MATEMÁTICA II (10026)
02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
1) Determinar qué tipo de curvas son las curvas de nivel de las siguientes funciones. Justificar la respuesta.
a) 22 22),( yxyxf
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces 2
222),( 222222 cyxcyxcyxcyxf
Si 0;0,00 22 yxyxc
Si 2
0 22 cyxc
Observación: como los coeficientes que acompañan a x e y son iguales, sabemos que las curvas son Circun-
ferencias de centro (0,0) y radio 2
cr ; 0c
Ejemplos:
Si c=8 entonces 𝑥2 + 𝑦2 =8
2 circunferencia de centro (0,0) y radio 2
Si c=18 entonces 𝑥2 + 𝑦2 =18
2 circunferencia de centro (0,0) y radio 3
Si c=2 entonces 𝑥2 + 𝑦2 =2
2 circunferencia de centro (0,0) y radio 1
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
b) 2),( yxyxf
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces cyxcyxcyxf 22),(
Cualquiera sea Rc , las curvas son parábolas cóncavas hacia la derecha simétrica con respecto al eje “x”.
Ejemplos:
Si c=1 entonces 𝑥 = 𝑦2 + 1, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (1,0)
Si c=-1 entonces 𝑥 = 𝑦2 − 1, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (-1,0)
Si c=0 entonces 𝑥 = 𝑦2, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (0,0)
c) 223),( yxyxf
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces cyxcxf 223)(
Si 0;0,030 22 yxyxc
Si cyxc 2230
Observación: como los coeficientes que acompañan a x e y son distintos, sabemos que las curvas son elipses,
buscamos los valores de los semiejes a y b :
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1
3
322
22 c
y
c
xcyx
Luego, las curvas son Elipses de semiejes 3
ca y cb y centro (0,0)
Ejemplos:
Si c=1 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 1, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √1
3 y 𝑏 = 1
Si c=27 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 27, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √27
3 y 𝑏 = √27
Si c=9 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 9, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √9
3 y 𝑏 = 3
Si c=48 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 48, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √48
3 y 𝑏 = √48
d) yxyxf 23),(
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces 22
3
2
323),(
cx
xcycyxcyxf
Cualquiera sea Rc , las curvas son Rectas paralelas con pendiente positiva.
Ejemplos:
Si c=2 resulta 𝑦 =3
2𝑥 − 1 recta cuya pendiente es
3
2 y ordenada al origen -1
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Si c=-2 resulta 𝑦 =3
2𝑥 + 1 recta cuya pendiente es
3
2 y ordenada al origen 1
Si c=6 resulta 𝑦 =3
2𝑥 − 3 recta cuya pendiente es
3
2 y ordenada al origen -3
Si c=-6 resulta 𝑦 =3
2𝑥 + 3 recta cuya pendiente es
3
2 y ordenada al origen 3
e) xyyxf ),(
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces cxycyxf ),(
Observación: Como c es el resultado de una raíz de índice par, entonces 0c
Si 0000 yoxxyc
Si x
cycxyc
2
0 cuyas curvas sonHipérbolas en el primer y tercer cuadrante.
Ejemplos:
Si c=1 resulta 𝑦 =1
𝑥 hipérbolas en el primer y tercer cuadrante
Si c=2 resulta 𝑦 =4
𝑥 hipérbolas en el primer y tercer cuadrante
Si c=3 resulta 𝑦 =9
𝑥 hipérbolas en el primer y tercer cuadrante
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f) yxyxf 2),(
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces cyxcyxf 2),(
Observación: Como c es el resultado de una raíz de índice par, entonces 0c
Luego
222 cxycyx
Cuyas curvas son Parábolas cóncavas hacia arriba simétricas con respecto al eje “y”.
Ejemplos:
Si c=0 resulta 𝑦 = 𝑥2 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,0)
Si c=1 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 1 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-1)
Si c=2 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 4 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-4)
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Si c=√2 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 2 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-2)
2) Escribir la ecuación de la curva de nivel de la función 2225),( yxyxf , que pasa por el punto (3,4).
