Monografías de Ingeniería Sísmica Editor A.H. Barbat
Modelación estocástica de la acción sísmica
J.E. Hurtado
Monografía CIMNE IS-33, 1999
CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Edificio C1, Campus Norte UPC Gran Capitán s/n 08034 Barcelona, España MONOGRAFÍAS DE INGENIERÍA SÍSMICA Editor A.H. Barbat ISSN: 1134-3249 MODELACIÓN ESTOCÁSTICA DE LA ACCIÓN SÍSMICA Monografía CIMNE IS 33
El autor ISBN: 84-89925-34-8 Depósito legal: B-4679-99
�Indice
Introducci�on iv
1. Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica 1
1.1 Introducci�on 1
1.2 Modelos estacionarios 1
1.2.1 Modelo de Kanai-Tajimi 2
1.2.2 Modelo de Clough-Penzien 5
1.2.3 Modelos sismol�ogicos 6
1.2.4 Modelos estoc�asticos derivados de espectros de respuesta 7
1.3 Modelos no estacionarios 8
1.3.1 Modelos con modulaci�on uniforme 9
1.3.2 Modelos evolutivos 11
2. Estimaci�on de modelos y simulaci�on 17
2.1 Introducci�on 17
2.2 Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas 17
2.2.1 Estimation de la densidad espectral de potencia 17
2.2.2 Estimation de la funci�on de modulaci�on de amplitud 19
2.2.3 Modelaci�on de un espectro instant�aneo 21
2.2.4 Estimation de los par�ametros de modelos espectrales de �ltro 23
2.3 Simulaci�on de acelerogramas s��smicos 27
2.3.1 Simulaci�on de ruido blanco �ltrado 28
2.3.2 Simulaci�on de acelerogramas no estacionarios 30
2.3.3 Correcci�on del acelerograma sint�etico 31
�Indice iii
3. Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales 34
3.1 Introducci�on 34
3.2 Registros s��smicos obtenidos en Manizales 34
3.3 Estimaci�on de par�ametros del modelo estoc�astico 36
3.4 Generaci�on de acelerogramas arti�ciales para Manizales 36
3.5 Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente 43
Conclusiones 50
A Variables aleatorias 51
A.1 De�nici�on de probabilidad 51
A.2 Variables, procesos y campos aleatorios 54
A.3 Funciones de distribuci�on 54
A.4 Distribuci�on de m�ultiples variables 56
A.5 Valor esperado y momentos 58
A.6 Funci�on caracter��stica 59
A.7 Modelos probabilistas 61
A.8 Generaci�on de variables aleatorias 67
B Procesos estoc�asticos 70
B.1 De�nici�on 70
B.2 Elementos de c�alculo estoc�astico 72
B.3 Procesos estacionarios 76
B.3.1 Autocorrelaci�on y densidad espectral de potencia 77
B.3.2 Ruido blanco 80
B.3.4 Ergodicidad 82
B.4 Procesos no estacionarios 82
Referencias 86
Introducci�on
En la ingenier��a s��smica ha habido desde sus comienzos un inter�es persis-
tente por considerar tanto las acciones como las respuestas estructurales desde
una perspectiva probabilista, debido a las m�ultiples causas de estocasticidad e
incertidumbre presentes en las variables que gobiernan el dise~no. Si bien los
c�odigos de construcci�on, que gobiernan la pr�actica corriente, incluyen algunos
conceptos y par�ametros probabilistas de manera expl��cita o impl��cita, tambi�en
es cierto que �estos resultan abiertamente insu�cientes para determinar de man-
era clara la respuesta estructural en t�erminos probabilistas y, especialmente, la
probabilidad de fallo. Para este prop�osito la ingenier��a estructural dispone de
varios m�etodos, los cuales pueden clasi�carse en dos grandes grupos, a saber
(cf. Casciati y Faravelli 1991):
1. M�etodos anal��ticos.
2. M�etodos seudo-estad��sticos, tambi�en llamados m�etodos de Monte Carlo.
Mientras los primeros enfocan el problema desde una perspectiva basada en
una combinaci�on de la teor��a de probabilidades y la din�amica de estructuras,
con lo cual se obtienen ecuaciones diferenciales de algunas medidas probabilis-
tas, los segundos buscan generar una muestra arti�cial de las respuestas estruc-
turales por medio de la soluci�on de m�ultiples problemas deterministas con datos
aleatorios correspondientes a la acci�on s��smica y a las variables estructurales es-
toc�asticas (Hurtado y Barbat 1998). En ambos casos se requiere de modelos
probabilistas. Variables tales como la resistencia de los materiales, las dimen-
siones de los elementos, etc. pueden ser modeladas simplemente por medio
de su funci�on de distribuci�on de probabilidad. En el caso de del movimiento
del terreno se requiere un modelo estoc�astico de la variaci�on temporal de las
ondas condicionada a la ocurrencia del fen�omeno, adem�as de la descripci�on
probabilista de �esta, que usualmente se asume de tipo Poisson. A partir de este
modelo es posible generar los m�ultiples acelerogramas arti�ciales requeridos por
el m�etodo de Monte Carlo, cuya aplicaci�on se facilita cada d��a m�as debido al
r�apido avance de la tecnolog��a de computaci�on.
v
En este trabajo se desarrolla la estimaci�on de un modelo estoc�astico de dicha
variaci�on temporal de las ondas s��smicas para la ciudad de Manizales, con base
en los registros obtenidos all�� en a~nos recientes. En el Cap��tulo 1 se exponen
algunos de los principales modelos propuestos en la literatura especializada.
Por su parte, el Cap��tulo 2 versa sobre la estimaci�on de los par�ametros de los
modelos, con especial �enfasis en el modelo escogido para la aplicaci�on a la ciudad
de Manizales, cual es el modelo de espectro evolutivo de Yeh y Wen (1990).
Asimismo, se examinan las t�ecnicas para simulaci�on de acelerogramas a partir
de modelos estoc�asticos. En el Cap��tulo 3 se exponen los criterios generales
que ha guiado la identi�caci�on de los par�ametros del modelo para Manizales a
partir de los acelerogramas registrados y se discuten los resultados obtenidos.
Para ello se han empleado t�ecnicas de identi�caci�on no lineal de par�ametros as��
como de procesamiento de se~nales aleatorias. Igualmente, y como aplicaci�on
del modelo propuesto para la ciudad, se presentan los resultados de un an�alisis
de Monte Carlo de una estructura representativa de la �epoca en la que no se
practicaba el dise~no sismo-resistente en la ciudad, que corresponde a los a~nos
anteriores a 1981. El objetivo es examinar la vulnerabilidad de dicho tipo de
construcci�on ante un sismo que tenga una probabilidad de excedencia de 10 %
en 50 a~nos, lo que corresponde a un per��odo de retorno de, grosso modo, 500
a~nos. El trabajo se cierra con unas conclusiones sobre los resultados obtenidos.
Como complemento se incluyen dos anexos sobre las teor��as de variables
aleatorias y de procesos estoc�asticos, respectivamente, que constituyen el fun-
damento matem�atico del tema tratado.
Cap��tulo 1
Modelaci�on estoc�astica de la
acci�on s��smica
1.1 Introducci�on
Los sismos son aleatorios en un doble sentido. De hecho, no solamente
su ocurrencia es estoc�astica en el tiempo sino tambi�en la trayectoria espacial
impone a sus ondas una forma altamente err�atica. Esto explica por qu�e, junto
con otras acciones estructurales, tal como el empuje del viento y las ondas
del oc�eano, ha habido un inter�es persistente en la ingenier��a estructural en
examinarlos desde el punto de vista estoc�astico a lo largo de los �ultimos decenios.
Este cap��tulo versa sobre los modelos estoc�asticos de la acci�on s��smica. Se
tratar�a de cubrir tres aspectos del tema, a saber, los modelos estacionarios y no
estacionarios, la estimaci�on de sus par�ametros a partir de registros verdaderos
y la simulaci�on digital de acelerogramas para an�alisis de din�amica de estruc-
turas. Este �ultimo punto constituye la base de la simulaci�on de Monte Carlo
emprendida en el cap��tulo siguiente como aplicaci�on del modelo estoc�astico de
sismos para Manizales desarrollado en �el.
1.2 Modelos estacionarios
Las primeras propuestas de modelos estoc�asticos de la acci�on s��smica con-
sideraban que para el an�alisis estructural ser��a su�ciente utilizar solamente la
parte m�as fuerte de un acelerograma, correspondiente a las ondas de corte,
que normalmente son mayores en amplitud que las de compresi�on y las super-
�ciales. Consiguientemente, esta porci�on se describ��a como un proceso esta-
cionario (Newmark y Rosenblueth 1971).
Esta consideraci�on se basaba en gran medida en registros como el de Impe-
rial Valley - El Centro (1940) (Figura 1.1) en el que puede observarse una parte
inicial ascendente, un intervalo corto subsiguiente de grandes amplitudes y �-
2 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.
-200
.-1
00.
0.10
0.20
0.30
0.40
0.
T iempo
Acele
racion
Figura 1.1 Registro del sismo de El Centro (unidades: s, cm=s2)
nalmente una larga zona de ondas de amplitud decreciente. El periodograma de
esta se~nal se muestra en la Figura 1.2. Se puede ver que en su sector m�as impor-
tante hay una oscilaci�on alrededor de 100 cm2=s3, que sugiere un ruido blanco
limitado en banda como modelo grueso del sismo (Bycroft 1960). En a~nos sub-
siguientes se propusieronmodelos estacionarios m�as so�sticados de la fase fuerte
de movimiento. En el presente trabajo se describir�a en primer lugar los modelos
de �ltros lineales, los cuales pueden integrarse f�acilmente en las ecuaciones de
din�amica estructural - un aspecto deseable que se encuentra ausente en otros
modelos espectrales, orientados principalmente hacia aplicaciones puramente
sismol�ogicas, as�� como en los modelos compatibles con espectros de respuesta.
1.2.1 Modelo de Kanai y Tajimi
El modelo de Kanai-Tajimi de aceleraci�on s��smica horizontal,MKT
, se de�ne
como
MKT
= 2 �g!g_Ug + !
2
gUg (1:1)
donde Ug es la respuesta de un �ltro de segundo orden a un ruido blancoW (t):
Modelos estacionarios 3
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80.
50.
100.
150.
200.
250.
F recuencia
Dens
idad
espe
ctra
l
Figura 1.2 Densidad espectral del sismo de El Centro (unidades: rad/s, cm2=s3
)
�Ug + 2 �g!g_Ug + !
2
gUg = �W (t) (1:2)
El modelo est�a determinado por la densidad espectral de potencia del ruido GW
as�� como por los par�ametros �g y !g . Aunque �estos se asocian usualmente al
suelo local, realmente in uyen en ellos igualmente otros factores, tales como la
magnitud de sismo y la distancia hipocentral, entre otros. (Lai 1982; Kameda
y Nojima 1988; Sawada et al. 1992).
Al aplicar la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuaci�on anterior
se puede mostrar que la funci�on de transferencia del movimiento de compuesto
MKT
es
H(i!) =!2
g+ i2 �g!g!
!2
g� !
2+ i 2 �g!g!
(1:3)
y por tanto la densidad espectral unilateral de potencia de esta respuesta com-
binada est�a dada por
4 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica
GM(!)
KT= jH(i!)j
2GW
=!4
g+ 4 �
2
g!2
g!2
(!2
g� !
2)2+ 4 �
2
g!2
g!2 GW
(1:4)
La varianza del proceso, dada por la integral de la densidad espectral de
potencia sobre el eje de frecuencias (ecuaci�on B.45b), es
�2
M= �
!g(1 + 4�2
g)
4�gGW
(1:5)
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.1.
21.
41.
61.
8
F recuencia
Dens
idad
espe
ctra
l ModelosKanai-TajimiClough-Penzien
Figura 1.3 Modelos de �ltro de la densidad espectral s��smica (unidades: rad/s,
cm2=s3
)
En la Figura 1.3 se muestra un esquema del espectro de potencia de Kanai-
Tajimi junto con el correspondiente al modelo de Clough-Penzien que se in-
troduce en el p�arrafo siguiente. Los par�ametros de �ltro son !g = 19 rad=sy �g = 0:65. Ellos dan el espectro una forma total similar al del espectro de
potencia del sismo de El Centro (�gura 1.2).
Modelos estacionarios 5
1.2.2 Modelo de Clough y Penzien
La desventaja principal del modelo de Kanai y Tajimi yace en que asigna
un valor espectral no nulo a la frecuencia cero, lo que no est�a de acuerdo con lo
observado en espectros reales (cf. �gura 1.2). Aunque este aspecto no representa
un error serio en el an�alisis de sistemas lineales de altas frecuencias naturales,
puede conducir a errores grandes para el an�alisis de estructuras inel�asticas en
las que la plasti�caci�on induce vibraciones temporales de largo per��odo. En
tales casos el uso del �ltro de Clough-Penzien en conjunto con el anterior es
un modelo m�as adecuado. Este �ltro reduce dr�asticamente las ordenadas del
espectro K-T en las frecuencias muy bajas, mientras que conserva los valores
asociados a las frecuencias mayores. (Clough y Penzien 1993). La din�amica del
�ltro adicional est�a regida por la ecuaci�on lineal convencional
�Uf+ 2 �
f!f_Uf+ !
2
fUf= �M
KT(1:6)
donde los par�ametros �fy !
fdeben ser seleccionados para el prop�osito men-
cionado. El modelo se de�ne como la respuesta de aceleraci�on del segundo �ltro,
es decir,
MCP
= �Uf= �2 �
f!f_Uf� !
2
fUf� 2 �g!g
_Ug � !2
gUg (1:7)
Su densidad espectral de potencia es, en consecuencia,
GM(!)
CP=
!4
(!2
f� !
2)2+ 4 �
2
f!2
f!2 �
!4
g+ 4 �
2
g!2
g!2
(!2
g� !
2)2+ 4 �
2
g!2
g!2 GW
(1:8)
Finalmente, la varianza del proceso es
�2
M= �
A(!)
2B(!)GW
(1:9)
donde
A(!) = !4
g(�g!f + �
f!g) + 4�
2
g!2
g[�g!
3
f+ �
f!3
g+ 4�g�f!g!f (�g!f + �
f!g)]
(1:10)y
B(!) = 2�g�f [(!2
g� !
2
f)2+ 4!
2
g!2
f(�
2
g+ �
2
f) + 4�g�f!g!f (!
2
g+ !
2
f)] (1:11)
6 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica
En la �gura 1.3 el modelo de Clough y Penzien se ha dibujado usando
!f= 2 rad=s y �g = 0:6. El conjunto de los cuatro par�ametros ha sido calculado
por Yeh (1989) a partir del registro de El Centro (�gura 1.1).
1.2.3 Modelos sismol�ogicos
La investigaci�on desarrollada por Boore y otros a lo largo de las dos �ultimas
d�ecadas constituye un paso importante para la modelaci�on de movimiento del
terreno con un fuerte arraigo en la teor��a de la sismolog��a moderna (Boore y
Joyner 1982; Boore 1986; Boore y Atkinson 1987). De hecho, el objetivo de
estas propuestas es la estimaci�on del espectro de Fourier ~M (!), con base en
las funciones y par�ametros f��sicos correspondientes a la radiaci�on de energ��a en
la fuente y su atenuaci�on con la distancia. La densidad espectral de potencia
puede entonces estimarse como un periodograma, usando la duraci�on de la fase
de movimiento fuerte (cf. ecuaci�on B.44).
En general, un modelo sismol�ogico del espectro de Fourier ~M(!) consta
de los espectros de la radiaci�on en la fuente, la atenuaci�on con la distancia
adem�as de algunos par�ametros constantes relativos a la energ��a liberada. Entre
las varias formulaciones de esta clase de espectros existentes en la literatura
hemos elegido una versi�on dirigida a aplicaciones estructurales en din�amica, en
la medida en que puede ser convertida a un sistema de �ltros (Faravelli 1988a):
~M (!) = C ~Ms(!) ~Mc(!) ~Mm(!) ~Ma(!) (1:12)
En esta ecuaci�on C es un factor de escala dado por
C =R��FV
4���3R
(1:13)
donde R�� es la patr�on de radiaci�on , que expresa el direccionamiento espacial
de la radiaci�on de la energ��a en la fuente; F es la ampliaci�on debida al contacto
con la super�cie libre (generalmente se toma F = 2); V es un factor referido
a la partici�on de la energ��a en las dos direcciones ortogonales (para prop�ositos
de c�alculo se toma com�unmente como 1=p2); � es la densidad del medio, � la
velocidad de corte de las ondas y R la distancia hipocentral.
Los varios espectros contenidos en la ecuaci�on (1.11) corresponden a los
factores siguientes:
1. La energ��a de la fuente:
~Ms(!) =M0!
2
s
1 + (!s! )
2 (1:14)
Modelos estacionarios 7
donde M0es el momento s��smico y !s la frecuencia angular de esquina.
2. La ampli�caci�on de las ondas:
~Mm(!) =2
1 + (!m! )
2 (1:15)
en donde !m es una frecuencia de referencia.
3. La atenuaci�on con la distancia:
~Ma(!) = Ca
s1 + (
!
!a)2
(1:16)
donde !a es una frecuencia de corte y C un factor de atenuaci�on que general-
mente se modela como una funci�on exponencial de la frecuencia y la distancia
hipocentral.
