UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
MODELADO DE CADENAS DESLIZANTES
Teniendo un sistema de poleas con masa significativa dispuesto en la siguiente forma:
Observamos que la cadena de longitud L esta inicialmente equilibrada pero al correr un extremo en una cantidad X, el sistema se desequilibra y empieza a moverse. Nuestro objetivo es predecir este movimiento. Para esto usamos lo siguiente:
1. Determinamos la cantidad o longitud de cadena que origina el desequilibrio. Ejm:
( L2 +x )−( L2−x )=2 x Longitud desequilibradora2. Calculamos el peso mediante la suposición de una carga uniformemente distribuida.
(2 x)( m∗gLtotal
) Fuerza neta desequilibradora en Newtons3. Basándonos en la Segunda Ley de Newton podemos establecer el modelo.
md2 xd t2
=(2 x)( m∗gLtotal
)
d2 xd t 2
=2xmgL
Ejemplo #1
Una cadena colocada sobre una clavija pulida pende 8 dm de un lado y 10 dm del otro. Si la fuerza de rozamiento es igual al peso de 1 dm de cadena, hallar el tiempo que tarda la cadena en resbalarse.
Segmento desequilibrador:
(10 + x) – (8 – x) = 2+ 2 x
Entonces
md2 xd t2
= [ (10+ x )−8+x ]
¿ 1+2x mg18
d2 xdt2
−19gx= 1
18g
m2−19g=0
m2−19g=0
m=±√ g9Operadores anuladores
D ¿)=0
A=−12
Entonces,
x (t )=c1 e√ g9 t+c2 e−√ g9 t−12
Cuando t = 0, x = 0
0=c1+c2−12
c2=(12−c2)Cuando t = 0, v = 0
0=√ g9 c1-√ g9 c2
c2=c1
x (t )= 14e√g9t+14e
−√ g9 t−12
Entonces, la cadena cae cuando x = 8 dm
x (t )= 142 [Ch(√ g9 t)]-12
x (t )=12 [Ch(√ g9 t) ]-12
8=12Ch(√ g9 t )-12
17=Ch(√ g9 t )t=Ch−1 17
√ g9
t=3ch−1 (17 )
√ gsegundos
Operadores Anuladores
D( 16 g)=0 A=-1
EJEMPLO #2Una cadena de 6 dm de largo empieza a moverse colgando 1 dm sobre el borde. Despreciando el rozamiento, calcular el tiempo necesario para que se resbale por completo.
Fuerza desequilibradora
(1+x )mg6
Entonces
md2 xd t2
=(1+x )6
mg
d2 xd t 2
−16gx=1
6g
m=±√ g6x (t )=1
2e√g6t+ 12e−√ g6 t−1
Ahora la caída se da cuando x=5
2 x=Ch(√ g6 t)−2( x+1 )=Ch(√ g6 t)√ g6 t=Ch−1(x+1)
t=√ 6g ln ( x+1+√x2+2x )
t=√ 6g ln (6+√35) Segundos
Ejemplo 33. Se ha colocado una cadena sobre una clavija pulida, colgando de un lado, 8 m y del otro 12 m. Hallar la distanciaa) A los 0.5 segundosb) Al segundo
Cuandot=0 .5x ( t )=0 .24mCuandot=1x ( t )=1m
(12+x )−(8−x )=4+2 x
(4+2 x )mg20
=F .Desequilibrio
d2 x
dt 2−4g20
−2 gx20
=0→d2 x
dt 2−110gx=1
5g
Entonces
n=±√g10x( t )=C1e
√g10 t+C2e−√g10 t−2Parat=0 , x=00=C1+C2−2→C2=2−C1Parat=0 , x '(0 )
0=√g10 C1e√g10 t−√ g10 C2e−√g10 t
0=√g10 C1−√g10 C2C1=1 ,C2=1
x( t )=e√g10t
+e−√g10 t−2