Modelado de circuitos con ED de orden superior
JUAN CAMILO SACANAMBOY
UNIVERSIDAD ICESI
Elementos básicos de un circuito
1. Resistencias 2. Fuentes de voltaje 3. Capacitores 4. Inductores
Fuente: http://mantenimientolia7uaem.blogspot.com/2010/10/circuitos-electricos.html
Resistencia
• Oposición al flujo de la corriente • Unidad de medida ( Ohm - Ω ) • Comportamiento lineal
Fuente:http://electrof.galeon.com/pag5.htm
Fuentes de voltaje
• Generan diferencia de potencial para que circule corriente a través del circuito.
• Unidad de medida (Volts – V)
Fuente: http://mikrog.com/conceptos-basicos/parte-i/13-ique-es-una-fuente-de-voltaje.html
Capacitor
• Almacenan energía en forma de campo eléctrico • Períodos de carga y descarga • Almacenar y ceder energía eléctrica en los
períodos definidos. • Unidad de medida (Farad –F)
Fuente: http://www.ladyada.net/images/parts/1000uf.jpg
Inductor
• Almacenan energía en forma de campo magnético
• Se oponen a los cambios bruscos de la corriente
• Unidad de medida (Henrio – H)
• Fuente: http://www.clker.com/cliparts/6/9/a/8/1223615567190235753rsamurti_RSA_IEC_Inductor_Symbol-
1.svg.med.png
Partes de un circuito
1. Mallas
2. Nodos
Malla
• Camino cerrado en un circuito eléctrico
Fuente: http://www.danielmunoz.com.ar/blog/wp-content/uploads/2009/12/c16.JPG
En cada malla hay una corriente 𝐼𝑛 diferente
2 mallas 3 mallas
Nodo
• Punto donde 2 o más elementos tienen una conexión común
Nodos: (a, b, c, d, e, f)
Ley de Ohm
Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_jeU9YFb25fk/SYCmJix0OwI/AAAAAAAAAI8/_QzFWnWQWLU/s400/ley+de+ohm.gif
Leyes de Kirchhoff
• Ley de voltajes (LVK) Método de mallas
• Ley de corrientes (LCK) Método de nodos
LVK-Ley de Voltajes
• La suma de voltajes en una malla es igual a cero.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kirchhoff
Aplicando LVK y Ley de Ohm
• Calcular 𝑉𝑅1 (Voltaje en la resistencia R1), usando LVK y Ley de Ohm
Solución
i
−5𝑉 + 𝑉𝑅1 = 0 LVK −5𝑉 + (𝐼𝑅1 × 𝑅𝑅1) Ley de Ohm
−5𝑉 + 𝑖 × 1Ω = 0
𝑖 =5𝑉
1 Ω= 5 𝐴 Corriente de la malla
Voltaje en R1: 𝑽𝑹𝟏 = 𝐼𝑅1 × 𝑅𝑅1 = 5𝐴 × 1Ω = 5𝑉
¿Por qué se usan ED para modelar circuitos?
• Cuando se involucran componentes que no tienen un comportamiento lineal (Capacitores e inductores).
Sistema
• Sistemas LTI: Lineales e invariantes en el tiempo • h Función de transferencia!!
ℎ x y
Sistemas LTI • Lineales
a =constante
h x y
h ax ay
h x1 y1
h x2 y2
h x1+x2 y1+y2
Sistemas LTI
• Invariantes en el tiempo
– Comportamiento
– Características Fijos en el tiempo
ℎ(t) x(t) y(t)
ℎ(t) 𝑥(𝑡 − 𝑡0)) 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
h(t) Función de transferencia!!
