32
Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 Conceptos generales
3.2 Operaciones matriciales
3.3 Tipos de matrices
3.4 Determinantes
3.5 Matriz inversa
3.6 Rango y traza
3.7 Matrices particionadas
3.8 Sistemas de ecuaciones lineales
Matem¶aticas Matrices y determinantes 33
3 MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 CONCEPTOS GENERALES
3.1.1 DEFINICI¶ON
Una matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpo IK es una
aplicaci¶on:
A : f1; : : : ; mg £ f1; : : : ; ng ¡! IK
(i; j) 7¡! aij:
La matriz A suele representarse por
A = (aij)1·i·m1·j·n
=
0BBBBBBBB@
a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1na21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn
1CCCCCCCCA
y se dice que es de orden m£ n .
² La ¯la i-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos
ai1; ai2; : : : ; ain.
² La columna j-¶esima de la matriz A es la formada por los
elementos a1j; a2j; : : : ; amj.
² El t¶ermino (i; j) de la matriz A es aij.
NOTACI¶ON: Se denota porMm£n(IK) el conjunto de las matrices
de orden m£ n con elementos en IK .
Matem¶aticas Matrices y determinantes 34
Sean A;B 2 Mm£n(IR); A = (aij)1·i·m1·j·n
; B = (bij)1·i·m1·j·n
.
Se dice que A y B son iguales si y s¶olo si 8i 2 f1; : : : ;mg8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij .
3.2 OPERACIONES MATRICIALES
3.2.1 SUMA DE MATRICES
Sean A;B 2 Mm£n(IK); A = (aij)1·i·m1·j·n
; B = (bij)1·i·m1·j·n
. Se
de¯ne A+ B = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij)1·i·m1·j·n
tal que
8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij:
3.2.2 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1. 8A;B; C 2 Mm£n(IK) (A+ B) + C = A + (B + C).
2. 9 O = (0ij)1·i·m1·j·n
2 Mm£n(IK) (matriz nula), tal que
8A 2 Mm£n(IK) A +O = O +A = A.
3. 8A 2 Mm£m(IK) 9 ¡ A 2 Mm£n(IK) tal que
A + (¡A) = (¡A) + A = O:
(¡A = (¡aij)1·i·m1·j·n
).
Matem¶aticas Matrices y determinantes 35
4. 8A;B 2 Mm£n(IK) A +B = B +A.
3.2.3 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Sean A 2 Mm£n(IK); A = (aij)1·i·m1·j·n
, y ¸ 2 IK. Se de¯ne
¸A = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij)1·i·m1·j·n
, tal que
8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij:
3.2.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES
8A;B 2 Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK
1. ¸(A+ B) = ¸A+ ¸B.
2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A.
3. (¸¹)A = ¸(¹A).
4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK).
3.2.5 OBSERVACI¶ON:
(Mm£n(IK);+; ¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶on
mn.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 36
3.2.6 PRODUCTO DE MATRICES
Sean A 2 Mm£n(IK); B 2 Mn£p(IK) , donde A = (aij)1·i·m1·j·n
,
B = (bij)1·i·n1·j·p
. Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p(IK); con C =
(cij)1·i·m1·j·p
tal que:
8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij =nX
k=1aikbkj:
3.2.7 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
1. 8A 2 Mm£n(IK);8B 2 Mn£p(IK); 8C 2 Mp£q(IK)
(AB)C = A(BC):
2. 8A;B; C 2 Mn£n(IK)
A(B + C) = AB +AC
(B + C)A = BA + CA:
3. 9 In 2 Mn£n(IK), tal que 8A 2 Mn£n(IK)
AIn = InA = A;
donde:
In =
0BBBBBBBB@
1 0 ¢ ¢ ¢ 00 1 ¢ ¢ ¢ 0. . . . . . . . . .
