Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales
• El principio consiste en utilizar los valores previamente calculados de y y/o y' para construir un polinomio que aproxime la derivada de la función y extrapolarlo para el siguiente paso o intervalo.
• La mayoría de los métodos multipaso utilizan valores de puntos equidistantes.
• El número de puntos anteriores que se utilizan determinan el grado de el polinomio.
• Un método multipaso para resolver el problema de valor inicial: es aquél cuya ecuación de diferencia para encontrar la aproximación yi+1 puede representarse con la siguiente ecuación:
para i = m-1, m,...N-1, donde los valores iniciales y0 = 0, y1 = 1, y2 = 2, ..., ym-1 = m-1 están especificados y h = (b - a)/N
• Cuando bm = 0 el método se denomina explícito o abierto.
• Cuando bm 0 el método se denomina implícito o cerrado, ya que yi+1 aparece en ambos lados de la ecuación
mimiiimiim
miimimi
yxfbyxfbyxfbh
yayayay
110111
101211
,...,,
...
• De dos pasos y0 = 0 y1 = 1 , para i = 1,2,...,N-1
• De tres pasos y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2
para i = 2,3,...,N-1
11 32
nnni ffh
yy 2
1 '''2
5hy nn
211 5162312
nnnnn fffh
yy
3
18
3hy n
iV
n
• 4 pasos, y0= 0 y1= 1 y2= 2 y3= 3
• 5 pasos y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2 y3 = 3 y4 = 4
3211 937595524
nnnnnn ffffh
yy 4
1720
251hy n
V
n
43211 2511274261627741901720
nnnnnnn fffffh
yy
5
1288
95hy n
Vi
n
• De dos pasos: y0 = 0 y1 = 1
• De tres pasos: y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2
111 8512
nnnnn fffh
yy 3
124
1hy n
iV
n
2111 519924
nnnnnn ffffh
yy
4
1720
19hy n
V
n
• De cuatro pasos: y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2 y3 = 3
32111 19106264646251720
nnnnnnn fffffh
yy
5
160
3hy n
Vi
n
• Dado a que los coeficientes de los términos que involucran a f son más pequeños para los métodos implícitos éstos son más estables y tienen errores de redondeo menores.
• Generalmente, los métodos implícitos dan mejores resultados, sin embargo, requieren convertir el método, algebraicamente a una representación explícita para yn+1, y esto puede ser difícil.
• En la práctica los modelos multipaso implícitos se usan para mejorar las aproximaciones obtenidas por los métodos explícitos. A la combinación de una técnica explícita con una implícita se le llama método predictor-corrector.
• Método predictor de Milne
• Método corrector de Simpson (1/3)
2131 223
4 iiiii fffhyy i
V
i yh 4
115
14
1111 43
iiiii fffh
yy iV
i yh 4
190
1
• A pesar de que el error de truncamiento local es pequeño, no es muy común su uso porque es propenso a presentar problemas de estabilidad.
• El método de Milne obtienen la primera aproximación de yi+1 extrapolando valores para la derivada. Este método difiere de las formulas de Adams en que la integración se hace en más de un intervalo.
• Para la deducción de la fórmula se emplean fórmulas cuadráticas de integración. La fórmula de integración que se emplea para la deducción de la corrección es la regla de Simpson 1/3.
• Cuando los valores obtenidos por el predictor y el corrector son iguales en un número considerable de decimales se pueden ahorrar recursos computacionales incrementando h.
• Cuando la diferencia entre predictor y corrector excede el criterio de error se deberá disminuir el tamaño de paso.
• La eficiencia de los métodos Adams-Milne se considera al doble de los métodos Runge-Kutta, debido a que sólo se requieren dos evaluaciones de la función por paso.
• Todos tienen términos de error similares, sin embargo cambiar h con los métodos multipaso es más laborioso.