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Momento 1 -Sistemas de control digital Curso: control Digital
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Fase 1
Cada estudiante leerá y comprenderá los problemas planteados y con la ayudade las referencias disponibles para la unidad 1 resolverá de forma analítica ypráctica los ejercicios propuestos.
Ejercicio 1:(a) ncuentre los valores de y(kT) para k ! "#1#$#%# cuando'
Y ( z )= z
z2−3 z+2
btenga una solucin en forma de e*presin cerrada para y(kT) como unafuncin de k .
Los parámetros del circuito son elegidos como a0/b0 =1 y a0/b1 =0.5.
Para n.T=0, se aplica al sistema x(0)=0.5. Como x((n1).!) = x((n.!!) = x(!) = 0, un
"alor 0 #ue almacenado en la unidad delay en el instante de muestreo pre"io (n.! = !). La
salida es entonces$
y( ).n ! .1 x( ).n ! .0.5 x( ).( )n 1 !
%ara n.! = 0, esta se trans#orma en$
y( )0 .1 x( )0 .0.5 x( )! .1 0.5 .0.5 0 0.5
&l mismo tiempo 'ue x(0) = 0.5 esta siendo multiplicada y alimentada al sumador desalida, está siendo almacenada en la unidad delay para ser usada en el prximo instante de
muestreo.
Para n.T = T, x(!) = 1, x((n1).!) = x((n.!!) = x(0) = 0.5, la cual a sido
almacenada en el instante pre"io. La salida es entonces$
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y( )! .1 x( )! .0.5 x( )0 .1 1 .0.5 0.5 1.*5
Como antes, el "alor de x(!) es almacenado para usarlo en n.! = *.!.
Para n.T = 2.T, x((n1).!) = x((n.!!) = x(!) = 1. La salida es entonces$
y( ).* ! .1 x( ).* ! .0.5 x( )! .1 0.+5 .0.5 1.*5 1.*5
Para n.T = 3.T
y( ). ! .1 x( ). ! .0.5 x( ).* ! .1 0 .0.5 0.+5 0.+5
Para n.T = 4.T
y( ).- ! .1 x( ).- ! .0.5 x( ). ! .1 0 .0.5 0 0
btenga una solucin en forma de e*presin cerrada para y(kT) como unafuncin de k .
y( ).n ! .a
0
b0
x( ).n ! .a
1
b0
x( ).( )n 1 ! .a
*
b0
x( ).( )n * !
Ejercicio 2: +n sistema tiene una respuesta y(kT) = kT # para k ≥ 0. ncuentreY(z) para esta respuesta.
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∑∞
=
−=0
)()()(k
kT t t xt x δ
&
x (t) = x (0)δ(t) + x(T )δ(t 2 T ) +………+ x(kT )δ(t 2 kT ) +………
y( ).n ! .a0
b0
x( ).n ! .a1
b0
x( ).( )n 1 ! . b1
b0
y( ).( )n 1 !
(+1)
como el sistema es causal$
y( ).0 ! .a
0
b0
1 .a
1
b0
0 . b
1
b0
0a
0
b0
y( )! .a
0
b0
x( )! .a
1
b0
x( )! ! . b
1
b0
y( )! !
y( )! .a
0
b0
0 .a
1
b0
1 . b
1
b0
a0
b0
a1
b0
. b
1
b0
a0
b0
y( ).* ! .a
0
b0
x( )*.! .a
1
b0
x( ).* ! ! . b
1
b0
y( ).* ! !
y( ).* ! .a
0
b0
0 .a
1
b0
0 . b
1
b0
a1
b0
. b
1
b0
a0
b0
. b
1
b0
a1
b0
. b
1
b0
a0
b0
%ara n 3 *, se "e #ácilmente 'ue todos los "alores de x(n.!) son ceros, sin embargo, como la
salida pre"ia es parte de la entrada (a di#erencia del #iltro no recursi"o), la salida recursi"a
será no nula aun'ue la entrada se aya anulado.
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sto implica 'ue el sistema recursi"o es del tipo 44 (4n#inite 4mpulse esponse). 6tese
'ue la respuesta impulsi"a no puede ser obtenida por inspeccin y debe ser calculada para
cada sistema.
