Matrices de permutaciones
Egor Maximenkocon correcciones de Roman Higuera Garcıa
Instituto Politecnico Nacional, ESFM, Mexico
5 de diciembre de 2014
1 / 68
Contenido
Objetivosy requisitos
Repaso rapido
PermutacionesMultiplicacion
de matricesDelta de
Kronecker
Matrices depermutaciones
Multiplicacionde matrices depermutaciones
Matrices queintercambiandos renglones
2 / 68
Contenido
Objetivosy requisitos
Repaso rapido
PermutacionesMultiplicacion
de matricesDelta de
Kronecker
Matrices depermutaciones
Multiplicacionde matrices depermutaciones
Matrices queintercambiandos renglones
3 / 68
¿Que aprenderemos?
1. Escribir en la forma explıcita la matriz de permutacionasociada a la permutacion dada:
P3,2,4,1 =
0 0 1 00 1 0 00 0 0 11 0 0 0
.2. Dada una matriz de permutacion en la forma explıcita,escribir la permutacion correspondiente:
0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1
= P2,3,1,4.
4 / 68
¿Que aprenderemos?
3. Multiplicar una matriz de permutacion por un vector:
P4,1,3,2
−4
715
=
5−4
17
.4. Multiplicar una matriz de permutacion por una matriz:
P3,1,4,2
−3 7 1 5
2 −4 3 40 −1 2 −2−5 5 7 2
=
0 −1 2 −2−3 7 1 5−5 5 7 2
2 −4 3 4
.
5 / 68
¿Que aprenderemos?
5. Multiplicar dos matrices de permutacion:
P3,1,4,5,2P5,3,2,4,1 = P2,5,4,1,3.
6. Demostar la formula para el producto de dos matrices de permutacion:
PϕPψ = Pψϕ.
7. Multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por una matrizde permutacion:
E2↔4P3,1,5,2,4 = P3,2,5,1,4.
6 / 68
¿Que se necesita para comprender bien la presentacion?
Permutaciones, multiplicacion de permutaciones.
Notacion para vectores y matrices, multiplicacion de matrices.
Delta de Kronecker, sumas con la delta de Kronecker.
7 / 68
Resolver ejercicios simples incluidos en la presentacion
Para aprender a jugar el futbol,no es suficiente solo ver partidos por la television.
Esta presentacion incluye varios ejercicios simples.Se recomienda resolver cada ejercicio en papel
antes de continuar con la presentacion.
8 / 68
Contenido
Objetivosy requisitos
Repaso rapido
PermutacionesMultiplicacion
de matricesDelta de
Kronecker
Matrices depermutaciones
Multiplicacionde matrices depermutaciones
Matrices queintercambiandos renglones
9 / 68
Ejemplos de permutacionesLa funcion (mapeo, aplicacion) ϕ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} definidamediante la siguiente regla es una permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4}:
ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 2, ϕ(3) = 4, ϕ(4) = 1.
Por lo comun se usa alguna notacion mas concisa:
ϕ =
1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓3 2 4 1
=
(1 2 3 43 2 4 1
)= (3, 2, 4, 1).
Otra permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4}: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓4 1 3 2
.
10 / 68
Definicion de permutaciones
Una permutacion del conjunto {1, . . . , n}es una funcion biyectiva {1, . . . , n} → {1, . . . , n}.
Biyectiva significa inyectiva y suprayectiva.Por ejemplo, la funcion ϕ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} definida por
ϕ =
1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓3 2 4 1
es inyectiva porque 3, 2, 4, 1 son diferentes a pares,y es suprayectiva porque 3, 2, 4, 1 son todos los elementos de {1, 2, 3, 4}.
En realidad, aquı serıa suficiente exigir cualquiera de estas dos propiedades,y la otra se cumplirıa automaticamente.
11 / 68
Ejemplos
Las siguientes dos funciones son permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}: 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 5 4 1 2
, 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓5 1 2 3 4
.Las siguientes dos funciones mandan {1, 2, 3, 4, 5} en {1, 2, 3, 4, 5},pero no son permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}: 1 2 3 4 5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 5 1 5 2
, 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓5 1 2 3 1
.
12 / 68
Ejercicios
Complete la definicion de ϕ de tal maneraque ϕ sea una permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ =
1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 4 1 5 ?
.
Encuentre los valores de la funcion ϕ en los elementos 1 y 4.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ(1) = 3, ϕ(4) = 5.
13 / 68
Ejercicios
Complete la definicion de ϕ de tal maneraque ϕ sea una permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ =
1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 4 1 5 2
.
Encuentre los valores de la funcion ϕ en los elementos 1 y 4.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ(1) = 3, ϕ(4) = 5.
13 / 68
Ejercicios
Complete la definicion de ϕ de tal maneraque ϕ sea una permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ =
1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 4 1 5 2
.Encuentre los valores de la funcion ϕ en los elementos 1 y 4.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ(1) =
3
, ϕ(4) =
5
.
13 / 68
Ejercicios
Complete la definicion de ϕ de tal maneraque ϕ sea una permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ =
1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 4 1 5 2
.Encuentre los valores de la funcion ϕ en los elementos 1 y 4.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ(1) = 3, ϕ(4) = 5.
13 / 68
El conjunto de las permutaciones del conjunto {1, . . . , n}
Se denota por Sn el conjunto de todas las permutaciones del conjunto{1, . . . , n}. Por ejemplo, el conjunto S3 consiste de 6 permutaciones:(
1 2 31 2 3
),
(1 2 31 3 2
),
(1 2 32 1 3
),
(1 2 32 3 1
),
(1 2 33 1 2
),
(1 2 33 2 1
).
Escriba todos los elementos del conjunto S2, es decir,todas las permutaciones del conjunto {1, 2}:(
1 21 2
),
(1 22 1
).
