ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Modelo del transporte de multiplescomponentes a traves de un medio poroso
para la simulacion numerica de pruebas de losprocesos de recuperacion de hidrocarburos
Dennys A. Lopez FalconM. A. Dıaz Viera E. Luna Rojero A. Moctezuma Berthier
Programa de Investigacion en Recuperacion de HidrocarburosDireccion de Investigacion y Posgrado
Instituto Mexicano del Petroleo
Seminario de Modelacion Matematica y ComputacionalDr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Objetivos
General: Modelar matematica y computacionalmente losdiversos fenomenos fısicos, quımicos y biologicosinterrelacionados e involucrados en algunos procesos derecuperacion secundaria y mejorada de hidrocarburos.
Particular: Derivar modelos matematicos para algunosprocesos de recuperacion secundaria y mejorada dehidrocarburos.Implementar los modelos resultantes para realizarsimulaciones de las pruebas en laboratorio que auxilien enel diseno de procesos para su validacion en campo.
Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Objetivos
General: Modelar matematica y computacionalmente losdiversos fenomenos fısicos, quımicos y biologicosinterrelacionados e involucrados en algunos procesos derecuperacion secundaria y mejorada de hidrocarburos.
Particular: Derivar modelos matematicos para algunosprocesos de recuperacion secundaria y mejorada dehidrocarburos.Implementar los modelos resultantes para realizarsimulaciones de las pruebas en laboratorio que auxilien enel diseno de procesos para su validacion en campo.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionJustificacion
Declinacion de la produccion primaria o natural ⇒Interes en metodos de recuperacion secundaria ymejorada.Convocatoria del Fondo SENER-CONACyT(2 proyectos de recuperacion secundaria y mejorada).
“Es del interes de PEP, dada la madurez alcanzada por la explotacion de la
mayorıa de sus campos, probar tecnicas alternativas de recuperacion de
aceite que le permitan atenuar la tendencia en la declinacion de la
produccion. Actualmente, mas de dos terceras partes del hidrocarburo
producido provienen de yacimientos donde el mantenimiento es la principal
estrategia de produccion; en menos de la tercera parte fluye por medios
naturales y solo una pequena fraccion proviene como resultado de la
aplicacion de tecnicas de recuperacion mejorada”Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionJustificacion
Declinacion de la produccion primaria o natural ⇒Interes en metodos de recuperacion secundaria ymejorada.Convocatoria del Fondo SENER-CONACyT(2 proyectos de recuperacion secundaria y mejorada).
“Es del interes de PEP, dada la madurez alcanzada por la explotacion de la
mayorıa de sus campos, probar tecnicas alternativas de recuperacion de
aceite que le permitan atenuar la tendencia en la declinacion de la
produccion. Actualmente, mas de dos terceras partes del hidrocarburo
producido provienen de yacimientos donde el mantenimiento es la principal
estrategia de produccion; en menos de la tercera parte fluye por medios
naturales y solo una pequena fraccion proviene como resultado de la
aplicacion de tecnicas de recuperacion mejorada”Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionJustificacion
Declinacion de la produccion primaria o natural ⇒Interes en metodos de recuperacion secundaria ymejorada.Convocatoria del Fondo SENER-CONACyT(2 proyectos de recuperacion secundaria y mejorada).
“Es del interes de PEP, dada la madurez alcanzada por la explotacion de la
mayorıa de sus campos, probar tecnicas alternativas de recuperacion de
aceite que le permitan atenuar la tendencia en la declinacion de la
produccion. Actualmente, mas de dos terceras partes del hidrocarburo
producido provienen de yacimientos donde el mantenimiento es la principal
estrategia de produccion; en menos de la tercera parte fluye por medios
naturales y solo una pequena fraccion proviene como resultado de la
aplicacion de tecnicas de recuperacion mejorada”Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionJustificacion
Declinacion de la produccion primaria o natural ⇒Interes en metodos de recuperacion secundaria ymejorada.Convocatoria del Fondo SENER-CONACyT(2 proyectos de recuperacion secundaria y mejorada).
