MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
Tema A3b Mecanismos y Robótica: Dinámica de Levas
“Modelado Dinámico de Parámetros Concentrados de un Mecanismo tipo pick and place Modulado por Levas”
Pedro Zatarain Bernala,a, Juan Carlos Franco Ortegaa,b, Carlos Francisco González Hernándeza,c aTecnológico Nacional de México/ Instituto Tecnológico de Mazatlán, Corsario 1 No. 203 Col. Urias, Mazatlán, Sinaloa, C.P.82070, México. [email protected]; b [email protected]; [email protected]
R E S U M E N
Las máquinas de ensamble de movimiento intermitente requieren que la pieza de trabajo se detenga para cada
operación de ensamblaje. Este movimiento limita la velocidad, y por lo tanto la tasa de producción del aparato. Las
máquinas de ensamble de movimiento continuo no permiten que se detenga la pieza de trabajo, por consiguiente, son
capaces de tener altas velocidades de rendimiento. El dispositivo pick and place con movimiento en el plano modulado
por levas puede lograr con claridad y eficacia el movimiento curvilíneo deseado del efector final para lograr una
operación de tomar y colocar en líneas de ensamble de movimiento continuo. La cinemática del efector final, el modelado dinámico de parámetros concentrados de 1 GDL, la dinámica inversa o análisis cinetostático, el par de torsión
y el volante de inercia para el dispositivo pick and place para líneas de ensamble de movimiento continuo es analizado
en este trabajo.
Palabras Clave: Mecanismo modulado por levas, máquinas de ensamble de movimiento continuo, modelado dinámico de parámetros concentrados .
A B S T R A C T
Intermittent motion assembly machines require that the workpiece be stopped for each assembly operation. This starts
and stop motion limits the speed, and thus the production rate, of the apparatus. Continuous motion assembly machines
never allow the workpiece to stop and thus are capable of higher throughput speeds. All operations are performed on a
moving target. Since the assembly line is moving at some constant velocity, there is a need for mechanism to provide
constant velocity motion. The planar-cam type pick and place device can clearly and effectively achieve the desired
curvilinear motion of its end effector to achieve a pick and place operation in a continuous motion assembly. The kinematic of the end effector, the single degree of freedom model, the inverse dynamic, the torque and the flywheel of
the pick-and-place device for continuous motion assembly is analyzed in this work.
Keywords: Cam modulated mechanism, continuous motion assembly machines, dynamic modeling of cam-follower systems.
1.Introducción
La ingeniería de modelado es el arte de reducir un sistema
físico a una descripción matemática para describir el
comportamiento del sistema. A diferencia de muchos
problemas familiares en matemáticas e ingeniería, el
problema de producir un modelo matemático para un
sistema dado no posee una solución única. Cada sistema
mecánico real tiene infinitos grados de libertad. Cuanto
mayor sea el grado de libertad en el modelo mayor es su
complejidad y mayor será la necesidad de precisión y
tiempo de cómputo en la simulación. Como sugiere la cita
anterior, el objetivo es rara vez crear el más detallado o realista modelo concebible, pero si será necesario construir
una representación que capture los detalles de interés en
una manera simple y concisa. La transformación de un
sistema de la realidad física a un conjunto de ecuaciones
implica, invariablemente, una cierta simplificación en la
descripción y alguna incertidumbre en la medición o
cálculo de los parámetros del modelo. Puesto que es
imposible describir un sistema físico de manera perfecta en el mundo matemático, la adecuada evaluación de la calidad
de un modelo es en realidad una evaluación de su utilidad y
no de su complejidad. [1]
En su extenso estudio de vibraciones en mecanismos de
leva, Koster [2] encontró que un modelo de 4 GDL que
incluya los efectos de la deformación por flexión y por
torsión del árbol de levas, juego en los engranes
impulsores, efectos de presión del lubricante,
amortiguamiento no lineal de coulomb y variación de la
velocidad del motor, da una buena predicción de la
respuesta medida del seguidor. Pero también encontró que
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un modelo con 1 GDL como el que se muestra en la Fig. 1
da una simulación razonable del mismo sistema.
