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DISEÑO MURO DE CONTENCION
MEMORIA DE CALCULO
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DICIEMBRE DE 2008
Diseño Muro de Contención
CALCULO Y DISEÑO ESTRUCTURAL DE MUROS DE CONTENCION TEORÍA DE COULOMB - DISEÑO EN ROTURA
Esquema general del muro
CONSIDERACIONES GENERALES:
i) Se consideran dos combinaciones de carga: una normal (caso estático) y una eventual (caso estático +sismo).
ii) Se analiza el muro por metro de longitud, considerándolo no restringido al movimiento y, por lo tanto,capaz de desarrollar empujes activos y pasivos.
iii) Se utilizan las fórmulas de Coulomb para la determinación de los empujes de tierra estáticos. El uso deeste métodod implica un adecuado valor para el ángulo de fricción δen la suèrficie a-b, donde β<= δ<= φ�.(En forma conservadora puede tomarse δ= 0, pero en muros altos podría resultar antieconómico.
iv) Se utiliza la fórmula de Mononobe-Okabe para la evaluación de los empujes de tierra en el caso sísmico.Por lo tanto se considera suelo seco y, además, no cohesivo.
v) Para la evaluación de seguridad al deslizamiento, se analizan los casos con y sin empuje pasivo delrelleno exterior. (Se considera δ = 0 en el caso de empuje pasivo).
vi) Para la evaluación de seguridad al volcamiento, no se considera el empuje pasivo del relleno exterior.
vii) Para la evalucaión de las tensiones máximas de suelo, no se considera el empuje pasivo del rellenoexterior.
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Diseño Muro de Contención
1.- Datos de entrada
1.1.- Definición
tonf 1000kgf:=
1.2.- Datos del muro
H 11.66m:= Altura total.
B 13.51m:= Ancho de la base. (Recomendación general: 0.4Hm a 0.7Hm)
ez 1.0m:= Espesor de la zapata. (Recomendación: H/12 a H/10)
lt 0.5m:= Longitud talón de la zapata. (Recomendación general: 2B/3 - eb)
ec 0.3m:= Espesor del muro en el coronamiento.
eb 1.0m:= Espesor del muro en la base. (Recomendación: H/12 a H/10)
α 86.243deg:= Angulo de paramento vertical de la pared interior.
γh 2.5tonf
m3:= Peso específico del hormigón.
fy 4.2tonf
cm2:= Tensión de fluencia del acero.
fc 250kgf
cm2:= Resistencia cilíndrica del hormigón.
rec 5cm:= Recubrimiento del hormigón en muro y zapata.
1.3.- Características del relleno interior
γri 1.8tonf
m3:= Peso específico.
ϕri 30deg:= Angulo de fricción interna
δri2ϕri
3:= Angulo de fricción muro relleno: vale de 1/3φ a 2/3φ para superficies
parcialmente rugosas de hormigón. vale ~φ, para piedras rugosas. Parasuperficie de muro lisa, pulida, es igual a cero.δri 20 deg⋅=
hri 11.66m:= Altura de relleno tras el muro.
β 0deg:= Angulo de inclinación relleno.
hre 1.0m:= Altura de relleno delante del muro.
1.4.- Características del suelo
γs 1.8tonf
m3:= Peso específico.
ϕs 30deg:= Angulo de fricción interna
δs2ϕs
3:= Angulo de fricción muro suelo: vale de 1/3φ a 2/3φ para superficies
parcialmente rugosas de hormigón. vale ~φ, para piedras rugosas. Parasuperficie de muro lisa, pulida, es igual a cero.δs 20 deg⋅=
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Diseño Muro de Contención
σadme 20tonf
m2:= Tensión admisible estática.
σadms 26tonf
m2:= Tensión admisible sísmica.
1.5.- Sobrecargas
qsc 2.0tonf
m2:= sobrecarga sobre relleno
ηc 0.4:= Factor de carga de compactación.
qc ηc γri⋅ 1⋅ m:= Sobrecarga de compactación.
q max qsc qc, ( ) 2tonf
m2⋅=:= Sobrecarga máxima efectiva.
