MATEMÁTICAS
Posgrado en Nanotecnología
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2016 – Departamento de Física
TEMARIO
5. La Función Gamma y Funciones Relacionadas
1. Función Gamma.
2. Función Beta.
3. Función de Error.
FUNCIÓN GAMMA
FUNCIÓN GAMMA
Definición.
FUNCIÓN GAMMA
Gráfica de la
función gamma
𝚪(𝒙)
FUNCIÓN GAMMA. EJERCICIO.
Pruebe la aproximación de Stirling:
𝑛! ≈ 2𝜋𝑛𝑛𝑛𝑒−𝑛
válida para 𝑛 grande; para ello, le puede ser útil considerar la
siguiente serie, llamada de Mercator, válida para −1 < 𝑥 ≤ 1:
ln 1 + 𝑥 ≈
𝑛=1
∞(−1)𝑛+1
𝑛𝑥𝑛
Solución.
Partiendo de
𝑛! =
0
∞
𝑡𝑛𝑒−𝑡𝑑𝑡 =
0
∞
𝑒𝑛 ln 𝑡−𝑡𝑑𝑡
podemos hacer el cambio de variable
𝑡 = 𝑛 + 𝑥 = 𝑛 1 +𝑥
𝑛
FUNCIÓN GAMMA. EJERCICIO.
Con lo que el argumento de la exponencial se puede escribir
como
𝑛 ln 𝑡 − 𝑡 = 𝑛 ln 𝑛 1 +𝑥
𝑛− 𝑛 + 𝑥
𝑛 ln 𝑡 − 𝑡 = 𝑛 ln 𝑛 + 𝑛 ln 1 +𝑥
𝑛− 𝑛 − 𝑥
Que, al usar la serie sugerida, podemos aproximar como
𝑛 ln 𝑡 − 𝑡 ≈ 𝑛 ln 𝑛 + 𝑛𝑥
𝑛−1
2
𝑥
𝑛
2
+1
3
𝑥
𝑛
3
−1
4
𝑥
𝑛
4
+⋯ − 𝑛 − 𝑥
𝑛 ln 𝑡 − 𝑡 ≈ 𝑛 ln 𝑛 + 𝑛 −1
2
𝑥
𝑛
2
+1
3
𝑥
𝑛
3
−1
4
𝑥
𝑛
4
+⋯ − 𝑛
Si 𝑛 es muy grande, podemos regresar a la integral y escribir
𝑛! ≈
−𝑛
∞
𝑒𝑛 ln 𝑛+𝑛 −
12𝑥𝑛
2+13𝑥𝑛
3−14𝑥𝑛
4+⋯ −𝑛
𝑑𝑡
FUNCIÓN GAMMA. EJERCICIO.
Es decir
𝑛! ≈ 𝑒𝑛 ln 𝑛−𝑛
−𝑛
∞
𝑒𝑛 −12𝑥𝑛
2
𝑑𝑥 ≈ 𝑛𝑛𝑒−𝑛
−∞
∞
𝑒−𝑥2
2𝑛2 𝑑𝑥
que, retomando el valor de la integral (que involucra a una
gaussiana), nos permite escribir finalmente
𝑛! ≈ 𝑛𝑛𝑒−𝑛 2𝜋𝑛
con lo que se completa el ejercicio de demostración.
FUNCIÓN BETA
FUNCIÓN BETA
Definición.
FUNCIÓN BETA
Gráfica de la
función beta
𝜷(𝒙, 𝒚)
FUNCIÓN DE ERROR
FUNCIÓN DE ERROR
Gráfica de la
función de error
𝐞𝐫𝐟(𝒙, 𝒚)
Gráfica de la
función de error
complementaria
𝐞𝐫𝐟𝐜(𝒙, 𝒚)
MATEMÁTICAS
Posgrado en Nanotecnología
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2016 – Departamento de Física
TEMARIO
5. Polinomios de Legendre y Funciones de Bessel.
1. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo
orden.
2. Ecuación de Helmholtz y el método de separación
de variables.
1. Ecuación de Helmholtz en coordenadas rectangulares.
2. Ecuación de Helmholtz en coordenadas polares
esféricas y Polinomios de Legendre.
3. Ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas
circulares y funciones de Bessel.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
DE SEGUNDO ORDEN.
En Física Teórica, el estudio de una gran cantidad de
sistemas de interés requiere de la solución de ecuaciones
diferenciales parciales que, en forma general, pueden
escribirse como: 𝐿𝜓 = 𝐹
donde 𝐿 es un operador diferencial dado por
𝐿 = 𝐿𝜕
𝜕𝑥,𝜕
𝜕𝑦,𝜕
𝜕𝑧, 𝑥. 𝑦. 𝑧
𝐹 es una función conocida, y 𝜓 es una función escalar (o
vectorial) desconocida. La Ec. (5.2.1) es lineal en y es de 2º
orden (aunque puede darse el caso de órdenes más altos).
A continuación analizaremos algunos casos especiales de
esta ecuación.
(5.2.1)
(5.2.2)
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
DE SEGUNDO ORDEN.
Ecuación de Laplace
Ecuación de Poisson
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
DE SEGUNDO ORDEN.
Ecuación de difusión o flujo de calor
Ecuación de Onda
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
DE SEGUNDO ORDEN.
Ecuación de onda de Schrödinger
Ecuación de Helmholtz
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Debido a que la ecuación de Helmholtz,
𝛻2𝜑 + 𝑘2𝜑 = 0
puede obtenerse a partir de la ecuación de difusión, de la
ecuación de onda, de la ecuación de onda de Schrödinger, y se
reduce a la ecuación de Laplace cuando 𝑘2 = 0, en lo que
sigue obtendremos su solución explícita (analítica) en
diferentes sistemas de coordenadas.
La ecuación de Helmholtz es una ecuación diferencial en
derivadas parciales que puede resolverse usando el método de
separación de variables.
La ecuación se separa en ecuaciones diferenciales
ordinarias que pueden resolverse por el método de Fröbenius;
no siempre puede separarse pero cuando esto ocurre resulta
ser el método más simple.
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
El operador Laplaciano 𝛻2 en los sistemas de coordenadas
más conocidos adopta las formas siguientes.