Solución:
Las curvas de nivel son 2225 yxc o sea cyx 2522 , cuando x = 3 e y = 4 el valor de c debe ser c = 0, pues
02543 22 . En consecuencia la curva de nivel que pasa por el punto (3,4) es 2522 yx se trata de una circunfe-
rencia de centro (0,0) y radio r = 5.
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3) Escribir la función h como composición de dos funciones:
a) 1)( xxh
Solución:
Considerando las funciones básicas o elementales: xxf )( y 1)( xxg resulta
1)1())(()()( xxfxgfxfogxh
b) 115959)(2333 xxxxxh
Solución:
Considerando las funciones: 11)( 23 xxxf y xxxg 59)( 3 resulta
115959)59())(()()( 3233 xxxxxxfxgfxfogxh
c) 3
1)(
2
x
xxh
Solución:
Considerando las funciones básicas o elementales: xxf )( y 3
1)(
2
x
xxg resulta
3
1
3
1))(()()(
22
x
x
x
xfxgfxfogxh
4) Un expendio de café vende una libra de café a 9,75 UM. Los gastos mensuales son de 4500 UM más 4,25 UM por cada libra de café vendida. a) Escribir la fórmula para la función )(xrr que calcula el ingreso mensual total en función de la cantidad de
libras de café vendidas. b) Escribir la fórmula de la función )(xee que calcula los gastos mensuales totales en función de la cantidad de
libras de café vendidas. c) Escribir la fórmula de la función er . ¿Qué calcula esta función? Solución:
a) Sabemos que la función ingreso depende del precio y de la cantidad, por lo tanto xxrr 75,9)( don-
de cafédelibrasx :
b) Como los gastos mensuales son 4500 UM más 4,25 UM por cada libra de café vendida entonces xxee 25,44500)(
c) 450050,525,4450075,9)()( xxxxexrer
Esta función calcula el beneficio obtenido. 5) Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, q, es una función del número de empleados, m, donde
4
40)(
2mmmfq
El ingreso total, r, que se recibe por la venta de q unidades está dado por
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
qqgr 40)(
Determinar mgof . ¿Qué describe esta función?
Solución:
2222
1040040.104
40.40
4
40mmmm
mmmmgmgof
Esta función describe el ingreso por día que recibe el fabricante.
6) Para las siguientes funciones de oferta y demanda determine analítica y gráficamente la cantidad y el precio de
equilibrio del mercado:
a) {𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑝 = 2𝑥 + 20
𝑑𝑒𝑚𝑎𝑚𝑑𝑎 𝑝 = 200 − 𝑥2
Primero buscamos el punto de equilibrio, sabemos que en él el precio de la oferta y la demanda coinciden:
𝑝 = 2𝑥 + 20
𝑝 = 200 − 𝑥2} 2𝑥 + 20 = 200 − 𝑥2 ⟺ 2𝑥 + 20 − 200 + 𝑥2 = 0 ⟺
⟺ 𝑥2 + 2𝑥 − 180 {𝑥𝑒 = −1 + √181
𝑥2 = −1 − √181 (𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
𝑠𝑖 𝑥𝑒 = −1 + √181 ⟺ 𝑝𝑒 = 2𝑥𝑒 + 20 ⟺ 𝑝𝑒 = 2(−1 + √181) + 20 ⟺ 𝑝𝑒 = 2√181 + 18
Luego, el punto de equilibrio del mercado es:
𝑃𝑒 = (𝑥𝑒 , 𝑝𝑒) = (−1 + √181 , 2√181 + 18)
Observación: las funciones sólo se grafican en el primer cuadrante.