1.6.- Coeficientes sísmicos
Kh 0.15:= coeficiente de aceleración horizontal
Kv 0.08:= coeficiente de aceleración vertical
2.- Cálculo de los centros de masa 2.1.- Muro de hormigón
αi 90deg α−:= αi 3.757 deg⋅=
y1 H ez−:= y1 10.66m=
x1 y1 tan αi( )⋅:= x1 0.7 m=
x2 max eb x1− ec− 0, ( ):= x2 0 m=
αe atanx2y1
:= αe 0 deg⋅=
Am B ez⋅ y1ec eb+
2⋅+:= Am 20.439 m2
=
Xgm1
AmB2 ez⋅
2x1 y1⋅
2B lt−
23
x1⋅−
⋅+ ec y1⋅ B lt− x1−ec2
−
⋅+x2 y1⋅
2B lt− eb−
23
x2⋅+
⋅+
⋅:=
Ygm1
AmB ez2
⋅
2x1 y1⋅
2y13
ez+
⋅+ ec y1⋅y12
ez+
⋅+x2 y1⋅
2y13
ez+
⋅+
⋅:=
Posición del centro de masasrespecto al punto "O":
Xgm 8.657m= Ygm 2.152m=
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Diseño Muro de Contención
2.2.- Relleno interior
c1 lt tan αi( ) hre ez−( )⋅+:= c1 0.5 m=
x1 lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+:= x1 1.2 m=
y1 hri hre−:= y1 10.66m=
y2 x1 tan β( )⋅:= y2 0 m=
Arix1 c1+
2y1⋅
x1 y2⋅
2+:= Ari 9.061m2
=
Xgri B1
Ariy1 lt2⋅
2x12 y2⋅
6+
y12 tan αi( )⋅
2y1 tan αi( )⋅
3lt+
+
−:=
Ygri1
Ariy1 lt⋅ ez
y12
+
⋅x1 y2⋅
2y23
y1+ ez+
⋅+y12 tan αi( )⋅
22y13
ez+
+
:=
Posición del centro de masasrespecto al punto "O":
Xgri 13.061 m= Ygri 7.062 m=
2.3.- Relleno exterior
x1 B lt− eb−:= x1 12.01m=
y1 if hre ez< 0, hre ez−, ( ):= y1 0 m=
x2 y1 tan αe( )⋅:= x2 0 m=
Are x1 y1⋅x2 y1⋅
2+:= Are 0 m2
=
Xgre if Are 0>1
Arex12 y1⋅
2y1 x2⋅
2x23
x1+
+
⋅, 0,
:=
Ygre if Are 0>1
Arex1 y1⋅ ez
y12
+
⋅y1 x2⋅
223
y1 ez+
⋅+
⋅, 0,
:=
Posición del centro de masasrespecto al punto "O":
Xgre 0 m= Ygre 0 m=
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Diseño Muro de Contención Determinación de propiedades de medio equivalente:
γrγri Ari⋅ γs Are⋅+
Ari Are+:= γr 1.8
tonf
m3⋅=
ϕϕri Ari⋅ ϕs Are⋅+
Ari Are+:= ϕ 30 deg⋅=
δδri Ari⋅ δs Are⋅+
Ari Are+:= δ 20 deg⋅=
3.- Análisis estático
3.1.- Pesos de elementos
Wri γri Ari⋅ 1⋅ m:= Peso propio del relleno interior.
Wri 16.31 tonf⋅=
Wre γs Are⋅ 1⋅ m:= Peso propio del relleno exterior.
Wre 0 tonf⋅=
Wm γh Am⋅ 1⋅ m:= Peso propio del muro.
Wm 51.1 tonf⋅= 3.2.- Empuje Activo
Kasin α ϕ+( )2
sin α( )2 sin α δ−( )⋅ 1sin ϕ δ+( ) sin ϕ β−( )sin α δ−( ) sin α β+( )
+
2:=
Coeficiente de empuje activo del suelo según Coulomb.
Ka 0.325=
Hab lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+[ ] tan β( )⋅ hri+:= Altura tramo a-b
Hab 11.66 m=
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Diseño Muro de ContenciónEmpuje Activo de relleno
Ea12γr⋅ Hab2
⋅ Ka⋅ 1⋅ m:=Ea 39.79 tonf⋅=
Posición del esfuerzo respecto a "O": Xa B 13.51 m=:= Ya
Hab3
3.887 m=:=
3.3.- Empuje pasivo
Kpsin 90deg ϕs−( )2
1 sin ϕs( )−( )2:= Coeficiente de empuje pasivo según Coulomb, con β = δ = 0.
Kp 3=
Ep12γs⋅ hre2
⋅ Kp⋅ 1⋅ m:= Empuje pasivo de suelo.
Ep 2.7 tonf⋅=
3.4.- Esfuerzos debidos a la sobrecarga sobre el relleno
Qv q lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+[ ]⋅ 1⋅ m 2.4 tonf⋅=:= Esfuerzo vetical sobre el talón debido a la sobrecargaefectiva.
Xqv Blt hri ez−( ) tan αi( )⋅+
2− 12.91 m=:= Posición horizontal del esfuerzo respecto al punto "O".
Qh q Ka⋅ Hab⋅ 1⋅ m 7.583 tonf⋅=:= Esfuerzo horizontal debido a la sobrecargaefectiva.