Coordenadas rectangulares
𝛻2 ≡𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2+
𝜕2
𝜕𝑧2
Coordenadas esféricas
𝛻2 ≡1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟𝑟2
𝜕
𝜕𝑟+
1
𝑟2 sen 𝜃
𝜕
𝜕𝜃sen 𝜃
𝜕
𝜕𝜃+
1
𝑟2 sen2 𝜃
𝜕2
𝜕𝜙2
Coordenadas cilíndricas
𝛻2 ≡1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌𝜌
𝜕
𝜕𝜌+
1
𝜌2
𝜕2
𝜕𝜙2+
𝜕2
𝜕𝑧2
(5.2.10)
(5.2.11)
(5.2.12)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Ecuación de Helmholtz en coordenadas rectangulares
En este caso, toma la forma
𝜕2𝜑
𝜕𝑥2+
𝜕2𝜑
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜑
𝜕𝑧2+ 𝑘2𝜑 = 0
para lo cual proponemos una solución de la forma
𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍(𝑧)
que al sustituir en la ecuación (5.2.13) lleva a
𝑌𝑍𝑑2𝑋
𝑑𝑥2+ 𝑋𝑍
𝑑2𝑌
𝑑𝑦2+ 𝑋𝑌
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2+ 𝑘2𝑋𝑌𝑍 = 0
y dividiendo entre 𝜑 = 𝑋𝑌𝑍
1
𝑋
𝑑2𝑋
𝑑𝑥2+
1
𝑌
𝑑2𝑌
𝑑𝑦2+
1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2+ 𝑘2 = 0
(5.2.13)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
A continuación reescribimos la ecuación anterior como
1
𝑋
𝑑2𝑋
𝑑𝑥2= −𝑘2 −
1
𝑌
𝑑2𝑌
𝑑𝑦2−
1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2
La ecuación se satisface si cada miembro es igual a la misma
constante (de separación), así se tiene que
1
𝑋
𝑑2𝑋
𝑑𝑥2= −𝑘𝑥
2
−𝑘2 −1
𝑌
𝑑2𝑌
𝑑𝑦2−
1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2= −𝑘𝑥
2
de aquí se sigue que
1
𝑌
𝑑2𝑌
𝑑𝑦2= −𝑘2 + 𝑘𝑥
2 −1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
de nuevo, esta ecuación se satisface si cada miembro es igual a
una constante
1
𝑌
𝑑2𝑌
𝑑𝑦2= −𝑘𝑦
2
−𝑘2 + 𝑘𝑥2 −
1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2= −𝑘𝑦
2
Lo que permite, finalmente, escribir la última ecuación como
1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2= −𝑘2 + 𝑘𝑥
2 + 𝑘𝑦2 = −𝑘𝑧
2
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Como resultado de este procedimiento, la ecuación de
Helmholtz se ha separado en tres ecuaciones diferenciales
ordinarias
𝑑2𝑋
𝑑𝑥2+ 𝑘𝑥
2𝑋 = 0,𝑑2𝑌
𝑑𝑦2+ 𝑘𝑦
2𝑌 = 0,𝑑2𝑍
𝑑𝑧2+ 𝑘𝑧
2𝑍 = 0
con
𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦
2 + 𝑘𝑧2 = 𝑘2
Así que la solución más general de la ecuación de
Helmholtz es
𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝑘𝑥,𝑘𝑦,𝑘𝑧
𝐴𝑘𝑥,𝑘𝑦,𝑘𝑧𝑋 𝑘𝑥𝑥 𝑌 𝑘𝑦𝑦 𝑍(𝑘𝑧𝑧)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas
En este caso la ecuación de Helmholtz, toma la forma
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟𝑟2
𝜕𝜑
𝜕𝑟+
1
𝑟2 sen 𝜃
𝜕
𝜕𝜃sen 𝜃
𝜕𝜑
𝜕𝜃+
1
𝑟2 sen2 𝜃
𝜕2𝜑
𝜕𝜙2+ 𝑘2𝜑 = 0
A continuación consideremos el caso de simetría azimutal,
es decir, en el que no hay dependencia de la coordenada 𝜙. La
solución propuesta es de la forma
𝜑 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃
que al sustituir en la ecuación (5.2.26) lleva a
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟𝑟2
𝜕𝑅 𝑟 𝑃 𝜃
𝜕𝑟+
1
𝑟2 sen 𝜃
𝜕
𝜕𝜃sen 𝜃
𝜕𝑅 𝑟 𝑃 𝜃
𝜕𝜃+ 𝑘2𝜑 = 0
es decir
𝑃
𝑟2
𝑑
𝑑𝑟𝑟2
𝑑𝑅
𝑑𝑟+
𝑅
𝑟2 sen 𝜃
𝑑
𝑑𝜃sen 𝜃
𝑑𝑃
𝑑𝜃+ 𝑘2𝜑 = 0
(5.2.26)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
y dividiendo entre 𝜑 = 𝑅𝑃
1
𝑅
1
𝑟2
𝑑
𝑑𝑟𝑟2
𝑑𝑅
𝑑𝑟+
1
𝑃
1
𝑟2
1
sen 𝜃
𝑑
𝑑𝜃sen 𝜃
𝑑𝑃
𝑑𝜃+ 𝑘2 = 0
Multiplicando por 𝑟2
1
𝑅
𝑑
𝑑𝑟𝑟2
𝑑𝑅
𝑑𝑟+
1
𝑃
1
sen 𝜃
𝑑
𝑑𝜃sen 𝜃
𝑑𝑃
𝑑𝜃+ 𝑘2𝑟2 = 0
la ecuación se separa como
1
𝑅
𝑑
𝑑𝑟𝑟2
𝑑𝑅
𝑑𝑟+ 𝑘2𝑟2 = −
1
𝑃
1
sen 𝜃
𝑑
𝑑𝜃sen 𝜃
𝑑𝑃
𝑑𝜃= 𝜆
de donde
𝑟2𝑑2𝑅
𝑑𝑟2+ 2𝑟
𝑑𝑅
𝑑𝑟+ 𝑘2𝑟2 − 𝜆 𝑅 = 0
y
(5.2.30)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
1
sen 𝜃
𝑑
𝑑𝜃sen 𝜃
𝑑𝑃
𝑑𝜃+ 𝜆𝑃 = 0
La ecuación anterior (5.2.31) es la ecuación diferencial de
Legendre. Las soluciones físicamente aceptables, en el
intervalo 0,2𝜋 , corresponden a los valores de 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1)donde 𝑙 = 0,1,2, …, y corresponden a los llamados Polinomios de
Legendre, 𝑃𝑙 𝜃 .