Figura 1. Modelo de parámetros concentrados de un sistema leva-
seguidor con 1 GDL. [3]
En este sistema leva-seguidor, toda la masa que se
mueve con el tren seguidor se concentra como m, toda la
elasticidad en el sistema se concentra dentro de la
constante de resorte k, y todo el amortiguamiento o
resistencia al movimiento se concentra como un
amortiguador de coeficiente c. En la parte (c) de la Fig. 1
se muestra un diagrama de cuerpo libre del sistema
expuesto a la acción de la fuerza de la leva Fc,, la fuerza del resorte Fs, y la fuerza de amortiguamiento Fd; también se
muestran los efectos de la masa por aceleración de la 2da
ley de Newton; haciendo referencia al diagrama de cuerpo
libre de la Fig. 1, la suma de las fuerzas es:
kxxcxmFFxmFxmmaF sdc (1)
En el artículo “Diseño Cinemático de un Mecanismo
Robotizado tipo pick-and-place Modulado por Levas para
Implementación en Sistemas de Ensamble de Movimiento
Continuo [4]” se muestra el diseño cinemático y
dimensionado de las levas A y B de la Fig. 2 que modulan
el mecanismo tipo pick and place propuesto.
Figura 2. Diagrama esquemático del mecanismo tipo pick-and-
place modulado por levas.
En este trabajo se aborda la síntesis dimensional del
mecanismo de 6 barras para el movimiento vertical del
efector final y el análisis cinetostático ó dinámica inversa
del mecanismo tipo pick and place propuesto en [4] para
encontrar las fuerzas y pares del torsión del sistema
mediante el modelado dinámico de parámetros
concentrados de 1 GDL.
En la práctica, el cierre de fuerza requiere que se aplique
a la junta una fuerza externa para mantener los dos
eslabones, la leva y el seguidor, en contacto físico,
usualmente, esta fuerza es proporcionada por un resorte,
pero para claridad no se muestra en el esquema del
mecanismo tipo pick and place de la Fig. 2. Este dispositivo es en esencia un mecanismo combinado
de leva-eslabonamiento con el eje impulsor principal
localizado en O1 con una velocidad angular ω negativa de hasta 150 rpm, por lo que el tiempo para realizar un ciclo
completo de 360º es de 0.4 s. Se utilizan dos levas y dos
seguidores principales para generar el movimiento del
efector final en el plano xy. La leva A mueve un
mecanismo de 6 barras con corredera en F para generar el
movimiento vertical del efector final P. La leva B mueve
un seguidor de traslación principal (G-I) en H que
transmite el movimiento a un seguidor de traslación
secundario flotante en la chumacera con rodamiento lineal
J unido a la corredera en F para generar el movimiento
horizontal del efector final P. Un tren de banda sincronizante transmite movimiento desde el eje principal
O1 hasta el eje de la banda transportadora síncrona O4
que llevará los objetos a ensamblar con una relación en la
velocidad angular de 1:0.5.
Con la combinación de los movimientos vertical y
horizontal, el efector final P seguirá una trayectoria
curvilínea en el plano xy realizando la operación de pick
and place de acuerdo con el diagrama de temporización
que aparece en la Fig. 3, las especificaciones para el diseño
de las levas y el control del efector final P (pinzas
neumáticas) se muestran en este diagrama de
temporización, obviamente, todas estas operaciones deben de mantenerse en perfecta sincronía y fase de tiempo para
que el mecanismo funcione.
Figura 3. Diagrama de temporización para el diseño de las levas.
A partir de este diagrama de temporización de la Fig. 3
se realizó el diseño cinemático de las dos levas tomando en
cuenta la ley fundamental del diseño de levas que dice lo
siguiente: “la función de la leva debe ser continua por la
primera y segunda derivadas del desplazamiento a través
de todo el intervalo (360º)” [5-7] para obtener resultados dinámicos aceptables.
Una vez definidas la cinemática de las levas, el siguiente
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paso consistió en dimensionarlas, esto es establecer las
dimensiones exactas de cada una de ellas, en donde, hay
dos factores principales que afectan la dimensión de las
levas, el ángulo de presión [8] y el radio de curvatura [9].
Para mayor información relacionada con el diseño
cinemático y dimensionado de las levas A y B del mecanismo tipo pick and place propuesto consultar la
referencia [4] en donde se muestran las ecuaciones
resultantes para el diseño del perfil de las dos levas
radiales.
2. Síntesis dimensional del eslabonamiento de 6 barras
con corredera modulado por la leva A
De acuerdo con la Fig. 2, la leva A mueve un
eslabonamiento de 6 barras con corredera en F, el diseño
cinemático de esta leva se realizó en base al movimiento
del seguidor oscilatorio principal que va de O2 al centro del seguidor de rodillo. Ahora se realiza la síntesis
dimensional de este eslabonamiento que es modulado por
la leva A para obtener el comportamiento cinemático del
efector final P.
