Facultad de Economía, UPC
Modelo de crecimiento deSolow-Swan (II)
Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com
Agosto del 2017
1 La contabilidad del crecimiento
2 Convergencia
3 Extensiones: Trampa de pobreza
4 Extensiones: Capital Humano4.1 Modelo 14.2 Modelo 24.3 Contabilidad del crecimiento con capital humano
Índice
2/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Sea Y (t) = F(K (t),A(t)L(t)), entonces:
Y (t) =∂Y (t)∂K (t)
K (t) + A(t)∂Y (t)∂L(t)
L(t) + L(t)∂Y (t)∂A(t)
A(t) (1)
Y (t)Y (t)
=K (t)Y (t)
∂Y (t)∂K (t)︸ ︷︷ ︸
αK (t)
K (t)K (t)
+A(t)L(t)
Y (t)∂Y (t)∂L(t)︸ ︷︷ ︸
αL(t)
L(t)L(t)
+A(t)L(t)
Y (t)∂Y (t)∂A(t)
A(t)A(t)︸ ︷︷ ︸
R(t)
(2)
Y (t)Y (t)
= αK (t)K (t)K (t)
+ αL(t)L(t)L(t)
+ R(t) (3)
La contabilidad del crecimiento
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Teniendo en cuenta que αK (t) + αL(t) = 1, la ecuación 3 setransforma a lo siguiente:
Y (t)Y (t)
− L(t)L(t)
= αK (t)
[K (t)K (t)
− L(t)L(t)
]+ R(t) (4)
Que puede ser modificado de tal forma que:
R(t) =Y (t)Y (t)
− L(t)L(t)
− αK (t)
[K (t)K (t)
− L(t)L(t)
](5)
La contabilidad del crecimiento
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• El residuo de Solow, R(t), es interpretado como unamedida de la contribución del progreso técnico alcrecimiento de la producción.
• Pero refleja realmente la contribución de todos los demásfactores que no sean capital y trabajo.
• OJO! contabilidad del crecimiento sólo estudia factoresdeterminantes directos del crecimiento económico y enqué medida la acumulación, las mejoras en la calidad yotros factores contribuyen al crecimiento económico. Noestudia qué causas se hallan tras la evolución de losmismos.
La contabilidad del crecimiento
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Problemas:• αK (t) puede variar en el tiempo. ¿Usamos el de inicio de
período o el de fin de período? Probables sesgos. Entiempo discreto:
R(t) =∆Yt+1,t
Yt−
∆Lt+1,t
Lt− αK
[∆Kt+1,t
Kt−
∆Lt+1,t
Lt
](6)
Donde ∆Xt+1,tXt
es el cambio porcentual de una variable Xentre los períodos t y t + 1 y αK es el promedio de dichavariable en ambos períodos:
αK =αK ,t + αK ,t+1
2
La contabilidad del crecimiento
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Problemas:• R(t) es la medida de nuestra ignorancia.• Mismeasurement de los factores de producción: realmente
no es empleo, sino “empleo efectivo”. Necesidad deincorporar medidas de capital humano. No hay medidasconfiables del “stock” de capital físico.
• El PBI no mide correctamente cambios en la calidad de losproductos ni en los precios relativos de los factores deproducción.
La contabilidad del crecimiento
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La contabilidad del crecimiento
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1 La contabilidad del crecimiento
2 Convergencia
3 Extensiones: Trampa de pobreza
4 Extensiones: Capital Humano4.1 Modelo 14.2 Modelo 24.3 Contabilidad del crecimiento con capital humano
Índice
9/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Definición 1Una función φ(x), diferenciable infinitamente en el punto x0,tiene una representación de suma infinita de términosalrededor de dicho punto, del siguiente tipo:
φ(x) =∞∑
n=0
(φ(n)(x0)
n!(x − x0)n
)
Donde φ(n)(x0) es la n-ésima derivada de la función φ evaluadaen x0; n! es el factorial de n y se define φ(0) = φ, 0! = 1 y(x − x0)0 = 1.
