1EJERCICIOS PROPUESTOS
RESISTENCIA DE MATERIALES I
1. Determinar la deformación total del sistema de la figura.DATOS: E=2.1x106 kg/cm2
P=2000 kg
SOLUCION
i. Por semejanza de triángulos obtendremos el área:
Del triángulo tenemos que:
y15
= x45→ y= x∗15
45→ y=¿
Despejamos el área:
Ax=π4
[ (2 y+30 )2− (2 y+30−0.35∗2 )2 ]
z=(2 y+30 )→Ax=π4
[ ( z )2−( z−0.35∗2 )2 ]
2EJERCICIOS PROPUESTOS
RESISTENCIA DE MATERIALES I
z=(2 y+30 )→Ax=π4
[ z2−z2+1.4 z−0.49 ]
z=(2 y+30 )→Ax=π4
[1.4 z−0.49 ]
Ax=π4
[1.4 (2 y+30 )−0.49 ]
Ax=π4 [1.4( 2 x3 +30)−0.49 ]Ax=π
4 [ 2 .8 x3 +41.51]
ii. Secciones:
Sección 1 – 1:
∑ F X=0→σ1∗A1−P=0→σ1=PA1
(Compresión )
x=0→σ1=PAx→σ 1=
Pπ4 [ 2.8 x3 +41.51]
→σ1=4 P
π [ 2.8 x3 +41.51]→σ1=
4 Pπ (41.51)
x=45→σ 1=PAx→σ1=
Pπ4 [ 2.8 x3 +41.51]
→σ1=4 P
π [ 2.8x3 +41.51]→σ1=
4 Pπ (83.51)
3EJERCICIOS PROPUESTOS
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Sección 2 – 2:
∑ F X=0→σ2∗A2−P=0→σ2=PA2
(Compresión)
x=45→σ 1=PAx→σ1=
Pπ4 [ 2.8 x3 +41.51]
→σ1=4 P
π [ 2.8x3 +41.51]→σ1=
4 Pπ (83.51)
x=90→σ1=PAx→σ 1=
Pπ4 [ 2.8 x3 +41.51]
→σ1=4 P
π [ 2.8 x3 +41.51]→σ 1=
4 Pπ (83.51)
iii. La deformación total:
δ=∫ σ X∗dXE
→δ= P∗LE∗A
→δ=σ∗LE
δT=δ1+δ 2……. (1)
Reemplazando las ecuaciones de las secciones en (1):
δ T=σ 1∗LE
+σ 2∗LE
δT∗E=∫0
45P∗dXA1
+∫45
90P∗dXA2
δT∗E=∫0
45P∗dX
π4 [ 2.8 x3 +41.51]
+∫45
90P∗dX
π4 [ 2.8 x3 +41.51]
δT∗E=0.954∗P+0.556∗P
δT=(0.954+0.556)P
E
δT=(0.954+0.556)(2000)
2.1∗106
δT=1.438∗10−3
2. La barra maciza mostrada consta de un tramo tronco cónico y otro cilíndrico. Determinar la deformación total del sistema siendo el material el mismo para ambos tramos.
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RESISTENCIA DE MATERIALES I
SOLUCION
i. Secciones:
Sección 1 – 1:
∑ F X=0→σ1∗A1+2 P=0→σ1=−2 PA1
(Tracción)
Sección 2 – 2:
∑ F X=0→σ2∗A2+2 P−P=0→σ2=−PA2
(Tracción )
D2=d+X∗(D−d )
L
Sección 3 – 3:
∑ F X=0→σ3∗A3+2P−P+3P=0→σ3=−4 PA3
(Tracción)
5EJERCICIOS PROPUESTOS
RESISTENCIA DE MATERIALES I
D3=d+X∗(D−d )
L
ii. La deformación total:
δ=∫ σ X∗dXE
→δ= P∗LE∗A
→δ=σ∗LE
δT=δ1+δ 2+δ 3……. (1)
Reemplazando las ecuaciones de las secciones en (1):
δT=σ 1∗LE
+σ 2∗LE
+σ 3∗LE
δT∗E=σ1∗L+σ 2∗L+σ3∗L
δT∗E=2 Pπ4∗d2
∗L+∫0
LP∗dX
π4∗(d+ X∗(D−d )
L )2+∫
0
L4 P∗dX
π4∗(d+ X∗(D−d)
L )2
δT∗E=8∗Pπ∗d2
∗L+∫0
L4∗P∗dX
π∗(d+ X∗(D−d)L )
2+∫0
LP∗dX
π∗(d+ X∗(D−d )L )
2
δT∗E=8∗Pπ∗d2
∗L+∫0
L20∗P∗dX
π∗(d+ X∗(D−d)L )
2
δT∗E=8∗Pπ∗d2
∗L+ 20∗Pπ
∫0
LdX
(d+ X∗(D−d )L )
2
Para integrar cambiamos datos:
u=d+X∗(D−d )
L→dudX
=d+X∗(D−d )
L
du=[d+ X∗(D−d )L ]dX
du=(D−dL )dX
( LD−d )du=dX
Reemplazando:
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RESISTENCIA DE MATERIALES I
δT∗E=8∗Pπ∗d2
∗L+ 20∗Pπ
∫0
LL∗du
(D−d )∗(u )2
δT∗E=8∗Pπ∗d2
∗L+ 20∗P∗Lπ∗(D−d )∫d
Ddu(u )2
δT∗E=8∗Pπ∗d2
∗L+ 20∗P∗Lπ∗(D−d ) ( 1D− 1
d )δT∗E=
8∗Pπ∗d2
∗L+ 20∗P∗Lπ∗(D−d ) ( d−DD∗d )
δT∗E=8∗Pπ∗d2
∗L− 20∗P∗Lπ∗(D−d ) ( D−d
D∗d )δT∗E=
8∗Pπ∗d2
∗L−20∗P∗Lπ∗D∗d
δT=4∗P∗Lπ∗d∗E ( 2d− 5
D )
3. Determinar la expresión para calcular la deformación total de la barra que tiene una perforación que produce una pared de espesor constante "t" , la barra se encuentra sometida a la acción de las cargas respectivas.
SOLUCION
i. Por semejanza de triángulos obtendremos el área:
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RESISTENCIA DE MATERIALES I
Del triángulo tenemos que:
D−2 zL
=2 yx→ y=
(D−2 z )x2L
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