Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
MATRICES Y DETERMINANTES
UNIDAD IV IV.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es un conjunto de números, objetos u operadores, dispuestos en un arreglo bidimensional de renglones y columnas, encerrados entre paréntesis rectangulares, que obedecen a ciertas reglas algebraicas. Ejemplos de matrices:
−106
81,
−−
3413
210
517
,
hg
fe
dc
ba
, [ ]ii 7523 −+
Cada una de las partes integrantes del arreglo es llamado elemento de la matriz y su localización en el arreglo es identificado por un sistema de doble subíndice, en el cual el primer subíndice indica el renglón y el segundo subíndice indica la columna.
=
nmnnn
m
m
m
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
K
MMMMM
K
K
K
321
3333231
2232221
1131211
En donde el elemento ija está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A .
Una matriz que tiene n renglones y m columnas se dice que es una matriz de orden n x m (se lee como matriz de orden n por m ). Cuando se trata de matrices muy grandes se representan con una sola letra mayúscula, o por un solo elemento con doble índice:
[ ]ijaA =
donde i va desde 1 hasta n y j va desde 1 hasta m Una matriz con un solo renglón o con una sola columna es conocida como vector renglón o vector
columna respectivamente. Por ejemplo, la matriz B es un vector renglón de 51× y la matriz C es un
vector columna de 13× :
[ ]54321 bbbbbB = ,
=
3
2
1
c
c
c
C
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2
Una matriz es cuadrada si posee el mismo número de renglones y de columnas: Ejemplo.
4411943
45101
3807
1624
×
−−
−−−−
=D
La diagonal principal de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos que aparecen sobre la diagonal del arreglo que va desde el extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho, es decir, aquellos elementos
iia . En el ejemplo anterior los elementos de la diagonal principal son 11,5,0,4 − .
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal. Se denota como
( )Atr . Ejemplo.
Para la matriz anterior, su traza es: ( ) ( ) 211504 −=−+++=Dtr
La transpuesta de una matriz A es la matriz designada por 'A ó TA en donde los renglones de A son
las columnas de TA , esto es, si:
[ ] [ ]jiT
ij aAaA =⇒=
Ejemplos.
a)
341146
802
937
215
×
−−−
−
=E ;
4311892
4031
6275
×
−−−−
=TE
b) 52×
=
jihgf
edcbaF ;
25×
=
je
id
hc
gb
fa
F T
Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y todos los elementos de la matriz son idénticos a sus correspondientes elementos de la otra matriz. Ejemplo.
5275216
80314
×
−−−
=P ;
524
28
3
15
7
14
4
4
2
122
16
2
0
3
9
6
6
2
8
×
−−
−−−
=Q
QP =
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3
IV.2 OPERACIONES CON MATRICES Suma
La suma de matrices BAC += se define como ijijij bac += . Esto es, la suma de matrices es igual a
la suma de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden. Ejemplo.
4243111
0762
×
−−−
=A ; 42
10124
5286
×
−−−−
=B
4214493
59144
×
−−−
=+ BA
La operación suma cumple con las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa: ( ) ( )CBACBA ++=++
Propiedad conmutativa: ( ) ( )ABBA +=+ Ejemplos.
a) 222222222222
127
1017
95
311
32
136
95
311
03
84
31
52
××××××
=
−+
=
−+
+
−
222222222222
127
1017
98
515
31
52
95
311
03
84
31
52
××××××
=
+
−=
−+
+
−
b) 3232323232
5311
023
654
321
187
302
187
302
654
321
×××××
=
−+
−−
=
−−
+
−
Diferencia
La diferencia o resta de matrices BAC −= se define como ijijij bac −= . Esto es, la diferencia de
matrices es igual a la resta de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden. Ejemplo.
2313
85
97
×
−−
−=C ;
2341
23
50
×
−−=D
2352
68
147
×
−−
−=− DC
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4
Multiplicación de una matriz por un escalar
El producto de una matriz A por un escalar k se define como: ijakAk ⋅=⋅ , esto es, se multiplica cada
uno de los elementos de la matriz por el escalar. Ejemplo.