En la Tabla 1 se muestran los parámetros de los
eslabones de acuerdo con la nomenclatura del software de
diseño de levas DYNACAM [10] y en la Fig. 4 se observa
la configuración geométrica final del eslabonamiento de 6
barras con corredera modulado por la leva A en base a
estos parámetros.
Tabla 1.-Dimensiones del eslabonamiento de 6 barras con corredera.
Parámetro del eslabón Valor Unidades Ángulo desde la línea del
eslabón 2 a el brazo con
rodillo
0 º (DEG)
Longitud del eslabón 2 120 mm.
Longitud del eslabón 3 80 mm.
Longitud del eslabón 4 117.95 mm.
Coordenada del pivote
O4X -170
mm.
Coordenada del pivote
O4Y 155
mm.
Distancia desde O4 hasta
I45 en el eslabón 4 117.95
mm.
Ángulo del eslabón 4a
dentro del eslabón 4 180 º (DEG)
Longitud del eslabón 5 31.3 mm.
Offset (excentricidad) 121.4 mm.
Ángulo de la corredera 90 º (DEG)
Tipo de configuración para
los eslabones 1, 2, 3, 4 Cruzado
Tipo de configuración para
los eslabones 1, 4a, 5, 6 Cruzado
Figura 4. Diagrama esquemático del tren seguidor de seis barras con
corredera modulado por la leva A.
En la Fig. 5 se muestran las curvas de desplazamiento,
velocidad y aceleración correspondientes al movimiento
vertical del efector final P que se encuentra al final del tren
seguidor de 6 barras y en la Tabla 2 se muestran los valores
máximos (Máx) y mínimos (Mín) para estas curvas.
Figura 5. Curvas de movimiento vertical del efector final P.
Tabla 2.-Valores máximos y mínimos del movimiento vertical del
efector final P. Desplazamiento
(mm)
Velocidad
(mm/seg)
Aceleración
(mm/seg2)
Máx Mín Máx Máx Mín Máx
24.543 0 2,218.613 24.543 0 2,218.613
Las curvas de desplazamiento, velocidad y aceleración
correspondientes al movimiento horizontal del efector final
P coinciden con las curvas de movimiento de la leva B [4]
que se muestra en la Fig. 6 ya que el seguidor está en
traslación pura y en la Tabla 3 se muestran los valores Máx
y Mín para estas curvas.
Figura 6. Curvas de movimiento horizontal del efector final P. [4]
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Tabla 3.-Valores máximos y mínimos del movimiento horizontal del
efector final P. Desplazamiento
(mm)
Velocidad
(mm/seg)
Aceleración
(mm/seg2)
Máx Mín Máx Mín Máx Min
0 -72.869 1,020.5 -664.502 26,152.4 -22,635
3. Prototipo del dispositivo pick and place
Como parte de los resultados obtenidos, en la Fig. 7 se
muestra el prototipo ensamblado del dispositivo pick and
place.
Figura 7. Prototipo ensamblado del dispositivo pick and place.
Las levas A y B están montadas sobre el mismo eje O1
orientados angularmente de tal manera que se logra el
movimiento deseado del efector final de acuerdo con el
diagrama de temporización de la Fig. 3, esto se muestra en la Fig. 8.
Figura 8. Leva A y Leva B del dispositivo pick and place.
El tren seguidor de 6 barras con corredera de la leva A
inicia con el seguidor de rodillo oscilatorio principal O2-B
que se observa en la Fig. 9, este eslabón realiza
movimiento oscilatorio con respecto al pivote O2.
Figura 9. Seguidor de rodillo oscilatorio principal O2-B.
La biela B-C se muestra en la Fig. 10, este eslabón que
tiene movimiento complejo (traslación y rotación) se formó
con rótulas esféricas, este tipo de cojinete tiene la
característica de autoalinearse si las juntas de pasador en B
y en C no están completamente paralelas.
Figura 10. Biela B-C.
La palanca C-D se muestra en la Fig. 11. Este eslabón tiene movimiento de vaivén con respecto al pivote O4, una
de las consideraciones que propone Koster [2] para el
diseño de sistemas leva-seguidor, además de mantener baja
la masa del tren seguidor, es mantener cercanas a 1 las
relaciones de palanca, por tal motivo, el pivote O4 se
trasladó exactamente a la mitad de la longitud total de la
palanca C-D con lo cual se obtiene una relación de palanca
de 1 y un valor de masa efectiva pequeño, el cálculo de
esta masa efectiva se muestra en un capítulo posterior.
