DIVISIBILIDAD.
NÚMEROS ENTEROS.NÚMEROS ENTEROS.
2º E.S.O.
MULTIPLOS Y DIVISORES
Un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando el
segundo por otro número entero.
Ejemplos:
18 es múltiplo de 2 porque 18 = 2 • 9
75 es múltiplo de 5 porque 75 = 5 • 15
90 es múltiplo de 3 porque 90 = 3 • 30
44 es múltiplo de 11 porque 44 = 11 • 4
MULTIPLOS Y DIVISORES
Un número es divisor o factor de otro si este se puede dividir entre
el primero de forma exacta.
Ejemplos:
2 es divisor de 18 porque 18 : 2 = 9
5 es divisor de 75 porque 75 : 5 = 15
7 es divisor de 63 porque 63 : 7 = 9
11 es divisor de 44 porque 44 : 11 = 4
Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones:
a) 8 es un múltiplo de 16
b) 8 es un múltiplo de 4
c) 16 es un múltiplo de 8
NO
SI
SI
MULTIPLOS Y DIVISORES
d) 16 es un divisor de 8
e) 8 es un divisor de 16
f ) 16 es un múltiplo de 4
g) 8 es un múltiplo de 16
NO
SI
SI
NO
Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones:
a) 3 es un múltiplo de 12
b) 8 es un múltiplo de 24
c) 16 es un múltiplo de 32
NO
NO
NO
MULTIPLOS Y DIVISORES
d) 12 es un divisor de 24
e) 8 es un divisor de 32
f ) 16 es un múltiplo de 64
g) 8 es un múltiplo de 24
SI
SI
NO
NO
1) Hallar cinco múltiplos del número 9:
9 18 27 36 45
2) Hallar todos los divisores del número 18
1 2 3 6 9 18
MULTIPLOS Y DIVISORES
3) Hallar todos los divisores del número 36
1 2 3 4 6 9 12 18 36
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.
Ejemplos:
12 es divisible por 2 porque acaba en cifra par.
1564 es divisible por 2 porque acaba en cifra par.
Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es
divisible por 3.
Ejemplos:
12 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es 3.
1563 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es 15.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 4 si termina en 00 o lo es el número
formado por sus dos últimas cifras.
Ejemplos:
1500 es divisible por 4 porque acaba en 00.
1524 es divisible por 4 porque 24 es divisible por 4.
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Ejemplos:
125 es divisible por 5 porque acaba en 5.
1560 es divisible por 5 porque acaba en 0.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es
divisible por 9.
Ejemplos:
1521 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es 9.
684 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es 18.
Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Ejemplos:
100 es divisible por 10 porque acaba en 0.
1560 es divisible por 10 porque acaba en 0.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 11 si la suma de todas las cifras que
ocupan los lugares impares menos la suma de todas las cifras que
ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11.
Ejemplo:
El número 80729 es divisible por 11:El número 80729 es divisible por 11:
Suma de cifras impares de 80729: 8 + 7 + 9 = 24
Suma de cifras pares de 80729: 0 + 2 = 2
Diferencia: 24 − 2 = 22
22 es múltiplo de 11
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la
unidad.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
Ejemplos:
El número 19 es primo porque sólo se puede dividir entre 1 y 19.El número 19 es primo porque sólo se puede dividir entre 1 y 19.
El número 45 es compuesto porque se puede dividir entre 1 y 45,
y aparte se puede dividir entre 3, 5, 9 y 15.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Factorizar el número 64 en factores primos:
64 23216
22
Factores primos.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
168
2224
2 21
64 = 26
Factorizar el número 56 en factores primos:
56 2
28 2
Factores primos.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
56 = 23 · 728
14
7
2
2
7
1
Factorizar el número 792 en factores primos:
792 2
396198
22
Factores primos.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
19899
23
333
11 11
1
792 = 23 · 32 · 11
91131
713
432216108
222
52517535
355
a) 91 b) 432 c) 525
Ejercicio: Descompón en factores primos:
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
1 1085427931
22333
3571
57
a) 91 = 7 · 13
b) 432 = 24 · 33
c) 525 = 3 · 52 · 7
Ejemplo: Hallar el m.c.d.(4 , 6)
421
22 4 = 22
6 231
3 6 = 2 · 3
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
Paso 2: Elegir los factores comunes. Comunes: 2
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
Paso 2: Elegir los factores comunes. Comunes: 2
Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca.
