Apuntes
Matemáticas 2º de bachillerato
Leibniz
Tema 7
La integral indefinida
Tema 7: La integral indefinida
Matemáticas 2º de bachillerato
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7.1 Introducción
Def.: Dadas dos funciones, F(x) y f(x), si se verifica que: F´(x) = f(x), para un cierto
intervalo de x, entonces se dice que F(x) es una función primitiva de f(x) para ese
determinado intervalo. Dos primitivas cualesquiera de f(x) difieren en una constante.
Def.: El conjunto de todas las funciones primitivas de una función es la integral
indefinida de esa función. Si se cumple que F´(x) = f(x):
F(x) es una primitiva de f(x)
F(x) + C es la integral indefinida de f(x)
La integral indefinida es una familia de funciones, cuyas gráficas son paralelas ( por
tener todas para cada x la misma pendiente), pero desplazadas a lo largo del eje OY, según
sea el valor de la constante C. Se escribe:
∫ f(x)dx = F(x) + C
A f(x) se le llama función subintegral o integrando, F(x) + C es la solución general,
siendo C la constante de integración. Para cada valor de C se obtiene una primitiva de
f(x) o solución particular de la integral. La diferencial de x, dx, indica que x es la
variable de integración.
Propiedades:
1ª: La derivada de la integral de una función respecto a la misma variable es la misma
función.
(∫ f(x) dx)´ = f(x)
2ª: La integral de una suma de varias funciones integrables es igual a la suma de las
integrales de cada una de las funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
3ª: La integral del producto de una constante por una función integrable es igual al
producto de la constante por la integral de la función.
∫ c · f(x) dx = c · ∫ f(x)dx
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7.2 Integrales inmediatas
El gran problema del cálculo integral consiste en reconocer de qué función es derivada la
que nos encontramos en el integrando. En algunos casos, es sencillo reconocerlo; nos
encontramos entonces ante las integrales inmediatas, que se resuelven aplicando los
resultados de las tablas. En el caso de que la función primitiva no se reconozca con tanta
facilidad, tendremos que recurrir a los métodos de integración, que son procedimientos
que permiten transformar un integrando que no es inmediatamente integrable, en otro que
sí lo es.
1. ∫ f´(x) dx = f(x) + C
2. ∫k · f´(x) dx = k · f(x) + C
3. ∫[f(x)]n · f´(x) dx = [f(x)]n + 1
n + 1 + C
4. ∫f´(x)
[f(x)]m=
− 1
(m − 1)[f(x)]m − 1 + C
5. ∫f´(x)
√f(x) dx = 2 √f(x) + C
6. ∫f´(x)
f(x) dx = Ln |f(x)| + C
7. ∫ ef(x) · f´(x) dx = ef(x) + C
8. ∫ af(x) · f´(x) dx = af(x)
Ln a+ C
9. ∫ cos f(x) · f´(x) dx = sen f(x) + C
10. ∫ sen f(x) · f´(x) dx = − cos f(x) + C
11. ∫f´(x)
cos2 f(x) dx = ∫[1 + tg2 f(x)] · f´(x) dx = tg f(x) + C
12. ∫f´(x)
sen2 f(x) dx = ∫[1 + cotg2 f(x)] · f´(x) dx = − cotg f(x) + C
13. ∫f´(x)
√1 − [f(x)]2 dx = arcsen f(x) + C
14. ∫f´(x)
1 + [f(x)]2 dx = arctg f(x) + C
sen2 x = 1 − cos 2x
2 cos2 x =
1 + cos 2x
2
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Ejemplos de integrales inmediatas:
1. ∫ 3 dx =
2. ∫ 5x2 dx =
3. ∫ 7ex dx =
4. ∫1
x2 dx =
5. ∫ √x3 dx =
6. ∫4
√x3 dx =
7. ∫(2x + cos x) dx =
8. ∫(3x2 + sec2 x) dx =
9. ∫(3x2 − x − 2)2 dx =
10. ∫(2x + 1)4 dx =
11. ∫(2x + 4)(x2 + 4x + 1)7 dx =
12. ∫ sen3 x cos x dx =
13. ∫ tg2 x sec2 x dx =
14. ∫ cos(2x + 1) dx =
15. ∫ x cos(x2 + 1) dx =
16. ∫2x + 8
x2+ 8x + 7 dx =
17. ∫7 cos (7x + 2)
sen(7x + 2) dx =
18. ∫sen x − cosx
sen x + cosx dx =
19. ∫ ex cos ex dx =
20. ∫ e3x + 4 dx =
21. ∫ 6x e3x2 + 7 dx =
22. ∫ 27x− 4 dx =
23. ∫(3x2 − 4) 2 x3 − 4x dx =
24. ∫ sen (7x + 8)dx =
25. ∫ 3 sec2 x dx =
26. ∫7
cos2 x dx =
27. ∫(5 + 5tg2 x)dx =
28. ∫8
sen2 x dx =
29. ∫ 3 cosec2 x dx =
30. ∫5
√5x + 3 dx =
31. ∫2x + 5
√x2 +5x − 3 dx =
32. ∫ex
√1 − e2x dx =
33. ∫2x
√1 − x4 dx =
34. ∫1
3 + 3x2 dx =
35. ∫1
1 + 9x2 dx =
36. ∫cos x
1 + sen2x dx =
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7.3 Integrales que se reducen a inmediatas
Con ayuda de algunos trucos es posible reducir muchas integrales a inmediatas.