Posición del esfuerzo respecto a "O": Xqh B:= Yqh
Hab2
5.83 m=:=
3.5.- Verificación de la estabilidad del muro
3.5.1.- Estabilidad al deslizamiento
Peso equipos sobre la zapata PE 5 20+ 20+ 5+( )tonf:=
Fuerza restauradora:
Fre Qv Wri+ Wre+ Wm+ Ea Qh+( ) sin δ( )⋅+ PE+[ ] tan23ϕ
⋅ Ep+ 52.2 tonf⋅=:=
Fuerza deslizante: Fde Ea Qh+( ) cos δ( )⋅ 44.516 tonf⋅=:=
F.S. al deslizamiento: FSDFreFde
1.173=:= < 2.0 NO CUMPLE => Agregar dienteConsidera Empuje pasivo
FSDFre Ep−
Fde1.112=:= < 1.5 NO CUMPLE => Agregar Diente
No Considera E. pasivo
3.5.2.- Estabilidad al volcamiento
MPE 2.5 11.47 7.78+( )⋅ 10 6.05 4.73+( )⋅+ 5 3.57 0.33+( )⋅+ 10 2.62 1.27+( )⋅+[ ]tonf m⋅:=
Momento restaurador:
Mre Wri Xgri⋅ Wre Xgre⋅+ Wm Xgm⋅+ Qv Xqv⋅+ Ea Xa⋅ Qh Xqh⋅+( ) sin δ( )⋅+ MPE+:=
Mre 1119.6 tonf m⋅⋅=
Momento Volcante: Mve Ea Ya⋅ Qh Yqh⋅+( ) cos δ( )⋅ 186.869 tonf m⋅⋅=:=
F.S. al volcamiento: FSVMreMve
5.991=:= > 2.0 O.K.
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Diseño Muro de Contención
3.6.- Cálculo de tensiones de suelo
3.6.1.- Excentricidad
Resultante de esfuerzos verticales:
Ne Qv Wri+ Wre+ Wm+ Ea Qh+( ) sin δ( )⋅+ 86.01 tonf⋅=:=
Me1 Ea Ya⋅ Qh Yqh⋅+( ) cos δ( )⋅ WreB2
Xgre−
⋅+ WmB2
Xgm−
⋅+:=
Me2 Wri XgriB2
−
⋅ Qv XqvB2
−
⋅+ Ea XaB2
−
⋅ Qh XqhB2
−
⋅+
sin δ( )⋅+:=
Momento resultante en el centro de la zapata.
Me Me1 Me2− 137.405− tonf m⋅⋅=:=
Excentricidad de la carga
eMeNe
1.598− m=:=
3.6.2.- Porcentaje de area comprimida
uB2
e− 8.353 m=:=
%Ac if eB6
< 1, 3 u⋅B
,
100 %⋅=:= > 80% O.K.
3.6.3.- Tensiones máxima y mínima
σ1e if eB6
<Ne
B 1⋅ m1
6eB
+
, 2 Ne⋅
3B2
e−
⋅ 1⋅ m,
:=
σ1e 1.85tonf
m2⋅= < σadme 20
tonf
m2⋅= O.K.
σ2e if eB6
<Ne
B 1⋅ m1
6eB
−
, 0,
:=
σ2e 10.88tonf
m2⋅= < σadme 20
tonf
m2⋅= O.K.
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Diseño Muro de Contención
4.- Análisis estático + sísmico
4.1.- Fuerzas inerciales del relleno interior
Fvri 1 Kv−( ) Wri⋅:= Esfuerzo sísmico inercial vertical del relleno
Fvri 15.01 tonf⋅=
Fhri Kh Wri⋅:= Esfuerzo sísmico inercial horizontal del relleno
Fhri 2.45 tonf⋅=
4.2.- Fuerzas inerciales del relleno exterior
Fvre 1 Kv−( ) Wre⋅:= Esfuerzo sísmico inercial vertical del relleno
Fvre 0 tonf⋅=
Fhre Kh Wre⋅:= Esfuerzo sísmico inercial horizontal del relleno
Fhre 0 tonf⋅=
4.3.- Fuerzas inerciales del muro
Fvm 1 Kv−( ) Wm⋅:= Esfuerzo sísmico inercial vertical del muro
Fvm 47.01 tonf⋅=
Fhm Kh Wm⋅:= Esfuerzo sísmico inercial horizontal del muro
Fhm 7.66 tonf⋅=
4.4.- Fuerzas de empuje activo sísmico
KKh
1 Kv−:= coeficiente sísmico en el aire
K 0.163=
θ atan K( ):= θ 9.26 deg⋅=
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Diseño Muro de Contención
Kassin α ϕ+ θ−( )2
cos θ( ) sin α( )2 sin α δ− θ−( )⋅ 1sin ϕ δ+( ) sin ϕ β− θ−( )sin α δ− θ−( ) sin α β+( )
+
2:=
Kas 0.451=
ΔKas Kas Ka−:= Coeficiente de incremento sísmico de empuje de suelo.