5219085
710642
×
−−−−
=C ; 3−=k ; 52
32702415
213018126
×
−−−−−
=⋅Ck
Multiplicación de matrices Para efectuar el producto de dos matrices se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual que el número de renglones de la segunda. Cuando sucede esto se dice que las matrices son conformables para la multiplicación. Esto es, si A es de orden np× y B es de orden qn × el orden de la matriz producto es qp× .
Los elementos de la matriz producto BA ⋅ se definen de la siguiente manera:
∑=
⋅=n
kkjikij bac
1
donde i va desde 1 hasta p y j va desde 1 hasta q .
El elemento que ocupa la posición ( )ji, de la matriz C de p filas y q columnas, se obtiene sumando los
productos de los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna j de B . Ejemplos.
1) 22
46
51
×
−=A ;
22210
14
×
−−
=B
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
222222216
1154
864024
101504
241610446
251110541
×××
−−
=
+−−−−+
=
+−−+−+−−−+
=⋅ BA
2)
233231
2221
1211
×
=aa
aa
aa
A ; 4224232221
14131211
×
=
bbbb
bbbbB
4324321431233213312232123121321131
24221421232213212222122121221121
24121411231213112212121121121111
×
++++++++++++
=⋅babababababababa
babababababababa
babababababababa
BA
3)
2461
43
21
05
×
−
−=A ;
32503
121
×
−=B
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5
343429217
23615
925
5105
30102181
20306123
1010261
0501005
××
−−−−
−
=
+−++−++−+−−−−++−+
=⋅ BA
4) [ ] 2154 ×−= iA ; 32
301
2110
×
−=
i
iiB
[ ] [ ] 31312 81544515804540 ×× +=−−+=⋅ iiiiiiiBA
5) 42
6250
4913
×
−−
=A ; [ ] 31971 ×=B
No son conformables para el producto. En general, el producto de matrices no es conmutativo: ABBA ⋅≠⋅ Ejemplo.
332410
023
151
×
−
−=A ;
33703
215
142
×
−−=B
−−
−
−=⋅
703
215
142
2410
023
151
BA
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )33
722411002144103254210
702213001243305223
712511011541315521
×
−+−+−+−+−+++−++−+++−+−+−+−+−++
=
33123634
11016
16124
×
−−
−−=
−
−
−−=⋅2410
023
151
703
215
142
AB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33
2700134720531073013
2201154221551023115
2104124124521013412
×
−++−++++−−+−+−−+−+−+−+
−++−++++=
33174373
11518
42224
×
−−−−
=
ABBA ⋅≠⋅
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6
El producto definido de matrices acepta las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa: ( ) ( ) CBACBA ⋅⋅=⋅⋅
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma: ( ) BCACBAC ⋅+⋅=+⋅ IV.3 MATRICES ESPECIALES 1. Matriz cero (matriz nula) Es aquella matriz, la cual puede ser de cualquier orden, en la que todos sus elementos valen cero.
nm×
=
0000
0000
0000
0
K
MMMMM
K
K
sus propiedades son: 00 =⋅ A
AA =+0 Ejemplo.
Sean: 22
25
13
×
−=A ;
2200
000
×
=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
=
+−++−+
=
−
=⋅
00
00
20105030
20105030
25
13
00
000 A
( )
−=
++−++
=
−+
=+
25
13
2050
1030
25
13
00
000 A
2. Matriz identidad (matriz unitaria) Es una matriz cuadrada de orden n tal que todos los elementos de su diagonal principal son uno y los elementos fuera de ella son cero.
nn
I
×
=
1000
0100
0010
0001
K
MMMMM
K
K
K
La propiedad principal de una matriz cuadrada es que:
AIAAI =⋅=⋅ Ejemplo.
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7
Sean: 22
13
24
×
−−
=A ; 22
10
01
×
=I
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
−−
=
+−+−−+−+
=
−−
=⋅13
24
11030113
12040214
10
01
13
24IA
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
−−
=
+−−++−−+
=
−−
=⋅
13
24
11203140
10213041
13
24
10
01AI
3. Matriz diagonal Es una matriz cuadrada de orden n tal que todos los elementos fuera de su diagonal principal son cero.
nnnnd
d
d
d
D
×
=
K
MMMMM
K
K
K
000
000
000
000
33
22
11
Ejemplo.