“Es del interes de PEP, dada la madurez alcanzada por la explotacion de la
mayorıa de sus campos, probar tecnicas alternativas de recuperacion de
aceite que le permitan atenuar la tendencia en la declinacion de la
produccion. Actualmente, mas de dos terceras partes del hidrocarburo
producido provienen de yacimientos donde el mantenimiento es la principal
estrategia de produccion; en menos de la tercera parte fluye por medios
naturales y solo una pequena fraccion proviene como resultado de la
aplicacion de tecnicas de recuperacion mejorada”Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionAntecedentes
Aunque se han propuesto modelos para el transporte desolutos en medios porosos y particularmente demicroorganismos [e.g. 1-3], es preferible derivar unmodelo propio y desarrollar un procedimiento paraajustarlo, con la intencion de conseguir un mayorentendimiento acerca del problema.En todas estas referencias, el modelo se implementousando metodos de diferencias finitas; mientras quenuestra implementacion se resuelve mediante metodos deelemento finito.
[1] Tan et al. “Transport of bacteria in an aquifer sand:...”, Water Resources Research, 30 (12), 3243-3252, (1994).
[2] Sen et al. “Bacterial transport in porous media: New aspects of...”, Colloids and Surfaces A, 260, 53-62, (2005).
[3] Chang et al. “Modelling and laboratory investigation of microbial transport phenomena...”, SPE 22845, (1991).
Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionAntecedentes
Aunque se han propuesto modelos para el transporte desolutos en medios porosos y particularmente demicroorganismos [e.g. 1-3], es preferible derivar unmodelo propio y desarrollar un procedimiento paraajustarlo, con la intencion de conseguir un mayorentendimiento acerca del problema.En todas estas referencias, el modelo se implementousando metodos de diferencias finitas; mientras quenuestra implementacion se resuelve mediante metodos deelemento finito.
[1] Tan et al. “Transport of bacteria in an aquifer sand:...”, Water Resources Research, 30 (12), 3243-3252, (1994).
[2] Sen et al. “Bacterial transport in porous media: New aspects of...”, Colloids and Surfaces A, 260, 53-62, (2005).
[3] Chang et al. “Modelling and laboratory investigation of microbial transport phenomena...”, SPE 22845, (1991).
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios Continuos
Figura 1: Esquema de un cuerpo material B (t) con frontera ∂B (t), donde n es su vector normal externo. La
superficie de discontinuidad Σ (t) tiene vector normal nΣ y se mueve con velocidad vΣ .
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios Continuos
La ecuacion general de balance global de una propiedadextensiva E (t) expresa que cualquier variacion de ellaproviene de lo que se genera o destruye en el cuerpo o delo que entra o sale a traves de la frontera.
Matematicamente se escribe como sigue [4]
dE (t)dt
=
∫
B(t)g (x, t) dx+
∫
Σ(t)gΣ (x, t) dx+
∫
∂B(t)� (x, t)⋅ndx.
[4] Allen, Herrera & Pinder. Numerical modeling in science and engineering, John Wiley & Sons., USA, (1988).
Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios Continuos
La ecuacion general de balance global de una propiedadextensiva E (t) expresa que cualquier variacion de ellaproviene de lo que se genera o destruye en el cuerpo o delo que entra o sale a traves de la frontera.
Matematicamente se escribe como sigue [4]
dE (t)dt
=
∫
B(t)g (x, t) dx+
∫
Σ(t)gΣ (x, t) dx+
∫
∂B(t)� (x, t)⋅ndx.
[4] Allen, Herrera & Pinder. Numerical modeling in science and engineering, John Wiley & Sons., USA, (1988).
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios Continuos
Se define una correspondencia unıvoca entre unapropiedad extensiva y su propiedad intensiva mediante
E (t) ≡∫
B(t) (x, t) dx.
Empleando los teoremas de la divergencia (de Gauss) ydel transporte (de Reynolds), ası como el lema deduBois-Reymond se obtienen la ecuacion de balance localde la propiedad intensiva
∂
∂t+∇ ⋅ ( v) = g +∇ ⋅ � ; ∀x ∈ B (t).
Ası como la condicion de salto
[[ (v − vΣ)− � ]] ⋅ nΣ = gΣ; ∀x ∈ Σ (t).Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
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Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios Continuos
Se define una correspondencia unıvoca entre unapropiedad extensiva y su propiedad intensiva mediante
E (t) ≡∫
B(t) (x, t) dx.
Empleando los teoremas de la divergencia (de Gauss) ydel transporte (de Reynolds), ası como el lema deduBois-Reymond se obtienen la ecuacion de balance localde la propiedad intensiva
∂
∂t+∇ ⋅ ( v) = g +∇ ⋅ � ; ∀x ∈ B (t).
Ası como la condicion de salto
[[ (v − vΣ)− � ]] ⋅ nΣ = gΣ; ∀x ∈ Σ (t).Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
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Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios Continuos
Se define una correspondencia unıvoca entre unapropiedad extensiva y su propiedad intensiva mediante
E (t) ≡∫
B(t) (x, t) dx.