0 0 ¢ ¢ ¢ 1
1CCCCCCCCA
:
Matem¶aticas Matrices y determinantes 37
4. 8A 2 Mm£n(IK);8B 2 Mn£p(IK); 8¸; ¹ 2 IK
(¸A)(¹B) = (¸¹)(AB):
3.2.8 TRASPOSICI¶ON DE MATRICES
Sea A 2 Mm£n(IK), con A = (aij)1·i·m1·j·n
. Se de¯ne matriz tras-
puesta de A, y se denota por At 2 Mn£m(IK), como At =µa0ij
¶
1·j·n1·i·m
tal que
8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; ng a0ij = aji:
3.2.9 PROPIEDADES DE LA TRASPOSICI¶ON DE MATRICES
Sean A 2 Mm£n(IK) y ¸ 2 IK.
1. (In)t = In.
2. (At)t= A.
3. (¸A)t = ¸At.
4. Si B 2 Mm£n(IK), entonces (A +B)t = At + Bt.
5. Si B 2 Mn£p(IK), entonces (AB)t = BtAt.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 38
3.3 TIPOS DE MATRICES
3.3.1 DEFINICIONES
1. Matriz ¯la: posee una ¶unica ¯la.
(a11a12 : : : a1n) 2 M1£n(IK):
2. Matriz columna: posee una ¶unica columna.0BBBBBBBB@
a11a21...
am1
1CCCCCCCCA
2 Mm£1(IK):
3. Matriz cuadrada de orden n : tiene el mismo n¶umero de ¯las
que de columnas, m = n .
A =
0BBBBBBBB@
a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1na21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n. . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann
1CCCCCCCCA
:
² aii; i = 1; : : : ; n, se denominan elementos diagonales.² A es una matriz diagonal si y s¶olo si los elementos no dia-
gonales son nulos: i 6= j ) aij = 0.
² Una matriz es escalar si y s¶olo si es diagonal y todos loselementos diagonales son iguales entre s¶³.
² Una matriz es triangular inferior si y s¶olo si los elementospor encima de la diagonal son nulos: i < j ) aij = 0.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 39
² Una matriz es triangular superior si y s¶olo si los elementospor debajo de la diagonal son nulos: i > j ) aij = 0.
4. A 2 Mn£n(IK) es idempotente si y s¶olo si A2 = A.
5. A 2 Mn£n(IK) es nilpotente si y s¶olo si existe m 2 IN tal
que Am = O.
6. A 2 Mn£n(IK) es sim¶etrica si y s¶olo si At = A , es decir, si
A = (aij)1·i·n1·j·n
:
8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = aji:
7. A 2 Mn£n(IK) es antisim¶etrica si y s¶olo si At = ¡A , esdecir, si A = (aij)
1·i·n1·j·n
:
8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = ¡aji:
3.4 DETERMINANTES
El determinante es una aplicaci¶on
det : Mn£n(IK) ¡! IK
A 7¡! detA
tal que
² Para n = 1 y A = (a) : detA = a.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 40
² Para n = 2 y A =0B@a11 a12a21 a22
1CA : detA = a11a22 ¡ a12a21.
² Para n = 3 y A =
0BBBBB@
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
1CCCCCA:
detA = a11a22a33+a21a32a13+a31a23a12¡a13a22a31¡a23a32a11¡a33a21a12:
3.4.1 DEFINICIONES
² Los menores de una matriz cuadrada son los determinantes delas submatrices que se obtienen eliminando varias ¯las y el
mismo n¶umero de columnas.
² Se llama menor complementario del elemento aij de una ma-
triz cuadrada, que denotamos por Mij, al determinante de la
matriz resultante de suprimir la ¯la i y la columna j.
² Se denomina adjunto del elemento aij a Aij = (¡1)i+jMij.
² Se llama matriz adjunta de A 2 Mn£n(IK) a la matriz A? 2Mn£n(IK) que tiene por elementos los adjuntos de los elemen-tos de A .
3.4.2 DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS DEUNA FILA O COLUMNA
Sea A = (aij)1·i·n1·j·n
2 Mn£n(IK). Para n > 3 el determinante
viene dado por:
Matem¶aticas Matrices y determinantes 41
² Desarrollo por los elementos de la ¯la i : detA =nX
k=1aikAik.
