoyar el
establecimiento de conexiones entre estas dos reas.
Se recomienda iniciar el trabajo con los nmeros ente-
ros, situando a los estudiantes en su contexto histrico,
en particular en la relevancia que estos nmeros tuvie-
ron en la resolucin de problemas y en la representacin
de cantidades negativas. Tambin resulta interesante
presentar los nmeros enteros a partir de situaciones
que no tienen solucin en los nmeros naturales (como
las deudas, las temperaturas o altitudes). Una discusin
atractiva en la presentacin del conjunto de los enteros
es la interpretacin del cero. Se puede observar con los
estudiantes que el cero representa situaciones distintas,
dependiendo del contexto en que se encuentra (por
ejemplo, en un contexto de temperaturas, cero grado
no representa templado, sino el punto de congelacin
del agua; en el contexto de la altitud, el cero representa
el nivel de mar).
No es fcil para los estudiantes entender las reglas para
sumar y restar con nmeros enteros. Se recomienda la
utilizacin de metforas y representaciones visuales parafacilitar la comprensin de los procedimientos involucra-
dos, por sobre la ejercitacin rutinaria. Cuando un estu-
diante no comprende lo que est haciendo, su nica posi-
bilidad es apelar a la memoria, tanto para intentar grabar
ideas y conceptos como para recordarlos ms tarde. Esta
es una de las razones por las cuales es comn en este nivel
encontrar estudiantes que generan reglas, generalmente
incorrectas, a partir de un grupo de reglas vlidas.
Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT
Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemticos
Tener un orden y mtodo para el registro de informacin.
Terminar los trabajos iniciados.
Ser tenaz frente a obstculos o dudas que se le presenten en problemas matemticos numricos y
algebraicos.
Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en contextos diversos
Participar de manera propositiva en actividades grupales.
Ser responsable en la tarea asignada. Tomar iniciativa en actividades de carcter grupal.
Proponer alternativas de solucin a problemas matemticos numricos y algebraicos en actividades
grupales.
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Spim A Bsic / Maemica 39Unidad 1
Eemps eAciviaes
AE 01Identifcar problemas que no
amien sucin en s n-
meros naturales y que pueden
ser resues en s nmers
eners.
1Los estudiantes resuelven mentalmente y de manera escrita una lista
de ecuaciones de primer grado, cuya solucin es un nmero natural, y
argumentan acerca de las estrategias empleadas.
Por ejemplo:
a. 2x + 1 = 17b. 3x - 2 = 16
2El docente exhibe a sus estudiantes situaciones, cuyos modelos son ecua-
ciones con soluciones en los nmeros naturales, y les propone que:
Inventen ecuaciones con solucin en los naturales
Inventen problemas, cuyo planteamiento sean ecuaciones con solucio-
nes en los naturales
3
El docente exhibe a sus estudiantes ejemplos de problemas que no tie-nen solucin en los naturales:
En contextos cotidianos
En contextos matemticos
Por ejemplo:
En una semana de invierno en una ciudad se registraron las siguientes
temperaturas mnimas:
lunes: -2C
martes: -5C
mircoles: 0C
jueves: 1C
viernes: 4C
sbado: -6C
domingo: -6C
- Cul fue el promedio de las temperaturas mnimas esa semana en
esa ciudad?
- Qu nmero, sumado con el doble de 5, da como resultado 0?
A continuacin les pide que propongan problemas similares. Luego los
estudiantes argumenten qu diferencia a este tipo de problemas conotros que admitan solucin en los naturales.
El docente y los alumnos revisan estas propuestas de problemas y carac-
terizan estas diferencias.
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40
AE 02Esabecer reacines eren enre nmers eners
y ubicar ess nmers en a
reca numrica.
4Los estudiantes indagan en diferentes medios de comunicacin para ex-
traer situaciones contextualizadas que estn representadas por nmerosenteros (que incluyan positivos y negativos).
5Exponen las situaciones encontradas y justifican la necesidad de un con-
junto numrico con nmeros negativos.
1Los estudiantes dibujan la recta numrica que utilizan para ubicar n-meros naturales y la extienden a aquella que incluya el cero y nmeros
enteros negativos.
2Establecen resultados respecto de la posicin de los nmeros ubicados
en ella; por ejemplo, que mientras ms a la derecha se encuentren los
nmeros, mayores son; que los nmeros negativos cercanos al cero son
mayores que los ms alejados de l.