Figura 11. Palanca C-D.
La biela D-E se muestra en la Fig. 12, este eslabón, al
igual que la biela B-C, tiene movimiento complejo y se
forma utilizando una rótula esférica. El último eslabón del
tren seguidor de la leva A se muestra en la Fig. 13, este
eslabón realiza el movimiento de traslación en el eje
vertical y está conformado por la corredera en F, la
chumacera con rodamiento lineal J, el seguidor de
traslación secundario flotante y el efector final.
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Figura 12. Biela D-E.
Figura 13. Último eslabón del tren seguidor de las levas A y B.
El conjunto de eslabones que conforman el tren
seguidor de la leva B están en traslación pura y se compone
del seguidor principal en traslación G-I que se muestra en la Fig. 14, el seguidor en traslación secundario flotante y el
efector final que se muestran en la Fig. 13. Como se puede
constatar, el seguidor en traslación secundario flotante
forma parte tanto del tren seguidor de la leva A como del
tren seguidor de la leva B, por lo que este eslabón tiene
movimiento tanto vertical como horizontal, la combinación
de estos movimientos genera una traslación curvilínea en el
efector final para realizar la operación de pick and place.
Figura 14. Seguidor de traslación principal G-I de la leva B.
4. Modelado dinámico de parámetros concentrados de 1
GDL para el tren seguidor de la leva A
En el análisis dinámico a menudo es conveniente crear un
modelo simplificado de una parte complicada. Estos
modelos se considerarán como un conjunto de masas
puntuales conectadas por barras sin masa y se le da el
nombre de modelo de parámetros concentrados. Para que
un modelo concentrado de un cuerpo rígido sea
dinámicamente equivalente al cuerpo original, deben de
cumplirse las siguientes condiciones:
La masa del modelo debe ser igual que la del cuerpo original.
El centro de gravedad debe estar en el mismo lugar que el
del cuerpo original.
El momento de inercia de masa debe ser igual que el del
cuerpo original.
A continuación se crea un modelo dinámico equivalente
de parámetros concentrados de 1 GDL para el tren seguidor
de la leva A que se muestra en la Fig. 15, este produce el
movimiento vertical del efector final P del dispositivo pick
and place.
Figura 15. Masas concentradas para el tren seguidor de seis barras
con corredera modulado por la leva A.
En primer lugar, la masa 5 (m5) concentra la masa de la
biela E-D (0.04695 kg.), el pasador E (0.00585 kg.), el
pasador D (0.02805 kg.), de la corredera en F (0.14895
kg.), de la chumacera lineal J (0.4265 kg.) sobre la que se
desliza el seguidor de traslación secundario flotante
(0.51945 kg.) y del efector final P (0.313 kg.), dando una masa 5 total de:
m5=1.48875 kg.
La palanca angular, eslabón C-D, está en rotación con
respecto a O4 y debe de convertirse a una masa equivalente en el punto C. El momento de inercia de masa del eslabón
C-D con respecto al centro de gravedad (IGG2) se determinó
a partir del modelo sólido del eslabón en un software CAD.
Aplicando el teorema de Huygens-Steiner de la ec. (2) se
realizó la transferencia del momento de inercia con
respecto al centro de gravedad (IGG2) hacia el eje paralelo
que pasa por el punto O4 (IZZ2):
2
22md
GGI
ZZI (2)
26.711,4752
2
58.188.9027.484,4752
mmgrsZZ
I
mmgrsmmgrsZZ
I
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El radio de giro de un cuerpo se define como el radio en
el cual podría concentrarse la masa total de un cuerpo de
modo que el modelo resultante tenga el mismo momento
de inercia que el cuerpo original. A partir de la ec. (2) una
masa concentrada m a un radio r tendrá un momento de
inercia:
IZZ=mr2 (3)
A partir de la ec. (3), la masa 4 efectiva (m4efect) del
eslabón C-D colocada en C es:
kg
efectm
grsmm
mmgrs
efectm
CO
ZZI
r
ZZI
efectm
034194.04
194.34295.117
26.711,475
4
24
22
24
La masa 3 (m3) concentra la masa de la biela B-C
(0.13695 kg), el pasador B (0.02805 kg.) y el pasador C
(0.0278 kg.) dando una masa total 3 de:
m3=0.1928 kg.