7asado en lo expuesto, se "e 'ue un sistema 'ue es causal, lineal, de tiempo discreto, e
in"ariante al despla8amiento). 9ependiendo de la #orma de la ecuacin satis#eca por el
#iltro, será recursivo ( y posiblemente 44 ) o no recursivo ( y :4 para 6 #inito ).
n el otro extremo, un sistema puede ser dise;ado y reali8ado arrancando con la ecuacin
di#erencia, estando sus caracter
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Ejercicio 3: ncuentre Y(z) cuando T ! ".1 segundos# para la funcin'
(b) Y (s )=
5
s ( s+2 )(s+10)
ea
( )1
1
+=
s sG
τ
y
( ) ( )t ut x 0=, obtener a y (t).
( )( ) 11
1
+
+=
+
=
s
B
s
A
s s sY
τ τ
( ) ( ) ( ) τ τ τ
−=+⋅==⋅=−=
= 10 1D1 s
s s sY B s sY A
( )1
1
+−= s s
sY τ
τ
( ) ( ) ( )t uet ut yt
00τ
−−=
%or lo 'ue su respuesta al escaln será$
( ) ( )t uet yt
01
−= −
τ
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%endiente inicial =
τ
1
τ t
Tiempo y(t
τ 0.E*
*τ 0.FE5
τ 0.G5
-τ 0.GF*
5τ 0.GG
su respuesta al impulso$
( ) ( ) ( )t uet ht ydt
d t
0
1τ
τ
−==
Ejercicio 4: Considere el sistema de datos muestreados en la,o abierto
mostrado en la gura o. 1 del ane*o de grácos. /etermine la funcin de transferencia G(z) cuando el periodo de muestreo es T = 1 segundo.
!i"ura #o. $
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(:ase 1 Hercicio -)
#actori8o
( 1 e ! 1 )?! 8 1 2 (11 )B I (11 )*
(11) (1e!1)
11
1 1
11
1 *
9esarrollamos el binario
@()=
Jultiplico tKrmicos por tKrminos
@()=
! 1 1 I 1 ! * e ! I e ! 1 e ! * I (11 ) *
(11) (1e!1)
acamos como #actor comn a 1 y 1
! 1 1 I 1 ! * e ! I e ! 1 e ! * I 1 *1 I*
(11) (1e!1)@()=
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(!I1 I e ! *) 1 I (! e ! e ! ) * =
(11) (1e!1)
@()=
*I1
(!1 I e !
) 1
I (! e !
e !
I 1)*
(11) (1e!1)1= 1
@()=
i ! = 1 entonces e! = .E+F
(!1 I e !
) 1
I (! e !
e !
I 1)*
(11) (1e!1)
@()=
0.E+F 1 I 0.*E--*
(11) (10.E+F 1)@()=
(1) (0.E+F)
(1) ( 1 2 0.E+F)
1.E+F I 0.*E--
*
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6os 'ueda
de la #uncion de trans#erencia
la ecuacion caracteristica para los polos es
%() = 1I @() = 0
sustituimos
1 I = 0
sacamos comun denominador
0.E+FI.*E--
* 0.E+F I .*E--
(1) ( 2 0.E+F)
=@()=
(1) ( 0.E+F)
*
C()
()
@()
1 I @()
0.E+F I .*E--
(1) ( 2 0.E+F)
1 I 0.E+F I .*E-- = (1) (0.E+F) I .E+F I .*E-- = 0
1 (1) ( 2 0.E+F) (1) ( 0.E+F)
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(1) (0.E+F) I .E+F .*E-- = 0
* 0.E+F 2 I 0.E+F I .E+F I .*E-- = 0
* 2 I .E** = 0
Fase 4Cada uno de los integrantes del grupo de trabajo debe ingresar al foro#presentara una justicacin de 0ue erramienta de simulacin utili,ar yreali,ara el aporte pertinente para el desarrollo de cada ejercicio# durante el
período establecido en la agenda del curso para el desarrollo objetivo de laactividad. 2inalmente el grupo resolverán los problemas y reali,aran lasimulacin en el programa denido por el grupo.
Ejercicio 1: Considere el sistema realimentado mostrado en la gura o. 3 del ane*o degrácos.
btenga el lugar de las raíces y determine el rango de estabilidad para K .