−=
700
060
0012
D
4. Matriz triangular superior Es una matriz cuadrada de orden n en la cual todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero.
0=iju para ji >
nnnn
n
n
n
u
uu
uuu
uuuu
U
×
=
K
MMMMM
K
K
K
000
00
0
333
22322
1131211
Ejemplo.
−−
−−
=
i
ii
iii
iiii
U
9000
200
6340
13587
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8
5. Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada de orden n en la cual todos los elementos por arriba de la diagonal principal son cero.
0=ijl para ji <
nnnnnnn llll
lll
ll
l
L
×
=
K
MMMMM
K
K
K
321
333231
2221
11
0
00
000
Ejemplo.
−−=
179
06L
6. Matriz simétrica
Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su propia transpuesta: TAA =
jiij aa = para toda i y para toda j
Ejemplo.
TAA =
−−
−
=
6408
4752
0542
8223
7. Matriz antisimétrica Se dice que una matriz cuadrada es antisimétrica si es igual al negativo de su propia transpuesta:
TAA −=
jiij aa −= para toda i y para toda j
Ejemplo.
AAAA TT =
−−
−=−⇒
−−−
=⇒
−−
−=
043
402
320
043
402
320
043
402
320
8. Matriz conjugada Sea A una matriz de números complejos. Si se reemplaza cada elemento por su complejo conjugado se
obtiene A que es su matriz conjugada.
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9
Ejemplo.
+−−−+−
−+−−=
6171351610
911147648
163825
iii
iii
iiii
A
−−+−+−+
+−−−+=
6171351610
911147648
163825
iii
iii
iiii
A
9. Matriz hermitiana
Se dice que una matriz de números complejos cuadrada es hermitiana, denotada como *A , si es igual a
su propia transpuesta conjugada: *T AAA ==
jiij aa = para toda i y para toda j
Ejemplo.
+−
=462
625
i
iA
−+
=462
625
i
iA
Ai
iAA T =
+−
==462
625*
10. Matriz antihermitiana1 Se dice que una matriz de números complejos cuadrada es antihermitiana si es igual al negativo de su
propia transpuesta conjugada: *T AAA −=−=
jiij aa −= para toda i y para toda j
Ejemplo.
−−
=i
iA
69
911
−−=
i
iA
69
911
Ai
iAA *T −=
−−
==69
911
1 Las matrices simétricas son un caso especial de las hermitianas y las matrices antisimétricas son un caso especial de las antihermitianas. Por lo tanto, toda matriz simétrica es hermitiana, pero una matriz hermitiana no necesariamente es simétrica. De la misma forma, toda matriz antisimétrica es antihermitiana, pero una matriz antihermitiana no necesariamente es antisimétrica.
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10
Ai
iA =
−−
=−69
911*
IV.4 DETERMINANTES IV.4.1 DEFINICIÓN
Sea A una matriz cuadrada de orden n . Se define como determinante de A (denotado como A ,
( )Adet ó A∆ ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada fila y columna de A . Esto significa que un determinante es un valor numérico κ que está relacionado con una matriz cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo .
( ) κ==
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
L
MMMMM
K
K
K
321
3333231
2232221
1131211
det
Dos matrices diferentes (tanto en orden como en elementos) pueden tener igual determinante. Nótese como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo líneas. IV.4.2 CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación diagonal, mejor conocido como Regla de Sarrus.
Esta regla establece que para una matriz de segundo orden
=
2221
1211
aa
aaA , su determinante se calcula
de la siguiente manera:
( ) 122122112221
1211det aaaaaa
aaA −==
esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Ejemplos.
1) ( ) ( ) 21012524342
53=−=−=
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11
2) ( ) ( ) 42428837473
84−=+−=−−−=
−−
3) ( ) ( ) 7830486541245
612=+=−−−−=
−−−
La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , establece que su
determinante se calcula como:
( ) 233211331221132231231231133221332211
333231
232221
131211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A −−−++==
esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus dos paralelas. Ejemplos.
1) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )101637542132507641
602
147
531
−−−−−−−−−++=−
−−
1840126406024 =+++−+=
2) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )10728130511011073852
871
1053
012
−−−−−−++−=−
−
25414024010080 −=−−−−+−=
3) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )393154827357894123
197
324
853
−−−−−−−+−+−=−
−−
57281201121052886 −=−+−−−−= IV.4.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero.
