Introducción
• En las modulaciones de amplitud, la amplitud de la portadora seguía las variaciones de la señal moduladora en banda base.
• En el caso de las modulaciones angulares, es el ángulo de la señal portadora que sigue las variaciones de la señal en banda base, mientras la amplitud de la portadora se man1ene constante.
€
c(t) = Ac cos(2πfct + φc ) = Ac cos(ϑ(t))
Variará según la señal moduladora
Tipos de modulaciones angulares
• Hay dos 1pos: modulación en frecuencia (FM), y modulación en fase (PM). Son muy similares y 1enen una relación estricta entre si.
• Las modulaciones angulares poseen caracterís1cas mejores frente al ruido respecto a las modulaciones de amplitud.
Frecuencia instantánea
• dada la señal modulada (vamos a considerar funciones de este 1po):
• La rela1va frecuencia instantánea es:
• Por ejemplo si :
€
s(t) = Ac cos ϑ(t)[ ] = Ac cos 2πfct + φ(t)[ ]
€
fi(t) =12π
dϑdt
= fc +12π
dφdt
€
ϑ(t) = 2πfct + φc
€
fi(t) = fc
Dependerá de m(t)
Modulación PM
• en este caso el ángulo es (relación lineal con ):
• Así que la señal modulada PM es:
• y la frecuencia instantánea resulta ser: €
s(t) = Ac cos 2πfct + kpm(t)[ ]
€
fi(t) =12π
dϑdt
= fc +kp2π
dm(t)dt
€
ϑ(t) = 2πfct + φ(t) = 2πfct + kpm(t)
€
kp: Sensibilidad en fase
€
m(t)
Modulación FM
• en este caso el ángulo es:
• Así que la señal modulada FM es:
• y la frecuencia instantánea resulta ser (relación lineal con ): €
s(t) = Ac cos 2πfct + 2πk f m(τ)dτ−∞
t∫[ ]
€
fi(t) =12π
dϑdt
= fc + k f m(t)
€
ϑ(t) = 2πfct + φ(t) = 2πfct + 2πk f m(τ)dτ−∞
t∫
€
k f : Sensibilidad en frecuencia
€
m(t)
El integral es definido solo para no dejar constantes no determinadas.
Modulación PM-‐FM
• la relación entre los 1pos de modulaciones es muy estrecha.
Modulación FM
€
s(t)
€
m(t)
Modulación PM
€
s(t)
€
m(t)Integrador
Es equivalente a:
Modulación PM
€
s(t)
€
m(t)
Modulación FM
€
s(t)
€
m(t)diferenciador
Es equivalente a:
Índice de modulación
• Para modulación PM:
• Para modulación FM:
• donde W es el ancho de banda de la señal moduladora.
€
βp = Δφmax = kpmax m(t)[ ]
€
βf =ΔfmaxW
=k f max m(t)[ ]
W
Ejemplo: Tono simple
• Consideremos la moduladora:
€
m(t) = acos(2πfmt)
€
fm << fc
€
φ(t) = kpm(t) = kpacos(2πfmt)
€
φ(t) = 2πk f m(τ)dτ =k f afmsin(2πfmt)−∞
t∫
€
βp = kpa
€
βf =k f afm
€
s(t) = cos(2πfct + βp cos(2πfmt))
€
s(t) = cos(2πfct + βf sin(2πfmt))
Modulación PM Modulación FM
PM-‐FM de banda estrecha
• La señal modulada se puede expresar:
• Si la señal moduladora permite escribir:
€
φ(t) <<1€
s(t) = Ac cos 2πfct + φ(t)[ ] = Ac cos(2πfct)cos(φ(t)) − Ac sin(2πfct)sin(φ(t))
€
s(t) = Ac cos(2πfct)cos(φ(t)) − Ac sin(2πfct)sin(φ(t))≈ Ac cos(2πfct) − Ac sin(2πfct)φ(t)€
cos(φ(t)) ≈1sin(φ(t)) ≈ φ(t)
PM-‐FM de banda larga
• Dada la equivalencia entre los dos 1pos de modulaciones, nos concentraremos sobre FM.
• El estudio de las propiedades espectrales de la modulación angular es matemá1camente intratable.
• por esta razón vamos primero (y ul1mo ;) ) a tratar el caso de una señal moduladora de tono simple:
€
m(t) = acos(2πfmt)
€
fm << fc
FM-‐tono simple
• Hemos visto que la señal modulada resulta ser:
€
s(t) = cos(2πfct + βf sin(2πfmt))
€
s(t) = Re Acej 2πfc te jβ f sin(2πfmt )( )
Podemos expresarlo así en términos de exponenciales complejos.