Para escribir la ecuación en una forma más usual,
cambiamos a la variable
𝑥 = cos 𝜃
así se tiene que
𝑑
𝑑𝜃=
𝑑𝑥
𝑑𝜃
𝑑
𝑑𝑥= − sen 𝜃
𝑑
𝑑𝑥
(5.2.31)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Con lo que
sen 𝜃𝑑
𝑑𝜃= sen 𝜃 − sen 𝜃
𝑑
𝑑𝑥= − sen2 𝜃
𝑑
𝑑𝑥= − 1 − cos2 𝜃
𝑑
𝑑𝑥
es decir
sen 𝜃𝑑
𝑑𝜃= − 1 − 𝑥2
𝑑
𝑑𝑥
Usando las relaciones anteriores, la ecuación (5.2.31)
1
sen 𝜃
𝑑
𝑑𝜃sen 𝜃
𝑑𝑃
𝑑𝜃+ 𝜆𝑃 = 0
se puede reescribir como
1
sen 𝜃− sen 𝜃
𝑑
𝑑𝑥− 1 − 𝑥2
𝑑𝑃
𝑑𝑥+ 𝜆𝑃 = 0
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Que nos lleva a
𝑑
𝑑𝑥1 − 𝑥2
𝑑𝑃
𝑑𝑥+ 𝜆𝑃 = 0
o
1 − 𝑥2𝑑2𝑃
𝑑𝑥2− 2𝑥
𝑑𝑃
𝑑𝑥+ 𝜆𝑃 = 0
Cuando 𝜆 = 𝑛(𝑛 + 1), con 𝑛 entero positivo, las soluciones
de la ecuación de Legendre, dada por (5.2.36), en el intervalo
−1,1 son los polinomios de Legendre de grado 𝑛, denotados
como 𝑃𝑛 𝑥 .
Los polinomios de Legendre se pueden obtener a partir de
la fórmula de Rodrigues
𝑃𝑛 𝑥 =1
2𝑛𝑛!
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛𝑥2 − 1 2
(5.2.36)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Los primeros polinomios de Legendre son:
𝑃0 𝑥 = 1
𝑃1 𝑥 = 𝑥
𝑃2 𝑥 =1
23𝑥2 − 1
𝑃3 𝑥 =1
25𝑥3 − 3𝑥
𝑃4 𝑥 =1
835𝑥4 − 30𝑥2 + 3
𝑃5 𝑥 =1
863𝑥5 − 70𝑥3 + 15𝑥
𝑃6 𝑥 =1
16231𝑥6 − 315𝑥4 + 105𝑥2 − 5
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Gráfica de los primeros polinomios de Legendre.
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Función generadora de los polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre pueden ser obtenidos mediante
una función generadora. En este caso, la función generadora
𝐺(𝑥, 𝑡) de los polinomios de Legendre es
𝐺 𝑥, 𝑡 =1
1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2=
𝑛=0
∞
𝑃𝑛 𝑥 𝑡𝑛
La función generadora tiene una interpretación geométrica
muy simple, es el inverso de la distancia entre dos puntos, ya
que la distancia del punto 𝑟 al punto 𝑟0 es
𝑟 − 𝑟0 = 𝑟2 − 2𝑟𝑟0 cos 𝜃 + 𝑟02
donde 𝜃 es el ángulo entre 𝑟 y 𝑟0.
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Si consideramos que 𝑟 > 𝑟0 e introducimos la variable 𝑡dada por
𝑡 =𝑟0𝑟
< 1
tenemos que
𝑟 − 𝑟0 = 𝑟 1 − 2𝑡 cos 𝜃 + 𝑡2
Con esto, la función generadora 𝐺(𝑥, 𝑡) de los polinomios de
Legendre se puede escribir como
𝐺 𝑥, 𝑡 =1
1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2=
𝑟
𝑟 − 𝑟0=
𝑛=0
∞
𝑃𝑛 𝑥 𝑡𝑛
de donde
1
𝑟 − 𝑟0=
1
𝑟
𝑛=0
∞𝑟0𝑟
𝑛
𝑃𝑛 cos 𝜃
La expresión anterior
puede ser interpretada
físicamente como el
potencial eléctrico en el
punto 𝑟 producido por
una carga unitaria
colocada en el punto 𝑟0.
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas
En este caso la ecuación de Helmholtz, toma la forma
1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌𝜌𝜕𝜑
𝜕𝜌+
1
𝜌2
𝜕2𝜑
𝜕𝜙2+
𝜕2𝜑
𝜕𝑧2+ 𝑘2𝜑 = 0
Ahora la solución propuesta es de la forma
𝜑 𝜌, 𝜙, 𝑧 = 𝑅 𝜌 Φ 𝜙 𝑍 𝑧
que al sustituir en la ecuación (5.2.42) lleva a
1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌𝜌𝜕 𝑅Φ𝑍
𝜕𝜌+
1
𝜌2
𝜕2 𝑅Φ𝑍
𝜕𝜙2+
𝜕2 𝑅Φ𝑍
𝜕𝑧2+ 𝑘2 𝑅Φ𝑍 = 0
es decir
Φ𝑍1
𝜌
𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+ 𝑅𝑍
1
𝜌2
𝑑2Φ
𝑑𝜙2+ 𝑅Φ
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2+ 𝑘2 𝑅Φ𝑍 = 0
(5.2.42)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
y dividiendo entre 𝜑 = 𝑅Φ𝑍
1
𝑅
1
𝜌
𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+
1
Φ
1
𝜌2
𝑑2Φ
𝑑𝜙2+
1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2+ 𝑘2 = 0
La ecuación se separa como
1
𝑅
1
𝜌
𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+
1
Φ
1
𝜌2
𝑑2Φ
𝑑𝜙2+ 𝑘2 = −
1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2= 𝑘𝑧
2
de donde
−1
𝑍
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2= 𝑘𝑧
2
y
1
𝑅
1
𝜌
𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+
1
Φ
1
𝜌2
𝑑2Φ
𝑑𝜙2+ 𝑘2 = 𝑘𝑧
2
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
La primera ecuación se reescribe como
𝑑2𝑍
𝑑𝑧2+ 𝑘𝑧
2𝑍 = 0
Mientras que la segunda, después de multiplicar por 𝜌2 ,
permite escribir
1
𝑅𝜌
𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+
1
Φ
𝑑2Φ
𝑑𝜙2+ 𝑘2𝜌2 = 𝑘𝑧
2𝜌2
y separando variables
1
𝑅𝜌
𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+ 𝑘2 − 𝑘𝑧
2 𝜌2 = −1
Φ
𝑑2Φ
𝑑𝜙2= 𝜆2
Lo que lleva a
𝑑2Φ
𝑑𝜙2+ 𝜆2Φ = 0
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
y
1
𝑅𝜌
𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+ 𝑘2 − 𝑘𝑧
2 𝜌2 − 𝜆2 = 0
Es decir
𝜌𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+ 𝑘2 − 𝑘𝑧
2 𝜌2 − 𝜆2 𝑅 = 0
La ecuación anterior (5.2.52) se conoce como la ecuación
diferencial de Bessel.