3Los estudiantes ubican nmeros enteros en la recta numrica de acuerdo
a restricciones dadas; por ejemplo, ubican enteros que se encuentren
entre -5 y 5, ubican enteros mayores que -20 y menores que -4 y que
sean pares.
4Ordenan, de menor a mayor, informacin referida a fechas importantes.
(Historia)
Por ejemplo:
Ubican en una lnea de tiempo las siguientes fechas:
El ao 1492 DC corresponde al ao del descubrimiento de Amrica y al
comienzo de los tiempos modernos
La invencin de la escritura data del ao 3000 AC
El ao 476 DC marca el fin de la Edad Antigua
En el ao 1789 DC se produjo la Revolucin Francesa
La Segunda Guerra Mundial finaliz el ao 1945 DC
Los primeros desarrollos de la agricultura estn fechados en el 8000 AC
aproximadamente
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Spim A Bsic / Maemica 41Unidad 1
AE 03Sumar y resar nmers
eners e inerprear esas
peracines.
AE 04Recncer prpieaes
reaivas a a aicin y sus-
raccin e nmers eners
y apicaras en ccus
numrics.
1Ordenan, suman y restan nmeros enteros. Por ejemplo, 50 - 35 + 24 -
36 - 47, de manera que los enteros negativos queden asociados con losenteros negativos y los positivos con los positivos; en este ejemplo: (-35
- 36 - 47) + (50 + 24) . Expresan el resultado como una resta, en este caso
74 -118
2Expresan restas de enteros positivos como sumas; por ejemplo,
40 - 75 - 23 como 40 + (-75) + (-23)
3
El docente trabaja sumas de enteros y les pide que reconozcan propieda-des de esta operacin.
Por ejemplo, les presenta pares de sumas:
-24 + (-48)
35 + (-10)
-48 + (-24)
-10 + 35
-8 + (-15)
Les propone que efecten las operaciones involucradas y que reconozcan
la propiedad conmutativa de la suma.
4Leen datos sobre temperaturas mximas y mnimas y responden pregun-
tas del tipo:
Cmo se determina la diferencia de temperaturas en un da?
Cul fue la mxima variacin de temperaturas registradas?
Qu se puede decir con respecto a la suma de las variaciones
registradas?
! Observaciones al docente: Es importante no entregar a priori reglas como
restar dos nmeros negativos... sino incentivar a los estudiantes a que ob-
serven los diferentes casos y hagan las asociaciones correspondientes entre la
adicin y la sustraccin. Por otra parte, es importante tambin que redacten
en su propio lenguaje las conclusiones, para que luego el docente observe los
errores y los haga reflexionar sobre ellos.
Los problemas de temperaturas no cubren todas las posibilidades de ope-
raciones con nmeros enteros. Con el fin de completarlas, se propone que el
profesor plantee ejercicios numricos o problemas, donde se realicen adicio-
nes y sustracciones con nmeros de distintos signos.
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AE 05Recncer una prprcin
cm una iguaa enre s
ranes.
1El docente muestra a sus estudiantes una serie de situaciones relativas
a proporciones y define los elementos involucrados en ellas. De estamanera, define lo que es una razn, lo que es una proporcin y la razn
de proporcionalidad o factor de conversin. Les pide que:
Reconozcan razones en contextos diversos
Relacionen razones con proporciones en situaciones en contextos
diversos
Determinen la constante de proporcionalidad en situaciones de pro-
porcionalidad en contextos diversos
2
Utilizan distintas estrategias para resolver ecuaciones que se que seexpresan en la forma ax = bc, donde a, b, cson nmeros enteros, o frac-
ciones positivas, o decimales positivos y x es la incgnita.
Por ejemplo:2
x =
3
4
2
0,5=
x
2
3
3Plantean ecuaciones relativas a situaciones que involucran pares de mag-
nitudes proporcionales. Por ejemplo, conocido que la relacin entre el
lado de un cuadrado y su permetro es proporcional, plantean ecuaciones
que permiten completar los valores de la siguiente tabla.
Lado del cuadrado Permetro
1 4
2
3
16
7
36
48
15
En el caso del permetro asociado al lado 7, se podra plantear la ecuacin
1
7 =
4
x
5Deducen que la razn entre el peso de un cuerpo y su masa es constante,e identifican el valor de esa constante.(Ciencias Naturales)
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Spim A Bsic / Maemica 43Unidad 1
AE 06Caraceriar expresines
semeanes y recnceras en
cnexs iverss.
AE 07Esabecer esraegias para
reucir rmins semeanes.