Velocidad de convergencia
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Corolario 1Una función φ(x) no lineal, diferenciable en x0, se puedeaproximar linealmente, alrededor de dicho punto, mediante lasiguiente fórmula:
φ(x) ≈ φ(0)(x0)
0!+φ(1)(x0)
1!(x − x0)
Velocidad de convergencia
11/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Linealizamos la ecuación fundamental de Solow alrededor delnivel de Estado Estacionario k∗.
˙kk
=sf (k)
k− (δ + g + n) (7)
˙kk≈
[sf (k∗)
k∗− (δ + g + n)
]︸ ︷︷ ︸
0 en EE
+
[sf ′(k∗)
k∗− sf (k∗)
k∗ × k∗
](k − k∗)
(8)˙kk≈ s
[f ′(k∗)− f (k∗)
k∗
](k − k∗)
k∗(9)
Velocidad de convergencia
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En Estado Estacionario, la tasa de ahorro es la siguiente:
s = (δ + g + n)k∗
f (k∗)(10)
Reemplazando la ecuación 10 en 9, llegando a:
˙kk≈ −(δ + g + n)
1− k∗f ′(k∗)f (k∗)︸ ︷︷ ︸α(k∗)
log
(kk∗
)(11)
Velocidad de convergencia (igual para˙yy ):
β∗ = (1− αk∗)× (δ + g + n) (12)
Velocidad de convergencia
13/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
˙kk
k∗k1 k2
sf (k(t))
k(t)− (δ + n + g)
∂
(˙kk
)∂k
=s[f ′(k)− f (k)/k ]
k< 0 (13)
Convergencia
14/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
¿Países más pobres tienden a crecer más rápidamente quelos ricos?
• El modelo de Solow predice que los países convergenhacia un estado estacionario, k∗.
• Tasa de rendimiento del capital es menor en países conmayor capital por trabajador, por lo que habría un incentivopara trasladarse de un país rico a uno pobre.
• Si la difusión de conocimientos tecnológicos es desigual,las diferencias internacionales de la renta se deben a queno se está explotando las mejoras técnicas disponibles.
Convergencia
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Recordando la ecuación a la Barro de la primera clase:
gi,t ,t−1 = α + β log yi,t−1 + X ′i,tβ + εi,t (14)
Convergencia
16/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
ln
[(YL
)i,1979
]− ln
[(YL
)i,1870
]= α+ β × ln
[(YL
)i,1870
]+ εi
(15)
ln
[(YL
)i,2010
]− ln
[(YL
)i,1870
]= α+ β × ln
[(YL
)i,1870
]+ εi
(16)Si existe convergencia incondicional entonces β sería negativo.Si β ≈ −1 entonces convergencia sería perfecta. Si β ≈ 0,entonces crecimiento económico no está correlacionado con elvalor de la renta inicial y no existiría convergenciaincondicional.
Convergencia
17/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Figura 1: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, BaumolSample
Convergencia
18/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Dos grandes problemas:• Selección de muestra.• Error de medición.
Convergencia
19/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Figura 2: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, DeLongSample
Convergencia
20/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Figura 3: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, AllMadison Sample
Convergencia
21/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
˙kk
k∗1 k∗2
s = (δ + g + n)k∗
f (k∗)(17)
˙k
k= (δ + g + n)
[f (k)/k
f (k∗)/k∗− 1
](18)
Convergencia
22/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Figura 4: PBI per cápita inicial y crecimiento económico posterior, BaumolSample + Latam
Convergencia
23/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
1 La contabilidad del crecimiento
2 Convergencia
3 Extensiones: Trampa de pobreza
4 Extensiones: Capital Humano4.1 Modelo 14.2 Modelo 24.3 Contabilidad del crecimiento con capital humano
Índice
24/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• Definición:Estado Estacionario estable con niveles bajos de capital yproducto per cápita.
• ¿Por qué es una trampa?Si aumento el capital, la misma dinámica del modelo melleva hacia el valor de Estado Estacionario bajo.
Trampa de pobreza
25/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Un país tiene acceso a una función de producción “tradicional”y a otra “moderna”.