Para escribir la ecuación de Bessel en una forma más usual,
cambiamos a la variable
𝑥 = 𝜌 𝑘2 − 𝑘𝑧2
con lo que podemos escribir
(5.2.52)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
𝑑
𝑑𝜌=
𝑑𝑥
𝑑𝜌
𝑑
𝑑𝑥= 𝑘2 − 𝑘𝑧
2𝑑
𝑑𝑥
𝜌𝑑
𝑑𝜌= 𝜌 𝑘2 − 𝑘𝑧
2𝑑
𝑑𝑥= 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
y
𝜌𝑑
𝑑𝜌𝜌
𝑑
𝑑𝜌= 𝑥
𝑑
𝑑𝑥𝑥
𝑑
𝑑𝑥
Con esto, la ecuación diferencial de Bessel
𝜌𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌+ 𝑘2 − 𝑘𝑧
2 𝜌2 − 𝜆2 𝑅 = 0
se reescribe como
𝑥𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑑𝑅
𝑑𝑥+ 𝑥2 − 𝜆2 𝑅 = 0
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
es decir
𝑥2𝑑2𝑅
𝑑𝑥2+ 𝑥
𝑑𝑅
𝑑𝑥+ 𝑥2 − 𝜆2 𝑅 = 0
Las funciones de Bessel son soluciones de la ecuación
diferencial de Bessel, dada por la ecuación (5.2.56), donde 𝜆 es
un parámetro real no negativo; la ecuación está definida para
𝑥 ≥ 0.
La solución general cuando 𝜆 no es un entero es
𝑅 𝑥 = 𝑎𝐽𝜆 𝑥 + 𝑏𝐽−𝜆 𝑥
donde 𝐽𝜆 𝑥 queda expresada por la serie de Bessel
𝐽𝜆 𝑥 =
𝑘=0
∞−1 𝑘
𝑘! Γ(𝜆 + 𝑘 + 1)
𝑥
2
𝜆+2𝑘
(5.2.56)
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Cuando 𝜆 = 𝑛, entero, se obtienen las funciones de Bessel
de orden entero, 𝐽𝑛 𝑥 , dadas por
𝐽𝑛 𝑥 =
𝑘=0
∞−1 𝑘
𝑘! 𝑛 + 𝑘 !
𝑥
2
𝑛+2𝑘
Las cuales cumplen la relación
𝐽−𝑛 𝑥 = −1 𝑛𝐽𝑛 𝑥
por lo que 𝐽−𝑛 𝑥 no es independiente de 𝐽𝑛 𝑥 , y se requiere de
una segunda solución.
La segunda solución está dada por la función de Neumann
𝑁𝜆 𝑥 =𝐽𝜆 𝑥 cos 𝜆𝜋 − 𝐽−𝜆 𝑥
sin 𝜆𝜋
Por lo que la solución general a la ecuación de Bessel es
𝑅 𝑥 = 𝑎𝐽𝑛 𝑥 + 𝑏𝑁𝑛 𝑥
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Gráfica de las primeras funciones de Bessel de primer tipo,
𝐽𝑛(𝑥).
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Gráfica de las primeras funciones de Bessel de segundo tipo,
𝑁𝑛(𝑥).
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Cuando en la ecuación de Helmholtz, 𝑘 = 0, la ecuación se
reduce a la ecuación de Laplace 𝛻2𝜑 = 0 ; en este caso el
método de separación de variables conduce a la ecuación
diferencial de Bessel modificada
𝜌𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌− 𝑘𝑧
2𝜌2 + 𝜆2 𝑅 = 0
Cuya solución son las funciones de Bessel modificadas 𝐼𝜆 𝑥
𝐼𝜆 𝑥 =
𝑘=0
∞1
𝑘! Γ(𝜆 + 𝑘 + 1)
𝑥
2
𝜆+2𝑘
Cuando 𝜆 es un entero no negativo, las dos funciones de Bessel
modificadas son iguales
𝐼−𝑛 𝑥 = 𝐼𝑛 𝑥
y por lo tanto se requiere de una segunda solución
independiente de 𝐼𝑛 𝑥 .
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Mientras que la segunda solución está dada por la función
de Bessel modificada de segundo tipo de orden 𝜆 , 𝐾𝜆 𝑥 ,
definida como
𝐾𝜆 𝑥 =𝜋
2∙𝐼−𝜆 𝑥 − 𝐼𝜆 𝑥
sin 𝜆𝜋
Por lo que la solución general a la ecuación de Bessel
modificada
𝜌𝑑
𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅
𝑑𝜌− 𝑘𝑧
2𝜌2 + 𝜆2 𝑅 = 0
es
𝑅 𝑥 = 𝑎𝐼𝑛 𝑥 + 𝑏𝐾𝑛 𝑥
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Gráfica de las primeras funciones de Bessel modificadas de
primer tipo, 𝐼𝑛(𝑥).
ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO
DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Gráfica de las primeras funciones de Bessel modificadas de
segundo tipo, 𝐾𝑛(𝑥).
MATEMÁTICAS
Posgrado en Nanotecnología
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2016 – Departamento de Física
TEMARIO
5. Variable Compleja.
1. Números complejos.
2. Funciones de variables complejas.
3. Integrales de contorno.
4. El Teorema del Residuo.
Definición. Un número complejo 𝑧, es un número que se expresa
como la suma 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 o, de manera equivalente, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, donde 𝑥e 𝑦 son dos reales cualquiera.
Se conoce a 𝑖 como la unidad imaginaria, tal que 𝑖2 = −1.
El número complejo 𝑧 también se puede representar como pares
ordenados (𝑥, 𝑦) de números reales, tal que 𝑧 = (𝑥, 𝑦); los cuales pueden
interpretarse como puntos en el plano complejo, con coordenadas
rectangulares 𝑥 e 𝑦.
Por lo anterior, se denotará con 𝑥 = Re 𝑧 a la parte real del número 𝑧,
y con 𝑦 = Im𝑧 a la parte imaginaria de 𝑧.
