Razonamiento Lgico Matemtico
UTILIZANDO LA LGICA SIMBLICA EN
SITUACIONES DE NUESTRO CONTEXTO
Un
ida
d I
El hombre que hace algo puede
equivocarse pero aquel que no hace
nada ya est equivocado. E. Rtterdam
Capacidades
- Identifica y elabora proposiciones lgicas. - Demuestra la validez de una inferencia empleando leyes
de equivalencia o tablas de verdad. - Usa el cuantificador lgico, universal y existencial en la
simbolizacin de proposiciones. - Simboliza y disea circuitos lgicos.
Razonamiento Lgico Matemtico
Tema: 1
PROPOSICIONES Y CONECTIVOS LGICO, SIMBOLIZACIN Y VALORACIN DE PROPOSICIONES
http://xtianlb.blogspot.com/2009/03/adivinanza-alemana.html
1. K 1.1 Resea histrica de la lgica
La lgica se inicia con Aristteles (384-322 A.C.)Quien fue el primero en
desarrollar el anlisis formal de los razonamientos. Los escritos lgicos de Aristteles
estn reunidos en un libro llamado Organon (significa instrumento, propedutica,
metodologa) que contiene cinco tratados como son: Las categoras, Sobre las
proposiciones, Los analticos (primeros y segundos), Los tpicos y Las refutaciones
sofsticas. De estos cinco tratados Los analticos es el documento que contiene la
naturaleza de la lgica y el silogismo.
Posteriormente se inicia la lgica moderna con Leibniz (1646-1716) quien
desarroll el clculo de la lgica proposicional (Mathesis universalis); Euler (1707-
1783), introdujo los diagramas que lleven su nombre para ilustrar geomtricamente los
silogismos. En 1854, el matemtico ingls George Boole public su obra An
investigation of the laws of thought (una investigacin de las leyes del pensamiento)
dando origen a la lgica matemtica, interpretando de esta manera la afinidad de la lgica
de clases y la lgica proposicional.
El estudio de la lgica es fundamental en
la vida del ser humano, ya que mediante
ella es posible disciplinar y ordenar el
conocimiento. Slo mediante el
conocimiento, el hombre es capaz de
realizar su propia esencia, perfeccionando
su vida: cuando la razn es el faro que
gua las acciones del hombre, ste tiene
que llegar necesariamente a la verdad
Daniel Mrquez Muro.
Razonamiento Lgico Matemtico
Russell (1848-1925) junto con Whitehead (1861-1947) escribe Principia
matemtica, obra que gener investigaciones sobre la inferencia y sus aplicaciones.
Actualmente la lgica moderna tiene mltiples aplicaciones en todos los campos.
No olvides que: Francisco Mir Quesada Cantuarias, fue quien introduce y desarrolla
la lgica matemtica en Latinoamrica.
1.2 Lgica
Es la ciencia que estudia los mtodos o procedimientos formales para aplicar las
leyes o reglas lgicas en el anlisis de validez de las inferencias. Esta Disciplina tiene
aplicacin en todos los campos del saber; en la filosofa para determinar si un
razonamiento es vlido o no. Los matemticos usan la lgica para demostrar teoremas e
inferir resultados. En computacin, para revisar programas y crear algoritmos. Existen
circuitos integrados que realizan operaciones lgicas como los bits, gracias a ello se ha
logrado el desarrollo de la tecnologa.
1.3 Definiciones bsicas de lgica
1.1.1. Lgica Proposicional
Es una parte de la lgica que estudia las proposiciones y su relacin entre ellas, as
como las funciones que tienen las variables proposicionales y los conectivos lgicos.
1.1.2. Enunciado
Es toda frase u oracin que seala alguna idea. Algunos enunciados son mandatos,
interrogaciones o expresiones de emocin; otros en cambio son afirmaciones o
negaciones que tienen la caracterstica de ser verdaderos o falsos.
Ejemplos:
Cmo ests?
Esas flores son hermosas.
El cuadrado y el crculo son polgonos.
Maana ser viernes.
( a + b)2 = 625
Juan es profesor de la USS.
X + 3 < 14
5 es divisor de 130.
Chiclayo es la ciudad de la amistad
Suker y Ronaldo juegan muy bien.
Eres un campen!
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1.1.3. Enunciado Abierto
Llamada tambin funcin proposicional, es un enunciado en el que intervienen una o
ms variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una proposicin lgica
cuando la variable asume un valor determinado.
Ejemplos:
El es un escritor peruano.
3662 xx
m + n 3
Ella es una psicloga.
N es un nmero impar.
1.1.4. Proposicin
Llamado tambin enunciado cerrado, es toda expresin coherente que se caracteriza
por poseer un valor de verdad (V) o falsedad (F) sin ambigedad, en un determinado
contexto. Por lo general se denotan con letras minsculas como: p, q, r, s, etc., las
cuales son llamadas variables proposicionales y se analizan en una tabla de verdad.
Ejemplos:
La luna es un satlite. (V)
132 es un nmero divisible por 2 y por 3. (V)
Ciro Alegra no fue literato. (F)
La velocidad es una magnitud vectorial. (V)
( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (V)
Los Moches se caracterizaron por sus huacos retrato. (V)
16 es mltiplo de 7. (F)
1250 20*102 + 5. (F)
Los enunciados abiertos usan las palabras
el, ella y los smbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero cuando se
reemplazan estas palabras o smbolos por
un determinado objeto o valor resultan ser
proposiciones.
p V
F
Tabla de
verdad Valores veritativos
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1.1.5. Proposiciones Simples y Compuestas
PROPOSICIN SIMPLE PROPOSICIN COMPUESTA
Llamada tambin atmica o elemental,
mondicas o monarias. Expresa una sola
idea y se representa por una sola variable
(tienen un solo sujeto y un solo predicado),
no tienen conjunciones gramaticales ni
adverbio de negacin.
Ejemplos:
El bosque de Pomac se encuentra en
Ayacucho.
1771 es un nmero capica.
El Seor de Sipn fue encontrado en el
departamento de Lambayeque.
3 es un nmero par.
Llamada tambin molecular o coligativa, esta
formadas por dos o ms proposiciones simples
unidas por conjunciones gramaticales
(conectivos) o afectados por el adverbio de
negacin NO.
Ejemplos:
15 es divisible por 3 y mltiplo de 5.
Arequipa no es llamada la ciudad blanca.
Si maana sale el sol entonces iremos de
paseo.
Lus es abogado o ingeniero.
O Jorge esta en Chiclayo o en Trujillo.
2 + 3 + 5 + 1 >11 y 2 + 3 > 5 + 1
1.1.6. Conectivos Lgicos
Los conectivos lgicos son palabras que sirven para enlazar proposiciones o cambiar
el valor veritativo de una proposicin. Sean las proposiciones p y q. Tenemos:
SMBOLO OPERACIN ASOCIADA ESQUEMA SIGNIFICADO O
INTERPRETACIN
Negacin simple, interna o ligada. p No, no es cierto que
Conjuncin producto lgico pq Y ,pero, sin embargo , no
obstante, aunque, etc.
Disyuncin inclusiva o Incluyente
Disyuncin Dbil suma lgica pq O, salvo, a menos que, excepto
Implicacin Condicional,
condicional simple implicacin
material
pq
Si entonces; implica; por lo
tanto; de ah que; de modo que;
luego; en consecuencia; por
consiguiente, etc.
Doble implicacin Bicondicional,
equivalencia, etc.
pq
Si y solo si; siempre y solo
cuando; solamente si; entonces y
solo entonces es idntico;
cuando y solo cuando, etc.
Diferencia simtrica O Disyuncin
Exclusiva Excluyente Disyuncin
fuerte
pq
O O ; A no ser que
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1.1.7. Operaciones con Proposiciones
De la misma forma como en la aritmtica y en el algebra se estudian operaciones
entre nmeros, en lgica se estudian operaciones entre proposiciones donde se
determina su valor de verdad de la proposicin resultante.
A) Negacin:
Es una proposicin cuyo valor es opuesto al de la proposicin original.
Ejemplo: Sea: p: Augustus de Morgan fue matemtico.
p: Augustus de Morgan no fue matemtico.
Su tabla de verdad es:
B) La Conjuncin:
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico y.
Ejemplo: 8
57 8
Su tabla de verdad es la siguiente
Nota: Las palabras pero; sin embargo; adems; aunque; no
obstante, equivalen al conectivo de la conjuncin.
p p
V F
F V
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Una tabla de verdad de una proposicin da los valores verdaderos (que pueden ser V o F) de la proposicin para todas las asignaciones posibles. El nmero de valores que se asigna a cada variable proposicional est dada por la frmula:
2n Donde: n es el nmero de proposiciones simples.
Las palabras: no, no es cierto que, no es verdad que, es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc.
Equivale al conectivo
La conjuncin es verdadera nicamente cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa.
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C) Disyuncin inclusiva o incluyente o disyuncin dbil:
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo O.
Ejemplo:
Su tabla de verdad es la siguiente:
D) Implicacin o condicional
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjuncin
condicional: Sientonces o sus equivalentes. La proposicin condicional
consta de 2 elementos, el antecedente y el consecuente.
Ejemplo: 15 3
5 15
Su tabla de verdad es:
Nota: Algunas formas gramaticales de la condicional son: p de ah que q; p implica q; p
de modo que q; p por lo tanto q; p deviene q; p conclusin q; dado p por eso q; p luego q;
cuando p as pues q; p por consiguiente q; de p derivamos q; p cada vez que q, etc.
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
La disyuncin slo es falsa cuando sus componentes son falsas en otros casos es verdadera.
La condicional tiene un valor falso cuando su antecedente p es verdadero y su consecuente q es falsa, en los dems casos ser verdadero.