El brazo seguidor oscilatorio principal O2-B, está en
rotación pura con respecto a O2, y al igual que el eslabón
C-D, debe de convertirse a una masa equivalente en el
punto B usando la ec. (2). El momento de inercia de masa
del eslabón O2-B con respecto a su centro de gravedad
IGG3 se determinó a partir del modelo del eslabón en un
software CAD. Aplicando la ec. (2) se realizó la transferencia del momento de inercia con respecto al IGG3
hacia el eje paralelo que pasa por el punto O2 (IZZ3):
298.553,2493
20835.5457.53239.860,923
mmgrsZZ
I
mmgrsmmgrsZZ
I
A partir de la ec. (3), la masa 2 efectiva (m2efect) del
eslabón O2-B colocada en B es:
.01733.0
2
33.172120
2*98.553,249
2
kgefect
m
grsmm
mmgrs
efectm
La masa 1 (m1) del seguidor de rodillo es de:
m1=0.03175 kg.
Ahora, una vez concentradas las masas de todos los
eslabones, se trasladan al punto A y esta será la ubicación
de la masa efectiva de todo el sistema. Esto requiere de la
aplicación de las relaciones de palanca presentes en el
sistema, la masa trasladada (mtras) varía de la masa original
(morig) por el cuadrado de la relación de palanca de acuerdo
con la Fig. 16. y la ec. (4).
Figura 16 - (a) Sistema físico; (b) Masa B trasladada al punto A.[3]
2
a
b
origm
trasm
(4)
Primero se transfiere la m5 a lo largo del eslabón C-D
desde el punto D al C:
.48875.15,
2
95.117
95.117 488751
5,
2
4
455,
kg@Cefect
m
mm
mm kg.
@Cefectm
CO
DOm
@Cefectm
Las fuerzas de inercia asociadas con todas las masas
móviles se refieren al plano fijo del sistema, debido a que
la aceleración en la ec. (1) es absoluta, por lo tanto, todas
las masas se conectan en paralelo. La masa combinada es
la suma de las masas individuales por lo que obtenemos la
masa en el punto C de la siguiente manera:
kgC
m
kgkgC
m
Cefectm
efectm
Cm
522944.1
48875.1034194.0
@5,4
Ahora la masa en el punto C se combina con la masa
del eslabón B-C hasta el punto B y agregamos la masa
efectiva del eslabón O2-B en ese punto.
kgB
m
kgkgkgB
m
efectmm
Cm
Bm
733074.1
01733.01928.0522944.1
23
Ahora transferimos la masa concentrada en el punto B del seguidor hacia el punto A y agregamos la masa del
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seguidor de rodillo para obtener la masa efectiva total
(mefect):
.964046.6
03175.02
60
120733074.1
1
2
2
2
kgA
m
mm
mmkg
Am
mAO
BO
Bm
Am
efectm
A continuación se muestra en la Fig. 17 el modelo de
masa concentrado para el tren seguidor modulado por la
leva A.
Figura 17. Modelo de masa concentrado del eslabonamiento de 6
barras con corredera modulado por la leva A.
Como una primera aproximación, es posible modelar
ese eslabón como una masa concentrada en translación. El
error será aceptablemente pequeño si el desplazamiento
angular del eslabón es pequeño, entonces la diferencia
entre la longitud del arco sobre un ángulo pequeño y su
cuerda es pequeña.
4.1. Análisis Cinestostático de Fuerzas y Par de Torsión
de la Leva A
Con la cinemática de la leva A totalmente definida en [4],
ahora se realiza un análisis de fuerzas cinetostático. La ec.
(1) se resuelve directamente para obtener el valor de la
fuerza en el sistema leva-seguidor cargado por resorte pero
se le agrega un término constante Fpl, que se conoce como
la precarga del resorte de retorno. La precarga de este
resorte ocurre cuando es comprimido o estirado a partir de su longitud libre hasta su longitud ensamblada inicial. Esta
es una situación necesaria y conveniente cuando se desea
alguna fuerza residual en el seguidor, aun cuando la leva
este en su desplazamiento más bajo, esto ayudará a
mantener un buen contacto físico entre la leva y el seguidor
en todo tiempo, por lo que la ec. (1) queda de la siguiente
manera:
plc FkxxcxmF
(5)
Para resolver la fuerza de la leva Fc de la ec. (5), se
suponen valores para las constantes k y la precarga Fpl del
resorte. Toda la elasticidad del sistema está concentrada en
la constante de resorte k. Las elasticidades de las partes del
seguidor también contribuyen a la k global del sistema,
pero generalmente son mucho más rígidas que el resorte
físico. Si la rigidez del seguidor está en serie con el resorte de retorno como ocurre en este dispositivo, el resorte
menos rígido en serie dominará la constante de resorte
efectiva del sistema, así, dicho resorte determina
virtualmente la k global. El valor de m se determina a partir
de la masa efectiva del sistema que se muestra en la Fig.