Generalizando, los trucos consisten en descomponer un polinomio en sus distintos
monomios, en reescribir la función en forma de potencia con exponente fraccionario, en
multiplicar y dividir por la misma expresión, en sumar y restar la misma cantidad, en
multiplicar por una expresión que resulte la unidad (sen2 x + cos2 x), en sustituir una
expresión por otra equivalente, incluso en realizar una división polinómica.
Ejemplos de integrales con trucos:
1. ∫5x2 + 3x − 6
x2 dx =
2. ∫x4
x2 + 1 dx =
3. ∫dx
sen2 x cos2 x=
4. ∫ cos2 x dx =
5. ∫ tg2 x dx =
6. ∫ sec4 x dx =
7. ∫dx
3 + x2=
7.4 Métodos de integración
7.4.1 Integrales del tipo arcsen x
Se trata de ir transformando el radicando hasta obtener una expresión del tipo 1 – f2 (x),
como veremos en los ejemplos a continuación. Realmente se puede considerar un caso
concreto de integrales que se reducen a inmediatas.
∫f´(x)
√1 − [f(x)]2 dx = arcsen f(x) + C
Ejemplo: ∫x2
√1 − x6 dx =
Ejemplo: ∫dx
√4 − 3x2=
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7.4.2 Integrales del tipo arctg x
Se trata de ir transformando el denominador hasta obtener una expresión del tipo 1
+ f2 (x), como veremos en los ejemplos a continuación. Realmente se puede considerar
un caso concreto de integrales que se reducen a inmediatas. Sólo se podrá dar este caso
si las raíces del denominador son imaginarias.
∫f´(x)
1 + [f(x)]2 dx = arctg f(x) + C
Ejemplo: ∫1
1 + 4x2 dx =
Ejemplo: ∫1
4 + 5x2 dx =
Ejemplo: ∫1
x2 + 2x + 2 dx =
Ejemplo: ∫1
x2 + 6x + 11 dx =
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7.4.3 Integración de funciones racionales
Antes de distinguir los casos en función del grado del denominador y del tipo de raíces
que este tenga, hay que dejar claro que lo primero que se hará siempre, en caso de que el
grado del numerador sea igual o mayor que el grado del denominador, es dividir
polinómicamente y expresar la división como cociente más resto entre divisor, como se
indica en el ejemplo a continuación. Con esto conseguimos que el grado del numerador
sea siempre menor que el del denominador.
7.4.3.1 Integración de funciones racionales con denominador de primer grado
Suponemos que el numerador es un polinomio de grado inferior al del denominador. En
caso contrario, se realiza la división polinómica y obtendremos un polinomio - cociente
y una función racional, en la que el grado del numerador sí que es menor que el del
denominador.
Ejemplo 1: ∫3x + 2
x − 2 dx =
Ejemplo 2: ∫7
3x + 5 dx =
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7.4.3.2 Integración de funciones racionales con denominadores de segundo grado
Suponemos que el numerador es un polinomio de grado inferior al del denominador. En
caso contrario, se realiza la división polinómica y obtendremos un polinomio - cociente
y una función racional, en la que el grado del numerador sí que es menor que el del
denominador.