ΔKas 0.125=
Eas12γr Hab2
⋅ 1 Kv−( )⋅ ΔKas⋅ 1⋅ m:=
Incremento de empuje activo sísmico del terrenoEas 14.126 tonf⋅=
Posición del esfuerzo respecto a "O":
Xas Xa 13.51 m=:=
Yas23
Hab⋅ 7.77 m=:=
4.5.- Fuerza de empuje pasivo sísmico
Kpscos ϕs θ−( )2
cos θ( )2 1sin ϕs( ) sin ϕs θ−( )⋅
cos θ( )−
2⋅
2.702=:=
Coeficiente de empuje pasivo sísmico
Eps12γs⋅ hre2
⋅ 1 Kv−( )⋅ Kps⋅ 1⋅ m:= Empuje pasivo sísmico
Eps 2.237 tonf⋅=
4.6.- Esfuerzos debidos a la sobrecarga sobre el relleno
4.6.1.- Carga sobre talón
Qvs q lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+[ ]⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m 2.208 tonf⋅=:=
esfuerzo vertical sobre el talón debido a la sobrecarga efectivaXqvs Xqv 12.91 m=:= posición horizontal respecto al punto "O".
Qhs q Kas⋅ Hab⋅ 1⋅ m 10.51 tonf⋅=:= esfuerzo sísmico horizontal debido a la sobrecarga
Xqhs B:= Yqhs Yqh 5.83 m=:=
4.7.- Verificación de la estabilidad del muro
4.7.1.- Estabilidad al deslizamiento
Fuerza restauradora:
Frs Qvs Fvri+ Fvre+ Fvm+ Ea Eas+ Qhs+( ) sin δ( )⋅+ PE+[ ] tan23ϕ
⋅ Eps+ 51.83 tonf⋅=:=
Fuerza deslizante: Fds Ea Eas+ Qhs+( ) cos δ( )⋅ Fhri+ Fhre+ Fhm+ 70.652 tonf⋅=:=
F.S. al deslizamiento: FSDFrsFds
0.73=:= < 1.5 NO CUMPLE => Agregar dienteConsidera Empuje pasivo
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Diseño Muro de Contención
FSDFrs Eps−
Fds0.7=:= < 1.2 CUMPLE => agregar diente
No Considera E. pasivo
4.7.2.- Estabilidad al volcamiento
MPE 2.5 11.47 7.78+( )⋅ 10 6.05 4.73+( )⋅+ 5 3.57 0.33+( )⋅+ 21 2.62 1.27+( )⋅+[ ]tonf m⋅ 257.115 tonf m⋅⋅=:=
Momento restaurador:
Mrs Fvri Xgri⋅ Fvre Xgre⋅+ Fvm Xgm⋅+ Ea Xa⋅ Eas Xas⋅+ Qhs Xqhs⋅+( ) sin δ( )⋅+ Qvs Xqvs⋅+ MPE+:=
Mrs 1186.27 tonf m⋅⋅=
MVE 10 10⋅ 40 5⋅+ 40 3⋅+ 10 7⋅+( )tonf m⋅ 490 tonf m⋅⋅=:=
Momento Volcante:
Mvs Ea Ya⋅ Eas Yas⋅+ Qhs Yqhs⋅+( ) cos δ( )⋅ Fhri Ygri⋅+ Fhre Ygre⋅+ Fhm Ygm⋅+ MVE+:=
Mvs 829.857 tonf m⋅⋅=
F.S. al volcamiento: FSVMrsMvs
1.429=:= ~ 1.5 O.K.
4.8.- Cálculo de tensiones de suelo
4.8.1.- Excentricidad
Ns Fvri Fvre+ Fvm+ Ea Eas+ Qhs+( ) sin δ( )⋅+ Qvs+:=
Ns 86.258 tonf⋅= Resultante de esfuerzos verticales
Ms1 Ea Ya⋅ Eas Yas⋅+ Qhs Yqhs⋅+( ) cos δ( )⋅ Fhri Ygri⋅+ Fhre Ygre⋅+ Fhm Ygm⋅+:=
Ms1 339.86 tonf m⋅⋅=
Ms2 FvreB2
Xgre−
⋅ FvmB2
Xgm−
⋅+ Fvri XgriB2
−
⋅− Qvs XqvsB2
−
⋅−:=
Ms2 197.64− tonf m⋅⋅=
Ms3 Ea− XaB2
−
⋅ Eas XasB2
−
⋅− Qhs XqhsB2
−
⋅−
sin δ( )⋅:=
Ms3 148.85− tonf m⋅⋅=
Momento resultante en el centro de la zapata.Ms Ms1 Ms2+ Ms3+ 6.63− tonf m⋅⋅=:=
Excentricidad de lacarga:
eMsNs
0.077− m=:=
4.8.2.- Porcentaje de area comprimida
uB2
e− 6.832 m=:=
%Ac if eB6
< 1, 3 u⋅B
,
100 %⋅=:= > 80% O.K.