17, el valor de c para la mayor parte de los sistemas de
leva-seguidor puede estimarse como una aproximación
entre 0.05 a 0.15 de la 𝑐𝑐 de amortiguamiento crítico que se
define como lo muestra la ec. (6), donde ωn es la frecuencia
natural sin amortiguamiento [3]:
cn cmm
kmc 22
(6)
De la ec. (6) se define la relación de amortiguamiento ζ:
cc
c
(7)
Koster [2], encontró que un valor común para la relación
de amortiguamiento en sistemas de leva-seguidor es de
ζ=0.06. El principal interés en este análisis cinetostático es
conservar la fuerza de leva siempre con signo positivo. La
fuerza dinámica que resulta con una k de 1750 N/m y una precarga de 1125 N se muestra en la Fig. 18.
Figura 18. Fuerza cinetostática de la leva A.
En un sistema con cierre de fuerza, la leva solo puede
empujar al seguidor. El resorte del seguidor proporciona la
fuerza necesaria para mantener el contacto físico con la
leva durante los lapsos de aceleración negativa del
movimiento del seguidor. Si la fuerza Fc es negativa en cualquier momento del ciclo, el seguidor y la leva se
separaran, a esta condición se le llama salto de seguidor, lo
cual producirá que cuando se toquen de nuevo será con
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fuerzas de impacto muy intensas y potencialmente
destructivas. Se observa en la Fig. 18 que la función se
mantiene positiva en todo el ciclo por lo que se evita el
salto del seguidor.
El coeficiente de amortiguamiento c calculado es de
13.25 N seg /m para una relación de amortiguamiento ζ de
0.06, el amortiguamiento crítico cc es de 220.79 N·seg/m.
La frecuencia natural amortiguada se define como lo
muestra la ec. (8):
2
22
m
c
m
kmd
(8)
La frecuencia natural no amortiguada ωn es de 15.9
rad/seg y la frecuencia natural amortiguada ωd es de 15.8
rad/seg manteniendose arriba del valor de la frecuencia
forzada de 15.71 rad/seg, con esto, se evitará resonancia ya
que el sistema leva-seguidor nunca alcanzará la frecuencia
natural amortiguada. La fuerza máxima durante el ciclo es
de 2,247.946 N. Se dejó un margen de seguridad
manteniendo la fuerza mínima sobre la línea de cero de
24.045 N.
Una vez obtenida la fuerza de la leva, el par de torsión
Tc en el árbol de levas es fácil de encontrar puesto que se
conocen las velocidades v del seguidor y ω del árbol de levas. La Fig. 19 muestra el par de torsión de entrada
requerido por el árbol de levas necesario para impulsar la
leva A con cierre de fuerza.
Figura 19. Par de torsión de entrada de la leva A.
El par de torsión máximo durante el ciclo es de 117.209
N·m y el mínimo de -115.444 N·m.
5. Modelado dinámico de parámetros concentrados de 1
GDL para el tren seguidor de la leva B
La leva B mueve al seguidor de traslación principal G-I, al
seguidor de traslación secundario flotante y al efector final
P, como todas las partes están en traslación pura, la masa
efectiva mB es la suma de las partes individuales, quedando
de la siguiente manera :
mB=1.07085 kg.
5.1. Análisis Cinestostático de Fuerzas y Par de Torsión
de la Leva B
La fuerza dinámica que resulta con una k de 280 N/m y una
precarga de 15 N se muestra en la Fig. 20, se observa que
la función se mantiene positiva en todo el ciclo por lo que
se evita el salto del seguidor:
Figura 20. Fuerza cinetostática de la leva B.