YA = AKαL1−α (19)
YB = BKαL1−α (20)
Donde B > A. Para explotar la mejor tecnología, el país pagaun costo de instalación, en cada momento del tiempo, que esproporcional a la población y está dado por bL, donde b > 0.No hay progreso tecnológico.
Trampa de pobreza
26/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
En términos per cápita
yA = Akα (21)
yB = Bkα − b (22)
Donde B > A. Si el gobierno decide gastar en obtener la mejortecnología, entonces todos los productores usan la función deproducción “moderna”. Si no, todos usan la función deproducción “tradicional”.
Trampa de pobreza
27/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
f (k)
F = bL
k
A
B
Trampa de pobreza
28/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Valor crítico (k):
k =
[b
(B − A)
] 1α
(23)
El gobierno paga el costo de instalación si k ≥ k y no lo hace sik < k .
Trampa de pobreza
29/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Utilizando la ecuación fundamental de Solow (en términos percápita):
kk
= sf (k)
k− (δ + n) (24)
Donde f (k) = Akα si k < k y f (k) = Bkα − b si k ≥ k
Trampa de pobreza
30/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
n + δ
s f (k)k
k∗low k∗middle k∗high
(stable) (unstable) (stable)
Trampa de pobreza
31/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
1 La contabilidad del crecimiento
2 Convergencia
3 Extensiones: Trampa de pobreza
4 Extensiones: Capital Humano4.1 Modelo 14.2 Modelo 24.3 Contabilidad del crecimiento con capital humano
Índice
32/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Se plantea una función de producción del siguiente tipo:
Y = F(K ,H,AL) (25)
Donde H es el stock de capital humano.
Capital Humano
33/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Supuesto 1
La función de producción F : R3+ → R+ es dos veces
diferenciable en K , en H y en L, y satisface:
FK (K ,H,AL)>0 FH (K ,H,AL)>0 FL(K ,H,AL)>0
FKK (K ,H,AL)<0 FHH (K ,H,AL)<0 FLL(K ,H,AL)<0
Además, F exhibe retornos constantes a escala en sus tresargumentos.
Capital Humano
34/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Supuesto 2
F satisface las condiciones de Inada:
limK→0FK =∞ y limK→∞FK = 0 ∀ H > 0 y AL > 0
limH→0FH =∞ y limH→∞FH = 0 ∀ K > 0 y AL > 0
limL→0FL =∞ y limL→∞FL = 0 ∀ K ,H,A > 0
Capital Humano
35/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Utilizaremos una función de producción Cobb-Douglas parahacer más directo el cálculo. Sea la función:
Y = KαHη(AL)1−α−η (26)
Donde H es el capital humano y K el capital físico. Además, enesta economía existe progreso tecnológico, a una tasa g, ycrecimiento poblacional, a una tasa n.
Capital Humano: Modelo 1
36/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
En términos per cápita eficientes:
y = kαhη (27)
Capital humano y físico son sustitutos perfectos. Luego, laecuación fundamental de Solow es:
˙k +˙h = skαhη − (δ + g + n)(k + h) (28)
¿Cómo asignar eficiente los recursos entre capital humano yfísico?
Capital Humano: Modelo 1
37/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Igualdad de productividades marginales:
fk = fh
Entonces:αkα−1hη = ηkαhη−1
h =η
αk (29)
En términos de derivada respecto al tiempo:
˙h =η
α˙k (30)
Capital Humano: Modelo 1
38/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Usando lo obtenido en 29 y 30, y reemplazando en la ecuación28:
˙k = sAkα+η − (δ + g + n)k (31)
Donde A ≡= ηηα1−η
α+η , es una constante.
Capital Humano: Modelo 1
39/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Estado Estacionario:
k∗ =
(sA
δ + g + n
) 11−α−η
(32)
h∗ =η
α
(sA
δ + g + n
) 11−α−η
(33)
Velocidad de convergencia:
β∗ = (1− α− η)× (δ + g + n) (34)
(Ver Ejercicios).