Empleando los teoremas de la divergencia (de Gauss) ydel transporte (de Reynolds), ası como el lema deduBois-Reymond se obtienen la ecuacion de balance localde la propiedad intensiva
∂
∂t+∇ ⋅ ( v) = g +∇ ⋅ � ; ∀x ∈ B (t).
Ası como la condicion de salto
[[ (v − vΣ)− � ]] ⋅ nΣ = gΣ; ∀x ∈ Σ (t).Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionSistemas con Multiples Fases
Fase: Conjunto de componentes del sistema que semueven juntos con la misma velocidad (indexada por �).
Componente: Elemento que compone a una fase(indexado por ).
Ahora la correspondencia unıvoca entre una propiedadextensiva y su propiedad intensiva esta dada por
E � (t) ≡
∫
B(t) � (x, t) dx.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionSistemas con Multiples Fases
Fase: Conjunto de componentes del sistema que semueven juntos con la misma velocidad (indexada por �).
Componente: Elemento que compone a una fase(indexado por ).
Ahora la correspondencia unıvoca entre una propiedadextensiva y su propiedad intensiva esta dada por
E � (t) ≡
∫
B(t) � (x, t) dx.
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IntroduccionSistemas con Multiples Fases
Fase: Conjunto de componentes del sistema que semueven juntos con la misma velocidad (indexada por �).
Componente: Elemento que compone a una fase(indexado por ).
Ahora la correspondencia unıvoca entre una propiedadextensiva y su propiedad intensiva esta dada por
E � (t) ≡
∫
B(t) � (x, t) dx.
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Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionSistemas con Multiples Fases
La ecuacion de balance local de la propiedad intensiva es
∂ �
∂t+∇ ⋅ (
�v�) = g � +∇ ⋅ � � ; ∀x ∈ B (t).
Mientras que la condicion de salto es
[[ � (v� − vΣ)− � � ]] ⋅ nΣ = gΣ
�; ∀x ∈ Σ (t).
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ObjetivosIntroducci on
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IntroduccionSistemas con Multiples Fases
La ecuacion de balance local de la propiedad intensiva es
∂ �
∂t+∇ ⋅ (
�v�) = g � +∇ ⋅ � � ; ∀x ∈ B (t).
Mientras que la condicion de salto es
[[ � (v� − vΣ)− � � ]] ⋅ nΣ = gΣ
�; ∀x ∈ Σ (t).
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ObjetivosIntroducci on
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Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionResumen
Enumerar las fases y los componentes presentes en elsistema.
Definir las propiedades intensivas sujetas a balance.
Emplear las caracterısticas e hipotesis propias del sistemao medio.
Reconocer las leyes constitutivas necesarias para que elsistema de ecuaciones este determinado.
Identificar los terminos fuente de la propiedad de interes.
Establecer las condiciones iniciales y de fronteraapropiadas para definir un problema bien planteado.
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ObjetivosIntroducci on
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IntroduccionResumen
Enumerar las fases y los componentes presentes en elsistema.
Definir las propiedades intensivas sujetas a balance.
Emplear las caracterısticas e hipotesis propias del sistemao medio.
Reconocer las leyes constitutivas necesarias para que elsistema de ecuaciones este determinado.
Identificar los terminos fuente de la propiedad de interes.
Establecer las condiciones iniciales y de fronteraapropiadas para definir un problema bien planteado.
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ObjetivosIntroducci on
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IntroduccionResumen
Enumerar las fases y los componentes presentes en elsistema.
Definir las propiedades intensivas sujetas a balance.
Emplear las caracterısticas e hipotesis propias del sistemao medio.
Reconocer las leyes constitutivas necesarias para que elsistema de ecuaciones este determinado.
Identificar los terminos fuente de la propiedad de interes.
Establecer las condiciones iniciales y de fronteraapropiadas para definir un problema bien planteado.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionResumen
Enumerar las fases y los componentes presentes en elsistema.
Definir las propiedades intensivas sujetas a balance.
Emplear las caracterısticas e hipotesis propias del sistemao medio.
Reconocer las leyes constitutivas necesarias para que elsistema de ecuaciones este determinado.
Identificar los terminos fuente de la propiedad de interes.
Establecer las condiciones iniciales y de fronteraapropiadas para definir un problema bien planteado.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionResumen
Enumerar las fases y los componentes presentes en elsistema.