NÚMEROS COMPLEJOS.
Los números de la forma 𝑧 = 𝑥 +𝑖0 = 𝑥 se denominan reales puros o,
simplemente, reales; y los números de la
forma 𝑧 = 0 + 𝑖𝑦 = 𝑖𝑦 se denominan
imaginarios puros o, simple mente,
imaginarios.
Igualdad de números complejos
Dos números complejos 𝑧1 = (𝑥1, 𝑦1) y 𝑧2 = (𝑥2, 𝑦2) serán iguales
siempre y cuando tengan las mismas partes reales y las mismas partes
imaginarias, es decir
𝑥1 = 𝑥2
e
𝑦1 = 𝑦2
Lo que significa que 𝑧1 y 𝑧2 corresponden al mismo punto en el plano
complejo.
Es importante mencionar que en
los números complejos no existe una
relación de orden, por lo que al
emplear números complejos no tiene
sentido afirmar que 3 + 𝑖 < 4 + 2𝑖 ;
pero sí lo tiene, como veremos más
adelante, 3 + 𝑖 < 4 + 2𝑖 .
NÚMEROS COMPLEJOS.
Para construir las operaciones básicas del algebra de los números
complejos, como lo son sumar (o restar) y multiplicar (o dividir), es
importante considerar que los números reales son un subconjunto de los
números complejos, de tal forma que muchas de las propiedades
ampliamente conocidas de los reales se extienden a los complejos.
Suma (o resta) de números complejos
Sean dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 , se
define la suma (o resta) de 𝑧1 y 𝑧2 como
𝑧 = 𝑧1 ± 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 ± 𝑥2 + 𝑖𝑦2
es decir
𝑧 = 𝑥1 ± 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 ± 𝑦2
La definición anterior implica que para sumar (o restar) dos números
complejos es suficiente sumar (o restar), por separado, las partes reales e
imaginarias de dichos números
NÚMEROS COMPLEJOS.
Producto de números complejos
Sean dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, se define
el producto de 𝑧1 y 𝑧2 como
𝑧 = 𝑧1𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 𝑥2 + 𝑖𝑦2
𝑧 = 𝑥1𝑥2 + 𝑖𝑥1𝑦2 + 𝑖𝑥2𝑦1 + 𝑖2𝑦1𝑦2
es decir
𝑧 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1
En general, el resultado del producto de dos números complejos
definido anteriormente es un número complejo.
Sin embargo, hay un caso particular de producto que aparece en
muchos campos de la física [cuando requerimos tener cantidades que
representen magnitudes reales (medibles) a partir de cantidades
complejas], el cual se obtiene mediante el uso del llamado complejo
conjugado.
NÚMEROS COMPLEJOS.
Complejo conjugado de un número complejo
Sea un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, se define su complejo conjugado
𝑧∗ como
𝑧∗ = 𝑥 − 𝑖𝑦
El número complejo 𝑧∗ se representa por
el punto (𝑥, −𝑦), el cual es la reflexión en el
eje real del punto (𝑥, 𝑦) que representa a 𝑧,
tal como se muestra en la figura anexa.
Con la definición anterior, se tiene que
𝑧∗𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
Lo que significa que el producto de un
número complejo 𝑧 por su complejo
conjugado 𝑧∗ resulta siempre en una
cantidad real.
NÚMEROS COMPLEJOS.
Cociente (o división) de números complejos
Sean dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 (con 𝑧2 ≠0), se define el cociente de 𝑧1 entre 𝑧2 como
𝑧 =𝑧1𝑧2
=𝑥1 + 𝑖𝑦1𝑥2 + 𝑖𝑦2
Para poder realizar la operación anterior, se hace uso del complejo
conjugado (definido anteriormente).
En este caso, se multiplican el numerador y el denominador por el
complejo conjugado del denominador, a saber
𝑧 =𝑧1𝑧2
=𝑥1 + 𝑖𝑦1𝑥2 + 𝑖𝑦2
𝑥2 − 𝑖𝑦2𝑥2 − 𝑖𝑦2
es decir
𝑧 =𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2
𝑥22 + 𝑦2
2 − 𝑖𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1
𝑥22 + 𝑦2
2
NÚMEROS COMPLEJOS.
Inverso multiplicativo
Ejercicio: Sea el número complejo 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1. Encuentre el número
complejo 𝑧2 tal que 𝑧1𝑧2 = 1.
Solución.
𝑧2 =𝑥1
𝑥12 + 𝑦1
2 − 𝑖𝑦1
𝑥12 + 𝑦1
2
En este ejercicio, hemos encontrado que el número complejo 𝑧2representa el inverso multiplicativo de 𝑧1, es decir
𝑧2 = 𝑧1−1
Resumiendo, el inverso multiplicativo 𝑧−1 del número 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦está dado por
𝑧−1 =𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥2 + 𝑦2
NÚMEROS COMPLEJOS.
Dada la estructura de los números complejos surge de manera natural
la inquietud por una representación geométrica de los mismos, para lo
cual retomamos ideas de graficación empleadas anteriormente que nos
permiten definir el plano complejo o 𝑧-plano.
El plano complejo o 𝑧-plano se forma por la intersección de los ejes
real e imaginario, tal como lo hacen los ejes 𝑥 e 𝑦 de un plano cartesiano.
Con lo anterior, podemos interpretar
geométricamente al número complejo 𝑧como el vector que va del origen al
punto (𝑥, 𝑦).
El vector 𝑧 se puede escribir como la
suma de las componentes real e
imaginaria, a saber
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
que corresponde a la representación
rectangular de un número complejo.
NÚMEROS COMPLEJOS.
Módulo o valor absoluto
La interpretación vectorial de un número complejo es especialmente
útil para extender el concepto de valor absoluto de números reales al
plano complejo.
Definicion. El módulo o valor absoluto de un número complejo 𝑧 = 𝑥 +
𝑖𝑦 se define como el número real no negativo 𝑥2 + 𝑦2 y se denota por
𝑧 , es decir
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
Geométricamente, el número |𝑧| es
la distancia entre el punto (𝑥, 𝑦) y el
origen, o la longitud del radio vector
que representa a 𝑧.
Se reduce al conocido valor
absoluto que se tiene en el conjunto de
los reales, cuando y = 0.
NÚMEROS COMPLEJOS.
