Universidad Nacional Autonoma de Honduras
Escuela de MatematicasMM-201 Calculo I
Lic. Carlos Miguel Cruz Rodas
Teorema 0.1. Si la funcion g es diferenciable en x y la funcion f es diferenciable en g(x), entonces la funcioncompuesta (f ◦ g)(x) es diferenciable en x, y (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) en la notacion de Leibniz’s si y = f(u) yu = g(x), entonces
dy
dx=
dy
du
du
dy
Teorema 0.2. Si H(x) = (f(x))nentonces H ′(x) = n (f(x))
n−1f ′(x)
Teorema 0.3. 1. Dx (sin(u)) = cos(u)Dxu
2. Dx (cos(u)) = − sin(u)Dxu
3. Dx (tan(u)) = sec2(u)Dxu
4. Dx (cot(u)) = − csc2(u)Dxu
5. Dx (sec(u)) = sec(u) tan(u)Dxu
6. Dx (csc(u)) = − csc(u) cot(u)Dxu
En los siguientes ejercicios calcule la derivada de la funcion
1. f(x) = (2x+ 1)3 2. f(x) = (10− 5x)4 3. F (x) = (x2 + 4x− 5)4
4. g(s) = (2s4 + 8s2 + 3)6 5. H(z) = (z3 − 3z2 + 1)−3 6. f(x) = (x2 + 4)−2
7. f(x) =
(x− 7
x+ 2
)8. w(x) = (4x2 + 7)2(2x3 + 1)4 9. f(t) =
(2t2 + 1
3t3 + 1
)2
10. f(x) = sin(x2) 11. y = 4 cos(3x)− 3 sin(4x) 12. f(x) = cos(3x2 + 1)
13. f(x) = sec2(x) tan2(x) 14. f(x) = 2 sin3(t) 15. f(x) =(tan2(x)− x2
)316. f(x) = 5 sin(x2 + π) + 3 cos(x+ 3) 17. f(x) = tan(x2)− cot(
1
x2) 18. f(x) =
sin(√x) + cos(x)
sin(√x)− cos(x)
19. f(x) = 2 sin(x)− (x2 − 2) cos(1
x) 20. f(x) =
(ax+ b
c
)3
a,b y c ∈ R 21. g(T ) = (2a+ 3bT )2a,b ∈ R
22. g(x) =3√a+ bx3 a,b ∈ R 23. f(x) =
(a
23 − x 2
3
) 32
a ∈ R 24. f(x) = (3− 2 sin(x))5
1
25. f(x) =√
1− x2 26. f(x) =3
56(2x− 1)7− 1
24(2x− 1)6− 1
40(2x− 1)5
27. f(x) = tan(x)− 1
3tan3(x) +
1
5tan5(x)
28. f(x) =√
cot(x)−√tan(x) 29. f(x) = 2x+ 5 cos3(x) 30. x(t) = csc2(t) + sec2(t)
31. f(x) =
√3 sin(x)− 2 cos(x)
532. f(x) =
√1 + x hallar f(3) + (x− 3)f ′(3)
En los siguientes ejercicios encuentre el valor de (f ◦ g)′(x) en el valor de x dado
1. f(u) = u5 + 1 , u = g(x) =√x ; x = 1
2. f(u) = 1− 1
u, u = g(x) =
1
1− x; x = −1
3. f(u) = cot(πu
10) , u = g(x) = 5
√x ; x = 1
4. f(u) = u+1
cos2(u), u = g(x) = πx ; x =
1
4
5. f(u) =2u
u2 + 1, u = g(x) = 10x2 + x+ 1 ; x = 0
6. f(u) =
(u− 1
u+ 1
), u = g(x) =
1
x2− 1 x = −1
En los siguientes ejercicios y = f(u) y u = g(x) encontrardy
dx= f ′(g(x))g′(x)
1. y = 6u− 9 , u =1
2x4
2. y = 2u3 , u = 3x+ 1
3. y = cos(u) , u = sin(x)
4. y = tan(u) , u = 10x− 5
5. y = cos(u) , u =x
3
6. y = sin(u) , u = x− cos(x)
En los siguientes ejercicios escriba la funcion en la forma y = f(u) y u = g(x), luego encuentredy
dxcomo una funcion
de x
1. y = (2x+ 1)5 2. y =(1− x
7
)−73. y =
(x2
8+ x− 1
x
)4
4. y =(x2− 1)−10
5. y =
(x
5− 1
5x
)5
6. y = (4− 3x)9
2
Encontrar las derivadas de las siguientes funciones
1. s(t) =4
3πsin(3t) +
4
5πcos(5t)
2. s(t) = sin(3πt
2) + cos(
3πt
2)
3. r(θ) = (csc(θ) + cot(θ))−1
4. r(θ) = − (sec(θ) + tan(θ))−1
5. y = x2 sin4(x) + x cos2(x)
6. y =1
xsin−5(x) +
x
3cos3(x)
7. y =1
21(3x− 2)
7+
(4− 1
2x2
)−1
8. y = (5− 2x)−3
+1
8
(1 +
2
x
)4
References
[1] L. Leithold, Calculus, Oxford University Press, 1998
[2] G. Thomas, Calculus, Pearson 2005.
[3] Demidovich, Problemas y ejercicios de analisis Matematico, MIR Moscu , 1967
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