Nos vamos a concentrar sobre este termino (que es periódico con frecuencia ).
€
fm
FM-‐tono simple
• Vamos a expresar este termino en serie (es periódico) de Fourier; los coeficientes son:
• este ul1mo integral es muy conocido como función de Bessel de primer 3po y de orden n indicada como: €
cn = fm e jβ f sin(2πfmt )e− jn2πfmtdt0
1/ fm∫ =
=u=2πfmt 1
2πe j(β f sin(u)−nu)du
0
2π∫ Esta cambio de va
variable … es muy sencillo, verdad ?!!
€
Jn (βf ) = cnLo coeficientes coinciden con las funciones de Bessel
Funciones de Bessel
• Las funciones de Bessel de primer 1po son las soluciones de la ecuación diferencial ( ) :
• se puede intentar resolverla con el método de Frobenius que consiste en buscar soluciones expresada por una serie:
• y luego subs1tuir en la ecuación para buscar relaciones entre los coeficientes .
€
x 2 d2ydx 2
+dydx
+ (x 2 + n2)y = 0
€
y = f (x) = Jn (x)€
y = f (x)
soluciones
€
y = akxk
k=0
∞
∑
€
ak
FM-‐tono simple
• Entonces podemos expresar aquel termino en serie de Fourier en esta forma:
• y podemos subs1tuir en la señal modulada:
€
e jβ f sin(2πfmt ) = Jn (βf )ejnβ f 2πfmt
n=−∞
+∞
∑
€
s(t) = Re Acej 2πfc te jβ f sin(2πfmt )( ) = Re Ace
j 2πfc t Jn (βf )ejnβ f 2πfmt
n=−∞
+∞
∑⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
s(t) = AcJn (β f )cos(2π ( fc + nfm )t)n=−∞
+∞
∑
Funciones de Bessel
En este caso nuestra x es
€
βf
Solo n=0 es relevante
€
βf fijo
Existen también por n no entero, por ejemplo:
€
J1/ 2(x) =2πxsin(x)
J−1/ 2(x) =2πxcos(x)
FM-‐tono simple
• La formula:
• muestra como ya para una señal sencilla de tono simple, la señal modulada FM con1ene todas las frecuencias de la forma:
• Es decir, el ancho de banda, en realidad, es infinito (dado que en general los coeficientes no son nulos).
€
s(t) = AcJn (β f )cos(2π ( fc + nfm )t)n=−∞
+∞
∑
€
fc + nfm
€
n = 0,±1,±2....
€
Jn (βf )
FM-‐tono simple
• Pero vamos a ver que por n grande la amplitud asociada a la frecuencia es muy pequeña.
• Queremos, entonces, definir un ancho de banda efec3vo para la señal modulada. Por esta razón, vamos a estudiar los coeficientes:
• para pequeño se puede cortar cortar la serie al termino k=0:
€
fc + nfm
€
Jn (βf )
€
Jn (βf ) =(−1)k β f
2( )n+2k
k!(k + n)!k=0
∞
∑
€
Jn (βf ) ≈βf
n
2n n!€
βf
€
J−n (β f ) = (−1)n Jn (β f )Vale esta relación por n entero
Ancho de banda efec1vo
• Se define como ancho de banda efec1vo en una modulación angular, las frecuencias que con1enen más del 98% de la potencia de la señal.
€
BC = 2(β+1) fm
€
BC = 2(β+1)WEn general Caso tono simple
€
β =
βp = kpmax m(t)[ ]
β f =k f max m(t)[ ]
W
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
β =
βp = kpa
β f =k f afm
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
m(t) = acos(2πfmt)
Regla de Carson
PM
FM
PM
FM
Ancho de banda efec1vo
• Analizando solo el caso de tono simple, es interesante estudiar los efectos de la amplitud y la frecuencia de la señal moduladora sobre el ancho de banda efec1vo:
• Un aumento de amplitud genera un aumento del ancho de banda en ambos casos de la misma manera, mientras la frecuencia afecta mayormente la modulación PM (siendo un factor mul1plica1vo) que la modulación FM (solo factor adi1vo). En ambos casos, también un aumento de la frecuencia genera un aumento del ancho de banda.
€
m(t) = acos(2πfmt)
€
Bc =(kpa +1) fmk f a + fm
⎧ ⎨ ⎩
PM
FM
€
fm