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
b)
xpdemanda
xpoferta
20:
10:
Primero buscamos el punto de equilibrio, sabemos que en él el precio de la oferta y la demanda coinciden:
22404001020102010
20
10xxxxxxx
xp
xp
2
1141
2
12141
2
.390.1.441413904104040010
2
2,1
22
xxxxxx Luego,.
Observación: no puede haber dos puntos de equilibrio. El punto de equilibrio es único. Veamos que 261 x no verifica
la ecuación inicial: 6626201026 Absurdo.
152 x sí verifica la ecuación inicial: 5515201015
Como 5)15( p el punto de equilibrio de mercado es 5;15eP .
Gráficamente:
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
7) Un fabricante vende un producto en 8,35 UM por unidad y vende todo lo que produce. Los costos fijos son de 2116
UM y el costo variable es de 7,20 UM por unidad.
a) ¿A qué nivel de producción se obtendrá una ganancia de 4600 UM?
b) ¿A qué nivel de producción se produce una pérdida de 1150 UM?
c) ¿A qué nivel de producción se tiene el punto de no pérdida no ganancia?
Solución:
a) Primero, debemos recordar que se produce ganancia cuando el beneficio es positivo, por lo tanto, debemos obtener
la función de Beneficio y hallar el nivel de producción (x) al que se obtendrá un beneficio de 4600 UM.
)()()( xCxIxB
Para hallar la función Ingreso usamos que dato que el fabricante vende todo lo que produce a 8,35 UM, es decir, su
ingreso es xxI 35,8)(
El costo total es la suma del costo fijo más el costo variable, por lo tanto, xxC 20,72116)(
Luego, 211615,120,7211635,8)()()( xxxxCxIxB es la función beneficio del productor.
Hallaremos ahora para qué valor de x el beneficio es 4600 UM:
584015,1
6716671615,12116460015,14600211615,1 xxxx Por lo tanto, a un nivel de
producción de 5840 unidades se obtendrá una ganancia de 4600 UM.
b) Primero, debemos recordar que se produce pérdida cuando el beneficio es negativo. Hallaremos ahora para qué
valor de x el beneficio es -1150 UM:
84015,1
96696615,12116115015,11150211615,1 xxxx Por lo tanto, a un nivel de
producción de 840 unidades se obtendrá una pérdida de 1150 UM.
c) El punto de no pérdida no ganancia se cumple cuando el beneficio es nulo, es decir,
184015,1
2116211615,10211615,10)( xxxxB
Luego, si se venden 1840 unidades el productor no gana ni pierde.
8) El punto de equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se producen 13500 unidades a un precio de 4,50
𝑈𝑀 por unidad. El productor no proveerá unidades a un precio de 1 𝑈𝑀 y el consumidor no demandará unidades a un
precio de 20 𝑈𝑀. Encontrar las ecuaciones de oferta y demanda si ambas son lineales.
Solución:
Como tenemos el punto de equilibrio 50,4;13500; eee pxP entonces tenemos un punto tanto de la
oferta como de la demanda, ya que es el punto de intersección entre ambas curvas. Como ambas curvas son
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
funciones lineales, basta encontrar un punto más de cada una ya que con el punto de equilibrio tenemos dos
puntos y sabemos que por dos puntos pasa una única recta.
Como el productor no proveerá unidades a un precio de 1 𝑈𝑀 esto significa que el punto 1;0 pertenece a la cur-
va de oferta. Observar que es la ordenada al origen.
Como el consumidor no demandará unidades a un precio de 20 𝑈𝑀 esto significa que el punto 20;0 pertenece
a la curva de demanda. Observar que es la ordenada al origen.
Por lo tanto: 11
0 xmp
202 xmpd
Para hallar 1m y 2m usamos el punto de equilibrio:
27000
7
13500
150,4113500.50,41 1111
0
mmmxmp
27000
31
13500
2050,42013500.50,420 2222
mmmxmp d
Por lo tanto 127000
70 xp es la ecuación de la oferta y 2027000
31 xp d es la ecuación de la demanda.