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Diseño Muro de Contención 4.8.3.- Tensiones máxima y mínima
σ1s if eB6
<Ns
B 1⋅ m1
6eB
+
, 2 Ns⋅
3B2
e−
⋅ 1⋅ m,
:=
σ1s 6.17tonf
m2⋅= < σadms 26
tonf
m2⋅= O.K.
σ2s if eB6
<Ns
B 1⋅ m1
6eB
−
, 0,
:=
σ2s 6.6tonf
m2⋅= < σadms 26
tonf
m2⋅= O.K.
4.9.- Momentos de flexión
4.9.1.- Cálculo del Muro en Voladizo
Cargas laterales sobre el muro:
qa1 γr Hab lt tan δ( )⋅− ez−( )⋅ Ka⋅ cos δ( )⋅ 1⋅ m 5.763tonfm
⋅=:= x1 lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+ 1.2 m=:=
Δqas22 Eas⋅
Hab 1⋅ mcos δ( )⋅ 1⋅ m 2.277
tonfm
⋅=:= Δqas1 Δqas2lt tan δ( )⋅ ez+
Hab⋅ 0.231
tonfm
⋅=:=
qqs0 q Kas⋅ cos δ( )⋅ 1⋅ m 0.847tonfm
⋅=:= qqs1 2q Kas⋅ tan β( )⋅ cos δ( )⋅ 1⋅ m 0tonfm
⋅=:=
qr1 Kh γr⋅ lt⋅ 1⋅ m 0.135tonfm
⋅=:= qr2 Kh γr⋅ x1⋅ 1⋅ m 0.324tonfm
⋅=:=
qm1 Kh γh⋅ eb⋅ 1⋅ m 0.375tonfm
⋅=:= qm2 Kh γh⋅ ec⋅ 1⋅ m 0.113tonfm
⋅=:=
qr3 Kh γr⋅ x1⋅ tan β( )⋅ 1⋅ m 0tonfm
⋅=:= qps1 γr hre ez−( )⋅ Kps⋅ 1⋅ m 0tonfm
⋅=:=
Cargas laterales sobre el muro en función de la altura:
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Diseño Muro de Contención
qa y( ) qa1 yqa1
hri ez−
⋅−:= Empuje activo estático (0 <= y <= hri - ez)
Δqas y( )Δqas2 Δqas1−
hri ez−y⋅ Δqas1+:= Incremento sísmico del
empuje activo(0 <= y <= hri - ez)
qr y( )qr2 qr1−
hri ez−y⋅ qr1+:= Carga sísmica del terreno
sobre el talón(0 <= y <= hri - ez)
Carga sísmica del terreno restante sobreel talón con inclinación β distinta de cero.
(hri-ez-x1 <= y<= hri - ez)qrr y( )
qr3x1
hri ez− y−( )⋅:=
qqs y( ) qqs0:= Carga sísmica inducida por la sobrecarga sobre el relleno.
(0 <= y <= hri - ez)
qqss y( )qqs1x1
hri ez− y−( )⋅:= Carga sísmica del terreno restante sobreel talón inducida por la sobrecarga parauna inclinación β distinta de cero.