Módulo o valor absoluto
Es importante notar que la desigualdad 𝑧1 < 𝑧2 carece de sentido, a
menos que 𝑧1 y 𝑧2 sean reales; sin embargo, la desigualdad |𝑧1| < |𝑧2|significa que el punto 𝑧1 está más cerca al origen que lo que el punto 𝑧2 lo
está.
Algunas propiedades del módulo o valor absoluto de un número complejo
Sean 𝑧1 y 𝑧2 dos números complejos cualquiera, las siguientes
relaciones son válidas:
𝑧 ≥ Re 𝑧 ≥ Re 𝑧
𝑧 ≥ Im𝑧 ≥ Im𝑧
𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2
𝑧1
𝑧2=
𝑧1
𝑧2, para 𝑧2 ≠ 0.
NÚMEROS COMPLEJOS.
Desigualdad del triángulo
Si 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, la suma
𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 + 𝑥2 + 𝑖𝑦2
corresponde al punto 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2 el cual representa el punto final
del vector suma, tal como se muestra en la figura.
Usando esta interpretación geométrica
para un número complejo cualquiera, es
evidente la validez de la llamada
desigualdad del triángulo que se escribe, en
este caso, como
𝑧1 + 𝑧2 ≤ 𝑧1 + 𝑧2
En este caso, 𝑧1 + 𝑧2 representa el
módulo del número complejo que resulta de
la suma de 𝑧1 y 𝑧2, y cuyos módulos son
𝑧1 y 𝑧2 , respectivamente
NÚMEROS COMPLEJOS.
Para escribir el número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, en su representación
exponencial, se puede hacer una analogía con los vectores en el plano.
donde 𝑧 es el módulo dado por
𝑧 = Re 𝑧 2 + Im𝑧 2
mientras que el ángulo 𝜃, medido en radianes, está dado por
𝜃 = tan−1Im 𝑧
Re 𝑧
Representación en forma exponencial. Fórmula de Euler.
En este caso, usando coordenadas polares
podemos escribir
𝑥 = Re 𝑧 = 𝑧 cos 𝜃
𝑦 = Im𝑧 = 𝑧 sin 𝜃
Con lo que podemos representar al número
complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 con la expresión
𝑧 = 𝑧 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 (1.1)
(1.2)
(1.3)
NÚMEROS COMPLEJOS.
De la expresión para el ángulo, vemos que hay un número infinito de
valores que difieren por múltiplos enteros de 2𝜋, siempre que 𝑧 ≠ 0, ya
que en tal caso 𝜃 queda indefinido; por lo anterior, se hace necesaria la
siguiente definición.
Argumento de 𝒛 (𝐚𝐫𝐠 𝒛) y su valor principal (𝐀𝐫𝐠 𝒛)
Definición. Cada valor de 𝜃 , dado por la ecuación (1.3), se llama
argumento de z, y el conjunto de todos esos valores se denota por arg 𝑧.
Definición. El valor principal de arg 𝑧, denotado por Arg 𝑧, corresponde
al único valor del argumento ubicado entre −𝜋 y 𝜋 , tal que
− 𝜋 < Arg 𝑧 ≤ 𝜋.
arg 𝑧 = Arg 𝑧 + 2𝑛𝜋 con 𝑛 = 0,±1,±2,±3,⋯
Con lo anterior, la representación polar para el número complejo
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, en su forma más general, se escribe como
𝑧 = 𝑧 cos 𝜃 + 2𝑛𝜋 + 𝑖 sin 𝜃 + 2𝑛𝜋
con 𝑧 y 𝜃 definidos anteriormente, y 𝑛 = 0,±1,±2, ±3,⋯.
(1.4)
NÚMEROS COMPLEJOS.
Si ahora se considera el desarrollo en Series de Taylor para la
exponencial, conocida como Fórmula de Euler, a saber
𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃
podemos escribir al número complejo 𝑧, dado por la ecuación (1.1), como
𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖𝜃 (1.5)
o en forma más general, usando la ecuación (1.4), como
𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖 𝜃+2𝑛𝜋 (1.6)
con 𝑛 = 0,±1, ±2,±3,⋯, y |𝑧| y 𝜃 definidos previamente.
La ecuación (1.5) se conoce como representación exponencial del
número complejo 𝑧 y es muy útil porque permite simplificar los cálculos
al hacer uso de las propiedades inherentes a la función exponencial.
NÚMEROS COMPLEJOS.
En esta representación, el complejo conjugado z* está dado por
𝑧∗ = 𝑧 𝑒−𝑖𝜃 (1.7)
La igualdad de dos números complejos 𝑧1 y 𝑧2 en representación polar
(o exponencial) ocurre si
𝑧1 = 𝑧2
y
𝜃1 = 𝜃2 + 2𝑛𝜋
con 𝑛 = 0,±1, ±2,±3,⋯.
La primera condición está relacionada con la igualdad de los módulos,
mientras que la segunda condición toma en cuenta la multiplicidad de los
valores angulares.
NÚMEROS COMPLEJOS.
Potenciación de un número complejo
Retomando la ecuación (1.5) podemos escribir una expresión para la
potencia 𝑛-ésima de 𝑧, 𝑧𝑛, de la siguiente forma
𝑧𝑛 = 𝑧 𝑒𝑖𝜃𝑛
es decir
𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛𝑒𝑖𝑛𝜃 (1.12)
para 𝑛 = 0,±1,±2,±3,⋯.
Desarrollando la exponencial compleja en senos y cosenos, podemos
escribir la expresión (1.12) como
𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 (1.13)
Las ecuaciones (1.12) y (1.13) son equivalentes y nos permiten
calcular la potencia 𝑛-ésima de un número complejo 𝑧, con la única
condición de que este debe estar escrito previamente en forma
exponencial.
POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.
Potenciación de un número complejo
Ejemplos. Usando el desarrollo del binomio y, por otro lado, la
representación exponencial calcule lo expresado y compruebe que se
obtiene el mismo resultado.
1. 2 + 3𝑖 4
2. 5 − 6𝑖 2
3. 4𝑖 − 1 8
4. 1 + 𝑖 3
5. 1 − 𝑖 3
POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.
Raíz de un número complejo
Antes de construir la expresión más general, vamos a resolver primero
la ecuación
𝑧𝑛 = 1 (1.16)
es decir, encontrar la raíz 𝑛-ésima de la unidad.
La ecuación anterior se puede escribir como
𝑧 𝑒𝑖𝜃𝑛= 𝑒𝑖 0+2𝜋𝑘
con 𝑘 = 0,±1,±2,⋯.