Circuito RLC
• Resistencia (R), Inductor (L), Capacitor(C)
• Filtrado de frecuencias (paso bajo, paso alto).
i
Fórmulas
Resistencia Capacitor Inductor
𝑉𝑅 = 𝐼𝑅 × 𝑅𝑅 𝑉𝐶 =
1
𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝐼𝑅 = 𝑉𝑅𝑅𝑅
𝐼𝐶 = 𝐶 𝑑𝑉
𝑑𝑡 𝐼𝐿 =
1
𝐿 𝑉 𝑡 𝑑𝑡
Resolver por mallas
−𝑥 𝑡 + 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 + 𝑉𝑐 = 0
−𝑥 𝑡 + 1𝑑𝑖
𝑑𝑡+ 10𝑖 + 𝑉𝑐 = 0
−𝑥 𝑡 +𝑑𝑖
𝑑𝑡+ 10 𝑖 + 𝑦 𝑡 = 0 , 𝑉𝑐 = 𝑦(𝑡) Salida
La corriente es la misma en toda la malla:
𝑖 = 𝐼𝐶 = 𝐶𝑑𝑦
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡
i
Reemplazando −𝑥 𝑡 +
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ 10
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 = 0
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒕𝟐+ 𝟏𝟎
𝒅𝒚
𝒅𝒕+ 𝒚 𝒕 = 𝒙 𝒕
x(t) Entrada del sistema
i) Homogénea
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ 10
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 =0
Ecuación auxiliar 𝑠2 + 10𝑠 + 1 = 0
𝑟1 = −0.1 𝑟2 = −9.9
Solución del homogéneo
𝒚𝑪 𝒕 = 𝑪𝟏𝒆−𝟎.𝟏𝒕 + 𝑪𝟐𝒆
−𝟗.𝟗𝒕
ED que representa al sistema
Hallar la función de transferencia H(t)
• Método de variación de parámetros
– Ecuación 𝑑2𝑦
𝑑𝑥+ 𝑘
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ +𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) , Raíces: 𝑦1 y 𝑦2
– Hallar solución particular 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 , donde:
𝑢1′ =
𝑊1
𝑊 𝑢2
′ =𝑊2
𝑊
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′
𝑊1 =0 𝑦2𝑓(𝑥) 𝑦2′
𝑊2 =𝑦1 0
𝑦1′ 𝑓(𝑥)
Hallar la función de transferencia H(t)
– Retomando: 𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ 10
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡
𝑦1 𝑡 = 𝑒−0.1𝑡 𝑦2 𝑡 = 𝑒
−9.9𝑡
𝑊 = 𝑒−0.1𝑡 𝑒−9.9𝑡
−0.1𝑒−0.1𝑡 −9.9𝑒−9.9𝑡 = −9.9𝑒−𝑡 + 0.1𝑒−𝑡 = −9.8𝑒−𝑡
𝑊1 = 0 𝑒−9.9𝑡
𝑥(𝑡) −9.9𝑒−9.9𝑡= −𝑥(𝑡)𝑒−9.9𝑡
𝑊2 =𝑒−0.1𝑡 0
−0.1𝑒−0.1𝑡 𝑥(𝑡)= 𝑥(𝑡)𝑒−0.1𝑡
Hallar la función de transferencia H(t)
𝑢1′ =
−𝑥 𝑡 𝑒−9.9𝑡
−9.8𝑒−𝑡 𝑢2
′ = 𝑥 𝑡 𝑒−0.1𝑡
−9.8𝑒−𝑡
𝑢1 = −𝑥 𝑡 𝑒−9.9𝑡
−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡 𝑢2 =
𝑥 𝑡 𝑒−0.1𝑡
−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡
𝑢1 = −𝛿 𝑡 𝑒−9.9𝑡
−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡 𝑢2 =
𝛿 𝑡 𝑒−0.1𝑡
−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡
Se pone como entrada 𝑥(𝑡), a la función impulso
(también llamada función delta de dirac) 𝛿(𝑡)
Hallar la función de transferencia H(t)
• Función impulso δ(x)
𝛿 𝑥 = ∞, 𝑥 = 0
0, 𝑥 ≠ 0
Dato curioso: Al aplicar como entrada una función impulso a un sistema LTI, la salida del sistema es la función de transferencia h(t) !!!!
