MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 1
Unitat 2: Polinomis i fraccions algebraiques
Operacions amb polinomis (recordatori)
1) )132()65( 22 xxxx
2) )322()35( 22 yyyy
3)
4
3
2
3
4
1
2
22
xx
xx
4) )6,127,0()4,023,0( 33 xxxx
5)
2
1
43
41
4
3
3
baba
6)
2
1
34
32
22 ab
aaba
7) )274()65()123( 222 mmmmmm
8)
3
5
23
1
23
2
22
2 xxx
xxx
9)
15
8
6
7
6
5
5
1
223
1
3
2
3
yxyxyx
10)
2
22
222
4
3
2
1
45
8
6
1
4
3
5
2
3
2
8
5bab
abab
ababa
11)
222
222 23
3
2
32 yxyxyxy
xyxyx
12) ababab 22 32
13)
yxyx
5
4
3
2
2
1
4
3
14) )23(1273 xxxx
15) yyyyyy 23)1(124321 2
16) yxxyxyyxx 633
142
2
1
17) )3(3 bababbabaa
18) yxyx 7474
19) xyxxyx 77 22
20) xyxxyx 22 22
21) yxyx 6868
22) yxyx 5252
23) 22 74 xyx
24) 232 23 yx
25) yxyxyxyx 22·22222
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 2
Divisió de polinomis. Efectua les següents divisions:
4 3 2
2 5 6 4 2
5 4 3 2 3
3 2
4 2 3
3 2 2
2 3 2
3 2 2
5 2
6 3 2
1) 12 4 8 16 : 4
2) 3 5 4 3 2 :
3) 20 5 15 8 : 5
4) 3 2 4 5 :
5) 2 3 5 3 : 2
6) 4 3 2 1 : 3
7) 3 1 : 1
8) 4 2 3 : 2 3
9) 2 3 : 2 4
10) 3 3 :
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
x x
x x x x
5 3 2 2
4 2 3 2
2
4 3 4
4 3 2 2
5 4 3 2 2
3
11) 3 1 : 2 1
2 212) 3 :
3 3
1 313) 2 1 : 1
2 2
3 2 9 314) : 1
2 5 4 5
3 19 11 2 115) 3 : 3
2 8 12 3 2
16) 2 3 7 11 9 6 :
x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
6 2 5 3 3
6 4
4
17) 7 10 2 4 : 1
18) 2 : 1
x x x x x
x x x
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 3
Divisió de polinomis mitjançant el mètode de Ruffini.
Exemple:34 5 3 2x x x
-2
4 0 -8
-5 16
3 -22
4 -8 11 -19
L’última suma obtinguda (-19) és el residu de la divisió. La resta de nombres (4,-8 i 11) són els coeficients del polinomi quocient:
2( ) 4 8 11C x x x , ( ) 19R x
1. Efectua les següents divisions mitjançant la regla de Ruffini:
a) 3 2( 4 3 5) : ( 2)x x x x
b) 3 2(2 9 11 7) : ( 3)x x x x
c) 6 5 4 3 2( 2 8 7 29 5) : ( 4)x x x x x x x
d) 6 5 4 3 2(4 4 3 4 6) : ( 1)x x x x x x x
2. Fes servir la regla de Ruffini per a trobar el quocient i el residu de les
següents divisions:
a) 3 2( 6 11 5) : ( 3)x x x x
b) 4 3 2( 7 13 17) : ( 4)x x x x x
c) 7 6 5 4 3 2( 9 19 12 3 19 37 37) : ( 5)x x x x x x x x
3. Determina el residu de les divisions següents, utilitzant la regla de Ruffini:
a) 3 22 5 3 dividit per 2x x x
b) 4 33 1 dividit per 2x x x
c) 4 1 dividit per 1x x
d) 3 1 dividit per 1x x x
e) 4 3 2 1 dividit per 1x x x x x
f) 2 3 4-6 17 -5 -3 dividit per 3x x x x x
g) 4 3 25 17 4
2 dividit per 22 3 3
x x x x x
Solucions: 1. a) Residu: 3 b) Residu: 1 c) Residu: 7 d) Residu: 7
2. a) 2( ) 3 2, ( ) 1Q x x x R x b)