14 / 68
El conjunto de las permutaciones del conjunto {1, . . . , n}
Se denota por Sn el conjunto de todas las permutaciones del conjunto{1, . . . , n}. Por ejemplo, el conjunto S3 consiste de 6 permutaciones:(
1 2 31 2 3
),
(1 2 31 3 2
),
(1 2 32 1 3
),
(1 2 32 3 1
),
(1 2 33 1 2
),
(1 2 33 2 1
).
Escriba todos los elementos del conjunto S2, es decir,todas las permutaciones del conjunto {1, 2}:
(1 21 2
),
(1 22 1
).
14 / 68
El conjunto de las permutaciones del conjunto {1, . . . , n}
Se denota por Sn el conjunto de todas las permutaciones del conjunto{1, . . . , n}. Por ejemplo, el conjunto S3 consiste de 6 permutaciones:(
1 2 31 2 3
),
(1 2 31 3 2
),
(1 2 32 1 3
),
(1 2 32 3 1
),
(1 2 33 1 2
),
(1 2 33 2 1
).
Escriba todos los elementos del conjunto S2, es decir,todas las permutaciones del conjunto {1, 2}:(
1 21 2
),
(1 22 1
).
14 / 68
Multiplicacion de permutacionesDefinicion (el producto de dos permutaciones)Sean ϕ,ψ ∈ Sn. El producto ϕψ se define como la composicion ϕ ◦ ψ.En otras palabras, la funcion ϕψ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}se define mediante la regla:
(ϕψ)(j) := ϕ(ψ(j)) (j ∈ {1, . . . , n}).
Por ejemplo, si
ϕ =
(1 2 3 4 53 5 4 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 52 4 1 5 3
),
entonces
(ϕψ)(1) = ϕ(ψ(1)) = ϕ(2) = 5, (ϕψ)(2) = ϕ(ψ(2)) = ϕ(4) = 1, . . .
Resultado:ϕψ =
(1 2 3 4 55 1 3 2 4
).
15 / 68
Multiplicacion de permutaciones, otro ejemplo
ϕ =
(1 2 3 4 5 63 1 6 4 2 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 66 3 5 1 2 4
).
Para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar segun el siguiente diagrama:
1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 2 5
1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 2 4
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
Escriba en papel el producto ϕψ:
ϕψ =
(1 2 3 4 5 6
5 6
2
3 1 4
).
16 / 68
Multiplicacion de permutaciones, otro ejemplo
ϕ =
(1 2 3 4 5 63 1 6 4 2 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 66 3 5 1 2 4
).
Para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar segun el siguiente diagrama:
1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 2 5
1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 2 4
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
Escriba en papel el producto ϕψ:
ϕψ =
(1 2 3 4 5 65 6 2 3 1 4
).
16 / 68
La inversa de una permutacionPor definicion, cada permutacion ϕ es una funcion invertible.La permutacion inversa ϕ−1 es la funcion inversa de ϕ.
Por ejemplo, si ϕ =
(1 2 3 4 53 5 4 1 2
), entonces
ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 5, ϕ(3) = 4, ϕ(4) = 1, ϕ(5) = 2.
De allı
ϕ−1(3) = 1, ϕ−1(5) = 2, ϕ−1(4) = 3, ϕ−1(1) = 4, ϕ−1(2) = 5.
Hemos construido la permutacion inversa de ϕ:
ϕ−1 =
(1 2 3 4 54 5 1 3 2
).
17 / 68
Transposiciones (ciclos de dos elementos)
DefinicionSean p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q.Denotemos por τ (n)p,q a la permutacion del conjunto {1, . . . , n}que intercambia p y q y deja inmovibles los demas elementos.Escribimos simplemente τp,q cuando n se deduce del contexto.
Ejemplos (en S6):
τ3,5 = τ(6)3,5 =
(1 2 3 4 5 61 2 5 4 3 6
),
τ1,4 = τ(6)1,4 =
(1 2 3 4 5 64 2 3 1 5 6
).
18 / 68
Transposiciones (ciclos de dos elementos)
DefinicionSean p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q.Denotemos por τ (n)p,q a la permutacion del conjunto {1, . . . , n}que intercambia p y q y deja inmovibles los demas elementos.Escribimos simplemente τp,q cuando n se deduce del contexto.
Ejemplos (en S6):
τ3,5 = τ(6)3,5 =
(1 2 3 4 5 61 2 5 4 3 6
),
τ1,4 = τ(6)1,4 =
(1 2 3 4 5 64 2 3 1 5 6
).
18 / 68
Multiplicacion de una permutacion por una transposicionEjemplo
Seaϕ =
(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5
).
Haga el siguiente calculo en papel:
ϕτ2,4 =
(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5
)(1 2 3 4 5 61 4 3 2 5 6
)
=
(1 2 3 4 5 6
3 1 4 6 2 5
).
Al comparar ϕτ2,4 con ϕ vemos quese hizo un intercambio de los valores ϕ(2) y ϕ(4).
19 / 68
Multiplicacion de una permutacion por una transposicionEjemplo
Seaϕ =
(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5
).
Haga el siguiente calculo en papel:
ϕτ2,4 =
(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5
)(1 2 3 4 5 61 4 3 2 5 6
)
=
(1 2 3 4 5 63 1 4 6 2 5
).
Al comparar ϕτ2,4 con ϕ vemos quese hizo un intercambio de los valores ϕ(2) y ϕ(4).
19 / 68
Multiplicacion de una permutacion por una transposicionEl mismo ejemplo
1 2 3 4 5 6
3 6 4 1 2 5
1 2 3 4 5 6
ϕ
τ2,4
(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5
)τ2,4 =
(1 2 3 4 5 63 1 4 6 2 5
).