Ejercicio 2:+n proceso industrial se representa por la funcin de transferencia
G p (s )= 10
s (s+5)
Fase 4Cada uno de los integrantes del grupo de trabajo debe ingresar al foro#presentara una justicacin de 0ue erramienta de simulacin utili,ar yreali,ara el aporte pertinente para el desarrollo de cada ejercicio# durante elperíodo establecido en la agenda del curso para el desarrollo objetivo de la
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actividad. 2inalmente el grupo resolverán los problemas y reali,aran lasimulacin en el programa denido por el grupo.
Ejercicio 1: Considere el sistema realimentado mostrado en la gura o. 3 del ane*o degrácos.
!i"ura #o. %
(:ase - Hercicio 1)
Como primer paso, ubicamos la posición de los polos de lazo cerrado, los cuales en este caso
deben ser en: . A continuación trazamos el L.G.R para el sistema sin
compensar.
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En este sistema el ángulo de G(s) en el polo de lazo cerrado deseado es:
As !ue el compensador debe contribuir con " # $%& en este punto.
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El polo del compensador deberá ubicarse en '. mientras !ue el cero deberá ubicarse en '*.+.
La unción de transerencia del sistema compensado será por lo tanto:
donde - # c
Lo cual da - # /0.1 es decir considerando # entonces c # .20 3 por lo tanto la unción de
transerencia del compensador en adelanto será:
4or lo tanto, el diagrama del L.G.R compensado es el siguiente:
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Ejercicio 2:+n proceso industrial se representa por la funcin de transferencia
G p (s )= 10
s (s+5)
l objetivo es utili,ar un computador digital para mejorar el rendimiento# dondela funcin de transferencia del computador se representa por D(z). 4as
especicaciones de dise5o son' (1) margen de fase mayor 0ue &67# y (2) tiempo de establecimiento (con criterio del $8) menor 0ue 1 segundo.
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(a)/ise5e un controladorG
C ( s )= K
s+as+b para alcan,ar las especicaciones
de dise5o.
de Matlab da la resuesta al escal!n "ue se #uestra aba$o:
de=0.2;
num=[1.151 0.1774];
den=[1 0.739 0.921 0];
step (de*num,den) num=[1.151 0.1774];
den=[1 0.739 0.921 0];
bode (num,den)
http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/step.html
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(b)Suponiendo un tiempo de muestreo T = 0.02 segundos# convierta
GC ( s ) a D ( z ) .
)()()(1
)()()()(
*1
*1
z H z G z G
z R z G z G z C
+
=
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(c)Simule el sistema en tiempo continuo en la,o cerrado con una entradaescaln unitario.
% Dise&o del 'iste#a de Control
%(((Deter#inaci!n de las #atrices ) * +(
M = 0.435;
m = 0.270;
b = 0.10;
B = 0.05;
g = .!;
" = 0.1#5;
I = m$"%2&3;
' = (M)m*$(I)m$"%2*-(m$"*%2; % Deno#inador ara las Matrices * B
A = +0 1 0 0;
(M)m*$m$"$g&' -B$(M)m*&' 0 -m$"$b&';
0 0 0 1;
(m$"*%2$g&' -B$m$"&' 0 b$(I)m$"%2*&',;
B = + 0;
m$"&';
0;
(I)m$"%2*&',;
C= +1 0 0 0;
0 0 1 0,;
D = +0;0,;
M = +B A$B A%2$B A%3$B,;
ran-(M* % Constatar controbilidad co#leta
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= +-2)2$'/(3*$ 0 0 0;
0 -2-2$'/(3*$ 0 0;
0 0 -10 0;
0 0 0 -10,;
= ol*(* % .olino#io caraceristico deseado
= ol*/al#("6(*A*; % .olino#io #atricial caracteristico .i
8 = +0 0 0 1,$9:(M*$ % Matriz de ganacias de reali#entacion de estados
= +-10 -11 -12 -13,; %Designaci!n de los olos del esti#ador
L=lace(AC*
A/(>(A** (A-L$C*,;
B/(>(B**,;
C/(>(C**,;
D
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(e) Compare y comente los resultados de los incisos (c) y (d).
UNCIFN DETRANSERENCIA DELA LANTA
ANTALLAGO@ARCHIVO DESIMULIN8 EMLEADO
ANTALLAGO@RESUESTA EN LAGOABIERTO DE LALANTA ANTEENTRADA ASO OESCALFN UNITARIO
G p (s )= 10
s (s+5)