3 2( ) 3 5, ( ) 3Q x x x x R x
c) 6 5 4 3 2( ) 4 7 2 9 8, ( ) 3Q x x x x x x x R x
3. a) 15 b) 41 c) 2 d) 1 e) 5 f) 0 g) 0
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 4
4. Donat 4 2( ) 3 3 2p x x mx x , sabem que (2) 10p . Calcula el valor de m.
(Sol: m=21/2)
5. Dividint el polinomi 2x bx c per 3x obtenim 2 de residu. Quant valen b i
c si aquest polinomi és divisible per 2x ?
(Sol: b=-3, c=2)
6. Quin valor cal donar a k perquè el residu de la divisió de 3 24 3x x kx
entre 1
2x sigui 3?
(Sol: k=-3/2)
7. Calcula a i b de manera que el residu de la divisió 3 23 2x x ax b per
2 1x x sigui 0.
(Sol: a=-2, b=5)
8. Calcula el valor de k perquè el residu de la divisió de 2 6x x k per
2x sigui 2.
(Sol: k=10)
9. El polinomi 2( )p x x bx c és divisible per 1x . Sabem també que,
dividint-lo per 1x i per 3x , dóna el mateix residu. Troba c i b.
(Sol: b=-4, c=-5)
10. Calcula el valor de k perquè el residu de la divisió de 2 4
3x x k per
1
3x
sigui 6
9.
(Sol: k=1)
11. Calcula el valor de c perquè el polinomi 25 7x x c sigui divisible per 2x .
(Sol: c=-34)
12. Calcula el valor de n perquè el polinomi 3 23 7x nx sigui divisible per 1x .
(Sol: n=10)
13. Considerem el polinomi 2( ) 6p x x x m
a) Per a quin valor de m és p(x) divisible per 2x ?
b) Per a quin valor de m s’obté 3 de residu, en dividir-lo per 1x ?
c) Per a quins valors de m l’equació 2 6 0x x m no té arrels reals?
(Sol: a) m=8; b) m=8; c) m>9)
14. El residu de dividir el polinomi 2x bx c per 3x és 2. Quant valen b i c, si
aquest polinomi és divisible per 2x ?
(Sol: b=-3, c=2)
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 5
Factorització de polinomis. Exemples (polinomis de grau 2 mònics):
a) )1)(28(28272 xxxx
b) )2)(18(36202 xxxx
c) )4)(9(36132 xxxx
d) )10)(12(12022 xxxx
Factoritza:
1) 652 xx
2) 1072 xx
3) 1582 xx
4) 232 xx
5) 452 xx
6) 652 xx
7) 862 xx
8) 1072 xx
9) 1582 xx
10) 1072 xx
11) 62 xx
12) 822 xx
13) 1032 xx
14) 1522 xx
15) 2142 xx
16) 762 xx
17) 62 xx
18) 822 xx
19) 1032 xx
20) 822 xx
21) 872 xx
22) 542 xx
23) 1582 xx
24) 1072 xx
25) 1032 xx
26) 1452 xx
27) 562 xx
28) 1282 xx
29) 2422 xx
30) 202 xx
31) 4032 xx
32) 24112 xx
33) 24102 xx
34) 302 xx
35) 12132 xx
36) 22 xx
37) 1892 xx
38) 5432 xx
39) 5432 xx
40) 45182 xx
41) 85122 xx
42) 28112 xx
Exemples (polinomis de grau 2 no mònics):
a) )10)(4(2)4014(280282 22 xxxxxx
b) )2)(18()3620(3108603 22 xxxxxx
c) )4)(9()3613(3613 22 xxxxxx
d) )10)(12(2)1202(224042 22 xxxxxx
e) )1(5
15145 2
xxxx
f)
2
1
3
16156 2 xxxx
g)
4
1
7
1281328 2 xxxx
Nota històrica: Les fórmules per resoldre equacions de grau 3 que a desenvolupar
Cardano ens ocuparien tota una pàgina i dubto que cap matemàtic del món sigui
capaç d’aprendre-les. L’italià Paolo Ruffini (1765-1822) va desenvolupar un mètode
per trobar solucions enteres d’equacions de grau més gran que 2.