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E) Bicondicional o doble implicacin
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico: .si y slo si.
Ejemplo:
La tabla de valores de verdad es:
Algunas de sus formas gramaticales son: solamente si; cuando y slo cuando; entonces y
slo entonces; es idntico; cada vez que y slo si; p es condicin necesaria y suficiente
para q; etc.
F) Diferencia simtrica o disyuncin exclusiva
Cuando slo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro queda invlido.
Sus formas gramaticales son: oo; o (en sentido excluyente).
Ejemplo:
La tabla de valores de verdad es la siguiente:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
P q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
La doble implicacin o bicondicional slo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en caso contrario es falso.
La disyuncin exclusiva es verdadera slo si sus componentes tienen valores diferentes; caso contrario ser falso.
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Orientaciones: 1. A continuacin se le presenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar: enunciados,
proposiciones y no proposiciones, as mismo su validez. 2. De acuerdo a lo estudiado realizar un informe de los contenidos desarrollados, ilustrados solo con
ejemplos (5). La presentacin depende de tu creatividad. 01. Los siguientes enunciados son
proposiciones lgicas
1. Silencio por favor!
2. Sintate ahora!
3. Regresar pronto
4. Ojala apruebe matemtica
5. Ay!
Son correctas :
a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 3,4,5
d) todas e) n.a.
02. Son proposiciones simples:
1. Si llegas temprano, haremos fiesta.
2. Trabajas o juegas.
3. O tienes sed o tienes hambre.
4. La lluvia moja la pista.
5. La uva es cereal.
Son incorrectas:
a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5
d) 1, 3,5 e) n.a
03. Son proposiciones los siguientes
enunciados:
1) Cinco es un nmero par.
2) Dios mo, aydame.
3) Ojala ingrese a la U
4) Toledo es presidente del Per.
5) 8 + 5 = 12
Son correctas:
a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5
d) 1,3,4 e) 1,4,5
04. Son proposiciones moleculares:
1) No solamente ro, sino tambin lloro.
2) Al llover, por lo tanto la cosecha ser
muy buena.
3) Si hay oro, seremos millonarios.
4) Siempre que haya produccin, habr
empleo.
5) O bien postulo a la U o bien trabajo.
Son correctas:
a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5
d) todas e) n.a
05. Son proposiciones atmicas:
1) El Nilo es ro americano.
2) El Amazonas es ro africano tambin
americano.
3) El Misti es un nevado incluso un volcn.
4) La Universidad Nacional de Trujillo es
institucin pblica.
5) El Instituto Nacional de Cultura es
institucin privada.
Es absurdamente falso:
a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 1, 4,5
d) 1, 3,5 e) 3, 4,5
06. Son proposiciones moleculares:
1) 2 es un nmero y representa dos
unidades.
2) La palabra lima tiene varios
significados.
3) 5 es un nmero primo e impar.
4) Al ser hoy da jueves, el viernes ser
maana.
5) Los institutos son instituciones de
educacin superior.
No son correctas, excepto:
a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5
d) 1, 3,4 e) 2, 4,5
07. Son proposiciones conjuntivas.
1) Los alumnos del colegio Integral clases
son muy estudiosos y dedicados.
2) Los peruanos son ciudadanos civilizados.
ACTIVIDAD N 1
Razonamiento Lgico Matemtico
3) Los animales vertebrados son carnvoros
y ovparos.
4) Es falso que los estudiantes de la UNT
son negligentes.
5) No solamente el mercurio es un metal
sino tambin el bromo.
Son ciertas:
a) 1, 3 y 5 b) slo 1 y 3 c) 3, 4 y 5
d) 1, 2 y 3 e) todas
08. De las siguientes proposiciones son
compuestas:
1. Melissa, Blanca y Carol son estudiantes
2. Todo tomo no puede ser divisible
3. Per y Bolivia son pases vecinos
4. Ayer trabaje. Hoy descanso
5. Te amo en cuerpo y alma
Son innegablemente inciertas:
a) 1, 2,4 b) 2,5 c) 2, 3,5
d) 3,5 e) n.a
09. Son proposiciones disyuntivas:
1. "Llueve a menos que el suelo est
mojado"
2. "Viene Vctor excepto que venga Ral"
3. "Canta a menos que tambin baile"
4. "El ramo son de flores blancas del mismo
modo que de flores rojas"
5. "Apruebo el curso solamente y cuando
estudie"
Son ciertas, solamente:
a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5
d) Todas e) Ninguna
10. Son proposiciones conjuntivas:
1. "La tierra es un planeta tanto como el sol
es una estrella"
2. "Marie Curie descubri el polonio incluso
el radio"
3. "Los rayos catdicos tienen carga
negativa del mismo modo los rayos
andicos tienen carga positiva"
4. "Ya bien el sartorio es un msculo ya
bien un hueso"
5. "O bien la Luna es un planeta o bien un
satlite"
Son ciertas, solamente:
a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5
d) todas e) ninguna
11. Son proposiciones conjuntivas:
1. No slo los peces viven en el mar,
tambin los moluscos.
2. Es falso que Arequipa sea un pas y
Yanaguara su capital.
3. Somalia no es pas sudamericano pero
es tercermundista.
4. Espaa est entre Portugal y Francia.
5. Los nmeros 12 y 35 son primos entre s.
No son ciertas:
a) 2, 3 y 5 b) 2, 4 y 5 c) 1, 2 y 3
d) 1, 2 y 4 e) ninguna
12. De los enunciados siguientes:
1. Qu terror!
2. Todos los mamferos nacen por huevos.
3. 632 xx
4. 233223
5. Maana es martes.
Cul de las siguientes alternativas es la
correcta?
a) Tres son proposiciones.
b) Dos son proposiciones.
c) Dos son enunciados.
d) Todas son proposiciones.
e) ninguna de las anteriores.
13. De los siguientes enunciados, Cules son
enunciados abiertos?
1. 7 es un nmero real.
2. 126 x
3. El cero es un nmero par.
4. El es un escritor peruano.
5. 8 es divisible por 2 y por 3.
Razonamiento Lgico Matemtico
Son ciertas
a) 2, 5 b) 2,4 c) 2, 3, 4
d) 1, 4,5 e) Todos.
14. Cules de los siguientes enunciados son
proposiciones?
1. Qu hora es?
2. Federico Villareal fue un matemtico
nacido en Tcume.
3. x +
4. Las mariposas pertenecen al orden de los
lepidpteros.
5. La amistad no es verdadera.
a) 1, 2,5 b) 2, 3,4 c) 2, 4
d) 1, 3,5 e) Todos.
15. De las siguientes oraciones son
proposiciones lgicas:
1. Leibniz es el fundador de la lgica
matemtica.
2. El arte de vencer se aprende en las
derrotas.
3. Entre dos nmeros racionales diferentes
de cero, existen infinitos nmeros
racionales.
4. Deseo tanto sacarme la tinka.
5. Un parexgono es un hexgono en el cual
un lado es a la vez igual en longitud y
paralelo al lado opuesto.
Son ciertas:
a) 1, 3,5 b) 1, 2,4 c) 2, 4
d) 3,5 e) Todas.
16. Cuantas son proposiciones atmicas:
1. El volcn Misti se encuentra en el
departamento de Arequipa.
2. 9 no es divisible por 2.
3. El 12 de octubre Coln descubri
Amrica.
4. Dos pares ordenados son iguales si y
solo si sus elementos son iguales.
5. El sol es la estrella es una estrella que
tiene luz propia.
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) Todas
17. Corresponden a proposiciones compuestas:
1. Chiclayo y Tarma corresponden a
ciudades del norte peruano.
2. La Universidad Seor de Sipn s e ubica
en Pimentel.
3. Diego de Almagro o Hernando de Luque
fueron los conquistadores de Amrica.
4. La epistemologa es la ciencia que
investiga el conocimiento cientfico.
5. Los ngulos de 43 y 65 no son
complementarios.
Son ciertas:
a) Solo dos b) Solo tres c) Solo una
d) Solo cuatro e) Todas
18. De las siguientes proposiciones. Cuntas
proposiciones conjuntivas existen?
1. Claudia trabaja a la vez que estudia.
2. La ostra y la lapa son moluscos.
3. Lima es capital del Per as como
Managua es de Nicaragua.
4. Maana iremos a la playa siempre que
salga el sol.
5. Jorge estudia lgebra no obstante que le
gusta geometra.
a) 3 b) 2 c) 4
d) 1 e) Todas
19. La expresin Subi la gasolina por
consiguiente subir el pan es una
proposicin:
a) Disyuntiva dbil.
b) Implicativa.
c) Disyuntiva fuerte.
d) Conjuntiva.
e) ninguna.
20. Cuntas de las expresiones son
proposiciones:
1. Andahuaylas, pradera de los celajes.
2. 623
3. Arriba Per!
4. 351528
5. T puedes, no desistas!
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Razonamiento Lgico Matemtico
21. Indique cuantas de las siguientes
expresiones no son proposiciones:
1. Arequipa, la blanca ciudad.
2. 624
3. 532
4. 1332 22
5. Has ganado una computadora!
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
22. Indicar el valor de verdad de cada una de
las proposiciones compuestas:
1. 2653
2. 14 + 2 33 = 11 + 3 2 + 2 = 4
3. 5072042 222 4. 632953
a) VVVV b) VVVF c) VVFV
d) VVFF e) VFVF
23. Cuntas de las siguientes expresiones no
son proposiciones lgicas:
I. Lima, la tres veces coronada.
II. El cuadrado es un cuadriltero.
III. No todo nmero primo es impar.
IV. Algn da necesitars de m.
a) Solo I b) Solo II c) I y II
d) I y IV e) III y IV
24. Cuntas de las expresiones son
proposiciones lgicas:
1. Juventud, divino tesoro.
2. Los polgonos son poligonales cerradas.
3. Mara, por qu has llegado tarde.
4. 954
5. Un nmero impar no es divisible por 2.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
25. Debes recordar que las proposiciones
pueden ser simples o compuestas, segn
esto indica cuantas de las que se presentan
son simples:
1. Si 8 es par entonces 9 es impar.
2. No es cierto que el da tiene 24 horas.
3. La capital del Per es Lima.
4. Existen nicamente 20 polgonos
regulares.