Ejemplos.
1) ( ) ( ) 000060206
02=−=−=
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12
2) ( )( ) ( ) 000100900
19=−=−−=
−
2. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz TA
Ejemplo.
−=
38
15A
( ) ( ) ( )( ) 23815183538
15det =+=−−=
−=A
−=
31
85TA
( ) ( ) ( )( ) 23815813531
85det =+=−−=
−=TA
3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un escalar k , el determinante es
también multiplicado por k . Ejemplos.
( ) ( ) 21210345254
32−=−=−=
Multiplicando el primer renglón por 3=k
( ) ( )( ) 63630945654
96−=−=−=
Multiplicando la primera columna por 3=k
( ) ( ) 6363031256512
36−=−=−=
en general:
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
kakaka
aaka
aaka
aaka
aaa
aaa
aaa
k
K
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
==
4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia. Ejemplos.
( ) ( ) 358512421
54=−=−=
intercambiando renglones:
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13
( ) ( ) 385245154
21−=−=−=
intercambiando columnas:
( ) ( ) 385421512
45−=−=−=
5. Si un renglón (o columna) se traslada p renglones (o columnas) entonces el determinante obtenido
es igual a: ( ) ∆− p1
Ejemplo.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )114221300120311204
210
101
324
−−−−−−−+−+−=−−−=∆
3440030 −=−+−+−= si se mueve la primera columna, dos posiciones, entonces:
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )122030411131420012
021
110
432
1 −−−−−−−+−+−=−−−=∆
( ) ∆−=−=+−−−−= 213404300 si se mueve el primer renglón, una posición, se tiene:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )311204120300114221
210
324
101
2 −−−−−−+−−+−=−−
−=∆
( ) ∆−==+++++−= 113300044
6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es cero. Ejemplos.
1) ( ) ( ) 066166166
11=−=−=
2) ( )( ) ( )( ) 01010525252
52=+−=−−−=
−−
7. Un determinante no cambia de valor si a todos los elementos de un renglón (o columna) le son
sumados o restados los elementos de otro renglón (o columna) multiplicados por un escalar:
innninin
n
n
nnnnjn
nj
nj
nnnn
n
n
kaakaakaa
aaa
aaa
aakaa
aakaa
aakaa
aaa
aaa
aaa
+++
=
+
++
=
K
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
2211
22221
11211
21
222221
112111
21
22221
11211
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
14
Ejemplo.
( ) ( ) 538314241
32=−=−==∆
sumando a la primera columna la segunda multiplicada por 2 : ( )( ) ( ) ( ) 527323948
49
38
4421
33222 =−=−==
++
=∆
al segundo renglón de ∆ se le resta tres veces el primer renglón:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 51510355255
32
334231
322 =+−=−−−=
−−=
−−=∆
Esta propiedad es muy empleada para obtener ceros y así simplificar el cálculo del determinante. Ejemplo.
( )( )( )
15
300
250
111
30326
25224
11123
306
254
113
=−
=−−
−−=
−=∆
IV.4.4 MENOR DE UN ELEMENTO Sea un determinante de orden n , correspondiente a una matriz A :
( )
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
det =
Se define el menor de un elemento ija al determinante que resulta de eliminar el renglón i y la columna
j . Si se denota como ijM a tal determinante, se tiene:
nnnjnn
inijjj
nj
nj
ij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
LL
LLLLLL
LL
LLLLLL
LL
LL
21
21
222221
111211
=
Ejemplos. Dado el determinante:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
15
2610
412
351
−
−−=∆
Algunos menores son:
32302210
31
2610
412
351
22 =+=−−−
=−
−−=M
2332041
35
2610
412
351
31 =+=−
=−
−−=M
56506610
51
2610
412
351
23 −=−−=−
=−
−−=M
Ejemplo. Dado el determinante:
6132
4578
10209
2315
−
=∆
Encontrar el menor 43M
Solución:
180350360801260
478
1009
215
6132
4578
10209
2315
43 −=−−−++==
−
=M
IV.4.5 COFACTOR DE UN ELEMENTO
Se define el cofactor de un elemento ija , el cual se denota ijA , como:
( ) ijji
ij MA +−= 1
es decir, el cofactor es igual al menor multiplicado por 1 ó 1− , dependiendo si la suma de los dos subíndices es par o impar, respectivamente. Ejemplo. Calcular los cofactores del siguiente determinante:
( )85
114det
−−=A
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16
Solución:
811 −=A
512 =A
1121 −=A
422 =A Ejemplo. Calcular los cofactores de los elementos correspondientes al primer renglón del siguiente determinante:
( )2103
452
101
det −=A
Solución.