Comunes: 2
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.d.(4 , 6) = 2
Ejemplo: Hallar el m.c.d.(40 , 60)
40 = 23 · 5 60 = 22 · 3 · 560 23015
1
23
5 5
40 22010
1
22
5 5
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
Paso 2: Elegir los factores comunes.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
Comunes: 2 y 5
Comunes: 22 y 5
m.c.d.(40 , 60) = 22 · 5 = 20
Paso 2: Elegir los factores comunes.
Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca.
Paso 4: Multiplicar los factores:
Ejemplo: Hallar el m.c.d.(150 , 225)
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
Paso 2: Elegir los factores comunes.
150 = 2 · 3 · 52 225 = 32 · 52225 3
7525
1
35
5 5
150 27525
1
35
5 5
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
Paso 2: Elegir los factores comunes.
Comunes: 3 y 5
Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca.
Comunes: 3 y 52
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.d.(150 , 225) = 3 · 52 = 75
Ejemplo: Hallar el m.c.m.(4 , 6)
421
22 4 = 22
6 231
3 6 = 2 · 3
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
Comunes: 2 No comunes: 3
Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca.
Comunes: 22 No comunes: 3
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.m.(4 , 6) = 22 · 3 = 12
Ejemplo: Hallar el m.c.m.(20 , 30)
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
20 = 22 · 520 210
51
25
30 = 2 · 3 · 530 215
51
35
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
Comunes: 2 y 5 No comunes: 3
Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca.
Comunes: 22 y 5 No comunes: 3
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.m.(20 , 30) = 22 · 3 · 5 = 60
Ejemplo: Hallar el m.c.m.(75 , 90)
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
75 = 3 · 5275 325
51
55
90 = 2 · 32 · 590 24515
1
33
5 5
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
Comunes: 3 y 5 No comunes: 2
Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca.
Comunes: 32 y 52 No comunes: 2
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.m.(75 , 90) = 2 · 32 · 52 = 450
El producto del máximo común divisor por el mínimo común
múltiplo de dos números coincide con el producto de los dos
números.
M.C.D. Y M.C.M.
m.c.d. (A , B) · m.c.m. (A , B) = A · B
m.c.m.(4 , 6) = 22 · 3 = 12
m.c.d.(4 , 6) = 2
m.c.d. (4 , 6) · m.c.m. (4 , 6) = 2 · 12 = 24 = 4 · 6
a)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
b)
a)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
b)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
c)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
SUMAS Y RESTAS CON PARÉNTESIS
a) a) a) a) 7 7 7 7 − − − − ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ==== f ) f ) f ) f ) 7 7 7 7 · · · · ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====
b) b) b) b) 3 3 3 3 + + + + ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====
c) c) c) c) − − − − 7 7 7 7 − − − − ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====
g) g) g) g) − − − − 3 3 3 3 · · · · ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====
h) h) h) h) − − − − 15 15 15 15 : : : : ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====
7 + 5 = 12
3 − 5 = − 2
− 7 + 5 = − 2
− 35
15
3
e) e) e) e) − − − − 7 7 7 7 − − − − 5 5 5 5 ====
d) d) d) d) −−−−3 3 3 3 + + + + ﴾ −−−−5 5 5 5 ﴿ ====
j) j) j) j) − 7 · 5 =− 7 · 5 =− 7 · 5 =− 7 · 5 =
i) i) i) i) −−−−25 25 25 25 : : : : 5 5 5 5 ====− 3 − 5 = − 8
− 12
− 5
− 35
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
( )a a ab c b c⋅ + = ⋅ + ⋅
Ejemplos:
) ( )a 3 2 5 3 2 3 5 6 15 21⋅ + = ⋅ + ⋅ = + =