1.2.4 Modelos estoc�asticos derivados de espectros de respuesta
En vista de la importancia pr�actica de los espectros de respuesta en el dise~o
s��smico de estructuras, algunos autores se han esforzado en hallar relaciones
te�oricas entre la densidad espectral de potencia y el espectro de respuesta de
osciladores lineales, principlamente con el �n de generar acelerogramas com-
patibles con ellos (Vanmarcke, 1976). El objetivo es calcular dicha funci�on a
partir del espectro de velocidad m�axima relativa Sv(!) correspondiente a un
sistema lineal de un grado de libertad excitado en la base, caracterizado por
una fracci�on de amortiguamiento cr��tico � y frecuencia natural !.Dentro de los l��mites de este trabajo no es posible exponer en detalle la
deducci�on de la relaci�on propuesta entre el espectro de velocidad y la densidad
espectral de potencia. Nos limitaremos a decir que sus fundamentos te�oricos
son los siguientes:
1. La relaci�on estoc�asticas entrada-salida de sistemas lineales. De acuerdo
con ella, la densidad espectral de potencia de una respuesta de un sistema
lineal sencilo es igual al cuadrado del m�odulo de la funci�on de transferencia de
la respuesta multiplicado por la densidad espectral de la excitaci�on (cf. ecuaci�on
1.4).
2. La hip�otesis de valor m�aximo de un proceso estoc�astico, realizada sobre
informaci�on probabilista de segundo orden, como la dada por la funci�on de
autocorrelaci�on o la densidad espectral. Esta hip�otesis est�a basada en la teor��a
de cruce de niveles de procesos estoc�asticos.
La relaci�on es la siguiente:
8 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica
G(!) �1
!( �4�s
� 1)
"!2S2v (!)
�(s; p)�Z !
0G(!)d!
#(1:17)
donde �s es un factor de amortiguamiento modi�cado por la evoluci�on de la
respuesta desde cero hasta el estado estacionario en un tiempo s:
�s =�
1� exp(�2�!)(1:18)
Por otra parte, �(s; p) es una funci�on que relaciona el valor m�aximo probable de
la velocidad con su desviaci�on estandar. Es, por tanto, un valor dependiente de
la probabilidad de alcanzar ese m�aximo, p, y de la duraci�on que toma el sistema
en alcanzar la fase estacionaria, s:
�(s; p) �
vuut2ln
�
!s
�lnp
"1� expf�
s4�sln(�
!
�lnp)g#!
(1:19)
La �gura 1.4 muestra la densidad espectral obtenida a partir del espectro
de dise~no para Manizales propuesto por Hurtado et al. (1995), usando p = 0:5y � = 0:05.
1.3 Modelos no estacionarios
Es un hecho ampliamente reconocido que los registros de sismos son alta-
mente no estacionarios. Esto se debe a las diferencias en el tiempo de llegada
y frecuencia de sus ondas componentes. La acci�on s��smica puede ser modelada
estoc�asticamente como un proceso aleatorio no estacionario en dos formas:
1. Como un proceso uniformemente modulado, es decir un proceso esta-
cionario transformado en uno que es no estacionario �unicamente en ampli-
tud. La transfomaci�on se realiza mediante una funci�on determinista �(t), cuyospar�ametros se estiman con base en registros reales (cf. ecuaci�on B.55).
2. Como un proceso con una densidad espectral de potencia evolutiva, es
decir, como un proceso que no solamente var��a en amplitud sino tambi�en en el
contenido frecuencial a lo largo del tiempo (cf. ecuaci�on B.52). La estimaci�on de
los par�ametros del modelo a partir de registros existentes es, por supuesto, m�as
complicada que en el caso previo. A continuaci�on expondremos estos modelos
con m�as detalle.
Modelos no estacionarios 9
0. 5. 10. 15. 20.
100.
200.
300.
400.
500.
600.
700.
800.
F recuencia
Dens
idad e
spec
tral
ManizalesDensidad espectral
Figura 1.4 Densidad espectral de potencia correspondiente al espectro de dise~no develocidades (unidades: Hz, cm2=s3)
1.3.1 Modelos con modulaci�on uniforme
Sea M(t) un proceso aleatorio estacionario Gaussiano con densidad espec-
tral de potencia GM(!). Una realizaci�on a(t) del proceso A(t) correspondiente
a la aceleraci�on de movimiento de terreno con la modulaci�on uniforme entonces
est�a dada por
a(t) = �(t)m(t) (1:20)
donde m(t) es una realizaci�on de un proceso estacionario y �(t)es una funci�on
determinista que de�ne la variaci�on de la amplitud en el tiempo. Seg�un la teor��a
de procesos no estationarios esbozada en el Anexo B, la densidad espectral de
potencia del proceso a(t) es
GA(!; t) = �(t)
2GM(!) (1:21)
Las siguientes son algunas de las funciones m�as usualmente empleadas entre
10 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica
las varias que pueden encontrarse en la literatura:
0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
T iempo
Func
ion
Funciones de modulaciona=0.085, b=0.17a=0.25, b=0.5
Figura 1.7 Funciones de modulaci�on de Shinozuka-Sato
1. Shinozuka y Sato (1967)
La expresi�on de esta funci�on es
�(t) =1
c(e�at � e�bt) (1:22)
donde a; b y c son los par�ametros. El valor de c puede elegirse para dar a
la funci�on un valor m�aximo unitario, con el �n de que los par�ametros sean
independientes de la amplitud del registro deseado. Esto da como resultado
c = max(e�at � e�bt) =
" a
b
! ab�a
� a
b
! bb�a
#(1:23)
Alternativamente se puede de�nir c seg�un el criterio de energ��a como se ex-
plicar�a posteriormente. La �gura 1.7 muestra dos funciones de este tipo que
corresponden cualitativamente a duraciones s��smicas efectivas corta y larga.
Modelos no estacionarios 11
2. Amin y Ang (1966)
La caracter��stica distintiva de esta funci�on es que est�a de�nida por tres de
ramas que imitan las fases respectivas del movimiento de terreno, es decir la
ascendiente, la de movimiento fuerte y la de desvanecimiento de la aceleraci�on.
Su expresi�on es
�(t) =
8>><>>:
tt1; t � t1
1; t1 � t � t2e�c(t�t
2); t2 � t
(1:24)
donde c es un par�ametro, t1 corresponde aproximadamente al tiempo de llegada
de las ondas de corte y la diferencia t2 � t1 se asocia a la duraci�on de la fase
fuerte del movimiento.
3. Yeh y Wen (1990)
Esta funci�on est�a dada por
�2(t) =
at�bexp(�ct)d+ t
e (1:25)
donde a; b; c; d y e son par�ametros.
1.3.2 Modelos evolutivos
Con base en la f��sica puramente te�orica de sismos cabe esperar que un reg-
istro obtenido en la super�cie libre tenga una naturaleza evolutiva. Por esta
expresi�on se entiende que tanto la amplitud como las frecuencias dominantes
var��en con el tiempo. Este comportamiento se debe a las diferentes energ��a
y velocidad de las varias ondas que componen el movimiento y sus m�ultiples
re exiones, refracciones y difracciones. La evoluci�on de las frecuencias aparece
claramente en algunos registros tal como el San Fernando (Orion Boulevard,
1971) que se muestra en la �gura 1.8, en la que se puede distinguir las zonas
que corresponden respectivamente a las frecuencias altas y amplitudes peque~nas
de las ondas P, la zona de grandes amplitudes de las ondas S y las bajas fre-
cuencias de las ondas de super�cie. Casos con una evoluci�on tan clara como
la mostrada en la �gura son algo raros. En la mayor��a de registros el aspecto
evolutivo no resulta tan evidente debido a los efectos de distancia (en sismos de
fuente cercana las frecuencias aparecen combinadas de manera ca�otica mientras
a largas distancias las ondas de frecuencia alta aparecen amortiguadas) o es
m�as o menos confuso debido a las m�ultiples distorsiones sufridas por las ondas
12 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.
-200
.-1
50.
-100
.-5
0.0.
50.
100.
150.
200.
T iempo
Acele
racion
Figura 1.8 Registro del sismo de Orion Boulevard (unidades: s, cm=s2)
a lo largo de su trayectoria. En el sismo de Tokachi-oki (1968), por ejemplo, las
ondas de baja frecuencia aparecen en la �ultima porci�on del registro en combi-
naci�on con las frecuencia altas, mientras ondas de frecuencia baja dominan la
porci�on central (�gura 1.9).
Se han propuesto varios modelos para el an�alisis espectral de la acci�on
s��smica con inclusi�on del comportamiento evolutivo. Algunos de ellos se basan
de la teor��a de procesos no estacionarios desarrollada por Priestley (Priestley
1981), de la cual se da un brev��simo resumen en el Anexo B. El proceso con
modulaci�on uniforme discutido anteriormente es, de hecho, un caso particular
de tal modelo, en el que la funci�on de modulaci�on �(!; t) es �unicamente una
funci�on del tiempo, �(t). La funci�on �(!; t) del sismo de M�exico de 1985 ha sido
estimada por Grigoriu et al. (1988) dividiendo el registro en las tres zonas
t��picas ya mencionadas. Otras propuestas so las debidas a Spanos et al. (1992),
quienes proponen el uso de la energ��a de sistemas lineales como medida de la
densidad evolutiva de la acci�on y la de Beck y Papadimitrou (1993), quienes
desarroll�aron un m�etodo Bayesiano para el ajuste de un espectro evolutivo de
Kanai-Tajimi a registros de sismo. Enfoques similares han sido propuestos por
Fan y Ahmadi (1990), Kameda y Nojima (1988) y otros. Finalmente, algunos
interesantes modelos sismol�ogicos evolutivos han sido propuestos por Faravelli
(1988b) y Carli (1992, 1995), entre otros.
Modelos no estacionarios 13
0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35.
-150
.-1
00.
-50.
0.50
.10
0.15
0.20
0.
T iempo
Acele
racio
n
Figura 1.9 Registro del sismo de Tokachi-oki (unidades: s, cm=s2)
En este trabajo se concede particular atenci�on a un modelo llamado de es-
pectro instant�aneo (Yeh y Wen 1990), debido a su facilidad de acoplamiento con
las ecuaciones de la din�amica del sistema estructural, lo que facilita su uso en el
campo de los m�etodos anal��ticos de an�alisis de vibraciones aleatorias. Se basa en
el concepto de la modulaci�on de frecuencia que es corriente en teor��a de comu-
nicaciones, as�� como en el modelo de Bendat y Piersol (1971) de representaci�on
no estacionaria (ecuaciones B.56 y B.57).
Como se indica en el Anexo B, cualquier proceso estacionario tiene una
representaci�on espectral de la forma
X(�) =Z 1�1
exp(i!�)dZ(!) (1:26)
en donde Z(!) es proceso estoc�astico, en general complejo, con media nula e
incrementos orthogonales, es decir
E[dZ(!1)dZ(!2)] = 0 (1:27)
para !1 6= !2, y
14 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica
E[ jdZ(!)j2] = S
X(!)d! (1:28)
donde SX(!) es la densidad espectral de potencia de X(�). Sea el argumento
del proceso X(�) una funci�on continua, estrictamente creciente del tiempo. Se
puede crear un nuevo proceso en la forma
Y (t) = X(�(t)) (1:29)
cuya funci�on de auto-correlaci�on instant�anea puede expresarse como (cf. ecua-
ci�on 1.56)
RY(t; � ) = E[X(t +
�
2)X(t �
�
2)] =
Z 1�1
Z 1� infty
exp
�i!1�(t +
�
2)� i!2�(t�
�
2)
�E[dZ(!1)dZ(!2)] (1:30)
que, tomando en cuenta las propiedades del proceso Z(!), se reduce a
RY(t; � ) =
Z 1�1
exp(i! � _�(t))SX(!)d! (1:31)
para un � in�nitesimal. Haciendo el cambio de variable �! = _�(t)! se obtiene
�nalmente la ecuaci�on siguiente:
RY(t; � ) =
Z 1�1
exp(i �!� )1
_�(t)SX(
�!
_�(t))d�! (1:32)
Esta expresi�on constituye la relaci�on especial de Wiener-Jinchin del proceso
Y (t). La condici�on impuesta sobre la funci�on �(t) (espec���camente, de ser
una funci�on estrictamente creciente) surge de la necesidad de tener que una
densidad espectral positiva, lo que a la vez requiere una derivada positiva _�(t)en la ecuaci�on anterior. Con esta condici�on se supera la cr��tica principal dirigida
contra el modelo de Bendat y Piersol mencionado en la secci�on B.7. Una funci�on
que satisface este requerimiento y que est�a estrechamente relacionada con la
evoluci�on de la frecuencia del registro s��smico es el n�umero acumulado de cruces
de la se~nal por el nivel cero de aceleraci�on (cruces-cero) desde el inicio del
registro hasta el tiempo t. La expresi�on propuesta por Yeh y Wen (1990) para
la funci�on de modulaci�on de frecuencia es
�(t) =n(t)
_n(ts)(1:33)
Modelos no estacionarios 15
donde n(t) es una funci�on polinomial del tiempo ajustada a la funci�on real de
cruces-cero y ts es el tiempo de comienzo del movimiento fuerte. La densidad
espectral evolutiva del proceso modulado y(t) = X(�(t)) es, en consecuencia,
GY(!; t)
YW=
1
_�(t)GX(!
_�(t)) (1:34)
La aplicaci�on de la modulaci�on de amplitud �(t) conducir�a entonces a una no
estacionaridad completa del proceso A(t), que est�a dado entonces por
A(t) = �(t)Y (t) = �(t)X(�(t)) (1:35)
Si los par�ametros de �(t) se ajustan de tal suerte que la varianza del proceso
estacionario X(�) sea unitaria, la energ��a del proceso compuesto A(t) quedar�acontrolada exclusivamente por la funci�on de modulaci�on de amplitud. Esto se
debe a que la varianza de Y (t), dada por
Z 1�1
GY(!; t)
YWd! =
Z 1�1
1
_�(t)GX(!
_�(t))d! (1:36)
no variar�a con el tiempo, como puede demostrarse haciendo el cambio de vari-
able � = != _�(t) en la ecuaci�on anterior. La expresi�on de la densidad espectral
evolutiva del proceso no estacionario resultante A(t) es entonces
GA(!; t)
YW= �(t)
2 1
_�(t)GX(!
_�(t)) (1:37)
Quiz�as la ventaja principal de este modelo para los prop�ositos estructurales
es su versatilidad para modelar sismos por medio de �ltros. De hecho, consider-
emos la siguiente ecuaci�on que describe la din�amica de un �ltro lineal excitado
por una aceleraci�on de terreno y(t) sobre un eje �cticio de tiempo �:
x00(�) + 2 �!x0(�) + !2x(�) = �y(�) (1:38)
Aqu�� las comas representan derivadas con respecto a �. Haciendo � = �(t) yaplicando la regla de cadena se tiene
_x =dx
dt=
dx
d�
d�
dt= x0 _� (1:39)
que implica que
x0 =_x
_�(1:40)
16 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica
Luego,
�x =eld _x
dt=
dx0
d�
d�
dt_�+
d2�
dt2 x
0 (1:41)
lo que es equivalente a
�x = x00 _�2+ ��x0 (1:42)
De aqu�� se tiene que
x00 = (�x���
_�_x)
1
_�2 (1:43)
Al reemplazar estas expresiones en la ecuaci�on (1.38), la forma �nal de la
ecuaci�on din�amica del �ltro en t�erminos de �(t) es
�x+ (2 �! _����
_�) _x+ !
2_�2x = � _�
2y(�(t)) (1:44)
Sobre esta base es posible introducir la modulaci�on de frecuencia en los �ltros
convencionales de Kanai-Tajimi o de Clough-Penzien. En el primer caso se tiene
�Ug + (2 �g!g _����
_�) _Ug + !
2
g_�2Ug = � _�
2�(t)W (�(t)) (1:45)
donde la funci�on de amplitud �(t) se ha aplicado al ruidoW (�(t)). En el segundocaso se tiene, adem�as,
�Uf+ (2 �
f!f_��
��
_�) _U
f+ !
2
f_�2Uf= �2 �g!g _� _Ug � !
2
g_�2Ug (1:46)
Seg�un las ecuaciones (B.55), (1.37) y (1.44), el ruido blanco modulado de fondo
tiene una densidad espectral evolutiva igual a
GW(!; t)
YW=
1
_�(t)��
2(t) _�
4(t)G
W(!
_�(t)) = ��
2(t) _�
3(t)G
W(1:47)
donde GW
es la densidad unilateral del ruido no modulado. De otra parte, la
aceleraci�on de la base en el modelo variable de Kanai-Tajimi (ecuaci�on 1.1) es
MKT
=1
_�2 (2 �g!g _�
_Ug + !2
g�2Ug) =
2 �g!g_�
_Ug + !2
gUg (1:48)
Modelos no estacionarios 17
mientras que para el espectro tipo Clough-Penzien es
MCP
=2 �
f!f
_�_Uf+ !
2
fUf+
2 �g!g_�
_Ug + !2
gUg (1:49)
Esto completa la de�nici�on de la acci�on s��smica por medio de �ltros lineales
variables en el tiempo.