304010210
4511 −=−==A
( ) 1612423
4212 =−−−=
−−=A
351520103
5213 −=−−=
−=A
El determinante de una matriz A de cualquier orden puede obtenerse mediante la suma de los productos de los elementos de cualquier renglón o columna por sus respectivos cofactores:
( ) ∑ ∑= =
==n
j
n
iililkjkj AaAaA
1 1
det
Para el renglón k o la columna l . Así, para un determinante de tercer orden, se tiene:
( ) 131312121111
333231
232221
131211
det AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A ++==
3231
222113
3331
232112
3332
232211 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa +−=
esto significa que se elige el primer renglón y se suman los elementos por sus respectivos cofactores. Este procedimiento también puede aplicarse a columnas, por ejemplo, para el caso anterior:
( )2221
121133
3231
121123
3231
222113det
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaA +−=
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17
esto significa que se elige la tercera columna y se suman los elementos por sus respectivos cofactores. Ejemplo. Calcular el siguiente determinante aplicando cofactores:
( )312
546
821
det
−−
−=A
Tomando el primer renglón se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )( )86810182512112
468
32
562
31
541 +−−+−−+−=
−−
−+−−−
=
( ) ( ) ( )( ) 3916167288271 −=−−−=−+−−= Ahora, tomando la segunda columna se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )485116341018256
811
32
814
32
562 +−−+−+−−=
−−−
−−+−=
( ) ( ) ( ) 3953761653119482 −=+−−=+−−= Cuando aparecen varios ceros en un renglón o en una columna, a fin de simplificar el cálculo de un determinante, es conveniente utilizar ese renglón o columna. Ejemplo.
( )
3140
5230
2120
4121
det
−
−−
=A
1141312111 0001 AAAAA =+++=
calculando el cofactor 11A y tomando el segundo renglón se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )( )832209156214
232
34
531
31
522 −−−+−−+=
−−+−
−=
( ) ( ) ( )( ) 55221122112111112 =++=−−+−−= IV.4.6 MATRIZ ADJUNTA
Si ijaA = es una matriz cuadrada y ijA es el cofactor de ija , se define la matriz adjunta de A ,
denotada AAdj , como la matriz de cofactores de su transpuesta.
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AAdj
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
=
Esto significa que para encontrar la matriz adjunta primero se traspone la matriz y después, con base en ella, se calcula la matriz de cofactores.
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
18
Ejemplo. Obtener la matriz adjunta de:
−=
81
73A
La matriz transpuesta es:
−=
87
13TA
La matriz de cofactores de la matriz transpuesta es:
−=
31
78AAdj
Ejemplo. Encontrar la matriz adjunta de:
=433
232
321
A
Solución.
=423
332
321TA
−−−−
−=
−
−−
−
=133
452
516
32
21
32
31
33
3223
21
43
31
42
3223
32
43
32
42
33
AAdj
IV.5 MATRIZ INVERSA IV.5.1 MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA En el álgebra matricial, la división no está definida. La inversión de matrices es la contraparte de la división en álgebra. La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por
resultado la matriz identidad, se denota como 1−A :
IAAAA =⋅=⋅ −− 11
esto se cumple siempre y cuando ( ) 0det ≠A .
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19
La matriz inversa se obtiene en su forma clásica, de la siguiente manera:
( ) ( )nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AAAdj
AA
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
1
det
1
det
1 =⋅=−
El procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A por el método de la adjunta es el siguiente:
• Se calcula el determinante de A . Si ( ) 0det ≠A entonces tiene matriz inversa (en caso contrario se dice que es una matriz singular)
• Se obtiene la transpuesta de A , es decir, TA
• Se calcula la matriz de cofactores de TA , dando lugar a la matriz adjunta de A , esto es, AAdj
• Se forma el producto ( ) AAdjA
⋅det
1.