5. 150 es mltiplo de 5 y 49 mltiplo de 6.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
26. De las siguientes proposiciones. En cules
se utiliza la disyuncin?
I. Si voy al cine, no voy al teatro.
II. Me voy al cine a al teatro.
III. Si no voy el lunes, voy el martes.
IV. 32 32
a) II y IV b) I y III c) I y II
d) II y III e) n.a
27. Indicar en cuales de las siguientes
proposiciones se utiliza la condicional:
I. Si voy al cine, no me quedo en casa.
II. Hoy es lunes, luego tengo que trabajar.
III. Que salga el Sol implica que se sienta
calor.
IV. Gan el juego entonces estoy contento.
a) I; III y IV b) II y III c) I; II y III
d) n.a e) Todas
Razonamiento Lgico Matemtico
1.4 Nociones previas de esquemas moleculares 1.4.1 Formalizacin de Proposiciones
Es la representacin de las proposiciones simples mediante variables proposicionales
(p; q, r;..) y de los conectivos lgicos por sus respectivos smbolos.
Ejemplo:
Si encuentro trabajo y ahorro, viajar a Miami.
p: Encuentro trabajo
q: ahorro
r: viajar a Miami
1.4.2 Jerarqua de Conectores y de Signos De Puntuacin
1.4.3 Signos de Agrupacin
1.4.4 Reglas de formalizacin de Esquemas moleculares
Para formalizar un enunciado, se siguen las siguientes reglas:
1. Se adjudica una variable proposicional a cada proposicin simple. Si la
proposicin se presenta ms de una vez en el mismo enunciado, se vuelve a
emplear la misma variable.
2. Cada contenido proposicional debe ser reemplazado por su respectivo conectivo
lgico.
3. Cada contenido lgico debe tener un alcance, dominio o jerarqua especfico.
Formalizacin:
rqp
1. Bicondicional. 2. Disyuncin fuerte
3. Condicional.... 4. Conjuncin y disyuncin.., 5. Negacin..~
1. Dos signos ____. Pero,____ 2. Punto y seguido ____. Pero ____ 3. Punto y coma ____; pero ____ 4. Coma ____, pero ____ 5. Ningn signo ____ pero ____
JERARQUA DE CONECTORES JERARQUA SIGNOS DE PUNTUACIN
Son los smbolos auxiliares Que permiten establecer la jerarqua de los conectivos lgicos y as evitar ambigedades.
Parntesis ( ) Llaves { }
Corchetes [ ] Barras |
El conectivo lgico de mayor jerarqua es aquel que no est afectado por ningn signo de coleccin. rqp srqp tpsrqp
Conectivos
de mayor jerarqua
Razonamiento Lgico Matemtico
Ejemplo:
Roxana viaj a Espaa, pero regres pronto o no viaj a tal lugar.
Solucin:
Adjudicamos una variable a cada proposicin:
p: Roxana viaj a Espaa
q: regres pronto
p: viaj a tal lugar
Reemplazamos el contenido proposicional por su conectivo lgico:
Pero.
O..
no ~
Teniendo en cuenta la jerarqua, su esquema sera:
1.5 Esquema molecular Es la combinacin de variables y conectivos lgicos debidamente jerarquizados,
se simbolizan mediante meta variables que son las letras maysculas a partir de A, B,
C,
Ejemplos:
A = p (q r)
B = (p q) [ r (q s)]
C = ~(p ~ q) [ (p r) (q s)]
1.6 Evaluacin de los esquemas moleculares por la tabla de verdad
Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de los valores de cada una de las variables proposicionales y se realiza mediante las denominadas Tablas de verdad creadas por Wittgenstein. Los valores obtenidos se denominan Matriz principal y corresponden al conectivo de mayor jerarqua.
Ejemplo:
Evala [~ (p q) p] (p q)
p q [ ~(p q) p] (p q)
VV VF FV FF
F V V V
V F F F
VV VV VF FF
V F F V
V F F V
Matriz principal
p (q ~ p)
Conectivo de mayor jerarqua
Razonamiento Lgico Matemtico
1.7 Tipos de esquemas moleculares
1.7.1 Tautologa. Una proposicin es una tautologa si y slo si es verdadera para
todas las asignaciones posibles.
Ejemplo: Consideremos la proposicin compuesta: [(pq) p] q
p q [( p q) p] q
V
V
F
F
V
F
V
F
V V V
F F V
V F F
V F F
V
V
V
V
V
F
V
F
Desarrollando su tabla tenemos que la proposicin compuesta resulta todas
verdadera, entonces decimos que la proposicin es una tautologa o una ley lgica.
Ejemplo: Si analizamos la proposicin t: (pq) (~ p q) realizando su tabla de
verdad:
1.7.2 Contradiccin. Una proposicin es una contradiccin si y slo si es falsa para
todas las asignaciones posibles.
Ejemplo: Consideremos la proposicin compuesta: ~ [(p q) (q p)]
p q ~ [( p q) (q p)]
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V V V
V V V
V V V
F V V
Desarrollando su tabla tenemos: que la proposicin compuesta resulta toda falsa
entonces decimos que la proposicin expresa una contradiccin.
1.7.3 Contingencia.- Una proposicin que no sea una ni una tautologa ni una
contradiccin se denomina contingencia (casualidad, eventualidad).
Ejemplo: Sea el enunciado: p ~ q
p q p ~ q
V
V
F
V
F
V
V
V
F
p q (p q) ( ~ p q )
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V F
F F V V V V F
Razonamiento Lgico Matemtico
F F V
1.8 Valor de verdad por el mtodo directo
Parte de las tablas de verdad se puede utilizar el mtodo de directo para
encontrar el valor de verdad de una frmula lgica o esquema molecular.
Ejemplos:
1. Dadas las proposiciones: p: 11 es un nmero primo. q: 19 es un nmero par.
r: es un cuadrado perfecto.
Hallar el valor de verdad de:
Solucin
Definimos el valor de verdad real de las proposiciones. Entonces: p V; q F; r V
Reemplazamos dichos valores en la frmula dada y aplicamos la regla de los
conectores segn la jerarqua. As:
2. Si la proposicin: srqp ~ es falsa. Hallar el valor de verdad de p, q, r y s.
Solucin
prqrqp
Es importante tener en cuenta que: Un esquema tautolgico se representa por T Un esquema contradictorio se representa por Un esquema consistente se representa por Q
prqrqp
V F F V
F V V V
V V
V
La frmula lgica es: V (Tautologa)
srqp ~
V V V F
V F
F
p V; q V; r F, s F
Razonamiento Lgico Matemtico
Orientaciones: 1. Demostrar que en cada una de los casos siguientes los esquemas moleculares
son tautolgicos, contradictorios o contingentes. 2. Evaluar mediante tablas de verdad aquellos ejercicios en el cual se les propone
realizar. 3. A partir de lo estudiado dar ejemplos aplicativos de esquemas moleculares.
01. La proposicin: la lima, naranja, limn no
es cierto que sean ctricos, se simboliza:
a) (p q r) b) (p q - r)
c) (- p - q - r) d) [(- p - q) v r]
e) n.a
02. Jams en invierno hace calor, an cuando
en verano llueve al igual que hay eclipse
asimismo hay evaporacin de agua tal
como no hay granizo, se simboliza:
a) (- p - q - r - s - t)
b) (- p q r - s - t)
c) (- p q r - s)
d) (- p q r s - t)
e) n.a
03. En modo alguno sucede que, no haya
aumentado la produccin armamentista
excepto que tambin sea absurdo que los
pases latinos hayan empobrecido ms, se
formaliza:
a) (- p v q) b) (- p v q)
c) (p v q) d) (- p v q)
e) n.a
04. La frmula: - (- p - q r) ; se traduce:
a) Es falso que, ni la pulga ni el chinche
ni los piojos sean insectos.
b) No es veraz que, la pulga tambin el
chinche no sean insectos pero tambin
lo son los piojos.
c) Es innegable que, ni la pulga ni el
chinche son insectos pero s lo es el
piojo.
d) Todas
e) b y c
05. La traduccin CORRECTA de la frmula
proposicional : (A B) C es:
a) Estudio y trabajo, salvo que tambin soy
responsable
b) Estudio y trabajo, vemos que tambin
soy responsable
c) Estudio y trabajo, o incluso soy
responsable
d) Estudiar y trabajar, excepto que incluso
sea responsable.
e) Estudiar y trabajar, a no ser que
adems sea responsable.
a) (A B) C b) (A B) C
c) (A B) C d) (A B) C
e) (A B) C
06. Hallar la tabla de verdad de:
(p q) (p q)
a) VFVF b) VVVV c) FFFF
d) VFFV e) FFFV
07. La proposicin: p ( q r) es falsa la
proposicin s es verdadera. Cuntas de
las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I) (P q) II) s (p r)
III) (p q) r IV) (p q) r
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) n.a
08. Formalizar: Si luchas por triunfar,
entonces triunfars, sin embargo no luchas
por triunfar.
a) p (q r)
b) p (q r)
c) (p q) p
d) (p q) (p q)
e) (p q) q
09. Si: (p q) r es falsa,
Determinar el valor de p, q y r
a) VVV b) FFF c) VFF
d) VFF e) FVF
10. Seale la alternativa que muestra una
proposicin:
a) Te deseo lo mejor.
b) Cuntos aos tienes?
c) Si a = 8 y b = -3, (a + b)2 = a
2 + 2ab + b
2
d) El lapicero est cansado.
e) Responde correctamente.