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 6
Factoritza:
1) 12153 2 xx
2) 2062 2 xx
3) 422 2 xx
4) 44262 2 xx
5) aaxax 1242
6) aaxax 1293 2
7) 2482 2 xx
8) 8062 2 xx
9) 72333 2 xx
10) 6022 2 xx
11) 36123 2 xx
12) 1682 xx
13) 1072 xx
14) 28272 xx
15) 36152 xx
16) 80282 2 xx
17) 2832 xx
18) 24262 2 xx
19) aaxax 3093 2
20) xxx 422 23
21) 132 2 xx
22) 143 2 xx
23) 154 2 xx
24) 165 2 xx
25) 134 2 xx
26) 143 2 xx
27) 1712 2 xx
28) 11312 2 xx
29) 1412 2 xx
30) 11128 2 xx
Regla de Ruffini
Exemple 1:
Calcula les arrels i factoritza el polinomi 45)( 24 xxxP .
Si )(xP té arrels enteres, han de ser alguns dels divisors de 4, en aquest cas
4,2,1 .
Provem d’aplicar la regla de Ruffini quan x=1.
1 0 -5 0 4 1 1 1 -4 -4
1 1 -4 -4 0 Com que l’últim número és zero, vol dir que x=1 és una solució del polinomi. Ara tornem a aplicar Ruffini amb els coeficients que ens han resultat. Provem x=-1:
1 1 -4 -4 -1 -1 0 4
1 0 -4 0 Com l’últim número dóna zero, això vol dir que x=-1 també és solució de l’equació. Ara amb els coeficients resultants podem resoldre una equació de 2n grau:
042 x
Les solucions d’aquesta equació són x=2 i x=-2. Ara ja tenim totes les solucions de l’equació de 4rt grau: x=1, x=-1, x=2, x=-2.
I factoritzant: )2)(2)(1)(1(45)( 24 xxxxxxxP
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 7
Exemple 2:
Factoritzem ara xxxxP 6206)( 23 . Aquí abans d’aplicar Ruffini observem
que es pot treure factor comú i aleshores ja ens quedarà una equació de 2n grau.
)6206(6206 223 xxxxxx amb la qual cosa una solució serà x=0 i
només ens cal resoldre 06206 2 xx
12
1620
6·2
6·6·42020 2
x , per tant,
3
11 x , x2=2.
La factorització serà:
3
1)2(66206)( 23 xxxxxxxP
Factoritza els següents polinomis:
1) xxx 65 23
2) 2976 23 xxx
3) 22 3x
4) xxx 67 23
5) 22 23 xxx
6) 224 xx
7) 14x
8) 145 xxx
9) 234 44 xxx
10) 29 30 25x x
11) 99
2x
12) 61133 234 xxxx
13) 15133 23 xxx
14) xxx 862 34
15) 4
333 2 xx
16) 3 23 6 8x x x
17) 3 22 2 18 18x x x
18) 6 281x x
19) 3 23 7 5x x x
20) 4 3 25 6x x x x
Fraccions algebraiques.