² Desarrollo por los elementos de la columna j : detA =nX
k=1akjAkj.
3.4.3 PROPIEDADES
Sean A;B 2 Mn£n(IK).
1. det(A) = det(At).
2. Si se intercambian entre s¶³ dos ¯las (o columnas), el determi-
nante cambia de signo.
3. Si una matriz tiene dos ¯las (columnas) iguales, su determi-
nante es cero.
4. Si se multiplica a una ¯la (o columna) de A por un escalar
¸ , el determinante de la matriz resultante es igual a ¸ por
detA.
5. Si ¸ 2 IK, entonces det(¸A) = ¸n detA.6. El determinante de una matriz no var¶³a si a una ¯la (o columna)
se le suma una combinaci¶on lineal de las restantes.
7. Si una matriz tiene una ¯la (o columna) nula, su determinante
es nulo.
8. det(AB) = detA detB.
NOTA: Habitualmente, det(A + B) 6= detA+ detB.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 42
3.5 MATRIZ INVERSA
3.5.1 DEFINICI¶ON
Sea A 2 Mn£n(IK). Se dice que A es inversible o regular si existe
B 2 Mn£n(IK) de forma que AB = BA = In. En ese caso, Bse llama matriz inversa de A y se denota por A¡1.
Si tal B no existe, se dice que A no es inversible o que es singular.
3.5.2 PROPIEDADES
Sean A;B 2 Mn£n(IK).
1. A es inversible si y s¶olo si detA 6= 0.
2. Si A es inversible, entonces det(A¡1) =1
detA.
3. Si A es inversible, entonces A¡1 es ¶unica y viene dada por
A¡1 =1
detA(A?)t.
4. In es inversible y I¡1n = In.
5. Si A es inversible, entonces A¡1 es inversible y (A¡1)¡1= A.
6. Sea ¸ 2 IK ¡ f0g . Si A es inversible, entonces ¸A es
inversible y (¸A)¡1 = ¸¡1A¡1.
7. Si A y B son inversibles, entonces AB es inversible y
(AB)¡1 = B¡1A¡1.
8. Si A es inversible, entonces At es inversible y (At)¡1=
(A¡1)t.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 43
3.5.3 DEFINICI¶ON
A 2 Mn£n(IK) es ortogonal si y s¶olo si es inversible y A¡1 = At.
3.6 RANGO Y TRAZA
3.6.1 DEFINICI¶ON
Sean A 2 Mm£n(IK); con A = (aij)1·i·m1·j·n
; i 2 f1; : : : ;mg;
j 2 f1; : : : ; ng . Se consideran los vectores ¹fi = (ai1; ai2; : : : ; ain);vector ¯la i-¶esima de A y ¹cj = (a1j; a2j; : : : ; amj); vector columna
j-¶esima de A.
Se denomina rango de A por ¯las al n¶umero m¶aximo de vectores
¯la linealmente independientes.
An¶alogamente se denomina rango de A por columnas al n¶umerom¶aximo de vectores columna linealmente independientes.
3.6.2 TEOREMA DEL RANGO
En cualquier matriz el rango por ¯las es igual al rango por colum-
nas.
NOTA: El rango de una matriz A , se denota por rg(A).
3.6.3 TEOREMA (Caracterizaci¶on del rango mediante determinantes)
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 44
3.6.4 COROLARIO
Sean ¹u1; : : : ; ¹un 2 IKn.
1. ¹u1; : : : ; ¹uk, con k · n, son linealmente independientes si
y s¶olo si rg(A) = k, donde A tiene como vectores ¯la (o
columna) a ¹u1; : : : ; ¹uk.
2. ¹u1; : : : ; ¹uk, con k · n, son linealmente dependientes si y s¶olo
si rg(A) < k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna)
a ¹u1; : : : ; ¹uk.
3. ¹u1; : : : ; ¹un son vectores linealmente dependientes si y s¶olo si
detA = 0 , donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a
¹u1; : : : ; ¹un.