11. [(q p). (p q)] p
Hallar si el resultado y/o matriz es:
ACTIVIDAD N 2
Razonamiento Lgico Matemtico
a) Tautolgico b) Contradictorio
c) Consistente d) Contingente
e) c y d
12. (p r) (q p)
Hallar si el resultado y/o matriz es:
a) Tautolgico b) Contradictorio
c) Consistente d) Contingente
e) c y d
13. [p (q p)] [(p q) v q]
Hallar si el resultado y/o matriz es:
a) Tautolgico b) Contradictorio
c) Consistente d) Contingente
e) c y d
14. [( r p) q] [ p (q r)]
Hallar si el resultado y/o matriz es:
a) Tautolgico b) Contradictorio
c) Consistente d) Contingente
e) c y d
15. Si la proposicin: srqp es falsa. Determinar el valor de las siguientes
proposiciones:
I) ~ r
II) p q
III) p q
a) VVV b) VFF c) FVF
d) FFV e) FFF
16. La frmula: [-(q v -p) -(-q -p)]; es:
a) Tautolgica b) contingente
c) contradictoria d) imprecisa
e) n.a
17. Si la estructura lgica es falsa :
[ (A -B) (-C -D)]
Los valores de verdad de:
I. (A -B) [(A B) -B]
II. -(A B) -(C D)
III. (A B) (C -D)
Son los siguientes:
a) 101 b) 010 c) 100
d) 111 e) n.a
18. La frmula: [(q v p) (q p)]; es :
a) Tautolgica b) contingente
c) contradictoria d) imprecisa
e) n.a
19. Si la estructura lgica:
[(p - q)] (- r - s) es falsa.
Los valores de verdad de p, q, r y s;
Son respectivamente:
a) 1101 b) 1010 c) 1100
d) 1111 e) n.a
20. Si: p=V; q=F; r= - V; - s=F; el valor de la verdad de la frmula:
)rp()]sr()qp[( es:
a) Verdadera b) Falsa
c) Indeterminada d) Inconsistente
e) N.A.
21. Cules de los siguientes esquemas
moleculares son tautolgicos?
I) pqqp ) (
II) pqqp ) )(
III) qqp )p )(
a) Solo I b) I y II c) II y III
d) I y III e) Todos
22. Se tiene el siguiente esquema:
qpqp ~~, se afirma que:
a) Es contingencia b) Es tautologa
c) Es contradiccin d) No se puede afirmar
nada e) No es un esquema molecular
23. En relacin a la proposicin compuesta:
rqprqpS ~~:
Indique cul de los enunciados es la
correcta:
a) S es contradiccin b) S es una
tautologa
c) S es contingencia d) Ninguna anterior
e) Todas
24. Determina cuantas verdades tiene la matriz
principal de:
pqrrqp ~~~
a)2 b)5 c) 6 d) 7 e) n.a
25. Cules de las siguientes proposiciones
son tautolgicas?
I. pqqp ~~
II. ppqp
III. pqpqp
IV. qpqp ~~~
V. qpqp ~~
a) Solo I, IV y V b) Solo I y II
c) Solo I, II y III d) Solo III, IV y V
e) Solo III y V
26. Cul de las siguientes proposiciones son
contradicciones?
I. pppq ~~
Razonamiento Lgico Matemtico
II. rrqqpq ~~~
III. qpqp ~
a) Solo I b) Solo I y II c) I y III
d) II y III e) Todas
27. Si es
falso. Determine los valores de verdad de
p, q, r y s a) FVFV b) VVFF c) VVVF
d)VVVV e) VFVF
28. Si la proposicin:
ssrqp ~ , es falsa, hallar los valores de verdad de p, q y r
a) VFF b) FFF c) VVV
d) VFV e) FVV
29. Si el esquema molecular:
es verdadero, determine los valores de
verdad de ,
a) VFV b) FFF c) FVF
d) VVF e) FVV
30. Construir una tabla de verdad para una de
las siguientes proposiciones:
a) qpqp
b) rqprqp
c) qppqp
d) pqqpqp
Cuntas son tautolgicas?
a) 1 b) 2 c) 3
d) Todas e) n.a
31. Si el esquema prpq es falso, hallar el valor de verdad de cada una
de las siguientes proposiciones:
a) ymxp
b) qrrqp c) qspr
d) srmq
e) pqpr
)() qsrqp
)()() ( sqqrqp
"" qp
srysr """
Razonamiento Lgico Matemtico
Tema: 2
IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LGICAS
http://a7.idata.over-blog.com/2/63/94/20/Balanza2-1-.gif
Sean los esquemas moleculares o frmulas proposicionales (o simplemente
proposiciones compuestas)
rpA
rqpB rqpC
Debemos distinguir los conceptos de implicacin y equivalencia de los conceptos
condicional y bicondicional respectivamente. La implicacin y la equivalencia son
relaciones entre frmulas proposicionales, mientras que la condicional y la
bicondicional son relaciones entre proposiciones. As tendremos las siguientes
definiciones:
2. G 2.1 Implicacin lgica. Una frmula A implica a B, cuando unidos por el condicional , siendo A
antecedente y B consecuente, el resultado es una Tautologa.
2.2 Equivalencia lgica Dos frmulas B y C son equivalentes cuando unidos por el bicondicional el
resultado es una Tautologa.
Existen varias equivalencias de la lgica
proposicional, las cuales se conocen
como leyes de equivalencia o leyes
lgicas que son formas proposicionales
tautolgicas con carcter general que
permiten transformar y simplificar
frmulas lgicas.
Razonamiento Lgico Matemtico
2.3 Equivalencias notables. Existen varias equivalencias de la lgica proposicional, las cuales se conocen
como leyes de equivalencia o leyes lgicas que son formas proposicionales tautolgicas
con carcter general que permiten transformar y simplificar frmulas lgicas.
Dos formulas F1 y F2 son equivalentes si: F1 F2 resulta ser una tautologa. Y
se denota F1 F2
Un ejemplo de equivalencia es: qp qp . Basta revisar las tablas de
verdad
La siguiente tabla muestra estas leyes.
Las leyes lgicas nos ayudan a simplificar expresiones simblicas, las cuales representan
enunciados. Tambin nos sirve para demostrar la equivalencia entre esquemas
moleculares.
Ley de equivalencia
Frmula Ley de equivalencia
Frmula
Conmutacin
pq = q p
p q = qp
p q = q p
Distribucin p (q r) = (p q) (p r)
p(q r) = (p q) ( p r)
Asociacin
(p q) r = p(q r)
(p q) r = p (q r)
(p q)r = p
(qr)
Complemento
p p = F
p p = V
(p) = p
V = F
F = V
Idempotencia
p p = p
pp = p Identidad
p F = p
p V = p
p V = V
p F = F
Involucin
( p) = p
Absorcin
p(p q) = p
p (pq) = p
p( pq) = pq
qpqpp Implicacin
p q = p q
Doble Implicacin
pq = (p q) (q p)
qpqpqp
qp qp
De Morgan
( p q) = p q
(p q) = p q
Razonamiento Lgico Matemtico
Ejemplos:
a) Se tiene el siguiente esquema: qsrqp ~~~ , simplificar utilizando las
leyes lgicas.
Solucin:
qsrqp ~~~
qsrqp ~~~~ ..condicional
qsrqp ~~~ ..De Morgan
qqpsr ~~~ conmutativa
qqpsr ~~~ Asociativa
psrqq ~~ ..conmutativa
q~ ..absorcin
b) Simplificar {[(p q) p] p}
Solucin: {[(p q) p] p} {[ p (p q)] p} ley conmutativa
{[ p(p q)] p} ley implicacin
{[ p (p q)] p} ley absorcin
{( p) p} ley absorcin
(F) ley complementacin
V
c) Demostrar que: qppqqp ~~~ Solucin:
pqqp ~~~
qp
qpp
ppq
ppqq
pqqp
pqqp
pqqp
~
~
~~
~~
~
~~Condicional
De Morgan
Conmutativa
Absorcin
Conmutativa
Absorcin
Razonamiento Lgico Matemtico
Orientaciones: 1. Simplificar cada una de las proposiciones propuestas que se te presentan, utilizando
las leyes de equivalencia. 2. A partir de lo estudiado dar ejemplos aplicativos de cada una de las leyes de
equivalencia.
01. Por D.M. No obstante que existe la
tristeza as tambin existe la alegra,
equivale a:
1. No sucede que, exista tristeza salvo que
nunca haya alegra
2. No acontece que, nunca haya tristeza
excepto que a la vez tampoco exista
alegra.
3. Es obviamente negable que, salvo que
haya tristeza; no hay alegra.
4. No es lcito decir que, excepto que no
haya tristeza; tampoco exista alegra.
5. A menos que no haya tristeza, no existe
alegra.
Son absolutamente no absurdas:
a) Todas b) 4 y 2 c) Slo 5
d) 3 y 1 e) N.A.
02. La contra recproca de Los nios son
innegablemente desnutridos cuando no
ingieran protenas, es:
1. Porque los nios son nutridos por tanto
ingieren protenas.
2. Si los nios no ingieren protenas, son
desnutridos.
3. Los nios son nutridos puesto que
protenas ingieren.
4. Los nios ingieren protenas ya que no
son desnutridos.
5. Puesto que los nios nunca son
desnutridos por ende los nios ingieren
protenas.
Son indudablemente no falsas, excepto:
a) Todas b) 3 y 2 c) 1, 2, 3, 4
d) 1, 5,4 e) N.A.