Si el denominador es de segundo grado, nos encontramos los siguientes casos:
a) que tenga dos raíces reales distintas (Ejemplos 1 y 2)
b) que tenga una raíz real doble (Ejemplo 3)
c) que tenga dos raíces imaginarias conjugadas (Ejemplo 4)
Ejemplo 1: ∫4x3 + 6x2 − 3x − 4
x2 − 2x − 3 dx =
Ejemplo 2: ∫2x + 1
x2 − 3x + 2 dx =
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Ejemplo 3: ∫x2 − x
x2 − 4x + 4 dx =
Ejemplo 4: ∫2x + 3
2x2 + 2x + 1 dx =
Ejercicios:
1. ∫dx
x2 − 4=
2. ∫− 3x + 1
x2 − x + 1 dx =
3. ∫x2 + 3x − 4
x2 − 2x − 8 dx =
4. ∫2
x2 − 2x + 5 dx =
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7.4.4 Integración por sustitución o cambio de variable
El papel de la sustitución en la integración es el equivalente a la regla de la cadena en la
derivación. Recuérdese que para las funciones derivables dadas por y = F(u) y u = t(x), la
regla de la cadena establece que:
d
dx[F(t(x))] = F´(t(x)) · t´(x)
Integrando la expresión anterior, obtenemos:
∫F´(t(x)) · t´(x) dx = F(t(x)) + C = F(u) + C
Ejemplos: En el caso de las funciones sencillas no tenemos que aplicar este método, ya
que la tabla viene preparada con las derivadas internas (f´(x)).
a) ∫ 5 √5x + 1 dx =
b) ∫ x (x2 + 1)3 dx =
En otro tipo de ejercicios es más cómodo realizar la sustitución como realizaremos en el
ejemplo a continuación.
Ejemplo: ∫dx
√x (1 − √x)=
Sust.: √x = t
dx
2√x= dt ⟺
dx
√x= 2 dt
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Ejercicios:
1. ∫dx
x2 √1 − x2=
2. ∫dx
ex + e − x=
3. ∫e arctg x
1 + x 2 dx =
4. ∫ln x2
x dx =
5. ∫dx
x Ln x Ln (Ln x) =
6. ∫ tg3 x dx =
7. ∫ cotg x [Ln (sen x)]2 dx =
8. ∫51x
x2 dx =
9. ∫1 + tg2 x
√tg x − 1 dx =
10. ∫x3
√x2 + 1 dx =
11. ∫x
1 + √x dx =
12. ∫dx
x + √x =
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7.4.5 Integración por partes
Este método de integración se obtiene de la regla de derivación de un producto:
d
dx (u · v) =
d
dx (u) · v + u ·
d
dx v
Despejando el último sumando e integrando hacia x toda la expresión, resulta:
∫u dv
dx dx = ∫
d
dx (u · v) dx − ∫ v
du
dx dx
y simplificando:
Existe una regla nemotécnica para la fórmula de la integración por partes:
“un día vi un viejo vestido de uniforme”
Ejemplo: ∫ x · cos x dx =
u = x du = dx
dv = cos x dx v = ∫ dv = ∫ cos x dx = sen x
1. ∫ Ln x dx =
2. ∫ cos2 x dx =
3. ∫ arcsen x dx =
4. ∫ ex · cos 2x dx =
5. ∫x ex
(x + 1)2 dx =
6. ∫ x2 Ln x dx =
7. ∫ 2x2 · sen x dx =
8. ∫ e2x · sen x dx =
∫u dv = u · v − ∫ v du
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7.4.6 Integración de funciones trigonométricas, del tipo R(sen x, cos x)
R es una función racional (sumas, productos y cocientes) de senos y cosenos.
7.4.6.1 R es impar en seno: R (- sen x, cos x) = - R(sen x, cos x)
Se realizará el cambio de variable cos x = t
Ejemplo: ∫sen x
1 + cos2 x dx =
7.4.6.2 R es impar en coseno: R (sen x, - cos x) = - R(sen x, cos x)
Se realizará el cambio de variable sen x = t
Ejemplo: ∫dx
cos x=
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7.4.6.3 R es par en seno y coseno: R (- sen x, - cos x) = R (sen x, cos x)
Se realizará el cambio tg x = t
{
dx =
dt
1 + t2
sen x = t
√1 + t2
cos x =1
√1 + t2
Ejemplo: ∫dx
sen2 x=
7.4.6.4 Para el resto de casos se podrá aplicar la sustitución universal: tg x
2= t
{
dx =
2 dt
1 + t2
sen x = 2t
1 + t2
cos x =1 − t2
1 + t2
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Ejemplo: ∫3 dx
1 − sen x=
Ejercicios:
1. ∫ sen2 x cos x dx =
2. ∫ cos3 x dx =
3. ∫ sen x cos x dx =
4. ∫ sen2 x cos3 x dx =
5. ∫sen x
cos2 x dx =
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Ejercicios
1. Determina la función primitiva de f(x) = 2x + 1 que pasa por el punto P(1, 5).
2. Determina una función cuya derivada sea f(x) = 3x2 + cos x que cumpla que cuando
x = 0, y también valga 0.