Ejemplo. Obtener la matriz inversa de:
−−=
43
12A
Solución.
( ) ( ) 53843
12det −=−−−=
−−=A
−−
=41
32TA
−−=
23
14AAdj
−−=
−−−=⋅
−=−
5
2
5
35
1
5
4
23
14
5
1
5
11 AAdjA
Comprobación:
+−+−
−−=
−−
−−=⋅ −
5
8
5
3
5
12
5
125
2
5
2
5
3
5
8
5
2
5
35
1
5
4
43
121AA
I=
=
10
01
Ejemplo.
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20
Obtener la matriz inversa de:
−−
−=
634
215
012
A
Solución.
( ) 14123008012det −=+−−−+=A
−−−
=620
311
452TA
−−−
=
−−
−−−
−−
−−
−−
−−−−
−
=3211
41238
2612
11
52
31
42
31
4520
52
60
42
62
4520
11
60
31
62
31
AAdj
−−
−−
−−
=
−−−
−=⋅
−=−
14
3
14
2
14
1114
4
14
12
14
3814
2
14
6
14
12
3211
41238
2612
14
1
14
11 AAdjA
Comprobación:
−−
−−
−−
−−
−=⋅ −
14
3
14
2
14
1114
4
14
12
14
3814
2
14
6
14
12
634
215
0121AA
+−−+−−+−
++−−−−−
+−++−++−
=
14
18
14
12
14
8
14
12
14
36
14
24
14
66
14
114
14
4814
6
14
4
14
10
14
4
14
12
14
30
14
22
14
38
14
60
014
4
14
40
14
12
14
120
14
38
14
24
I=
=100
010
001
La inversa de una matriz diagonal se obtiene invirtiendo sus términos, esto es, si:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
21
⇒
=
×
nn
nnnn
a
a
a
a
a
a
A
100
01
0
001
00
00
00
22
11
22
11
L
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
La inversa de un producto de matrices se obtiene de la siguiente regla:
( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA
IV.5.2 MATRIZ INVERSA POR TRANSFORMACIONES ELEMENTA LES El método se basa en agregar a la matriz original una matriz identidad del mismo orden. El objetivo de este método es producir ceros y unos en el lado de la matriz original, los unos deben estar alojados en la diagonal principal, y los ceros fuera de la diagonal principal, cuando se termine el proceso, la matriz que resulta del lado donde se añadió la matriz unitaria, será la matriz inversa. Ejemplo. Obtener la matriz inversa de:
−−
=45
23A
Solución. Se agrega una matriz unitaria de segundo orden:
−−
=10
01
45
23A
dividiendo entre 3 el primer renglón:
−
−=10
03
1
453
21A
multiplicando por 5 el primer renglón y sumando al segundo:
−=
13
5
03
1
3
20
3
21
A
dividiendo entre 3
2 el segundo renglón:
−=
2
3
2
5
03
1
103
21A
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
22
multiplicando por 3
2 el segundo renglón y sumando al primero:
=
2
3
2
512
10
01A
por lo tanto:
=−
2
3
2
512
1A
Comprobación:
+−+−−−
=
−−
=⋅ −
651010
3356
2
3
2
512
45
231AA
I=
=
10
01
Ejemplo. Obtener la matriz inversa de:
−=
81015
523
697
A
Solución. Se agrega una matriz unitaria de tercer orden:
−=
100
010
001
81015
523
697
A
dividiendo entre 7 el primer renglón:
−
=100
010
007
1
81015
5237
6
7
91
A
multiplicando por 3− el primer renglón y sumando al segundo:
−−
−
=
100
0173
007
1
81015753
713
0
7
6
7
91
A
multiplicando por 15− el primer renglón y sumando al tercero:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
23
−
−
−
−
−
=
107
15
0173
007
1
7
146
7
650
753
713
0
7
6
7
91
A
dividiendo entre 7
13− el segundo renglón:
−
−
−
−
−
=
107
15
0137
133
007
1
7
146
7
650
1353
10
7
6
7
91
A
multiplicando por 7
9− el segundo renglón y sumando al primero:
−
−
−
−
−=
107
15
0137
133
091
63
91
14
7
146
7
650
1353
10
91
39901
A
multiplicando por 7
65 el segundo renglón y sumando al tercero:
−
−
−
−
−=
113
650
013
7
13
3
091
63
91
14
170013
5310
91
39901
A
dividiendo entre 17− el tercer renglón:
−
−
−
−=
17
1
17
50
0137
133
091
63
91
14
1001353
10
91
39901
A
multiplicando por 91
399− el tercer renglón y sumando al primero:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
