MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL CON RELAJACIÓN
DEFINICIÓN
El método de relajación presenta una ligera modificación al método Gauss-Seidel porque permite mejorar la convergencia, ya que, después de que se calcula cada nuevo valor de x, éste se modifica mediante un promedio ponderado de los resultados anterior y actual.
El es un factor ponderado que tiene un valor entre 0 y 2..
anteriori
nuevoi
nuevoi xxx )1(
Si =1, (1 ) es igual a cero por lo tanto el resultado no se modifica y la ecuación se transforma en la ecuación para Gauss-Seidel. Cuando < 1 el método es conocido como sub-relajación el cual se emplea comúnmente para hacer que un sistema no convergente, converja o apresure la convergencia al amortiguar las oscilaciones.Cuando > 1 es conocido como sobre-rrelajación; se utiliza cuando la convergencia se mueve en la dirección correcta hacia la solución verdadera, pero con una velocidad demasiado lenta.
La elección de es especificada por el problema y se determina en forma empírica.
Es más usual cuando un sistema en estudio se debe resolver de manera repetitiva. Una buena selección de ayudará a mejorar significativamente la eficiencia del método.
Generalmente, este método no se utiliza para la solución de un solo sistema de ecuaciones.
Ejemplo Emplee el método de Gauss-Seidel con
relajación para resolver (=0.90 y a = 5%):
-5 X1 + 12 X3 = 80 4 X1 – 1 X2 – 1 X3 = - 2 6 X1 + 8 X2 = 45
Si es necesario reordene las ecuaciones para que el sistema converja.
Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente:
45
2
80
86
114
125
3
2
1
x
x
x
Verificando el criterio de convergencia:
?¿
?¿
?¿
323133
232122
131211
aaa
aaa
aaa
n
ij
jjiii aa
1,,
Resolviendo esta ecuación para un sistema de 3 x 3 obtenemos:
Esto quiere decir que el elemento diagonal debe ser mayor al elemento fuera de la diagonal para cada fila. Por tanto reorganizamos el sistema de la siguiente forma:
80
45
2
125
86
114
3
2
1
x
x
x
512
68
114
Ahora se puede asegurar la
convergencia con este arreglo.
Las siguientes formulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las interacciones.
11
31321211 a
xaxabx
22
32312122 a
xaxabx
33
23213133 a
xaxabx
anteriori
nuevoi
nuevoi xxx )1(
Para calcular el primer valor de X1, se asumirán X2 y X3 con valores cero. Entonces para X1:
11
31321211 a
xaxabx
50000.04
0)1(0)1(2
1
1
x
x
Para calcular el valor de X2 , se utilizará solamente el valor encontrado de X1, dado que a23 es cero.
22
32312122 a
xaxabx
00000.68
)50000.0()6(45
2
2
x
x
Para calcular el valor de X3, se utilizará solamente el valor encontrado de X1, dado que a32 es cero.
33
23213133 a
xaxabx
45833.612
)50000.0()5(80
3
3
x
x
Para la segunda iteración en el cálculo de X1 el valor de X2 y X3 serán los calculados en la primera iteración, seguidamente se le aplicará la ponderación con el factor . Entonces para X1:
11
31321211 a
xaxabx
61458.24
45833.6)1(0000.6)1(2
1
1
x
x
Aplicando la ponderación.
30313.2
)50000.0()9.01(61458.29.0
)1(
1
1
111
nuevo
nuevo
anteriornuevonuevo
x
x
xxx
Para la X2 se utiliza solamente el valor X1 de la segunda iteración dado que a23 es cero.
89766.32
22
32312122
x
a
xaxabx
10789.4
)0000.6()9.01(89766.39.0
)1(
2
2
222
nuevo
nuevo
anteriornuevonuevo
x
x
xxx
Aplicando la ponderación.
Para la X3 se utiliza solamente el valor X1 calculado en la segunda iteración dado que a23 es cero.
62630.73
33
23213133
x
a
xaxabx
50951.7
)45833.6()9.01(62630.79.0
)1(
3
3
333
nuevo
nuevo
anteriornuevonuevo
x
x
xxx
Aplicando la ponderación.
Una vez obtenidos estos resultados, se debe calcular el error aproximado porcentual para cada uno de los resultados.
%100
nuevor
anteriorr
nuevor
a x
xx
%5%71.1211 ax
%5%00.143 ax
%5%06.462 ax
Dado que en las tres incógnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe hacer una nueva iteración. Se continúa realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores de X obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales de las tres incógnitas sean menores que el 5%.
Siguiendo el mismo procedimiento se obtiene el siguiente cuadro de resultados
Iteración x1 x2x3 a x1 a x2 a x3
0 0,00000 0,00000 0,00000
1 -0,50000 6,00000 6,45833
2 2,30313 4,10789 7,50951 121,71% 46,06% 14,00%
3 2,39423 3,85719 7,64879 3,81% 6,50% 1,82%
4 2,37827 3,84289 7,65673 0,67% 0,37% 0,10%
Si sustituimos estos valores en las ecuaciones originales para verificar los resultados obtenemos que:
98941.79)65673.7(22)84289.3(5)37827.2(5
01271.45)65673.7(2)84289.3(21)37827.2(5
98655.1)65673.7(3)84289.3(2)37827.2(17
Al calcular los porcentajes de error de estos resultados se obtiene lo siguiente:
%01.0%10080
98941.7980
%03.0%10045
01271.4545
%67.0%1002
)98655.1(2
3
2
1
EC
EC
EC
Error
Error
Error
De acuerdo con estos datos se puede observar que los resultados obtenidos son una aproximación muy buena de los valores verdaderos.