Definir las propiedades intensivas sujetas a balance.
Emplear las caracterısticas e hipotesis propias del sistemao medio.
Reconocer las leyes constitutivas necesarias para que elsistema de ecuaciones este determinado.
Identificar los terminos fuente de la propiedad de interes.
Establecer las condiciones iniciales y de fronteraapropiadas para definir un problema bien planteado.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Justificaci onAntecedentesFormulaci on Axiom atica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples FasesResumen
IntroduccionResumen
Enumerar las fases y los componentes presentes en elsistema.
Definir las propiedades intensivas sujetas a balance.
Emplear las caracterısticas e hipotesis propias del sistemao medio.
Reconocer las leyes constitutivas necesarias para que elsistema de ecuaciones este determinado.
Identificar los terminos fuente de la propiedad de interes.
Establecer las condiciones iniciales y de fronteraapropiadas para definir un problema bien planteado.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades Intensivas
Fase Componente Propiedad(�) ( ) Intensiva (
�)
Acuosa Agua ( = w) �SA�wA
(� = A) Microorganismos ( = m) �SAcmA
Nutrientes ( = n) �SAcnA
Oleica Aceite �SO�oO
(� = O) ( = o)Biopelıcula Microorganismos cm
B ≡ �m�
(� = B) ( = m)
Solida Roca ( = r) �S ≡ (1 − �) �r
(� = S) Nutrientes ( = n) cnS ≡ �S cn
STabla 1: Propiedades Intensivas asociadas a la masa de las componentes.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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ObjetivosIntroducci on
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis
El medio poroso es homogeneo e isotropico y estacompletamente saturado por las fases fluidas.
Los fluidos son ligeramente compresibles y estanseparados en los poros.
No existe difusion entre las fases y todas estan enequilibrio termodinamico.
El flujo dispersivo de microorganismos y nutrientesobedece la ley de Fick generalizada.
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ObjetivosIntroducci on
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis
El medio poroso es homogeneo e isotropico y estacompletamente saturado por las fases fluidas.
Los fluidos son ligeramente compresibles y estanseparados en los poros.
No existe difusion entre las fases y todas estan enequilibrio termodinamico.
El flujo dispersivo de microorganismos y nutrientesobedece la ley de Fick generalizada.
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ObjetivosIntroducci on
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis
El medio poroso es homogeneo e isotropico y estacompletamente saturado por las fases fluidas.
Los fluidos son ligeramente compresibles y estanseparados en los poros.
No existe difusion entre las fases y todas estan enequilibrio termodinamico.
El flujo dispersivo de microorganismos y nutrientesobedece la ley de Fick generalizada.
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ObjetivosIntroducci on
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis
El medio poroso es homogeneo e isotropico y estacompletamente saturado por las fases fluidas.
Los fluidos son ligeramente compresibles y estanseparados en los poros.
No existe difusion entre las fases y todas estan enequilibrio termodinamico.
El flujo dispersivo de microorganismos y nutrientesobedece la ley de Fick generalizada.
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ObjetivosIntroducci on
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis
Los microorganismos se parten dinamicamente entre lasfases acuosa (planctonicos) y biopelıcula (sesiles).
Los nutrientes se parten en equilibrio entre las fasesacuosa (fluyentes) y solida (adsorbidos).
Los microorganismos tienen una cinetica de crecimientodel tipo Monod y un decaimiento de tipo lineal.
No existen discontinuidades en el sistema.
Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis
Los microorganismos se parten dinamicamente entre lasfases acuosa (planctonicos) y biopelıcula (sesiles).
Los nutrientes se parten en equilibrio entre las fasesacuosa (fluyentes) y solida (adsorbidos).
Los microorganismos tienen una cinetica de crecimientodel tipo Monod y un decaimiento de tipo lineal.
No existen discontinuidades en el sistema.
Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP
ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis
Los microorganismos se parten dinamicamente entre lasfases acuosa (planctonicos) y biopelıcula (sesiles).
Los nutrientes se parten en equilibrio entre las fasesacuosa (fluyentes) y solida (adsorbidos).
Los microorganismos tienen una cinetica de crecimientodel tipo Monod y un decaimiento de tipo lineal.
No existen discontinuidades en el sistema.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesHipotesis
Los microorganismos se parten dinamicamente entre lasfases acuosa (planctonicos) y biopelıcula (sesiles).
Los nutrientes se parten en equilibrio entre las fasesacuosa (fluyentes) y solida (adsorbidos).
Los microorganismos tienen una cinetica de crecimientodel tipo Monod y un decaimiento de tipo lineal.