Cap��tulo 2
Estimaci�on de modelos y
simulaci�on
2.1 Introducci�on
Despu�es de haber examinado los principales modelos estoc�asticos de la
acci�on s��smica en el cap��tulo anterior, en este se examinar�a la caracterizaci�on
param�etrica de los mismos a partir de acelerogramas reales de sismos. Igual-
mente, se describir�an algunas de las t�ecnicas para simulaci�on de acelerogramas
arti�ciales a partir de los modelos as�� de�nidos, lo cual constituye un paso
necesario para el estudio probabilista de la respuesta s��smica de estructuras.
2.2 Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas
En esta secci�on se abordar�a la estimci�on de las funciones que caracterizan de
manera estoc�astica la acci�on s��smica a partir de registros reales. En particular,
se describir�a la estimaci�on de los par�ametros de las funciones propias del modelo
de espectro instant�aneo, el cual ser�a usado en el cap��tulo siguiente.
2.2.1 Estimaci�on de la densidad spectral de potencia
Como en m�ultiples situaciones del mundo f��sico, la estimaci�on de las carac-
ter��sticas espectrales de un sismo dado debe realizarse a partir de un registro
�unico. Esto obliga a introducir la hip�otesis de ergodicidad (cf. secci�on B.3.4),
la ual permite suponer que las medidas probabilistas obtenidas en el eje del
tiempo de una realizaci�on equivalen a las que se hubieran podido obtener en el
eje de muestras si m�as de una de ellas estuviera disponible.
En el caso de sismos se debe enfrentar el problema adicional de la no esta-
cionaridad de los registros. Como el �enfasis en ingenier��a s��smica ha ca��do sobre
18 Estimaci�on de modelos y simulaci�on
los alores m�aximos de las respuestas y �estos suelen ocurrir en la fase fuerte
del movimiento, ha sido pr�actica comun el calcular la densidad espectral sobre
dicha fase, tomada como estacionaria (Soong y Grigoriu 1993). En este caso, el
estimativo de densidad espectral es
GA(!) =
j ~A(!)j2
�s0
(2:1)
donde ~A(!) es la transformada de Fourier de la aceleraci�on del suelo a(t) y s0
es un estimativo de la duraci�on de la fase de movimiento fuerte. Con base en la
teor��a de procesos estoc�asticos, Vanmarcke y Lai (1980) proponen la siguiente
expresion para dicha duraci�on:
s0 = 2 ln�2s0Ts
� E1
max(a(t)); s0 � 1:36Ts (2:2)
y
s0 = 2E1
max(a(t)); s0 � 1:36Ts (2:3)
donde Tses el per��odo dominante de las ondas en la fase fuerte y E1 es la
energ��a del registro dada por
E1 =
Z1
0a2
(t) dt (2:4)
Como se indica en el Anexo B, la gran varianza de este estimador de densidad
espectral suele reducirse por medio de ventanas espectrales que se aplican sobre
el registro original a(t) (Oppenheim y Scha�er 1989; Priestley 1981). Con el
�n de suavizar el espectro, es posible igualmente promediar los estimadores de
densidad espectral de N diferentes porciones de la fase fuerte del movimiento
(Soong y Grigoriu 1993):
GA(!) =
1
s0
NXn=1
j ~An(!)j2
(2:5)
con
~An(!) =1
�
Z s0N
0an(t)e
�i!tdt (2:6)
Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas 19
El desarrollo de modelos evolutivos, unido a la observaci�on de que la omisi�on
de las fases ascendente y decadente del movimiento puede conducir a subesti-
maciones de la respuesta de la respuesta no lineal de estructuras, ha impulsado
el uso de una t�ecnica m�as elaborada de estimaci�on de la densidad espectral, que
se realiza sobre un registro estacionaria y duraci�on igual a la del registro origi-
nal, obtenido de este �eltimo por estabilizaci�on de la variaci�on de amplitudes y
frecuencias. Esta t�ecnica, que se utilizar�a en el cap��tulo siguiente para estimar
un modelo estoc�astico adecuado para Manizales, se explicar�a en el contexto de
la modelaci�on del espectro instant�aneo.
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.
1.2.
3.4.
5.6.
7.8.
(*10
)4
T iempo
Energ
ia
Funcion de energiaEmpiricaAjustada
Figura 2.1 Funciones de energ��a del sismo de Orion (unidades: s, cm2=s3)
2.2.2 Estimaci�on de la funci�on de modulaci�on de amplitud
Los par�ametros de la funci�on de modulaci�on de amplitud �(t) se determinan
generalmente a partir de la funci�on de energ��a del registro (equaci�on 2.4), cuyo
valor total es proporcional a la conocida Intensidad de Arias usada como medida
20 Estimaci�on de modelos y simulaci�on
del potencial de da~no s��smico. Igualmente, est�a relacionada con la transformada
de Fourier a trav�es del teorema de Parseval:
Z1
0a2
(t)dt =1
�
Z1
0j ~A(!)j
2
d! (2:7)
En procesos uniformemente modulados se tiene
A(t) = �(t)M(t) (2:8)
y por tanto
�2
A(t) = �
2
(t)�2
M(t) (2:9)
puesto que �(t) es determinista y M(t) tiene media nula. El valor esperado de
la energ��a es en consecuencia
E[E(t)] =Z t
0�2(t)E[M
2(t)]dt (2:10)
Como la distribuci�on relativa de la energ��a entre �(t) y M(t) es arbitraria,
siempre se puede �jar E[M2(t)] � 1 de manera que la energ��a esperada est�e
completamente controlada por �(t):
E[E(t)] =
Z t
0�2
(t)dt (2:11)
La identi�caci�on de los par�ametros de una funci�on dada �(t) puede entonces
realizarse forzando la equivalencia de las energ��as asociadas a la funci�on y al
registro original, es decir
Z t
0�2
(t)dt �Z t
0a2
(t)dt (2:12)
Para este �n se hace necesario usar t�ecnicas de identi�caci�on no lineal (Bard
1974; Press et al. 1992)
La �gura 2.1 muestra una comparaci�on de las energ��as asociadas al registro
de Orion Boulevard (sismo de San Fernando, 1971, componente NS) y a la
funci�on ajustada de Yeh-Wen, cuyos par�ametros fueron calculados por medio
del algoritmo de Levenberg-Marquart (Press et al., 1992). �estos son: a =
0:5577E02, b = 0:3214E02, c = 0:5093E00, d = 0:0 y e = 0:2782E02. Puede
verse que existe una similitud aceptable entre la curva emp��rica y la ajustada.
En la �gura 2.2 se repite el trazo del registro junto con la funci�on estimada �(t).
Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas 21
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.
-200
.-1
50.
-100
.-5
0.0.
50.
100.
150.
200.
T iempo
Acel
erac
ion
Figura 2.2 Registro del sismo de Orion y funci�on de amplitudes de Yeh - Wen (u-
nidades: s, cm=s2)
2.2.3 Modelaci�on de un espectro instant�aneo
Adem�as del c�alculo de la funci�on de modulaci�on de la amplitud, la con-
strucci�on de un modelo de espectro instant�aneo requiere los siguientes pasos:
1. Ajustar un modelo de funci�on de modulaci�on de frecuencias �(t).
2. Transformar la se~nal no estacionaria original en una estacionaria usando las
funciones ajustadas de modulaci�on de amplitudes y frecuencias.
3. Calcular la densidad espectral de potencia de la se~nal modi�cada y ajustar
un modelo suave a ella, tal como el de Kanai-Tajimi o el de Clough-Penzien.
Como se dijo anteriormente, la funci�on de frecuencia se puede obtener aju-
stando un polinomio de orden M a la funci�on emp��rica de cruces por cero del
registro:
�(t) =n(t)
_n(ts)(2:13)
donde
22 Estimaci�on de modelos y simulaci�on
n(t) =MXi=1
riti
(2:14)
El tiempo ts, que corresponde al inicio de la fase fuerte, se puede estimar por
inspecci�on visual como el primer punto de in exi�on de la funci�on de energ��aE(t)
del registro (ver �gura 2.1). La precisi�on en la estimaci�on de este par�ametro no
es cr��tica, ya que la densidad espectral �nal es escasamente sensible a �el.
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.
50.
100.
150.
200.
250.
300.
350.
T iempo, s
Cruc
es-c
ero
Funcion de frecuenciaEmpiricaAjustada
Figura 2.3 Funci�on de modulaci�on de frequencia del sismo de El Centro
Las �guras 2.3 y 2.4 muestran las regresiones correpondientes a los cruces
por cero de los registros de El Centro y Orion Boulevard, respectivamente. Sus
par�ametros se consignan en la tabla 2.1 junto con los del sismo de SMART 45.
Al comparar las �guras 1.1 y 1.8 se puede ver que la evoluci�on de frecuencias
altas a bajas es mucho m�as fuerte en el registro de Orion que en el de El Centro.
El de SMART corresponde a una situaci�on intermedia entre ambos. La �gura
2.5 muestra dos instantes de la evoluci�on de un espectro de Clough-Penzien de
la �gura 1.3 calculados con la funci�on �(t) del registro de Orion Boulevard y
�(t) = 1.
Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas 23
Tabla 2.1 Par�ametros de las funciones de modulaci�on de frecuencia ajustadas
Sismo r1
r2
r3
ts
_n(ts)
Imperial Valley 0.7826 e 01 0.2733 e -01 -0.1260 e -02 2.0 0.7921 e 01
SMART 45 0.9806 e 01 -0.1980 e 00 0.1833 e -02 7.5 0.7145 e 01
San Fernando 0.9585 e 01 -0.2291 e 00 0.2298 e -02 2.5 0.8148 e 01
El paso siguiente es la transformaci�on de la se~nal original no estacionaria en
estacionaria. Esto se realiza en dos fases. Inicialmente se estabilia el registro en
amplitudes dividendo la se~nal por la funci�on de amplitudes emp��rica o ajustada:
m1(t) =a(t)
�(t)(2:15)
Luego, la se~nal as�� obtenida se mapea del eje de tiempo �cticio constitu��do por
la funci�on de modulaci�on de frecuencias al eje de tiempo real:
m(t) = m1(�(t)) (2:16)
Este resultado puede usarse para estimar la densidad espectral de potencia
usando la duraci�on total del registro en la ecuaci�on (2.1). Como ilustraci�on de
este proceso, la �gura 2.6 muestra la historia de aceleraci�on original del registro
del sismo de Belalc�azar (agosto 15 de 1992), componente EW, registrado en
el sitio de El Cable en Manizales. La �gura 2.7 hace lo propio con el registro
estabilizado obtenido por la t�ecnica descrita.
2.2.4 Estimaci�on de los par�ametros de modelos espectrales de �ltro
Lai (1982) y Faravelli (1988a) han propuesto estimar los par�ametros de
modelos simples y compuestos del modelo de Kanai-Tajimi por minimizaci�on
del error que media entre los primeros momentos espectrales del registro y del
modelo. Dichos momentos est�an de�nidos por
�j=Z 10
!jG(!)d! (2:17)
Como el modelo de Kanai est�a de�nido por tres par�ametros, se impone resolver
un igual n�umero de ecuaciones no lineales simult�aneamente, que corresponden a
los momentos de �ordenes 0, 1 y 2. El proceso se facilita por la disponibilidad de
24 Estimaci�on de modelos y simulaci�on
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.
50.
100.
150.
200.
250.
T iempo, s
Cruc
es-c
ero
Funcion de frecuenciaEmpiricaAjustada
Figura 2.4 Funci�on de modulaci�on de frequencia del sismo de Orion
la siguientes expresiones expl��citas para tales momentos calculadas por Faravelli
(1988a):
�i = �0i +4�2
g�0i+2
!2g
(2:18)
con
�00 = GW
"!g
8q1� �2
g
(H1 �H2) +!g
4�g(T1 + T2)
#�����!max
0
(2:19)
�01 = GW
"�
!2g
4�g
q1� �2
g
(T1 � T2)
#�����!max
0
(2:20)
Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas 25
0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80.
1.2.
3.4.
5.6.
7.
F recuencia
Dens
idad
espe
ctra
l Espectro instantaneot = 10 st = 40 s
Figura 2.5 Densidad evolutiva tipo Clough-Penzien (unidades: rad/s, cm2=s3
)
�02 = GW
"�
!3g
8q1� �2
g
(H1 �H2) +!3g
4�g(T1 + T2)
#�����!max
0
(2:21)
�03 = GW
"!4g
4(H1 +H2)�
!4g(1� 2�2
g)
4�g
q1� �2
g
(T1 � T2)
#�����!max
0
(2:22)
�04 = GW
"! �
!g(3� 4�2
g)
8q1� �2
g
(H1 �H2) +!g
4�g(1� 4�2
g)(T1 + T2)
#�����!max
0
(2:23)
donde !max es la frecuencia m�axima de integraci�on, estimada sobre considera-
ciones sismol�ogicas y
H1 = ln(!2g+ 2!g!
r1� �2
g+ !2) (2:24)
26 Estimaci�on de modelos y simulaci�on
0 5 10 15 20 25 30 35 40−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
Tiempo, s
a(t)
Registro original
Figura 2.6 Sismo de Belalc�azar (unidades: s, cm=s2)
H2 = ln(!2g� 2!
g!
r1� �2
g+ !2) (2:25)
T1 = tan�1�! + !g
q1� �2
g
!g�g
�(2:26)
T2 = tan�1�! � !g
q1� �2
g
!g�g
�(2:27)
Para otros modelos, tales como los de Clough-Penzien y Boore se requiere
evaluar las integrales del modelo de manera num�erica en cada paso.
Un importante estudio estad��stico sobre la forma de la densidad espectral
de potencia fue realizado por Moayyad y Mohraz (1982) sobre una muestra
Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas 27
0 5 10 15 20 25 30 35 40−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Tiempo, s
b(t)
Registro estabilizado
Figura 2.7 Acelerograma estacionario obtenido del sismo de Belalc�azar(unidades: s,
cm=s2)
de registros de E.U. Los autores agruparon los registros en tres categor��as,
correspondientes a tipos diferentes de suelos, espec���camente duros, medios y
blandos y promediaron los espectros normalizados. Sues et al. (1983) calcularon
los modelos de Kanai-Tajimi que se ajustasen a los promedios resultantes. Los
resultados se muestran en la tabla 2.2.
Es importante observar que cuando se ajusta el modelo Kanai-Tajimi a
registros individuales se observan valores inferiores de �g a los recogidos en
la tabla anterior. De hecho, Lai (1982) ha encontrado que �g se concentra
alrededor de una media de 0.32 con coe�ciente de variaci�on de 0.421. Esto
signi�ca que los altos valores del estudio de Moayyad y Mohraz (1982) con�eren
a los espectros una banda m�as amplia de frecuencias que para la generaci�on de
seales aleatorias puede resultar poco realista. Esto puede interpretarse como
una consecuencia del promediado de densidades espectrales correspondientes a
28 Estimaci�on de modelos y simulaci�on
Tabla 2.2 Par�ametros del modelo de Kanai-Tajimi (seg�un Sues et al. 1983)
Suelo !g
�g
Blando 10.9 0.96
Intermedio 16.5 0.80
Duro 16.9 0.94
condiciones din�amicas muy diversas. En el cap��tulo siguiente, el caso Manizales
servir�a para ilustrar que la dispersi�on de estos par�ametros para condiciones m�as
homog�eneas lleva a una dispersi�on menor.
2.3 Simulaci�on de acelerogramas s��smicos
La simulaci�on sint�etica de procesos estoc�asticos y, espec���camente, de a-
celerogramas ha sido un �area activa de investigaci�on desde el surgimiento de
computadoras r�apidas. En la actualidad hay un espectro amplio de algoritmos
para ese prop�osito. La elecci�on entre ellos depende de la informaci�on disponible,
las caracter��sticas que se pretenda dar a la se~nal, la e�ciencia computacional y
la exactitud (Nigam y Narayanan 1994).
En este trabajo se har�a uso de los algoritmos que se exponen a continuaci�on,
que corresponden a procesos Gaussianos. Esta restricci�on se debe al hecho que
en el caso Gaussiano el proceso est�a completamente de�nidos por la informaci�on
estad��stica de segundo orden. Como �esta est�a dada indirectamente por la den-
sidad espectral de potencia del proceso, se tiene la certeza que las realizaciones
as�� obtenidas corresponden �elmente al modelo probabilista. Esto no es v�alido
en el caso de procesos no Gaussianos, los cuales requieren informaci�on espectral
de mayor orden.
2.3.1 Simulaci�on de ruido blanco �ltrado
Hay, en general, dos de maneras de hacer este tipo de simulaci�on. La primera
consiste en generar una realizaci�on de un proceso blanco w(t) (cf. Anexo B)
y luego calcular la respuesta de los �ltros resolviendo sus ecuaciones din�amica,
que pueden expresarse sucintamente como
L[x; t] = w(t) (2:28)
donde L[�] es el operador matem�atico del �ltro. La segunda t�ecnica se basa
en la disponibilidad de una expresi�on matem�atica o emp��rica de la funci�on de
Simulaci�on de acelerogramas s��smicos 29
densidad espectral de potencia del proceso, SX(!). Las realizaciones pueden
ser generadas por el algoritmo (Shinozuka 1987):
x(t) =MXj=1
2qSX(!
j)�! cos(!
jt+ �
j) (2:29)
donde la densidad espectral ha sido discretizada en M frecuencias, que tienen
un �angulo asociado de fase aleatorio �juniformemente distribu��do entre 0 y 2�.