Redueix les següents fraccions:
1) 23
5
9
6
ba
ab
2) 53
43
35
28
xa
xa
3) 32 xa
ax
4) 5
3
24
18
a
a
5) 2
2
6
2
yz
yx
6)
103
252
2
xx
x
7)
127
652
2
xx
xx
8)
1572
202
2
xx
xx
15)
aca
ca
64
942
22
16) 27
7
xx
x
17)
)3)(( xba
ab
18)
2
2
4
145
x
xx
19)
127
652
2
xx
xx
20)
)(
)(2
2
xaab
axba
21)
)5)(5(
)5( 2
xx
x
22)
122 xx
mxm
29)
byxybxx
cxcyxyx2
2
30)
22
22
)(
)(
bac
acb
31) 3 2
2
3 3
1
x x x
x
32) 2
2
1 2
1
x x
x
33) 2
2 3
4 9
x
x
34) 2 3
8 12
x
x
35) 2 4
2
4
4 4
x x
x x
36) 2x x
x
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 8
9)
2
12 xx
x
10)
2
22 xx
x
11)
6
962
2
xx
xx
12)
44
632
2
aa
aa
13)
10116
25122
2
xx
xx
14)
xax
aa 2
23)
2
2
)1(
1
x
x
24)
3
2
)(180
)()(72
ab
baba
25) 4310
725
147
63
rnm
rnm
26)
42
23
2 xx
xx
27)
4)(
22yx
yx
28)
22
22
)(
)(
yzx
zyx
37) 3 4
2 3
xy x
ax bx
38) 2 3
2 5
3 6
x y
y x
39) 2
5 5x
x x
40)
2
2
2 1
1
x x
x
41) 2 4 3
1
x x
x
42)
2 2
1xy x
y x
Producte i quocient de fraccions algebraiques.
1)
3011
96:
5
32
2
2
2
xx
xx
xx
xx
2)
1
5:
152 2
2
2
x
xx
xx
xx
3)
2
2
)32(
3·
96
94
xx
x
4)
4
3:
4
45·
16
652
2
2
2
x
x
x
xx
x
xx
5)
x
x
x
x
2
2·
42
3
6)
a
a
a
a
5
12:
3
24
7)
x
x
x
x
7
6015:
3
520 2
3
2
8) 2
2:
12
2
x
x
x
x
9)
yx
yxy
xyx
yx 2
2:
10)
96
3011:
5
32
2
2
2
xx
xx
xx
xx
12)
xx
xx
xx
xx
xx
xx
7
5:
2110
209·
45
342
2
2
2
2
2
13)
23
6:
23
32·
34
652
2
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
14)
xx
xx
xx
x
x
xx
2
473:
2
156:
4
20762
2
22
2
15)
3
)1(:
96
2·
44
1 2
22 x
x
xx
x
xx
x
16)
3
44
22
22
2 )(··
)( ax
ax
ax
ax
ax
ax
17)
22
3
44
222
2
2 )(:
)(·
)(
)(
yx
yx
yx
yx
yx
yx
18)
22
22
22
22
)(
)(·
)(
)(
cba
cba
cba
cba
19)
8
)2(·
23
423
2
2
2
x
x
xx
xx
20)
aa
aa
aa
a
28
252:
86
142
2
2
2
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 9
11)
aaa
a
aa
aa
121812
14·
12
61223
2
2
2
21)
4 2 2
4 2 3 2
16 4 2 4 1: · ·
8 16 8 4 4 2
x x x x
x x x x x x
22)
8
4·
23
232:
12
423
2
2
2
2
23
a
a
aa
aa
aa
aaa
Operacions amb fraccions algebraiques.