3.6.5 PROPIEDADES
1. Cambios en una matriz que no var¶³an el rango:
(a) Intercambiar ¯las entre s¶³ (columnas).
(b) Suprimir una ¯la (columna) cuyos elementos sean nulos.
(c) Suprimir una ¯la (columna) que sea combinaci¶on lineal de
otras.
(d) Multiplicar todos los elementos de una ¯la (columna) por
un n¶umero distinto de cero.
(e) Sumar a una ¯la (columna) una combinaci¶on lineal de las
restantes.
2. Si A 2 Mm£n(IK), entonces rg(A) · minfm; ng.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 45
3. Si A 2 Mn£n(IK) y A es inversible entonces rg(A) = n.
4. rg(In) = n.
5. rg(O) = 0.
6. Si A 2 Mm£n(IK); entonces rg(A) = rg(At).
7. Si A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p(IK), entonces
rg(AB) · minfrg(A); rg(B)g:
3.6.6 DEFINICI¶ON
Sea A 2 Mn£n(IK), donde A = (aij)1·i·n1·j·n
. Se de¯ne traza de
A, y se denota por tr(A), a la suma de los elementos de la diagonal
de A, es decir,
tr(A) =nX
i=1aii:
3.6.7 PROPIEDADES
Sean A;B 2 Mn£n(IK) y ¸ 2 IK.
1. tr(At) = tr(A).
2. Si ¸ 2 IK, entonces tr(¸A) = ¸ tr(A).
3. tr(A+ B) = tr(A) + tr(B).
4. tr(AB) = tr(BA).
Matem¶aticas Matrices y determinantes 46
3.7 MATRICES PARTICIONADAS
Sean A 2 Mm£n(IK) , m1; : : : ;mr; n1; : : : ; ns 2 IN conrX
i=1mi = m
ysX
j=1nj = n. La matriz A puede representarse como:
A =
0BBBBB@
A11 ¢ ¢ ¢ A1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars
1CCCCCA
donde Aij 2 Mmi£nj(IK).
Se dice que A est¶a particionada en rs bloques por
(m1; : : : ; mr;n1; : : : ; ns):
3.7.1 OPERACIONES CON MATRICES PARTICIONADAS
² Suma:Sean A;B 2 Mm£n(IK) matrices particionadas por(m1; : : : ;mr;n1; : : : ; ns) ,
A =
0BBBBB@
A11 ¢ ¢ ¢ A1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars
1CCCCCA; B =
0BBBBB@
B11 ¢ ¢ ¢ B1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Br1 ¢ ¢ ¢ Brs
1CCCCCA
Entonces, A+ B =
0BBBBB@
A11 + B11 ¢ ¢ ¢ A1s + B1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Ar1 + Br1 ¢ ¢ ¢ Ars + Brs
1CCCCCA:
Matem¶aticas Matrices y determinantes 47
² Producto por escalares:Sean A 2 Mm£n(IK) matriz particionada por (m1; : : : ; mr;
n1; : : : ; ns) y ¸ 2 IK , entonces
¸A =
0BBBBB@
¸A11 ¢ ¢ ¢ ¸A1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¸Ar1 ¢ ¢ ¢ ¸Ars
1CCCCCA:
² Producto de matrices:Sean A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p(IK) matrices parti-cionadas por (m1; : : : ;mr;n1; : : : ; ns) y (n1; : : : ; ns; p1; : : : ; pk) ,
respectivamente, entonces C est¶a particionada por (m1; : : : ;mr;
p1; : : : ; pk)
C = AB =
0BBBBB@
C11 ¢ ¢ ¢ C1k¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Cr1 ¢ ¢ ¢ Crk
1CCCCCA;
donde Cij =sX
l=1AilBlj.
3.7.2 PROPOSICI¶ON
Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1; n2;n1; n2),
A =
0B@A11 A12A21 A22
1CA :
Si A12 = O 2 Mn1£n2(IK) o A21 = O 2 Mn2£n1(IK), entonces
detA = detA11 detA22.