Evidentemente,
�! =!max
M(2:30)
donde !max es la frecuencia m�axima por dar a la se~nal, seleccionada sobre
consideraciones sismol�ogicas y estructurales. Las frecuencias !jse asignan o
bien en medio de cada intervalo o bien aleatoriamente dentro suyo. El algoritmo
est�a basado en la representaci�on espectral de procesos estoc�asticos descrita en
el Anexo B. En particular (cf. ecuaci�on B.36) la varianza total calculada sobre
las realizaciones sint�eticas
x(t) =MXj=1
Zjcos(!
jt+ �
j) (2:31)
es
�2
X=
1
2
XZ
2
j(2:32)
Por otra parte, la varianza est�a dada tambi�en por
�2
X=
Z 1�1
SX(!)d! (2:33)
Consiguientemente, se puede asignar a las amplitudes Zjel valor
Zj� 2
qSX(!
j)�! (2:34)
Puede demostrarse que la funci�on de densidad de las se~nales x(t) obtenidas por
este m�etodo tiende a la del proceso X(t) como M !1 (Shinozuka 1987).
Al expresar el coseno en la ecuaci�on (2.31) como la parte real de un expo-
nencial complejo, la simulaci�on puede ser efectuada mucho m�as e�cientemente
30 Estimaci�on de modelos y simulaci�on
por medio de la transformada r�apida de Fourier (Shinozuka y Lenoe 1976). De
hecho, la ecuaci�on (2.31) puede ponerse en la forma
x(t) = <
( MXj=1
2qSX(!
j)�! exp(i�
j)� exp(i!
jt)
)(2:35)
que indica que x(t) puede calcularse como la parte real (<(�)) de la transformada
discreta de Fourier del conjunto complejo
f2qSX(!
j)�! exp(i�
j)g (2:36)
2.3.2 Simulaci�on de acelerogramas no estacionarios
La simulaci�on de realizaciones de procesos no estacionarios Gaussianos de
media nula caracterizados por una densidad espectral de potencia variable en
el tiempo SX(!
j; t) puede realizarse por una modi�caci�on simple del algoritmo
anterior:
x(t) =MXj=1
2qSX(!
j; t)�! cos(!
jt+ �
j) (2:37)
En el caso particular de procesos modelados seg�un el modelo evolutivo de Priest-
ley, es decir
SX(!; t) = j�(t; !)j
2
SY(!) (2:38)
se tiene
x(t) = j�(t; !)jMXj=1
2qSY(!
j)�! cos(!
jt+ �
j) (2:39)
que en el supuesto de modulaci�on uniforme se reduce a
x(t) = �(t)MXj=1
2qSY(!
j)�! cos(!
jt+ �
j) (2:40)
La �gura 2.8 muestra un acelerograma arti�cial generado por este m�etodo
utilizando como base el espectro de diseo propuesto para Manizales por Hurtado
et al. (1995). Para darle el caracter no estacionario se utiliz�o la funci�on de
Simulaci�on de acelerogramas s��smicos 31
modulaci�on de amplitudes de Amin y Ang (1966) (ecuaci�on 1.24) con t1= 2 s
y c = 0:18. En la �gura 2.9 aparece el espectro de velocidades dado junto con
el espectro del acelerograma sint�etico. Puede verse que, para efectos pr�acticos,
las diferencias entre ambos espectros son poco signi�cativas.
0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.
-200
.-1
00.
0.10
0.20
0.30
0.
T iempo
Ace
lera
cion
ManizalesAcelerograma generado
Figura 2.8 Acelerograma arti�cial generado a partir del espectro de dise~no prop-
uesto para Manizales (Hurtado et al. 1995) (unidades: s, cm=s2)
La simulaci�on de acelerogramas seg�un el modelo de espectro instant�aneo
puede realizarse al resolver las ecuaciones de movimiento de los �ltros variables
en el tiempo excitados por las realizaciones sint�eticas del ruido blanco de fondo
(ecuaciones 1.45 y 1.46).
2.3.3 Correcci�on del acelerograma sint�etico
La se~nal generada por el m�etodo descrito presenta a�un algunas de�ciencias
que pueden ser f�acilmente eliminadas o atenuadas. El error m�as importante
corresponde al posible valor no nulo de la velocidad �nal del terreno. Para esto
se puede emplear la misma t�ecnica usada en el caso de acelerogramas registrados
por medios anal�ogicos. �Esta consiste en una correcci�on parab�olica de la l��nea
de base del acelerograma, donde los coe�cientes de la correcci�on son elegidos de
manera tal que minimicen el valor cuadr�atico medio de la velocidad.
32 Estimaci�on de modelos y simulaci�on
0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4.
20.
40.
60.
80.
100.
120.
140.
Per iodo
Seud
ovel
ocid
ad
ManizalesEspectro dadoEspectro obtenido
Figura 2.9 Espectros de seudovelocidad de dise~no y del registro sint�etico (unidades:s, cm=s)
Si a(t) es un acelerograma obtenido mediante el procedimiento descrito, el
acelerograma corregido a0(t), tiene la forma:
a0(t) = a(t) + c0 + c1t
s+ c2
�t
s
�2(2:41)
donde s es la duraci�on de la se~nal. La velocidad se obtiene integrando la ecuaci�on
anterior con condiciones iniciales nulas y los coe�cientes c0, c1 y c2 se seleccio-
nan de manera tal que el valor cuadr�atico medio de �esta sea m��nimo en el
intervalo [0; s]. Con todo esto se llega a la relaci�on:
8><>:c0c1c2
9>=>; =
264 �300 900 �630
1800 �5760 4200
�1890 6300 �4725
3758><>:b0b1b2
9>=>; (2:42)
donde
bk = s�k�3Zs
0v(t) tk+1 dt k = 0; 1; 2 (2:43)
y donde v(t) es la velocidad correspondiente a a(t).
Simulaci�on de acelerogramas s��smicos 33
Las integrales de la ecuaci�on (2.43) se pueden evaluar num�ericamente, bajo
el supuesto de que la aceleraci�on a(t) var��a linealmente entre dos instantes de
tiempo consecutivos. Despu�es de esta correcci�on, la doble integraci�on de a0(t)
proporciona las velocidades y desplazamientos, respectivamente. Aunque nor-
malmente las funciones a(t) y a0(t) son muy similares, es importante la modi�-
caci�on en la velocidad v(t).
Cap��tulo 3
Modelo estoc�astico de los movimientos
s��smicos en Manizales
3.1 Introducci�on
Despu�es de haber examinado en el cap��tulo anterior algunos de los princi-
pales modelos estoc�asticos de la acci�on s��smica publicados en la literatura es-
pecializada, as�� como los pasos necesarios para la obtenci�on de sus par�ametros,
en el presente cap��tulo se aplican tales conceptos y m�etodos para obtener una
aproximaci�on razonable de un modelo tal para el caso de Manizales, a partir de
los registros disponibles. En primer lugar se describen y se relacionan dichos
registros; a continuaci�on se describen los pasos de c�alculo del programa de ob-
tenci�on de los par�ametros del modelo y �nalmente se analizan los resultados en
comparaci�on con algunos referentes a otras regiones s��smicas.
3.2 Registros s��smicos obtenidos en Manizales
La tabla 3.1 presenta los datos generales de los registros obtenidos en la ciu-
dad que se han utilizado para este estudio. Los cinco primeros fueron obtenidos
en un aceler�ometro tipo Montana de registro fotogr�a�co en papel, instalado
en la ciudad por el U. S. Geological Survey y administrado por el Instituto
Geof��sico de los Andes. Cuatro de estos registros fueron digitados por C�ordoba
y G�omez (1987), y el quinto por Hurtado et al. (1981). Los registros restantes
han sido obtenidos en los equipos digitales marca Kinemetrics gestionados por
el autor entre 1991 y 1993 en la Universidad Nacional, Sede Manizales.
Puede decirse que casi todos los registros corresponden al per�l t��pico de los
suelos de la ciudad, descrito por Aguirre y Gutierrez (1992), formado por limos
arenosos de origen volc�anico de gran espesor. A este per�l t��pico pertenecen
los sitios indicados en la tabla 3.1 como El Cable, Banco del Comercio, Uni-
versidad Nacional, Confamiliares y E. P. M. Las principales variaciones que
Registros s��smicos obtenidos en Manizales 35
Tabla 3.1 Registros s��smicos en Manizales
Sismo No. Registros No. Epicentro Fecha Estaci�on
1 1 Dabeiba 08.31.77 Banco del Comercio
2 2 Pereira 04.13.75 Banco del Comercio
3 3 Versalles 06.25.80 Banco del Comercio
4 4 Umpala 03.22.77 Banco del Comercio
5 5 La Tebaida 05.18.76 Banco del Comercio
6 6, 7 Belalc�azar 08.15.92 El Cable
8, 9 Belalc�azar 08.15.92 Universidad Nacional
7 10, 11 Murind�o 10.17.92 El Cable
12, 13 Murind�o 10.17.92 Universidad Nacional
8 14, 15 Murind�o 10.18.92 El Cable
16, 17 Murind�o 10.18.92 Universidad Nacional
9 18, 19 Murind�o 10.18.92 El Cable
20, 21 Murind�o 10.18.92 Universidad Nacional
10 22, 23 Torib��o 06.06.94 J. Hada
24, 25 Torib��o 06.06.94 E.P.M.
11 26, 27 Tauramena 01.19.95 E.P.M.
12 28, 29 Calima 02.08.95 El Cable
30, 31 Calima 02.08.95 Confamiliares
32, 33 Calima 02.08.95 E.P. M.
13 34, 35 Risaralda 08.19.95 El Cable
36, 37 Risaralda 08.19.95 E. P. M.
38, 39 Risaralda 08.19.95 Acueducto
pueden hallarse a lo largo y ancho del casco urbano corresponden a la presen-
cia de algunos rellenos mec�anicos o hidr�aulicos de diferente espesor, los cuales
alteran el comportamiento de las ondas s��smicas en una medida que resulta
dif��cil de ponderar. Las estaciones que �guran en la tabla como Universidad
Nacional, El Cable y Confamiliares presentan un per�l similar, con la diferencia
de que en el �ultimo hay una capa de espesor moderado de dichos rellenos que,
36 Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales
aparentemente, parece haber ocasionado peque~nas ampli�caciones en ciertos
per��odos. Por otra parte, el suelo del edi�cio E.P.M. y zonas aleda~nas presenta
caracter��sticas excepcionales que han causado tradicionalmente mayores inten-
sidades all�� que en otras partes de la ciudad. Particularmente, la zona sufri�o
una masiva destrucci�on de viviendas de bahareque en el a~no de 1979, lo que se
re eja en las altas intensidades obtenidas en el sismo del 23 de noviembre de
1979 (no registrado), las cuales alcanzaron all�� un valor de IX.
3.3 Estimaci�on de par�ametros del modelo estoc�astico
Como se dijo en el cap��tulo anterior, un modelo estoc�astico riguroso de
la acci�on s��smica debe incluir su no estacionaridad en amplitud y en frecuen-
cia. Para ello se ha adoptado el modelo de espectro instant�aneo (Yeh y Wen
1990) descrito en detalle en el cap��tulo anterior. El proceso de c�alculo de los
par�ametros espectrales del modelo es el siguiente:
1. C�alculo de las funciones emp��ricas de modulaci�on de amplitudes, �(t) y
de frecuencias �(t).
2. Estabilizaci�on estacionaria del registro, es decir, c�alculo de un registro
estacionario equivalente obtenido al remover las tendencias no estacionarias en
amplitud y frecuencia caracterizadas por �(t) y �(t), tal como se explic�o en
el cap��tulo anterior. En este estudio se utilizaron las funciones emp��ricas de
amplitud y frecuencia en lugar de modelos no lineales ajustados a ellas. Esto se
debe a que la �ultima opci�on tiene sentido cuando se busca generar acelerogramas
sint�eticos similares a uno dado (por ejemplo, en estudios de da~nos caudados por
un evento que haya sido registrado) o cuando se persigue realizar un estudio
estad��stico de los par�ametros de las funciones �(t) y �(t). Como en el caso
presente no se trata de modelar un evento dado y, adem�as, la base de datos
disponible no es lo su�cientemente amplia como para obtener una modelaci�on
�able de los m�ultiples par�ametros de ambas funciones, se ha optado por utilizar
las funciones emp��ricas directamente en la estabilizaci�on estacionaria de cada
registro, explicada en el cap��tulo anterior, y concentrar el estudio estad��stico en
los par�ametros de la densidad espectral que son, con mucho, los m�as importantes
del modelo evolutivo completo. Las densidades espectrales de potencia de los
registros estabilizados se calcularon como el promedio de las densidades de tres
segmentos de los mismos. Para el c�alculo se utiliz�o la ventana espectral de
Hanning (cf. Priestley 1981).
3. C�alculo de la duraci�on del segmento de fase fuerte, s0, seg�un la de�nici�on
de Vanmarcke y Lai (1980) (ecuaciones 2.3 y 2.3). Esta duraci�on se utilizar�a
para modelar la modulaci�on de amplitudes en la generaci�on de acelerogramas
sint�eticos que se discute m�as adelante.
4. C�alculo de los par�ametros espectrales del modelo. En el presente caso se
Generaci�on de acelerogramas arti�ciales para Manizales 37
adopt�o el espectro de Clough y Penzien, cuya densidad espectral est�a dada por
G(!) =!4
(!2
f� !
2)2+ 4 �
2
f!
2
f!2 �
!4
g+ 4 �
2
g!
2
g!2
(!2
g� !
2)2+ 4 �
2
g!
2
g!2 GW (3:1)
A los par�ametros !fy �
fse les asignaron unos valores �jos que se juzgaron
adecuados a la vista de los espectros emp��ricos de los registros etabilizados,
mientras que los par�ametros de la parte de Kanai - Tajimi del espectro se cal-
cularon siguiendo el m�etodo de ajuste de los momentos espectrales expuesto en
el cap��tulo anterior. Para ello se utilizaron las ecuaciones expl��citas de los mo-
mentos espectrales del �ltro de Kanai - Tajimi obtenidas por Faravelli (1988a)
(ecuaciones 2.18 a 2.27). El algoritmo de ajuste no lineal utilizado fue el Leven-
verg - Marquart. Por otra parte, con el �n de evitar un sesgo en la estad��stica
de los valores se prescindi�o de algunos registros del sismo No. 8 y de todos los
del No. 9, que es una r�eplica del anterior.
La tabla 3.2 re�une los valores de los par�ametros s0, !g y �g. En las �guras
3.1 y 3.2 se presentan histogramas de los dos �ultimos valores junto con las
funciones de densidad siguientes (tipos Weibull y Lognormal, respectivamente)
que se han juzgado adecuadas para ellas:
f(!g) =1:55
5:1(!g � 7:5
5:1)0:55 exp [�(
!g � 7:5
5:1)1:55] (3:2)
f(�g) =1
0:3865p2��g
exp [�1
2(ln �
g+ 1:9442
0:3865)2] (3:3)
La �gura 3.3 muestra la densidad espectral evolutiva del registro 7 corre-
spondiente al modelo de Yeh-Wen:
G(!; t) = �(t)2 1
_�(t)G(
!
_�(t)) (3:4)
La densidad ha sido calculada con los par�ametros que aparecen en la tabla
3.2 y usando su funci�on emp��rica de evoluci�on de frecuencias �(t) y como mod-
ulaci�on de amplitudes la funci�on de Amin y Ang (1966) (ecuaci�on 1.24)
�(t) =
8>><>>:
( t
t1)2; t � t
1
1; t1� t � t
2
e�c(t�t2); t
2� t
(3:5)
con par�ametros t1= 2 s, c = 0:18 y t
2= t
1+ s
0.
38 Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales
Tabla 3.2 Valores calculados de los par�ametros del modelo estoc�astico
Registro No. s0 amax !g �g
(s) (cm=s2) (rad/s)
5 9.73 48.60 8.85 0.150
6 12.04 16.30 16.34 0.247
7 20.24 16.25 17.49 0.262
8 14.31 16.29 13.93 0.250
9 13.33 14.88 15.55 0.233
10 21.34 6.22 10.92 0.093
11 21.36 6.75 10.86 0.135
12 22.17 6.34 10.17 0.093
13 22.85 5.86 9.11 0.119
14 30.70 14.83 12.09 0.145
15 32.99 13.92 11.03 0.149
24 21.46 9.44 8.83 0.052
25 29.93 5.90 9.24 0.069
26 20.34 12.30 9.11 0.077
27 13.16 19.99 9.32 0.086
28 16.53 26.42 13.66 0.191
29 20.46 38.02 13.48 0.184
30 25.34 22.98 11.23 0.133
31 14.10 28.53 11.31 0.122
32 12.94 55.86 9.01 0.136
33 25.46 35.38 9.53 0.110
34 16.14 51.58 17.03 0.229
35 11.91 46.78 18.93 0.231
36 19.30 35.26 13.22 0.181
37 24.46 34.06 12.16 0.178
3.4 Generaci�on de acelerogramas arti�ciales para Manizales
Con el �n de utilizar el modelo espectral as�� de�nido para generar acelerogra-
Generaci�on de acelerogramas arti�ciales para Manizales 39
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 260
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
ωg
Den
sida
d de
pro
babi
lidad
Figura 3.1 Histograma y modelo probabilista de la frecuencia de Kanai-Tajimi paraManizales (unidades: rad=s)
mas arti�ciales adecuados para Manizales, consistentes con su amenaza s��smica,
se hace necesario examinar la relaci�on existente entre los valores s0, !g y �g de
un lado y la aceleraci�on m�axima, amax, por otro, debido a que la amenaza se
encuentra de�nida para todo el territorio nacional en t�erminos de �esta (Garc��a
et al. 1984). La �gura 3.4 muestra la relaci�on existente entre s0y amax. En ella
tambi�en se recogen los datos de la costa oeste norteamericana evaluados por Lai
(1982). Puede observarse que los datos de Manizales muestran la misma ten-
dencia a una correlaci�on negativa de s0 con respecto a amax, lo cual se explica
principalmente por el hecho de que la duraci�on crece con la distancia epicentral
al contrario que la aceleraci�on m�axima. Asimismo, se puede ver que la dis-
persi�on de los datos de Manizales, en el peque~no rango de aceleraciones que ha
sido posible registrar hasta el momento, muestran una dispersi�on muy inferior
que los usados por Lai (1982), lo que se debe a la mayor homogeneidad de la
40 Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
νg
Den
sida
d de
pro
babi
lidad
Figura 3.2 Histograma y modelo probabilista del amortiguamiento de Kanai-Tajimipara Manizales
muestra de una misma ciudad empleada en este caso. Esto ilustra la inconve-
niencia de utilizar informaci�on de bases de datos correspondientes a regiones
diversas en estudios de objetivo local como aquellos para los cuales este trabajo
pretende servir de insumo, es decir, la generaci�on de acelerogramas arti�cales
para estudios de vulnerabilidad y riesgo en Manizales.