El coeficiente de amortiguamiento calculado es de
c=2.08 N seg /m para una relación de amortiguamiento de
0.06, el amortiguamiento crítico Cc=34.63 N·seg/m. La frecuencia natural no amortiguada es de 16.2 rad/seg y la
frecuencia natural amortiguada es de 16.1 rad/seg.
manteniendose arriba del valor de la frecuencia forzada de
15.71 rad/seg. con lo que se evitará resonancia ya que el
sistema leva-seguidor nunca alcanzará la frecuencia natural
amortiguada. La fuerza máxima durante el ciclo es de 44.4
N. Se dejó un margen de seguridad manteniendo la fuerza
mínima sobre la línea de cero de 10.6 N. La Fig. 21
muestra el par de torsión de entrada requerido por el árbol
de levas necesario para impulsar la leva B con cierre de
fuerza.
Figura 21. Par de torsión de entrada de la leva B.
El par de torsión máximo durante el ciclo es de 2.1 N·m
y el mínimo de -1.28 N·m.
6. Par de torsión combinado de las levas A y B
En la Fig. 8 se puede observar que las levas A y B están
montadas sobre el mismo eje motriz por lo que los pares de
torsión individuales que se observan en las Fig. 19 y 22
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deben de combinarse para obtener el par de torsión de
entrada. Para realizar esto es necesario tomar en cuenta el
desfase angular de 30° que se tiene entre la leva A y B
según lo muestra el diagrama de temporización de la Fig.
3. La Fig. 22 muestra el par de torsión combinado de la
leva A y B.
Figura 22. Par de torsión combinado de la leva A y B.
El par de torsión máximo durante el ciclo es de 116.883
N·m y el mínimo de -115.701 N·m. Con esto se observa que
el efecto del par de torsión de la leva B al combinarse con
el par de torsión de la leva A es mínimo, por lo que se
puede despreciar su efecto. La variación de la aceleración en un mecanismo puede
provocar oscilaciones significativas en el par de torsión
requerido para impulsarlo a una velocidad constante o casi
constante. El par de torsión pico puede ser tan alto que
requerirá un motor bastante grande para suministrarlo. Se
requiere proporcionar alguna forma de suavizar estas oscilaciones del par de torsión durante el ciclo, un medio
conveniente de hacerlo es la adición de un volante al
sistema. Aquí podemos utilizar un volante de inercia de
dimensiones adecuadas en el árbol de levas para suavizar
estas variaciones del par de torsión. El cambio de velocidad
del eje durante un ciclo se llama fluctuación (Fl) y es igual
a ωmáx – ωmin. Ahora se normaliza esta expresión para
obtener una relación adimensional dividiéndola entre la
velocidad promedio del eje ωprom. Esta relación se llama
coeficiente de fluctuación kf.
prom
mínmáxfk
(9)
Este coeficiente de fluctuación es un parámetro de
diseño que debe de elegirse, por lo general se ajusta un valor entre 0.01 y 0.05 de fluctuación de la velocidad del
eje. Se elige un coeficiente de fluctuación de 0.05
correspondiente al 5% de fluctuación de la velocidad del
eje. En la Fig. 23 se muestra el par de torsión para la leva A
uniformada con el volante de inercia.
Figura 23. Par de torsión de entrada uniformado de la leva A.
La oscilación del par de torsión ahora es mucho menor
en comparación con el caso anterior. El par de torsión
máximo utilizando un volante de inercia para la leva A es
de 5.860 N·m y el mínimo de -5.772 N·m con lo que se puede utilizar un motor de menor potencia. Ahora es
posible obtener el momento de inercia de masa IS del
volante requerido con la ec. (10) que se muestra a
continuación:
2
promf
Sk
EI
(10)
En donde E representa el cambio de energía entre la
ωmáx y ωmin del eje, y es igual al área bajo el diagrama par
de torsión-tiempo entre los valores extremos de ω. La ωmin
ocurrirá después de que la energía positiva máxima ha sido
entregada del motor a la carga, es decir, en un punto en
donde la suma de la energía (área) en los pulsos del par de torsión está a su mayor valor positivo y la ωmáx ocurrirá
después de que la máxima energía negativa ha sido
regresada a la carga, es decir, en un donde la suma de la
energía (área) en los pulsos del par de torsión está a su
mayor valor negativo. Para determinar E primero se calcula
el valor promedio (de la definición de promedio, la suma
del área positiva sobre una línea promedio es igual a la
suma del área negativa debajo de esa línea) de la función
par de torsión-tiempo de la Fig. 19 durante un ciclo, que en
este caso es de 0.1 N·m. Ahora se requiere integrar
numéricamente cada pulso de la función de cruce a cruce con la línea promedio, los resultados se muestran en la