03. Simplifica la siguiente proposicin:
qpqp ~~~
a) p ~ q b) ~ p q
c) p q d) p q
e) p ~ q
04. Despus de simplificar la proposicin,
lgica: prpqp ~~~
se obtiene:
a) ~ q b) ~ p c) p q
d) p e) q
05. Simplificar a su mnima expresin:
a) p q b) p c) q
d) p q e) ~p ~ q
06. Negar la proposicin siguiente: Todos los
mdicos son estudiosos
a) Existen mdicos que son estudiosos
b) No Existen mdicos que no son
estudiosos
c) Todos los mdicos no son estudiosos
d) Existen mdicos que no son estudiosos
e) No es cierto que existen mdicos que no
son estudiosos
07. Formalizar:
Si luchas por triunfar, entonces triunfars;
sin embargo no luchas por triunfar
a) rqp
b) rqp ~
c) pqp ~
d) qpqp
e) pqp ~
08. La frmula proposicional: (p q)
Equivale a:
1) (p q) 2) p q
3) p q 4) p q 5) p
q
Son ciertas:
a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5
d) 1, 2 y 5 e) 1, 4 y 5
09. La proposicin: Jugar equivale a recrear,
salvo que, recrear no sea lo mismo que
jugar. Equivale formalmente a:
a) 0 b) 1 c) p
d) p e) p q
10. La frmula: (p p) (q q).
Equivale a:
ACTIVIDAD N 3
Razonamiento Lgico Matemtico
qtqpspsr ~)~(~
a) p b) q c) p
d) q e) 1
11. La frmula: (pF)(pF) Equivale a:
a) p b) V c) F
d) p e) p p
12. La frmula proposicional: ( p q )
Equivale a:
a) (p q) b) p q
c) p q d) (p q)
e) (p q)
13. La proposicin: Hace calor si y slo si
estamos en verano. Equivale a:
a) No estamos en verano porque hace
calor, o, no hace calor porque estamos en
verano
b) Si hace calor, estamos en verano; o
tambin; si estamos en verano, hace calor
c) Si hace calor, estamos en verano; pero;
si estamos en verano, hace calor
d) Estamos en verano y hace calor,
adems, hace calor o estamos en verano
e) Estamos en verano y hace calor, o slo,
ni estamos en verano ni hace calor.
14. No hay fantasmas a menos que no hay
brujeras, negado totalmente es igual a:
1. Existen brujeras asimismo fantasmas,
negablemente.
2. Existen fantasmas al igual que brujeras.
3. Es refutable que, al haber brujeras se
derive que no hay fantasmas.
4. Es incierto que, no hay brujeras
mientras que hay fantasmas.
5. Es inobjetable que, dado que hay
brujeras por ende nunca existen
fantasmas.
Es obviamente no inciertas:
a) 4 y 5 b) 1, 2,3 c) 2, 3,4
d) 1 y 5 e) N.A.
15. Simplificar:
(D S) [ S ( D D) ]
a) D b) S c) S D
d) F e) S D
16. Cules de los siguientes enunciados que
se pueden considerar como proposiciones
equivalentes?
I. Si tengo plata entonces voy al cine.
II. Si no tengo plata entonces no voy al
cine.
III. No tengo plata o voy al cine.
a) I y II b) I y III c) II y III
d) I, II y III e) Ninguna
17. Sabiendo que la proposicin p es
verdadera. En cul de los siguientes
casos es suficiente dicha informacin para
determinar el valor de las proposiciones.
I. qpqp ~~ II. rpq ~ III. rqp ~ IV. prqp ~ a) Slo I b) Slo II c) Slo III
d) I y II e) III y IV
18. Si t es falsa y la proposicin:
es verdadera:
Hallar los valores de la verdad de p, q y
r
a) VVV b) VFF c) FVV
d) FFF e) VVF
19. Al simplificar: (p q) (p q) se
tiene:
a) q b) q c) p
d) p e) p q
20. La negacin de: Ni eres artista de cine ni
estrella de ftbol, es:
a. No es cierto que seas artista de cine y
estrella de ftbol
b. Eres artista de cine y estrella de ftbol
c. No eres artista de cine o no eres
estrella de ftbol
d. Eres artista de cine o estrella del ftbol
e. Eres artista de cine o no eres estrella
del ftbol
21. Determine cul es la proposicin
equivalente a:
"Juan no mejorar, si slo toma agua
a) Si Juan no toma agua mejorar
b) Juan toma agua y no mejorar
c) Juan toma agua y mejora
d) No es el caso que Juan tome agua y
mejore
e) No es el caso que Juan tome agua o
mejore
22. Si la negacin del esquema
rsqp es verdadera: hallar el valor de verdad de los siguientes
esquemas moleculares.
a) srpqqr b) qpqqp
23. Dados los esquemas moleculares:
qpqpA
qpB
qpC
Razonamiento Lgico Matemtico
Cul de las siguientes relaciones es
correcta?
a) A es equivalente a B
b) C es equivalente a B
24. Dados los esquemas moleculares:
qpA
rpB
)( rqC
Determinar si la conjuncin de A y C
implican a B.
25. Si la proposicin: qrqp es falsa, cual es el valor de verdad de :
qpqp
a) V b) F c) F o V
d) Tautologa e) n.a
26. Dados los siguientes esquemas
moleculares:
qqpA
pqB
Verificar si:
a) A implica en B.
b) A es equivalente a B.
27. Si:
pqqpqrqp
es verdadera. Hallar el valor de verdad de
p, q y r, respectivamente.
a) VVV b) FFF c) FFV
d) VFV e) FVF
28. De la falsedad de:
srqp , hallar el valor de verdad de los siguientes
esquemas moleculares:
psqA
qpsrB
rsqpC
a) VVV b) FFF c) FFV
d) VFV e) FVF
Razonamiento Lgico Matemtico
Tema: 3
INFERENCIAS LGICAS Y CIRCUITOS LGICOS
http://4.bp.blogspot.com/_5R-pOXY8b6c/TEPjq_ljr-I/AAAAAAAAADs/3N94wiEZkdA/s400/cuadro.jpg
3.1 Inferencias lgicas.
Es el conjunto de proposiciones en donde a partir de una o ms proposiciones
llamadas premisas extraemos otra conocida como conclusin.
Ejemplo: P1: Todos los peruanos son americanos. P1: Juan es peruano
Entonces: C: Juan es americano.
3.1.1 Mtodos de demostracin
Las inferencias se denotan de dos formas, as:
Mientras existan los pensamientos existirn las
palabras, mientras existan las
palabras existirn los
hechos y mientras existan
los hechos existirn las
reflexiones. Kung FuTse, Confucio
b) Forma Horizontal: Cuando la conjuncin de premisas que implican a la conclusin se escribe horizontalmente en forma
explcita usando los conectores
,
P1 P2 P3 . Pn C Premisas Conclusin
a) Forma vertical: La conjuncin de premisas que implican a la conclusin se escriben verticalmente uno despus del otro y al trmino de la ltima premisa se escribe una raya y tres puntos para luego escribir la conclusin.
P1 P2 P3 . . . Pn
C
Premisas
Conclusin
Razonamiento Lgico Matemtico
3.1.2 Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son tautologias que modelan razonamientos universalmente
correctos. Para determinar su validez se analiza la forma de las proposiciones
involucradas y no de los valores especificos de cada variable. Estas reglas se
relacionan para precisar una demostracion.
Ejemplo:
Es vlido el siguiente argumento?
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se har rico.
Si se hace usted rico, entonces ser feliz.
________________________________________________
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces ser feliz.
Sea:
p: Usted invierte en el mercado de valores.
q: Se har rico. r: Ser feliz
De tal manera que el enunciado anterior se puede representar
con notacin lgica de la siguiente manera:
p q
q r ______
p r
Ejemplo:
Es vlido el siguiente argumento?
Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso
El ingreso se eleva.
_________________________________________
Los impuestos bajan
Solucin:
Sea: p: Los impuestos bajan. q: El ingreso se eleva.
Tenemos:
p q
q
_____
p
Razonamiento Lgico Matemtico
Las reglas de inferencia al relacionarse entre las proposiciones que participan en un
proceso de razonamiento permiten determinar otras nuevas lneas validas y para esto
se debe tener especial cuidado al aplicar la regla correcta. Existen varias reglas de
inferencia que se pueden aplicadar en una demostracion entre ellas tenemos:
1. Adicin 4. Conjuncin
p p
_______ q
pq _________
p q
2. Simplificacin 5. Modus ponens
p q p
_________ p q
p _________
q
3. Silogismo disyuntivo 6. Modus tollens
pq p q
~ p ~ q
_________ ___________
q ~ p
7.- Silogismo hipottico
p q
q r
________
p r
3.1.3 Validez de una inferencia
La validez es una cualidad de las inferencias, solamente las inferencias pueden ser
vlidas (correctas) o invlidas (incorrectas). Una inferencia es vlida cuando la
conclusin se ha derivado lgica y necesariamente de las premisas.
En la validez no interesa el contenido de las proposiciones (sean verdaderas
o falsas) que integran la inferencia, sino que la estructura que tenga cumpla
con las reglas, mtodos y procedimientos de la lgica. Ejemplo:
Todo universitario es estudiante (V) Algn tacneo es universitario (V)
Algn tacneo es estudiante (V)
Inferencia vlida
Razonamiento Lgico Matemtico
3.1.4 Mtodo para determinar la validez de una inferencia
Existen diversos mtodos, entre los ms utilizados tenemos:
Mtodo de las tablas de verdad.
Mtodo de las leyes lgicas.
Mtodo de las inferencias notables.
Aqu solo veremos los mtodos de tablas de verdad y el mtodo abreviado.