Sobre la base de la informaci�on reunida en la tabla 3.2 se ha calculado la
siguiente regresi�on entre duraci�on de la fase fuerte y aceleraci�on m�axima:
ln s0= �0:0102 amax+ 3:1707 + � (3:6)
En esta expresi�on � es una variable aleatoria normal con media cero y desviaci�on
est�andar 0.2867. Como quiera que para valores altos de aceleraci�on se puede
obtener duraciones muy peque~nas, se propone �jar un valor m��nimo de 1 s.
Generaci�on de acelerogramas arti�ciales para Manizales 41
010
2030
4050
0
5
10
15
20
25
300
5
10
15
20
Tiempo, s
Modelo evolutivo
Frecuencia angular, rad/s
Figura 3.3 Densidad espectral evolutiva basada en el registro No. 7 (unidades: s,
cm=s2)
De otra parte, las �guras 3.5 y 3.6 muestran las relaciones !g - amax y
�g - amax, respectivamente. En consonancia con lo observado por Lai (1982),
ninguna de las dos variables muestra una tendencia de�nida a crecer o disminuir
con la aceleraci�on m�axima, lo cual hace que, para efectos pr�acticos, puedan ser
consideradas efectivamente como propiedades (estoc�asticas) de los suelos de la
regi�on bajo estudio, modeladas por las ecuaciones (3.2) y (3.2). Para estudios
de vulnerabilidad y riesgo, en los cuales se hace necesario generar acelerogramas
arti�ciales para un amplio rango de aceleraciones m�aximas, esta independencia
de los par�ametros espectrales del nivel de aceleraci�on s��smica permite generar
los acelerogramas a partir de una misma densidad espectral caracterizada ella
misma por par�ametros aleatorios. En consecuencia, el proceso de generaci�on
de acelerogramas arti�ciales propuesto para la ciudad, a partir del modelo es-
toc�astico as�� de�nido, es el siguiente:
42 Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
amax
s 0
Oeste de E. U. (Lai, 1982)Manizales
Figura 3.4 Relaci�on aceleraci�on m�axima / duraci�on de la fase fuerte (unidades: s,
cm=s2)
1. De�nir la aceleraci�on m�axima objetivo del registro.
2. Generar una duraci�on aleatoria de la fase fuerte, teniendo en cuenta que
el par�ametro � en la ecuaci�on (3.6) es aleatorio.
3. Generar valores aleatorios de los par�ametros de la densidad espectral de
potencia de acuerdo a sus distribuciones (ecuaciones 3.2 y 3.3).
4. Generaci�on de un ruido blanco de duraci�on equivalente a la duraci�on total
del evento (cf. Anexo B, secci�on B.5) y aplicaci�on de la funci�on de modulaci�on
de Amin y Ang (ecuaci�on 3.5).
5. Simulaci�on del acelerograma por medio de la soluci�on de la din�amica del
�ltro variable de Clough - Penzien (ecuaciones 1.45 y 1.46).
Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente 43
0 10 20 30 40 50 608
10
12
14
16
18
20
amax
ωg
observacionesvalor medio
Figura 3.5 Relaci�on aceleraci�on m�axima / frecuencia del �ltro (unidades: cm=s2,
rad/s)
6. Correcci�on de la l��nea base (cf. Secci�on 2.3.3).
3.5 Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente
Como una primera aplicaci�on pr�actica del modelo estoc�astico expuesto, en
este apartado se har�a uso de �el para estimar la vulnerabilidad de una estructura
representativa de las construcciones de concreto reforzado carentes de dise~no
sismo-resistente bajo condiciones de un sismo fuerte. Como valor indicativo de
este �ultimo se toma el correspondiente a una probabilidad de excedencia de 10%
en 50 a~nos, caracterizado por una celeraci�on m�axima de 0.25 g y reglamentado
por el c�odigo de dise~no sismo-resistente de la ciudad para las construcciones
nuevas. La meta de este an�alisis es la obtenci�on de una funci�on de distribuci�on
de probabilidad del da~no de una estructura representativa de los edi�cios de
44 Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales
0 10 20 30 40 50 600.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
amax
ν g
observacionesvalor medio
Figura 3.6 Relaci�on aceleraci�on m�axima / amortiguamiento del �ltro
la ciudad de la �epoca anterior a la expedici�on de la primera norma s��smica, la
cual permite estimar el escenario posible de da~nos y p�erdidas en ese grupo de
edi�cios*.
El m�etodo que se seguir�a para esta evaluaci�on es el m�etodo de Monte Carlo
(Hurtado y Barbat 1998; cf. Anexo A), que consiste en la realizaci�on de un
amplio n�umero de an�alisis deterministas de la estructura con datos aleatorios
con el �n de disponer de una muestra sobre la cual realizar las estad��sticas
correspondientes. Los pasos requeridos por el m�etodo en un caso como este son
los siguientes:
1. Dise~no de una estructura altamente representativa de la �epoca. La
estructura en cuesti�on es un edi�cio de concreto reforzado de seis plantas, con
* El dise~no de este modelo representativo fue realizado por Samuel D. Prieto y Josu�e Galvis.
Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente 45
Tabla 3.3 Rangos del ��ndice de Park y Ang para diferentes estados de da~no(Singhal y Kiremidjian 1996)
Estado de da~no Rango
Leve 0.1 - 0.2Moderado 0.2 - 0.5Fuerte 0.5 - 1.0Colapso > 1:0
cinco marcos de dos vanos cada uno, que soportan losas de concreto y cargas
vivas de tipo vivienda. El dise~no se realiz�o de acuerdo a las normas y costumbres
de las d�ecadas de los sesenta y setenta.
2. De�nici�on de un ��ndice de da~no. En los �ultimos a~nos se ha impuesto en
la literatura internacional el modelo de Park y Ang (Park 1984; Ang 1987) el
cual estima el da~no producido en cada elemento estructural como funci�on de la
deformaci�on m�axima y de la energ��a disipada. La ecuaci�on del ��ndice para un
elemento i es
di=
�m
�u+
�
Fy�u
ZdE
�����i
(3:7)
donde �m y �u son la deformaci�on m�axima bajo carga s��smica y bajo carga
monot�onica, respectivamente, Fy la resistencia a cedencia del elemento y � un
coe�ciente de peso de la energ��a disipada por hist�eresis, E. Park (1984) propone
expresiones para las variables mencionadas y modelos de hist�eresis para cada
tipo de carga a los que t��picamente se ven sometidos los elementos estructurales
bajo sismos: exo-compresi�on, corte y adherencia. Asimismo, para un edi�cio
en su conjunto, propone tomar como ��ndice de da~no global la expresi�on
D =
PE
idiP
Ei
(3:8)
que implica el tomar la energ��a disipada como factor de ponderaci�on. La mayor
ventaja de este ��ndice es que ha sido cuidadosamente calibrado con respecto a
da~nos s��smicos realmente ocurridos por medio de an�alisis no lineales de historia
de respuesta de varios edi�cios sometidos a los registros de los terremotos cor-
respondientes (Ang 1987). La tabla 3.3 muestra los rangos de valores del ��ndice
correspondientes a varias cali�caciones del da~no, los cuales suelen ser tomados
como referencia en diferentes estudios de este tipo (Barbat et al. 1996; Singhal
y Kiremidjian 1996).
46 Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales
3. De�nici�on de las variables aleatorias. En este caso se tomar�an las vari-
ables que se indican en la tabla 3.4 con las distribuciones y par�ametros que all��
se indican. La variable f 0ces la resistencia �ultima del concreto a compresi�on,
cuya media se toma igual a 1.14 veces la resistencia nominal del concreto de
dise~no com�un en la �epoca, 0.02058 kN/mm2. En cuanto a la media de la re-
sistencia �ultima del acero fy, se toma un cinco por ciento superior a la nominal,
0.4116 kN/mm2.
4. Generaci�on de conjuntos de datos aleatorios y combinaci�on de los mismos
de acuerdo a una t�ecnica de reducci�on de la varianza, que para este caso ser�a
la de muestreo descriptivo (Ziha 1995) comentada en el Anexo A.
5. Generaci�on de un conjunto igual de acelerogramas sint�eticos por medio
de la soluci�on para �Ufde las ecuaciones del �ltro variable de Clough-Penzien:
�Ug + (2 �g!g _����
_�) _Ug + !
2
g_�2
Ug = � _�2
�(t)W (�(t)) (3:9)
�Uf+ (2 �
f!f_��
��
_�) _U
f+ !
2
f_�2
Uf= �2 �g!g _�
_Ug � !2
g_�2
Ug (3:10)
6. An�alisis de historia de respuesta no lineal de todos los modelos con los
grupos de datos aleatorios. Para este prop�osito se utiliz�o el programa IDARC
(Kunnath et al. 1992), desarrollado para el an�alisis inel�astico de estructuras de
concreto reforzado.
7. An�alisis estad��stico de los resultados.
Tabla 3.4 Descripci�on de las variables aleatorias
No. Variable Distribuci�on � �
1 � Normal 0 0.28672 !
gWeibull 12.096 3.022
3 �g
Lognormal 0.154 0.0624 f
0
cNormal 0.0239 0.00335
5 fy
Lognormal 0.4410 0.04851
Se realizaron en total 66 an�alisis inel�asticos del modelo. La �gura 3.7 recoge
los valores de la distribuciones emp��rica del ��ndice de da~no. A ellos se ha ajus-
tado una funci�on lognormal, la cual permite estimar las probabilidades asociadas
Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente 47
Tabla 3.5 Probabilidades de excedencia del ��ndice de da~no
d P [D > d]
0.1 1.000 E 000.2 7.452 E -010.3 4.214 E -030.4 3.322 E -07
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
D
Dis
trib
ució
n de
pro
babi
lidad
Monte CarloLognormal
Figura 3.7 Funciones de distribuci�on del ��ndice de da~no de Park y Ang
a estados no observados en la simulaci�on, indicados en la tabla 3.5. En ella puede
observarse que para el grado de da~no leve y en parte para el grado moderado
hay casi total certeza de su ocurrencia, mientras que las probabilidades corre-
spondientes a niveles de da~no mayores son muy reducidas. El fuerte contraste
entre estos valores de probabilidad de excedencia entre los grados leve y mod-
48 Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales
0.018 0.0185 0.019 0.0195 0.02 0.02050
2
4
6
8
10
12
14
θ
Fre
cuen
cia
Figura 3.8 Histograma del radio de deriva m�axima
erado, de una parte, y los mayores, de otra, se explica por el reducido valor del
coe�ciente de variaci�on del ��ndice de da~no, que es tan s�olo de 0.123. Este com-
portamiento claramente positivo de los edi�cios sin dise~no sismo-resistente se
explica en parte por la correlaci�on negativa que guardan la aceleraci�on m�axima
y la duraci�on de la fase fuerte, la cual hace que para sismos fuertes el n�umero de
pulsos de m�axima intensidad sea menor. Por esta raz�on no resulta sorprendente
que la vulnerabilidad de esta clase de estructuras ante sismos m�as moderados
sea semejante a la correspondiente a los sismos fuertes considerados, tal como
indican algunos an�alisis preliminares realizados. N�otese que la carencia de reg-
istros de una aceleraci�on m�axima semejante a la considerada obliga a estimar
los valores de s0 a partir de la informaci�on de sismos d�ebiles, lo cual genera una
cierta incertidumbre sobre estas conclusiones. Sinembargo, los datos de Lai
(1982) inclu��dos en la �gura 3.4 muestran que son poco probables los valores
Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente 49
altos de s0correspondientes a grandes aceleraciones m�aximas.
Una dispersi�on menor que la del ��ndice de da~no se obtuvo en el caso del
radio de deriva m�axima (de�nida como la relaci�on entre la deriva de piso y su
altura), cuyo histograma se muestra en la �gura 3.8. La media y el coe�ciente de
variaci�on de esta variable fueron, respectivamente, 0.0193 y 0.026. Con el �n de
valorar este resultado, es conveniente mencionar que los c�odigos de dise~no sismo-
resistente especi�can un valor m�aximo del radio de deriva entre 0.01 y 0.015.
Esto indica que, en general, pueden esperarse grandes da~nos en elementos no
estructurales en edi�cios de esta clase ante el tipo de evento considerado. Con
el �n de complementar esta diagn�ostico preliminar deben efectuarse estudios
similares en estructuras con dise~no sismo-resistente, as�� como un estudio m�as
amplio y detallado de las que se han examinado preliminarmente en este trabajo.
Por ejemplo, deben considerarse las distribuciones reales de f 0cy f
yde acuerdo a
los datos disponibles en laboratorios de ensayos correspondientes a las diferentes
�epocas bajo estudio, las cuales aqu�� han sido meramente supuestas.
Anexo A
Variables aleatorias
A.1 De�nici�on de probabilidad
Un suceso aleatorio puede de�nirse como el resultado de un experimento
no causal, esto es, de un experimento en el que a una causa determinada no
est�a asociado un efecto preciso sino varios efectos posibles y el resultado �-
nal depende del azar. Alternativamente, puede interpretarse tambi�en como un
resultado determinista en el que intervienen multiples causas desconocidas, lo
que hace imposible conocer por anticipado el resultado del experimento. En
ambos casos se est�a ante un espacio de resultados posibles del experimento.
Por esa raz�on interesa distinguir entre resultados m�as probables que otros. La
de�nici�on cl�asica de probabilidad a�rma que si, previamente a la realizaci�on de
experimento alguno, podemos a�rmar que en n resultados igualmente probables
del experimento, hay un n�umero na de resultados a favor de cierto suceso A, la
probabilidad de �este es
P [A] = limn!1
na
n(A:1)
El hecho de que haya m�ultiples resultados posibles en el experimento aleato-
rio sugiere el uso de la teor��a de conjuntos para la de�nici�on de los conceptos
b�asicos de probabilidad. As��, el espacio de resultados posibles �i del exper-
imento, mencionado anteriormente, se denomina espacio de probabilidad, U .
Obviamente, el tama~no de tal espacio depende de la manera como haya sido
de�nido. As��, en el caso del lanzamiento de un dado el espacio tiene seis el-
ementos, si se de�ne como el conjunto de apariciones de cada n�umero, o dos
elementos, si s�olo interesa la obtenci�on de un n�umero par o impar. Por otra
parte, en el espacio pueden considerarse diversos subconjuntos de resultados
posibles, los cuales son justamente los sucesos aleatorios. Si, por ejemplo, el
experimento consiste en el lanzamiento de una moneda dos veces al aire, el
espacio de probabilidad consistir�a de los elementos aa; ar; ra; rr, donde a y r
52 Variables aleatorias
indican el anverso y reverso de la moneda. Dentro de este espacio se podr��an
de�nir un subconjunto A, que consisitiese de los elmentos correspondientes a
salidas repetidas de cualquiera de las caras: A = aa; rr.
Los siguientes enunciados de la teor��a de conjuntos se interpretan de la
manera descrita a continuaci�on en la teor��a de probabilidades:
1. A (conjunto A): A ocurre.
2. �A (complemento de A): A no ocurre.
3. A [B (uni�on de A y B): Ocurre al menos A �o B.
4. AB = ATB (intersecci�on de A y B): Ocurren A y B.
5. AB = O (la intersecci�on de A y B es el conjunto vac��o): Los sucesos A
y B son mutuamente excluyentes.
6. A � B (A es subconjunto de B): La ocurrencia de A conlleva necesaria-
mente la de B.
