Universidad Simón Bolívar
Mecánica de Materiales II:Flexión en Vigas Asimétricas
Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar
Universidad Simón Bolívar
• Introducción• Introducción
• Vigas asimétricas a flexión• Vigas asimétricas a flexión
• Ejes principales de Inercia• Circulo de Mohr
• Ejes principales de Inercia• Circulo de Mohr
• Ejercicio• Ejercicio
Contenido
Universidad Simón Bolívar
Viga de sección asimétrica sometida a la acción de un momento flector
MR
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Vista de la sección transversal de la viga
x
y
MR
Eje Neutro
MY
Mx
dA
x
y
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
z
y
MX MX
S1 S2
e fy
dz
inicial Longitud0 == llef
Eje neutro
Viga antes de ser sometida a la acción del momento MX - (Plano YZ)
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
MX MX
S1 S2
e’ f ’y
Eje neutro
dz
final Longitud'' == ffe lldθ
ρ
Acción del momento MX - (Plano YZ)
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
z
x
MY MY
S1 S2
e fx
dz
inicial Longitud0 == llef
Eje neutro
Viga antes de ser sometida a la acción del momento MY - (Plano XZ)
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
MY MY
S1 S2
e’ f ’x
Eje neutro
dz
final Longitud'' == ffe lldθ
ρ
Acción del momento MY - (Plano XZ)
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Vista de la sección transversal de la viga
x
y
MR
Eje Neutro
MY
MX
dA
X
y
Centro geométrico
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Conclusión:•El origen del sistema principal de inerciaestá ubicado en el centro geométrico de lasección transversal.
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
x
y
MR
Eje Neutro
MY’
MX’
y’
x’
MY
MX θ
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
dA
x
y
x’y’
Universidad Simón Bolívar
Sean 2 sistemas de coordenadas XY y X’Y’:θCosx ⋅θSeny ⋅
θCosy ⋅θSenx ⋅
y
xθ
y
x
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Momentos Principales de Inercia:Un sistema principal de inercia es aquel en elque los valores de inercia son los valoresmáximos y mínimos.
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Conclusiones:•Para los Ejes Principales de Inercia laorientación viene dada porθ.•El producto de inercia es cero para los EjesPrincipales de Inercia.
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Círculo de Mohr de la Inercia (Método gráfico)
I2 I12θ
2yx II +
( )xyx II ,
( )xyy II −,
I
Ixy
( )2
2
1 22 xyyxyx I
IIIII +
−+
+= ( )2
2
2 22 xyyxyx I
IIIII +
−−
+=
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Círculo de Mohr de la Inercia (Método gráfico)
I2 I1I
Ixy
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
y
x2θ
θ
( )xyx II ,
( )xyy II −,
Universidad Simón Bolívar
( )2
2
2 22 xyyxyx I
IIIII +
−−
+=
( )2
2
1 22 xyyxyx I
IIIII +
−+
+=
En resumen:
( )yx
xy
II
Itg
−⋅
−=2
2θ
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Conclusiones:•Todoeje de simetríaes un Eje Principal deInercia•Todo eje perpendicular a un eje de simetríaque pase por el centro geométrico es un EjePrincipal de Inercia
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Centro geométrico
Eje perpendicular
Eje de simetría
Ejemplo:
Introducción Vigas a flexiónEjes
Principales de Inercia
Ejercicio
Ejes principales de inercia
Universidad Simón Bolívar
z
y2500 mm
5000 mm
200 Kgf
Sección transversal
Determine los ejes principales así como losmomentos aplicados:
Perfil L-65x7x65
Perfil I-160
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Procedimiento:
x1
y1
x2
y2
x
y
x1
y1
x2
y2I 1
I 2
θ
MM2
M1
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Pasos para la resolución del problema:•Cálculo de la sección transversal más crítica•Ubicación del centro geométrico del perfil compuesto
x1
y1
x2
y2
x0
y0
1,85 cm
17,85 cm
3,7 cm
8 cmy
x
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Pasos para la resolución del problema:•Traslado de las inercias
•Perfil I•Perfil L
x2
y2
x2
y2
x1
y1
x1
y1
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
Pasos para la resolución del problema:•Traslado de las inercias
•Perfil L (Detalle importante)
x1
y1
Eje perpendicular Eje de simetría
Para el sistema x1y1, existe un producto de InerciaIx1y1
que hay que trasladar porque no son ejes principales deinercia.
θ
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
( )2
2
2 22 xyyxyx I
IIIII +
−−
+=
( )2
2
1 22 xyyxyx I
IIIII +
−+
+=
( )yx
xy
II
Itg
−⋅
−=2
2θ
Pasos para la resolución del problema:•Cálculo de las inercias principales
x
y
I 1
I 2
θ
M
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
I 1
I 2
MM2
M1
Pasos para la resolución del problema:•Cálculo de los Momentos
θ
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
Universidad Simón Bolívar
I 1
I 2
Pasos para la resolución del problema:•Cálculo del eje neutro•Visualización de los puntos mas críticos•Cálculo de los esfuerzos
Eje Neutro
β
A
B2
2
1
1
I
xM
I
yM AAA
⋅+⋅=σ
yA
xA
yB
xB
2
2
1
1
I
xM
I
yM BBB
⋅+⋅=σ
Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio
( )21
12
IM
IMtg
⋅⋅=β
M
θ
M2
M1