20 / 68
Multiplicacion de permutaciones por transposicionesEjercicios
Calcule los siguientes productos(escriba las respuestas en papel antes de continuar):(
1 2 3 4 5 66 1 4 3 2 5
)τ1,3 =
(1 2 3 4 5 64 1 6 3 2 5
),
(1 2 3 4 5 62 5 1 3 6 4
)τ3,4 =
(1 2 3 4 5 62 5 3 1 6 4
),
(1 2 3 4 5 65 2 6 1 4 3
)τ1,6 =
(1 2 3 4 5 63 2 6 1 4 5
).
21 / 68
Multiplicacion de permutaciones por transposicionesEjercicios
Calcule los siguientes productos(escriba las respuestas en papel antes de continuar):(
1 2 3 4 5 66 1 4 3 2 5
)τ1,3 =
(1 2 3 4 5 64 1 6 3 2 5
),
(1 2 3 4 5 62 5 1 3 6 4
)τ3,4 =
(1 2 3 4 5 62 5 3 1 6 4
),
(1 2 3 4 5 65 2 6 1 4 3
)τ1,6 =
(1 2 3 4 5 63 2 6 1 4 5
).
21 / 68
Contenido
Objetivosy requisitos
Repaso rapido
PermutacionesMultiplicacion
de matricesDelta de
Kronecker
Matrices depermutaciones
Multiplicacionde matrices depermutaciones
Matrices queintercambiandos renglones
22 / 68
Importancia de notacion
En el siglo XVI fue inventado el simbolismo algebraico:
El cuadrado de la suma de dos terminoses igual al cuadrado del primer termino
mas el doble producto de ambos terminosmas el cuadrado del segundo termino.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
23 / 68
Notacion para construir vectores
la tupla de longitud ncuya k-esima componente es igual a k
k+1
para cada ındice k desde 1 hasta n
[ kk + 1
]n
k=1
Por ejemplo, [ kk + 1
]3
k=1=
1/22/33/4
.
24 / 68
Notacion para construir vectores
la tupla de longitud ncuya k-esima componente es igual a k
k+1
para cada ındice k desde 1 hasta n
[ kk + 1
]n
k=1
Por ejemplo, [ kk + 1
]3
k=1=
1/22/33/4
.
24 / 68
Notacion para construir vectores
la tupla de longitud ncuya k-esima componente es igual a k
k+1
para cada ındice k desde 1 hasta n
[ kk + 1
]n
k=1
Por ejemplo, [ kk + 1
]3
k=1=
1/22/33/4
.24 / 68
Notacion para las componentes de vectores en R3
Dado un vector v ∈ R3, denotamos sus componentes por v1, v2, v3:
v =
v1v2v3
.Esta notacion es muy general.Si el vector se llama ,, entonces sus componentes son ,1, ,2, ,3:
, =
,1,2,3
.
25 / 68
Notacion para las componentes de vectores en R3
Escriba la segunda componente del vector a � (b n c):
?
Aquı no es necesario saber el sentido de los signos � y n.
26 / 68
Notacion para las componentes de vectores en R3
Escriba la segunda componente del vector a � (b n c):
(a � (b n c))2.
Aquı no es necesario saber el sentido de los signos � y n.
26 / 68
Notacion para vectores en Rn
Dado un vector v ∈ Rn, denotemos por vj su j-esima componente.
Dos vectores u y v se llaman iguales si son de la misma longitud(digamos n) y para cada ındice j sus j-esimas componentes son iguales:
∀j ∈ {1, . . . , n} uj = vj .
27 / 68
Notacion para matricesDenotemos por Mm×n al conjunto de todas las matrices de tamano m× ncon entradas reales. Si A es una matriz, entonces denotemos su entrada(j , k) por Aj,k . Por ejemplo, si ☼ ∈M2×3, entonces
☼ =
[☼1,1 ☼1,2 ☼1,3
☼2,1 ☼2,2 ☼2,3
].
Si (P ~ Q)† ∈M2×2, entonces
(P ~ Q)† =
[((P ~ Q)†)1,1 ((P ~ Q)†)1,2
((P ~ Q)†)2,1 ((P ~ Q)†)2,2
].
A veces es necesario definir una matriz mediante una formula para suscomponentes: [
10j + k2]2,3j,k=1 =
[11 14 1921 24 29
].
28 / 68
Notacion para los renglones de una matriz
Dada una matriz A, denotemos por Aj,∗ a su renglon j .Por ejemplo, si A ∈M3×2, entonces
A =
A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2
y A2,∗ =[
A2,1 A2,2].
Dada una matriz B, escriba B3,∗:
B =
6 −1 34 2 −37 0 2
, B3,∗ =
[7 0 2
].
29 / 68
Notacion para los renglones de una matriz
Dada una matriz A, denotemos por Aj,∗ a su renglon j .Por ejemplo, si A ∈M3×2, entonces
A =
A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2
y A2,∗ =[
A2,1 A2,2].
Dada una matriz B, escriba B3,∗:
B =
6 −1 34 2 −37 0 2
, B3,∗ =
[7 0 2
].
29 / 68
Notacion para los renglones de una matriz
Dada una matriz A, denotemos por Aj,∗ a su renglon j .Por ejemplo, si A ∈M3×2, entonces
A =
A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2
y A2,∗ =[
A2,1 A2,2].
Dada una matriz B, escriba B3,∗:
B =
6 −1 34 2 −37 0 2
, B3,∗ =[
7 0 2].
29 / 68
Producto de una matriz por un vector (ejemplo)Consideremos una matriz general A ∈M2×3 y un vector general b ∈ R3:
A =
[A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3
], b =
b1b2b3
.Escriba el producto Ab, luego escriba por separado las componentes de Ab:
Ab =
?
?
, (Ab)1 = A1,1b1 + A1,2b2 + A1,3b3 =3∑
k=1A1,kbk ;
(Ab)2 = ?
Generalizando estas expresiones escriba una formula para (Ab)j :
(Ab)j =?∑
k=?