La de�nici�on de probabilidad que hoy se acepta universalmente es la dada
por Kolmogorov y est�a fundada en la teor��a de conjuntos. La de�nici�on se
conoce con el nombre de axiom�atica, ya que se expresa por los siguientes ax-
iomas:
1. P [A] � 0
2. P [U ] = 1
3. Si ATB = O, entonces P [A+B] = P [A] + P [B].
Seg�un el primer axioma, la probabilidad es un n�umero real, no negativo e
inferior a la unidad. El segundo establece que el espacio de todos los resultados
posibles, U , es un suceso cierto, ya que hay certeza total de que siempre se
realice. Por el contrario, el conjunto vac��o O denota un suceso imposible. Fi-
nalmente, el tercer axioma se re�ere a la probabilidad de sucesos mutuamente
excluyentes como la suma de las probabilidades individuales.
Para cualquier conjunto o espacio de probabilidad U , compuesto por m
elementos �1; �2; :::�n y del cual A, B, etc. son subconjuntos (de�nidos como
sucesos), se dan los siguientes axiomas:
1. P [O] = 0.
2. P [A] = 1� P [A]
3. Para cualesquier A;B, P [A+B] = P [A] + P [B]� P [AB].
El tercer axioma de Kolmogorov es un caso particular de este �ultimo enun-
ciado, cuando el producto (la intersecci�on) de A y B es el conjunto vac��o.
Finalmente, se de�ne la probabilidad condicional del evento A, dado el
evento B, como
P [AjB] = P [AB]
P [B](A:2)
La noci�on de independencia de dos sucesos se basa en este concepto. De
Variables, procesos y campos aleatorios 53
hecho, se a�rma que dos sucesos A y B son independientes cuando la probabil-
idad condicional de que suceda A dado B es igual a la probabilidad P [A]. En
este caso se tiene
P [AB] = P [A]P [B] (A:3)
Los siguientes teoremas son de gran importancia:
Teorema de la probabilidad total. Si los sucesos B1; B2; :::Bn son mutua-
mente excluyentes y exhaustivos (esto es, su uni�on agota el espacio U), entonces,para un suceso A cualquiera
P [A] =nX
j=1
P [AjBj ]P [Bj] (A:4)
Esto se desprende de la de�nici�on de probabilidad condicional y de la
condici�on de exclusi�on mutua. Aunque a simple vista parece que la ecuaci�on
anterior implica un rodeo para obtener la probabilidad de A, en la pr�actica
resulta muy �util, debido a que suelen ser m�as asequibles emp��ricamente las
probabilidades condicionales que las absolutas.
Teorema de Bayes. Sean A y B dos sucesos arbitrarios de probabilidad
diferente de cero. Entonces
P [BjA] = P [AjB]P [B]P [A]
(A:5)
y a partir del teorema anterior
P [BijA] =P [AjBi]P [Bi]P
nj=1 P [AjBj]P [Bj]
(A:6)
Este teorema tiene amplia aplicaci�on en las situaciones en que se trata de
predecir el comportamiento posterior de una variable a partir del conocimiento
actual del mismo.
54 Variables aleatorias
A.2 Variables, procesos y campos aleatorios
Se denomina realizaci�on de un suceso al elemento � del espacio U que re-
sulta del experimento, como puede ser el obtener la misma cara de la moneda
en el experimento de lanzarla dos veces, dentro de las cuatro posibilidades ex-
istentes. Una variable aleatoria X(�) es un n�umero asociado a una realizaci�on
� de un experimento, por medio de una regla de correspondencia o funci�on de-
terminada. As�� de�nida, una variable aleatoria no se diferencia de una funci�on
determin��stica cualquiera, mas que por el hecho de que su valor est�a asociado a
una ocurrencia al azar de un suceso.
Matem�aticamente, el n�umero X(�) es una variable aleatoria si la funci�on
X, real o compleja, est�a de�nida en el espacio U del experimento aleatorio y si,
adem�as, el conjunto de todas las realizaciones �, tales que sus correspondientes
X(�) sean menores o iguales que cierto valor x, es un subconjunto de U . A
diferencia del caso determinista, este conjunto, denotado por [X(�) � x], no
constituye un rango de dado de valores, sino un conjunto de resultados exper-
imentales posibles en el espacio U , y que solamente puede ser apreciado con
respecto a otros intervalos por medio de una probabilidad de ocurrencia. Lo
mismo es v�alido para otros sucesos, tales como [X(�) = x], [x1 � X(�) � x2],
etc. Una condici�on adicional de la teor��a de probabilidades estipula que la
probabilidad de los sucesos [X(�) =1] y [X(�) = �1] es nula.
En lo que sigue se omitir�a la indicaci�on de la realizaci�on �. Igualmente,
las variables aleatorias asociadas a una determinista se denotar�an por medio de
letras may�usculas.
Un proceso estoc�astico o aleatorio X(t) es una colecci�on de variables aleato-
riasX asociadas a una variable independiente t, que en general denota el tiempo.
El movimiento del terreno en un sismo como funci�on del tiempo, as�� como la
respuesta estructural pueden ser considerados como realizaciones de un proceso
estoc�astico. Por otra parte, en un campo aleatorio las variables aleatorias se aso-
cian a variables independientes cualesquiera, tales como el espacio, el tiempo
o ambos. Ejemplos t��picos son el de la variaci�on aleatoria de las propiedades
de un material en el espacio, o la variaci�on espacial y temporal del movimiento
s��smico considerada en el an�alisis de estructuras de gran longitud.
A.3 Funciones de distribuci�on
Intuitivamente se comprende que de los m�ultiples resultados posibles de
un experimento puede anticiparse en ciertos casos que unos son m�as probables
que otros, o en otros que todos son igualmente probables, como en el caso del
lanzamiento del dado. La funci�on de distribuci�on de probabilidad (o su derivada,
si existe, llamada de densidad de probabilidad) caracteriza completamente la
Funciones de distribuci�on 55
probabilidad de obtener un valor o rango de valores de la variable aleatoria,
los cuales pueden formar un campo continuo, como el eje real, o discreto, como
valores enteros, racionales, etc.
Tanto para el caso discreto como para el continuo, la funci�on de distribuci�on
de probabilidad FX(x) se de�ne como la probabilidad de que la variable aleato-
ria X sea menor que una cierta cantidad x:
FX (x) = P [X � x] (A:7)
Es evidente que cuando x!1, FX (x)! 1, ya que x agota todo el campo
real. An�alogamente FX (x)! 0 cuando x! �1. En t�erminos generales, puede
decirse que la funci�on de distribuci�on es no-negativa, no decreciente, continua
por la derecha y acotada entre 0 y 1.
La probabilidad de que una variable aletoria tome valores entre dos n�umeros
a y b, tales que a < b viene dada por
P [a < X � b] = FX(b) � FX (a) (A:8)
Si la funci�on de distribuci�on es continua en el intervalo (a; b], de acuerdo al
teorema fundamental del c�alculo integral la ecuaci�on anterior puede escribirse
como
P [a < X � b] = FX (b) � FX (a) =
Zb
af(x)dx (A:9)
lo que de�ne la funci�on de densidad de probabilidad
fX (x) =dFX(x)
dx(A:10)
.
o tambi�en
FX (x) =Zx
�1fU (u)du (A:11)
Si la funci�on fX (x) es continua sobre todo el eje real, entonces
Z1
�1fX (x)dx = 1 (A:12)
En el caso de variables aleatorias que solamente puedan tomar valores dis-
cretos xi; i = 1; 2; :::n, se de�ne la funci�on de masa de probabilidad como
56 Variables aleatorias
pX (xi) = P [X = xi] (A:13)
En consecuencia,
0 < pX (xi) � 1 (A:14)
nXi=1
pX (xi) = 1 (A:15)
Las funciones de masa y de distribuci�on de probabilidad guardan en este caso
las siguientes relaciones:
pX (xi) = FX (xi) � FX (xi�1) (A:16)
FX (x) =X
i:xi�x
pX(xi) (A:17)
Para efectos de c�alculo, resulta �util darle a la funci�on de masa una expresi�on
anal��tica usando la funci�on delta de Dirac:
fX (xi) =nX
i=1
pX (xi)�(x � xi) (A:18)
A.4 Distribuci�on de m�ultiples variables
Todo lo dicho en el apartado anterior se re�ere al comportamiento proba-
bilista de una sola variable aleatoria. En la pr�actica, se requiere con frecuencia
conocer el comportamiento de dos o m�as variables aleatorias de manera aislada
o relativamente de unas a otras. Se de�ne la funci�on de distribuci�on conjunta
de dos variables como
FX1;X2(x1; x2) = P ([X1 � x1]
\[X2 � x2]) (A:19)
y de manera an�aloga para m�as de dos variables. De acuerdo a lo dicho anteri-
ormente, se cumplen las siguientes relaciones:
Valor esperado y momentos 57
FX1;X2;:::Xn(1;1; :::) = 1;
FX1;X2;:::Xn(�1;�1; :::) = 0; (A:20)
FX1;X2;:::Xn(1;1; xj ;1; :::) = FXj
;8jEsta �ultima ecuaci�on indica que la distribuci�on de una variable cualquiera
( o distribuci�on marginal) puede obtenerse a partir de la distribuci�on conjunta
haciendo tender a in�nito las variables restantes. Por su parte, la funci�on de
densidad conjunta de m�ultiples variables se calcula derivando parcialmente la
funci�on de distribuci�on con respecto a las variables de inter�es. Por ejemplo,
para el caso de dos variables,
fX1;X2(x1; x2) =
@FX1;X2
@x1@x2
(A:21)
La relaci�on inversa a la anterior es, por tanto,
FX1;X2(x1 ; x2) =
Zx1
�1
Zx2
�1fU1;U2
(u1; u2)du1du2 (A:22)
Teniendo en cuenta la primera de las relaciones asint�oticas de la funci�on de
distribuci�on conjunta, se demuestra f�acilmente que la densidad de una vari-
able cualquiera ( o densidad marginal) puede obtenerse a partir de la densidad
conjunta integrando sobre las variables restantes:
fX1(x1) =
Z1
�1fX1;X2
(x1 ; x2)dx2 (A:23)
De acuerdo a la de�nici�on de probabilidad condicional dada m�as arriba,
para el caso de dos variables X e Y se puede de�nir una funci�on de densidad
condicional de probabilidad dada por
fXjY (xjy) =fX;Y (x; y)
fY (y)(A:24)
a partir de la cual la condici�on de independencia de las dos variables es
fXjY (xjy) = fX (x) (A:25)
�o
fX;Y (x; y) = fX (x)fY (y) (A:26)
58 Variables aleatorias
A.5 Valor esperado y momentos
A pesar de que las funciones mencionadas en los apartados anteriores de-
scriben completamente la distribuci�on de la probabilidad de una o muchas vari-
ables aleatorias sobre sus valores posibles, en la mayor��a de los casos resulta
conveniente cali�car el comportamiento de las mismas con unos pocos ��ndices
que describen los rasgos generales de la distribuci�on.
Se de�ne el valor esperado o esperanza matem�atica de una funci�on g(X) de
la variable aleatoria X a la expresi�on
E[g(X)] =Xi
g(xi)pX (xi) (A:27)
si X es discreta y
E[g(X)] =Z1
�1g(x)fX (x)dx (A:28)
siX es continua . En estas de�niciones se ha asumido que tanto el sumatorio
como la integral impropia convergen absolutamente.
De acuerdo con esta de�nici�on, el valor esperado de una funci�on se calcula
como el promedio ponderado de la funci�on, seg�un los pesos dados por la funci�on
de densidad o de masa de probabilidad. Para el caso espec���co en que la funci�on
g(X) es igual a la potencia n��esima de la variable, el valor esperado se denomina
momento n��esimo de X:
�X;n = E[Xn] =Xi
xn
i pX(xi) (A:29)
�X;n = E[Xn] =Z1
�1xnfX (x)dx (A:30)
Un momento de m�axima importancia es el de orden n = 1, �X;1 (denotado
simplemente como mX �o E(X)), que corresponde al caso en el que la funci�on
g(X) es la variable aleatoria misma, y se conoce con el nombre de media o valormedio esperado.
Los momentos centrales est�an dados por
�X;n = E[(X �mX)n] =Xi
(xi �mx)npX(xi) (A:31)
�X;n = E[(X �mX )n] =
Z1
�1(x �mx)
nfX (x)dx (A:32)
Funci�on caracter��stica 59
El momento central de orden dos �X;2, que se denota usualmente como
Var(X), se denomina varianza de la variable aleatoria, y constituye una medida
de la dispersi�on o concentraci�on de la funci�on de densidad o de masa alrededor
de la media. Otras medidas de dispersi�on son la desviaci�on est�andar, �X , que
es la ra��z cuadrada positiva de la varianza, y el coe�ciente de variaci�on, dado
por
�X =�X
mX
(A:33)
La asimetr��a de la distribuci�on es cali�cada por el coe�ciente de sesgamiento
X;1 =�X;3
�3
X
(A:34)
que es positivo cuando la funci�on de densidad es sesgada hacia la derecha, y
negativo en caso contrario. Finalmente, el coe�ciente de curtosis cali�ca lo
plana que sea la densidad:
X;2 =�X;4
�4
X
(A:35)
Un valor de X;2 menor que 3 implica una distribuci�on un tanto plana, mientras
que en el caso contrario la funci�on de densidad tiene una forma esbelta y aguda.
A.6 Funci�on caracter��stica
Una forma alternativa de de�nir la distribuci�on de probabilidad de una vari-
able aleatoria es mediante la funci�on caracter��sitica dada por la transformada
de Fourier de la funci�on de densidad de probabilidad:
�X (t) =
Z1
�1eixtfX (x)dx (A:36)
donde i2 = �1 y t es una variable real arbitraria. Se observa que
�X (0) = 1
�X (�t) = ��X(t) (A:37)
j�X (t)j � 1
La importancia de la funci�on caracter��stica reside en que, como puede de-
mostrarse f�acilmente, permite generar los momentos de todo orden:
60 Variables aleatorias
�X;j = i�j�(j)X
(0) (A:38)
donde �(j)X
(t) es la derivada n��esima de �X (t). Igualmente, los momentos
est�an relacionados con los llamados acumulantes, de�nidos por
�(j)X
= i�jdj
dtn�(j)X(t)jt=0 (A:39)
En los �ordenes inferiores, los acumulantes se relacionan directamente con los
primeros momentos. As��, el primero es igual a la media, el segundo a la varianza
y el tercero al tercer momento central. Para �ordenes superiores al tercero las
relaciones entre acumulantes y momentos son m�as complejas.
Adem�as de las posibilidades descritas, el conocimiento de la funci�on car-
acter��stica permite, para el caso de funciones continuas, calcular la funci�on de
densidad por medio de la transformada inversa de Fourier:
fX (x) =1
2�
Z1
�1e�ixt�X (x)dx (A:40)
En el caso de distribuciones de dos variables, la funci�on caracter��stica con-junta se de�ne por
�XY (t) = E[ei(xt+ys)] =
Z1
�1
Z1
�1ei(xt+ys)
fXY (x; y)dxdy (A:41)
donde el signi�cado de i y t; s es igual al descrito anteriormente. Tambi�en en
este caso se cumplen las relaciones
�XY (0; 0) = 1
�X(�t;�s) = ��XY
(t; s) (A:42)
j�XY (t; s)j � 1
Modelos probabilistas 61
A.7 Modelos probabilistas
Emp��ricamente, la distribuci�on de probabilidades puede calcularse a partir
de la distribuci�on de frecuencias, utilizando la de�nici�on de probabilidad dada
por la ecuaci�on (A.3.1). Para efectos anal��ticos, no obstante, resulta preferible
ajustar los datos a una funci�on de masa o de probabilidad conocida, la cual cor-
responde a un modelo determinado sobre la naturaleza de la variable aleatoria
bajo an�alisis, o calcular te�oricamente el modelo correspondiente a una variable
previamente a su obtenci�on emp��rica. A continuaci�on describiremos brevemente
algunos de los modelos m�as usuales en forma secuencial, de manera que resalte
su encadenamiento y relaciones mutuas.
1. Modelo binomial o de Bernoulli. Sea p la probabilidad de obtener
un �exito en un experimento determinado; por lo tanto, 1�p ser�a la probabilidadde fracaso. Si el experimento se repite n veces, de manera tal que los resultados
son independientes entre s�� y p se mantiene constante, el n�umero aleatorio de
�exitos X tendr�a por funci�on de masa de probabilidad
pX(x) = (nx)px(1� p)n�x (A:43)
La media y la varianza de X vendr�an dadas por
mX = np (A:44)
�2
X= np(1� p) (A:45)
2. Modelo de Poisson. Si en el modelo anterior se aumenta hasta el
in�nito el n�umero n de intentos pero se mantiene constante el valor esperado
de �exitos � = pn, la funci�on de masa de probabilidad tiende asint�oticamente a
pX (x) =�xe��
x!(A:46)
Al calcular el valor medio esperado se obtiene el valor �. La desviaci�on est�andar
tambien resulta igual a �este valor.
mX = � (A:47)
�2
X = �2
(A:48)
Una modi�caci�on usual de este modelo consiste en hacer constante la tasa
de ocurrencia de los �exitos �, antes que el n�umero total de ellos, con el �n de
dejar libre la variable temporal. Haciendo entonces � = �t, se tiene
62 Variables aleatorias
pX(x) =(�t)xe��t
x!(A:49)
Este modelo encuentra amplia aplicaci�on en la teor��a de procesos estoc�asticos.
3. Distribuci�on exponencial. Mientras que el modelo anterior es �util
para describir la ocurrencia de �exitos, el modelo exponencial, que se deduce de
�el, caracteriza el intervalo aleatorio X de tiempo transcurrido entre dos �exitos.