Hallar la función de transferencia H(t)
• Propiedad de la función impulso δ(t)
𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡0)
Hallar la función de transferencia H(t)
𝑢1 =1
9.8 𝑢2 =
−1
9.8
𝑦𝑝 =1
9.8𝑒−0.1𝑡 −
1
9.8𝑒−9.9𝑡
𝒉 𝒕 =𝟏
𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −
𝟏
𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕
Función de transferencia del sistema
Representación del sistema LTI
𝒉 𝒕 =𝟏
𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −
𝟏
𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕
x(t) y(t)
Salida de un sistema LTI
• Teniendo la función de transferencia ℎ(𝑡), se puede determinar cual es la salida del sistema 𝑦(𝑡) , dada una entrada 𝑥(𝑡) , por medio de la convolución
• Convolución
𝑟 𝑡 ∗ 𝑠 𝑡 = 𝑟 𝜏 𝑠 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞
−∞
Convolución de un pulso cuadrado (entrada) ante el impulso de un condensador
Salida del sistema
Fuente: Wikipedia
Salida de un sistema LTI
• Para calcular la salida 𝑦 𝑡 del sistema LTI: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)
𝒉 𝒕 =𝟏
𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −
𝟏
𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕
x(t) y(t) = x(t) *h(t)
Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)
• Función escalón unitario
𝜇 𝑡 = 1, 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0
Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)
• Hallando la salida 𝑦 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 𝜇 𝑡
Se añade una función escalón a la función de transferencia, para indicar que no se tenga en cuenta los valores donde t<0
Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)
𝑦 𝑡 = 𝜇 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝜇(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
La función 𝜇(𝑡), indica que sólo se debe calcular la integral a partir de 𝑡 ≥ 0 La función 𝜇 𝑡 − 𝜏 , indica que sólo se debe calcular la integral para 𝜏 ≤ 𝑡
𝜇 𝑡 − 𝜏 = 1 cuando 𝑡 − 𝜏 ≥ 0
Con esto, cambian los límites de integración.
Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)
𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
𝑦 𝑡 = 1
9.8𝑒−0.1(𝑡−𝜏) −
1
9.8𝑒−9.9 𝑡−𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
𝑦 𝑡 = 1
9.8𝑒−0.1𝑡𝑒0.1𝜏𝑑𝜏 −
1
9.8𝑒−9.9𝑡𝑒9.9𝜏𝑑𝜏
𝑡
0
𝑡
0
𝑦 𝑡 =1
9.8𝑒−0.1𝑡 𝑒0.1𝜏𝑑𝜏 −
1
9.8𝑒−9.9𝑡 𝑒9.9𝜏𝑑𝜏
𝑡
0
𝑡
0
𝑦 𝑡 =1
9.8𝑒−0.1𝑡 10𝑒0.1𝑡 − 10 −
1
9.8𝑒−9.9𝑡
1
9.9𝑒9.9𝑡 −
1
9.9
𝒚 𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟑𝒆−𝟗.𝟗𝒕 − 𝟏. 𝟎𝟐𝟎𝟒𝒆−𝟎.𝟏𝒕 + 𝟏. 𝟎𝟏𝟎𝟏
Salida del sistema ante una entrada escalón
Simulaciones
• Gráfica de la salida en MATLAB
Simulaciones
• Simulación del sistema en Simulink, usando la transformada de LaPlace para representar H(t)
Resumen
Herramienta Utilidad
Función impulso 𝛿(𝑡) Si 𝑥 𝑡 = 𝛿(𝑡) , 𝑦 𝑡 = ℎ(𝑡)
Convolución 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)
LaPlace Simplificación de operaciones
Método de variación de parámetros Hallar h(t)
ℎ(t) x(t) y(t)