24
−
−
−−
−=
17
1
17
50
013
7
13
3221
57
221
132
91
14
10013
5310
001
A
multiplicando por 13
53 el tercer renglón y sumando al segundo:
−
−
−−
=
17
1
17
50
221
53
221
146
13
3221
57
221
132
91
14
100
010
001
A
por lo tanto:
−
−
−−
=−
17
1
17
50
221
53
221
146
13
3221
57
221
132
91
14
1A
Comprobación:
−
−
−−
−=⋅ −
17
1
17
50
221
53
221
146
13
3221
57
221
132
91
14
81015
523
6971AA
−−++−++−
−−++−++−
+−−+−++−
=
17
8
221
530
221
855
17
40
221
1460
221
19800
13
30
91
21017
5
221
106
221
171
17
25
221
292
221
3960
13
6
91
4217
6
221
477
221
399
17
30
221
1314
221
9240
13
27
91
98
I=
=100
010
001
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25
IV.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Muchos problemas de la vida real obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de forma tradicional así :
=+++
=+++=+++
mnmnmnm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
K
KLLK
K
L
221
22222121
11212111
Un sistema así expresado tiene m ecuaciones y n incógnitas, donde ija son los coeficientes reales del
sistema, los valores mb son los términos independientes del sistema y las incógnitas ix son las
variables del sistema. La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales nsss ,,, 21 L
tales que al sustituir en las incógnitas satisfacen a la vez las m ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :
[ ] [ ] [ ]BxA =⋅
=
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
KK
L
LLLL
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
donde:
[ ]A es una matriz de coeficientes
[ ]B es un vector de constantes
[ ]x es un vector de incógnitas IV.6.1 MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA
Sea la ecuación matricial: [ ] [ ] [ ]BxA =⋅ que denota un sistema de ecuaciones lineales.
Esta ecuación puede ser resuelta para [ ]x , premultiplicando [ ]A por su inversa, y para no alterar el
resultado, también se premultiplica [ ]B por la inversa de [ ]A :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]BAxAA ⋅=⋅⋅ −− 11, esto es:
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26
[ ] [ ] [ ]BAx ⋅= −1
Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)
=+=+52
1543
21
21
xx
xx
Solución.
=
12
43A
( ) 58312
43det −=−==A
=
14
23TA
−−
=32
41AAdj
−
−=
−−
−=⋅
−=−
5
3
5
25
4
5
1
32
41
5
1
5
11 AAdjA
[ ] [ ] [ ]
=
−+−
=
−
−=⋅= −
3
1
36
43
5
15
5
3
5
25
4
5
11 BAx
3;1 21 ==∴ xx
2)
−=−+=+−=++
2634
523
1154
zyx
zyx
zyx
Solución.
−−=
314
123
541
A
( ) 1121364016156det =−++++=A
−−=
315
124
431TA
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27
−−=
−−
−
−−−
−
−−
−−
−
=141511
142313
14175
24
31
14
41
12
4315
31
35
41
31
4315
24
35
14
31
12
AAdj
−
−=
−−=⋅=−
112
14
112
15
112
11112
14
112
23
112
13112
14
112
17
112
5
141511
142313
14175
112
1
112
11 AAdjA
[ ] [ ] [ ]
−−
=
−
−
=
++
−−
−+
=
−
−
−=⋅= −
5
3
2
112
560112
336112
224
112
364
112
75
112
121112
364
112
115
112
143112
364
112
85
112
55
26
5
11
112
14
112
15
112
11112
14
112
23
112
13112
14
112
17
112
5
1 BAx
5;3;2 =−=−=∴ zyx IV.6.2 MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas el método de eliminación de Gauss consiste en
obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga n incógnitas, la segunda 1−n , la
tercera 2−n , y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, se resuelve la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss consiste en triangular la matriz de coeficientes.
