CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA MATERIAL DE APOYO
CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA
CONCEPTOS QUE DEBE SABER PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA. CENTROIDE El centroide es útil en el cálculo de momento de inercia, cargas distribuidas sobre elementos estructurales y se puede definir como el centro geométrico de una figura plana homogénea, depende de la forma a diferencia de centro de masa que depende de la distribución de la materia. CENTROIDE PARA LINEAS: Las coordenadas del centroide de una línea compuesta se pueden determinar así:
∑
∑
∑
∑
CENTROIDE PARA AREAS COMPUESTAS: Las coordenadas del centroide de una figura plana compuesta se pueden determinar así:
∑
∑
∑
∑
CENTROIDE PARA VOLUMENES COMPUESTOS: Las coordenadas del centroide de un VOLUMEN compuesto se pueden determinar así:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
MOMENTO DE INERCIA PARA FIGURAS PLANAS: El Momento de inercia se puede definir como la capacidad que tiene un cuerpo a oponerse a la rotación respecto a un eje. En el curso de Física 1 se impartió el cálculo de momento de inercia para masas, análogamente se calculará ahora para áreas de figuras planas.
Para masas ∫ Para áreas ∫
La unidad de medida es [ ] en el SI es [ ] Y x y x MOMENTO DE INERCIA: Respecto al eje x Respecto al eje y
∫ ∫
La unidad de medida es [ ] en el SI es [ ]
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TEOREMA DE EJES PARALELOS PARA MOMENTO DE INERCIA PARA FIGURAS PLANAS:
Y C: ES EL CENTROIDE DE LA FIGURA
X
DONDE;
ES EL MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE x
ES EL MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE x QUE PASA
POR EL CENTROIDE DE LA FIGURA. ES EL AREA DE LA FIGURA.
DISTANCIA PERPENDICULAR DEL EJE x AL EJE xC CENTROIDAL.
ANALOGAMENTE RESPECTO AL EJE y:
PRODUCTO DE INERCIA PARA FIGURAS PLANAS:
Y C: ES EL CENTROIDE DE LA FIGURA
X
∫
PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES x E y
Si la figura plana no tiene simetría respecto al menos a un eje, el producto de inercia se determina así:
Donde;
PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES x E y.
PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES xc E yc centroidales.
Coordenadas del centroide de la figura.
2
C
C
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ES CERO SI LA FIGURA PLANA TIENE SIMETRIA AL MENOS
RESPECTO A UN EJE. EJEMPLO:
La Figura tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales por lo
tanto el
La Figura tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales por lo
tanto el
La Figura no tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales
por lo tanto el
MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES PARA FIGURAS PLANAS:
√(
)
( )
3
C
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PROBLEMA 1 Para el alambre doblado que se muestra en la figura, encuentre las coordenadas del centroide C. RESOLUCION: El alambre se compone de 3 partes, A, B y C, cada uno tiene una longitud y centroide como se muestra. Resumen de la información:
i e i se miden respecto al origen:
Li i(m) i(m) i Li i Li
A 3 1.5 0 4.5 0
B 3.637 1 11.43 3.14
D 3 3 3.5 9 10.5
∑
9.14
∑
24.9
∑
13.64
∑
∑
∑
∑
3m 1 m
x(+) 0 A 1m B 2.5m C 1m
y(+)
3 m D
1.5 m
A
Longitud de la
semicircunferencia es: R =
(1) =
De la tabla de centroides para
líneas, el centroide de la
semicircunferencia es:
Respecto al origen es:
3 m = 3.637 m
1 m 3m 0.637m
PROBLEMA 2 Para la figura plana que se muestra en la figura, encuentre las coordenadas del centroide. Y 0.848 m 4 m = x 2 m 2 m 1 m 2 + 0.848
de la tabla de centroides para áreas
para un semicírculo, su centroide es:
A B + 2m
= 0.848 m
Área del semicírculo es: = =2
4
9
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Las coordenadas del centroide de la figura compuesta por un rectángulo y un círculo, se puede resumir en la siguiente tabla.
∑
∑
∑
∑
Ai i(m) i(m) i Ai i Ai
A 8 1 2 8 16
B 2 2.848 2 17.89 12.56
∑
14.28
∑
25.89
∑
28.56
∑
∑
m
∑
∑
PROBLEMA 3 Para el tanque que se muestra en la figura, encuentre las coordenadas del centroide. z(+)
x(+) y(+)
Tome h = 4 m, r = 2 m
Continua problema 3 De la tabla de centroides para volúmenes, el centroide para un cono se localiza: H/4 = 4/4 = 1 m
VOLUMEN DEL CONO:
+
VOLUMEN DEL cilindro:
La figura compuesta tiene simetría, por lo cual su centroide se localiza en el origen en :
El centroide es:
∑
∑
.
Su cálculo se resume en la siguiente tabla.
H / 4 = 1
m
H/2 = 2 m
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∑
∑
⁄
Vi i(m) i Vi
cono 5 83.75
cilindro 2 100.5
∑
67.01
∑
184.25
PROBLEMA 4 La figura muestra una lamina homogénea de espesor constante, determine:
Momento de inercia respecto a los
ejes x e y.
El producto de inercia respecto a los
ejes x e y.
Los momentos de inercia principales.
y(+)
4p x(+) 8 p 6 p
La lámina está compuesta por un
rectángulo y un triángulo, es
equivalente a sumarlos.
A
2p 4 p + B 4/3
8 p 2 p
Momento de inercia
respecto al eje x de toda la
lámina.