Su formulaci�on, as�� como la de los modelos restantes, se da en el campo continuo.
fX (x) = �e��t; t � 0 (A:50)
mX =1
�(A:51)
�2
X=
1
�2 (A:52)
4. Distribuci�on Gamma. Finalmente, dentro de la menci�on de modelos
�utiles para la estimaci�on probabil��stica de procesos temporales, mencionaremos
la distribuci�on del tiempo X necesario para alcanzar el k��esimo �exito, y que se
deduce igualmente del modelo de Poisson. Para el caso discreto,
fX (x) =�(�x)
k�1e��x
(k � 1)!(A:53)
En el caso continuo,
fX (x) =�(�x)
k�1e��x
�(k)(A:54)
donde �(:) es la funci�on gama, dada por
�(k) =
Z 10
e�uuk�1du (A:55)
En ambos casos, la media y la desviaci�on est�andar est�an dadas por
mX =k
�(A:56)
�2
X=
k
�2 (A:57)
Modelos probabilistas 63
Puede observarse que el modelo exponencial es un caso particular de la dis-
tribuci�on Gamma, con k = 1
5. Distribuci�on normal o de Gauss. La preponderancia de esta funci�on
se debe al hecho de que surge asint�oticamente y bajo ciertas condiciones rel-
ativamente d�ebiles, como la distribuci�on de una variable que es la suma de
m�ultiples variables aleatorias. Las condiciones mencionadas se re�eren justa-
mente a la relaci�on y distribuci�on de estos sumandos. Los detalles sobre este
tema, que corresponde al conocido teorema central l��mite pueden encontrarse en
cualquier libro general de teor��a de probabilidades. Para nuestro prop�osito nos
interesa destacar solamente que el origen aditivo de esta distribuci�on la hace
adecuada para modelar las variables y procesos estoc�asticos que surgen como
superposici�on de m�ultiples efectos aleatorios.
La funci�on de densidad normal es
fX (x) =1
�p2�
e�
(x�m)
2�2
(A:58)
donde m y � son la media y la desviaci�on est�andar, respectivamente, y son, por
tanto, los �unicos par�ametros necesarios para de�nirla. Una variable aleatoria
que se caracterice por esta funci�on se denota como N(m;�).
Esta funci�on puede obtenerse a partir del modelo binomial, haciendo np(1�p) > 1 por medio de la expresi�on asint�otica dada por el teorema de De Moivre- Laplace:
(nx)px(1� p)n�x � 1qnp(1� p)
p2�
e�
(x�np)
2np(1�p) (A:59)
lo cual indica que la distribuci�on de Bernoulli tiende a N(np;qnp(1� p))
La funci�on de distribuci�on normal se expresa como
FX (x) =1
�p2�
Z x
�1
e
�(x�m)
2�2
dx (A:60)
La lista siguiente re�une los modelos de densidad m�as usados comunmente
en diversas aplicaciones.
Binomial
pX (x) =
�n
x
�px(1 � p)n�x x = 1; 2; : : : n (A:61a)
64 Variables aleatorias
E(X) = np (A:61b)
Var(X) = np(1� p) (A:61c)
Geom�etrica
pX (x) = p(1� p)x�1 x = 1; 2; : : : (A:62a)
E(X) = 1=p (A:62b)
Var(X) = (1� p)=p2 (A:62c)
Poisson
pX (x) =�x
x!e�� x = 1; 2; : : : (A:63a)
E(X) = vt; vt = � (A:63b)
Var(X) = vt (A:63c)
ExponencialfX (x) = �e��x x � 0 (A:64a)
E(X) = 1=� (A:64b)
Var(X) = 1=�2 (A:64c)
Gamma
fX (x) =�(�x)k�1e��x
�(k)x � 0 (A:65a)
E(X) = k=� (A:65b)
Var(X) = k=�2 (A:65c)
Normal (o Gaussiana)
fX (x) =1p
2��Xexp [�1
2(x �mX
�X
)2] �1 < x <1 (A:66a)
E(X) = mX (A:66b)
Modelos probabilistas 65
Var(X) = �2X (A:66c)
Lognormal
fX (x) =1p2��x
exp [�1
2(lnx � �
�)2] x � 0 (A:67a)
E(X) = exp (�+1
2�2) (A:67b)
Var(X) = E2(X)[e�2 � 1] (A:67c)
Rayleigh
fX (x) =x
�2exp [�1
2(x
�)2] x � 0 (A:68a)
E(X) =
r�
2� (A:68b)
Var(X) = (2 � �
2)�2 (A:68c)
Uniforme
fX (x) =1
b� aa < x < b (A:69a)
E(X) = (a+ b)=2 (A:69b)
Var(X) =1
12(b � a)2 (A:69c)
Triangular
fX (x) =2
b� a(x � a
u� a) a � x � u (A:70a)
fX (x) =2
b� a(b � x
b � u) u � x � b (A:70b)
E(X) =1
3(a + b+ u) (A:70c)
66 Variables aleatorias
Var(X) =1
18(a2 + b
2 + u2 � ab� au� bu) (A:70d)
Beta
fX (x) =1
B(q; r)
(x � a)q�1(b � x)r�1
(b � a)q+r�1a � x � b (A:71a)
E(X) = a+q
q + r(b� a) (A:71b)
Var(X) =qr
(q + r)2(q + r + 1)(b � a)2 (A:71c)
Gumbel (Tipo I-m�aximos)
fX (x) = �e��(x�u) exp [�e��(x�u)] �1 < x <1 (A:72a)
E(X) = u+0:577
�(A:72b)
Var(X) =�2
6�2(A:72c)
Fr�ech�et (Tipo II-m�aximos)
fX (x) =k
u(u
k)k+1e(u=k)
kx � 0 (A:73a)
E(X) = u�(1� 1
k) (A:73b)
Var(X) = u2[�(1� 2
k)� �2(1� 1
k)] (A:73c)
Weibull (Tipo III-m��nimos)
fX (x) =k
! � "(x � "
! � ")k�1 exp [�(x� "
! � ")k] x > " (A:74a)
E(X) = "+ (! � ")�(1 +1
k) (A:74b)
Var(X) = (! � ")2[�(1 +2
k) � �2(1 +
1
k)] (A:74c)
Generaci�on de variables aleatorias 67
A.8 Generaci�on de variables aleatorias
La generaci�on de variables aleatorias ocupa un lugar importante en las apli-
caciones modernas de la teor��a de probabilidades en aquellas situaciones en que
se requiera conocer el comportamiento estoc�astico de un sistema por medio de
simulaci�on intensa por computador. El objetivo de la generaci�on es obtener una
muestra sint�etica (es decir, arti�cial) de valores de una variable cuya funci�on
de densidad emp��rica se ajuste lo m�as �elmente posible a la dada como modelo
probabilista de ella. La �gura A.1 muestra el concepto b�asico de generaci�on
de valores aleatorios por el llamado m�etodo de inversi�on, el cual abarca los
siguientes pasos:
Figura A.1 Generaci�on de valores aleatorios por el m�etodo de inversi�on
1. Generar un n�umero con distribuci�on uniforme entre 0 y 1, el cual repre-
senta as�i un valor de la funci�on de distribuci�on de la variable FX (x) = u.
2. Calcular la funci�on inversa de la distribuci�on, lo que da como resultado
el valor buscado,
x = F�1X
(u) (A:75)
Evidentemente, la forma de la funci�on de distribuci�on hace que sea m�as
probable obtener valores en la zonas de fuerte pendiente, que corresponden a
68 Variables aleatorias
Figura A.2 Combinaci�on de valores aleatorios de dos variables
Figura A.3 M�etodos de combinaci�on �optima de valores aleatorios
Generaci�on de variables aleatorias 69
los picos de la funci�on de densidad, que en las zonas extremas correspondientes
a valores poco frecuentes.
Esta idea de generar polaciones aleatorias arti�ciales es la base del llamado
m�etodo de Monte Carlo, el cual consiste en generar una muestra sint�etica de
respuestas de un sistema cualquiera a partir de una poblaci�on semejante de
datos del mismo. Estos �ultimos pueden ser obtenidos de la manera indicada,
combinando las muestras correspondientes a cada dato aleatorio, tal como in-
dica la �gura A.2. Estas combinaciones pueden ser dadas como insumo a un
algoritmo determinista en forma secuencial o paralela, con el �n de obtener la
poblaci�on arti�cial de respuestas cuyo estudio estad��stico se pretende realizar.
Sin embargo, puede verse en la �gura A.2 que la combinaci�on de valores all�� rep-
resentada es s�olo una de las muchas posibles. Se han propuesto varios m�etodos
que buscan generar una muestra �optima, en el sentido de que sea m��nimo el
n�umero de combinaciones posibles entre los valores aleatorios sin perjucio de la
distribuci�on de probabilidad de cada una de las variables. Algunos de ellos son
el muestreo estrati�cado (Press et al. 1992), el hipercubo latino (Florian 1992),
el muestreo descriptivo (Ziha 1995), etc. Los dos �ultimos, en particular, divi-
den el rango de las variables en zonas y realizan una selecci�on aleatoria de las
combinaciones posibles entre ellos de tal manera que no se muestree dos veces
en una misma zona (�gura A.3). Con esto se logra la m�axima econom��a en el
n�umero de an�alisis deterministas del sistema (cf. Hurtado and Barbat, 1998)
Anexo B
Procesos estoc�asticos
B.1 De�nici�on
El t�ermino proceso estoc�astico hace referencia a una variable aleatoria es-
calar o vectorial que evoluciona en el tiempo. Esto quiere decir que el valor
de una funci�on x(t) en cualquier instante t es imprecedicble con certeza y, por
tanto, es una variable aleatoria X(t) que s�olo puede ser tratada de manera prob-
abilista. De acuerdo con esta de�nici�on, la relaci�on existente entre la teor��a de
procesos estoc�asticos y la de variables aleatorias es paralela a la existente entre
la din�amica y la est�atica de estructuras.
La �gura B.1 muestra un acelerograma de un sismo. A diferencia de la visi�on
determinista corriente en din�amica estructural, que toma este registro como el
acelerograma verdadero, desde el punto de vista estoc�astico es s�olo cuesti�on de
azar que �esta y no otra historia de aceleraciones haya sido registrada y muchas
otras con una estructura probabilista de fondo semejante podr��an igualmente
haber ocurrido. Sin embargo, las respuestas estructurales ante cada realizaci�on
posible ser�an en cada caso diferentes, especialmente si el sistema es no lineal.
En consecuencia, tanto la excitaci�on como la respuesta deben ser consideradas
como procesos estoc�asticos.
La mencionada estructura probabilista de fondo es el objeto de estudio de la
teor��a de vibraciones aleatorias. Es decir, si los estados discretos de la variable
aleatoria vectorial X(t) son X1;X2;X3; : : : en los instantes t1 � t2 � t3; : : :,
la descripci�on de la variable debe hacerse por medio de medidas probabilistas
comunes para todas las realizaciones posibles x1;x
2;x
3; : : :. En dependencia de
la informaci�on disponible se pueden obtener una serie de medidas que conviene
distinguir jer�arquicamente. As��, la descripci�on probabilista m�as completa del
proceso es el conjunto de funciones de distribuci�on de probabilidad conjunta del
tipo
De�nici�on 71
0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.
-50.
0.50
.10
0.15
0.
T iempo
Ace
lera
cion
Figure B.1 Registro de aceleraciones s��smicas (unidades: s, cm=s2)
F (x1; t1) = P [X1(t1) � x1]
F (x1; t1;x2; t2) = P [X1(t1) � x1 \X2(t2) � x2] (B:1)
F (x1; t1;x2; t2 : : :xm; tm) = P [X1(t1) � x1 \ : : :Xm(tm) � x
m]
Las correspondientes densidades de probabilidad se obtienen derivando para-
cialmente con respecto a todos los argumentos. Para un proceso escalar se
tiene
f(x1; t1;x
2; t2: : : x
m; tm) =
@m
F (x1 ; t1;x2; t2 : : : xm; tm)
@x1@x
2: : : @x
m
(B:2)
Una clase importante de procesos para los cuales la descripci�on (B.1) se
puede simpli�car en gran medida es la de procesos difusivos de Markov. Tales
procesos pueden ser especi�cados completamente por densidades condicionales
del tipo
f(x2 ; t2jx1; t1) (B:3)
que expresan la probabilidad de que el proceso pase por el estado x2 en el
instante t2dado que se hallaba en el estado x
1en el instante t
1. Esta noci�on
ha permitido el desarrollo de la teor��a de ecuaciones diferenciales estoc�asticas.
72 Procesos estoc�asticos
En muchos casos, sin embargo, a�un la determinaci�on de tales funciones de
probabilidad condicional resulta dif��cil y solamente es posible estimar algunos
momentos del vector de respuesta, dados por
�jkj(X; t) =
Zxk1
1xk2
2: : : x
kn
nf(x; t)dx (B:4)
donde k es un multi-��ndice que denota las potencias de las variables del vector
k = [k1; k2; : : :] (B:5)
y jkj es la suma de sus elementos,
jkj = k1 + k2 + : : : (B:6)
Dichos momentos constituyen, obviamente, una descripci�on probabilista del
proceso m�as pobre que las densidades. El grado m�as bajo de la jerarqu��a de
informaci�on ocurre cuando s�olo se dispone de los momentos probabilistas de
primero y segundo �ordenes (jkj = 1; 2). Empero, si el proceso es Gaussiano
(es decir, si las densidades marginales y conjuntas obedecen la ley normal), tal
descripci�on es equivalente a la densidad de probabilidad, debido a que la ley
Gaussiana puede ser especi�cada completamente por los dos primeros momen-
tos (Papoulis 1991). Si el proceso no es Gaussiano, la informaci�on de primer
y segundo orden es, de todas formas, relevante para la descripci�on aproximada
de caracter��sticas del proceso tales como m�aximos esperados, sobrepaso de um-
brales, etc.
B.2 Elementos de c�alculo estoc�astico
Como las realizaciones de un proceso estoc�astico son inciertas, las nociones
convencionales del c�alculo de Riemman, tales como l��mite, continuidad, diferen-
ciabilidad, etc., requieren un reformulaci�on en este contexto. Es decir, la incer-
tidumbre sobre la trayectoria temporal de la funci�on precisa la introducci�on de
de�niciones espec���cas de tales conceptos en forma probabilista. A continuaci�on
se presenta un resumen de tales nociones.
1. Norma de una variable aleatoria.
Se dice que una variable aleatoria X es de segundo orden si su varianza
E[X2] es �nita. Para tal situaci�on se de�ne su norma como
jjXjj = (E[X2])12 (B:7)
Elementos de c�alculo estoc�astico 73
Se puede demostrar que el valor esperado anterior cumple con las propiedades
de producto interno.
2. Distancia entre variables aleatorias.
La distancia entre las variables aleatorias X1 y X2 se de�ne como
d(X1 ;X2) = jjX1 �X2jj (B:8)
Se llama espacio L2 a uno provisto de producto interno, norma y distancia de
variables aleatorias. Para las nociones siguientes es importante la propiedad de
que en tal espacio hay un l��mite �unico para una secuencia Xn.
3. Convergencia en media cuadr�atica.
Se dice que la secuencia Xnde variables aleatorias converge en media cua-
dr�atica a la variable aleatoria X si
limn!1
jjXn�Xjj = m:s: lim
n!1Xn= 0 (B:9)
4. Continuidad en media cuadr�atica.
Un proceso estoc�astico es continuo en media cuadr�atica si la funci�on
RX(t; s) = E[X(t)X(s)] (B:10)
es continua en s = t. Esta funci�on se denomina funci�on de auto-correlaci�on y
cumple un importante rol en la teor��a y de procesos estoc�asticos.
5. Derivaci�on en media cuadr�atica.
La derivada en media cuadr�atica _X(t) de un proceso X(t) se de�ne como el
l��mite
m:s: lim�!0
X(t + � )�X(t)
�(B:11)
si �este existe. Para ello debe cumplirse que la derivada generalizada de la funci�on
de auto-correlaci�on, dada por
lim�;�!0
1
��[R
X(t+ �; s+ �) �R
X(t + �; s)�R
X(t; s + �) +R
X(t; s)] (B:12)
74 Procesos estoc�asticos
exista en (t; t) y sea �nita. Un resultado importante de la derivaci�on en media
cuadr�atica es que si un proceso estoc�astico es derivable en media cuadr�atica N
veces, se cumple que
EhdnX(t)
dtn
i=
dn
dtnE[X(t)] (B:13)
Igualmente, si X(n)
(t) denota la derivadadn
X(t)dtn , luego
R(n;m)
X(t; s) = E[X
(n)(t)X
(m)(s)] =
@n+m
RX(t; s)
@tn
@sm (B:14)
si las derivadas implicadas existen.