A?,?b? (j ∈ {1, 2}).
30 / 68
Producto de una matriz por un vector (definicion formal)
Sean A ∈Mm×n, b ∈ Rn. Entonces Ab se define como
Ab =
[ n∑k=1
Aj,kbk
]m
j=1
.
En otras palabras, Ab ∈ Rm,y las componentes de Ab se calculan por la siguiente formula:
(Ab)j =n∑
k=1Aj,kbk (j ∈ {1, . . . ,m}).
31 / 68
Producto de dos matrices (ejemplo)Sean A ∈M3×2, B ∈M2×4:
A =
A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2
, B =
[B1,1 B1,2 B1,3 B1,4B2,1 B2,2 B2,3 B2,4
].
Entonces AB ∈M?×?. Calcule la matriz AB y escriba por separado sussiguientes entradas:
(AB)2,3 = A2,1B1,3 + A2,2B2,3 =2∑
k=1A2,kBk,3;
(AB)1,4 = ?
(AB)2,1 = ?
Escriba la formula general para (AB)i ,j .
32 / 68
Producto de dos matrices (definicion formal)
Sean A ∈Mm×n, B ∈Mn×p. Entonces AB se define como
AB =
[ n∑k=1
Ai ,kBk,j
]m,p
i ,j=1
.
En otras palabras, AB ∈Mm×p,y las entradas de AB se calculan mediante la siguiente regla:
(AB)i ,j =n∑
k=1Ai ,kBk,j (i ∈ {1, . . . ,m}, j ∈ {1, . . . , p}).
33 / 68
Contenido
Objetivosy requisitos
Repaso rapido
PermutacionesMultiplicacion
de matricesDelta de
Kronecker
Matrices depermutaciones
Multiplicacionde matrices depermutaciones
Matrices queintercambiandos renglones
34 / 68
Delta de Kronecker
La funcion δ : Z× Z→ {0, 1} esta definida mediante la regla:
δp,q =
{1, si p = q;0, si p 6= q.
Por ejemplo,
δ3,5 = 0, δ7,7 = 1, δ−1,6 = 0, δ−2,−2 = 1.
Evalue la delta de Kronecker en los pares dados(escriba las respuestas en papel antes de continuar):
δ4,4 = 1, δ2,3 = 0, δ−6,−6 = 1, δ−5,4 = 0.
35 / 68
Delta de Kronecker
La funcion δ : Z× Z→ {0, 1} esta definida mediante la regla:
δp,q =
{1, si p = q;0, si p 6= q.
Por ejemplo,
δ3,5 = 0, δ7,7 = 1, δ−1,6 = 0, δ−2,−2 = 1.
Evalue la delta de Kronecker en los pares dados(escriba las respuestas en papel antes de continuar):
δ4,4 = ?
1
, δ2,3 = ?
0
, δ−6,−6 = ?
1
, δ−5,4 = ?
0
.
35 / 68
Delta de Kronecker
La funcion δ : Z× Z→ {0, 1} esta definida mediante la regla:
δp,q =
{1, si p = q;0, si p 6= q.
Por ejemplo,
δ3,5 = 0, δ7,7 = 1, δ−1,6 = 0, δ−2,−2 = 1.
Evalue la delta de Kronecker en los pares dados(escriba las respuestas en papel antes de continuar):
δ4,4 = 1, δ2,3 = 0, δ−6,−6 = 1, δ−5,4 = 0.
35 / 68
Ejemplo de una suma con la delta de Kronecker
En la siguiente suma sobrevive solo el sumando con el ındice j igual a 4:
5∑j=1
δj,4aj = δ1,4︸︷︷︸=
0
a1 + δ2,4︸︷︷︸=
0
a2 + δ3,4︸︷︷︸=
0
a3 + δ4,4︸︷︷︸=1
a4 + δ5,4︸︷︷︸=0
a5 = a4.
Podemos llegar a la misma respuesta con un razonamiento mas formal(“separar las moscas de las albondigas”):
5∑j=1
δj,4aj =∑
j∈{4}δj,4︸︷︷︸=
1
aj +∑
j∈{1,2,3,5}δj,4︸︷︷︸=
0
aj = 1 · aj + 0 = aj .
36 / 68
Ejercicios simples con sumas de KroneckerPara cada una de las siguientes sumasescriba en papel los razonamientos y la respuesta:
4∑j=1
δj,32j =∑
j∈{3}δj,3︸︷︷︸=
?
2j +∑
j∈{1,2,4}δj,3︸︷︷︸=?
2j = ?
4∑k=1
δk,2bk = ?
5∑p=1
δp,5cp = ?
4∑q=1
δq,3dq = ?
37 / 68
Ejercicios simples con sumas de KroneckerPara cada una de las siguientes sumasescriba en papel los razonamientos y la respuesta:
4∑j=1
δj,32j =∑
j∈{3}δj,3︸︷︷︸=
1
2j +∑
j∈{1,2,4}δj,3︸︷︷︸=
0
2j = 8,
4∑k=1
δk,2bk = b2,
5∑p=1
δp,5cp = c5,
4∑q=1
δq,3dq = d3.
37 / 68
Formula para las sumas con la delta de Kronecker
ProposicionSi a1, . . . , an son algunos numeros y p ∈ {1, . . . , n}, entonces
n∑j=1
δj,paj = ap.
Demostracion:p∑
j=1δj,paj =
∑j∈{p}
δj,p︸︷︷︸=1
aj +∑
j∈{1,...,n}\{p}δj,p︸︷︷︸=
0
aj = 1 · ap + 0 = ap.