3.1.5 Prueba de la validez por tablas de verdad
Como una inferencia es vlida si y slo si (P1 P2 P3 . Pn) Q, es una
tautologa. Entonces debemos analizar la tabla de verdad de toda la inferencia.
Ejemplo:
Se tiene el siguiente razonamiento: Manuel es contador o administrador, pero Manuel
es administrador por tanto Manuel no es contador.
Determinar si es vlido o no.
Adems P1: Manuel es contador o administrador: (p q)
p q
P2: Manuel es administrador: q
Q: Manuel no es contador: p
Luego la inferencia se simboliza de la siguiente forma:
(p q) q p . Analizamos la tabla de verdad:
En conclusin el razonamiento no es vlido, puesto que debe ser una
tautologa.
3.1.6 Prueba de la validez por mtodo abreviado
Este procedimiento evita la tarea de construir tablas, es conveniente sobre todo cuanto
se trabaja con ms de dos proposiciones simples.
Consiste en suponer la conjuncin de premisas Verdadera y la conclusin Falsa, como
nica posibilidad que invalida la implicacin (inferencia):
(P1 P2 P3 . Pn) Q ( V V V . V ) F
V
p q ( p q ) q p
V V V V V F F
V F V F F V V
F V V V V V F
F F F F F V V
Manuel es contador o administrador, pero Manuel es administrador por tanto Manuel no es contador ( P1 P2 ) Q
Razonamiento Lgico Matemtico
Ejemplo:
Si el clima est seco entonces el enfermo se mejora
Si el enfermo se mejora, la familia gasta menos dinero
Luego, si el clima es seco, la familia gasta menos dinero.
Solucin:
p: El clima es seco
q: El enfermo se mejora
r: La familia gasta menos dinero
Forma lgica ser: p q
q r
p r
La inferencia se simboliza de la siguiente manera:
rprqqp
Utilizando el mtodo abreviado tenemos:
V V F
Se tiene:
(i) p r F
V F p V y r F
(ii) (p q) (q r) V
(V q) (q F)
V V
Donde:
V q V y q F V
Se observa que: q puede tomar el valor de verdad (V o F) y as se llega
a una contradiccin al reemplazar el valor de verdad en el esquema
molecular.
rprqqp
La argumentacin es correcta
Razonamiento Lgico Matemtico
3.2 . Circuitos.
http://2.bp.blogspot.com/_BuaRahAIcHM/Slk-
zyNviLI/AAAAAAAAAL0/l2ZzdSfPTgg/s320/circuitoelemental.gif
3.2.1 Circuitos conmutadores
Un circuito conmutador es un circuito elctrico que contiene interruptores para el paso
o interrupcin de la corriente.
Para el diseo de estos circuitos designemos por p y q dos interruptores elctricos
que dejan pasar corriente y por ~p y ~q los que no dejan pasar corriente estos se
pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo.
Grficamente tenemos:
Figura (1) Figura (2)
En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se representa por:
En la figura (2) se tiene un circuito en paralelo y se representa por:
Observacin: Su evaluacin en tablas de verdad es:
Donde: 1 = verdadero (V) 0 = falso (F)
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
p q p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Vamos a ejemplificar la
materializacin del clculo
proposicional, empleando el ms
antiguo de los dispositivos que ya fue
utilizado para fines lgicos por
nuestro sabio ingeniero Leonardo
Torres Quevedo, a finales del siglo
XIX, al construir sus mquinas aritmticas y su jugador de ajedrez.
Razonamiento Lgico Matemtico
Ejemplo1: Describe simblicamente el siguiente circuito:
Solucin: Observemos que el circuito esta en serie y en paralelo, tenemos:
p y q estn en paralelo es decir: p v q
p, (p v q) y q estn en serie, es decir: p (p v q) q
r y q estn en paralelo es decir: r v q
r , (r v q) y p estn n serie, es decir: r (r v q) p
Luego: la representacin de todo el circuito es:
[p (p v q) q] v [r (r v q) p]
3.2.2 Simplificacin de circuitos
Para la simplificacin de circuitos se debe tener en consideracin las leyes de
equivalencia.
Ejemplo 2: Del ejemplo anterior se tiene que el circuito queda simplificado de la
siguiente manera:
[p (p v q) q] v [r (r v q) p]
{[p (p v q)] q} v {[r (r v q)] p}
(p q) v (r p)
[(p q) v r] [(p q) v p]
[(p q) v r] p
[(p v r) (q v r)] p
[(p v r) p] (q v r)
p (q v r)
Luego: se obtiene el circuito:
Ejemplo 3: Simplificar el siguiente circuito
p
r
p
p
q
r
q
q
q p
q
p
p
q
p
q
p p
q
p q
r
Razonamiento Lgico Matemtico
Solucin: Tenemos:
{[p (p v q) q] v [q (q v p) p]} p (p v q)
{(p q) v [(q p) p]} ( p q)
{(p q) v [(q (p p)]} ( p q)
{(p q) v (q F)} ( p q)
{(p q) v F} ( p q)
{(p q)} ( p q)
(p p) (q q)
F F
F
Orientaciones: 1. Aplicando las leyes de la implicacin determinar la conclusin de las afirmaciones propuestas. 2. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son vlidos o no. 3. Simplificar y representar los circuitos propuestos.
Se tiene los siguientes argumentos:
01. Si ha llovido, entonces la tierra est
hmeda; ha llovido. Por tanto
02. Si ha venido, entonces ha llegado; ha
venido. En consecuencia
03. Si ha vendido, entonces tiene dinero; ha
vendido. En conclusin
04. Si ha llovido, entonces la tierra est
hmeda; la tierra no est hmeda. Por tanto
05. Si ha venido, entonces ha llegad; no ha
llegado. En consecuencia
06. Si ha vendido, entonces tiene dinero, no
tiene dinero. Entonces
07. Ha llovido o la tierra est seca; la tierra no
est seca. Por tanto
08. Ha venidos ha ido; no ha ido. En
consecuencia
09. Ha vendido o ha comprado, no ha
comprado. Entonces
10. .Si Edilberto es senil, es cascarrabias. Al
ser cascarrabias es obvio que siempre est
refunfuando. En consecuencia:
1. En el caso que Edilberto sea viejo estar
refunfuando.
2. Edilberto es senil adems refunfua.
3. No es senil salvo que refunfue Edilberto.
4. Es falso que, si Edilberto no es senil por
ello refunfue.
5. Es imposible que, Edilberto sea viejo mas
no refunfue.
Son ciertas:
a) 1, 2,3 b) 1, 3,5 c) 3, 4,5
d) 2, 4,5 e) 2 y 4
11. Ya que existi el Racionalismo por ende
surgi el Empirismo. Sin embargo, es
innegable que el culto a la razn tuvo gran
vigencia en la Filosofa. Por ello:
1. No tuvo vigencia el culto a la experiencia.
2. Tambin tuvo vigencia el Empirismo.
3. Apareci el Eclecticismo.
ACTIVIDAD N 4
Razonamiento Lgico Matemtico
4. Es indefectible que el culto a la experiencia
tuvo vigencia.
5. Existi el Racionalismo.
Son anti incorrectas:
a) Slo 5 b) 1 y 5 c) 2 y 4
d) 2, 5 y 4 e) 1, 3 y 5
12. Salvo que no diga la verdad, soy honesto.
Ms si fuese el caso que dej de ser
honesto, concluiramos en:
1. Siempre digo la verdad.
2. Dej de decir la verdad.
3. Nunca digo la verdad.
4. Hablo mentiras.
5. Es porque a veces miento y a veces digo la
verdad.
Son correctas:
a) 1, 3,5 b) 1, 3 c) 2, 4,3
d) 3, 5 e) n.a
13. No hay aprendizaje a menos que a la vez
haya enseanza. Empero no hay
enseanza excepto que incluso haya
instruccin, por tanto:
1. Si hay aprendizaje, hay instruccin.
2. Al no haber instruccin tampoco hay
aprendizaje.
3. Jams hay aprendizaje salvo que a la vez
haya instruccin.
4. Es mentira que, hay aprendizaje sin
embargo no hay instruccin.
5. Hay instruccin salvo que tambin no haya
aprendizaje.
Son inciertas:
a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5
d) Todas e) 1, 3,5
14. No hay ascetas a menos que haya
estoicos. Si hay estoicos por ende existen
castos, en consecuencia:
1. Dado que hay castos se deduce que hay
ascetas.
2. Hay castos salvo que inexistan ascetas.
3. Puesto que no hay ascetas se infiere que
inexistan castos.
4. Es objetable que, existan ascetas sin
embargo no existen castos.
5. Jams habr castos salvo que hayan
ascetas.
Son falsas:
a) 1, 3,5 b) 2, 4,5 c) 2 y 4
d) 1 y 3 e) N.A.