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 2 3
2
2
2 2
2
2 2
2 3)
5 6 2 3
2 3)
6 4 3
1 1 1)
10 25 255
2 3 4 5)
5 4 3
4 3 2) :
3 3 3
3 2 2) :
5 25
1)
5 6 4
4 2 3) : )
1)
4
xa
x x x x
x xb
x x x x
cx x xx
x x x xd
x x x x
x x xe
x x x x x
x x xf
x x
x xg
x x x
x x x xh i
x x xy x y
j
2 2 2
1 3 5 2 7)
2 8
xk
xy x y xy x y y xy
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 10
Solucionari:
Exercicis de repàs de polinomis:
1) 2 8 5x x 2)
2 7y y 3) 2 2 1x x 4)
3 2x
5) 3
2a b 6)
27 1
3 4
a 7) 3 8)
231
2
x
9) 0 10) 2 211
8 4
a b 11) 0 12)
3 2 2 36a b a b ab
13) 21 4 2
2 15 5x xy y 14)
29 14 2x x 15) 8 2y 16) 22y
17) 3 2 2 35a a b ab b 18)
2 216 49x y 19) 4 2 249x x y
20) 4 2 24x x y 21)
2 264 36x y 22) 2 24 25x y
23) 4 3 2 216 56 49x x y x y 24)
4 2 3 69 12 4x x y y 25) 24y
Divisió de polinomis:
3 2
4 3 2
2 2
2
3 2
3
1) ( ) 3 2 4
2) ( ) 3 5 2 3; ( ) 4
3) ( ) 4 3; ( ) 8
4) ( ) 3 2 4
3 5 35) ( )
2 2 2
6) ( ) 4 3; ( ) 14 10
7) ( ) 2; ( ) 2 1
8) ( ) 2 1; ( ) 6
9) ( ) 2 ; ( ) 8
Q x x x x
Q x x x x R x x
Q x x x R x x x
Q x x x
Q x x x x
Q x x R x x
Q x x R x x
Q x x R x x
Q x x x R x
4 3 2
3 2
2
3
2
3 2
3
10) ( ) 3 9 28 84; ( ) 249 3
11) ( ) 2 6 9; ( ) 12 8
3 912) ( ) 1
2 2
1 10 113) ( ) ; ( )
3 9 9
2 2 2 214) ( ) ; ( )
3 3 5 3
19 119 163 11315) ( ) 3 ; ( )
4 6 12 2
16) ( ) 2 3
x
Q x x x x x R x x
Q x x x x R x x
Q x x x
Q x x R x
Q x R x x x
Q x x x R x x
Q x x x
3 2 2
2 2
1; ( ) 13 10
17) ( ) 2 3; ( ) 9 7
18) ( ) ; ( ) 2
x R x x
Q x x x R x x
Q x x R x x x
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 11
Factorització de polinomis:
1) ( 3)( 2)x x
2) ( 5)( 2)x x
3) ( 3)( 5)x x
4) ( 2)( 1)x x
5) ( 4)( 1)x x
6) ( 3)( 2)x x
7) ( 4)( 2)x x
8) ( 5)( 2)x x
9) ( 3)( 5)x x
10) ( 5)( 2)x x
11) ( 3)( 2)x x
12) ( 4)( 2)x x
13) ( 5)( 2)x x
14) ( 5)( 3)x x
15) ( 7)( 3)x x
16) ( 7)( 1)x x
17) ( 3)( 2)x x
18) ( 4)( 2)x x
19) ( 5)( 2)x x
20) ( 4)( 2)x x
21) ( 8)( 1)x x
22) ( 5)( 1)x x
23) ( 5)( 3)x x
24) ( 5)( 2)x x
25) ( 5)( 2)x x
26) ( 7)( 2)x x
27) ( 8)( 7)x x
28) ( 6)( 2)x x
29) ( 6)( 4)x x
30) ( 5)( 4)x x
31) ( 8)( 5)x x
32) ( 8)( 3)x x
33) ( 6)( 4)x x
34) ( 6)( 5)x x
35) ( 12)( 1)x x
36) ( 2)( 1)x x
37) ( 6)( 3)x x
38) ( 9)( 6)x x
39) ( 9)( 6)x x
40) ( 15)( 3)x x
41) ( 17)( 5)x x
42) ( 4)( 7)x x
1) 3( 4)( 1)x x
2) 2( 5)( 2)x x
3) 2( 2)( 1)x x
