OTROS MÉTODOS ESPECÍFICOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Caso Tipo de integral SustituciónE-1 Si la integral∫ P ( x )
Q(x )dx es de tal
forma que P ( x )Q(x)
es una
función racional impar, es decir: P (−x )Q(−x)
=−P ( x )Q(x)
t=x2dt=2xdxdx= 12 x¿
dt
E-2 Si la integral∫ P ( x )Q(x )
dx se puede
expresar de la forma P (x2 )Q(x2)
Se simplifica la descomposición en fracciones simples realizando la sustitución:
t=x2dt=2xdxdx= 12 x¿
dt
E-3 Integrales racionales que se pueden expresar en la forma
∫ Q (xn )xn−1
P( xn+a)dx (a puede ser 0),
donde P y Q son polinomios.
t=xn+adt=n xn−1dxdx= 1
nxn−1
¿
dt
Quedando la integral en la forma:1n∫
Q (t−a )P (t)
dt
E-4 Integrales racionales del tipo:
∫ P (x )
(a x2+bx+c )ndx
Donde las raíces del denominador son complejas y P(x ) es un polinomio de grado inferior a 2n.
Se calculan como sigue:a x2+bx+c=a [ (x – p )2+q2 ]
Hacemos la sustitución:x−p=q t dx=qdt
Quedando la integral en la forma:1
anq2n−1∫R (t )
(t 2+1 )ndt
Siendo R(t ) un polinomio de grado inferior a 2n.Queda reducido el problema a integrales de la forma:
∫ tm
(t 2+1 )ndt (m<2n)
En donde se pueden dar los siguientes casos:
1.º. mimpar. Hacemos la sustitución:
t 2+1=um=2 s+12 t dt=du
t 2=u−1 t=(u−1 )12
La integral quedará: 12∫ (u−1 )s
undu
y desarrollando el numerador (binomio elevado a exponente entero) y dividiendo cada término por el denominador se integra término a término (integrales inmediatas)
2.º. m par. Hacemos la sustitución:
t=tanum=2 sdt= 1
cos2u¿du¿
La integral quedará: ∫ Sen2 sucos2n−2−2 sudu
Integrales que se resuelven por los distintos métodos (Reducción) para integrales de la forma:
∫ Senm xcosn xdx
E-5 Integrales racionales de la forma:
∫ dx
( x+a )m ( x+b )n
t= x+ax+b¿x=
tb−a1−t¿dx=
b−a(1−t )2
¿
dt ¿¿
La integral quedará:1
(b−a )m+n−1∫(1−t )m+n−2
tmdt
Desarrollando la potencia del binomio y dividiendo cada término por tmquedan integrales inmediatas.
E-6 Integrales racionales de la forma:
∫ P(x )dx( x−a )m
Donde P(x ) es un polinomio en x de grado n.
Se resuelve desarrollando por Taylor el polinomio P(x ) en potencias de (x – a). Es decir, que:
P(x )=P(a)+P’ (a)
1 !(x−a)+
P’’ (a)2 !
(x – a)2+…+P(n)(a)n !
(x – a)n
y a continuación dividiendo cada uno de los términos por (x – a)m quedan integrales inmediatas.
CASO E-4 (Mirar la Tabla)
CASO E-5 (Mirar la Tabla)
INTEGRACIÓN POR PARTES
(183) ∫ arcsenx .dxx2
=−1x.arcsenx+∫ dx
x √1−x2 =
(186) ∫ senhx·Ln(coshx )2 · dx=∫ senh x·2 · ln(cosh x) · dx =