De aquí, separando partes real e imaginarias, encontramos que
𝑧 = 1
y
𝜃 =2𝜋𝑘
𝑛con 𝑘 = 0,±1,±2,⋯.
POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.
Con lo que la solución para la ecuación (1.16) se puede escribir como
𝑧 = 𝑒𝑖2𝑘𝜋
𝑛 = cos2𝑘𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
2𝑘𝜋
𝑛(1.19)
Para tener soluciones distintas, y recordando que el Argumento de un
número complejo toma valores entre −𝜋 y 𝜋, se debe considerar que
𝑘 = 0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1 (1.20)
Gráficamente podemos representar las raíces 𝑛-ésimas de la unidad
como un polígono circunscrito en un círculo de radio 1 con 𝑛 aristas.
POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.
POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.
Extendiendo la idea anterior, pero aplicada a la ecuación
𝑧𝑛 = 𝑧0 (1.21)
se encuentra que la raíz 𝑛-ésima de dicha ecuación está conformada por el
conjunto de números complejos 𝑐𝑘 dados por
𝑐𝑘 = 𝑧0 1 𝑛𝑒
𝑖𝜃0𝑛+2𝑘𝜋
𝑛 (1.22)
con
𝑘 = 0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1 (1.23)
El valor obtenido cuando 𝑘 = 0 se le llama raíz principal del número
complejo 𝑧0.
POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.
Resumiendo, la solución a la ecuación
𝑧𝑛 = 𝑧0 (1.21)
es el conjunto de números complejos 𝑐𝑘 dados por
𝑐𝑘 = 𝑧0 1 𝑛𝑒
𝑖𝜃0𝑛+2𝑘𝜋
𝑛 (1.22)
con
𝑘 = 0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1 (1.23)
Ejercicios.
1. Calcule las raíces indicadas e identifique la raíz principal.
a) 3 + 4𝑖 1 2.
b) 4 − 4𝑖 1 5.
2. Resuelva la ecuación 𝑧6 + 1 = 𝑖 3.
En el estudio de números reales, una función 𝑓 asigna a un elemento
de su dominio un elemento de su rango acorde a una expresión de la forma
𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Para el caso de los números complejos, podemos construir una
herramienta similar de asociación entre dos números complejos 𝑧 y 𝑤.
Definición. Sea 𝑆 un conjunto de números complejos. Una función 𝑓de variable compleja definida en 𝑆 es una regla que asigna a cada número
complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 de 𝑆, algún número complejo 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣.
El número complejo 𝑤 se llama valor de 𝑓 en 𝑧 y se denota por 𝑓(𝑧),es decir
𝑤 = 𝑓(𝑧)
y el conjunto 𝑆 donde está definida la función 𝑓(𝑧) se llama dominio de
𝑓.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Para representar gráficamente esta asignación o mapeo, se requieren 2
planos complejos: el plano 𝑧 y el plano 𝑤.
Dado que 𝑧 y 𝑤 son números complejos, relacionados por la función
𝑓, es posible escribir
𝑤 = 𝑓(𝑧)
𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦)
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Lo anterior permite expresar a la función de variable compleja 𝑓(𝑧)como la suma
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
cuando usamos representación rectangular.
Mientras que en representación exponencial podemos escribir
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑢(𝑟, 𝜃) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃)
donde se ha considerado que
𝑤 = 𝑟𝑒𝑖𝜃
Si al realizar esta separación, en cualquiera de sus representaciones,
resulta que la función 𝑣 es siempre cero, entonces decimos que la función
𝑓(𝑧) es una función real de variable compleja.
En un ejercicio, que se desarrollará a continuación, se encuentra que la
función 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑧∗ es de este tipo.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Ejemplo. Encuentre las partes real e imaginaria de la función
𝑓 𝑧 = 2𝑧2 − 8𝑧
y expréselas en forma rectangular [ 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) ] y forma
exponencial [𝑢(𝑟, 𝜃) y 𝑣(𝑟, 𝜃)].
Solución.
𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 − 2𝑦2 − 8𝑥 + 𝑖 4𝑥𝑦 − 8𝑦
𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑟, 𝜃 = 2𝑟 𝑟 cos 2𝜃 − 4 cos 𝜃 + 𝑖 2𝑟 𝑟 sin 2𝜃 − 4 sin 𝜃
Ejercicios. Encuentre las partes real e imaginaria de las funciones
indicadas y expréselas en representación rectangular [𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦)] y
representación exponencial [𝑢(𝑟, 𝜃) y 𝑣(𝑟, 𝜃)].
1. 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑧∗
2. 𝑓(𝑧) = 1 𝑧
3. 𝑓(𝑧) =2𝑧 − 8
𝑧2 + 1
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Para introducir los conceptos de límite y continuidad de una función
vamos a considerar que la función 𝑓(𝑧) está definida en un dominio 𝐷 y
que 𝑧0 es un punto de 𝐷.
Definición. Sea 𝑓(𝑧) una función definida en todos los puntos de
cierta vecindad de 𝑧0, excepto, posiblemente en el mismo 𝑧0. Se dice que
𝑤0 es el límite de 𝑤 = 𝑓(𝑧), si para cualquier número positivo 휀, existe
un número positivo 𝛿 tal que
𝑓 𝑧 − 𝑤0 < 휀 siempre que 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿.
Se denota el límite de 𝑓(𝑧) con la expresión
lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝑤0
donde 𝑤0 corresponde al límite de la función 𝑓(𝑧) cuando 𝑧 se aproxima
a 𝑧0 ; y significa que la región alrededor de 𝑤0 puede hacerse
arbitrariamente pequeña conforme 𝑧 se aproxima a 𝑧0 sin importar la
forma en que lo hace.
Límites y continuidad de una función.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
La definición anterior puede visualizarse en el siguiente esquema.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Límites y continuidad de una función.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Límites y continuidad de una función.
Continuidad de una función. La condición de continuidad para una
función de variable compleja 𝑤 = 𝑓(𝑧), en analogía con el caso de
funciones reales, se enuncia de la siguiente manera.
Definición. La función 𝑓(𝑧) es continua en el punto 𝑧0 si se cumple que
lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0)
lo que implica que lim𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) existe, y que 𝑓(𝑧0) también existe.
Función polinomial 𝑃𝑛(𝑧)
Las ideas anteriormente desarrolladas permiten concluir que una
función polinomial 𝑃𝑛(𝑧) es continua para todo 𝑧, donde 𝑃𝑛(𝑧) está
definido como
𝑃𝑛 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0
y 𝑛 es un entero positivo.