15. Dadas las siguientes premisas: Siempre
que el genoma emite informacin, es obvio
que ser un receptor, sin embargo El
genoma no es un receptor. Por lo tanto, el
genoma:
a) Emite informacin
b) No emite informacin
c) Emite genes d) Emite rudos
e) n.a
16. "La tenia es un parsito que vive en el
intestino del buey y bien, o tambin en el
intestino de la vaca; al igual que la tenia no
vive en el intestino de la vaca". Luego:
a) Es objetable que la tenia es un parsito
que vive en el intestino del buey.
b) La tenia es un parsito que vive en el
intestino de la vaca.
c) La tenia vive en el intestino de la vaca o el
buey.
d) Es inobjetable que la tenia vive en el
intestino del buey.
e) N.A
17. El circuito adjunto:
Se formaliza:
a) (p q) (p q)
b) ( p q) (p q)
c) (p q) (p q)
d) ( p q) (p q)
e) ( p q) (p q)
18. El circuito adjunto:
p q
p q
p p p
q q q
Razonamiento Lgico Matemtico
Se formaliza:
a) (p q) (p q) (p q)
b) (p q) (p q) (p q)
c) (p q) (p q) (p q)
d) (p q) (p q) (p q)
e) (p q) (p q) (p q)
19. El circuito adjunto:
Se formaliza:
a) (p q) (r s) B) (p q) (r s)
c) (p q) (r s) D) (p q) (r s)
e) (p q) (r s)
20. El circuito adjunto:
Se formaliza:
a) [(p q) r] s b) (p q) (r s)
c) p [q (r s)] d) [(p q) r] s
e) p [(q r) s]
21. El circuito adjunto:
Se formaliza:
a) [(p q) p] (p q)
b) [(p q) p] (p q)
c) [(p q) p] (p q)
d) [(p q) p] (p q)
e) [(p q) p] (p q)
22. El circuito adjunto:
Se formaliza:
a) [A (A B)] [(A B) A]
b) [A (A B)] [(A B) A]
c) [A (A B)] [(A B) A]
d) [A (A B)] [(A B) A]
e) [A (A B)] [(A B) A]
23. Simplificar los siguientes circuitos:
a)
b)
A A B
A B
A
p q r s
p q r
s
p q
p
p q
q
~q
p
~p
~p
~p
q
q
p p
Razonamiento Lgico Matemtico
Tema: 4
CUANTIFICADORES
http://ayura.udea.edu.co/logicamatematica/imagenes/Image249.gif
4.1 Funcin proposicional.
Una funcin proposicional es un enunciado abierto que contiene una o ms
variables que aceptan cualquier valor, sea numrico u otro. Estos valores hacen del
enunciado abierto una proposicin verdadera o falsa. Por ejemplo si el enunciado abierto
fuera x es un individuo de cabello rubio, la variable x aceptara como valores los
nombres de los individuos. Si Jorge fuera un individuo de cabello rubio, el enunciado
abierto se convertira en proposicin verdadera, caso contrario en proposicin falsa.
Ejemplos. Las siguientes son funciones proposicionales:
p(x): x es un planeta del sistema planetario solar. Es funcin de la variable.
q(x, y): x es mltiplo de y. Es funcin de dos variables.
r(x, y, z): x2 + y2 + z2 = 4. Es funcin de tres variables.
s(x, y): x es hermano de y. Es funcin de dos variables.
4.2 Dominio de una funcin proposicional.
El dominio de una funcin proposicional es el conjunto de todos los valores que se
pueden reemplazar en la variable o variables, de tal manera que la convierten en
una proposicin verdadera o falsa.
Ejemplos. Si la funcin proposicional fuera:
p(x): x es un individuo de cabello rubio, su dominio tendra que ser todos
los individuos. Es decir; Dp = {individuos}.
Si consideramos la funcin proposicional:
q(x, y): x es un hermano de y, su dominio ser todas las parejas de personas. Es
decir; Dq = {pareja de personas}.
Siendo la funcin proposicional:
Vamos a ejemplificar a los
enunciados, ayudndonos de
los cuantificadores universal
y existencial.
Razonamiento Lgico Matemtico
R(x, y, z): x2 + y2 + z = 4, su dominio estar constituido por todas las ternas
de nmeros, pudiendo ser estos desde naturales hasta complejos; Dr = {ternas de
nmeros}.
4.3 Solucin de una funcin proposicional.
Un elemento del dominio se dice que es una solucin de una funcin
proposicional, si al reemplazarlo en la variable la convierte en una proposicin
verdadera
Ejemplos. 1 es solucin de la funcin proposicional p(x): x2 + 5 = 6.
Marte es solucin de la funcin proposicional x es un planeta del sistema planetario
solar
4.4 Cuantificador universal.
La palabra para todo, antepuesta a una funcin proposicional se llama
cuantificador universal. Se denota de las dos siguientes maneras:
)(: xpDx p )(/ xpDx p
Se lee: Para todo x en el dominio se cumple p(x).
Observacin: Una funcin proposicional cuantificada universalmente es verdadera, si son
verdaderas todas las proposiciones particulares obtenidas al sustituir los elementos de su
dominio en ella; caso contrario es falso.
4.5 Cuantificador existencial.
La palabra existe algn, antepuesta a una funcin proposicional, se llama
cuantificador existencial. Se denota de la siguiente manera:
)(/ xpDx p
Se lee: Existe un x en el dominio, tal que p(x).
Observacin: Una funcin proposicional cuantificada existencialmente, es verdadera si al
menos una de las proposiciones particulares obtenida al sustituir los elementos del
dominio en la variable es verdadera.
Ejemplos. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) 43/ 2 xxRx Proposicin verdadera.
b) 32: 2 xxRx Proposicin falsa.
Observacin: De los ejemplos anteriores se deduce, que tanto el cuantificador universal,
como el existencial convierten a la funcin proposicional en una proposicin.
Razonamiento Lgico Matemtico
4.6 Negacin de proposiciones que contienen cuantificadores.
Las proposiciones con cuantificadores al ser negadas cambian en su estructura, si
tiene cuantificador universal se cambia en existencial y si tiene cuantificador existencial
en universal. Este proceso se resumen en:
a) ~ :() /~()
b) ~ :() : ~()
4.7 Simbolizacin de las proposiciones categricas clsicas.
La lgica funcional permite analizar las proposiciones categricas clsicas y las
inferencias en que sus trminos juegan un papel significativo. Segn la teora de la
cuantificacin, las proposiciones categricas tpicas se simbolizan de la siguiente manera:
ANLISIS CLSICO ANLISIS DE LA LGICA FUNCIONAL
UNIVERSAL AFIRMATIVA Todo S es P )()(: xPxSx
UNIVERSAL NEGATIVA Ningn S es P )()(: xPxSx
PARTICULAR AFIRMATIVA Algn S es P )(: xPxSx PARTICULAR NEGATIVA Algn S no es P )()(: xPxSx
Ejemplo 1. Simbolizar las siguientes proposiciones.
a. Todo nio es activo. b. Todo nio sano es activo. c. Algn nio enfermo no es activo.
Solucin
a. Simblicamente: )()(: xPxSx ; donde xxS :)( es un nio y xxP :)( es activo
b. Simblicamente: )()(: xPxSx ; donde xxS :)( es un nio sano y xxP :)( es activo
c. Simblicamente: )(: xPxSx ; donde xxS :)( es un nio enfermo y xxP :)( es
activo.
Ejemplo 2. Negar las siguientes proposiciones:
a. BxAxx : b. BxAxx / c. 164:2 xxx
Solucin
a. BxAxxBxAxx /: BxAxx /
BxAxx /
b. BxAxxBxAxx :/ BxAxx :
BxAxx :
c. 164/164: 22 xxxxxx 164/ 2 xxx 164/ 2 xxx
Razonamiento Lgico Matemtico
Orientaciones: 1. A continuacin se le presenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar los cuantificadores universales y existenciales. 2. De acuerdo a lo estudiado realizar un informe de los contenidos desarrollados, ilustrados solo con ejemplos (5). La presentacin depende de tu creatividad.
01. Escribe utilizando los cuantificadores cada
una de las siguientes proposiciones:
a) Algunos cuadrilteros son cncavos.
b) Todos los crculos son simtricos.
c) Ciertos nmeros son pares.
d) Todo nmero mixto es decimal.
e) Todas las parbolas son semejantes.
f) x es la suma de dos primos.
g) Todo nmero par es la suma de dos
primos.
h) x = m.n, donde m y n son primos.
i) Todos los cuadrilteros son convexos.
j) Todos los crculos del mismo radio son
iguales.
02. Determinar el valor de verdad de los
siguientes enunciados, considerando
como universo el conjunto de los nmeros
reales.
a) xxx 3:
b) xxx 2:
c) 023: 2 xxx
d) xxx 3:
e) 052: 2 xxx
f) xxxx 532:
g) 63: xx
h) 63: xx
i) 810: 2 xx
j) 152: 2 xxx
03. Niega los enunciados del ejercicio anterior.
04. Niega los siguientes enunciados.
a) Todos los estudiantes de Ingeniera
estudian Matemticas.
b) Algunos estudiantes de Ingeniera
estudian Msica.
c) Es falso que algunos nmeros no son
compuestos.
d) Ningn hombre es deshonesto.
e) 11 es un nmero primo.
f) Existe un ciudadano que no elige a sus
gobernantes.
05. Niega los siguientes enunciados.
a) )()(: xqxpx
b) )()(: xqxpx
c) 0:; xyyx
d) )(:)(: xqxxpx
e) )(:)(: xqxypy
f) )(:)(: xqxxpx
g) )(:, yqxpyx h) )(),(:, yqyxpyx i) )()(:, yqxpyx j) zyxpzyx ,,:,,
06. Formaliza los siguientes enunciados.
a) Existe x, donde x es un cuadriltero y
x es cncavo.
b) Para toda x, para toda y, si x e y
son crculos entonces x es simtrico a
y.
c) Existe x, donde x es nmero y x es
par.
d) Para toda x y toda y, si x e y son
parbolas, entonces x es semejante a y.
e) Existen m y n, donde m y n son
primos y x = m.n
f) Para toda m y toda n, si m y n son
crculos del mismo radio, entonces son
iguales.
g) Para todo x, si x es un nmero par,
existe m y n donde m y n son primos
y m = m + n.
ACTIVIDAD N 5
Razonamiento Lgico Matemtico
RESOLVEMOS PROBLEMAS DE TEORA DE CONJUNTOS Y
PROPORCIONALIDAD NUMRICA
Se alcanza el xito convirtiendo cada paso una meta y cada meta en
un paso.