(hri-ez-x1 <=y
<= hri - ez)qm y( ) qm1
qm1 qm2−
hri ez−y⋅−:= Carga sísmica de inercia del
muro(0 <= y <= H - ez)
qps y( ) qps1qps1
hre ez−y⋅−:= Carga sísmica de empuje
pasivo.(0 <= y <= hre - ez)
Momentosflectores:Mm1 y( ) if y hri ez−≤ if y 0≥
hri ez− y−( )2
6qa y( )⋅, 0,
, 0,
:=
Mm2 y( ) if y hri ez−≤ if y 0≥ Δqas2 Δqas y( )−( )hri ez− y−( )2
3⋅ Δqas y( )
hri ez− y−( )2
2⋅+, 0,
, 0,
:=
Mm3 y( ) if y hri ez−≤ if y 0≥ qr2 qr y( )−( )hri ez− y−( )2
3⋅ qr y( )
hri ez− y−( )2
2⋅+, 0,
, 0,
:=
Mm4a y( ) if y hri ez−≤ if y hri ez− x1−≥ qrr y( )hri ez− y−( )2
6⋅, qr3
x12
⋅ hri ez− 2x13
⋅− y−
⋅,
, 0,
:=
Mm4 y( ) if y 0≥ Mm4a y( ), 0, ( ):=
Mm5 y( ) if y hri ez−≤ if y 0≥ qqs y( )hri ez− y−( )2
2, 0,
, 0,
:=
Mm6a y( ) if y hri ez−≤ if y hri ez− x1−≥ qqss y( )hri ez− y−( )2
6⋅, qqs1
x12
⋅ hri ez− 2x13
⋅− y−
⋅,
, 0,
:=
Mm6 y( ) if y 0≥ Mm6a y( ), 0, ( ):=
Mm7 y( ) if y H ez−≤ if y 0≥ qm y( ) qm2−( )H ez− y−( )2
6⋅ qm2
H ez− y−( )2
2⋅+, 0,
, 0,
:=
Mm8 y( ) if y hre ez−≤ if y 0≥ qps y( )−hre ez− y−( )2
6, 0,
, 0,
:=
Momento total sobre el muro en voladizo:
Mm y( ) Mm1 y( ) Mm2 y( )+ Mm3 y( )+ Mm4 y( )+ Mm5 y( )+ Mm6 y( )+ Mm7 y( )+ Mm8 y( )+:=
j 0 10..:= Yj H ez−H ez−( )
10j⋅−:= Y10 0 m=
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Diseño Muro de Contención
4.9.2.- Resumen de Flexión para muro en Voladizo Mbasal Mm Y10( ) 274.087 tonf m⋅⋅=:=
0 100 200 3000
1.2
2.4
3.6
4.8
6
7.2
8.4
9.6
10.8
12Flexión en la altura del muro
Momento flector sin mayoración
Altu
ra Yj
m
Mm Yj( )tonf m⋅
Yj
10.79.6
8.5
7.5
6.4
5.3
4.3
3.2
2.1
1.1
0
m
= Mm Yj( )0
2.1
8.7
20.1
37
59.5
88.3
123.7
166.2
216.2
274.1
tonf m⋅⋅
=
4.9.3.- Cálculo de flexión en la zapata
qa1 γr Hab ez−( )⋅ Ka⋅ sin δ( )⋅ 1⋅ m:= qa2 γr Hab ez− lt tan δ( )⋅−( )⋅ Ka⋅ sin δ( )⋅ 1⋅ m:=
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Diseño Muro de Contenciónqm1 γh ez⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:= qqs0 q 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:=
Δqas1 ez 2⋅Eas
Hab2 1⋅ m⋅ sin δ( )⋅ 1⋅ m:= Δqas2 lt tan δ( )⋅ ez+( ) 2⋅
Eas
Hab2 1⋅ m⋅ 1⋅ m:=
qre1 γr hre ez−( )⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:= qqs1 q Kas⋅ sin δ( )⋅ 1⋅ m:=
qri1 γr Hab ez−( )⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:= qri2 γr hri ez− hri ez−( ) tan αi( )⋅ tan β( )⋅+[ ]⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:=
Cargas Sobre la zapata en función de la posición
qa x( ) qa1 xqa1 qa2−
lt⋅−:= Componente vertical de empuje activo
estático sobre el talón.(0 <= x <= lt)
Δqas x( ) xΔqas2 Δqas1−
lt⋅ Δqas1+:= Componente vertical de empuje activo
adicional por sismo sobre el talón.(0 <= x <= lt)
qri x( ) qri1 xqri1 qri2−
lt⋅−:= Carga del relleno sobre el talón. (0 <= x <= lt)
qm x( ) qm1:= Carga de peso propio de la zapata. (0 <= x <= lt) ^(lt+ec <= x <= B)
qqs x( ) 0.25qqs0:= Carga debida a la sobrecarga sísmicareactiva (25% de la sobrecarga) sobre eltalón.
(0 <= x <= lt)
qqss x( ) 0.25qqs1:= Componente vertical de la carga lateralinducida por la sobrecarga sobre el talón.
(0 <= x <= lt)
qre x( ) qre1:= Carga del relleno sobre la punta de lazapata.
lt+eb <= x <= B
σsT x( ) xσ1s σ2s−
B⋅ σ2s+:= Compresión de suelo para el caso en
que e <= B/6 (100% A. comp.)(0 <= x <= B)
σsP x( ) x B 3u−( )−[ ]σ1s3u
⋅:= Compresión de suelo para el caso enque e > B/6 (100% Area comp.)