Definición. Sea 𝑓 una función cuyo dominio de definición contenga
un entorno o vecindad |𝑧 − 𝑧0| < 휀 de un punto 𝑧0. La derivada de 𝑓 en
𝑧0 es el límite
𝑓′ 𝑧0 = lim𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0
y se dice que 𝑓 es diferenciable en 𝑧0 cuando 𝑓′ 𝑧0 existe.
Si la derivada 𝑓′ 𝑧 existe en todos los puntos 𝑧 de una región 𝑅, se
dice que 𝑓(𝑧) es analítica en 𝑅; como sinónimos suelen usarse también
los términos regular y holomorfa.
Ejemplo: Considere una función 𝑓 dada por 𝑓 𝑧 = 2𝑧3 + 𝑧 − 𝑖. Use la
definición para mostrar que la derivada de la función 𝑓 está dada por
𝑓′(𝑧) = 6𝑧2 + 1.
Derivadas. funciones analíticas.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Suponga que 𝑓(𝑧) , 𝑔(𝑧) y ℎ(𝑧) son funciones analíticas de 𝑧 ,
entonces son válidas las siguientes reglas de diferenciación.
1.𝑑
𝑑𝑧𝑓(𝑧) ± 𝑔(𝑧) =
𝑑𝑓(𝑧)
𝑑𝑧±
𝑑𝑔(𝑧)
𝑑𝑧= 𝑓′(𝑧) ± 𝑔′(𝑧).
2.𝑑
𝑑𝑧𝑐𝑓(𝑧) = 𝑐
𝑑𝑓(𝑧)
𝑑𝑧= 𝑐𝑓′(𝑧), donde 𝑐 es una constante.
3.𝑑
𝑑𝑧𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧) =
𝑑𝑓 𝑧
𝑑𝑧𝑔 𝑧 + 𝑓 𝑧
𝑑𝑔 𝑧
𝑑𝑧= 𝑓′ 𝑧 𝑔 𝑧 + 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧) .
4.𝑑
𝑑𝑧
𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)=
𝑑𝑓 𝑧
𝑑𝑧𝑔 𝑧 −𝑓 𝑧
𝑑𝑔 𝑧
𝑑𝑧
𝑔(𝑧) 2 =𝑓′ 𝑧 𝑔 𝑧 −𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)
𝑔(𝑧) 2 , siempre que
𝑔(𝑧) ≠ 0.
Regla de la cadena para funciones de variable compleja
5. Si 𝑤 = 𝑓(𝜉) donde 𝜉 = 𝑔(𝑧), entonces
𝑑𝑤
𝑑𝑧=𝑑𝑤
𝑑𝜉∙𝑑𝜉
𝑑𝑧= 𝑓′ 𝜉
𝑑𝜉
𝑑𝑧= 𝑓′ 𝑔 𝑧 𝑔′(𝑧)
Reglas de derivación.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Suponga que 𝑓(𝑧) , 𝑔(𝑧) y ℎ(𝑧) son funciones analíticas de 𝑧 ,
entonces son válidas las siguientes reglas de diferenciación.
6. Si 𝑤 = 𝑓(𝑧) tiene una función inversa unívoca 𝑓−1 , tal que
𝑧 = 𝑓−1(𝑤), entonces
𝑓′ 𝑧 =𝑑𝑤
𝑑𝑧y 𝑓−1 𝑤 ′ =
𝑑𝑧
𝑑𝑤
se relacionan mediante
𝑑𝑤
𝑑𝑧=
1
𝑑𝑧𝑑𝑤
7. Si 𝑧 = 𝑓(𝑡) y 𝑤 = 𝑔(𝑡), donde 𝑡 es un parámetro, entonces
𝑑𝑤
𝑑𝑧=
𝑑𝑤𝑑𝑡
𝑑𝑧𝑑𝑡
=𝑔′(𝑡)
𝑓′(𝑡)
Reglas de derivación.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Derivadas de funciones elementales
Las funciones elementales se derivan de manera similar a como se
realizan las derivadas en el cálculo elemental (de variables reales); así que
expresiones como
•𝑑𝑐
𝑑𝑧= 0, si 𝑐 es una constante.
•𝑑
𝑑𝑧𝑧 = 1
•𝑑
𝑑𝑧𝑧𝑛 = 𝑛𝑧𝑛−1
•𝑑
𝑑𝑧𝑒𝑧 = 𝑒𝑧
son válidas en el cálculo de variable compleja.
•𝑑
𝑑𝑧𝑎𝑧 = 𝑎𝑧 ln 𝑎
•𝑑
𝑑𝑧sin 𝑧 = cos 𝑧
•𝑑
𝑑𝑧cos 𝑧 = − sin 𝑧
•𝑑
𝑑𝑧tan 𝑧 = sec2 𝑧
Reglas de derivación.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones que
deben satisfacerse en 𝑧0 para que la derivada de una función 𝑓 exista en
𝑧0.
Suponga que la función 𝑓(𝑧) se puede escribir como
𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦
entonces, si las derivadas parciales en 𝑥 y 𝑦 de las partes real e imaginaria
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
𝑢𝑥 𝑥0, 𝑦0 = 𝑣𝑦 𝑥0, 𝑦0
𝑣𝑥 𝑥0, 𝑦0 = −𝑢𝑦 𝑥0, 𝑦0
la derivada 𝑓′(𝑧0) existe, y se puede escribir como
𝑓′ 𝑧0 = 𝑢𝑥 𝑥0, 𝑦0 + 𝑖𝑣𝑥 𝑥0, 𝑦0
El que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplan es una
condición necesaria pero no suficiente para la existencia de 𝑓′(𝑧).
Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Ejemplos.
1. Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pruebe que la derivada
𝑓′(𝑧) no existe en ningún punto del plano 𝑧 para 𝑓 𝑧 = 𝑧 − 𝑧∗.
2. Verifique que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen para
la función 𝑓(𝑧) definida por
𝑓 𝑧 = 𝑒𝑧2
𝑓 𝑧 = cos 2𝑧
𝑓 𝑧 = 𝑧2 + 5𝑖𝑧 + 3 − 𝑖
𝑓 𝑧 = 𝑧𝑒−𝑧
3. Muestre que la función 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑖𝑦3 es no analítica en
cualquier punto.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
MATEMÁTICAS
Posgrado en Nanotecnología
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2016 – Departamento de Física