=
=++=+++=++++
mnmn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
KL
L
K
L
33333
22323222
11313212111
Esto significa que se deben eliminar 1x en la segunda ecuación, 1x y 2x en la tercera ecuación, 1x , 2x
y 3x en la tercera ecuación, etc. Finalmente en la última ecuación, se deben eliminar todos los
coeficientes excepto el de la variable nx . Una vez que se modificaron todas las ecuaciones, la solución
es completada por sustitución desde la última ecuación hacia las anteriores. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
28
1) ( )( )2_
1_
1034
1625
=+=+
yx
yx
Solución.
multiplicando la ecuación ( )1 por 5
1:
( )'1_5
16
5
2 =+ yx
multiplicando la ecuación ( )1 por 5
4− y se suma a la ecuación ( )2 :
( )'2_5
14
5
7 −=y
multiplicando la ecuación ( )'2 por 7
5:
2−=y
conocida y , se sustituye en ( )'1 y se despeja x , terminando el proceso:
( ) 45
20
5
4
5
162
5
2
5
16 ==+=−−=x
2;4 −==∴ yx
2)
( )( )( )3_
2_
1_
743
532
4723
321
321
321
=++=++
=++
xxx
xxx
xxx
Solución.
Multiplicando la ecuación ( )1 por 3
1:
( )'1_3
4
3
7
3
2321 =++ xxx
multiplicando la ecuación ( )1 por 3
2− y se suma a la ecuación ( )2 :
( )'2_3
7
3
11
3
532 =− xx
multiplicando la ecuación ( )'2 por 5
3:
( )''2_5
7
5
1132 =− xx
multiplicando la ecuación ( )1 por 1− y se suma a la ecuación ( )3 :
( )'3_362 32 =− xx
multiplicando la ecuación ( )'2 por 5
6− y se suma a la ecuación ( )'3 :
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
29
( )''3_5
1
5
83 =− x
A fin de apreciar mejor el resultado, se adopta el siguiente orden:
( )'1_3
4
3
7
3
2321 =++ xxx
( )''2_5
7
5
1132 =− xx
( )''3_5
1
5
83 =− x
se observa que se debe convertir en 1 el coeficiente de 3x de ( )''3 para obtener la solución de esa
variable y comenzar la solución hacia atrás, así que se multiplica dicha ecuación por 8
5− :
8
13 −=x
conocida 3x , se sustituye en ( )''2 y se despeja 2x :
8
9
8
1
5
11
5
72 =
−+=x
estos dos valores se sustituyen en ( )'1 y se despeja 1x , terminando el proceso:
8
7
8
1
3
7
8
9
3
2
3
41 =
−−
−=x
8
1;
8
9;
8
7321 −===∴ xxx
IV.6.3 REGLA DE CRAMER La regla de Cramer es aplicable para aquellos sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de
incógnitas ( )mn = y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, para sistemas de que tienen siempre una solución única (compatibles determinados).
=+++
=+++=+++
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
K
KLLK
K
L
221
22222121
11212111
El valor de cada incógnita jx se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la
matriz de coeficientes y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna j del determinante de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
30
1)
=+=−
1365
2343
21
21
xx
xx
Solución.
38201865
43=+=
−=∆
Para calcular 1x , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:
538
190
38
52138613
423
1
1 ==+=∆
−
=∆
∆= xx
Para calcular 2x , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:
238
76
38
11539135
233
2
2 −=−=−=∆
=∆
∆= xx
2;5 21 −==∴ xx
2)
−=−−−=+−=+−
9396
28104
21732
zyx
zyx
zyx
Solución:
3618036421802526
396
1014
732
=+−−+−=−−−
−−
=∆
Para calcular 1x , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:
436
144
36
189025263270176463399
10128
7321
==+−−+−=∆
−−−−−
=∆∆= xx
Para calcular y , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:
236
72
36
18025211761260252168396
10284
7212
−=−=+++−−−=∆
−−−=
∆∆
= yy
Para calcular z , se sustituyen los términos independientes en la tercera columna:
136
36
36
50410812650475618996
2814
2132
==+−−+−=∆
−−−−−
=∆∆= zz
1;2;4 =−==∴ zyx