38 / 68
Contenido
Objetivosy requisitos
Repaso rapido
PermutacionesMultiplicacion
de matricesDelta de
Kronecker
Matrices depermutaciones
Multiplicacionde matrices depermutaciones
Matrices queintercambiandos renglones
39 / 68
Ejemplo de una matriz de permutacion
A cada permutacion ϕ del conjunto {1, . . . , n} le vamos a asociarmediante cierta regla una matriz n × n. Por ejemplo,
ϕ =
(1 2 3 44 1 3 2
)7→ Pϕ =
0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 0
.Lo escribiremos de manera mas breve:
P4,1,3,2 =
0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 0
.
40 / 68
Ejemplos de matrices de permutacion
P2,5,3,1,4 =
0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 1 0
, P2,1,3 =
0 1 01 0 00 0 1
,
P2,4,1,3 =
0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0
, P3,1,2,4 =
0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1
.Antes de pasar a la siguiente pagina, escriba la siguiente matriz:
P2,3,4,1 =
0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0
.
41 / 68
Ejemplos de matrices de permutacion
P2,5,3,1,4 =
0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 1 0
, P2,1,3 =
0 1 01 0 00 0 1
,
P2,4,1,3 =
0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0
, P3,1,2,4 =
0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1
.Antes de pasar a la siguiente pagina, escriba la siguiente matriz:
P2,3,4,1 =
0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0
.41 / 68
Hacia la formula para la matriz de permutacionQueremos escribir una formula general para las entradas de Pϕ.Consideremos un ejemplo:
ϕ =
(1 2 32 3 1
), Pϕ =
0 1 00 0 11 0 0
.Entre las entradas del primer renglon de A solamente una es igual a 1,y las demas son nulas.
(Pϕ)1,j =
{1, si j = 2,0, si j 6= 2
= δ2,j = δϕ(1),j .
Verifique que
(Pϕ)2,j = δ3,j = δϕ(2),j , (Pϕ)3,j = δ1,j = δϕ(3),j .
Escriba una formula general para (Pϕ)i ,j .42 / 68
Matrices de permutacionDefinicion formal
DefinicionSea ϕ ∈ Sn. Entonces
Pϕ =[δϕ(i),j
]ni ,j=1.
En otras palabras, Pϕ ∈Mn×n, y
(Pϕ)i ,j = δϕ(i),j (i , j ∈ {1, . . . , n}).
43 / 68
Producto de una matriz de permutacion por un vectorEjemplo
Sea v ∈ R4 y sea
ϕ =
(1 2 3 43 1 4 2
).
Calcule el producto Pϕv :
P3,1,4,2v =
0 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 0
v1v2v3v4
= ?
Escriba por separado las componentes del vector Pϕv :
(Pϕv)1 = v ?, (Pϕv)2 = v ?, (Pϕv)3 = v ?, (Pϕv)4 = v ?.
Encuentre una formula general. Sugerencia: (Pϕv)i = vϕ(?).
44 / 68
Producto de una matriz de permutacion por un vectorFormula general
ProposicionSean ϕ ∈ Sn, v ∈ Rn. Entonces
Pϕv =[vϕ(i)
]ni=1.
En otras palabras, Pϕv ∈ Rn, y
(Pϕv)i = vϕ(i) (i ∈ {1, . . . , n}).
Demostracion.
(Pϕv)i =n∑
j=1(Pϕ)i ,jvj =
n∑j=1
δϕ(i),jvj = vϕ(i).
45 / 68
Producto de una matriz de permutacion por una matrizEjemplo
Sea ϕ =
(1 2 3 4 54 1 5 3 2
)y sea A una matriz general de clase M5×2.
Entonces
PϕA =
0 0 0 1 01 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 00 1 0 0 0
A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2A4,1 A4,2A5,1 A5,2
=
A4,1 A4,2A1,1 A1,2A5,1 A5,2A3,1 A3,2A2,1 A2,2
.
46 / 68
Producto de una matriz de permutacion por una matrizFormula general
ProposicionSea ϕ ∈ Sm y sea A ∈Mm×n. Entonces
PϕA =[Aϕ(p),q
]m,np,q=1.
En otras palabras, PϕA ∈Mm×n, y
(PϕA)p,q = Aϕ(p),q (p ∈ {1, . . . ,m}, q ∈ {1, . . . , n}).
Demostracion.
(PϕA)p,q =m∑
k=1(Pϕ)p,kAk,q =
m∑k=1
δϕ(p),kAk,q = Aϕ(p),q.
47 / 68
Producto de una matriz de permutacion por una matrizEjercicios
Calcule los siguientes productos en papel antes de continuar:
P3,1,4,2
−7 2 4
1 0 −32 1 5−2 3 1
=
2 1 5−7 2 4−2 3 1
1 0 −3
,
P2,4,3,1
−5 7 1 2
3 4 6 −47 2 −1 03 7 −1 −2
=
3 4 6 −43 7 −1 −27 2 −1 0−5 7 1 2
.
48 / 68
Producto de una matriz de permutacion por una matrizEjercicios
Calcule los siguientes productos en papel antes de continuar:
P3,1,4,2
−7 2 4
1 0 −32 1 5−2 3 1
=
2 1 5−7 2 4−2 3 1
1 0 −3
,
P2,4,3,1
−5 7 1 2
3 4 6 −47 2 −1 03 7 −1 −2
=
3 4 6 −43 7 −1 −27 2 −1 0−5 7 1 2
.
48 / 68
Producto de una matriz de permutacion por una matrizEjercicios
Encuentre una permutacion ϕ ∈ S5 tal que
Pϕ
2 7 −2 −20 −3 −7 9−2 −5 5 −2
6 3 0 59 2 3 −4
=
9 2 3 −4−2 −5 5 −2
2 7 −2 −26 3 0 50 −3 −7 9
.
Escriba la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ =
(1 2 3 4 55 3 1 4 2
).