Tabla 4:
Tabla 4–Integración de la función de par de torsión de la leva A
ΔÁrea= ΔE (N·m) E Acumulada
-14.336 -14.336 ωmáx
14.377 0.041
-14.341 -14.3
14.347 0.047 ωmín
-0.036 0.011
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A partir de la Tabla 4 es posible calcular E:
mNE
mNmNEEEmínmáx
383.14
)047.0(336.14
Esta energía negativa que sale del sistema debe
absorberse por el volante y luego devuelta al sistema
durante cada ciclo para suavizar las variaciones de la
velocidad del eje. El cálculo de la curva del par de torsión
en la Fig. 19 se hizo con base en la suposición de que la
velocidad de las levas (y por tanto del motor) era un valor
constante. Todos los datos cinemáticos utilizados en el
cálculo de la fuerza y el par de torsión se generaron sobre
esa base por lo que se toma ωprom=15.708 rad/s. Ahora es
posible encontrar IS con la ec. (10) con el cual se puede dimensionar el volante físico:
2
22
166.1
)/708.15)(05.0(
)383.14(
smNI
srad
mN
k
EI
S
promf
S
7. Conclusión
El dispositivo pick and place del tipo eslabonamiento
modulado por levas para ensamble continuo en línea
analizado en este trabajo puede ser diseñado con facilidad
y tiene la ventaja de lograr el movimiento deseado del
efector final. Una curva de aceleración sin discontinuidad
es un aspecto importante en el movimiento controlado lo
cual se logró en el diseño cinemático de las levas y con
esto fue posible obtener resultados dinámicos aceptables.
En el diseño cinetostático se obtuvieron las fuerzas
dinámicas y pares de torsión presentes en los 2 sistemas
leva-seguidor, fue necesario combinar estos resultados ya
que ambos sistemas comparten el mismo eje motriz y con esto fue posible calcular un solo volante de inercia, pero si
se conocen los momentos de inercia de los demás
elementos rotatorios en el mismo eje motriz (como el
motor y la leva B), el volante físico requerido se puede
reducir en esas cantidades. También es posible disminuir la
mA aumentando el valor de la distancia O2A a un valor
cercano o igual a la distancia O2B para mantener cercano a
1 la relación de palanca. La función del par de torsión a
través de todo el ciclo no es constante por lo que la
velocidad angular de entrada tampoco lo es, estas
variaciones en la velocidad angular de entrada no afectan al funcionamiento del dispositivo porque todo esta
sincronizado mecánicamente, cualquier variación en la
velocidad angular solo se refleja en la variación de la
velocidad del efector final, pero no se perderá el
posicionamiento para completar el ensamble. Sin embargo,
todos los sistemas leva-seguidor tienen la suficiente
elasticidad en sus componentes que se puede presentar la
posibilidad de vibraciones residuales cuando está en
operación, las vibraciones residuales en el tren seguidor
puede introducir errores significativos en el
posicionamiento, especialmente durante los detenimientos
cuando la vibración inducida por las subidas o bajadas
compromete la precisión en el posicionamiento del
seguidor, por lo que se recomienda un estudio del
fenómenos de la vibración, particularmente las vibraciones
residuales y discutir métodos para minimizarla. Otro
análisis que se recomienda es aplicar la teoría de fallas y de
lubricación, en donde se hace el estudio de estrés, desgaste,
corrosión y lubricación de los elementos en un sistema leva-seguidor esto con el fin de minimizar las maneras en
que las partes del sistema puedan fallar. La desventaja de
este sistema es que es poco flexible para cambios en los
productos a ensamblar, es imposible cambiar el perfil de
movimiento de una leva, al menos que se fabrique otra,
pero si se puede modificar la configuración de los
eslabones. Se sugiere su implementación para industrias
organizadas en líneas de montaje que produzcan bienes
altamente estandarizados, caracterizados por la continuidad
y un balance rígido del proceso productivo.
REFERENCIAS
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robotizado tipo pick-and-place modulado por levas para
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movimiento continuo, Congr. Int. Ing. Electro. Mem.
Electro 2012, vol. 34, pp. 305-310, (2012).
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Pressure Angle Analysis, Product engineering. V. 26,
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of Curvature, Product engineering, V. 26, pp. 186-201.
(1955) [10]Robert L. Norton, Dynacam 10 User Manual, Norton
Associates Engineering. (2012)
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