No existen discontinuidades en el sistema.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Velocidad de Darcy: u� = �S�v�.
Permeabilidad del medio: k = k I.
Reduccion de la porosidad: � = �0 − �.
Saturacion del medio: SA + SO + �� = 1.
Ley de Fick generalizada: � = D � ⋅ ∇ (�S�c
�), dondeD �ij = �T
�∣v�∣�ij + (�L
� − �T
�)
v� i v� j∣v�∣
+ �Dm ��ij es el
tensor de dispersion hidrodinamico, que incluye los efectosde la dispersion mecanica y la difusion molecular [5].
[5] Jacob Bear. Dynamics of fluids in porous media, Dover, USA, (1988).
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Velocidad de Darcy: u� = �S�v�.
Permeabilidad del medio: k = k I.
Reduccion de la porosidad: � = �0 − �.
Saturacion del medio: SA + SO + �� = 1.
Ley de Fick generalizada: � = D � ⋅ ∇ (�S�c
�), dondeD �ij = �T
�∣v�∣�ij + (�L
� − �T
�)
v� i v� j∣v�∣
+ �Dm ��ij es el
tensor de dispersion hidrodinamico, que incluye los efectosde la dispersion mecanica y la difusion molecular [5].
[5] Jacob Bear. Dynamics of fluids in porous media, Dover, USA, (1988).
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Velocidad de Darcy: u� = �S�v�.
Permeabilidad del medio: k = k I.
Reduccion de la porosidad: � = �0 − �.
Saturacion del medio: SA + SO + �� = 1.
Ley de Fick generalizada: � = D � ⋅ ∇ (�S�c
�), dondeD �ij = �T
�∣v�∣�ij + (�L
� − �T
�)
v� i v� j∣v�∣
+ �Dm ��ij es el
tensor de dispersion hidrodinamico, que incluye los efectosde la dispersion mecanica y la difusion molecular [5].
[5] Jacob Bear. Dynamics of fluids in porous media, Dover, USA, (1988).
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Velocidad de Darcy: u� = �S�v�.
Permeabilidad del medio: k = k I.
Reduccion de la porosidad: � = �0 − �.
Saturacion del medio: SA + SO + �� = 1.
Ley de Fick generalizada: � = D � ⋅ ∇ (�S�c
�), dondeD �ij = �T
�∣v�∣�ij + (�L
� − �T
�)
v� i v� j∣v�∣
+ �Dm ��ij es el
tensor de dispersion hidrodinamico, que incluye los efectosde la dispersion mecanica y la difusion molecular [5].
[5] Jacob Bear. Dynamics of fluids in porous media, Dover, USA, (1988).
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Velocidad de Darcy: u� = �S�v�.
Permeabilidad del medio: k = k I.
Reduccion de la porosidad: � = �0 − �.
Saturacion del medio: SA + SO + �� = 1.
Ley de Fick generalizada: � = D � ⋅ ∇ (�S�c
�), dondeD �ij = �T
�∣v�∣�ij + (�L
� − �T
�)
v� i v� j∣v�∣
+ �Dm ��ij es el
tensor de dispersion hidrodinamico, que incluye los efectosde la dispersion mecanica y la difusion molecular [5].
[5] Jacob Bear. Dynamics of fluids in porous media, Dover, USA, (1988).
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Adsorcion lineal dinamica de microorganismos: �a�cmA ,
donde �a es el coeficiente de la tasa de adsorcion y � es lafraccion de volumen ocupada por biopelıcula.Desorcion lineal dinamica condicional demicroorganismos: �r�
m (� − �irr ) para � > �irr y 0 en casocontrario, donde �r es el coeficiente de la tasa dedesorcion y �irr es la fraccion de volumen ocupadairreversiblemente por biopelıcula.Adsorcion lineal en equilibrio de nutrientes: cn
S = �nacn
A, tal
que∂cn
S∂cn
A= �n
a es el coeficiente obtenido por la isoterma
lineal de adsorcion en equilibrio de nutrientes.
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Adsorcion lineal dinamica de microorganismos: �a�cmA ,
donde �a es el coeficiente de la tasa de adsorcion y � es lafraccion de volumen ocupada por biopelıcula.Desorcion lineal dinamica condicional demicroorganismos: �r�
m (� − �irr ) para � > �irr y 0 en casocontrario, donde �r es el coeficiente de la tasa dedesorcion y �irr es la fraccion de volumen ocupadairreversiblemente por biopelıcula.Adsorcion lineal en equilibrio de nutrientes: cn
S = �nacn
A, tal
que∂cn
S∂cn
A= �n
a es el coeficiente obtenido por la isoterma
lineal de adsorcion en equilibrio de nutrientes.