AE 08Resolver problemas que impli-
quen plantear y resolver ecua-
cines e primer gra cn
una incgnia, en e mbi e
s nmers eners y frac-
cines ecimaes psiivs,
y problemas que involucranprprcinaia.
1A partir de una lista de trminos algebraicos de la forma a b c
n, donde
a es una constante, identifican los trminos semejantes. Por ejemplo,identifican los trminos que son semejantes en las listas siguientes:
2x, 3y, 4x, x, -5y
2a2, 5y4, -4a2, -y4, -7y4
ux 2, 3u2v, -5vu2, 7uv 2, 5x2u
2Convierten trminos no semejantes en trminos semejantes, modificando
su parte literal. Por ejemplo, modifican el exponente de y en el trmino
2 x 2y 5 para que sea semejante a 2 x 2y 4
3Reducen trminos semejantes en sumas y restas de expresiones
algebraicas.
4Aplican la reduccin de trminos semejantes en clculos en contextos di-
versos. Por ejemplo, calculan permetros de polgonos, cuyos lados estn
expresados mediante trminos algebraicos con coeficientes en el mbito
de los racionales, y entregan el resultado de manera reducida.
1El docente entrega a los estudiantes una serie de equivalencias entre
palabras del lenguaje comn y el lenguaje matemtico. Por ejemplo:
de , doble 2 y las utiliza para traducir expresiones en lenguaje comn
a lenguaje matemtico, y expresiones en lenguaje matemtico a lenguaje
comn. Por ejemplo: la suma entre el doble de un nmero y el triple de 5
equivale a cuatro veces 6, lo traduce en la forma 2 x + 3 5= 4 6
Les propone que traduzcan expresiones del lenguaje comn al lenguaje
matemtico y viceversa.
2Plantean ecuaciones, utilizando lenguaje matemtico.
Por ejemplo:
En un tringulo cualquiera, uno de sus ngulos interiores mide 30. El
segundo ngulo interior es el doble del tercero. Plantear la ecuacin que
relaciona los ngulos interiores del tringulo.
3Plantean y resuelven ecuaciones relativas a problemas en contextos
diversos, como el clculo de calificaciones, conocidas algunas notas y el
promedio.
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Por ejemplo:
Marisol est calculando la nota que necesita para obtener de promedio
un 6,3 y as eximirse del examen final. Solo le falta una nota para cerrar elpromedio y sus notas hasta el momento son: 5,8 ; 6,5 ; 6,2 ; 6,8 ; 6,7 ; 5,7.
Cul es la nota mnima que necesita para obtener el promedio deseado?
4Resuelven ecuaciones de primer grado con una incgnita y coeficientes
enteros, evaluando la pertinencia de la solucin en el contexto original
del problema.
5El docente presenta a los estudiantes problemas sobre enteros, y en su re-solucin aplica propiedades referidas a adiciones y sustracciones. Posterior-
mente les pide que indaguen en libros de matemtica y en internet acerca
de problemas donde se aplica estas propiedades para su resolucin.
6Resuelven ecuaciones de primer grado con una incgnita y coeficientes
fraccionarios o decimales positivos, evaluando la pertinencia de la solu-
cin en el contexto original del problema.
! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor cerciorarse de que laresolucin de la ecuacin no se transforme en un procedimiento mecnico.
Adems, debe poner atencin en la interpretacin que los estudiantes hagan
de los resultados finales, y pedir que expliquen el resultado obtenido.
7El docente caracteriza la proporcionalidad directa y discute con ellos
ejemplos referidos a situaciones donde se presenta este tipo de propor-
cionalidad. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que
justifiquen matemticamente sus respuestas.
8El docente caracteriza la proporcionalidad inversa y pide a los estudiantes
que comparen ambos tipos de proporciones y que den conclusiones al
respecto. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que
justifiquen matemticamente sus respuestas.
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Spim A Bsic / Maemica 45Unidad 1
Eemp eEvauacinEemp eEvauacin
aCtividad
A continuacin se presenta un problema. Lalo cuidadosamente y responda las preguntas
planteadas.
Una caja contiene 70 bombones rellenos con manjar, licor de naranja y licor de guinda.
El nmero de bombones rellenos con manjar es el doble que el nmero de bombones
rellenos con licor de naranja, y el nmero de bombones rellenos con licor de naranja es el
doble que el nmero de bombones rellenos con licor de guinda. Cuntos bombones de
cada tipo hay en la caja?