(B-3u <= x <=B)
Momentos flectores:
Mz1 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qa1 qa x( )−( )x2
3⋅ qa x( )
x2
2⋅+
1−( )⋅, 0,
, 0,
:=
Mz2 x( ) if x 0≥ if x lt≤ Δqas x( ) Δqas1−( )x2
6⋅ Δqas1
x2
2⋅+
1−( )⋅, 0,
, 0,
:=
Mz3 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qri1 qri x( )−( )x2
3⋅ qri x( )
x2
2⋅+
1−( )⋅, 0,
, 0,
:=
Mz4 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qm x( )x2
2⋅
1−( )⋅, 0,
, 0,
:=
Mz5 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qqs x( )x2
2⋅
1−( )⋅, 0,
, 0,
:=
Mz6 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qqss x( )x2
2⋅
1−( )⋅, 0,
, 0,
:=
Mz7 x( ) if x lt eb+≥ if x B≤ qre B x−( )B x−( )2
2⋅
1−( )⋅, 0,
, 0,
:=
15/19
Diseño Muro de Contención
0 1.4 2.8 4.2 5.6 7 8.4 9.8 11.2 12.6 1450−
18.18−13.6445.4577.27
109.09140.91172.73204.55236.36268.18
300Flexión a lo largo de la zapata
Momento
Posi
ción Mz Xk( )
tonf m⋅
Xk
m
Mz8 x( ) if x lt eb+≥ if x B≤ qm B x−( )B x−( )2
2⋅
1−( )⋅, 0,
, 0,
:=
Mz9Ta x( ) if x 0≥ if x lt≤ σsT x( ) σ2s−( )x2
6⋅ σ2s
x2
2⋅+, 0,
, 0,
:=
Mz9Tb x( ) if x lt eb+≥ if x B≤ σ1s σsT x( )−( )B x−( )2
3⋅ σsT x( )
B x−( )2
2⋅+, 0,
, 0,
:=
Mz9T x( ) Mz9Ta x( ) Mz9Tb x( )+:=
Mz9Pa x( ) if x B 3u−≥ if x lt≤ σsP x( )x B 3u−( )−[ ]2
6⋅, 0,
, 0,
:=
Mz9Pb x( ) if x lt eb+≥ if x B≤ σ1s σsP x( )−( )B x−( )2
3⋅ σsP x( )
B x−( )2
2⋅+, 0,
, 0,
:=
Mz9P x( ) Mz9Pa x( ) Mz9Pb x( )+:=
Mz9 x( ) if eB6
≤ Mz9T x( ), Mz9P x( ),
1⋅ m:=
Mz x( ) Mz1 x( ) Mz2 x( )+ Mz3 x( )+ Mz4 x( )+ Mz5 x( )+ Mz6 x( )+ Mz7 x( )+ Mz8 x( )+ Mz9 x( )+:=
k 0 13..:= Xk if k 6≤lt6
k⋅, lt eb+B lt− eb−
4k 9−( )⋅+,
:=
X7 X6 0.0001m+:= X8 X9 0.00001m−:=
h 0 11..:= xh if h 6≤ Xh, if h 11≤ Xh 2+, 0, ( ), ( ):=
4.9.4.- Resumen de flexión en la zapata
Md Mz X6( ) 2.018− tonf m⋅⋅=:=
Mc Mz X9( ) 288.19 tonf m⋅⋅=:=xh
m0
0.1
0.2
0.3
0.3
0.4
0.5
1.5
4.5
7.5
10.5
13.5
=Mz xh( )tonf m⋅
0-0.1
-0.2
-0.5
-0.9
-1.4
-2
288.2
160.8
70.9
17.6
0
=
16/19
Diseño Muro de Contención 4.10.- Cálculo de armadura interior para el muro en voladizo.
Para efectos prácticos se tomará en el cálculo en rotura un factor de mayoración de momento, para determinar el momento último, igual a:
γmay 1.5:=
em y( ) ec H ez− y−( ) tan αi( ) tan αe( )+( )⋅+:= Espesor a la altura "y"
αj0.9 fy2
⋅
1.7 fc⋅ 1.0⋅:= βj 0.9 fy⋅ em Yj( ) rec−( )⋅:= γj γmay
Mm Yj( )1m
⋅:=
Asnecj
βj βj( )2 4 αj⋅ γj⋅−−
2 αj⋅:= Armadura necesaria por cálculo
Asminf j14fy
em Yj( ) rec−( )⋅kgf
cm2⋅:= Armadura mínima en flexión.
Asretj23
0.0018⋅ em Yj( ) rec−( )⋅:= Armadura mínima de retracción.
As1j if Asnecj Asminf j< if 1.33 Asnecj Asminf j< 1.33 Asnecj, Asminf j, ( ), Asnecj, ( ):=
Asj if As1j Asretj< Asretj, As1j, ( ):= Armadura definitiva de diseño.