C. Cortez Fuente:
http://edu.jccm.es/ies/labesana/index.php?option=com_content&task
=view&id=218&Itemid=0
Capacidades
- Aplica operaciones con conjuntos en la solucin de problemas.
- Identifica magnitudes directa e inversamente proporcionales.
- Infiere procedimientos para resolver problemas con proporcionalidad.
- Resuelve problemas de regla de tres simple y compuesta. - Comprende el concepto de tanto por ciento como una
forma de comparacin.
Un
ida
d II
Razonamiento Lgico Matemtico
Tema: 5
DEFINICIONES BSICAS Y OPERACIONES CON
CONJUNTOS
http://www.ehu.es/ehusfera/mathvideos/files/2010/05/conjuntos.gif
5.1 Nocin de conjunto
El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemtica.
Intuitivamente un conjunto es una lista, coleccin o clase de objetos bien definidos,
objetos que como se ver en los ejemplos, pueden ser cualquiera: nmeros, personas,
letras, ros, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Si bien los
conjuntos se estudian como entidades abstractas, veamos ejemplos particulares de
conjuntos.
Ejemplos:
1) Los nmeros 2,4, 6 y 8. Es decir: A = {2, 4, 6, 8}
2) Las soluciones de la ecuacin y2 - 3y 2 = 0.
3) Las vocales del alfabeto: a, e, i, u, o. Es decir: B = {a, e, i, u, o}
4) Las personas que habitan la tierra.
5) Los estudiantes: Fernando, Carlos y Erick. C = {Fernando, Carlos, Erick}
6) Los pases: Alemania, Francia, Finlandia. Es decir: D = {Alemania, Francia, Finlandia}
7) Las ciudades capitales de Europa.
8) Los nmeros: 2, 4, 6, 8, Es decir: E = {2, 4, 6, 8,.}
9) Los ros de Per.
La teora de conjuntos es una
divisin de las matemticas que
estudia los conjuntos. El primer
estudio formal sobre el tema fue
realizado por el matemtico
alemn Georg Cantor en el Siglo
XIX y ms tarde reformulada por
Zermelo.
Razonamiento Lgico Matemtico
5.2 Notacin
Es usual denotar los conjuntos con las letras maysculas: A, B, X, Y,Los
elementos de los conjuntos se representan por letras minsculas a, b, c, x, y, al definir un
conjunto con la efectiva enumeracin de sus elementos, por ejemplo, al A que consiste
en los nmeros 2, 4, 6 y 8, se escribe A = {2, 4, 6, 8}. Separando a los elementos por
comas y encerrndolos entre llaves { }. Esto es la llamada forma tabular de un conjunto.
Pero si se define un conjunto; enunciando propiedades que deben tener sus elementos,
como, por ejemplo, el H, conjunto de todos los nmeros pares, entonces se emplea una
letra por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe H = {x|x es
par} lo que se lee H es el conjunto de los nmeros x tal que x es par. Se dice que esta
es la forma de definicin por comprensin o constructiva de un conjunto. Tngase en
cuenta que la barra vertical | se lee tales que.
Para aclarar el empleo de la anterior notacin, se escriben de nuevo los conjuntos de los
ejemplos anteriores, designando los conjuntos respectivamente.
Ejemplos:
1) A = {2,4,6,8}
2) F={y | y2 - 3y 2 = 0}
3) B={a, e, i, o, u}
4) G={x|x es una persona que habita la tierra}
5) C={Fernando, Carlos, Erick}
6) D={Alemania, Francia, Finlandia}
7) I={x|x es una ciudad capital y x est en Europa}
8) E= {2, 4, 6, 8,}
9) J={x|x es un ro y x esta en Per {
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno
de sus elementos se escribe xA, que se puede leer x pertenece a A x est en A. Si
por el contrario x no es un elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre
sus elementos, se escribe xA, que se lee x no est en A o x no pertenece a A
Es costumbre en los escritos matemticos poner una lnea vertical | u oblicua /
tachando un smbolo para indicar lo opuesto o la negacin del significado del smbolo,
ejemplo: B = {a, e, i, o, u}, aB; bB; eB; f B.
G= {x|x es par}, 3G; 2G; 11G; 12G.
Razonamiento Lgico Matemtico
5.3 Cardinal de un conjunto
Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Se denota mediante la letra
"n" as:
n(A): se lee El cardinal del conjunto A o
la cantidad de elementos que tiene el conjunto A
Ejemplo:
Dado el conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} n(A) = 6
5.4 Relacin de pertenencia
Un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho
conjunto. Un elemento no pertenece () a un conjunto si no cumple con la condicin
anterior. Esta relacin vincula un elemento con un conjunto, ms no vincula elementos o
conjuntos entre s. Es decir el smbolo representa la relacin que existe entre un
elemento y un conjunto, cualquier elemento "x" pertenece o es elemento del conjunto A (x
A) o no es elemento del conjunto A ( x A)
Ejemplo 1:
Dado el conjunto:
A = {14; 23; 17; 29}
Entonces:
14 A (14 pertenece a A)
29 A (29 pertenece a A)
15 A (15 no pertenece a A)
Ejemplo 2:
Dados los conjuntos: A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} y B = {a, e, o} Se tiene que:
8 A
0 B
11 A
g B
{0; 2} A
Nota en esta ltima expresin {0; 2} A que para usar la relacin de pertenencia se
relaciona un solo elemento con el respectivo conjunto.
Razonamiento Lgico Matemtico
5.5 Determinacin de un conjunto
5.5.1 Por Comprensin o de forma constructiva:
Es cuando se define al conjunto se enuncia una propiedad comn que caracterizan a
todos los elementos de dicho conjunto.
Ejemplo:
A = {x / x es un nmero natural par menor que 15} B = {x / x es una vocal abierta}
C = x/x N 4 x 7
5.5.2 Por extensin o de forma tabular:
Es cuando se nombran explcitamente a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo: Desarrollando los conjuntos que estn escritos arriba por comprensin sern
escritos por extensin as:
A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14} B = {a, e, o}
C = 5, 6, 7
Ejemplo:
Denotar por comprensin el siguiente conjunto: B = {99; 999; 9999; 99999}
Solucin:
99 = 100 1 = 102 1
999 = 1000 1 = 103 1
9999 = 10000 1 = 104 1
99999 = 100000 1 = 105 1
Luego entonces, si llamamos x al exponente de 10 podremos decir que este x
N, donde 2 x < 6
As, el conjunto denotado por comprensin sera:
B = {10x 1 / 2 x < 6; x N}
5.6 Clases de conjunto
5.6.1 Por el nmero de elementos:
A) Vaco o Nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos.
Se denota as:
Ejemplo 1:
A = x N/ 5 x 6
Desarrollando por extensin ser:
A = o A =
Razonamiento Lgico Matemtico
Ejemplo 2:
B = x R/ x x
Desarrollando por extensin ser:
B = o B =
B) Unitario o Singletn: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento; es decir
su cardinal es 1:
Ejemplo:
G = x Z / -4 x -2
Desarrollando por extensin ser:
G = -3
n(G) = 1
C) Universal: (U): Es un conjunto de referencia para el marco de una situacin
particular, es posible elegirlo de acuerdo a lo que se trate.
Tambin se puede definir como un conjunto referencial que se tiene
convenientemente para el estudio de otros conjuntos incluidos en el.
Ejemplo:
Donde:
U = -7; -3 ;2
1;
7
3 ; 1; 2 ; 5 ; 3,25 (Conjunto Universal)
N = 1; 2
Z = -7; -3; 1; 2
Q = -7; -3; 2
1;
7
3 ; 1; 2
Q* = 5
D) Finito: Aquel que tiene un limitado nmero de elementos. Su cardinal se
puede determinar:
U
N
.1 .2
Z
Q*
5
R
3,25
C
.-3
.-7
Q
-3/7
Razonamiento Lgico Matemtico
Ejemplo:
M = x/x es una ciudad del Per
E) Infinito: Aquel que posee una cantidad ilimitada de elementos:
Ejemplo:
K = x/x es un nmero natural
5.6.2 Por la relacin entre los conjuntos
A) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningn elemento
comn. Su grfica es:
A B =
Ejemplo 1: Consideremos los siguientes conjuntos:
A = 1; 2; 4; 6
B = 5; 8; 16; 3
Entonces: A B =
Ejemplo 2: Consideremos los siguientes conjuntos:
A = x, g, t, d
B = m, n, u, r
Entonces: A B =
B) Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un
elemento comn (pero no todos). Su grfica es:
A B
Ejemplo 1: Sean los conjuntos:
A = 1; 2; 5; 4; 6
B = 5; 8; 16; 3
Entonces: A B = 5
Ejemplo 2: Sean los conjuntos:
A = x, g, t, d
B = m, n, x, u, r
Entonces:
A B = x
A B
A B
Razonamiento Lgico Matemtico
AA
B
B
C) Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A B B
A. Su grfica es:
BA AB
Ejemplo 1: Sean los conjuntos:
A = 1; 2; 3
B = 1; 2; 3; 5; 8
Entonces:
A B
Ejemplo 2: Sean los conjuntos:
A = x, g, t, d
B = x, g
Entonces: B A
D) Equipotentes o Equivalentes: Cuando entre sus elementos puede
establecerse una correspondencia biunvoca. (tienen el mismo nmero de
elementos)
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = 1, 2, 3, 4
B = a, b, c, d
Se tiene: n(A) = n(B) = 4
Luego: Se dice que: A y B son Conjuntos equivalentes
5.6.3 Conjunto especiales:
A) Conjunto de Conjuntos: Tambin se le denomina "Familia de Conjuntos" y es
aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos:
Ejemplo: As tenemos:
A = 3, 1, 4, 6, 7
B) Conjunto Potencia: Se llama conjunto potencia de A (o conjunto de partes de
A) al conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Se le
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