49 / 68
Producto de una matriz de permutacion por una matrizEjercicios
Encuentre una permutacion ϕ ∈ S5 tal que
Pϕ
2 7 −2 −20 −3 −7 9−2 −5 5 −2
6 3 0 59 2 3 −4
=
9 2 3 −4−2 −5 5 −2
2 7 −2 −26 3 0 50 −3 −7 9
.
Escriba la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ =
(1 2 3 4 55 3 1 4 2
).
49 / 68
Producto de una matriz por una matriz de permutacionEjemplo
Multipliquemos A ∈M3×4 por Pϕ, donde ϕ =
(1 2 3 42 4 1 3
):
AP2,4,1,3 =
A1,1 A1,2 A1,3 A1,4A2,1 A2,2 A2,3 A2,4A3,1 A3,2 A3,3 A3,4
0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0
=
A1,3 A1,1 A1,4 A1,2A2,3 A2,1 A2,4 A2,2A3,3 A3,1 A3,4 A3,2
.El producto B = AP2,4,1,3 se obtiene de la matriz original A al cambiar elorden de columnas, por ejemplo,
B∗,1 = A∗,3 = A∗,ϕ−1(1).
50 / 68
Producto de una matriz por una matriz de permutacionFormula general
ProposicionSea A ∈Mm×n y sea ϕ ∈ Sn. Entonces
APϕ =[Ai ,ϕ−1(j)
]m,ni ,j=1,
esto es, APϕ ∈Mm×n y
(APϕ)i ,j = Ai ,ϕ−1(j) (i ∈ {1, . . . ,m}, j ∈ {1, . . . , n}).
51 / 68
Producto de una matriz por una matriz de permutacionEjercicios
Escriba los siguientes productos en papel antes de continuar. −6 4 1 2 −33 7 2 3 −26 4 −8 7 −8
P3,5,1,4,2 =
1 −3 −6 2 42 −2 3 3 7−8 −8 6 7 4
,
9 −6 7 3 −4−3 1 9 1 −2
7 4 −6 −3 01 8 −1 −4 2
P4,2,5,3,1 =
−4 −6 3 9 7−2 1 1 −3 9
0 4 −3 7 −62 8 −4 1 −1
.
52 / 68
Producto de una matriz por una matriz de permutacionEjercicios
Escriba los siguientes productos en papel antes de continuar. −6 4 1 2 −33 7 2 3 −26 4 −8 7 −8
P3,5,1,4,2 =
1 −3 −6 2 42 −2 3 3 7−8 −8 6 7 4
,
9 −6 7 3 −4−3 1 9 1 −2
7 4 −6 −3 01 8 −1 −4 2
P4,2,5,3,1 =
−4 −6 3 9 7−2 1 1 −3 9
0 4 −3 7 −62 8 −4 1 −1
.
52 / 68
Producto de matriz por una matriz de permutacionEjercicios
Encuentre una permutacion ϕ ∈ S5 tal que2 −7 3 −2 10 6 2 7 −8−5 4 −6 0 −3−2 7 −8 −1 8
Pϕ =
3 1 −7 −2 22 −8 6 7 0−6 −3 4 0 −5−8 8 7 −1 −2
.Escriba la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ =
(1 2 3 4 55 3 1 4 2
).
53 / 68
Producto de matriz por una matriz de permutacionEjercicios
Encuentre una permutacion ϕ ∈ S5 tal que2 −7 3 −2 10 6 2 7 −8−5 4 −6 0 −3−2 7 −8 −1 8
Pϕ =
3 1 −7 −2 22 −8 6 7 0−6 −3 4 0 −5−8 8 7 −1 −2
.Escriba la respuesta en papel antes de continuar.
ϕ =
(1 2 3 4 55 3 1 4 2
).
53 / 68
Contenido
Objetivosy requisitos
Repaso rapido
PermutacionesMultiplicacion
de matricesDelta de
Kronecker
Matrices depermutaciones
Multiplicacionde matrices depermutaciones
Matrices queintercambiandos renglones
54 / 68
Producto de dos matrices de permutacionEjemplo
ϕ =
(1 2 3 4 54 1 5 2 3
), ψ =
(1 2 3 4 55 4 2 3 1
).
PϕPψ = P4,1,5,2,3
0 0 0 0 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 0
=
0 0 1 0 00 0 0 0 11 0 0 0 00 0 0 1 00 1 0 0 0
.Por otro lado,
ϕψ =
(1 2 3 4 53 2 1 5 4
), ψϕ =
(1 2 3 4 53 5 1 4 2
).
Adivine la formula general para PϕPψ.
55 / 68
Producto de dos matrices de permutacionFormula general
TeoremaSean ϕ,ψ ∈ Sn. Entonces
PϕPψ = Pψϕ.
Vamos a demostrar la formula. Tenemos que verificar dos cosas:
1 Las matrices PϕPψ y Pψϕ son del mismo tamano.
2 Para cada par de ındices p y q,las matrices PϕPψ y Pψϕ tienen la misma entrada (p, q):
(PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q.
56 / 68
Producto de dos matrices de permutacionFormula general
TeoremaSean ϕ,ψ ∈ Sn. Entonces
PϕPψ = Pψϕ.
Vamos a demostrar la formula. Tenemos que verificar dos cosas:
1 Las matrices PϕPψ y Pψϕ son del mismo tamano.
2 Para cada par de ındices p y q,las matrices PϕPψ y Pψϕ tienen la misma entrada (p, q):
(PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q.
56 / 68
Demostracion: PϕPψ y Pψϕ son del mismo tamano
ϕ ∈ Sn
ψ ∈ Sn
Pϕ ∈ Mn×n
Pψ ∈ Mn×n
PϕPψ ∈ Mn×n ϕψ ∈ Sn Pψϕ ∈ Mn×n
57 / 68
Demostracion: ∀p, q ∈ {1, . . . , n} (PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q
(PϕPψ)p,q
(i)===
n∑k=1
(Pϕ)p,k(Pψ)k,q(ii)===
n∑k=1
δϕ(p),kδψ(k),q
(iii)====
∑k∈{p}
δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸1
δψ(k),q +∑
k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸
0
δψ(k),q
(iv)==== δψ(ϕ(p)),q
(v)=== δ(ψϕ)(p),q
(vi)==== (Pψϕ)p,q.