0 30 60 90 120 1500
5
10
15Armadura requerida muro
Armadura
Altu
ra Yj
m
Asj
cm2
m
Asj
33.8
12
18.1
29.3
42.3
57.1
73.6
91.7
111.4
132.8
cm2
m⋅
=Yj
10.79.6
8.5
7.5
6.4
5.3
4.3
3.2
2.1
1.1
0
m
=
4.11.- Cálculo de armaduras en zapatas
Para efectos prácticos se tomará en el cálculo en rotura un factor de mayoración de momento, para determinar el momento último, igual a:
γmay 1.5:=
αk0.9 fy2
⋅
1.7 fc⋅ 1.0⋅:= βk 0.9 fy⋅ ez rec−( )⋅:= γk γmay
Mz Xk( )1m
⋅:=
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Diseño Muro de Contención
Asneck
βk βk( )2 4 αk⋅ γk⋅−−
2 αk⋅:= Armadura necesaria por cálculo
Asminf k14fy
ez rec−( )⋅kgf
cm2⋅:= Armadura mínima en flexión.
Asretk23
0.0018⋅ ez rec−( )⋅:= Armadura mínima de retracción.
Asr1k if Asneck Asminf k< if 1.33 Asneck Asminf k< 1.33 Asneck, Asminf k, ( ), Asneck, ( ):=
Asrk if Asr1k Asretk< Asretk, Asr1k, ( ):= Armadura definitiva de diseño.
Asr7 0cm2
m:= Asr8 0
cm2
m:=
h 0 11..:= xh if h 6≤ Xh, if h 11≤ Xh 2+, 0, ( ), ( ):=
Ash if h 6≤ Asrh, if h 11≤ Asrh 2+, 0, ( ), ( ):=
Ash
11.411.4
11.4
11.4
11.4
11.4
11.4
141.1
72.7
31.7
11.4
11.4
cm2
m⋅
=xh
00.1
0.2
0.3
0.3
0.4
0.5
1.5
4.5
7.5
10.5
13.5
m
=
0 2.7 5.4 8.11 10.81 13.510
163248648096
112128144160
Armadura requerida zapata
Armadura
Posi
ción Asrk
cm2
m
Xk
m
18/19
Diseño Muro de Contención
4.12.- Diseño diente de hormigón para control de deslizamiento
4.12.1.- Esfuerzos sobre el diente
Máxima fuerza deslizante estática: FDEp 1.5Fde Fre Ep−( )− 17.27 tonf⋅=:=
Máxima fuerza deslizante dinámica: FDSp 1.2Fds Frs Eps−( )− 35.19 tonf⋅=:=
Esfuerzo máximo sobre el diente: FD max FDEp FDSp, ( ) 35.19 tonf⋅=:=
Esfuerzo de corte último: Vu 1.7 FD⋅ 59.82 tonf⋅=:=
4.12.2.- Diseño al corte
Resistencia reducida al corte del hormigón:ϕvc 0.8516
fc⋅ MPa0.5⋅ 7.15
kgf
cm2⋅=:=
Espesor mínimo requerido del diente: edVu
100cm ϕvc⋅rec+ 0.886 m=:=
Se adopta espesor de diente de 100 cm para dar continuidad al muro en la vertical.
4.12.3.- Cálculo de la Altura del diente
Empuje estático sobre el diente: EEd FDEp 17.27 tonf⋅=:=
Empuje dinámico sobre el diente: ESd FDSp 35.19 tonf⋅=:=
Altura mínima requerida: hdreq max2EEd
γs Kp⋅ 1⋅ m2ESd
γs Kps⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m,
3.97 m=:=
Se adopta altura de diente de 150 cm.
4.12.4.- Diseño a Flexión del diente
Momento último sobre el diente: Mud Vu23
⋅ 1.5⋅ m 59.82 tonf m⋅⋅=:=
α10.9 fy2
⋅
1.7 fc⋅ 1.0⋅37.36
tonf
cm2⋅=:= β1 0.9 fy⋅ 100cm rec−( )⋅ 35910
tonfm
⋅=:= γ1Mud1m
:=
Asnec1β1 β12 4 α1⋅ γ1⋅−−
2 α1⋅16.96
cm2
m⋅=:= Armadura necesaria por cálculo
Asminf114fy
100cm rec−( )⋅kgf
cm2⋅ 31.67
cm2
m⋅=:= Armadura mínima en flexión.
Asret1 0.0018 100cm rec−( )⋅ 17.1cm2
m⋅=:= Armadura mínima de retracción.
Asr11 if Asnec1 Asminf1< if 1.33Asnec1 Asminf1< 1.33Asnec1, Asminf1, ( ), Asnec1, ( ):=
Asr12 max Asr11 Asret1, ( ) 22.55cm2
m⋅=:= Armadura definitiva de diseño.
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