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Adsorcion lineal dinamica de microorganismos: �a�cmA ,
donde �a es el coeficiente de la tasa de adsorcion y � es lafraccion de volumen ocupada por biopelıcula.Desorcion lineal dinamica condicional demicroorganismos: �r�
m (� − �irr ) para � > �irr y 0 en casocontrario, donde �r es el coeficiente de la tasa dedesorcion y �irr es la fraccion de volumen ocupadairreversiblemente por biopelıcula.Adsorcion lineal en equilibrio de nutrientes: cn
S = �nacn
A, tal
que∂cn
S∂cn
A= �n
a es el coeficiente obtenido por la isoterma
lineal de adsorcion en equilibrio de nutrientes.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Cinetica de crecimiento del tipo Monod:
� = �max
(
cnA
Km/n+cnA
)
, donde �max es la tasa maxima de
crecimiento especıfico y Km/n es la constante de afinidadde los microorganismos por los nutrientes [6].
Decaimiento de tipo lineal: �d�m� para los sesiles y �d�cm
Apara los planctonicos, donde �d es la tasa de decaimientoespecıfico de los microorganismos que supondremos igualpara ambas partes.
[6] Gaudy, A.F., Jr. & E.T. Gaudy, Microbiology for environmental scientists and engineers, McGraw-Hill Book Co.,
USA, (1980).
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesLeyes Constitutivas
Cinetica de crecimiento del tipo Monod:
� = �max
(
cnA
Km/n+cnA
)
, donde �max es la tasa maxima de
crecimiento especıfico y Km/n es la constante de afinidadde los microorganismos por los nutrientes [6].
Decaimiento de tipo lineal: �d�m� para los sesiles y �d�cm
Apara los planctonicos, donde �d es la tasa de decaimientoespecıfico de los microorganismos que supondremos igualpara ambas partes.
[6] Gaudy, A.F., Jr. & E.T. Gaudy, Microbiology for environmental scientists and engineers, McGraw-Hill Book Co.,
USA, (1980).
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesEcuaciones de Balance Local
Balance de microorganismos planctonicos
∂(�SAcmA )
∂t +∇ ⋅(
cmA uA − �SADm
A ⋅ ∇cmA
)
= (�− �d − �ma )�SAcm
A + �mr �
m (� − �irr )
Balance de microorganismos sesiles
∂ (�m�)
∂t= (�− �d ) �
m� + �ma �SAcm
A − �mr �
m (� − �irr )
Balance de nutrientes
∂
{(
�SA+�S∂cn
S∂cn
A
)
cnA
}
∂t +∇ ⋅(
cnAuA − �SADn
A ⋅ ∇cnA
)
= − �Ym/n
(
�SAcmA + �m�
)
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesEcuaciones de Balance Local
Balance de microorganismos planctonicos
∂(�SAcmA )
∂t +∇ ⋅(
cmA uA − �SADm
A ⋅ ∇cmA
)
= (�− �d − �ma )�SAcm
A + �mr �
m (� − �irr )
Balance de microorganismos sesiles
∂ (�m�)
∂t= (�− �d ) �
m� + �ma �SAcm
A − �mr �
m (� − �irr )
Balance de nutrientes
∂
{(
�SA+�S∂cn
S∂cn
A
)
cnA
}
∂t +∇ ⋅(
cnAuA − �SADn
A ⋅ ∇cnA
)
= − �Ym/n
(
�SAcmA + �m�
)
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesEcuaciones de Balance Local
Balance de microorganismos planctonicos
∂(�SAcmA )
∂t +∇ ⋅(
cmA uA − �SADm
A ⋅ ∇cmA
)
= (�− �d − �ma )�SAcm
A + �mr �
m (� − �irr )
Balance de microorganismos sesiles
∂ (�m�)
∂t= (�− �d ) �
m� + �ma �SAcm
A − �mr �
m (� − �irr )
Balance de nutrientes
∂
{(
�SA+�S∂cn
S∂cn
A
)
cnA
}
∂t +∇ ⋅(
cnAuA − �SADn
A ⋅ ∇cnA
)
= − �Ym/n
(
�SAcmA + �m�
)
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Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesCondiciones Iniciales y de Frontera
Condiciones iniciales
cmA (t = 0) = cm
A 0, � (t = 0) = �0, cnA (t = 0) = cn
A0.
Condiciones de frontera a la entrada (Flujo)
−[
c AuAin − �SAD
A ⋅ ∇c A
]
⋅ n = c AinuAin ⋅ n, = m,n.
Condiciones de frontera a la salida (Flujo advectivo)
∂c A
∂n= 0, = m,n.
Las demas fronteras son impermeables (No flujo).
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesCondiciones Iniciales y de Frontera
Condiciones iniciales
cmA (t = 0) = cm
A 0, � (t = 0) = �0, cnA (t = 0) = cn
A0.
Condiciones de frontera a la entrada (Flujo)
−[
c AuAin − �SAD
A ⋅ ∇c A
]
⋅ n = c AinuAin ⋅ n, = m,n.
Condiciones de frontera a la salida (Flujo advectivo)
∂c A
∂n= 0, = m,n.
Las demas fronteras son impermeables (No flujo).
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesCondiciones Iniciales y de Frontera
Condiciones iniciales
cmA (t = 0) = cm
A 0, � (t = 0) = �0, cnA (t = 0) = cn
A0.
Condiciones de frontera a la entrada (Flujo)
−[
c AuAin − �SAD
A ⋅ ∇c A
]
⋅ n = c AinuAin ⋅ n, = m,n.
Condiciones de frontera a la salida (Flujo advectivo)
∂c A
∂n= 0, = m,n.
Las demas fronteras son impermeables (No flujo).
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Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesCondiciones Iniciales y de Frontera
Condiciones iniciales
cmA (t = 0) = cm
A 0, � (t = 0) = �0, cnA (t = 0) = cn
A0.
Condiciones de frontera a la entrada (Flujo)
−[
c AuAin − �SAD
A ⋅ ∇c A
]
⋅ n = c AinuAin ⋅ n, = m,n.
Condiciones de frontera a la salida (Flujo advectivo)
∂c A
∂n= 0, = m,n.
Las demas fronteras son impermeables (No flujo).
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Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesResumen
Establecimos un modelo conceptual, en el que seplantearon las hipotesis, supuestos, condiciones, alcancesy limitaciones que posee el mismo. Es decir, definimoscuales y cuantas son las fases y sus componentes, cualesson las propiedades sujetas a balance, ası como lasposibles relaciones de dependencia entre estas.Mediante el uso de la Formulacion Axiomatica de Modelosen Medios Continuos, formulamos el modelo matematico,consistente de las ecuaciones diferenciales parciales debalance local para las propiedades intensivas. Resultandotantas ecuaciones como componentes hay en las fases.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesResumen
Establecimos un modelo conceptual, en el que seplantearon las hipotesis, supuestos, condiciones, alcancesy limitaciones que posee el mismo. Es decir, definimoscuales y cuantas son las fases y sus componentes, cualesson las propiedades sujetas a balance, ası como lasposibles relaciones de dependencia entre estas.Mediante el uso de la Formulacion Axiomatica de Modelosen Medios Continuos, formulamos el modelo matematico,consistente de las ecuaciones diferenciales parciales debalance local para las propiedades intensivas. Resultandotantas ecuaciones como componentes hay en las fases.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesResumen
Especificamos las leyes (fısicas, quımicas, biologicas, etc.)ligadas a la naturaleza del problema (e.g. la Ley de Darcy,de Fick, de Monod, etc.), llamadas leyes constitutivas,ligando las propiedades intensivas de interes entre sı ydefiniendo sus terminos fuente y de flujo, y permitiendoque el sistema de ecuaciones resultante este determinado.Completamos el modelo al establecer suficientescondiciones iniciales y de frontera, de manera que sedefina un problema bien planteado, es decir, que poseasolucion unica y esta dependa continuamente de lascondiciones iniciales y de frontera establecidas.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Conteo de Fases y Definici on de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
Modelo de Transportede Microorganismos y NutrientesResumen
Especificamos las leyes (fısicas, quımicas, biologicas, etc.)ligadas a la naturaleza del problema (e.g. la Ley de Darcy,de Fick, de Monod, etc.), llamadas leyes constitutivas,ligando las propiedades intensivas de interes entre sı ydefiniendo sus terminos fuente y de flujo, y permitiendoque el sistema de ecuaciones resultante este determinado.Completamos el modelo al establecer suficientescondiciones iniciales y de frontera, de manera que sedefina un problema bien planteado, es decir, que poseasolucion unica y esta dependa continuamente de lascondiciones iniciales y de frontera establecidas.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Modelo Num ericoModelo Computacional
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Modelo Num ericoModelo Computacional
Modelo Numerico y ComputacionalTransporte de Microorganismos y Nutrientes
Modelo Numerico: Consiste en hacer las eleccionesapropiadas de los metodos numericos en terminos deexactitud y eficiencia para la solucion del modelomatematico.En nuestro caso, el problema resultante es un sistema nolineal de ecuaciones diferenciales parciales concondiciones iniciales y de frontera.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Modelo Num ericoModelo Computacional
Modelo Numerico y ComputacionalTransporte de Microorganismos y Nutrientes
Para la solucion numerica aplicamos los siguientes metodos:
Para las derivadas temporales se usa una discretizacionen diferencias finitas hacia atras de segundo orden queresulta en un esquema completamente implıcito en eltiempo.
Para el resto de operadores diferenciales en derivadasespaciales empleamos una discretizacion en elementosfinitos estandar del tipo Galerkin, donde se usanpolinomios cuadraticos de Lagrange tanto para lasfunciones de base como de peso.
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ObjetivosIntroducci on
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Modelo Num ericoModelo Computacional
Modelo Numerico y ComputacionalTransporte de Microorganismos y Nutrientes
Para la solucion numerica aplicamos los siguientes metodos:
Para las derivadas temporales se usa una discretizacionen diferencias finitas hacia atras de segundo orden queresulta en un esquema completamente implıcito en eltiempo.
Para el resto de operadores diferenciales en derivadasespaciales empleamos una discretizacion en elementosfinitos estandar del tipo Galerkin, donde se usanpolinomios cuadraticos de Lagrange tanto para lasfunciones de base como de peso.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Modelo Num ericoModelo Computacional
Modelo Numerico y ComputacionalTransporte de Microorganismos y Nutrientes
El dominio tridimensional se malla de forma regular contetraedros.
Para la linealizacion del sistema de ecuaciones no linealesse aplica el metodo iterativo de Newton-Raphson.
Para la solucion del sistema de ecuaciones algebraicasresultante se utiliza el UMFPACK que es un conjunto desubrutinas que implementa el metodo directo LU paramatrices no simetricas y ralas.
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Modelo Num ericoModelo Computacional
Modelo Numerico y ComputacionalTransporte de Microorganismos y Nutrientes
El dominio tridimensional se malla de forma regular contetraedros.
Para la linealizacion del sistema de ecuaciones no linealesse aplica el metodo iterativo de Newton-Raphson.
Para la solucion del sistema de ecuaciones algebraicasresultante se utiliza el UMFPACK que es un conjunto desubrutinas que implementa el metodo directo LU paramatrices no simetricas y ralas.
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Modelo Num ericoModelo Computacional
Modelo Numerico y ComputacionalTransporte de Microorganismos y Nutrientes
El dominio tridimensional se malla de forma regular contetraedros.
Para la linealizacion del sistema de ecuaciones no linealesse aplica el metodo iterativo de Newton-Raphson.
Para la solucion del sistema de ecuaciones algebraicasresultante se utiliza el UMFPACK que es un conjunto desubrutinas que implementa el metodo directo LU paramatrices no simetricas y ralas.
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Modelo Num ericoModelo Computacional
Esquema1 Objetivos2 Introduccion
JustificacionAntecedentesFormulacion Axiomatica de Modelos en Medios ContinuosSistemas con Multiples Fases
3 Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesConteo de Fases y Definicion de Propiedades IntensivasHipotesisLeyes ConstitutivasEcuaciones de Balance LocalCondiciones Iniciales y de Frontera
4 Modelo Numerico y ComputacionalModelo NumericoModelo Computacional
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ObjetivosIntroducci on
Modelo de Transporte de Microorganismos y NutrientesModelo Num erico y Computacional
Modelo Num ericoModelo Computacional
Modelo Numerico y ComputacionalTransporte de Microorganismos y Nutrientes
Modelo Computacional: Consiste en elegir los lenguajes yplataformas mas apropiados para la implementacion encodigo de computo de los diversos metodos numericoselegidos en el modelo numerico.En nuestro caso, usamos el Modulo de Ciencias de laTierra de COMSOL Multiphysics [7], para la realizacion deeste modelo de transporte de microorganismos ynutrientes a traves de medios porosos.
[7] COMSOL Multiphysics, Earth Science Module, User’s Guide Version 3.4, COMSOL AB, USA, (2007).
Dr. Dennys A. L opez Falc on Modelo de transporte de M y N en MP