3. Halla la familia de curvas en las que la pendiente de las rectas tangentes a dichas
curvas en cualquier punto viene dada por la función y = x·e2x. Obtén, de esa familia,
la curva que pasa por A(0,2).
4. Realiza las siguientes integrales:
a) ∫√x+3x−2−4
x3dx p) ∫
dx
x− √x4
b) ∫3x
x+5dx q) ∫
sen(√x)
√xdx
c) ∫4x5+2x3−4x+1
x2dx r) ∫ x2cos
x
3dx
d) ∫2x√x2 − 3dx s) ∫ arctg(3x)dx
e) ∫3x
x4+2dx t) ∫
√ex
1−√exdx
f) ∫x3
x−2dx u) ∫
2
x2+2x+9dx
g) ∫ cos4xsenxdx v) ∫x+3
√9−x2dx
h) ∫x3+4x2−10x+7
x3−7x+6dx w) ∫ e−2xcos3xdx
i) ∫1
√x3
+√xdx x) ∫
x4+2x−6
x3+x2−2xdx
j) ∫2x+5
(x+3)3dx y) ∫
x2
x3+2x2+xdx
k) ∫x3+22x2−12x+8
x4−4x2dx z) ∫(x + 2) · Ln(x + 1)dx
l) ∫5x+2
x2−6x+12dx aa) ∫ sen2x · cos3xdx
m) ∫ x√x + 1dx ab) ∫cos2x
sen3xdx
n) ∫1
x√x+1dx ac) ∫
5x
x4+3dx
o) ∫ x2 · 2−xdx ad) ∫ sen3x · cos3xdx
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Ejercicios PAU
1. ∫5x+√3x
x2dx (Junio 2013)
2. a)∫ 5√x3
− 3x3 +2
x2dx b) ∫
5
(2x−3)2+9dx (Junio 2012)
3. ∫ xLnxdx (Junio 2011)
4. ∫x2+3
x2−2xdx (Sept 2010)
5. a) ∫(2x − 1)Lnxdx b) ∫1−x
1+4x2dx (Sept 2008)
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97
Ficha de Repaso
1.
dx
x
x
2
32 I = 2x – 7 Ln ( x + 2) + C
2. dxsenx
senx
1
1 I = 2 tgx + 2/cosx – x + C
3. dx
x
x2
2
1 I = x – arctg x + C
4. dxx 527
5. dx
x
x
12
4
I = x3/3 – x + arctg x + C
6. xdxx 2cos2 I = (x2sen2x + xcos2x – ½·sen2x)·1/2 + C
7.
dxxx 2)3)·(1(
1
I = CxLnxLn
x
16
)3(
16
)1(
)3(4
1
8. dxx x2· I = - x·2-x/Ln2 – 2-x/(Ln2)2 + C
9.
dxxx
x
64
12
I =
2
223)64(
2
1 2 xarctgxxLn
10. ∫ xe4xdx I = xe4x
4−e4x
16+ C
11. xdxsen3
I = Cx
x 3
coscos
3
12. dxx
xsen2
3
cos I = 1/cosx + cos x + C
13.
dx
x
x
1 I = 2· CxLnxxx
)1(2/
3
3
14. dxe x 1
I = 2·( 11 xx earctge ) + C
15.
dx
Lnxx
dx
1
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16. dxx
xx
32
473 2
I = x2 – 7x – 17/2·Ln(2x-3) + C
17.
dx
xx
x2
2 I = - 2 Lnx + 3 Ln(x + 1) + C
18. dxxx
xxx
67
71043
23
I = x – 5Ln(x + 1) + 7Ln(x + 2) + 2Ln(x – 3) + C
19.
dx
x
x3)3(
52
I =
Cxx
2)3(2
1
3
2
20.
dx
x
x232
I = 4 Cxx 5
5
6
21.
dxxx 32
1
I = LnCx
x
x
/1
1
22.
dx
x3
2
53
23.
dx
xx
x
52
42
I = Cx
arctgxxLn
2
1
2
3)52(
2
1 2
24.
dxx 23
1
25.
dxxxx
x
22 23
I = C
xarctgxLnxLn
23
2)2(
6
1)1(
3
1 2
26.
dx
xxx
x
44
4423
I =
CxLnxLnxLn )2(3
1)2(3)1(
3
8
27.
dx
xxx
x
27279
223
2
I =
Cxx
xLn
2)3(
1·
2
11
3
6)3(