) ( )b 5 7 3 5 7 5 3 35 15 20⋅ − = ⋅ − ⋅ = − =
SACAR FACTOR COMÚN
( )b c ba a ca ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Ejemplos:
) ( )a 3 2 3 5 3 2 5 3 7 21⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ =
) ( )b 5 7 5 3 5 7 3 5 4 20⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ =
OPERACIONES COMBINADAS
) ( )a 52 25 13 52 12 40− − = − =
) ( )b 40 32 16 40 16 24− − = − =
) ( )c 28 11 6 28 5 33+ − = + =
) ( )d 37 15 12 37 3 40+ − = + =
OPERACIONES COMBINADAS
) ( ) ( )a 11 3 2 4 6 11 1 11 1 12− − + − = − − = + =
) ( ) ( ) ( )b 6 5 7 3 2 8 8 7 8 7 15− + − − − = − − = + =
) ( ) ( ) ( )c 5 3 10 4 8 2 7 5 1− − + − + − − + =) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
c 5 3 10 4 8 2 7 5 1
5 7 2 3 5 7 2 3 7
− − + − + − − + =
= − − + − − = + − − =
) ( ) ( ) ( ) ( )d 6 10 5 3 4 6 4 2 2 4 4 8− − − − − = − − − − = − − = −
OPERACIONES COMBINADAS
) ( ) ( )a 30 : 2 5 15 5 75− − ⋅ = ⋅ =
) ( ) ( )b 75 : 25 : 3 3 : 3 1− = − = −
) ( ) ( )c 60 :10 : 2 6 : 2 3− = − = −
) ( ) ( ) ( ) ( )d 8 9 : 6 12 72 : 72 1⋅ − ⋅ − = − − =
OPERACIONES COMBINADAS
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a 5 3 7 4 8 : 2 5 2 10
5 4 4 4 5 8 20 16 40 36
⋅ − + ⋅ − ⋅ − =
= ⋅ − + ⋅ − ⋅ − = − + + =
) ( ) ( )
[ ] [ ]
b 3 2 5 4 7 3 2 3 2 5 4 7 6
3 2 5 4 1 3 2 5 4 3 2 1 3 2 1
− ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − =
= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ = − =
Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días, y Pedro lo hacecada 3. El día 20 de mayo se encontraron allí. ¿Cuándo volverán a coincidir?
Tenemos que calcular el m.c.m.(3, 5) = 3 · 5 = 15. Tienen que pasar 15 días.
SOLUCIÓN: Vuelven a coincidir el 4 de junio.
En un terreno rectangular de 240 por 360 metros, se proyecta colocar placas
PROBLEMAS
En un terreno rectangular de 240 por 360 metros, se proyecta colocar placascuadradas del mayor tamaño posible, para recoger energía solar. ¿Quélongitud tienen que tener los lados de las placas?
240 = 24 · 3 · 5 360 = 23 · 32 · 5
Se calcula el m.c.d.(240, 360) = 23 · 3 · 5 = 120
SOLUCIÓN: 120 m de lado deben tener las placas.
Tres autobuses de tres líneas distintas salen de una estación: el primero cada10 minutos, el segundo cada 12 minutos y el tercero cada 15 minutos. Si a las8 de la mañana salió un autobús de cada línea, ¿a qué hora volverán a salir lostres a la vez?
Se calcula el m.c.m.(10, 12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60.
SOLUCIÓN: Los tres vuelven a coincidir a las nueve.
PROBLEMAS
Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo más grandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo. ¿Cuánto medirá cada trozo?
20 = 22 · 530 = 2 · 3 · 5
M.C.D. (20, 30) = 2 · 5 = 10
SOLUCIÓN: Han de partirse en trozos de 10 metros cada una.
En la biblioteca de mi centro hay entre 150 y 200 libros. Averigua cuántosson exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de 18unidades.
5 = 59 = 32
15 = 3 · 518 = 2 · 32
m.c.m. (5, 9, 15, 18) = 2 · 32 · 5 = 90
PROBLEMAS
18 = 2 · 32
El número de libros ha de ser múltiplo de 5, de 9, de 15 y de 18, y el menor de ellos es 90. Los siguientes múltiplos de 90 son 180, 270…
SOLUCIÓN: Por tanto hay 180 libros.
- Reconocer la divisibilidad entre números usando varios criterios de
divisibilidad.
- Obtener el MCD y MCM de varios números por factorización.
- Resolver problemas usando el MCD o MCM.
MÍNIMOS EXIGIBLES
-Realizar operaciones combinadas con números enteros en casos muy
simples.
- Aplicar la propiedad distributiva y sacar factor común en las
operaciones con números naturales.