Justificacion de los pasos:(i) definicion del producto de dos matrices
(ii), (vi) definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones
58 / 68
Demostracion: ∀p, q ∈ {1, . . . , n} (PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q
(PϕPψ)p,q(i)===
n∑k=1
(Pϕ)p,k(Pψ)k,q
(ii)===
n∑k=1
δϕ(p),kδψ(k),q
(iii)====
∑k∈{p}
δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸1
δψ(k),q +∑
k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸
0
δψ(k),q
(iv)==== δψ(ϕ(p)),q
(v)=== δ(ψϕ)(p),q
(vi)==== (Pψϕ)p,q.
Justificacion de los pasos:(i) definicion del producto de dos matrices
(ii), (vi) definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones
58 / 68
Demostracion: ∀p, q ∈ {1, . . . , n} (PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q
(PϕPψ)p,q(i)===
n∑k=1
(Pϕ)p,k(Pψ)k,q(ii)===
n∑k=1
δϕ(p),kδψ(k),q
(iii)====
∑k∈{p}
δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸1
δψ(k),q +∑
k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸
0
δψ(k),q
(iv)==== δψ(ϕ(p)),q
(v)=== δ(ψϕ)(p),q
(vi)==== (Pψϕ)p,q.
Justificacion de los pasos:(i) definicion del producto de dos matrices
(ii)
, (vi)
definicion de la matriz de permutacion
(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones
58 / 68
Demostracion: ∀p, q ∈ {1, . . . , n} (PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q
(PϕPψ)p,q(i)===
n∑k=1
(Pϕ)p,k(Pψ)k,q(ii)===
n∑k=1
δϕ(p),kδψ(k),q
(iii)====
∑k∈{p}
δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸1
δψ(k),q +∑
k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸
0
δψ(k),q
(iv)==== δψ(ϕ(p)),q
(v)=== δ(ψϕ)(p),q
(vi)==== (Pψϕ)p,q.
Justificacion de los pasos:(i) definicion del producto de dos matrices
(ii)
, (vi)
definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k
(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones
58 / 68
Demostracion: ∀p, q ∈ {1, . . . , n} (PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q
(PϕPψ)p,q(i)===
n∑k=1
(Pϕ)p,k(Pψ)k,q(ii)===
n∑k=1
δϕ(p),kδψ(k),q
(iii)====
∑k∈{p}
δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸1
δψ(k),q +∑
k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸
0
δψ(k),q
(iv)==== δψ(ϕ(p)),q
(v)=== δ(ψϕ)(p),q
(vi)==== (Pψϕ)p,q.
Justificacion de los pasos:(i) definicion del producto de dos matrices
(ii)
, (vi)
definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker
(v) definicion del producto de dos permutaciones
58 / 68
Demostracion: ∀p, q ∈ {1, . . . , n} (PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q
(PϕPψ)p,q(i)===
n∑k=1
(Pϕ)p,k(Pψ)k,q(ii)===
n∑k=1
δϕ(p),kδψ(k),q
(iii)====
∑k∈{p}
δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸1
δψ(k),q +∑
k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸
0
δψ(k),q
(iv)==== δψ(ϕ(p)),q
(v)=== δ(ψϕ)(p),q
(vi)==== (Pψϕ)p,q.
Justificacion de los pasos:(i) definicion del producto de dos matrices
(ii)
, (vi)
definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones
58 / 68
Demostracion: ∀p, q ∈ {1, . . . , n} (PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q
(PϕPψ)p,q(i)===
n∑k=1
(Pϕ)p,k(Pψ)k,q(ii)===
n∑k=1
δϕ(p),kδψ(k),q
(iii)====
∑k∈{p}
δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸1
δψ(k),q +∑
k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸ ︷︷ ︸
0
δψ(k),q
(iv)==== δψ(ϕ(p)),q
(v)=== δ(ψϕ)(p),q
(vi)==== (Pψϕ)p,q.
Justificacion de los pasos:(i) definicion del producto de dos matrices
(ii), (vi) definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones
58 / 68
Producto de dos matrices de permutacionEjercicios
Calcule los siguientes productos.Se recomienda usar la formula que acabamos de demostrar.Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma explıcita.
P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 =
P3,5,2,1,4,
P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,
P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.
59 / 68
Producto de dos matrices de permutacionEjercicios
Calcule los siguientes productos.Se recomienda usar la formula que acabamos de demostrar.Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma explıcita.
P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,
P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,
P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.
59 / 68
Producto de dos matrices de permutacionEjercicios
Calcule los siguientes productos.Se recomienda usar la formula que acabamos de demostrar.Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma explıcita.
P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,
P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 =
P2,1,3,4,5,
P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.
59 / 68
Producto de dos matrices de permutacionEjercicios
Calcule los siguientes productos.Se recomienda usar la formula que acabamos de demostrar.Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma explıcita.
P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,
P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,
P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.
59 / 68
Producto de dos matrices de permutacionEjercicios
Calcule los siguientes productos.Se recomienda usar la formula que acabamos de demostrar.Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma explıcita.
P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,
P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,
P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 =
P3,5,1,2,4.
59 / 68
Producto de dos matrices de permutacionEjercicios
Calcule los siguientes productos.Se recomienda usar la formula que acabamos de demostrar.Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma explıcita.
P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,
P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,
P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.