Rectángulo: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje x del rectángulo coincide con el eje x de la figura compuesta, por lo tanto no se utiliza el teorema de ejes paralelos.
Triángulo:
En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje x del triangulo también coincide con el eje x de la figura, por lo tanto no es necesario usar el teorema de ejes paralelos.
Finalmente para toda la la figura:
Momento de inercia
respecto al eje y de toda la
lámina.
1/33 m,
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Rectángulo: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje y del rectángulo coincide con el eje y de la figura, por lo tanto no es necesario utilizar el teorema de ejes paralelos.
Triángulo:
En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje y del triangulo no coincide con el eje y de la figura compuesta, por lo tanto es necesario usar el teorema de ejes paralelos, es decir trasladarlo del eje yc al eje y.
Finalmente para toda la la figura:
1907
El producto de inercia respecto a los
ejes x e y.
El producto de inercia de la figura compuesta es:
Rectángulo:
Un rectángulo tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales, por lo cual el producto de inercia es cero respecto a estos.
=
= (2)= 256 p4
√(
)
( )
Triángulo: Un Triángulo no tiene simetría respecto a ningún eje centroidal, por lo cual el producto de inercia no es cero respecto a estos. De la tabla de productos de inercia respecto a los ejes centroidales
es:
, el signo negativo es
porque el triángulo tiene una pendiente negativa.
=
=
Finalmente :
Los momentos de inercia
principales.
Datos:
1907 ,
Al sustituir estos datos en la formula anterior obtenemos:
7
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PROBLEMA 5 La figura muestra una lamina homogénea de espesor constante, determine:
Momento de inercia respecto a los
ejes x e y.
Los momentos de inercia respecto a
los ejes xC e yC (CENTROIDALES DE
TODA LA FIGURA).
y(+) B 1”
7” A x(+) Figura 1 2” 6”
Momento de inercia respecto al eje x
de toda la lámina.
Rectángulo A: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje x del rectángulo coincide con el eje x de la figura compuesta, por lo tanto no se utiliza el teorema de ejes paralelos.
Rectángulo B: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje x del rectángulo no coincide con el eje x de la figura compuesta, por lo tanto se utilizará el teorema de ejes paralelos para trasladarlo de xc al eje x.
5” 1” 3.5” 6.5”
Figura 2 En la figura se muestra la posición del centroide de cada figura:
Momento de inercia
respecto al eje y de toda la
lámina.
Rectángulo A: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje y del rectángulo coincide con el eje y de la figura compuesta, por lo tanto no se utiliza el teorema de ejes paralelos.
Rectángulo B: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje y del rectángulo no coincide con el eje y de la figura compuesta, por lo tanto se utilizará el teorema de ejes paralelos para trasladarlo de yc al eje y.
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Coordenadas del centroide de la
figura completa.
∑
∑
∑
∑
Los momentos de inercia respecto a
los ejes xC e yC (CENTROIDALES DE
TODA LA FIGURA).
Para determinar de toda la figura
conocemos:
,
Utilizamos el teorema de ejes paralelos para trasladarlo del eje x al eje xc.
Sustituyendo
Despejando
, obtenemos :
Para determinar de toda
la figura conocemos:
,
Utilizamos el teorema de ejes paralelos para trasladarlo del eje y al eje yc.
Sustituyendo
Despejando
, obtenemos :
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VIGAS: SON ELEMENTOS ESTRUCTURALES QUE SOPORTAN
CARGAS ESTATICAS (ACTÚAN PERMANENTEMENTE SOBRE LA VIGA, EJEMPLO SU PROPIO PESO, EL PESO
DE LA LOSA ETC.) DINAMICAS, (ACTÚAN TEMPORALMENTE SOBRE LA VIGA, EJEMPLO: PESO
DE PERSONAS ESCRITORIOS).
W
W: Representa la carga por unidad de
longitud.*
+
F W
F: La fuerza debida a la carga distribuida actúa en el centroide, y es igual:
F =∫
= área bajo la curva entre w y x.
PROBLEMA 1 Para la viga mostrada calcule las reacciones en A y B.
W1 = 800
W2 = 500
A 2 m B 1 m F1 F2
By
A
,
F = área bajo la curva entre w y x, el área de un triángulo para estos casos.
F1 =
(
)
F2 =
(
)
∑ +
∑ +
Sustituyendo ,
obtenemos:
Problema 2 Para el marco mostrado determine las reacciones en los pasadores A,B,C, despreciando los pesos de los elementos. 80 lb/p B 200 lb 5 p
10 p A C 12 p
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( )
Primero, se elabora un diagrama de las fuerzas que actúan sobre todo el bastidor. En A y C son dos reacciones debido a que son pasadores. 1/3 (12) = 4 p
F
80 lb/p
B
5 p 200 lb
10 p
A Ax Cx Ay Cy
12 p F es el area triangular
F =
(
)
Luego aplicamos las condiciones de equilibrio: ∑ +
∑ +
Sustituyendo , obtenemos:
Posteriormente, el bastidor se compone de dos elementos AB y BC, se analizan por separado y se elabora el diagrama de fuerzas que actúan sobre cada elemento, aplicando las condiciones de equilibrio.
ELEMENTO AB.
8 p F
B BX
By 200 lb
A Ax Ay = Luego aplicamos las condiciones de equilibrio: ∑ +
∑ +
Sustituyendo ,
obtenemos:
∑ +
Sustituyendo , obtenemos:
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ELEMENTO BC.
Bx=0 lb Cx = 0 lb
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