Matem¶aticas Matrices y determinantes 48
3.7.3 INVERSA PARTICIONADA
Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1; n2;n1; n2)
A =
0B@A11 A12A21 A22
1CA :
Si A22 es regular, entonces
A¡1 =
0B@B11 B12B21 B22
1CA ;
donde:
B11 = (A11 ¡ A12A¡122 A21)
¡1;
B21 = ¡A¡122 A21B11;
B12 = ¡B11A12A¡122 ;
B22 = A¡122 ¡ A¡1
22A21B12:
Si A11 es regular, entonces
A¡1 =
0B@C11 C12C21 C22
1CA ;
donde:
C11 = A¡111 +A
¡111 A12C22A21A
¡111 ;
C12 = ¡A¡111 A12C22;
C21 = ¡C22A21A¡111 ;
C22 = (A22 ¡A21A¡111 A12)
¡1:
Matem¶aticas Matrices y determinantes 49
3.8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.8.1 DEFINICI¶ON
Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas a
un conjunto de ecuaciones de la forma:
a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm
donde 8 i 2 f1; : : : ; mg 8 j 2 f1; : : : ; ng aij; bi 2 IR .
² aij son los coe¯cientes del sistema.² bi son los t¶erminos independientes del sistema.
² xj son las inc¶ognitas del sistema.
Se denomina soluci¶on del sistema a todo vector (s1; s2; : : : ; sn) que
veri¯ca las siguientes igualdades:
a11s1 + a12s2 + ¢ ¢ ¢ + a1nsn = b1
a21s1 + a22s2 + ¢ ¢ ¢ + a2nsn = b2
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢am1s1 + am2s2 + ¢ ¢ ¢ + amnsn = bm
Formamatricial del sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas:0BBBBBBBB@
a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1na21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn
1CCCCCCCCA
0BBBBBBBB@
x1x2¢xm
1CCCCCCCCA
=
0BBBBBBBB@
b1b2¢bm
1CCCCCCCCA
; o bien A¹x = ¹b;
Matem¶aticas Matrices y determinantes 50
donde A 2 Mm£n(IK) es la matriz de los coe¯cientes del sis-tema, ¹x 2 Mn£1(IK) el vector de las inc¶ognitas del sistema y¹b 2 Mm£1(IK) el vector de t¶erminos independientes del sistema.
Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones en funci¶on del conjunto
de soluciones:
1. Incompatible: cuando no admite soluci¶on.
2. Compatible: cuando admite soluci¶on. A su vez puede ser:
(a) Determinado: cuando admite una ¶unica soluci¶on.
(b) Indeterminado: cuando admite m¶as de una soluci¶on.
Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus t¶erminos
independientes:
1. Homog¶eneo: el vector ¹b es nulo.
2. No homog¶eneo: al menos alguna de las componentes de ¹b esdistinta de cero.
Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se repre-
senta por (Aj¹b) , a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz Ala matriz columna ¹b. Por tanto, (Aj¹b) 2 Mm£(n+1)(IK) y tomala forma:
(Aj¹b) =
0BBBBBBBB@
a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n b1a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn bm
1CCCCCCCCA
:
Matem¶aticas Matrices y determinantes 51
3.8.2 TEOREMA DE ROUCH¶E-FROBENIUS
Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas es:
1. Compatible si y s¶olo si rg(A) = rg(Aj¹b) . Adem¶as,(a) Si rg(A) = n, entonces el sistema es determinado.
(b) Si rg(A) < n, entonces el sistema es indeterminado.
2. Incompatible si y s¶olo si rg(A) < rg(Aj¹b) .
3.8.3 OBSERVACI¶ON
Todos los sistemas homog¶eneos de la forma A¹x = ¹0 son compati-
bles, rg(A) = rg(Aj¹0), y siempre admiten como soluci¶on:
x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0;
denominada soluci¶on trivial.
El sistema homog¶eneo A¹x = ¹0 de m ecuaciones lineales con n
inc¶ognitas:
² S¶olo tiene soluci¶on trivial si rg(A) = n.² Admite in¯nitas soluciones si rg(A) < n.