9) Una compañía determinó que la ecuación de demanda para su producto es
𝒑 =𝟏𝟎𝟎
𝒙
Donde 𝒑 es el precio por unidad en UM para 𝒙 unidades producidas y vendidas en algún periodo.
a) Determinar la cantidad demandada cuando el precio por unidad es de 4 UM, 2 UM y 0,5 UM.
b) Para cada uno de los precios del ítem a) calcular el ingreso total que la compañía recibirá.
c) Dar una fórmula para calcular el ingreso total en función de la cantidad producida.
a) Para un 𝑝 = 4 UM, 4 =100
𝑥 ⇒ 𝑥 =
100
4 ⇒ x = 25
Para un 𝑝 = 2 UM, 2 =100
𝑋⇒ 𝑥 =
100
2⇒ 𝑥 = 50
Para un 𝑝 = 0,5 UM, 0,5 =100
𝑥⇒ 𝑥 =
100
0,5⇒ 𝑥 = 200
b) Para 𝑝=4, 𝑝=2, 𝑝=0,5, calcular el Ingreso total que la compañía recibirá.
(x; 𝑝)=(25;4) ⇒ 𝐼 = 25 . 4 = 100
(x; 𝑝)=(50;2) ⇒ 𝐼 = 50 . 2 = 100
(x; 𝑝)=(200;0,5) ⇒ 𝐼 = 200 . 0,5 = 100
MATEMÁTICA II (10026)
02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
c) Fórmula para calcular el 𝐼 total en función de la cantidad producida
𝐼(𝑥) = 𝑝. 𝑥 = 100
10) Encontrar el punto de no pérdida no ganancia para una compañía que vende todo lo que produce si el costo va-
riable por unidad es de 3 𝑈𝑀, los costos fijos son de 2 𝑈𝑀 y el ingreso por 𝑥 unidades producidas es 𝐼(𝑥) = 5√𝑥. Grafi-
car las curvas de ingreso total y costo total en un mismo sistema coordenado. ¿En qué intervalo ocurre el máximo
beneficio?
El punto de no pérdida no ganancia se produce cuando el ingreso es igual al costo, o lo que es lo mismo, cuando el bene-
ficio es igual a 0:
0)(0)()()()( xBxCxIxCxI
Por lo tanto debemos hallar ambas funciones e igualarlas:
Como el costo variable es de 3 UM y los costos fijos son de 2 UM entonces la función costo total resulta:
23)()( xCxCxC Fv
Entonces 25
4
25
12
25
9
5
2
5
3
5
2
5
3235)()( 2
2
05
2
5
3
xxxxxxxxxxCxIx
9
41
25
4
25
13
25
90 21
2 xxxx
Luego se deben vender 1 unidad o 9
4unidades.
El máximo beneficio ocurre en el intervalo
1;
9
4 ya que ahí los ingresos superan a los costos. (la curva I(x) está por
arriba de la curva C(x))
MATEMÁTICA II (10026)
02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
11) El costo de fabricación C de un determinado bien depende linealmente de las cantidades 𝒙 e 𝒚 de dos insumos
cuyos precios unitarios son 5 UM y 3 UM, respectivamente. Si el costo fijo es de 200 UM, hallar la función de costos.
Dibujar las curvas de isocostos para C = 350 UM, C = 500 UM y C =650 UM.
Función de costos:
𝐶(𝑥𝑦) = 5𝑥 + 5𝑦 + 200
Curvas de Isocostos:
𝑦 =𝐶
3−
5
3−
200
3
𝑦 =𝐶−200
3−
5
3𝑥
⇒ 𝑦 =350−200
3−
5
3𝑥
𝑦 = 50 −5
3𝑥
⇒ 𝑦 =500−200
3−
5
3𝑥
𝑦 = 100 −5
3𝑥
⇒ 𝑦 =650−200
3−
5
3𝑥 ⇒ 𝑦 = 150 −
5
3𝑥
12) La función de producción de un tipo de bien está dada por 𝑷(𝒙; 𝒚) = 𝟏𝟎√𝒙𝒚, donde x e y son las cantidades de
dos insumos distintos para producir dicho bien. La función de costo respecto de las mismas variables es 𝑪(𝒙; 𝒚) =
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏𝟎.
a) Si el costo no debe ser superior a 50 UM, dibujar la curva de isocostos.