59 / 68
Contenido
Objetivosy requisitos
Repaso rapido
PermutacionesMultiplicacion
de matricesDelta de
Kronecker
Matrices depermutaciones
Multiplicacionde matrices depermutaciones
Matrices queintercambiandos renglones
60 / 68
Matrices de intercambio de dos renglonesLa siguiente matriz se obtiene de la matriz identidad I6al intercambiar los renglones 2 y 5 de lugares:
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
R2↔R5−−−−→
1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1
= E2↔5.
Vamos a denotar esta matriz por E2↔5.
Es una matriz elemental porque se obtiene de la matriz identidadal aplicar una operacion elemental. Hay otros dos tipos de matriceselementales que no estudiamos en esta presentacion.
Serıa mas preciso escribir E (6)2↔5 indicando el tamano de la matriz,
pero el tamano por lo comun esta claro del contexto y lo omitimos.
61 / 68
Matrices de intercambio de dos renglonesLa siguiente matriz se obtiene de la matriz identidad I6al intercambiar los renglones 2 y 5 de lugares:
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
R2↔R5−−−−→
1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1
= E2↔5.
Vamos a denotar esta matriz por E2↔5.
Es una matriz elemental porque se obtiene de la matriz identidadal aplicar una operacion elemental. Hay otros dos tipos de matriceselementales que no estudiamos en esta presentacion.
Serıa mas preciso escribir E (6)2↔5 indicando el tamano de la matriz,
pero el tamano por lo comun esta claro del contexto y lo omitimos.61 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)
p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.
Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
, E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
, E1,2 =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
.
62 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)
p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.
Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
,
E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
, E1,2 =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
.
62 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)
p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.
Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
, E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
, E1,2 =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
.
62 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)
p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.
Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
, E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
, E1,2 =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
.
62 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)
p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.
Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
, E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
, E1,2 =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
.
62 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)
p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.
Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
, E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
,
E1,2 =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
.
62 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)
p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.
Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
, E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
, E1,2 =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
.
62 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)
p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.
Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
, E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
, E1,2 =
0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1
.
62 / 68
Matrices de intercambio de dos renglones
Las matrices de tipo Ep↔q (donde p 6= q) forman una subclasede las matrices de permutaciones.Por ejemplo,
E2↔4 =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
= P1,4,3,2 = Pτ2,4 .
En general, la matriz Ep,q corresponde a la transposicion τp,q:
Ep,q = Pτp,q .
63 / 68
Matrices de intercambio de dos renglonesComplete las respuestas de los ejercicios anteriores:
E1,3 =
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
= P?,?,?,? = Pτ?,?
E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .
64 / 68
Matrices de intercambio de dos renglonesComplete las respuestas de los ejercicios anteriores:
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,
E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .
64 / 68
Matrices de intercambio de dos renglonesComplete las respuestas de los ejercicios anteriores:
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,
E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .
64 / 68
Matrices de intercambio de dos renglonesComplete las respuestas de los ejercicios anteriores:
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,
E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .
64 / 68
Matrices de intercambio de dos renglonesComplete las respuestas de los ejercicios anteriores:
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,
E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .
64 / 68
Matrices de intercambio de dos renglonesComplete las respuestas de los ejercicios anteriores:
E1,3 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,
E2,3 =
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,
E1,4 =
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .
64 / 68
Producto de una matriz de intercambio de dos renglonespor una matriz general
Sea A una matriz general de clase M4×4. Calcule el producto E2↔4:
E2↔4A =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
A1,1 A1,2 A1,3 A1,4A2,1 A2,2 A2,3 A2,4A3,1 A3,2 A3,3 A3,4A4,1 A4,2 A4,3 A4,4
= ?
Notese que la matriz E2↔4A se obtiene de la matriz A al hacer unaoperacion elemental:
A R2↔R4−−−−→ E2↔4A.
65 / 68
Producto de una matriz de intercambio de dos renglonespor una matriz de permutacion
Vamos a multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por unamatriz de permutacion:
E1↔3P2,4,1,3 = E1↔3
0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0
=
1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0
= P1,4,2,3.
Este producto se puede calcular mas facilmente:
E1↔3P2,4,1,3 = Pτ1,3P2,4,1,3 = P(2,4,1,3)τ1,3 = P1,4,2,3.
En el ultimo paso hicimos el intercambio de los numeros 1 y 2que estaban en las posiciones 1 y 3.
66 / 68
Producto de una matriz de intercambio de dos renglonespor una matriz de permutacion
Vamos a multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por unamatriz de permutacion:
E1↔3P2,4,1,3 = E1↔3
0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0
=
1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0
= P1,4,2,3.
Este producto se puede calcular mas facilmente:
E1↔3P2,4,1,3 = Pτ1,3P2,4,1,3 = P(2,4,1,3)τ1,3 = P1,4,2,3.
En el ultimo paso hicimos el intercambio de los numeros 1 y 2que estaban en las posiciones 1 y 3.
66 / 68
Producto de una matriz de intercambio de dos renglonespor una matriz de permutacion
Haga cada uno de los siguientes ejercicios de varias maneras.
E1↔2P3,5,1,2,4 =
P5,3,1,2,4,
E2↔4P5,1,4,3,2 =
P5,3,4,1,2,
E3↔5P2,4,3,1,5 =
P2,4,5,1,3,
E2↔3P1,4,2,5,3 =
P1,2,4,5,3,
E4↔5P4,3,5,1,2 =
P4,3,5,2,1.
67 / 68
Producto de una matriz de intercambio de dos renglonespor una matriz de permutacion
Haga cada uno de los siguientes ejercicios de varias maneras.
E1↔2P3,5,1,2,4 = P5,3,1,2,4,
E2↔4P5,1,4,3,2 = P5,3,4,1,2,
E3↔5P2,4,3,1,5 = P2,4,5,1,3,
E2↔3P1,4,2,5,3 = P1,2,4,5,3,
E4↔5P4,3,5,1,2 = P4,3,5,2,1.
67 / 68