6. Integraci�on en media cuadr�atica
El concepto de integrales de Riemann o Riemann-Stieltjes en media cua-
dr�atica requiere de algunas de�niciones previas. Consid�erese una partici�on del
intervalo [t0; tN ] � T en N puntos. Es decir, los puntos tk; k = 0; 1; 2; : : : ;N
son tales que t0< t
1< t
2< : : : t
N. Sean
�N = max(tk� t
k�1) (B:15)
yX(t) un proceso estoc�astico con momentos de segundo orden �nitos y de�nidos
en [t0; tN ]. Finalmente, sea f(t; u) una funci�on determinista de�nida en el mismo
intervalo e integrable en sentido ordinario de Riemann para todo u 2 U . La
variable
YN(u) =
NXk=1
f(�k; u)X(�
k)(t
k� t
k�1) (B:16)
donde �kes un punto arbitrario en el intervalo [t
k�1; tk), es una variable aleatoria
dependiente de U de�nida para tal partici�on. Si para todo u 2 U y una secuencia
de subdivisiones [t0; tN ] existe el l��mite
m:s: limN!1�N!0
YN= Y (u) (B:17)
�este se denomina integral de Riemann en media cuadr�atica de f(t; u) en el
intervalo [t0; tN ] y se denota por
Procesos estacionarios 75
Y (u) =Z t
N
t0
f(t; u)X(t)dt (B:18)
La condici�on necesaria y su�ciente para la existencia de esta integral en media
cuadr�atica es que la integral ordinaria
Z tN
t0
Z tN
t0
f(t; u)f(s; u)RX(t; s)dtds (B:19)
exista y sea �nita.
Las integrales de Riemann-Stieltjes en media cuadr�atica se pueden plantear
de manera similar. Por ejemplo, la integral
I =
Z tN
t0
X(t)dF (t) (B:20)
en la que X(t) es un proceso estoc�astico y F (t) es una funci�on determinista
o estoc�astica no necesariamente continua, puede expresarse como el l��mite en
media cuadr�atica
I = m:s: limN!1�N!0
IN
(B:21)
donde
IN(u) =
NXk=1
X(�k)[F (t
k) � F (t
k�1)] (B:22)
Una condici�on su�ciente para la existencia de este l��mite es que F (t) var��e de
manera acotada, es decir,
NXk=1
jF (tk)� F (t
k�1)j < M (B:23)
dondeM is un valor �nito. Esta condici�on es violada por funciones estoc�asticas
tales como el proceso de Wiener (conocido en f��sica como movimiento Browni-
ano).
76 Procesos estoc�asticos
B.3 Procesos estacionarios
Una clase importante de procesos est�a formada por aquellos cuya estructura
probabilista no var��a en el tiempo. M�as claramente, un proceso estacionario en
sentido estricto se de�ne como aquel para el cual sus distribuciones probabilistas
(B.1) permanecen inalteradas para una traslaci�on arbitraria � del eje de tiempo,
o sea,
F (x1; x2 ; : : : xm ; t1; t2; : : : tm) = F (x1; x2 ; : : : xm ; t1+�; t2+�; : : : tm+� ) (B:24)
Haciendo � = �t1 se puede ver que las distribuciones no dependen de la posici�on
absoluta en el eje de tiempo sino del retraso temporal � solamente.
Para el caso espec���co de la distribuci�on de primer orden (m = 1) no hay
dependencia temporal en absoluto, por lo cual los momentos del proceso ser�an
constantes:
E[Xi
(t)] = const; i = 1; 2; : : : (B:25)
Por su parte, los momentos de segundo orden depender�an solamente de la difer-
encia � = t2 � t1 y en consecuencia
E[X(t1)X(t2)] = E[X(t)X(t + � )] = RX(� ) (B:26)
Por tanto, la funci�on de auto-covarianza, de�nida como
�X(t1; t2) = E[fX(t1)� �(t1)gfX(t2)� �(t2)g] (B:27)
donde �(ti) es la media del proceso en el tiempo t
i,
�(ti) = E[X(t
i)]; i = 1; 2 (B:28)
se reduce a
�X(t1; t2) = R
X(� )� �
2(B:29)
para � = t2� t
1.
La exigente condici�on, mencionada anteriormente, para considerar un pro-
ceso como estacionario en sentido estricto puede ser relajada para dar lugar a
los procesos estacionarios en sentido d�ebil. �Estos se de�nen por las condiciones
siguientes: (a) los momentos de primer y segundo �ordenes son constantes y (b)
Procesos estacionarios 77
la funci�on de auto-correlaci�on depende s�olamente del retraso temporal, como en
la ecuaci�on (B.26). Como los procesos estacionarios en sentido estricto cumplen
estas condiciones, puede decirse que la estacionaridad en sentido d�ebil no im-
plica la estacionaridad en sentido fuerte. La �unica excepci�on la constituyen los
procesos Gaussianos, por estar de�nidos completamente por los momentos de
los dos primeros �ordenes.
B.3.1 Auto-correlaci�on y de densidad espectral de potencia
Una clase importante de procesos estacionarios en sentido d�ebil es la de los
llamados procesos con incrementos ortogonales. Su de�nici�on matem�atica se
puede deducir a partir del examen del siguiente proceso:
X(t) = Z1ei!1t + Z2e
i!2t (B:30)
donde Z1y Z
2son variables aleatorias complejas de media nula, i2 = �1 y !
1,
!2 son constantes. La media del proceso es, evidentemente,
E[X(t)] = 0 (B:31)
debido a la naturaleza arm�onica de la funci�on exponencial compleja. La funci�on
de auto-correlaci�on es
E[X(t)XC(t + � )] = E[Z1Z
C
1]e�i!1� + E[Z1Z
C
2]ei[!1t�!2(t+� )]+
E[Z2ZC
1]ei[!2t�!1(t+� )] + E[Z
2ZC
2]e�i!2� (B:32)
Para que el proceso sea estacionario en sentido d�ebil se requiere que E[Z1ZC
2] =
E[Z2ZC
1] = 0, de manera que la funci�on de auto-correlaci�on no dependa del
tiempo t (de ah�� el nombre de ortogonal). Bajo estas condiciones la funci�on de
auto-correlaci�on se reduce a
E[X(t)XC(t+ � )] = E[jZ
1j2]e�i!1� + E[jZ
2j2]e�i!2� (B:33)
Generalizando, un proceso estacionario con auto-correlaci�on
RX(� ) = E[X(t)X
C(t + � )] =
nXk=1
E[ jZkj2]e�i!k� (B:34)
puede ser constru��do con la suma de arm�onicos
78 Procesos estoc�asticos
X(t) =nX
k=1
Zkei!kt (B:35)
bajo la condici�on de que E[ZjZC
k] = 0; j 6= k.
La versi�on continua de este proceso da origen a la llamada representaci�on
espectral de procesos estacionarios, la cual est�a dada por la integral estoc�astica
de Fourier-Stieltjes
X(t) =
Z 1�1
ei!tdZ(!) (B:36)
en la que Z(!) es un proceso estoc�astico complejo con incrementos ortogonales,
o sea,
E[dZ(!1)dZ(!2)C] = 0; !1 6= !2 (B:37)
y
E[jdZ(!)j2] = d�(!) (B:38)
donde �(!) es una funci�on aleatoria no necesariamente continua. La diferencia
entre esta representaci�on y la de una integral convencional de Fourier-Stieltjes
reside en que la funci�on Z(!) es tambi�en un proceso estoc�astico, lo cual im-
plica que es diferente para las diversas realizaciones del proceso X(t). Por
tanto, los diferenciales en integrales involucrados en esta representaci�on deben
ser entendidos en sentido estoc�astico (o sea, en media cuadr�atica), tal como se
explic�o anteriormente. Seg�un las anteriores derivaciones, la funci�on de auto -
correlaci�on de este proceso est�a dada por
RX(� ) =
Z 1
�1
E[jdZ(!)j2]e�i!t
Z 1
�1
e�i!td�(!) (B:39)
Si la funci�on �(!) es absolutamente continua su diferencial poder representarse
como
d�(!) = SX(!)d! (B:40)
y entonces la funci�on de auto - correlaci�on est�a dada por la siguiente transfor-
mada de Fourier :
Procesos estacionarios 79
RX(� ) =
Z 1�1
e�i!tSX(!)d! (B:41)
La funci�on SX(!), que puede ser obtenida por inversi�on de la expresi�on anterior
SX(!) =
1
2�
Z 1
�1
ei!tRX(� )d� (B:42)
se llama la densidad espectral de potencia del proceso. Estas relaciones de
Fourier se conocen con el nombre de f�ormulas de Wiener-Jinchin.
La densidad espectral es una funci�on real y no negativa que juega un papel
similar al que la transformada de Fourier hace en el an�alisis de se~nales deter-
ministas. De hecho, provee una descripci�on de la distribuci�on de la energ��a
esperada asociada a las varias frecuencias que est�an presentes en las realiza-
ciones del proceso. El nexo entre ambas funciones frecuenciales est�a dado por
la de�nici�on de la densidad espectral usada en la teor��a de se~nales
SX(!) = lim
s!1
E[j ~X(!)j2]
2�s(B:43)
Aqu�� ~X(!) indica la transformada de Fourier de las realizaciones de un proceso
estacionario X(t) de duraci�on s. Mediante una derivaci�on algo tediosa puede
mostrarse que esta ecuaci�on reduce a la anterior de�nici�on de la densidad es-
pectral (B.42). En la pr�actica cotidiana de proceso de se~nales, la densidad se
estimada por la aproximaci�on
SX(!) �
j ~X(!)j2
2�s(B:44)
que se conoce con el nombre de periodograma. La gran varianza inherente a
esta estimaci�on se suele reducir por medio de las llamadas ventanas espectrales
(Priestley 1981). Alternativamente, el espectro de potencia puede ser estimado
con base en el principio de m�axima entrop��a, que coincide con del modelo Auto
- Regresivo (AR) (Papoulis 1991).
N�otese que de las de�niciones de las funciones de auto-correlaci�on y espectral
de potencia se sigue que la varianza de un proceso con media nula est�a dada
por
�2= R
X(0) (B:45a)
as�� como por
80 Procesos estoc�asticos
�2=
Z 1
�1
SX(!)d! (B:45b)
Finalmente, debe anotarse que el uso de la densidad espectral unilateral de
potencia
GX(!) = 2S
X(!); ! > 0 (B:45c)
es convencional en aplicaciones de ingenier��a debido a la no-negatividad de las
frecuencias f��sicas.
B.3.2 Ruido blanco
Un importante proceso estoc�astico estacionario es el ruido blanco, W (t),
que puede de�nirse como un proceso que tiene una densidad espectral constante
sobre todo el eje de frecuencias, es decir,
SW(!) = const (B:46)
lo que signi�ca que a cada frecuencia se asocia una cantidad igual de energ��a
(lo que explica el t�ermino \blanco"). La funci�on de autocorrelaci�on se obtiene
por transformaci�on de Fourier, o sea
RW(� ) = 2�S
W�(� ) (B:47)
donde �(�) es la funci�on delta de Dirac. El signi�cado de esta ecuaci�on es
que cualquier valor del proceso se correlaciona �unicamente con s�� mismo. Si,
adem�as, el ruido es Gaussiano, �este es completamente independiente de los
valores pr�oximo o previo. Esta es, por supuesto, una situaci�on altamente ideal-
izada que es imposible encontrar en el mundo f��sico. No obstante, el proceso de
ruido blanco es muy �util en derivaciones te�oricas y el an�alisis pr�actico de vibra-
ciones aleatorias y sus realizaciones se pueden simular por medio del algoritmo
siguiente (Clough y Penzien 1993; Nigam y Narayanan 1994):
1. Generar un conjunto de n�umeros aleatorios con distribuci�on uniforme
fx1; x
2; : : : x
ng en el rango [0; 1].
2. Hacer la transformaci�on
yi=q�2 lnx
icos 2�x
i+1 (B:48)
yi+1 =
q�2 lnx
isin 2�x
i+1
Procesos estacionarios 81
3. Multiplicar todos los n�umeros yipor la intensidad del proceso 2�S
Wy
asignarlos a valores de tiempo igualmente espaciados a intervalos h.
Puede demostrarse que el proceso resultante tiende al un ruido blanco seg�un
h ! 0. La �gura B.2 muestra una realizaci�on de un ruido blanco de SW
= 1
obtenida de esta manera. La importancia de ruido blanco en la mec�anica yace
en el hecho que muchas cargas aleatorias (y, en general, muchos fen�omenos
naturales) pueden modelarse o bien como ruido blanco o bien como la respuesta
de �ltros lineales o no lineales a excitaci�on blanca. Este punto se tratar�a en el
cap��tulo siguiente en el caso espec���co de excitaci�on s��smica.
0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.
-100
0.-5
00.
0.50
0.10
00.
1500
.
T iempo, s
Figura B.2 Realizaci�on de un ruido blanco
B.3.3 Ergodicidad
Una hip�otesis importante para la obtenci�on de los par�ametros estad��sticos
de un proceso estoc�astico estacionario a partir de sus realizaciones f��sicas es la de
ergodicidad, por que se establce una equivalencia entre los promedios obtenidos
en el espacio de muestreo y los calculados a partir de una realizaci�on �unica
sobre el eje temporal. Espec���camente, si x(t) es una realizaci�on del proceso
82 Procesos estoc�asticos
estoc�astico X(t), el promedio de tiempo de una funci�on determinista de esta
realizaci�on, g[x(t)] est�a dado por
< g[x(t)] >= limT!1
1
2T
Z T
�T
g[x(t)] dt (B:49)
Consiguientemente, un proceso estoc�astico se denomina erg�odico con respecto
al espacio de funciones G si, para cada g[x(t)] 2 G el promedio obtenido sobre
el eje de tiempo g[�] iguala el promedio de conjunto con probabilidad uno. Esto
es,
< g[X(t)] >= Ehg[X(t)]
i(B:50)
En la pr�actica, el mayor inter�es reside principalmente sobre la ergodicidad con
respecto a promedios comunes tales como la media, media cuadrad�atica y la auto
- correlaci�on. Las condiciones para la existencia de tales tipos de ergodicidad
se puede hallar en textos b�asicos sobre procesos aleatorios.
B.4 Procesos no estacionarios
Como se dijo anteriormente, un proceso aleatorio estacionario admite una
representaci�on espectral del tipo
X(t) =
Z 1�1
ei!tdZ(!) (B:51)
donde Z(!) es un proceso aleatorio con incrementos independientes que en gen-
eral debe ser representado en el campo complejo. Esta ecuaci�on indica que
cualquier proceso estacionario puede descomponerse en una suma in�nita de
arm�onicos de amplitudes aleatorias, que pueden ser relacionados estad��stica-
mente con su frecuencia respectiva mediante una funci�on aleatoria que tenga
una naturaleza espectral. Esta descomposici�on constituye, de hecho, el funda-
mento de la simulaci�on de procesos aleatorios continuos, como se mostrar�a en el
cap��tulo siguiente. En el caso de procesos no estacionarios, sin embargo, no es
posible representarlos como una suma de funciones seno y coseno porque estas
son completamente estacionarias. Como la representaci�on espectral es atractiva
tanto en sentido te�orico (para c�alculos anal��ticos) como pr�actico (para �nes de
simulaci�on) por el hecho de que el espectro del proceso est�a impl��cito en su
de�nici�on, algunos autores han propuesto modelos no estacionarios basados en
la representaci�on espectral. La propuesta m�as divulgada es la debida a Priestley
(1981). Debido a que la trasformada de Fourier de una funci�on seno o coseno
Procesos no estacionarios 83
es un pulso de Dirac ubicado en la frecuencia respectiva, mientras el de un
arm�onico amortiguado exponencialmente es una funci�on Gaussiana centrada a
su alrededor, Priestley propuso interpretar esto �ultimo como la trasformada de
Fourier de una onda con amplitud evolutiva y, consiguientemente, desarroll�o la
teor��a de funciones oscilatorias y de espectro evolutivo. La teor��a generaliza el
concepto de frecuencia y permite la conservaci�on del signi�cado de densidad
espectral en el caso de procesos no estacionarios. En este trabajo, sin embargo,
s�olo es posible resumir brevemente la noci�on de espectro evolutivo, el cual est�a
dado por
SX(!; t) = j�(!; t)j
2SY(!) (B:52)
donde SY(!) es la densidad espectral de potencia de un proceso asociado Y (t)
y �(!; t) es una funci�on oscilatoria suave (en general, compleja) que controla
la evoluci�on del proceso tanto en amplitud como en frecuencia. Esta ecuaci�on
es la base de la representaci�on espectral de procesos no estacionarios propuesta
por Priestley
X(t) =
Z 1�1
�(!; t)ei!tdZ(!) (B:53)
que es posible si se cumplen algunas condiciones impuestas sobre �(!; t). Una
simpli�caci�on ampliamente usada de este modelo es el de modulaci�on uniforme,
en que la funci�on de modulaci�on es real e independiente de la frecuencia, es
decir,
�(!; t) � �(t) (B:54)
por lo cual controla �unicamente la amplitud del proceso. La densidad espectral
evolutiva se reduce a
SX(!; t) = �(t)
2SY(!) (B:55)
Otro enfoque para la descripci�on espectral de procesos no estacionarios se
debe a Bendat y Piersol (1971) quienes proponen describir el proceso por medio
de la funci�on local de auto - correlaci�on
RX(t; � ) = E
hX
�t �
�
2
�X
�t+
�
2
�i(B:56)
Una densidad espectral de potencia dependiente del tiempo puede derivarse
como la transformada de Fourier
84 Procesos estoc�asticos
SX(!; t) =
1
2�
Z 1
�1
ei!tRX(t; � )d� (B:57)
Se ha observado, sin embargo, que en el anterior modelo no siempre se respeta la
no negatividad que por de�nici�on debe tener el espectro de potencia (Priestley
1981).
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