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
b) Sobre el mismo gráfico anterior trazar algunas isocuantas.
c) Señalar, aproximadamente, en qué punto (x,y) se tendrá la producción máxima, cuando el costo está fijado
en 50 UM.
Solución:
a) Si el costo no debe ser superior a 50 UM, dibujar las curvas de isocostos.
KyxC ),( ( 500 K )
xk
yk
yxkyxKyx
2
10
2
101021022
Si K = 50 entonces xyxy
202
1050
b) Sobre el mismo gráfico anterior, trazar algunas isocuantas.
d) Señalar aproximadamente en qué punto (x,y) se tendrá la producción máxima, cuando el costo está fijado en 50
UM. (El punto buscado será aquel en que la recta de isocostos sea tangente a una isocuantas.)
La curva de isocuanta para una producción P=150 no intersecta a la curva de isocostos, esto quiere decir que no hay
forma de alcanzar una producción de 150 unidades bajo un costo de 50 UM. Luego, la isocuanta para p=50 indica
dos posibles combinaciones para obtener una producción de 50 unidades bajo un costo de 50 UM. Pero la curva de
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
isocuanta para p=100 pone en evidencia un solo punto de intersección con la curva de isocostos, dicho punto es la
combinación óptima, dado que (10,10) permite una producción de 100 unidades bajo un costo de 50 UM. Aquí se
presenta la máxima producción para un costo especificado. A dicho punto se lo llama Punto de equilibrio óptimo o
Punto Optimo.
La máxima producción total que puede obtenerse para un costo total especificado está dada
por la isocuanta que sea tangente a la recta de isocosto especificada.
13) Dada la función de utilidad 𝑼 = 𝒙𝒚𝟐 , ¿qué tipo de curvas son las curvas de indiferencia del consumidor? Justificar
la respuesta
Las curvas de indiferencia del consumidor son muy parecidas a las hipérbolas.
Para poder graficarlas le vas dando valores arbitrarios a U, el cual igualas a una K arbitraria, de manera que te queden
cuentas sencillas de resolver.
Para poder entender mejor como se grafica lo podes hacer por medio de un graficador o bien construir una tabla de
valores para tener de referencia.
Resolución:
𝑈 = 𝐾
Las curvas de indiferencia tienen la forma: Kxy 2
Si K=36 resulta: x
yx
yxy636
36 22
Si K= 25 x
yx
yxy525
25 22
Si K= 9 x
yx
yxy39
9 22
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
Gráficamente:
14) Utilizando Q toneladas de petróleo crudo, una destilería puede producir una cantidad x de nafta común y una
cantidad y de nafta especial, según la función 𝑸(𝒙; 𝒚) =𝟏
𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
¿Qué tipo de curvas son las curvas de transformación de producto? Justificar la respuesta
Las curvas de transformación del producto tienen la forma: Kyx 22
4
1
Supongamos K>0
Observación: como los coeficientes que acompañan a 2x y a 2y son distintos, entonces las curvas son elipses. Buscamos
los valores de los semiejes:
144
1 2222
K
y
K
xKyx
Que son elipses de semieje Ka 4 y Kb
Ejemplos:
Si K=4 resulta 1416
44
122
22 yx
yx El tipo de curva es una Elipse con 2by 4 a
Si K=1 resulta 114
14
122
22 yx
yx El tipo de curva es una Elipse con 1by 2 a
Si K=9 resulta 1936
94
122
22 yx
yx El tipo de curva es una Elipse con 3by 6 a
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