Preguntas:
1 Qu datos entrega el enunciado que son necesarios para resolver el problema?
2 Qu datos del enunciado es o son irrelevantes para la solucin del problema?
3 Si representamos porzel nmero de chocolates rellenos con licor de naranja qu repre-
senta la expresin
2z+z
2
?
4 Escriba una ecuacin cuya solucin sea respuesta a la pregunta planteada en el problema.
Fundamente.
5 Responda la pregunta del problema. Justifique.
Contina en pgina siguiente
AE 08
Resolver problemas que
impliquen plantear y
resolver ecuaciones de
primer grado con una
incgnita en el mbito
de los nmeros enterosy fracciones o decimales
positivos, y problemas
que involucran proporcio-
nalidad.
indiCadores de evaluaCin sugeridos
Identifican situaciones que se puede abordar mediante
el planteamiento de ecuaciones de primer grado en el
mbito numrico de los enteros, fracciones positivas o
decimales positivos.
Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para
la solucin del problema. Identifican la incgnita del problema y le asignan un
nombre x por ejemplo.
Establecen las relaciones entre las variables que se des-
prenden del enunciado del problema.
Resuelven correctamente la ecuacin resultante.
Verifican si la solucin de la ecuacin es la solucin del
problema.
Comunican en forma oral o escrita las soluciones del
problema.
Utilizan las propiedades de la adicin en el conjunto de
los nmeros enteros para resolver problemas asociados asituaciones aditivas.
Aplican proporcionalidad directa para calcular porcenta-
jes en diversos contextos.
Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa.
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Criterios de evaluaCin
Se sugiere considerar los siguientes aspectos:
1 Distingue los datos relevantes de los irrelevantes del problema.
2 Identifica las incgnitas del problema: nmero de bombones rellenos con manjar, nmero de
bombones rellenos con licor de naranja, nmero de bombones rellenos con licor de guinda.
3 Reconoce las relaciones entre datos e incgnitas del problema.
4 Establece una ecuacin, cuya solucin es la solucin del problema.5 Resuelve la ecuacin en forma correcta.
6 Comunica, por escrito, la solucin del problema.
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Spim A Bsic / Maemica 47Unidad 1
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Unia 2Gemera
propsito
Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de
resolver desafos que estimulen el pensamiento y la
imaginacin, a travs de las construcciones geom-
tricas con regla y comps o un procesador geomtri-
co, y la posibilidad de desarrollar la deduccin, base
de estas construcciones.
La unidad se inicia con los trazados fundamentales
en el plano (que son las bases de las construccio-
nes), como las perpendiculares, las paralelas, las
bisectrices, y la copia de segmentos y ngulos. Se
caracterizan los elementos lineales de los tringulos
y se comprueban algunas de sus propiedades. Se
construyen tringulos a partir de las medidas de sus
lados y/o ngulos, y se construyen ngulos utilizando
regla y comps o un procesador geomtrico.
ConoCimientos previos
Rectas paralelas y perpendiculares
Bisectrices, alturas, transversales de gravedad,simetrales
ngulos agudos, rectos y obtusos
Tringulos segn sus lados y segn sus ngulos
palabras Clave
Construcciones de tringulos, construcciones de
ngulos, justificacin de las construcciones, trazados
fundamentales.
Contenidos
Trazados fundamentales en el plano mediante
regla y comps o un procesador geomtrico
Construccin de ngulos y tringulos mediante
regla y comps o un procesador geomtrico
Caracterizacin de elementos lineales del trin-
gulo mediante regla y comps o un procesador
geomtrico
Justificacin de construcciones geomtricas rea-
lizadas mediante regla y comps o un procesador
geomtrico
Redaccin de pasos de una construccin mediante
regla y comps
Habilidades
Realizar trazados fundamentales en el plano
Efectuar construcciones de tringulos segn lados
y ngulos
Realizar construcciones de ngulos Caracterizar elementos lineales de tringulos
Realizar justificaciones de construcciones
aCtitudes
Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al
resolver problemas matemticos
Trabajo en equipo e iniciativa personal en la reso-
lucin de problemas en contextos diversos
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ApreniaesEsperas
Se espera que los estudiantes sean
capaces de:
c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
AE 01Cnsruir recas perpenicua-
res, paraeas y bisecrices e
ngus, usan insrumensmanuaes prcesares
gemrics.
Bisecan ngulos que se forman entre rectas oblicuas, utilizando regla y
comps.
Construyen la altura de un paralelogramo, utilizando regla y comps o unprocesador geomtrico.