4) 2( 2)( 11)x x
5) ( 6)( 2)a x x
6) 3 ( 1)( 4)a x x
7) 2( 2)( 6)x x
8) 2( 5)( 8)x x
9) 3( 3)( 8)x x
10) 2( 5)( 6)x x
11) 3( 6)( 2)x x
12) 2( 4)x
13) ( 5)( 2)x x
14) ( 1)( 28)x x
15) ( 12)( 3)x x
16) 2( 4)( 10)x x
17) ( 7)( 4)x x
18) 2( 1)( 12)x x
19) 3 ( 5)( 2)a x x
20) 2 ( 2)( 1)x x x
21) 1
2( 1) ( 1)(2 1)2
x x x x
22) 1
3( 1) ( 1)(3 1)3
x x x x
23) 1
4( 1) ( 1)(4 1)4
x x x x
24) 1
5( 1) ( 1)(5 1)5
x x x x
25) 1
4( 1) ( 1)(4 1)4
x x x x
26) 1
3( 1) ( 1)(3 1)3
x x x x
27) 1 1
12 (4 1)(3 1)4 3
x x x x
28) 1
12( 1) ( 1)(12 1)12
x x x x
29) 1 1
12 (6 1)(2 1)6 2
x x x x
30) 1 1
28 (4 1)(7 1)4 7
x x x x
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 12
Regla de Ruffini:
1) ( 2)( 3)x x x
2) 1 1
6( 2) ( 2)(2 1)(3 1)2 3
x x x x x x
3) 22( 1)( 1)x x x
4) ( 6)( 1)x x x
5) 2( 2)( 1)x x
6) 2( 2)( 1)( 1)x x x
7) 2( 1)( 1)( 1)x x x
8) 2 2( 1) ( 1)( 1)x x x
9) 2 2( 2)x x
10) 2(3 5)x
11) 3 33 3
x x
12) 2( 2)( 1) ( 3)x x x
13) ( 5)( 1)( 3)x x x
14) 22 ( 2) ( 1)x x x
15)
21
32
x
16) ( 4)( 2)( 1)x x x
17) 22( 3) ( 1)x x
18) 2 2 9 3 3x x x x
19) 2( 1) (3 5)x x
20) 2( 2)( 3)( 1)x x x
Exercicis de fraccions algebraiques:
1) 3
2
2
3
b
a
2) 4
5x
3) 2
1
ax
4) 2
3
4a
5) 2
23
x
z
6) 5
2
x
x
7) 2
4
x
x
8) 4
2 3
x
x
9) 1
2x
10) 1
1x
11) 3
2
x
x
12) 3
2
a
a 13)
12
4
5
2
x
x
14) a
x
15) 2 3
2
a c
a
16) 7
7 x
17) 1
( 3)x
18) 7
2
x
x
19) 3
5
x
x
20) a
b
21) ( 5)
(5 )
x
x
22) 1
m
x
23) 1
(1 )
x
x
24) 2( )
5( )
a b
b a
25) 3
5
3
7
r
m n
26) 2
1
2
x
x
27) 1
2x y
28) x y z
x y z
29) x c
x b
30) a b c
a b c
31) 3x
32) 1
1
x
x
33) 1
2 3x
34) 1
4
35) 2 ( 2)
2
x x
x
36) 1x
37) 3 3
2 3
y x
a b
38) 2
5
9yx
39) 5
x
40) 1
41) 3x 42) 1x
yx
MATEMÀTIQUES COL·LEGI MIRASAN
4rt d’ESO LLEIDA
www.mirasan.org 13
Exercicis de productes i quocients de fraccions algebraiques:
1) 6
3
x
x
2) 2
3x
x
3) 1
2 3x
4) 1
2
x
x
5) 3
4
6) 10
3
7) 2
7
9x
8) 2
2 1
x
x
9) 1
xy
10) 3
2
( 3)
( 5) ( 6)
x
x x
11) 2 1
( 1)( 2)
a
a a
12) 1
13) 1
14) 3 ( 3)( 2)
( 2)( 1)
x x x
x x
15) 1
( 2)( 3)( 1)x x x
16) 1
17) 1
x y
18) 1
19) 1
( 1)x
20) 2 1
2
a
a
21) 1
22) 2
( 2)
2 1
a a
a a
3
4 2
2
2
2 2
2
2
2
3 2
2
3
2 2 2 2
2 12)
13 36
4)
4 3
75)
5 5
( 1))
( 1)
( 2))
( 1)
) 4 5
4 2)
3 4 12
3 1) 2 )
3 2 4 5 2 7 5 2 7) )
8
x xa
x x
bx x
xc
x x
xd
x x
x xe
x
f x x
xg
x x x
xh x x i
xy
xy x y x x xj k
x y x y y xy x y