Capital Humano: Modelo 1
40/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Ahora suponemos que la tasa de ahorro en capital físico yhumano es distinto (sk , sh) y las tasas de depreciación también(δk , δh). En ese sentido, la forma de acumulación de amboscapitales se representa por ecuaciones distintas. Manteniendola misma función de producción que en la ecuación 26 se tiene:
˙k = sk kαhη − (δk + g + n)k (35)
˙h = shkαhη − (δh + g + n)h (36)
Capital Humano: Modelo 2
41/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
En Estado Estacionario se tiene que ˙k = 0 y ˙h = 0.
• En la ecuación 35, cuando ˙k = 0 se tiene:
sk kαhη = (δk + g + n)k (37)
• En la ecuación 36, cuando ˙h = 0 se tiene:
shkαhη = (δh + g + n)h (38)
Capital Humano: Modelo 2
42/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Convertimos las ecuaciones 37 y 38 en una función h = f (k),respectivamente:
• Cuando ˙k = 0:
h =
(δk + g + n
sk
) 1η
k1−αη (39)
• Cuando ˙h = 0:
h =
(sh
δh + g + n
) 11−η
kα
1−η (40)
Capital Humano: Modelo 2
43/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
En Estado Estacionario, las ecuaciones 39 y 40 son iguales, talque h = h∗, k = k∗, además de y = y∗ = k∗
αh∗η:
k∗ =
(sk
δk + g + n
)( 1−η1−α−η
)(sh
δh + g + n
)( η1−α−η
)(41)
h∗ =
(sk
δk + g + n
)( α1−α−η
)(sh
δh + g + n
)( 1−α1−α−η
)(42)
y∗ =
(sk
δk + g + n
)( α1−α−η
)(sh
δh + g + n
)( η1−α−η
)(43)
Capital Humano: Modelo 2
44/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Note que en las ecuaciones 39 y 40 se tiene:
∂h∂k| ˙k=0
>∂h∂k| ˙h=0
(44)
Velocidad de convergencia:
β∗ = (1− α− η)× (δ + g + n) (45)
∀ δk = δH = δ. (Ver Ejercicios)
Capital Humano: Modelo 2
45/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
h˙k = 0
˙h = 0
k∗
h∗
Capital Humano: Modelo 2
46/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Sea Y (t) = F(K (t),H(t),A(t)L(t)), entonces:
Y (t) =∂Y (t)∂K (t)
K (t) +∂Y (t)∂H(t)
H(t) + A(t)∂Y (t)∂L(t)
L(t) + L(t)∂Y (t)∂A(t)
A(t) (46)
Y (t)Y (t)
=K (t)Y (t)
∂Y (t)∂K (t)︸ ︷︷ ︸
αK (t)
K (t)K (t)
+H(t)Y (t)
∂Y (t)∂H(t)︸ ︷︷ ︸
αH (t)
H(t)H(t)
+A(t)L(t)
Y (t)∂Y (t)∂L(t)︸ ︷︷ ︸
αL(t)
L(t)L(t)
+A(t)L(t)
Y (t)∂Y (t)∂A(t)
A(t)A(t)︸ ︷︷ ︸
R(t)
(47)
Y (t)Y (t)
= αK (t)K (t)K (t)
+ αH(t)H(t)H(t)
+ αL(t)L(t)L(t)
+ R(t) (48)
Contabilidad del crecimiento con capital humano
47/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Teniendo en cuenta que αK (t) + αH(t) + αL(t) = 1, la ecuación48 se transforma a lo siguiente:
Y (t)Y (t)
− L(t)L(t)
= αK (t)
[K (t)K (t)
− L(t)L(t)
]+αH(t)
[H(t)H(t)
− L(t)L(t)
]+R(t)
(49)Que puede ser modificado de tal forma que:
R(t) =Y (t)Y (t)
− L(t)L(t)−αK (t)
[K (t)K (t)
− L(t)L(t)
]−αH(t)
[H(t)H(t)
− L(t)L(t)
](50)
Contabilidad del crecimiento con capital humano
48/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Contabilidad del crecimiento con capital humano
49/49 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan