Concentración en un tanque
Considérese un tanque, que funciona por rebosado, es decir, que su alimentación es por la
parte inferior y el flujo de salida es por la parte superior del tanque y es el excedente
sobre el nivel máximo del tanque. Se supone que la densidad de entrada y de salida de
líquido dentro del tanque es la misma, y que el fluido es incompresible. El tanque tiene
dos alimentaciones, F1 y F2, como las descritas, por la parte inferior, de valor constante,
que poseen concentraciones del mismo componente A, Ca1 y Ca2, que pueden depender
del tiempo, y la concentración Ca dentro del tanque se hace uniforme instantáneamente
de manera que la concentración de salida es la misma que la del tanque y tiene un valor
inicial Cao.
Haciendo el balance de materia en estado dinámico para el componente A:
Masa que entra: F1.Ca1(t), F2.Ca2(t)
Masa que sale: F.Ca(t)
Acumulación de masa: V.dCa(t)/dt
El balance de materia dice que lo que entra de un material en un sistema sin
reacciones menos lo que sale de ese material, es el cambio de la masa de ese material en
el sistema, es decir:
dt
tdCaVFtCaFtCaFtCa
)()()()( 2211 =−+
h D
F1
Ca1
F2
Ca2
F
Ca
Además, hace falta considerar que, como el sistema es incompresible, entonces
necesariamente todo el flujo que entra debe salir, es decir:
F1+F2=F
Con esto, se obtiene la siguiente ecuación diferencial, que describe al proceso
dt
tdCatCa
V
FFtCa
V
FtCa
V
F )()()()( 21
22
11 =+−+
Esta ecuación se resolverá utilizando la transformada de laplace. Puede hallarse la
transformada de laplace, obteniéndose:
)()()()( 212
21
1 sCaV
FFsCa
V
FsCa
V
FCaossCa
+−+=−
Se puede despejar Ca(s) de esta expresión, para obtener:
1
)()(
)(
21
221
21
21
1
21
++
++
++
+=s
FF
V
sCaFF
FsCa
FF
FCao
FF
V
sCa
Para resolver este problema, es decir, para hallar la concentración del tanque en función
del tiempo se procederá de la siguiente forma:
- Se darán valores a F1, F2, V, Cao (que es la concentración inicial del liquido en el
tanque).
- Se supondrá que la concentración de entrada Ca1 cambia bruscamente, pero de manera
que se puede describir como un escalón. Suponiendo que Ca1(t) es una función escalón
que puede ser descrita como Ca1(t)=Ca1*u(t), cuya transformada de laplace es Ca1/s, lo
cual permite obtiene una solución del problema, y se supondrá que la concentración del
otro flujo Ca2(t)=0.
- Se planteará la ecuación de Ca(s), haciendo la sustitución de la función de la
concentración y los parámetros propuestos.
- Se obtendrá la transformada inversa, utilizando las tablas de transformadas.
- Se graficará el comportamiento de Ca(s) para selección de parámetros.
- Se seleccionaran otros parámetros y se repetirá este procedimiento.
- Se repetirá el mismo procedimiento pero ahora suponiendo que Ca1(t)=0 y que Ca2(t)
es una función escalón que puede ser descrita como Ca2(t)=Ca2*u(t), cuya
transformada de laplace es Ca2/s
- Por ultimo, se supondrá que Ca1(t) es una función escalón como la descrita y Ca2(t) es
una función escalón como la descrita.
A continuación se halla la solución de la concentración en el tanque para los
siguientes parámetros propuestos . Las soluciones se hallan a través de la transformada de
Laplace.
1- Se observa que el sistema es estable, es decir, para una entrada o perturbación escalón
en alguna de las concentraciones a la entrada, la respuesta se estabiliza, es decir, no
oscila ni crece sin control. Esto tiene sentido teórico, pues el sistema debe alcanzar el
equilibrio e igualar su concentración con la ponderación del flujo del fluido que entra
y l volumen del tanque del fluido que entra. Los casos mostrados dan la idea de que,
si los flujos son iguales o diferentes, pero sus concentraciones son iguales, entonces la
concentración del tanque eventualmente se hará igual a la de los flujos, ya que a
medida que transcurre el tiempo el fluido interno del tanque se diluye una y otra vez
con flujo de entrada.
2- Como puede observarse en las transformadas de laplace, la transformada inversa
posee una expresión limitada, es decir, cuando t tiende a infinito la expresión de la
concentración se estabiliza. Esto es propio de sistemas estables, y por la función
obtenida y la forma de la respuesta temporal puede decirse que el sistema es
subamortiguado, es decir, sin oscilaciones.
3- Como se puede observar, la función Ca(s) es racional cuyo denominador tienen
mayor grado que el numerador. Esto garantiza que puede hallarse la transformada
inversa de la función.
4- Un incremento del flujo de líquido hacia el tanque produce un incremento de la
velocidad de respuesta del sistema, que se observa en el tiempo de establecimiento o
cuando la concentración se hace constante.
CONCLUSIONES
- El sistema es estable para entradas estables
- El sistema responde a dos entradas de manera lineal, es decir, su respuesta ante la
suma de dos entradas es la suma de su respuesta por separado a estas entradas
- La velocidad de respuesta del sistema esta relacionada directamente con el valor del
volumen, lo que significa que los valores del volumen son los que determinan que tan
rápido o lento se comportará la concentración dentro del tanque. Para valores altos, el
tiempo de respuesta es lento. Si se disminuye el valor del volumen, el sistema
responde más rápido.
- La velocidad de respuesta del sistema esta relacionada directamente con el valor de
los flujos entrantes f1 y f2, si son altos, el sistema responderá rápidamente, si son
bajos, la respuesta del sistema será lenta.
- Las respuestas del sistema a diferentes entradas se caracterizan por tener el
comportamiento de una respuesta de primer orden.
- El método de la transformada de Laplace permite reconocer y resolver ecuaciones
diferenciales de manera sencilla y rápida.
DESCRIPCIÓN DEL PROCESO TERMICO DE UN
TANQUE DE MEZCLA COMPLETA
Considérese un tanque de agitación continua. Se tiene interés en conocer la forma
que responde la temperatura de salida T(t) a los cambios en la temperatura de entrada
Te(T). Se supone que el flujo de los líquidos de entrada y salida, la densidad, la
capacidad calorífica, son constantes y no se modifican con la temperatura. El líquido en
el tanque se mezcla bien y esta aislado del ambiente, es decir, no se pierde calor por las
paredes del tanque.
La relación entre la temperatura de entrada y salida se puede expresar mediante
una ecuación de balance de energía en estado dinámico al tanque, es decir, considerar que
el contenido de energía que entra al tanque, menos la energía que sale del tanque, es igual
al cambio de energía dentro del tanque, que se representa según:
dt
tUVdthQthQ eee
))(()()(
ρρρ =−
y expresándolo en términos de la temperatura:
dt
tTCVdtTCQtTCQ v
pepeee
))(()()(
ρρρ =−
donde el subíndice e indica entrada
Q ó f: flujo de liquido al tanque o de salida del tanque
ρ: densidad del liquido, kg/m3
Cp: capacidad calorífica a presión constante, en J/Kg-C
Cv: capacidad calorífica a Volumen constante, en J/Kg-C
V: volumen en el tanque, m3
h: entalpía del líquido, en J/kg
u: energía interna del líquido dentro del tanque, en J/Kg
Se supone que el flujo de líquido a la entrada es igual que el flujo de líquido a la salida, la
capacidad calorífica del líquido es la misma a presión constante y a Volumen constante,
la densidad del líquido es constante y de la misma manera la capacidad calorífica,
entonces se puede replantear la ecuación diferencial de la siguiente manera:
dt
tVdTtQTtQTe
)()()( =−
Que es la ecuación que describe los cambios de temperatura en el tanque
de mezcla completa, en función del flujo de entrada y salida, del volumen y la
temperatura del flujo a la entrada.
METODO DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACION DIFERENCIAL:
Se tiene la ecuación diferencial:
dt
tVdTtQTtQTe
)()()( =−
Esta ecuación se resolverá utilizando la transformada de laplace. Puede hallarse la
transformada de laplace, obteniéndose:
))0()(()()( TssTVsQTsQTe −=−
despejando T(s) se obtiene lo siguiente:
V
Qs
T
V
Qs
sTe
V
QsT
++
+= )0()(
)(
Para resolver este problema, es decir, para hallar la temperatura del tanque en función del
tiempo se procederá de la siguiente forma:
- Se darán valores a Q, V, T(0) (que es la temperatura inicial del liquido en el tanque).
- Se supondrá que la temperatura d entrada al tanque cambia bruscamente, pero de
manera que se puede describir como un escalón. Suponiendo que Te(t) es una función
escalón que puede ser descrita como Qi(t)=Te*u(t), cuya transformada de laplace es
Te/s, lo cual permite obtiene una solución del problema.
- Se planteará la ecuación de T(s), haciendo la sustitución de la función de la
temperatura y los parámetros propuestos.
- Se obtendrá la transformada inversa, utilizando las tablas de transformadas.
- Se graficará el comportamiento de T(s) para selección de parámetros.
- Se seleccionaran otros parámetros y se repetirá este procedimiento.
A continuación se halla la soluciones de la temperatura en el tanque para los
siguientes parámetros propuestos. Las soluciones se hallan a través de la transformada de
Laplace.
Parámetros:
T s( )Q
V
Te s( )
SQ
V+
⋅To
SQ
V+
+
Q 10:=
V 50:=
Te t( ) 25:=
To 70:=
T s( )Q
V
Te t( )
sQ
V+
s⋅⋅
To
sQ
V+
+:=t
T s( )5
s1
5+
s⋅
70
s1
5+
+→
Al aplicar la transformada inversa, se obtiene:
T t( ) 45 exp1−
5t⋅
⋅ 25+:=
0 5 10 15 20 2520
40
60
80
T t( )
Te t( )
t
Para los parámetros:
Q 5:=
V 100:=
Te t( ) 25:=
To 80:=
T s( )Q
V
Te t( )
sQ
V+
s⋅⋅
To
sQ
V+
+:=t
T s( )5
4 s1
20+
s⋅⋅
80
s1
20+
+→
Al aplicar la transformada inversa, se obtiene:
T t( ) 55 exp1−
20t⋅
⋅ 25+:=
0 20 40 60 80 10020
40
60
80
T t( )
Te t( )
t
Para los parámetros:
Q 20:=
V 100:=
Te t( ) 25:=
To 80:=
T s( )Q
V
Te t( )
sQ
V+
s⋅⋅
To
sQ
V+
+:=t
T s( )5
s1
5+
s⋅
80
s1
5+
+→
Al aplicar la transformada inversa, se obtiene:
T t( ) 55 exp1−
5t⋅
⋅ 25+:=
0 5 10 15 20 2520
40
60
80
T t( )
Te t( )
t
1- Como puede observarse, para una entrada o perturbación escalón produce salidas
estables, que conducen a una disminución de la temperatura del tanque. Esto tiene
sentido teórico, pues el sistema debe alcanzar el equilibrio e igualar su temperatura
con la del fluido que entra. Los casos mostrados analíticamente corresponden a
configuraciones similares a las de los calentadores de agua domésticos. Supóngase
que uno esta apagado, pero tiene agua caliente en él. Si se abre el flujo del agua, la
temperatura del agua del tanque disminuirá progresivamente, tal como es observado
en las soluciones obtenidas, dependiendo de la velocidad del flujo de agua y del
tamaño del tanque.
2- Como puede observarse en las transformadas de laplace, la transformada inversa
posee una expresión limitada, es decir, cuando t tiende a infinito la expresión del
nivel se estabiliza. Esto es propio de sistemas estables, y por la función obtenida y la
forma de la respuesta temporal puede decirse que el sistema es subamortiguado, es
decir, sin oscilaciones.
3- Como se puede observar, la función T(s) es racional cuyo denominador tienen mayor
grado que el numerador. Esto garantiza que puede hallarse la transformada inversa de
la función.
4- Un incremento del flujo de líquido a través del tanque Q produce un incremento de la
velocidad de respuesta del sistema, que se observa en el tiempo de establecimiento o
cuando la temperatura se hace constante.
CONCLUSIONES
- El sistema de la temperatura de un tanque descrito en este trabajo puede modelarse a
través de ecuaciones diferenciales ordinarias.
- El modelo puede ser resuelto por la utilización de las propiedades y el método de la
transformada de Laplace para esta ecuación, conduciendo a un resultado preciso y no
muy complicado.
- El sistema es un sistema estable, es decir, su respuesta es limitada para una salida
limitada.
- Los parámetros de la descripción y modelaje son importantes en el desarrollo y
comportamiento del sistema. Al incrementar el volumen del tanque o disminuir el
flujo de entrada al tanque, se observa una respuesta mas lenta del sistema.
- El incremento de la temperatura del flujo de entrada produce un incremento de la
temperatura a la salida del tanque (en caso de ser menor la temperatura del fluido en
el tanque) de manera que la respuesta de la temperatura de salida incrementa o
disminuye a fin de igualarse eventualmente con la temperatura de entrada a este.
DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DEL PROCESO DE UN GAS
Considérese un recipiente de gas. El recipiente actúa como amortiguador o tanque de
compensación de un proceso para el cual se desea que no haya cambios bruscos de presión. El
proceso del gas dentro del recipiente se supone a temperatura constante T y el flujo a trabes de la
válvula de salida se expresa mediante:
R
tptptqo
)()()( 2−=
Donde R es la resistencia al flujo en la válvula. Se tiene interés en conocer como
responde la presión dentro del tanque a los cambios en el flujo de entrada qi(t) y en la presión de
salida de la válvula, p2(t)
Haciendo el balance de materia en estado dinámico:
Masa que entra: ρqi(t)
Masa que sale: ρqo(t)
Acumulación de masa: dm(t)/dt
Lo que lleva a la siguiente ecuación diferencial:
dt
tdmtqtqi
)()()( 0 =− ρρ
Si la presión en el tanque es baja, entonces puede relacionarse la masa y la presión
a trabes de la ecuación del gas ideal:
)()( tmVM
TRtp g=
Donde Rg es la constante universal de los gases, V es el volumen del tanque y M
el peso molecular del gas.
Utilizando todo lo anterior, se puede entonces describir la ecuación diferencial
que describe el proceso:
q0(t) qi(t) p(t)
p2(t) R
dt
tdp
TR
VM
R
tptptq
gi
)()()()( 2 =−− ρρ
Esta ecuación diferencial se resolverá a través de la utilización de la transformada
de Laplace, para ello se procederá de la siguiente manera:
Planteando la ecuación del balance de materia en estado estacionario se obtiene
que
02 =−−R
ppqi ρρ
Al restar esta ecuación a la ecuación diferencial, y definiendo que:
222 )()(
)()(
)()(
ptptP
ptptP
qtqtQ ii
−=−=−=
Donde p2, qi y p son los valores de estado estacionario, sustituyendo y operando
se obtiene lo siguiente:
)()()()(
)()()()(
2
2
tPtKQtPdt
tdP
entonces
RK
TR
VMR
Sea
tPtRQtPdt
tdP
TR
VMR
g
g
+=+
=
=
+=+
τ
ρτ
ρ
Esta ecuación puede resolverse hallando la transformada de laplace según:
)()()()( 2 sPsKQsPssP +=+τ
Despejando P(s) se puede tener una expresión que depende de Q(s) y P2(s)
)(1
1)(
1)( 2 sP
ssQ
s
KsP
++
+=
ττ
Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma:
- Se darán valores a τ, K, suponiendo que Q(t) es una función es una función escalón
que puede ser descrita como Q(t)=Q*u(t), cuya transformada de laplace es Q/s. Por
las definiciones, Q representa el incremento o decremento del valor respecto al estado
de equilibrio, de igual manera se supone que P2(t) es un escalón de la forma
P2(t)=P2*u(t) de transformada P2/s, en donde P2 es un valor de incremento o
decremento de la presión de la válvula. Cuando se considera el efecto de una de la
variables, la otra tiene incremento 0.
- Se planteará la ecuación de P(s)
- Se obtendrá la transformada inversa
- Se graficará el comportamiento de P(s) para selección de parámetros
- Se considera que las condiciones iniciales son todas cero ya que se introdujeron
nuevas variables que reflejan la desviación del tanque del estado de equilibrio para la
presión en el tanque.
A continuación se halla la solución de la presión en el tanque para los siguientes
parámetros propuestos. Las soluciones se hallan a través de la transformada de Laplace.
- El sistema esta descrito por una ecuación diferencial que depende de dos funciones
independientes, o entradas, y al observar la ecuación diferencial obtenida, se observa
que la respuesta de la presión es la suma de las respuestas individuales a cada entrada.
- Un incremento en el flujo volumétrico a la entrada del tanque incrementa la presión
dentro del tanque, pero de manera suave, contrarrestando la brusquedad que puede
traer el flujo de entrada.
- Un incremento de la presión deseada de salida produce un incremento de la presión
dentro del tanque.
- El tanque responde a cualquier entrada a trabes de una relación con la constante τ, de
manera que, si se incrementa la resistencia (que tiene un efecto neto de incrementar el
τ) o una disminución de la temperatura o la presión (que tiene un efecto neto de
incrementar el τ), producen un enlentecimiento del sistema, es decir, que a mayor
valor de τ, mas lenta es la respuesta del sistema frente a las entradas.
- El sistema es estable, es decir, la solución de la ecuación diferencial produce una
salida continua en los números reales y sin asíntotas verticales. Esto es una
característica de los sistemas de primer orden.
- Se observa que la respuesta para entradas escalón se estabiliza o tiende a un valor
prefijado por la magnitud del escalón de la perturbación.
CONCLUSIONES
- El sistema es estable para entradas estables
- El sistema responde a dos entradas de manera lineal, es decir, su respuesta ante la
suma de dos entradas es la suma de su respuesta por separado a estas entradas
- La velocidad de respuesta del sistema esta relacionada directamente con el valor de τ,
lo que significa que los valores de τ son los que determinan que tan rápido o lento se
comportará la presión dentro del tanque. Para valores altos, el tiempo de respuesta es
lento. Si se disminuye el valor de τ, el sistema responde más rápido.
- Las respuestas del sistema a diferentes entradas se caracterizan por tener el
comportamiento de una respuesta de primer orden.
- La respuesta del tanque es de incremento-incremento: si se produce un incremento en
alguna de las entradas, la incrementará ajustada a la relación dada por τ.
- El método de la transformada de Laplace permite reconocer y resolver ecuaciones
diferenciales de manera sencilla y rápida.
- Es posible amortiguar el valor de la presión de una tubería por medio de la colocación
de un tanque como el descrito
DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE DOS TANQUES EN
SERIE
Se tienen dos tanques idénticos inicialmente vacíos con sección transversal A. En el instante t = 0
se vacía un caudal constante de valor Qi en el primer tanque, por lo que se produce un caudal
Qo1(t) en su salida, controlado por una resistencia lineal al flujo R=h1/Qo1 m/(m3/s). Este caudal
alimenta un segundo tanque en el cual se produce un caudal Qo2(t) en su salida, controlado por
una resistencia lineal al flujo R=h2/Qo2 m/(cm3/s) del mismo valor que la primera. Considerando
el flujo Qi(t) como la entrada y el flujo Qo2(t) como la salida.
Es evidente que este sistema consta de dos subsistemas con funcionamiento idéntico en cascada.
Qi (t)
h (t)1
h (t)2
Qo (t)1
Qo (t)2
R
R
Balance de masa para un tanque:
Acumulación de masa en el tanque = flujo de masa de entrada - flujo de masa de salida
Donde
Acumulación de masa en el tanque: )]([ tAhdt
d ρ
Flujo de masa de entrada: )(tQiρ
Cascada de dos tanques.
Flujo de masa de salida: )(1
)( thR
tQo ρρ = .
Al reemplazar estas expresiones en el balance de masa, se obtiene la ecuación diferencial que
describe el flujo de salida en cada uno de los tanques:
)(1
)(1)(
)(1
)(1)(
121
222
2
11
11
1
thAR
thARdt
tdh
tQA
thARdt
tdhi
=+
=+
.
Así, cada uno de los tanques se comporta como un sistema de primer orden.
Estas ecuaciones diferenciales se resolverán utilizando la transformada de laplace.
Puede hallarse la transformada de laplace para ambas, obteniéndose:
111
)(1)()(1
AR
sH
A
sQssH i −=
−=
2221
)(2)(1)(2
AR
sH
AR
sHssH
Se obtiene despejando que:
Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma:
- Se darán valores a R1, R2, A1, A2, Qi, suponiendo que Qi(t) es una función escalón
que puede ser descrita como Qi(t)=Qi*u(t), cuya transformada de laplace es Qi/s
- Se plantearán las ecuaciones de H1(s) y H2(s)
- Se obtendrá la transformada inversa
- Se graficará el comportamiento de H1(s) y H2(s) para selección de parámetros
- Se considera que las condiciones iniciales son todas cero para los niveles de ambos
tanques, por la simplicidad que esto introduce en los cálculos, ya que la aparición de
condiciones iniciales diferentes de cero implican solamente un corrimiento de la
grafica hacia arriba (no tiene sentido que el nivel inicial sea negativo) y la respuesta
se comporta de la misma manera.
A continuación se hallan las soluciones de los niveles en ambos tanques para los
siguientes parámetros propuestos. Las soluciones se hallan a través de la transformada de
Laplace.
La Gráfica de ambas funciones es la siguiente, para una función de entrada o
forzamiento Qi(t)
De igual manera, para otro conjunto de parámetros se obtiene lo siguiente:
Hallando la transformada inversa
De igual manera que en caso anterior, se muestra la
grafica
1- Para el sistema, cuando el flujo a la entrada se comporta como un escalón, se obtienen
salidas estables, que conducen a un incremento del nivel del tanque, Esto sucede
porque el sistema debe alcanzar el equilibrio con el otro tanque al igualar
eventualmente el flujo que entra al tanque 1 con el que sale por la resistencia, ya que
el flujo que pasa al otro tanque es proporcional al nivel en el tanque 1.
2- Como puede observarse en las transformadas de laplace, la transformada inversa no
es infinita, es decir, que es una función continua para tiempos mayores que cero, y
tiende a estabilizarse cuando t crece, es decir, el sistema alcanza el estado
estacionario si cada tanque es lo suficientemente grande. Esto es propio de sistemas
estables, y por la función obtenida y la forma de la respuesta temporal puede decirse
que el sistema es subamortiguado, es decir, sin oscilaciones.
3- Como se puede observar, las funciones H1(s) y H2(s) son funciones racionales.
4- Un incremento del flujo de entrada Qi produce un incremento del nivel final del
líquido en ambos tanques y una disminución del flujo conduce a lo contrario.
CONCLUSIONES
- El sistema de dos tanques descrito en este trabajo puede modelarse a través de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
- El sistema de dos tanques es un sistema estable
- El modelo de dos tanques en serie puede ser resuelto por la utilización de las
propiedades y el método de la transformada de Laplace.
- Los parámetros de la descripción y modelaje son importantes en el desarrollo y
comportamiento del sistema. Al incrementar cualquiera de las resistencias o aumentar
el área transversal del tanque, se observa una respuesta mas lenta del sistema a
cualquier entrada.
- El incremento del flujo de perturbación o entrada conduce a un incremento en el nivel
final o nivel de estado estacionario.
DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE DOS TANQUES ACOPLADOS
Considérese el siguiente sistema. Se tienen dos tanques acoplados por una
resistencia lineal al flujo de R1 cm/(cm3/s). En el instante t = 0 se vacía un caudal
constante de valor Qi en el primer tanque, por lo que se produce un caudal Qo1(t) en su
salida que alimenta el segundo tanque a través del acoplamiento R1. Se produce así un
caudal Qo2(t) en la salida del segundo tanque, controlado por una resistencia lineal al
flujo R2 cm/(cm3/s). En este sistema la entrada es el caudal de entrada Qi(t) y la salidas
son los niveles h1(t) y h2(t) de líquido en ambos tanques
Qi (t)
h (t)1 h (t)2
Qo (t)1 Qo (t)2
R1 R2
Balance de materia en el tanque 1:
Entrada: Qi(t)
Salida: Qo1(t)=1
)(2)(1
R
thth −
Acumulación de Volumen: dt
tdhA
dt
tdV )(1)(1
1 =
El balance de materia en el primer tanque es, por tanto:
111
)(2)(1)(
)(1
R
th
R
thtQ
dt
tdhA i +−=
Despejando se obtiene que:
11111
)(2)(1)()(1
AR
th
AR
th
A
tQ
dt
tdh i +−=
Balance de materia en el tanque 2:
Entrada: Qo1(t)= 1
)(2)(1
R
thth −
Salida: Qo2(t)=2
)(2
R
th
Acumulación de Volumen: dt
tdhA
dt
tdV )(2)(2
2 =
El balance de materia en el segundo tanque es, por tanto:
212
)(2)(2)(1)(2
R
th
R
thth
dt
tdhA +−=
Despejando:
+−=
222111
11)(2
)(1)(2
ARARth
AR
th
dt
tdh
Entonces, deben resolverse las dos ecuaciones diferenciales:
11111
)(2)(1)()(1
AR
th
AR
th
A
tQ
dt
tdh i +−=
+−=
222111
11)(2
)(1)(2
ARARth
AR
th
dt
tdh
Estas ecuaciones diferenciales se resolverán utilizando la transformada de laplace.
Puede hallarse la transformada de laplace para ambas, obteniéndose:
11111
)(2)(1)()(1
AR
sh
AR
sh
A
tQssH i +−=
+−=
222121
11)(2
)(1)(2
ARARsH
AR
sHssH
)(111
1)(2
221212
sH
RARAsRA
sH
++
=
Y con esto, sustituyendo en la ecuación transformada para H1(s) se obtiene que:
Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma:
- Se darán valores a R1, R2, A1, A2, Qi, suponiendo que Qi(t) es una función escalón
que puede ser descrita como Qi(t)=Qi*u(t), cuya transformada de laplace es Qi/s
- Se plantearán las ecuaciones de H1(s) y H2(s)
- Se obtendrá la transformada inversa
- Se graficará el comportamiento de H1(s) y H2(s) para selección de parámetros
- Se considera que las condiciones iniciales son todas cero para los niveles de ambos
tanques, por la simplicidad que esto introduce en los cálculos, ya que la aparición de
condiciones iniciales diferentes de cero implican solamente un corrimiento de la
grafica hacia arriba (no tiene sentido que el nivel inicial sea negativo) y la respuesta
se comporta de la misma manera.
Parámetros propuestos:
Las funciones H1(s) y H2(s)
Las transformadas inversas son:
La Gráfica de ambas funciones es la siguiente, para una función de entrada o forzamiento
Qi(t)
Parámetros propuestos:
Las funciones H1(s) y H2(s)
H1(s)=
H2(s)=
Hallando la transformada de laplace inversa:
Igual que para el caso anterior, se muestra la gráfica
1- el sistema acoplado, para una entrada o perturbación escalón produce salidas estables,
que conducen a un incremento del nivel de ambos tanques. Esto tiene sentido pues el
sistema debe alcanzar el equilibrio con el otro tanque al igualar eventualmente el flujo
que entra al tanque 1.
2- se observa que las funciones H1(s) y H2(s) son funciones racionales cuyos
denominadores tienen mayor grado que el numerador.
3- Un incremento del flujo de entrada Qi produce un incremento del nivel final del
líquido en ambos tanques y una disminución del flujo conduce a lo contrario.
CONCLUSIONES
- El sistema de dos tanques acoplados se puede representar a través de dos ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes.
- El modelo de dos tanques acoplados se puede resolver a través de la transformada de
Laplace.
- Al incrementar cualquiera de las resistencias o aumentar el área transversal del
tanque, se observa una respuesta mas lenta del sistema a cualquier entrada.
- El sistema de dos tanques acoplados es un sistema estable cuando la entrada es una
entrada limitada y continua.
- El comportamiento del sistema se estabiliza cuando el tiempo se hace muy grande
SISTEMA DE TRES TANQUES NO INTERACTIVOS
Se tienen tres tanques idénticos inicialmente vacíos con sección transversal A1, A2,
A3. En el instante t = 0 se vacía un caudal constante de valor Qi en el primer tanque, por
lo que se produce un caudal Qo1(t) en su salida, Este caudal alimenta un segundo tanque
en el cual se produce un caudal Qo2(t) en su salida, y de la misma manera al tercer tanque
considerando un flujo de salida del tercer tanque Qo3(t).
De la ley de Bernoulli, se sabe que el flujo de salida de un tanque, descrito como
se sugiere, a través de un orificio, es proporcional a la raíz cuadrada del nivel en el
tanque. Se procede a deducir las ecuaciones a través de un balance de materia para cada
tanque.
La ecuación del balance de masa para un tanque con las características propuestas
es:
Acumulación de masa en el tanque = flujo de masa de entrada - flujo de masa de salida
Donde
Acumulación de masa en el tanque: )]([ tAhdt
d ρ
Flujo de masa de entrada: )(tQiρ
Flujo de masa de salida: )(..)( thcvtQo ρρ = .
Al reemplazar estas expresiones en el balance de masa, se obtiene la ecuación diferencial
que describe el flujo de salida en cada uno de los tanques, y al suponer que la densidad es
constante, es decir, que el balance de masa es equivalente al balance de volumen, se
obtiene:
dt
tdhAthCvthCv
dt
tdhAthCvthCv
dt
tdhAthCvtqi
)(3)(3.3)(2.2
)(2)(2.2)(11
)(1)(1.1)(
3
2
=−
=−
=−
Que es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.
Estas ecuaciones diferenciales se linealizarán para tener un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales y se resolverán utilizando la transformada de laplace.
Una expresión de linealización para
xy =
Esta dada por:
2
1
2
1 +≅ xy
Para los valores de x cercanos a 1.
Véase la comparación de los comportamientos gráficos para esta aproximación
Con esto, las nuevas expresiones aproximadas para las ecuaciones diferenciales son:
Obteniendo la transformada de laplace de las expresiones anteriores
Y con esto, sustituyendo en cada expresión de nivel las ecuaciones de las otras
expresiones, se obtiene
Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma:
- Se darán valores a cv, A1, A2, A3, Qi, suponiendo que Q(t) es una función escalón que
puede ser descrita como Q(t)=Q*u(t), cuya transformada de laplace es Q/s
- Se plantearán las ecuaciones de H1(s), H2(s), H3(s)
- Se obtendrá la transformada inversa
- Se graficará el comportamiento de H1(s), H2(s) y H3(s) para selección de parámetros
- Se considera que las condiciones iniciales son todas cero para los niveles de los
tanques, por la simplicidad que esto introduce en los cálculos, ya que la aparición de
condiciones iniciales diferentes de cero implican solamente un corrimiento de la
grafica hacia arriba (no tiene sentido que el nivel inicial sea negativo) y la respuesta
se comporta de la misma manera.
A continuación se hallan las soluciones de los niveles en los tanques para los siguientes
parámetros propuestos. Las soluciones se hallan a través de la transformada de Laplace.
La Gráfica de ambas funciones es la siguiente, para una función de entrada o
forzamiento Qi(t)
De igual manera, para otro conjunto de parámetros se obtiene lo
siguiente:
De igual manera que en caso anterior, se muestra la
grafica
1- cuando el flujo a la entrada se comporta como un escalón se obtienen incrementos de
los niveles de cada tanque hasta alcanzar el equilibrio, que se obtiene cuando el flujo
de entrada se iguala al flujo de salida, esto se debe a que el nivel de cada tanque no
puede aumentar infinitamente si se produce una salida que es proporcional a la altura
si la entrada es constante. Esto quiere decir que eventualmente se alcanzará un nivel
que producirá como salida el mismo valor de entrada de flujo en la parte superior, con
lo que se estabilizaría el sistema
2- Las expresiones de la transformada de laplace y de las soluciones analíticas obtenidas
muestran que las respuestas no son infinitas, es decir, que el sistema se estabilizará
cuando el tiempo se haga muy grande. Esto, de manera práctica, se observa en las
gráficas obtenidas en la resolución, ya que se observa como el comportamiento de la
respuesta de cada tanque tiende a un valor estable.
3- Como se puede observar, las funciones H1(s), H2(s) y H3(s) son funciones
racionales.
4- La representación del sistema de ecuaciones utilizando su contraparte escrita a través
de la aproximación para la raíz cuadrada muestra, debido a las comparaciones
gráficas de comportamiento y valores, ser una aproximación válida para el sistema,
que permite obtener sus propiedades utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales
lineales.
5- Al modelar el sistema de tres tanques, si se modifica el valor del flujo de alimentación
de su valor propuesto 1, la respuesta estimada a través de la aproximación se aleja de
la respuesta del sistema no aproximado, llegando a la estabilización a valores mas
bajos de nivel para cada tanque. Esto se debe a que la aproximación es optima cuando
los valores del nivel son cercanos a 1, a medida que el nivel se aleja del valor 1, las
respuestas de ambos modelos deben diferir.
6- Un incremento del flujo de entrada Qi produce un incremento del nivel final del
líquido en los tanques y una disminución del flujo conduce a lo contrario.
7- Un incremento de la constante CV del flujo tiene como resultado una disminución del
nivel final de cada tanque, ya que la cantidad de flujo que atraviesa la descarga se
incrementa pues es proporcional a esta. Una disminución de CV produce un
incremento del nivel final del tanque, por el mismo motivo
8- La respuesta del tanque 2 es mas lenta que la del tanque 1 ya que el segundo tanque
responde a una velocidad que es limitada por la respuesta del tanque anterior. Esto
indica que el tercer tanque debe ser el mas lento de todos en llegar a la estabilización,
lo cual es cierto como puede observarse en las gráficas.
CONCLUSIONES
- El sistema de tres tanques descrito puede modelarse a través de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
- El sistema de tres tanques descrito en este trabajo puede aproximarse utilizando una
aproximación de la raíz cuadrada tal como es descrito en este trabajo.
- El sistema de ecuaciones diferenciales para los tres tanques obtenido a través de la
aproximación de la raíz cuadrada es un sistema de ecuaciones lineales de primer
orden.
- El sistema es estable.
- El modelo puede ser resuelto por la utilización de las propiedades y el método de la
transformada de Laplace.
- Los parámetros de la descripción y modelaje son importantes en el desarrollo y
comportamiento del sistema.
- El incremento del flujo de perturbación o entrada conduce a un incremento en el nivel
final o nivel de estado estacionario.